自主招生数学专题一

自主招生数学篇

专题一：函数

一、知识补充

1.函数的极限的定义

（1) 0

lim ()0x x f x A ε→=⇔∀>，0δ∃>，使得0000(,)(,)x x x x x δδ∀∈-+ ，总有|()|f x A ε-<。

（2) 0

lim ()0x x f x A ε+→=⇔∀>，0δ∃>，使得00(,)x x x δ∀∈+，总有|()|f x A ε-<。 （3) 0

lim ()0x x f x A ε-→=⇔∀>，0δ∃>，使得00(,)x x x δ∀∈-，总有|()|f x A ε-<。 （4) lim ()0x f x A ε→∞

=⇔∀>，0M ∃>，使得(,)(,)x M M ∀∈-∞-+∞ ，总有|()|f x A ε-<。

（5) lim ()0x f x A ε→+∞

=⇔∀>，0M ∃>，使得(,)x M ∀∈+∞，总有|()|f x A ε-<。 （6) lim ()0x f x A ε→-∞

=⇔∀>，0M ∃>，使得(,)x M ∀∈-∞-，总有|()|f x A ε-<。 2.有关函数极限的重要定理

（1) 000

lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x A f x f x A +-→→→=⇔==。 （2) （四则运算）若函数()f x 与()g x 在0x 处都存在极限，则函数()()f x g x ±，

()()f x g x ∙，[]()()0()

f x

g x g x ≠也存在极限，且 ①[]0

00lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±。 ②[]000

lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→∙=∙。 ③000

lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x f x g x g x →→→⎡⎤=⎢⎥⎣⎦。 （3) （两边夹定理）若0000(,)(,)x x x x x δδ∀∈-+ ，有()()()f x g x h x ≤≤

，且00lim ()lim ()x x x x f x h x A →→==，则0

lim ()x x g x A →=。 3.连续函数的定义

（1) ()f x 在0x 处连续0

0lim ()()x x f x f x →⇔=。

（2) ()f x 在0x 处右连续0

0lim ()()x x f x f x +→⇔=。 （3) ()f x 在0x 处左连续0

0lim ()()x x f x f x -→⇔=。 显然有：()f x 在0x 处连续()f x ⇔在0x 处既右连续又左连续，或 000

00lim ()()lim ()lim ()()x x x x x x f x f x f x f x f x +-→→→=⇔==。 （4) 若函数()f x 在区间I 的每一个点都连续（若区间I 左（右）端点属于I ，函数()f x 在

左（右）端点右连续（左连续）），则称函数()f x 在区间I 连续。

二、真题

1.（06复旦）已知函数()f x 的定义域为（0,1），则在102c <<时函数()()()g x f x c f x c =++-的定义域为____________。

2.（05上海交大）若2281

ax x b y x ++=+的最大值为9，最小值为1，求满足条件的实数a ，b 。 3.（07北大）已知22()53196|53196|f x x x x x =-++-+，求(

1)(2)(50)f f f +++…。

4.（08上海交大）若21()21

x x f x -=+，1()()g x f x -=，则3()5g =______。 5.（05复旦）已知定义在R 上的函数4()42x

x f x =+，121()()()n n S f f f n n n -=+++…，2,3,n =…。（1）求n S ；（2）是否存在常数0M >，2n ∀≥，有234

11111n M S S S S +++++≤…？ 6.（09浙大）已知12

a ≥，22()f x a x ax c =-++，求证：对于任意[]0,1x ∈，使()1f x ≤成立的充要条件是34

c ≤。 7.（08清华）已知0

lim ()(0)1x f x f →==，2(2)()f x f x x -=，求()f x 。 8.（00上海交大保送）设()f x

1，则

10(2)f x dx =⎰______。 9.设x R ∈

，则函数()f x =_______。