2014级期末练习题1

期末测试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．设全集U ＝R ，A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |x ＞1}，则A ∩U B ＝( B )．
A ．{x |0≤x ＜1}
B ．{x |0＜x ≤1}
C ．{x |x ＜0}
D ．{x |x ＞1}
2．在长为10 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于25 与49 之间的概率为（ B ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．已知4sin 5
α=，并且α是第二象限的角，那么tan α的值等于（ A ） A .43- B .34
- C .43 D .34 4．已知3tan =α，23παπ<
<，那么ααsin cos -的值是（ B ）． A ．231+- B ．231+- C ．231- D ． 2
31+ 5．下列四组函数中，表示同一函数的是( A )．
A ．f (x )＝|x |，g (x )＝2x
B ．f (x )＝lg x 2，g (x )＝2lg x
C ．f (x )＝1
－1－2x x ，g (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝1＋x ·1－x ，g (x )＝1－2x
6．样本1210,,,a a a 的平均数为a ,样本110,,b b 的平均数为b ,则样本11221010,,,,,,a b a b a b 的平均数为 ( B ) A. a b + B. ()12a + C. 2()a b + D. 110
()a b + 7．在样本的频率分布直方图中,共有11个小长方形,若中间一个小长立形的面积等于其他10个小长方形的面积的和的14
,且样本容量为160,则中间一组有频数为 ( A ) A. 32 B. 0.2 C. 40 D. 0.25
8．方程2x ＝2－x 的根所在区间是( D ).
A ．(－1，0)
B ．(2，3)
C ．(1，2)
D ．(0，1)
9．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象关于直线8x π=
对称，则ϕ可能是（ C ） A .2π B .4π- C .4
π D .34π 10．设()f x 是定义域为R ，最小正周期为32π的函数，若cos ,(0)(),2sin ,(0)
x x f x x x ππ⎧-≤<⎪=⎨⎪≤<⎩ 则15()4
f π-等于（ B ） A . 1 B
.2 C. 0
D.2
- 11．已知函数f (x )＝⎩
⎨⎧0≤ 30log 2x x f x x )，＋(＞，，则f (－10)的值是( D ). A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．1
12．奇函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，若f (－1)＝0，则不等式f (x )＜0的解集是( A ).
A ．(－∞，－1)∪(0，1)
B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C ．(－1，0)∪(0，1)
D ．(－1，0)∪(1，＋∞)
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13．函数y ＝2－log 2x 的定义域是 ．[4，＋∞)．
14. 有5条长度分别为1,3,5,7,9的线段,从中任意取出3条,则所取3条线段可构成三角形的概率是
___________. 310
15. 执行如图1-1所示的程序框图，输出的S 值为
________7
图1-1
16. 在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝
⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为__________①②③
三、解答题：本大题共6题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(12分) 已知函数f (x )＝lg (3＋x )＋lg (3－x )．
(1)求函数f (x )的定义域；
(2)判断函数f (x )的奇偶性，并说明理由．
18. 已知1tan tan αα
，是关于x 的方程2230x kx k -+-=的两个实根， 且παπ2
73<
<，求ααsin cos +的值． 19. 函数f (x )＝3sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π6的部分图像如图1-4所示．
图1-4
(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值；
(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2
，－π12上的最大值和最小值．
20. 某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产
品的结果如下：
(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，
(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )．
其中a ，a 分别表示甲组研发成功和失败；b ，b 分别表示乙组研发成功和失败．
(1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分．试计算甲、乙两组研发新产品的成绩
的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平．
(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率．
21. 设关于x 的函数22cos 2cos (21)y x a x a =--+的最小值为()f a ， 试确定满足1()2
f a =
的a 的值，并对此时的a 值求y 的最大值。

22．设函数f (x )＝ax 2＋1bx ＋c
是奇函数(a ，b ，c 都是整数)，且f (1)＝2，f (2)＜3. (1)求a ，b ，c 的值；
(2)当x ＜0，f (x )的单调性如何？用单调性定义证明你的结论．
参考答案
三、解答题
17． (1)由⎩
⎨⎧0303＞－＞＋x x ，得－3＜x ＜3， ∴ 函数f (x )的定义域为(－3，3)．
(2)函数f (x )是偶函数，理由如下：
由(1)知，函数f (x )的定义域关于原点对称，
且f (－x )＝lg (3－x )＋lg (3＋x )＝f (x )，
∴ 函数f (x )为偶函数．
18. 解：21tan 31,2tan k k αα⋅=-=∴=±，而παπ2
73<<，则1tan 2,tan k αα+==
得tan 1α=，则sin cos 2
αα==-
，cos sin αα∴+=。

19. ．解：(1)f (x )的最小正周期为π.
x 0＝7π6，y 0＝3. (2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦
⎤－5π6，0. 于是，当2x ＋π6
＝0， 即x ＝－π12
时，f (x )取得最大值0； 当2x ＋π6＝－π2
， 即x ＝－π3
时，f (x )取得最小值－3. 20.解：(1)甲组研发新产品的成绩为
1，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，1，0，1，
其平均数为x 甲＝1015＝23
， 方差为s 2甲＝115⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－232×10＋⎝⎛⎭⎫0－232×5＝29
. 乙组研发新产品的成绩为
1，0，1，1，0，1，1，0，1，0，0，1，0，1，1，
其平均数为x 乙＝915＝35
， 方差为s 2乙＝115⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－352×9＋⎝⎛⎭⎫0－352×6＝625
.
因为x 甲＞x 乙，s 2甲＜s 2乙，所以甲组的研发水平优于乙组．
(2)记E ＝{恰有一组研发成功}．
在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，
b )，(a ，b )，
共7个，故事件E 发生的频率为715
. 将频率视为概率，即得所求概率为P (E )＝715
. 21、解：令cos ,[1,1]x t t =∈-，则222(21)y t at a =--+，对称轴2a t =
， 当12a <-，即2a <-时，[1,1]-是函数y 的递增区间，min 112
y =≠； 当12
a >，即2a >时，[1,1]-是函数y 的递减区间，min 141,2y a =-+= 得18
a =，与2a >矛盾； 当112a -≤≤，即22a -≤≤时，22min 121,43022
a y a a a =---=++= 得1,a =-或3a =-，1a ∴=-，此时max 415y a =-+=。

22. (1)由f (x )＝ax 2＋1bx ＋c
是奇函数， 得f (－x )＝－f (x )对定义域内x 恒成立，则
a (－x )2＋1
b (－x )＋
c ＝－ax 2＋1bx ＋c
⇒－bx ＋c ＝－(bx ＋c )对定义域内x 恒成立，即c ＝0. 又⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝2f (2)＜3⇒⎩⎨⎧ a ＋1b ＝2 ①4a ＋12b ＜3 ②由①得a ＝2b －1代入②得2b －32b ＜0⇒0＜b ＜32
，又a ，b ，c 是整数，得b ＝a ＝1.
(2)由(1)知，f (x )＝x 2＋1x ＝x ＋1x
， 当x ＜0，f (x )在(－∞，－1]上单调递增， f (x )在[－1,0)上单调递减．。