高斯函数_常见题型

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高斯函数的性质和应用

高斯函数的性质和应用1、对x∈R，[x]表示不超过x 的最大整数.十八世纪，y=[x]被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数.人们更习惯称之为“取整函数”，例如：[-3.5]=-4，[2.1]=2，[1]=1，且有性质（1)任意x∈R,0≤x-[x]＜1,性质（2）[x+1]-[x]=1，性质（3）[x]＋[-x]=-1（x∈Z），定义域为R,值域为Z;不单调，无最值，无奇偶性对任意实数x，都有[x]≤x<[x]+1,x-1<[x]≤x；2、g(x)=x-[x]定义域为R,值域：[0,1)无单调性，最小值0，周期为1.例1、（多选题）高斯函数也称取整函数，记作[x]，是指不超过实数x 的最大整数，例如[6.8]=6，[-4.1]=-5，该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域.下列关于高斯函数y=[x]的性质叙述正确的是（ABC）A.y=[x]值域为Z B.y=[x]不是奇函数C.y=x-[x]为周期函数 D.y=[x]在R 上单调递增例2、设{x}=x-[x]，则函数f(x)=2x{x}-x-1的所有零点之和为？由f(x)=01,由图像可知，两函数除以交点（-1,0)之外，其余的交点关于点（0，1)对称，所以，函数y=f(x)的所有零点之和为-1；故答案为：-1；例3、已知函数f(x)=|x-1|(3-[x])，x∈[0,2),若f(x)=52，则x=；不等式f(x)≤x 的解集为__。

【解析】由题意，得f(x)=3−3s 0≤<12−2s 1≤<1,当0≤x<1时,3-3x=52,当1≤x<252,即x=9/4(舍),综上x=16;当0≤x<134≤x<1,当1≤x＜2时,2x-2≤x,即1≤x＜2,综上，答案为：34≤x<2；例4、高斯函数()[]f x x =（[]x 表示不超过实数x 的最大整数），若函数()2x xg x e e -=--的零点为0x ，则()0g f x =⎡⎤⎣⎦（B ）A．12e e--B．2-C．12e e--D．2212e e --例5、.设x∈R，用[x]表示不超过x 的最大整数，则y=[x]称为高斯函数.已知函数f(x)=22+1，则函数y=[f(x)）]的值域为(D )A.{0,-1} B.{-1,1} C.{0,1} D.{-1,0,1}小练习：条件同上已知函数f(x)=12x 2-x+1(0<x<3)，则函数y=[f(x)]的值域为(?){0,1,2}例6、定义：对于任何数a，符号[a]表示不大于a 的最大整数．加强练习一、选择题1、已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数，()[]g x x =为取整函数，0x 是函数()ln 4f x x x =+-的零点，则()0g x =()A.4 B.5 C.2D.32、函数y=[]x 叫做“取整函数”，][][][2222log 1log 2log 3log 64⎡⎤+++⋯+⎣⎦的值为()A.21B.76C.264D.6423、某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x =（[]x 表示不大于x 的最大整数）可以表示为（）4、我们定义函数[]y x =（[]x 表示不大于x 的最大整数）为“下整函数”，定义函数{}y x =（{}x 表示不小于x 的最小整数）为“上整函数”，例如[4.3]4=，[5]5=；{4.3}5=，{5}5=.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时（包括1小时）收费2元，超过一小时，不超过2小时（包括2小时）收费4元，以此类推.若李刚停车时间为x 小时，则李刚应付费（单位：元）()A.2[1]x + B.2([]1)x + C.2{}x D.{2}x6、已知[]y x =为高斯函数，令函数()[]f x x x =-，以下结论正确的有()A.()2.30.7f -= B.()f x 为奇函数 C.()()1f x f x += D.()f x 的值域为[]0,17、[]y x =高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”.则下列命题中正确的是()A.[1,0]x ∀∈-，[]1x =-B.x ∃∈R ，[]1x x ≥+C.,x y ∀∈R ，[][][]x y x y +≤+ D.函数[]()y x x x =-∈R 的值域为[0,1)8、对x ∀∈R ,[]x 表示不超过x 的最大整数.十八世纪,[]y x =被“数学王子”高斯采用,因此得名为高斯函数,人们更习惯称为“取整函数”,则下列命题中的真命题是()A.x ∃∈R ,[]1x x ≥+B.x ∀,y ∈R ,[][][]x y x y +≤+ C.函数[]()y x x x =-∈R 的值域为[)0,1D.若t ∃∈R ,使得31t ⎡⎤=⎣⎦,42t ⎡⎤=⎣⎦,53t ⎡⎤=⋯⎣⎦,2n t n ⎡⎤=-⎣⎦同时成立,则正整数n 的最大值是5三、填空题9、由“不超过x 的最大整数”这一关系所确定的函数称为取整函数，通常记为[]y x =，例如[][]1.210.31=-=-，，则函数[][)21,1,3y x x =+∈-的值域为_________________.10、取整函数y=[x]，x∈R 称为高斯函数，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[1.1]=1，[-1.1]=-2.则点集P={（x，y）|[x]2+[y]2=1]所表示的平面区域的面积是?4四、解答题10、已知[]x 表示不超过x 的最大整数，称为高斯取整函数，例如[3.4]3=，[ 4.2]5-=-，不等式213x ≤+<的解集为A ，不等式2230x x -≤的解集为B .(1)求A B ；(2)已知x A ∈，正数a ，b 满足[]a b x +=，求11a b+的最小值.11、已知函数()[]f x x =.(1)记()()2h x f x x =-，[)0,3x ∈，求()h x 的解析式，并在坐标系中作出函数()h x 的图像.(2)结合(1)中的图象，解不等式()1524h x <≤直接写出结果.(3)设()3131x x g x -=+，判断()g x 的奇偶性，并求函数()()()()2y f g x f g x =+-的值域.。

高斯求和法

高斯求和法
若干个数按一定顺序规律排列起来就是一个数列。

如果这个数列中任意两个相邻的数之间的差都相等，我们就把这个数列称为等差数列。

其中第一个数称为首项，最后一个数称为末项。

相邻两个数之间的差称为公差，这数列中数的个数称为项数。

求和公式为：
等差数列的和=（首项+末项）项数2
项数=(末项-首项) 公差+1
末项=首项+公差（项数-1 ）
首项=末项-公差（项数-1）
例题（1）1+2+3+4+5+……+19+20
(2)2+4+6+8+……+48+50
(3)第一行放了一颗糖，二行放了2颗糖，三行放了2颗糖，以此类推，四十行放了2颗糖，第一到四十行一共放了多少颗糖？
（4）有一列数按如下规律排列：10、17、24、31……..这列数中前80个数的和是多少？
（5）有一列数按如下规律排列：5、9、13、17……..这列数中前24个数的和是多少？
(6)(2+4+6+.........+2012)-(1+3+5+ (2011)
(7)(7+9+11+.......+25)-(5+7+9+. (23)
(8)1+2-3+4+5-6+7+8-9+…….58+59-60。

高斯函数_常见题型

高斯函数_常见题型一、常见题型与相关例题 1、整数问题例1、在项数为1987的数列222121987,,,198719871987⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦中有多少个不同的整数？2、方程问题方程问题主要有解方程与讨论方程的根两种题型。

例2、解方程33[]3x x -=。

例3、证明方程2345[][2][2][2][2][2]12345x x x x x x +++++=无实数解。

3、恒等问题这类问题主要是证明一些由[x]构成的恒等式。

例如1().22n n n n N *+⎡⎤⎡⎤+=∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 例4、（Hermite 恒等式）若n 是正整数，x R ∈，则10[]n k k x nx n -=⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦∑. 例5、已知,n N *∈求证：[1]41[42][43]n n n n n ++=+=+=+ 4、不等问题不等问题主要涉及含[x]的不等式分析。

此类问题一般难度较大。

例6、设,x y R ∈，试证：（1）、[2][2][][][];x y x y x y +≥+++ （2）、[3][3][][]2[]x y x y x y +≥+++.注：与上面不等式相类似地还有（3）、[4][4][][][2][2].x y x y x y y x +≥+++++ （4）、[5][5][][][3][3].x y x y x y y x +≥+++++例7、设,,x R n N *∈∈试证：1[][][].nk kx n x nx k=≤≤∑ 例8、证明不等式[][][][2][2]ααββαβ+++≥+对任意不小于1的实数,αβ立。

例9、求所有正整数n 使得22min()1991.k N n k k *∈⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦5、求值问题例10、若实数x 满足192091[][][]546,100100100x x x ++++⋅⋅⋅++=求[100]x 的值。

高斯电磁场定律练习题经典习题汇总

高斯电磁场定律练习题经典习题汇总
本文档汇总了一些经典的高斯电磁场定律练题，帮助读者巩固
和应用相关概念。

以下是一些题示例：
1. 问题描述：一个半径为R的闭合球面，球心位于电荷密度为ρ的均匀充电球体内，求球面上的电场强度。

解答提示：利用高斯定律，通过球面上的电通量计算电场强度。

2. 问题描述：一个位于原点的点电荷Q在真空中产生的电场强度为E，求通过一个半径为r的闭合球面上的电通量。

解答提示：由于球面是闭合的，电通量等于通过球面的总电荷。

3. 问题描述：一个长度为L的带电线性电荷在空间中产生的电
场强度为E，求通过一个长为d的闭合柱面的电通量。

解答提示：利用高斯定律，根据柱体上的电通量计算电场强度。

4. 问题描述：一个球形电荷分布体半径为R，并在球心产生电
场强度E，求通过一个半径为r（r<R）的闭合球面上的电通量。

解答提示：由于球体不均匀带电，需要考虑球体内不同位置的电荷量。

以上仅为几个经典题示例，读者可以通过解答这些题来加深对高斯电磁场定律的理解和应用。

注意：本文档仅提供习题示例，不提供具体解答。

读者可以根据自己的理解和知识进行思考和解答。

高斯函数基础练习题(基础有梯度)

高斯函数基础练习题(基础有梯度)高斯函数是一种常见的数学函数，它在统计学和机器研究中经常被使用。

本文将提供一些基础的练题，帮助您巩固对高斯函数及其梯度的理解。

练题一已知高斯函数的定义如下：高斯函数: f(x) = exp(-0.5 * (x - μ)² / σ²)请计算以下问题：1. 当x = 0, μ = 1, σ = 2 时，高斯函数的值是多少？2. 当x = 2, μ = 1, σ = 2 时，高斯函数的值是多少？练题二已知高斯函数的梯度计算公式如下：高斯函数梯度: ∇f(x) = -((x - μ) / σ²) * f(x)请计算以下问题：1. 当x = 0, μ = 1, σ = 2 时，高斯函数的梯度是多少？2. 当x = 2, μ = 1, σ = 2 时，高斯函数的梯度是多少？练题三给定一个数据集X，其中包含多个样本，每个样本有多个特征。

我们希望使用高斯函数来拟合这些样本。

请编写一个函数，该函数接受参数X, μ, σ，返回一个概率向量，表示每个样本属于高斯分布的概率。

函数签名为：def gaussian_prob(X, μ, σ):"""计算每个样本属于高斯分布的概率参数:X: 样本数据集，形状为 (样本数, 特征数)μ: 高斯分布的均值参数，形状为 (特征数,)σ: 高斯分布的标准差参数，形状为 (特征数,)返回:概率向量，形状为 (样本数,)"""在此实现函数体return prob_vector请根据给定的函数签名，完成函数的编写。

以上是关于高斯函数基础练习题的内容，希望对您的学习有所帮助。

如有疑问，请随时提问。

高斯函数基本练习题(基本有梯度)

高斯函数基本练习题(基本有梯度)
高斯函数是数学中常用的一种函数形式，它在统计学、信号处理和机器研究等领域中广泛应用。

本练题旨在帮助你熟练掌握高斯函数的基本概念和使用。

1. 高斯函数的定义
高斯函数，也称为正态分布函数，是指形如以下公式的函数：
$$
f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-
\mu)^2}{2\sigma^2}}
$$
其中，$x$ 是自变量，$\mu$ 是分布的均值，$\sigma$ 是分布的标准差。

2. 计算高斯函数的值
下面是一个高斯函数的计算例子：
import math
def gaussian(x, mu, sigma):
return (1 / (sigma * math.sqrt(2 * math.pi))) * math.exp(-((x - mu)2) / (2 * sigma2))2) / (2 * sigma2))
result = gaussian(2, 0, 1)
print(result)
运行以上代码，即可计算出 $x$ 等于 2，$\mu$ 等于 0，
$\sigma$ 等于 1 时的高斯函数值。

3. 高斯函数的应用
高斯函数在实际应用中有很多用途，例如：
- 统计学中的正态分布模型
- 信号处理中的滤波器设计
- 机器研究中的概率密度估计
通过掌握高斯函数的基本概念和计算方法，你可以更好地理解
和应用这一重要数学工具。

以上是高斯函数基本练习题的内容，希望对你的学习有所帮助。

初中数学竞赛代数专题讲义之高斯函数例题习题及详解

初中数学竞赛之高斯函数对于任意实数x ，用[]x 表示不大于x 的最大整数，称为取整数。

符号[]叫做取整符号，或者叫做高斯记号。

一般地，[]x y =叫做取整函数，也叫做高斯函数或数论函数，自变量x 的取值范围是一切实数。

一、专题知识1.R ∈x ,[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数[]x y =称为高斯函数。

记{}[]x x x -=称为x 的小数部分，{}10≤≤x 。

2.设R ∈y x ，，高斯函数[]x y =有如下性质：（1）[][]1+≤≤x x x .（2）若y x ≤，则[][]y x ≤.（3）[][]x n x n +≤+.（4）[][][]⎩⎨⎧∉--∈-=-)Z (1)Z (x x x x x （5）[][][]y x y x +≤+.（6）[][][]y x y x -≤-或[]1+-y x .（7）[][][][][]y y x x y x +++≥+22.二、例题分析例题1若[]a 表示实数a 的整数部分，求⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-76161的值。

【解】27379176161+=-=-，而372<<，从而327325<+<，从而276161=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-例题2[]x ，[]y ，[]z 分别不大于z y x ，，的最大整数。

若[]5=x ，[]3-=y ，[]1-=z ，求[]z y x --的值。

【解】由已知条件知65<≤x ，23-<≤-y ，01<≤-z ，32≤-<y ，10≤-<z ，107<--<z y x []z y x --的值为7，8，9。

例题3已知n 为正整数，证明：[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x n x 。

【证明】由于[][][]1+⎦⎤⎢⎣⎡≤≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x n x n x ，变形得[][][]⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡1n x n x n x n 对于任意实数x ，有[][]1-<≤x x x 或[]x x x ≤<-1，由于[]⎪⎭⎫⎝⎛n x n 和[]⎪⎭⎫⎝⎛+1n x n 都是整数，且[][]1-<≤x x x ，所以[][]⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡<≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡1n x n x n x n ，故[][][]1+<≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x n x n x ，所以[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎦⎤⎢⎣⎡n x n x 例题4解方程4)12(3534+=⎦⎤⎢⎣⎡+x x .【解】设m x =+4)12(3，则634-=m x ，则原方程化为m m =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-⋅536344，化简得m m =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+1538因为[]10<-≤x x ，所以115380<-+≤m m ，解得73712≤<-m ，由于Z ∈m ，所以0=m 或1-=m ，代入634-=m x 得，21-=x 或67-=x 原方程的解为21-=x 或67-=x三、专题训练1.已知n 为正整数，222131211nS n ++++= ，求[]n S 的值。

高斯函数有关的高考压轴题

高斯函数有关的高考压轴题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN与高斯函数有关的高考压轴题董永春(成都戴氏高考中考肖家河总校数学组, 四川成都，611000)1 高斯函数问题的提出早年，数学王子高斯在闲暇时发现并定义了取整函数，即设x ∈R ，用 [x ]或int (x )表示不超过x 的最大整数，并用"{}x "表示x 的非负纯小数,则[]y x =称为高斯函数，也叫取整函数。

高斯函数[x ]的定义域是R ,值域为Z ,其图象是不连续的水平线段。

在初中、高中数学竞赛中经常出现含有取整函数的问题。

笔者在高三复习时发现欧拉常数问题[1]在高考中频繁出现，同样的，高斯函数已渗透到高考，多以信息出现在压轴题的位置，高斯函数在数论中也有非常重要的作用。

下面从一些考题去体会高斯函数。

2 高斯函数有关的准备我们只提出本文需要的一些性质[]{}x x x =+，[]1x x x -<≤[]1x <+， 1101010n n x x -⎡⎤⎡⎤-⎣⎦⎣⎦表示取x 的各分位小数。

3 高斯函数有关问题的解决例1 （2012四川16）记[]x 为不超过实数x 的最大整数，例如，[2]2=，[1.5]1=，[0.3]1-=-。

设a 为正整数，数列{}n x 满足1x a =，1[][]()2n n n a x x x n N *++=∈，现有下列命题：①当5a =时，数列{}n x 的前3项依次为5,3,2；②对数列{}n x 都存在正整数k ，当n k ≥时总有n k x x =；③当1n ≥时，1n x >；④对某个正整数k ，若1k k x x +≥，则n x =。

其中的真命题有_①__③___④______。

（写出所有真命题的编号）分析：①显然成立，对于②，取3a =，12343,1,3,1,...x x x x ====为摆动数列，②错。

例析与高斯函数有关问题的常考题型

例析与高斯函数有关问题的常考题型与备考建议刘海涛(安徽省芜湖市第一中学㊀２４１０００)摘㊀要:文章介绍了高斯函数的定义及其性质ꎬ例析高斯函数与其他知识的交汇问题的处理策略ꎬ最后给出复习备考的建议.关键词:高斯函数ꎻ高考备考ꎻ核心素养中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)０１－００２７－０５收稿日期:２０２２－１０－０５作者简介:刘海涛(１９８８－)ꎬ男ꎬ安徽省滁州人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.１问题的提出«高考评价体系»指出:高考要从知识立意转向能力立意 ꎬ考查学生的关键能力和核心素养 .这就要求学生在学习中ꎬ学会灵活运用所学知识分析㊁解决问题ꎬ达到从解题向解决问题的转变.笔者在一轮复习的教学中ꎬ发现高斯函数频频出现在一些数学题中ꎬ学生面对此类问题常因方法不当ꎬ或运算过程繁杂ꎬ导致虽做对但耗时太多ꎬ或做错丢分ꎬ成绩不理想ꎬ而若能熟练掌握高斯函数的定义与性质ꎬ将其运用到解题中ꎬ定会事半功倍ꎬ提高解题正确率与效率.如何帮助学生在高考复习备考中ꎬ遇到与高斯函数有关的问题时ꎬ能够准确㊁快速㊁高效地解答呢?笔者通过梳理ꎬ现将该类问题整理成文ꎬ与读者交流ꎬ以期抛砖引玉.２高斯函数的介绍２.１高斯函数的定义设ｘɪＲꎬ用[ｘ]表示不超过ｘ的最大整数ꎬ则称ｙ＝[ｘ]为高斯函数ꎬ也叫取整函数.显然ꎬ其定义域为Ｒꎬ值域为Ｚ.高斯函数的定义域是连续的ꎬ但值域是离散的.我们把一个数的小数部分记作ｘ{}ꎬ则有ｘ＝[ｘ]＋ｘ{}ꎬ显然０ɤｘ{}<１.一般地ꎬ我们称ｙ＝ｘ{}为小数函数.２.２高斯函数的性质(１)若ｘɤｙꎬ则[ｘ]ɤ[ｙ]ꎻ(２)[ｎ＋ｘ]＝ｎ＋[ｘ]ꎬ其中ｎɪＺꎻ(３)ｘ－１<[ｘ]ɤｘ<[ｘ]＋１ꎻ(４)[ｘ]＋[ｙ]ɤ[ｘ＋ｙ]ꎻ(５)若ｘꎬｙȡ０ꎬ则[ｘｙ]ȡ[ｘ][ｙ]ꎻ(６)[－ｘ]＝－[ｘ]－１(ｘ不是整数)ꎬ－[ｘ](ｘ是整数)ꎻ{(７)若ｘ>０ꎬｎɪＮ∗ꎬ则在不超过ｘ的正整数中ꎬｎ的倍数共有[ｘｎ]个.３例析高斯函数与其他知识的交汇问题３.１利用高斯函数解函数问题３.１.１求函数解析式例１㊀某学校要召开学生代表大会ꎬ规定各班每１０人推选一名代表ꎬ当各班人数除以１０的余数大于６时再增选一名代表.那么ꎬ各班可推选代表人数ｙ与该班人数ｘ之间的函数关系用高斯函数ｙ＝[ｘ]可以表示为(㊀㊀).Ａ.ｙ＝[ｘ１０]㊀㊀㊀Ｂ.ｙ＝[ｘ＋３１０]Ｃ.ｙ＝[ｘ＋４１０]Ｄ.ｙ＝[ｘ＋５１０]解析㊀根据规定ꎬ当班级人数除以１０的余数分别为７ꎬ８ꎬ９时可增选一名代表ꎬ因此用取整函数可以表示为ｙ＝[ｘ＋３１０]ꎬ故选Ｂ.评注㊀该题主要考查学生的逻辑推理能力和综合运用数学知识的能力ꎬ另外该题可以用特殊值验证法.３.１.２求函数值例２㊀已知函数ｆ(ｘ)＝ｘ３ｌｎｘꎬ当ｆ(ｘ)的值域为(２ｅ６ꎬ＋¥)时ꎬ[ｌｏｇｘｆ(ｘ)]的值为.解析㊀求导得ｆᶄ(ｘ)＝ｘ２(３ｌｎｘ＋１).当０<ｘ<ｅ－１３时ꎬｆᶄ(ｘ)<０ꎬ当ｘ>ｅ－１３时ꎬｆᶄ(ｘ)>０ꎬ所以函数ｆ(ｘ)在(０ꎬｅ－１３)上单调递减且ｆ(ｘ)<０ꎬ在(ｅ－１３ꎬ＋¥)上单调递增.又因为ｆ(ｅ２)＝２ｅ６ꎬ所以ｘ>ｅ２.由ｌｏｇｘｆ(ｘ)＝ｌｏｇｘ(ｘ３ｌｎｘ)＝６＋２ｌｎ(ｌｎｘ)ｌｎｘꎬ设ｔ＝ｌｎｘꎬｈ(ｔ)＝６＋２ｌｎｔｔ(ｔ>２)ꎬ求导得ｈᶄ(ｔ)＝２(１－ｌｎｔ)ｔ２ꎬ当２<ｔ<ｅ时ｈᶄ(ｔ)>０ꎬ当ｔ>ｅ时ｈᶄ(ｔ)<０ꎬ所以函数ｈ(ｔ)在(２ꎬｅ)上单调递增ꎬ在(ｅꎬ＋¥)上单调递减.则６<ｈ(ｔ)ɤｈ(ｅ)＝６＋２ｅ.即６<ｌｏｇｘｆ(ｘ)ɤ６＋２ｅ.所以[ｌｏｇｘｆ(ｘ)]＝６.评注㊀该题的难度较大ꎬ主要考查利用导数研究函数的单调性与值域ꎬ换元法求复合函数值域等ꎬ体现了逻辑推理㊁直观想象㊁数学运算等数学核心素养.３.１.３求函数的值域(或最值)例３㊀对于给定的ｎɪＮ∗ꎬ定义Ｃｘｎ＝ｎ(ｎ－１) (ｎ－[ｘ]＋１)ｘ(ｘ－１) (ｘ－[ｘ]＋１)(ｘȡ１)ꎬ则当ｘɪ[３２ꎬ３)时ꎬ函数Ｃｘ８的值域是.解析㊀当ｘɪ[３２ꎬ２)时ꎬ[ｘ]＝１ꎬＣｘ８＝８ｘ单调递减ꎬ则Ｃｘ８ɪ(４ꎬ１６３]ꎻ当ｘɪ[２ꎬ３)时ꎬ[ｘ]＝２ꎬ所以Ｃｘ８＝５６ｘ(ｘ－１)单调递减ꎬ则Ｃｘ８ɪ(２８３ꎬ２８].综上ꎬ函数Ｃｘ８的值域为(４ꎬ１６３]ɣ(２８３ꎬ２８].评注㊀该题属于新定义题ꎬ解答的关键在于对定义的理解及变量的分段讨论ꎬ这也体现了高斯函数是一种分段函数的属性ꎬ考查了学生逻辑推理㊁数学运算的核心素养.例４㊀定义在Ｒ上的函数ｆ(ｘ)＝[２ｘ]＋[４ｘ]＋[８ｘ]ꎬ若Ａ＝ｙ｜ｙ＝ｆ(ｘ)ꎬ０ɤｘ<１{}ꎬ则Ａ中元素的最大值和最小值之和为.解析㊀记Ｍｎ＝[ｎ８ꎬｎ＋１８)(ｎɪＮ且ｎɤ７)ꎬ则ɣ７ｎ＝０Ｍｎ＝[０ꎬ１).当ｘɪＭｎ时ꎬｆ(ｘ)＝[２ｘ]＋[４ｘ]＋[８ｘ]＝[ｎ４]＋[ｎ２]＋[ｎ]ꎬＡ中元素的最大值和最小值分别为函数ｆ(ｘ)的最大值和最小值ꎬ易知ｎ＝０时ｆ(ｘ)取最小值０ꎬｎ＝７时ｆ(ｘ)取最大值１１.故最大值和最小值之和为１１.评注㊀集合Ａ为函数ｙ＝ｆ(ｘ)(０ɤｘ<１)的值域ꎬ由此问题转化为求函数的最大值与最小值的和ꎬ求该函数最值的关键在于ꎬ根据高斯函数的定义恰当地分段讨论ꎬ该题很好地考查了分类讨论思想.３.１.４判断函数的性质例５㊀已知函数ｆ(ｘ)＝ｓｉｎ[ｃｏｓｘ]＋ｃｏｓ[ｓｉｎｘ]ꎬ关于ｆ(ｘ)有下列四个结论:①ｆ(ｘ)的一个周期为２πꎻ②ｆ(ｘ)是非奇非偶函数ꎻ③ｆ(ｘ)在(０ꎬπ)上单调递减ꎻ④ｆ(ｘ)的最大值为２.其中所有结论正确的编号是(㊀㊀).Ａ.①②④㊀Ｂ.②④㊀Ｃ.①③㊀Ｄ.①②解析㊀由ｆ(ｘ＋２π)＝ｓｉｎ[ｃｏｓ(ｘ＋２π)]＋ｃｏｓ[ｓｉｎ(ｘ＋２π)]＝ｓｉｎ[ｃｏｓｘ]＋ｃｏｓ[ｓｉｎｘ]＝ｆ(ｘ)ꎬ得ｆ(ｘ)的一个周期为２πꎬ则编号①正确ꎻ由ｆ(－ｘ)＝ｓｉｎ[ｃｏｓ(－ｘ)]＋ｃｏｓ[ｓｉｎ(－ｘ)]＝ｓｉｎ[ｃｏｓｘ]＋ｃｏｓ[－ｓｉｎｘ]ꎬ知ｆ(－ｘ)＋ｆ(ｘ)＝０与ｆ(－ｘ)＝ｆ(ｘ)两式均不恒成立ꎬ则编号②正确ꎻ当ｘɪ(０ꎬπ２)时ꎬ有０<ｃｏｓｘ<１且０<ｓｉｎｘ<１ꎬ所以ｆ(ｘ)＝ｓｉｎ０＋ｃｏｓ０＝１为定值ꎬ则编号③错误ꎻ由ｆ(０)＝ｓｉｎ[ｃｏｓ０]＋ｃｏｓ[ｓｉｎ０]＝ｓｉｎ１＋ｃｏｓ０>ｓｉｎπ４＋１>２ꎬ知编号④错误.评注㊀该题是一道高斯函数与三角函数结合的判断函数性质的问题ꎬ考查了学生的数学运算㊁逻辑推理等数学核心素养.３.１.５函数的零点问题例６㊀已知函数ｆ(ｘ)＝２ｘｘ{}－ｘ－１ꎬ则函数的的所有零点之和为(㊀㊀).Ａ.－１㊀Ｂ.０㊀㊀Ｃ.１㊀㊀Ｄ.２解析㊀由ｆ(０)ʂ０ꎬ知函数ｆ(ｘ)的零点即为方程２ｘ{}＝１＋１ｘ的根ꎬ作出函数ｙ＝２ｘ{}与ｙ＝１＋１ｘ的图象ꎬ两函数图象的交点除点(－１ꎬ０)外ꎬ其余交点均关于点(０ꎬ１)中心对称ꎬ则函数ｆ(ｘ)的所有零点和为－１ꎬ故选Ａ.评注㊀该题是一道与小数函数有关的函数零点问题ꎬ蕴含了函数与方程㊁数形结合等数学思想ꎬ考查的知识点较多ꎬ难度较大ꎬ尤其是对于函数ｙ＝２ｘ{}与ｙ＝１＋１ｘ的图象交点ꎬ除点(－１ꎬ０)外其余点关于点(０ꎬ１)对称这一性质的发现.３.２高斯函数与方程交汇问题例７㊀设ｘɪＲꎬ关于ｘ的方程[３ｘ＋１]＝２ｘ－１２的全部实根之和为.解法１㊀设２ｘ－１２＝ｋ(ｋɪＺ)ꎬ则ｘ＝２ｋ＋１４.有３ｘ＋１＝ｋ＋１＋２ｋ＋３４.所以原方程等价于[２ｋ＋３４]＝－１.即－１ɤ２ｋ＋３４<０.即－７２ɤｋ<－３２.则ｋ＝－３或－２ꎬ相应的ｘ＝－５４或－３４ꎬ于是全部实根之和为－２.解法２㊀由３ｘ<[３ｘ＋１]ɤ３ｘ＋１ꎬ得３ｘ<２ｘ－１２ɤ３ｘ＋１.解得－３２ɤｘ<－１２.则－７２ɤ３ｘ＋１<－１２ꎬ[３ｘ＋１]＝－１ꎬ－２ꎬ－３ꎬ－４.当２ｘ－１２＝－１时ꎬｘ＝－１４(舍)ꎻ当２ｘ－１２＝－２时ꎬｘ＝－３４ꎻ当２ｘ－１２＝－３时ꎬｘ＝－５４ꎻ当２ｘ－１２＝－４时ꎬｘ＝－７４(舍).综上ꎬ方程全部实根和为－２.评注㊀解答该题的关键在于对高斯函数定义和性质的理解ꎬ是一道较简单的方程题ꎬ考查了学生的逻辑推理㊁数学运算核心素养.３.３高斯函数与不等式交汇问题例８㊀已知ｘ>０ꎬ不等式[ｘ]ｘ{}<ｘ－１的解集为.解析㊀由ｘ＝[ｘ]＋ｘ{}ꎬ不等式[ｘ]ｘ{}<ｘ－１变形为([ｘ]－１)(ｘ－[ｘ]－１)<０ꎬ有ｘ<[ｘ]＋１恒成立.所以不等式等价于[ｘ]－１>０.即[ｘ]>１ꎬ即ｘȡ２.所以不等式解集为[２ꎬ＋¥).评注㊀解答该题的关键在于对不等式的合理变形ꎬ及高斯函数性质ｘ<[ｘ]＋１的运用ꎬ考查了逻辑推理㊁数学运算的数学核心素养.３.４高斯函数与数列交汇问题３.４.１数列通项问题例９㊀已知函数ｆ(ｘ)＝[ｘ[ｘ]]ꎬ当ｘɪ[０ꎬｎ)(ｎɪＮ∗)时ꎬ设函数ｆ(ｘ)的值域为Ａꎬ记集合Ａ中的元素个数为ａｎꎬ则式子ａｎ＋９０ｎ的最小值为.解析㊀当ｘɪ[０ꎬ１)时ꎬｆ(ｘ)＝[ｘ[ｘ]]＝０ꎻ当ｘɪ[ｋꎬｋ＋１)(ｋɪＮ∗且ｋɤｎ－１)时ꎬｘ[ｘ]＝ｋｘɪ[ｋ２ꎬｋ２＋ｋ)ꎬ则ｆ(ｘ)＝ｋ２ꎬｋ２＋１ꎬ ꎬｋ２＋ｋ－１ꎬ共有ｋ个取值.所以ａｎ＝１＋１＋２＋＋(ｎ－１)＝１２ｎ(ｎ－１)＋１.则ａｎ＋９０ｎ＝１２(ｎ＋１８２ｎ)－１２.易知当ｎ＝１３或１４时取得最小值为１３.评注㊀解答该题的关键在于抓住高斯函数的定义ꎬ将区间进行分段讨论.３.４.２数列求和问题例１０㊀数列ａｎ{}满足ａ１＝３ꎬａｎ＋１－ａｎ＝２ｎ＋２ꎬ则数列[ａｎ]的前２０２２项和为.解析㊀当ｎȡ２时ꎬａｎ＝(ａｎ－ａｎ－１)＋(ａｎ－１－ａｎ－２)＋＋(ａ２－ａ１)＋ａ１＝２ｎ＋２(ｎ－１)＋＋４＋３＝ｎ２＋ｎ＋１.又ａ１＝３满足ａｎ＝ｎ２＋ｎ＋１ꎬ所以ａｎ＝ｎ２＋ｎ＋１.由ｎ２<ｎ２＋ｎ＋１<(ｎ＋１)２ꎬ得[ａｎ]＝ｎ.则数列[ａｎ]的前２０２２项和为１＋２＋＋２０２２＝２０２３ˑ１０１１.评注㊀累加法求出数列通项后ꎬ根据ｎ２<ａｎ<(ｎ＋１)２ꎬ结合高斯函数定义得到[ａｎ]＝ｎꎬ从而解决问题.３.５高斯函数与平面几何交汇问题例１１㊀已知点集Ｐ＝{(ｘꎬｙ)｜[ｘ]２＋[ｙ]２＝１}ꎬ则点集Ｐ表示的平面区域的面积是.解析㊀[ｘ]２＋[ｙ]２＝１等价于[ｘ]＝０ꎬ[ｙ]＝－１{或[ｘ]＝０ꎬ[ｙ]＝１{或[ｘ]＝－１ꎬ[ｙ]＝０{或[ｘ]＝１ꎬ[ｙ]＝０.{即０ɤｘ<１ꎬ－１ɤｙ<０{或０ɤｘ<１ꎬ１ɤｙ<２{或－１ɤｘ<０ꎬ０ɤｙ<１{或１ɤｘ<２ꎬ０ɤｙ<１.{易知相应的平面区域为四个边长为１的正方形ꎬ故面积和为４.评注㊀根据高斯函数的定义ꎬ逐一表示出平面区域对应的不等式组ꎬ便可发现平面区域为４个正方形.３.６高斯函数与二项式定理交汇问题例１２㊀已知ｃｎ＝[(２＋１)ｎ](ｎɪＮ∗)ꎬ则ｃ２０２２除以４的余数为.解析㊀由题意ꎬ设ａ＝(２＋１)２０２２ꎬｂ＝(２－１)２０２２.显然０<ｂ<１ꎬ则ａ＋ｂ＝２[１＋Ｃ２２０２２(２)２＋Ｃ４２０２２(２)４＋＋Ｃ２０２２２０２２(２)２０２２].显然Ｃ２２０２２(２)２＋Ｃ４２０２２(２)４＋＋Ｃ２０２２２０２２(２)２０２２为偶数ꎬ记作２ｋ(ｋɪＮ∗).则ａ＋ｂ＝２(２ｋ＋１)＝４ｋ＋２.所以ｃ２０２２＝[ａ]＝[４ｋ＋２－ｂ]＝４ｋ＋１＋[１－ｂ]＝４ｋ＋１.故ｃ２０２２除以４的余数为１.评注㊀解答该题的关键在于理解二项式定理展开式的结构和高斯函数的定义ꎬ通过构造对偶式法找出(２＋１)２０２２的整数部分值ꎬ该题属于难题.４有关高考复习备考的两点建议«普通高中数学课程标准(２０１７年版)»指出:在数学高考命题中ꎬ考查内容应围绕数学内容主线ꎬ聚焦学生对重要数学概念㊁性质㊁方法的理解和应用ꎬ强调基础性ꎬ注重数学本质和通性通法.在高考备考教学中ꎬ教师应加强基础知识㊁基本技能和基本数学思想方法的训练ꎬ以达到提高学生数学关键能力和数学核心素养的目的.基于此ꎬ笔者提出以下高考备考建议.４.１夯实基本知识ꎬ以不变应万变通过文中对与高斯函数有关问题的整理发现ꎬ该类问题主要考查高斯函数的概念与基本性质ꎬ考查的形式主要以选择㊁填空为主ꎬ难度也以中等㊁容易题为主.因此ꎬ我们在复习备考的过程中ꎬ要通过对该类试题的研究ꎬ归纳总结出高考考查的典型题型及其解题方法ꎬ构建完整的知识脉络和方法体系ꎬ熟练掌握与高斯函数有关的典型问题的通性通法ꎬ形成解题模型.只有扎实掌握了这些通性通法ꎬ才能在高考中游刃有余地处理该类问题.４.２渗透思想方法ꎬ提高核心素养数学思想是对数学知识的本质认识ꎬ是数学的精髓ꎬ是数学基础知识和数学能力之间的一座桥梁 .通过上文的梳理ꎬ我们发现与高斯函数有关的问题主要考查分类讨论㊁数形结合㊁转化与化归等数学思想方法ꎬ如文中的例４考查了分类讨论的思想ꎬ例６将函数的零点个数转化为两个函数图象的交点个数ꎬ考查了转化与化归㊁数形结合的数学思想.笔者认为复习备考的教学中注重数学思想的渗透ꎬ可以帮助学生优化认知结构ꎬ学会用数学的眼光观察世界ꎬ用数学的思维思考世界ꎬ用数学的语言表达世界.数学学科核心素养的内涵包括数学核心知识㊁核心能力㊁核心品质ꎬ主要由数学抽象㊁逻辑推理㊁数学建模㊁直观想象㊁数学运算㊁数据分析等六个方面组成ꎬ这些数学核心素养既有独立性ꎬ又相互交融ꎬ形成一个有机整体.数学核心素养不是具体的知识和技能ꎬ也不是一般意义上的数学能力ꎬ它基于数学知识技能ꎬ但高于具体的数学知识技能.因此ꎬ笔者认为在高考复习备考中ꎬ我们广大一线教师不仅要重视解题方法的指导ꎬ更要重视对学生核心素养的提高ꎬ 授之以鱼不如授之以渔 ꎬ学生的数学素养提高了ꎬ解题能力和解题效率自然提高ꎬ无论高考题型如何变化ꎬ也定能在高考中以不变应万变 ꎬ顺利取得高考的胜利.参考文献:[１]教育部考试中心.中国高考评价体系[Ｍ].北京:人民教育出版社ꎬ２０１９.[２]刘海涛.例析构造对偶式在解题中的应用[Ｊ].数理化学习(高中版)ꎬ２０２１(０４):１４－１７. [３]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(２０１７年版)[Ｍ].北京:人民教育出版社ꎬ２０１８.㊀[４]刘海涛.设计逻辑连贯的问题链追求自然流畅的数学教学以数系的扩充和复数的概念教学为例[Ｊ].课程教材教学研究(中教研究)ꎬ２０２１(Ｚ２):７９－８３.[５]刘海涛.基于核心素养的问题链课堂教学实践研究以基本不等式第一课时教学为例[Ｊ].中小学教学研究ꎬ２０２１ꎬ２２(０３):２１－２７.[责任编辑:李㊀璟]。

《高斯定理习题》课件

理解问题
仔细阅读题目，理解定义和要求。
计算与推导
进行计算和推导，注意细节和推理过程。
常见错误与解析
错误1
没有正确选择适用的高斯定理公式。
错误3
忽略了边界条件或特殊情况。
错误2
计算中出现代数错误或计算错误。
错误4
对结果的解析和讨论不够清晰和准确。
总结和复习
通过这份PPT课件，我们深入学习了高斯定理的概念、公式、应用，解题思路和常见错误。希望你能够掌握高斯定理，并在实际问题中灵活运用。
2 习题2
根据给定的散度值计算矢量场在某个区域内的通量。
3 习题3
4 习题4
求解给定区域内的散度，并根据高斯定理计算通过曲面的通量。
应用高斯定理证明某个等式成立。
解题思路与步骤
1
选择合适的公式
2
根据问题特点，选择适用的高斯定理
公式。
3
检查与解析
4
检查计算结果的合理性，并解析问题的意义和结果。
《高斯定理习题》PPT课件
让我们一起探索《高斯定理习题》吧！这个PPT课件将帮助你理解高斯定理的概念、公式、应用，提供习题示称为散度定理，是向量分析中的重要定理之一。它描述了一个有界区域内的矢量场通过边界的通量与该区域内的散度之间的关系。
高斯定理的公式
高斯定理的数学表达式是∬_S F • dS = ∭_V div(F) dV，其中S为区域的边界曲面，F为矢量场，div(F) 为F的散度。
高斯定理的应用
高斯定理在物理学和工程学中有广泛应用。它可以用于计算电场、磁场、流体力学和热传导等领域中的通量和散度。
高斯定理习题示例
1 习题1
计算给定矢量场通过某个曲面的通量。

初中数学竞赛高斯函数[x](含答案)

初中数学竞赛高斯函数[x](含答案)1.如果$x$为任意实数，用$[x]$表示不大于$x$的最大整数，例如：$[-7] = 7$，$[-3.1] = -4$，$[3]=3$，则满足等式$[x]-3=0$的$x$的范围是$x\in [3,4)$。

2.若$[x]=5$，$[y]=-3$，$[z]=-1$，$[x-y-z]$可以取值的个数是$4$。

3.设$[x]$表示不超过$x$的最大整数，若$M=[x]$，$N=[x-0.5]$，则$M>N$。

4.给出下面三个命题：1）$[x + 1] = [x] + 1$;2）$[x + y] = [x] + [y]$；3）$[x\cdot y] = [x]\cdot[y]$。

其中正确命题的个数是$2$。

5.$[x]$表示取数$x$的整数部分，若$y=\left\lfloor\frac{x}{\sqrt{x}}\right\rfloor$，其中$x\geq 1$，则表达式中$u$等于$\frac{x+2}{x+1}$。

6.实数$a,b$满足关系式$b=[a]+[a-2]-1$和$b=[a]+1$，则$b$的值一定是整数。

7.设$[x]$表示不超过$x$的最大整数，对任意实数$x$，下面式子正确的是$[x]>-x$。

8.记号$[x]$表示不超过$x$的最大整数，设$n$是自然数，且$I=(n+1)+n-[(n+1)+n+1]$，则$I<0$。

9.设$x\geq 0$，求证：$[[x]]=\XXX。

10.记$[a]$为不大于$a$的最大整数，$\{a\}=a-[a]$，求证：如果$\{x\}+\{y\}=1$，则$[x+y]=[x]+[y]+1$。

高斯定理例题

r
0
S
E
r3 R13
30r2

R1 rR2
R23 R13 30r2
r R2
E0 rR1
9、如图，求空腔内任一点Ｐ的场强。
解：求空腔内任一点场强，
挖去体密度为的小球，相
当于不挖，而在同一位置处，
放一体密度为- 的小球产生
的场强的迭加。
ρ
EEE 12 3E ρε 1 3ρr`10ε r20E 23 ρεr 1 03 ρεr 2 0
1、一点电荷放在球形高斯面的中心处，下列哪一种情况，通过
高斯面的电通量发生变化？（Ａ）、将另一点电荷放在高斯面外；
[B]
（Ｂ）、将另一点电荷放在高斯面内；
（Ｃ）、将球心处的点电荷移动，但还在高斯面内；
（Ｄ）、将高斯面半径缩小
2、点电荷Ｑ被曲面Ｓ所包围，从无穷远处引入另一点电荷
q到曲面外一点，如图所示，则引入前后：（Ａ）、曲面Ｓ的电通量不变，曲面上各点的场强不变；
SE dS E 4r2Q 0 dV (1)
Ｑr r
Q
S
ρdV rA4πr2dr2πA(r2a2)代入（１）
ar
Q AA 2 aA Q A 2 a 1
E 4
0 r 2 20 20 r 2 20 (4
0 20)r 2
③高斯面应取规则形状
球对称：同心球面轴对称：同轴柱面面对称：与平面垂直的圆柱面
3小结高斯定例解题步骤：
（1）分析电场是否具有对称性。（2）取合适的高斯面(封闭面)，
即取在E相等的曲面上。
（3）另E相选等法的线面n 不E 构的成面闭，合使面其时成，为闭合面。
（4）分别求出 E E 1oE S内 d qS i ，从而求得E。

初中数学练习(高斯函数)

初中数学竞赛的高斯函数一、知识概要1）定义：设x R ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数。

则[]y x =称为高斯函数，也叫取整函数。

显然，[]y x =的定义域是R ，值域是Z 。

任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和，即：[]()01x x a a =+≤<，因此，[]x x ≤[]1x <+，这里，[]x 为x 的整数部分，而{}[]x x x =-为x 的小数部分。

注意：-1.8=-2+0.2(小数部分永远>0) 2）性质1，函数[]y x =是一个分段表达的不减的无界函数，即当12x x ≤时，有[][]12x x ≤； 2，[][]n x n x +=+，其中n Z ∈； 3，[][]11x x x x -<≤<+；4，若[][]x y n ==，则,,x n a y n b =+=+其中0,1a b ≤<； 5，对于一切实数,x y 有[][][]x y x y +≤+； 6，若0,0x y ≥≥，则[][][]xy x y ≥；7，[][][]1x x x ⎧--⎪-=⎨-⎪⎩8，若n N +∈，则[]x x n n ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；当1n =时，[][]x x ⎡⎤=⎣⎦； 9，若整数,a b 适合a bq r =+（0,,b q r >是整数，0r b ≤<），则a q b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；10，x 是正实数，n 是正整数，则在不超过x 的正整数中，n 的倍数共有x n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个；11，设p 为任一素数，在!n 中含p 的最高乘方次数记为()!p n ，则有：（x 不是整数时）（x 是整数时）()()12!m m m n n n p n p n p p p p +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++≤<⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦。

证明：由于p 是素数，所有!n 中所含p 的方次数等于!n 的各个因数1,2,,n 所含p 的方次数之总和。

与高斯函数有关的高考压轴题[新版]

与高斯函数有关的高考压轴题高斯函数：设R x ∈用[]x 表示不超过x 的最大整数，并用{}x 表示x 的非负纯小数，则[]x y =称为高斯函数，也叫取整函数．基本知识：（1）[]{}x x x +=；（2）[][]11+<≤<-x x x x ；（3）[][]x x n n 1101010--表示取x 的各分位小数．例1、记[]x 为不超过实数x 的最大整数，例如，[2]2=，[1.5]1=，[0.3]1-=-．设a为正整数，数列{}n x 满足1x a =，1[][]()2n nn ax x x n N *++=∈，现有下列命题：①当5a =时，数列{}n x 的前3项依次为5,3,2；②对数列{}n x 都存在正整数k ，当n k ≥时总有n k x x =；③当1n ≥时，1n x a >-；④对某个正整数k ，若1k k x x +≥，则[]n x a =．其中的真命题有____________．（写出所有真命题的编号）[答案]①③④例2、设x 是实数，定义[]x 为不大于x 的最大整数，如[2.3] = 2，[-2.3] = - 3.已知函数，若方程的解集为M ，方程的解集为N ，则集合中的所有元素之和为(A)-1 (B)O (C)1 (D)2例3、设［x ］表示不超过x 的最大整数（如［2］=2, ［54］=1）,对于给定的n ∈N *,定义[][](1)(1),(1)(1)xn n n n x C x x x x --+=--+ x ∈[)1,+∞,则当x ∈3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭时，函数xn C 的值域是(D )A.16,283⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.16,563⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.284,3⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭[)28,56 D.16284,,2833⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦例4、设[]x 表示不超过x 的最大整数，数列{}{}n n b a ,分别满足[][]x x a n n n 1101010--=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=01.1111k a k a b nn n ，其中n S k N k .10,<∈为数列{}n b 的前n 项和，当7,71==k x 时，则100S =（）（A ）16 （B ）32（C ）33（D ）34例5、定义函数[][],)(x x x f =其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]23.1,15.1-=-=，当[))(,0*N n n x ∈∈时，设函数)(x f 的值域为A ，记集合A 中的元素个数为n a ，则式子na n 90+的最小值为；例6、设R x ∈，记不超过x 的最大整数为[]x ，令{}[]x x x -=，若已知215,215,215+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=c b a ，给出下列结论：①ca b ln ln ln 2+=；②ca b ln ln ln 2⋅=；③ln ln ln =++c b a ；④1ln ln ln =⋅⋅c b a ；⑤1ln ln ln =++c b a ．其中正确的结论是（写出所有正确的结论序号）函数试题求解1、函数223)1()(+-=x x x x f 的值域是；2、函数()331f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()f x ≥0 成立，则a = ；．3、函数112)(22+++-=x x x x f 的值域是；4、函数211)(xx x f +-=的值域是；5、函数11)(2-+=x x x f 的值域是；6、设函数[]4,2,111)(222∈+-++=a xx x axx f ，则)(x f 的最大值为．。

高斯公式与斯托克斯公式——习题汇总

§3 高斯公式与斯托克斯公式1．应用高斯公式计算下列曲面积分：（1）（2）（3）S 222yzdydz+zxdzdx+xydxdy，其中S是单位球面x+y+z=1的外侧； xSS 2dydz+ydzdx+z2dxdy，其中S是立方体0≤x,y,z≤a表面的外侧；2222222xdydz+ydzdx+zdxdy，其中S是锥面x+y=z与平面z=h所围空间区域(0≤z≤h)的表面，方向取外侧；（4）xdydz+ydzdx+zSS333dxdy，其中S是单位球面x2+y2+z2=1的外侧；（5）xdydz+ydzdx+zdxdy，其中S是单位球面z=yzdydz+zxdzdx+xydxdy=∫∫∫0dxdydz=0SV2a2−x2+y2的外侧解：（1）（2）xSVdydz+y2dzdx+z2dxdy aaa=2∫∫∫(x+y+z)dxdydz=2∫dx∫dy∫(x+y+z)dz 000aa2=2∫dx∫[(x+y)a+dy=2∫(a2x+a3)dx=3a4 0002aa（3）xS2dydz+y2dzdx+z2dxdy=∫∫∫(x+y+z)dxdydz，由柱面坐标变换 Vx=rcosθ,y=rsinθ,z=z, 0≤θ≤2π,0≤r≤h,r≤z≤h 2333222（4）xdydz+ydzdx+zdxdy=∫∫∫(x+y+z)dxdydz 00rSV原式=2∫2πdθ∫dr∫(rcosθ+rsinθ+z)rdz=hhπh412π 00053（5）原式=∫∫∫(1+1+1)dxdydz=3∫∫∫dxdydz=2π a =3∫dϕ∫ π 2πdθ∫r4sinϕdr= 1VV2．应用高斯公式计算三重积分∫∫∫(xy+yz+zx)dxdydz，其中V由x≥0,y≥0,0≤z≤1与Vx2+y2≤1所确定的空间区域。

解：原式=1222(xydydzyzdzdxzdxdy ++2S1=[∫∫(1−y2)ydydz+∫∫(1−x2)zdzdx+∫∫xdxdy] 2DyzDzxDxy11111−x21122=[∫dy∫(1−y)ydz+∫dx∫(1−x)zdz+∫xdx∫dy] 00002001111111=[∫(1−y2)ydy+∫(1−x2)dx+∫x−x2dx]= 00022243．应用斯托克斯公式计算下列曲线积分：（1(y+z)dx+(x+z)dy+(x+y)dz，其中L为x+y+z=1与三坐标面的交线，L222222它的走向使所围平面区域上侧在曲线的左侧；（2）(3) LLx2y3dx+dy+zdz，其中L为z2+y2=1, x=y所交的椭圆的正向.(z−y)dx+(x−z)dy+(y−x)dz，其中L为以A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a)为顶点的三角形沿ABCA的方向.解：(1)记L为曲面S:z=1−x−y(x≥0,y≥0,x+y≤1)的边界，由斯托克斯公式知原式=2∫∫(y−z)dydz+(z−x)dzdx+(x−y)dxdy，且S11−y0011(y−z)dz=∫[y(1−y)−(1−y2)]dy 02∫∫(y−z)dydz=∫dy∫S1321y−)dy=0 022同理∫∫(z−x)dzdx=∫∫(x−y)dxdy=0，故原积分=0 =∫(2y−SS(2) 视L为该椭圆的边界，则原式=22220dydz+0dzdx+(0−3xy)dxdy=3x∫∫∫∫ydxdySS22由于曲面S:x=y(y+z≤1)上任一点(x,y,z)处的法向量n=(cosα,cosβ,cosγ)中的cosγ=0，从而由定义知∫∫x2y2dxdy=0，因此，原式=0. S(3) (z−y)dx+(x−z)dy+(y−x)dz=∫∫(1+1)dydz+(1+1)dzdx+(1+1)dxdy LS111=2∫∫dydz+dzdx+dxdy=2(a2+a2+a2)=3a2 222S4．求下列全微分的原函数:(1) yzdx+xzdy+xydz;(2) (x−2yz)dx+(y−2xz)dy+(z−2xy)dz2222解：(1) 因d(xyz)=yzdx+xzdy+xydz,故原函数为:u(x,y,z)=xyz+c1333231333数为u(x,y,z)=(x+y+z)−2xyz+C(1) (2)(2) 由于d[(x+y+z)−2xyz]=(x−2yz)dx+(y−2xz)dy+(z−2xy)dz，故原函225．验证下列线积分与路线无关,并计算其值：∫∫(2,3,−4)(1,1,1)xdx+y2dy−z3dz; xdx+ydy+zdzx2+y2+z22(x2,y2,z2)(x1,y1,z1)，其中(x1,y1,z1),(x2,y2,z2)在球面x+y+z=a上.2222解：(1) 因在R内有d(x+从而原积分=1221314y−z)=xdx+y2dy−z3dz，所给曲线积分与路线无关，34 71222∫21xdx+∫y2dy−∫z3dz=−531122223−4(2) 在球面内有d(x+y+z)=xdx+ydy+zdzx+y+zydy+∫，所给曲线积分与路线无关，且原式=∫x22xdxx+y+z22x12121+∫y22z22zdzx2+y+z22y1x2+y+z22221z1222=x2+y1+z1x2x1+x2+y2+z1y2y1+x2+y2+z2z2z1=06．证明：由曲面S所包围的立体V的体积ΔV为ΔV= 1(xcosα+ycosβ+zcosγ)dS，3S其中cosα,cosβ,cosγ为曲面S的外法线方向余弦证：因为(xcosα+ycosβ+zcosγ)dS=xdydz+ydzdx+zdxdySSV=∫∫∫(故原公式成立.∂∂∂+y+z)dxdydz=3∫∫∫dxdydz=3V ∂x∂y∂zV7．证明：若S为封闭曲面,l为任何固定方向，则线方向.cos(n,l)dS=0，其中n为曲面S的外法S///证：设n和l的方向余弦分别是cosα,cosβ,cosγ和cosα,cosβ,cosγ，则cos(n,.l)=cosαcosα/+cosβcosβ/+cosγcosγ/由一.二型曲面积分之间的关系可得cos(n,l)dS=SS///(cosαcosα+cosβcosβ+cosγcosγ)dS S///=wcosαdydz+cosβdzdx+cosγdxdy. ∫∫由l的方向固定，P=cosα,Q=cosβ,R=cosγ都是常数，故高公式得原式=///∂P∂Q∂R++=0，由奥∂x∂y∂zw∫∫Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=∫∫∫(SV∂P∂Q∂R++)dxdydz=0 ∂x∂y∂z8．证明公式：dxdydz1cos(r,n)dS，其中s是包围V的曲面，n是S的外法线方=w∫∫∫∫∫2rVS向, r= r=(x,y,z)证：因为cos(r,n)=cos(r,x)cos(n,x)+cos(r,y)cos(n,y)+cos(r,z)cos(n,z)，而cos(r,x)=xyz,cos(r,y)=,cos(r,z)=，则由第一、二型曲面积分的关系及奥高公式可得rrr1cos(r,n)ds=[xcos(n,x)+ycos(n,y)+zcos(n,z)]ds rSS=∂x∂y∂z1xyz2dydz+dzdx+dxdy=[()+)+()]dxdydz= ∫∫∫∫∫∫rrr∂xr∂yrzrr∂S外VV故公式成立.9．若L是平面xcosα+ycosβ+zcosγ−p=0上的闭曲线，它所包围区域的面积为S，求 dxdycosβydzcosγ zLcosαx其中L依正向进行.解：因P=cosβ−ycosγ,Q=xcosγ−zcosα,R=ycosα−xcosβ，故由斯托克斯公式及第一、二型曲面积分之间的关系得 dydzdzdxdxdy∂∂∂原式=∫∫=2∫∫cosαdydz+cosβdzdx+cosγdxdy ∂x∂y∂zSDPQR=2∫∫(cos2α+cos2β+cos2γ)dS=2SD。

高等数学典型例题与解法(二)04-第89讲【高斯公式及其应用技巧】随堂练习题解答_126

zz
yz
z x2 y2 与两球面 x2 y2 z2 1, x2 y2 z2 4 所围成立体的表面外侧，f 有连
续导数.
【解】记 P x3, Q 1 f ( y ) y3, R 1 f ( y ) z3 ，则
zz
yz
P x

Q y
R z
I
2(1 x2 )dydz 8xy d z d x 4xz d x d y
1
1
2(1 x2 )dydz 2(e2a 1) dydz 2 a2 (e2a 1) .
1
Dyz
3、计算

[(
x
2
zn
yn y2 z2
曲面，若取 1 为 z 0, x2 y2 a2 的下侧，则的上侧与 1 的下侧组成封闭曲面，它围
成的空间区域为，由高斯公式有
I 1
(zn yn)d y d z (xn zn)d z d x (yn xn)d xd y
a2
1
所围成立体的表面外侧f则由gauss公式有于是ds89 讲高斯公式及其应用技巧练习题解答
1 、计算 I x3dydz [1 f ( y ) y3]d z d x [ 1 f ( y ) z3]d x d y , 其中是曲面
3x2
1 z
f ( y ) (1) 3y2 zz

1 y
f ( y ) ( z
y z2
)

3z
2
3(x2

y2
z2)
由Gauss公式有
I 3

高斯数学试题

25、（1）平面上7个点，任意三点不共线，那么可以连出个三角形；（2）两条平行线上各有4个点，从这些点中任取3个点作为顶点，可以连出个三角形。

26、8块相同的奥运纪念徽章分给小高、小丽、小明、小萱四人，每人至少分一块，有种不同的分法。

28、各位数字之和为4的四位数有个，其中能被11整除的有个。

29、箱子里有7个红球、8个白球和9个篮球，从中取出个球，才能保证每种颜色的球都至少有一个。

30、由1、4、7、10、13组成甲组数，由2、5、8、11、14组成乙组数，由3、6、9、12、15组成丙组数。

现在从三组数中各取一个数相加，共可以得到个不同的和。

31、欣欣超市举办促销活动，允许用5个空瓶换一瓶啤酒。

胡大伯就去年花钱先后买了89瓶啤酒，期间还不断用啤酒瓶换啤酒，胡大伯家去年共能喝到瓶啤酒。

33、从1、2、3、……、2010中最多可以取出个数，使取出的数中任意两个数的差都不是4。

34、全家十人准备外出旅游，旅行社有以下优惠活动：若购买1张全票，其他人可享受9折优惠；若购买3张全票，其他人可享受8折优惠；若购买5张全票，其他人可享受7折优惠；若购买7张全票，其他人可享受6折优惠；若购买9张全票，其他人可享受5折优惠；35、一套玩具售价是120元，打八折出售，仍能获利60%，则每套玩具的进价是元。

36、一个分数，分子与分母的和是23，如果分子、分母都减去4，得到的分数约分后是41，那么原来的分数是。

37、两张纸条，原来长度比为3：2，都撕去15厘米后，长度比变为7：3。

现在短纸条的长度是厘米。

38、有浓度为20%的糖水80克，另有浓度为48%的糖水60克，将它们混合之后的浓度是39、小雅买了一本漫画书，第一天看了这本书的61，第二天看了余下的51，第三天看了余下的41。

这时剩下的比第一天看的多36页，那么这本漫画书一共有页。

40、六位数□□2010是63的倍数，该六位数的最后两位是。

41、42、萱萱早上6点多起床时，发现手表的时针和分针正好成60 ，洗漱完毕后，她惊奇地发现，时间仍为6点多，手表的时针和分针仍成60度。

高中数学文化情景题专题10 高斯(以高斯为背景的高中数学考题题组训练)解析版

【高中数学数学文化鉴赏与学习】专题10 高斯（以高斯为背景的高中数学考题题组训练）一、单选题1．对于一切实数x ，令[]x 为不大于x 的最大整数，则函数()[]f x x =称为高斯函数或取整函数.若3n n a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，*N n ∈，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则3n S =（）A ．23122n n - B ．23122n n +C ．232n n -D ．29322n n -【答案】A 【解析】【分析】根据高斯函数的性质以及数列求和公式进行计算. 【详解】解：由题意，当3n k =，31n k =+，32(N )n k k +=+∈时，均有33n n n a f k ⎛⎫⎡⎤=== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故可知：31(1)00111222333(1)(1)(1)3(1)2n n S n n n n n n +-=++++++++++++-+-+-+=⨯⨯-+23122n n =-. 故选：A2．x R ∀∈，[]x 表示不超过x 的最大整数，十八世纪，函数[]y x =被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”，则[][]4.8 3.5--=（） A ．0 B ．1C ．7D ．8【答案】D 【解析】【分析】根据函数的新定义求解即可. 【详解】由题意可知[][]4.8 3.5--=4－(－4)＝8. 故选：D.3．若复数z 的实部和虚部均为整数，则称复数z 为高斯整数，关于高斯整数，有下列命题：①整数都是高斯整数；①两个高斯整数的乘积也是高斯整数； ①模为3的非纯虚数可能是高斯整数；①只存在有限个非零高斯整数z ，使1z也是高斯整数其中正确的命题有（） A ．①①① B ．①①① C ．①① D ．①①①【答案】A 【解析】【分析】根据题意，逐项判断正误即可. 【详解】解：①令i(a,b Z)z a b =+∈，当0b =时，z a =，即z 为整数，根据题意，z 是高斯整数，故①正确；①令1i(a,b Z)z a b =+∈，2i(c,d Z)z c d =+∈，则()12i z z ac bd ad bc ⋅=-++，则ac bd -为整数，ad bc +为整数，故12z z ⋅为高斯整数，故①正确；①令i(a 0,b 0)z a b =+≠≠，且3z =，故229a b +=，所以,a b 至少有一个数为非整数，故z 不是高斯整数，①错误；①令1i(a,b Z)z a b =+∈，且0z ≠，则22222211i i i a b a bz a b a b a b a b -===-++++，若1z为高斯整数，故2222,a ba b a b ++为整数，即存在有限个，例如i z =，故①正确. 故选：A.4．设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[ 2.1]3-=-，[3.1]3=，已知函数2221()13x f x x =-+，则函数[()]y f x =的值域是（） A ．{}0,1 B ．{}1,1-C ．{}1,0-D ．{}1,0,1-【答案】D【解析】【分析】结合[]x 表示不超过x 的最大整数，利用函数的值域求法求解. 【详解】解：()2222221221152()131331x x f x x x x +-=-=-=-+++，因为x ∈R ，所以211t x =+≥，21011x <≤+，则()15[)33f x ∈-，当1[,0)3x ∈-时，[()]1y f x ==-；当[0,1)x ∈时，[()]0y f x ==；当5[1,)3x ∈时，[()]1y f x ==；所以函数[()]y f x =的值域是{}1,0,1-，故答案为：D5．高斯被认为是世界上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”的美誉．高斯在幼年时首先使用了倒序相加法，人们因此受到启发，利用此方法推导出等差数列前n 项和公式．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，43S =，()*4125,-=≥∈n S n n N ，17n S =，则n 的值为（） A ．8 B ．11 C ．13 D ．17【答案】D 【解析】【分析】根据等差数列下标的性质，结合已知条件即可求解. 【详解】根据题意，43S =，()*4125,-=≥∈n S n n N ，4175n n n S S S -=⇒-=，则12343a a a a +++=，1235n n n n a a a a ---+++=，两式相加得12132438n n n n a a a a a a a a ---+++++++=，即()11482n n a a a a +=⇒+=，所以()117172n n n a a S n +==⇒=，故选：D ．6．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有数学王子的美誉，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其姓名命名的“高斯函数”为[]y x =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，例如][3.54,2.12⎡⎤-=-=⎣⎦，已知函数()11x x e f x e -=+，令函数()()g x f x =⎡⎤⎣⎦，则 ()g x 的值域为（）A ．()1,1-B ．{}1,1-C ．{}1,0-D ．{}1,0,1- 【答案】C 【解析】【分析】先进行分离，然后结合指数函数与反比例函数性质求出()f x 的值域，结合已知定义即可求解．【详解】解：因为11x e +>，所以2021xe <<+，所以12()1(1,1)11x x xe f x e e -==-∈-++，则()[()]g x f x =的值域{}0,1-．故选：C ．7．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[0.5]1,[1.5]1-=-=．已知函数21()1(03)2f x x x x =-+<<，则函数[()]y f x =的值域为（）A ．15,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．{1,2,3}C ．{0,1,2,3}D ．{0,1,2}【答案】D【解析】【分析】先求出()f x 在（0,3）上的值域，再根据高斯函数的定义，求解()y f x ⎡⎤=⎣⎦ 的值域. 【详解】因为22111()1(1),(0,3)222f x x x x x =-+=-+∈，所以函数在(0,1)上单调递减，在(1,3)上单调递增，所以min 1()(1)2f x f ==，又5(1)1,(3)2f f ==，所以15(),22f x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，因为[()]y f x =，所以{0,1,2}y ∈；故选：D.8．设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数．例如：[][]3, 5.1π=-6=-．已知函数()221xf x x =+，则函数()]y f x ⎡=⎣的值域为（） A ．{0，1-} B ．{ 1-，1} C ．{0，1} D ．{ 1-，0，1}【答案】D 【解析】【分析】按000x x x =><，，三类讨论，分别求函数()y f x =的取值范围，从而求函数的值域，再求函数()y f x ⎡=⎣]的值域即可．【详解】①当0x =时，()00f =，①当0x >时，()222111x f x x x x==≤++（当且仅当1x =时，等号成立），故()01f x <≤①当0x <时，()222111x f x x x x==≥-++（当且仅当1x =-时，等号成立），故()10f x -≤<，故函数()y f x =的值域为[1-，1]，故函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为{ 1-，0，1}，故选：D ．9．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也称取整函数，例如：[ 3.7]4,[2.3]2-=-=.已知()[ln ]f x x x =，当()0f x =时，x 的取值集合为A ，则下列选项为x A ∈的充分不必要条件的是（）A ．(0,1)x ∈B ．x ∈C ．(1,2)x ∈D ．()2,e x ∈【答案】B 【解析】【分析】令()ln g x x x =，根据高斯函数知()0f x =时，0()1g x ≤<，利用导数分析不等式的解集，即可得解. 【详解】令()ln ,0g x x x x =>，由题意()0f x =时，0()1g x ≤<，()ln 1g x x '=+，1e x ∴<时，()0g x '<，1e x >时，()0g x '>，所以()g x 在1(0,)e上单调递减，在1(,)e +∞上单调递增，显然1(0,)ex ∈时，()0g x <，又(1)0g =，所以0()1g x ≤<的解为0[1,)x x ∈，其中0()1g x =，因为(2)2ln 2ln 41g ==>，1g =<，(e)eln e e 1g ==>，所以 0[1,)x ，故选：B10．正态分布()2,x N μσ~是由德国数学家高斯率先将其应用于天文学研究，这项工作对后世的影响极大，故正态分布又叫高斯分布，已知高斯分布函数()()222ex f x μσ-=在x (0)P x >=（）附：()()0.6827220.9545P x P x μσμσμσμσ-≤≤+=-≤≤+=， A ．0.6827 B ．0.84135C ．0.97725D ．0.9545【答案】B 【解析】由题设有μ=σ=(0)P x >. 【详解】由题意知：μ=σ= 所以1()(0)()0.841352P x P x P x μσμσμσ+-≤≤+>=>-==.故选：B11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]0.51-=-，[]1.51=，已知函数()()2134142f x x x x =-+<<，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为（） A ．13,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．{}1,0,1-C ．1,0,1,2D ．{}0,1,2【答案】B 【解析】【分析】根据二次函数的性质，化成顶点式，在已知定义域的情况下，根据顶点式，得到()f x 的值域，进而根据高斯函数的定义，即可求解. 【详解】因为()()22111343222f x x x x =-+=--，()1,4x ∈，所以函数在()1,3上单调递减，在()3,4上单调递增，所以()()min 132f x f ==-，又()312f =，()40f =，所以()13,22f x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，因为()y f x ⎡⎤=⎣⎦，所以{}1,0,1y ∈-；故选：B12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”．设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数．例如：[0.5]0=，[1.4]1=，已知函数()[]f x x x =-，则下列选项中，正确的是（）A ．()f x 区间[0，2]上的值域为[0，1)B ．()f x 区间[0，2]上的值域为[0，1]C ．()f x 区间[0，2]上的值域为(0，1]D ．()f x 区间[0，2]上的值域为(0,1)【解析】【分析】根据高斯函数的定义，可得函数()[]f x x x =-的图象，即可的解. 【详解】由高斯函数的定义可得：当01x <时，[]0x =，则[]x x x -=，当12x <时，[]1x =，则[]1x x x -=-，当23x <时，[]2x =，则[]2x x x -=-，当34x <时，[]3x =，则[]3x x x -=-，易见该函数具有周期性，绘制函数图象如图所示，由图象可知，()f x 在[0，2]的值域也为[0，1). 故选：A13．德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响.他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行123100++++的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知某数列通项21002101n n a n -=-，则12100...a a a +++=（）A ．98B ．99C ．100D ．101【答案】C 【解析】【分析】观察要求解的式子，根据给的数列的通项公式，计算101n n a a -+是否为定值，然后利用倒序相加的方法求解即可. 【详解】由已知，数列通项21002101n n a n -=-，所以10121002(101)100210010224202221012(101)101210110122101n n n n n n n a a n n n n n -------+=+=+==------，所以91110029398012n n a a a a a a a a -+=+=+==+，所以12100...502100a a a +++=⨯=. 故选：C.14．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.为了纪念数学家高斯，人们把函数[]y x =，x ∈R 称为高斯函数，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[]2.13-=-，[]3.13=.那么函数()[][]2sin cos sin cos f x x x x x =⋅++的值域内元素的个数为（） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】C 【解析】【分析】化简函数解析式，判断函数值域，进而得解. 【详解】由()[][][]2sin cos sin cos sin 24f x x x x x x x π⎤⎛⎫=⋅++=++ ⎪⎥⎝⎭⎦，所以函数()f x 的周期2T π=，故只需求[)0,2x π∈的值域. 当0x =时，函数()011f x =+=，当0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，函数sin 2y x =与函数4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭均单调递增，所以(){}1,2f x ∈，当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数sin 2y x =与函数4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递减，所以(){}1,2f x ∈，当324x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，时，函数sin 2y x =与函数4y x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭单调递减，所以(){}0,1f x ∈，当34x π=时，函数()101f x =-+=-，当3,4x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数sin 2y x =单调递增，函数4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递减，所以(){}1,0f x ∈-，当x π=时， ()()011f x =+-=-，当5,4x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数sin 2y x =单调递增，函数4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递减，所以(){}1,0f x ∈-，当54=x π时，()()110f x =+-=，当53,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数sin 2y x =单调递减，函数4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递增，所以(){}1,0f x ∈-，当32x π=时，()()011f x =+-=-，当37,24x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数sin 2y x =单调递减，函数4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递增，所以(){}1,0f x =-，当74x π=时，()()101f x =-+=-，当7,24x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，函数sin 2y x =单调递增，函数4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递增，所以(){}1,0,1f x ∈-，综上所述(){}1,0,1,2f x ∈-，故选：C.15．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．用他的名字定义的函数称为高斯函数()[]f x x =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数．已知数列{}n a 满足12a =，25a =，2145n n n a a a +++=，若[]21log n n b a +=，n S 为数列11000 n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则[]2022S =（） A ．249 B ．499 C ．749 D ．999【答案】A 【解析】【分析】利用已知关系式构造两个新数列，求出141nn a +=+，利用放缩技巧，可得到数列{}n b的通项公式，再利用裂项相消法求数列11000n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭ 前n 项和后，带入函数解析式即可得到答案. 【详解】由2145n n n a a a +++=，得()2114n n n n a a a a +++-=-，又213a a -=，所以数列{}1n n a a +-是以3为首项，4为公比的等比数列，则1134n n n a a -+-=⋅①；由2145n n n a a a +++=得，21144n n n n a a a a +++-=-，又2143a a -=-，所以数列{}14n n a a +-是常数列，则121443n n a a a a +-=-=-①，由①①联立可得141nn a +=+；因为44124n n n <+<⨯，所以222log 4log 41)log (24)n n n<+<⨯（即：22log (41)21nn n <+<+ 所以[]()212log log 412n n n b a n +⎡+⎤⎣⎦===，故110001000112502211n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅++⎝⎭（），所以202211111125012501223202220232023S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎥⎣⎝⎤⎢⎭⎦，则[]2022249S =．故选：A 二、多选题16．高斯是德国著名数学家，享有“数学王子”的称号，以他名字命名的“高斯函数”是数学界非常重要的函数．“高斯函数”为()[]f x x =，其中,[]x R x ∈表示不超过x 的最大整数，例如[2.1]2=，则函数()24e 1e 13x xg x ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦的值可能为（） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】ABC 【解析】【分析】根据题意，可知41()13e e xx g x ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥+⎣⎦，利用基本不等式，结合高斯函数的定义，求出函数()g x g （x ）的值域，分析选项可得答案．【详解】24e 141()1e 133e e xx x x g x ⎡⎤⎢⎥⎡⎤=-=-⎢⎥⎢⎥+⎣⎦+⎢⎥⎣⎦，因为1e 2e x x +≥（当且仅当1e e x x =，即0x =时，等号成立），所以14151333e ex x -<-≤+，故()g x 的值域为{1,0,1}-．故选：ABC.17．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，[]y x =也被称为“高斯函数”，例如：[][]1.61, 2.13=-=-，设函数()[]1f x x x =+-，则下列关于函数()f x 叙述正确的是（） A ．()f x 为奇函数 B ．()1f x =⎡⎤⎣⎦C ．()f x 在()01，上单调递增D ．()f x 有最大值无最小值【答案】BC 【解析】【分析】根据[]x 的定义，将函数()f x 写成分段函数的形式，再画出函数的图象，根据函数图象判断函数的性质. 【详解】由题意：[]2,211,10=0,011,12x x x x x ⎧⎪--≤<-⎪⎪--≤<-⎨≤<⎪⎪≤<⎪⎩，所以()f x 3,212,10=1,01,12x x x x x x x x ⎧⎪+-≤<-⎪⎪+-≤<-⎨+≤<⎪⎪≤<⎪⎩ 所以()f x 的图象如下图，由图象分析： (0)1f =，所以A 不正确；()1f x =⎡⎤⎣⎦，所以B 正确；()f x 在()01，上单调递增，所以C 正确；()f x 有最小值无最大值，所以D 不正确.故选：BC.18．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如[ 2.1]3-=-，[2.1]2=.则下列说法正确的是（） A ．函数[]y x x =-在区间[,1)k k +（Z k ∈）上单调递增 B ．若函数sin e ()e x xxf x -=-，则[()]y f x =的值域为{0}C．若函数()|f x =，则[()]y f x =的值域为{0,1} D ．R x ∈，[]1x x ≥+ 【答案】AC 【解析】【分析】求出函数式确定单调性判断A ；举特例说明判断B ，D ；变形函数式，分析计算判断C 作答. 【详解】对于A ，[,1)x k k ∈+，Z k ∈，有[]x k =，则函数[]y x x x k =-=-在[,1)k k +上单调递增，A 正确；对于B ，333322223sin 312()(1,0)2eeeef ππππππ--==-∈---，则3[()]12f π=-，B 不正确；对于C，()f x ==当10|cos 2|2x ≤≤时，122|cos 2|2x ≤-≤，1()f x ≤≤[()]1f x =，当1|cos 2|12x <≤时，022|cos 2|1x ≤-<，0()1f x ≤<，有[()]0f x =，[()]y f x =的值域为{0,1}，C 正确；对于D ，当2x =时，[]13x +=，有2[2]1<+，D 不正确. 故选：AC19．对x R ∀∈，[]x 表示不超过x 的最大整数．十八世纪，[]y x =被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是（）A ．x R ∀∈，[]1x x <+B ．[]y x =，x ∈R 的奇函数C ．函数[]()y x x x R =-∈的值域为[)0,1D ．[][][],,x y R x y x y ∀∈+≤+恒成立【答案】ACD 【解析】【分析】由取整函数的定义得到[][]1x x x ≤<+，然后逐项判断. 【详解】设{}x 是x 的小数部分，则由取整函数的定义知：[]{}x x x =+，当x 为整数时，{}0x =，则[]=x x ，当x 不为整数时，{}01x <<，则[]x x <，且[]1x x <+成立，即[][]1x x x ≤<+，A ，由取整函数的定义知： [][]1x x x ≤<+，所以x R ∀∈，[]1x x <+成立，故选A 正确；B ，当01x <时，[]0y x ==，当10x -<<时，[]1y x ==-，故[]y x =，x ∈R 不是奇函数，故B 错误；C ，由取整函数的定义知： [][]1x x x ≤<+，所以[]1x x x -<≤，[]01x x ∴≤-<，∴函数[]()y x x x R =-∈的值域为[)01，，故C 正确；D ，由取整函数的定义知： [],,x y R x x ∀∈≤，[]y y ≤，所以[][][][][]⎡⎤+=+≤+⎣⎦x y x y x y ，故D 正确．故选：ACD ．20．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数．例如：[ 3.2]4,[2.3]2-=-=．已知函数()||[]f x x x =-，则下列结论正确的是（） A ．()f x 的定义域为R B ．()f x 的值域为[]0,1 C ．()f x 是偶函数 D ．()f x 的单调递增区间为(,1)()k k k +∈N【答案】AD 【解析】【分析】首先得到函数的定义域，再利用特殊值判断C 、B ，求出(,1)()k k k +∈N 上的函数解析式，即可判断D ；【详解】解：因为()||[]f x x x =-，所以()f x 的定义域为R ，故A 正确；当01x ≤<时[)()||[]00,1f x x x x x =-=-=∈；当12x ≤<时[)()||[]10,1f x x x x =-=-∈；当23x ≤<时[)()||[]20,1f x x x x =-=-∈，当1k x k ≤<+，k ∈N 时[)()||[]0,1f x x x x k =-=-∈，当10x -≤<时()(]()||[]111,2f x x x x x =-=---=-+∈，当()1t x t -+≤<-，t ∈N 时()(]()||[]1121,22f x x x x t x t t t =-=----=-++∈++，所以函数()f x 的值域不是[]0,1，且函数在(,1)()k k k +∈N 上单调递增，故B 错误、D 正确；(0.7)0.7[0.7] 1.7f -=---=，(0.7)0.7[0.7]0.7f =-=，(0.7)(0.7)f f ∴-≠，()f x ∴不是偶函数，故C 错误；故选：AD 三、填空题21．设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数.则[]y x =称为高斯函数.例如：[]1.82-=-，[]0.90=，已知函数()[]f x x x =-，则()f x 的值域为___________.【答案】[)0,1 【解析】【分析】对x 进行分类讨论，结合高斯函数的知识求得()f x 的值域. 【详解】当x 为整数时，()[]0f x x x =-=，当x 不是整数，且0x <时，()[]()0,1f x x x =-∈，当x 不是整数，且0x >时，()[]()0,1f x x x =-∈，所以()f x 的值域为[)0,1. 故答案为：[)0,122．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家．用其名字命名的“高斯函数”为：[]()y x x =∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数，如[ 1.6]2-=-，[1.6]1=，[2]=2，则关于x 的不等式2[][]120x x +-<的解集为__________. 【答案】[3,3)- 【解析】【分析】解一元二次不等式，结合新定义即可得到结果. 【详解】①2[][]120x x +-<， ①4[]3x -<<， ①33x -≤<，故答案为：[3,3)-23．高斯被誉为历史上最伟大的数学家之一，与阿基米德、牛顿、欧拉同享盛名，高斯函数()[]f x x =也被应用于生活、生产的各个领域．高斯函数也叫取整函数，其符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如：[2.39]2,[0.17]1=-=-．若函2()cos ()3k f k k π⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦Z ，则()f k 的值域为_________．【答案】{1,1}- 【解析】【分析】先求出2cos ()3k k π∈Z 的值，再根据高斯函数的定义即可求出答案. 【详解】当11222,33k k k πππ=+∈Z 或22242,33k k k πππ=+∈Z 时， 21cos,()132k f k π=-=-；当33222,3k k k πππ=+∈Z 时，2cos 1,()13k f k π==；故()f k 的值域为{1,1}-．故答案为：{1,1}-.24．高斯被誉为历史上最伟大的数学家之一，与阿基米德、牛顿、欧拉同享盛名，高斯函数[]()f x x =也应用于生活、生产的各个领域.高斯函数也叫取整函数，其符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如：[3.14]3=，[ 1.6]2-=-，定义函数：[]()sin 2x f x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()f x 值域的子集的个数为：________．【答案】8 【解析】依题意求出函数()f x 的值域，再根据含有n 个元素的集合含有2n 个子集；【详解】解：依题意，[]x 表示向下取整，即[]x 取值均为整数，所以[]()sin 2x f x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，可以看做()sin 2g x x π⎛⎫=⎪⎝⎭在x 取整数时的函数，由于()sin 2g x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭的最小正周期242T ππ==；在[)0,4π内，有[]sin 00,012sin11,122()sin 2sin 20,232sin 31,342x x x f x x x πππππ⎧⎛⎫⨯=≤< ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⨯=≤<⎪ ⎪⎛⎫⎪⎝⎭== ⎪⎨⎛⎫⎝⎭⎪⨯=≤< ⎪⎪⎝⎭⎪⎛⎫⎪⨯=-≤< ⎪⎪⎝⎭⎩ 所以函数的值域为{}0,1,1-，故()f x 值域的子集的个数为328=个故答案为：8 【点睛】本题考查集合的子集，含有n 个元素的集合含有2n 个子集；25．高斯函数[]y x =也称为取整函数，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]3.43=．已知数列{}n a 满足11a =，21n n naa a +=+，设数列1n n a a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n S ，则[]2022S =______．【答案】2021 【解析】【分析】首先利用裂项得到111,11n n n a a a +=-+再化简11111111n n n n na a a a a +=-=+-++，利用裂项相消求和，再利用高斯函数的定义，即可求解. 【详解】因为21n n n a a a +=+，所以2111111111,11111n n n n n n n n n na a a a a a a a a a ++==-=-=+-++++，所以2022213220232022120232023111111111202220222021S a a a a a a a a a ⎛⎫=+-+-+⋅⋅⋅+-=-+=+ ⎪⎝⎭．因为11a =，所以21n n n n a a a a +=+>，所以20231a >，所以20231202120212022a <<+，故[]20222021S =．故答案为：202126．函数[]y x =称为高斯函数，[]x 表示不超过，x 的最大整数，如[0.9]0=，[ln99]1=.已知数列{}n a 满足33a =，且n n 1n ()a n a a +=-，若[]ln n n b a =，则数列{}n b 的2022项和为___________. 【答案】4959 【解析】【分析】根据递推关系求出数列的通项公式，再分类讨论求出n b ，即可求和. 【详解】n n 1n ()a n a a +=-，33a =13113n n a a a n n +∴===+， n a n ∴=当19n ≤≤时，0lg 1n a ≤<时，[]lg 0n n b a ==；当1099n ≤≤时，1lg 2n a ≤<时，1n b =；当100999n ≤≤时，2lg 3n a <≤时，2n b =；当10002022n ≤≤时，3lg 4n a ≤<时，3n b =；所以[][][]2022122022lg lg lg 9019002102334959.T a a a =+++=⨯+⨯+⨯=故答案为：495927．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”．设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数．例如：[ 3.5]4-=-，[2.1]2=，已知函数31()132x x f x =-+，则函数[()]y f x =的值域是 __．【答案】{1-，0}##{}01-，【解析】【分析】根据已有的函数解析式，先求解出()f x 的值域，然后根据题目的定义要求，计算出[()]y f x = 的值域即可.【详解】解：30x >，131x ∴+>，则10113x<<+，可得31111()(1322132x x x f x =-=-∈-++，1)2，当1()(2f x ∈-，0)时，[()]1f x =-，当()[0f x ∈，1)2时，[()]0f x =，∴函数[()]y f x =的值域是{1-，0}．故答案为：{1-，0}．28．高斯函数[]x ，也称为取整函数，即[]x 表示不超过x 的最大整数.例如：[]2.32=，[]1.52=－－.则下列结论：①[][]2.112+－＝－；①[][]0x x +－＝；①若[]13x +＝，则x 的取值范围是23x ≤≤；①当11x ≤－＜时，[][]11x x +++－的值为1或2.其中正确的结论有________.(写出所有正确结论的序号)【答案】①① 【解析】【分析】根据取整函数的定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】①[][]2.11312+=+=－－－，正确；①[][]0x x +=－，错误，例如：[]2.52=，[]2.53=－－，()230+≠－； ①若[]13x +=，则x 的取值范围是23x ≤＜，故错误； ①当11x ≤－＜时，012x ≤+＜，012x +≤＜－， ①[]10x +=或1，[]10x +=－或1或2，当[]10x +=时，[]11x +=－或2；当[]11x +=时，[]11x +=－或0；所以[][]11x x +++－的值为1或2，故正确. 故答案为：①①29．德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》，在其年幼时，对123100++++的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数()xf x {}n a 满足*121(0)()()()(1)()n n a f f f f f n N n n n-=+++++∈，若存在*n N ∈使不等式242270n n n ka +-+≤成立，则k 的取值范围是______.【答案】49,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】根据题意先求()(1)f x f x +-，然后利用倒序相加法求n a ，则由242270n n n ka +-+≤可得22427(1)2(1)2424(1)2111n n n n k n n n n ++++++≥==++++++，求出24(1)21n n ++++的最小值即可求得k 的取值范围【详解】因为()x f x =，所以1()(1)1x x x x f x f x -+-==，由*121(0)()()()(1)()n n a f f f f f n N n n n-=+++++∈， 121(1)()()()(0)n n n a f f f f f n nn --=+++++，所以21n a n =+，所以12n n a +=，所以由242270n n n ka +-+≤，得21422702n n n k ++-⋅+≤， 24(1)270n n k n +-++≤，2427(1)n n k n ++≤+，所以22427(1)2(1)2424(1)2111n n n n k n n n n ++++++≥==++++++，令24()(1)1g x x x =+++，（*x ∈N ）则当01x <<，()g x 递减，当1x >时，()g x 递增，因为244924(4)5,(3)410554g g =+==+=，所以min 49()(4)5g x g ==，所以4959255k ≥+=，即k 的取值范围是49,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，故答案为：49,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭30．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如[ 2.1]3,[2.1]2-=-=．已知函数()sin |||sin |f x x x =+，函数()[()]g x f x =，则下列命题正确的是__________． ①函数()g x 是周期函数； ①函数()g x 的值域是{0,1,2}； ①函数()g x 的图象关于2x π=对称； ①方程()2g x x π⋅=只有一个实数根；【答案】①①【解析】【分析】先研究函数()f x 的奇偶性，作出函数()f x 的图象，作出函数()g x 的图象判断①①的正确性，由特值判断①的正确性，再分类讨论判断方程()2g x x π⋅=的根的个数得解.【详解】由题得函数()sin sin f x x x =+的定义域为R , ()sin sin()sin |||sin |()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以函数()f x 为偶函数，当0x π≤≤时，()sin sin 2sin f x x x x =+=；当2x ππ<<时，()sin sin 0f x x x =-=；当23x ππ≤≤时，()sin sin 2sin f x x x x =+=；所以函数()f x 的图象如图所示，所以函数()g x 的图象如图所示，由函数()g x 的图象得到()g x 不是周期函数，故选项①不正确；所以函数()g x 的值域是{}0,1,2，故选项①正确；由[()]144g f ππ⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭，55[()][0]044g f ππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭所以函数()g x 的图象不关于2x π=对称，故选项①不正确；对于方程()2g x x π⋅=，当()0g x =时，0x =，方程有一个实数根；当()1g x =时，2x π=，此时()212g π=≠，此时方程没有实数根；当()2g x =时，x π=，此时()02g π=≠，此时方程没有实数根；故方程()2g x x π⋅=只有一个实数根，故选项D 正确.故答案为：①①.。

活跃在高考试卷中的高斯函数

活跃在高考试卷中的高斯函数近年来，为创设新颖的问题情境，考查学生知识迁移能力，体现“以能力立意”，很多命题者把目光投向了高斯函数，并且由简单的直接利用定义到复杂的运用性质，难度越来越大.本文研究高斯函数的一些常用的性质，及其在高考试题中的简单运用.一、定义：设x R ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也叫取整函数.显然，任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和，即[]()01x x r r =+≤<. 二、常用性质：1、[]y x =的定义域是R ，值域是Z ，图像如图.2、对任意x R ∈，[][]11x x x x -<≤<+.证明：设[]()01x x r r =+≤<，于是[]01r x x ≤=-<, 所以[][]11x x x x -<≤<+. 3、若,n Z x R ∈∈，则[][]n x n x +=+.证明：设[]()1101x n x n r r +=++≤<，则[]1x x n n r =+-+, [][]1[][]x x n n r x n n =+-+=+-. 所以[][]n x n x +=+.4、若x R ∈，则[][][]1,,x x Z x x x Z ⎧--∉⎪-=⎨-∈⎪⎩证明：设[]()01x x r r =+≤<，则[]x x r -=--，[][]x x r ⎡⎤-=--⎣⎦ 若0r =，则[][][]x x x ⎡⎤-=-=-⎣⎦；若01r <<，则011r <-<，所以[][]1(1)x x r ⎡⎤-=--+-⎣⎦[][]11x x ⎡⎤=--=--⎣⎦.综上可得[][][]1,,x x Zx x x Z ⎧--∉⎪-=⎨-∈⎪⎩5、对任意,x y R ∈，[][][]x y x y +≥+.证明：设[]1x x r =+，[]2y y r =+，120,1r r ≤<，则[][]12x y x y r r +=+++，1202r r ≤+<. 若1201r r ≤+<，则[][][]x y x y +=+；若1212r r ≤+<，则12011r r ≤+-<, [][]121(1)x y x y r r +=++++-，所以[][][]1x y x y +=++. 综上可得[][][]x y x y +≥+. 6、对任意,x y R ∈，[][][]x y x y -≤-.证明：由性质5知，[][][][]x y y x y y x -+≤-+=，所以[][][]x y x y -≤-. 7、对任意,x y R ∈，若x y ≤，则[][]x y ≤.证明：（反证法）若[][]x y >，则[][]0x y ->，所以整数[][]1x y -≥，即[][]1x y ≥+. 于是由性质2，[][]1x x y y ≥≥+>，这与已知x y ≤矛盾，故[][]x y ≤. 8、对任意0,0x y ≥≥，[][][]xy x y ≥.证明：设0,0x y ≥≥且[]1x x r =+，[]2y y r =+, 120,1r r ≤<，则[][][][]2112xy x y x r y r rr =+++. 因为0,0x y >>，120,1rr ≤<，所以[][]21120x r y r rr ++≥，于是[][]xy x y ≥. 由性质7可知[][][][][]xy x y x y ⎡⎤≥=⎣⎦.特别地，对任意0,x n N +>∈都有[][]nx n x ≥.9、若1,0x y ≥≥，则[][]y y x x ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦.证明：设1,0x y ≥≥，由性质8知[][]y y y x x x x ⎡⎤⎡⎤=⋅≥⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 又因为[]1x ≥，所以[][]y y x x ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦ 10、若,0n N x +∈≥，则[]x x n n ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.证明：由性质2知[][]1x x x ≤<+. 又n N +∈，所以[][](1)n x nx n x ≤<+. 再由性质8知[][]n x nx ≤，由性质2知[]nx nx ≤，于是[][][](1)n x nx nx n x ≤≤<+,[][][]1nx x x n≤<+，所以[][]nx x n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，x 用x n 代换，即得[]x x n n ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.三、应用举例例1、2013年湖北文科8）x 为实数，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数()[]f x x x =-在R 上为A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．周期函数分析：由[]()01x x r r =+≤<知，[]()[0,1)f x r x x ==-∈，图像如图，可见，函数()[]f x x x =-是周期函数，选 D ．注：由图像可知，函数()[]f x x x =-是有界的、非奇非偶的、以1为周期的非单调函数，在每个区间[,1)n n +,（n Z ∈）上都是单调增函数.例2、（2013年陕西理科10）设[]x 表示不大于x 的最大整数，则对任意实数,x y ，有（）A.[][]x x -=-B.[][]22x x =C.[][][]x y x y +≤+D.[][][]x y x y -≤- 分析：由性质4、8、5知A. B. C.均不对，由性质6知D 是正确的.注：本题若根据[]x 的定义，取特殊值也可以淘汰掉A. B. C ．例3、（201２年四川理科16）记[]x 为不超过实数x 的最大整数. 例如，[2]2=，[1.5]1=，[0.3]1-=-.设a 为正整数，数列{}n x 满足1x a =，1[][]()2n nn ax x x n N *++=∈，现有下列命题：①当5a =时，数列{}n x 的前3项依次为5,3,2；②对数列{}n x 都存在正整数k ，当n k ≥时总有n k x x =； ③当1n ≥时，1n x ；④对某个正整数k ，若1k k x x +≥，则k x =．其中的真命题有____________．（写出所有真命题的编号）分析：对于①，5a =时，根据1[][]()2n nn ax x x n N *++=∈ 知15x =，251[]32x +==，3533[]22x +==.所以①为真.对于②，注意到3a =时，13x =,22x =,31x =,42x =,51x =,62x =,71x =，，此时数列{}n x 除第一项外，从第二项起以后的各项以2为周期重复出现，因此不存在正整数k ，当n k ≥时总有n k x x =.所以②为假.对于③，由条件知n x 是正整数，所以由性质3知[][]n n n n a ax x x x +=+.所以[][]22n n nna a x x x x ++=，[][][][]22n n nnaa x x x x ++=. 由性质10知[][][]22n n nna a x x x x ++=.又因为2n na x x +≥ 由性质8知[]2n n a x x +≥,从而1[][]12n nn a x x x ++=≥>（性质2），所以③为真. 对于④，因为n x 是整数，由性质3知1[][]()2n n n n n a x x x x x ++-=+-[][()]2n n n a x x x +=+-[][]2nn a x x -= [][]2n n ax x -=. 于是若1k k x x +≥，则0k ka x x -≥ ，又因为0k x >，所以2k x a ≤，k x ≤.又由③知k x ≥，所以k x ≤7知[]k x ⎡⎤=≤≤⎣⎦，从而[]k k x x ==.所以④为真. 综上可知，正确的编号为①③④注：本题难度较大，需要多次利用几个性质才能做出判断，特别是③④.例4、（2010年陕西理科10）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6．时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x =（[]x 表示不大于x 的最大整数）可以表示为 ( )A. 10x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B. 310x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦C. 410x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ D. 510x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦分析：设)90(10≤≤+=ααm x . 当，时⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≤≤10103103,60x m m x αα 1101103103,96+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≤<x m m x αα时当，所以选B 注：本题也可以采用排除法：若56x =则5y =,排除C 、D ，若57x =则6y =，排除A ，所以选B例5、（2009年湖北文科9）设x R ∈,记不超过x 的最大整数为[]x ,令{}[]x x x =-，则12⎫⎪⎬⎪⎪⎩⎭，⎣⎦（） A. 是等差数列但不是等比数列 B. 是等比数列但不是等差数列 C. 既是等差数列又是等比数列 D. 既不是等差数列也不是等比数列分析：因为12<<，所以1=⎣⎦.又{}[]x x x =-故=-⎪⎪⎩⎭⎣⎦11122=-=. 而12，1，12成等比数列但不成等差数列，所以选B. 注：作为文科题，本题较简单，直接利用定义即可.例6、（2008年湖南理科10）设［x ］表示不超过x 的最大整数（如［2］=2, ［54］=1）,对于给定的n ∈N *,定义[][](1)(1)(1)(1)xn n n n x C x x x x --+=--+，x ∈[)1,+∞,则当x ∈3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭时，函数8x C 的值域是( )A.16,283⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.16,563⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.284,3⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭[)28,56 D.16284,,2833⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦分析：当3[,2)2x ∈时，[]1x =.8816(4,]3xC x =∈. 当[2,3)x ∈时，[]2x =，828756(1)x C x x x x⨯==-- 此时2211()[2,6)24x x x -=--∈，所以828(,28]3x C ∈. 于是81628(4,](,28]33x C ∈⋃，选D. 注：本题是对常见组合数计算公式的延拓，又结合取整函数，设计巧妙，构思新颖.由于x 未必是正整数，而根据定义在3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭内［x ］的值有两个，因此需要加以讨论, 再结合xn C 的定义研究8x C 的值域.。

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