2019_2020学年高中数学第2章推理与证明2.2.2反证法学案新人教B版选修2_2

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2.2.2 反证法

1.了解反证法的基本思想.

2.理解反证法的证明思路.

3.会用反证法证明数学问题.

反证法

(1)定义

由证明p⇒q转向证明:﹁q⇒r⇒…⇒t,t与假设矛盾,或与某个真命题矛盾,从而判定﹁q为假,推出q为真的方法叫做反证法.

(2)应用反证法证明数学命题的一般步骤

①分清命题的条件和结论;

②做出与命题结论相矛盾的假定;

③由假定出发,应用正确的推理方法,推出矛盾的结果;

④断定产生矛盾结果的原因,在于开始所做的假定不真,于是原结论成立,从而间接地证明命题为真.

1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)反证法属于间接证明问题的方法.( )

(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是演绎推理.( )

(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾.( )

答案:(1)√(2)×(3)√

2.应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用( )

①结论的否定,即假设;

②原命题的条件;

③公理、定理、定义等;

④原命题的结论.

A.①②B.①②④

C.①②③D.②③

答案:C

3.命题“△ABC中,若∠A>∠B,则a>b”的结论的否定应该是( )

A.a<b B.a≤b

C.a=b D.a≥b

答案:B

用反证法证明否定性命题

如图,设SA、SB是圆锥的两条母线,O是底面圆心,C是SB上一

点.

求证:AC与平面SOB不垂直.

[证明] 假设AC⊥平面SOB,

因为直线SO在平面SOB内,

所以AC⊥SO.

又SO⊥底面,所以SO⊥AB.

因为AB∩AC=A,所以SO⊥平面SAB.

故平面SAB∥底面.

这与已知条件矛盾,所以假设不成立.

即AC与平面SOB不垂直.

(1)用反证法证明否定性命题的适用类型

结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题,此类问题的正面比较模糊,而反面比较具体,适合使用反证法.

(2)用反证法证明数学命题的步骤

1.已知a,b,c,d∈R,且ad-bc=1,求证:a2+b2+c2+d2+ab+cd≠1.

证明:假设a2+b2+c2+d2+ab+cd=1.

因为ad-bc=1,

所以a2+b2+c2+d2+ab+cd+bc-ad=0,

即(a+b)2+(c+d)2+(a-d)2+(b+c)2=0.

所以a+b=0,c+d=0,a-d=0,b+c=0,

则a=b=c=d=0,

这与已知条件ad-bc=1矛盾,故假设不成立.

所以a2+b2+c2+d2+ab+cd≠1.

2.已知三个正数a,b,c,若a2,b2,c2成公比不为1的等比数列,求证:a,b,c不成等差数列.

证明:假设a ,b ,c 构成等差数列, 则有2b =a +c , 即4b 2

=a 2

+c 2

+2ac ,

又a 2

,b 2

,c 2

成公比不为1的等比数列, 且a ,b ,c 为正数,

所以b 4

=a 2c 2

且a ,b ,c 互不相等, 即b 2

=ac ,

因此4ac =a 2

+c 2

+2ac , 所以(a -c )2=0,

从而a =c =b ,这与a ,b ,c 互不相等矛盾. 故a ,b ,c 不成等差数列.

用反证法证明唯一性命

求证:过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. [证明] 已知:点P 在直线a 外.

求证:过点P 与直线a 平行的直线有且只有一条. 证明如下:因为点P 在直线a 外, 所以点P 和直线a 确定一个平面,

设该平面为α,在平面α内,过点P 作直线b , 使得b ∥a ,则过点P 有一条直线与a 平行. 假设过点P 还有一条直线c 与a 平行, 因为a ∥b ,a ∥c ,

所以b ∥c ,这与b 、c 相交于点P 矛盾,故假设不成立. 即过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.

证明“有且只有一个”的问题,需要证明两个命题,即存在性和唯一性.当证明结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题时,由于反设结论易于导出矛盾,所以用反证法证其唯一性就较简单明了.

已知a ≠0,证明方程ax =b 有且只有一个根.

证明:由于a ≠0,因此方程至少有一个根x =b a

,如果方程不止一个根,不妨设x 1,x 2

是它的两个不同的根,即

ax 1=b , ① ax 2=b . ②

①-②得a (x 1-x 2)=0.

因为x 1≠x 2,所以x 1-x 2≠0,所以应有a =0,这与已知矛盾,故假设不成立. 所以,当a ≠0时,方程ax =b 有且只有一个根.

用反证法证明“至多”“至少”命题

设f (x )=x 2

+bx +c ,x ∈[-1,1],证明:当b <-2时,f (x )在其定义域内至

少存在一个x ,使|f (x

)|≥1

2

成立.

[证明] 假设不存在x ∈[-1,

1]使|f (x )|≥1

2成立,

则对任意x ∈[-1,1]都有-12<f (x )<1

2成立.

当b <-2时,x =-b

2

>1,

所以f (x )在[-1,1]上是单调递减函数,

所以⎩⎪⎨⎪⎧f (-1)=1-b +c <1

2,f (1)=1+b +c >-1

2

⇒b >-12,与b <-2矛盾.

故假设不成立,因此当b <-2时,f (x )在其定义域内至少存在一个x , 使|f (x )|≥1

2

成立.

(1)对于结论中含有“至多”“至少”等词语的命题,若直接从条件推证,解题方向不明确,过程不可推测,不易证明,则可考虑用反证法证明.

(2)注意“至少有一个”“至多有一个”“都是”的否定形式分别为“一个也没有”“至少有两个”“不都是”.

设a >0,b >0,且a +b =1a +1b

,求证:a 2+a <2与b 2

+b <2至多有一个

成立.

证明:因为a +b =1a +1b =a +b

ab

因为a >0,b >0, 所以ab =1.

假设a 2

+a <2与b 2

+b <2同时成立,

则由a 2+a <2及a >0得0<a <1;同理0<b <1,

从而ab <1,这与ab =1矛盾,故a 2

+a <2与b 2

+b <2至多有一个成立.

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