空间几何体的结构及其三视图和直观图教学讲义

空间几何体的结构及其三视图和直观图ZHI SHI SHU LI知识梳理)1．空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征①棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等且平行的多边形．②棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．③棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形．(2)旋转体的结构特征①圆柱可以由矩形绕其任一边旋转得到．②圆锥可以由直角三角形绕其任一直角边旋转得到．③圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到．④球可以由半圆面或圆面绕直径旋转得到．2．空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用正投影得到的，这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括正(主)视图、侧(左)视图、俯视图. 3．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.ZHONG YAO JIE LUN重要结论)1．三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线，主视图反映了物体的长度和高度；俯视图反映了物体的长度和宽度；左视图反映了物体的宽度和高度；由此得到：主俯长对正，主左高平齐，俯左宽相等．2．一个平面图形在斜二测画法下的直观图与原图形相比，有“三变、三不变”．三变：坐标轴的夹角改变，与y轴平行线段的长度改变(减半)，图形改变．三不变：平行性不变，与x轴平行的线段长度不变，相对位置不变．SHUANG JI ZI CE双基自测)1．以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是(A)A．球的三视图总是三个全等的圆B．正方体的三视图总是三个全等的正方形C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆[解析]几何体的三视图要考虑视角，只有球无论选择怎样的视角，其三视图总是三个全等的圆．故选A．2．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是(D)A．①②B．①③C．①④D．②④[解析]正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，圆锥和正四棱锥的，正视图和侧视图相同，所以，正确答案为D．故选D．3．如图所示是水平放置三角形的直观图，D是△ABC的BC边中点，AB，BC分别与y′轴、x′轴平行，则原三角形中三条线段AB，AD，AC中(B)A．最长的是AB，最短的是ACB．最长的是AC，最短的是ABC．最长的是AB，最短的是ADD．最长的是AC，最短的是AD[解析]由条件知，原平面图形中AB⊥BC，从而AB<AD<AC，选B项．4．(2019·江西南昌模拟)如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P－BCD的正视图与侧视图的面积之比为(A)A．1︰1B．2︰1C．2︰3D．3︰2[解析]根据题意，三棱锥P－BCD的正视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高；侧视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高．故三棱锥P－BCD的正视图与侧视图的面积之比为1︰1.5．某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是(D)[解析]D选项的正视图应为如图所示的图形．故选D．6．(2019·贵州模拟)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是(D)[解析]选项A的正视图、俯视图不符合要求，选项B的正视图不符合要求，选项C的俯视图不符合要求，通过观察，选项D满足要求，故选D．考点1空间几何体的结构特征——自主练透例1(1)给出下列四个命题：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；④若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．其中所有错误命题．．．．的序号是(D)A．②③④B．①②③C．①②④D．①②③④(2)下列结论：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；⑤用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是球．其中正确结论的序号是⑤.[解析](1)认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故①③错误，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故②错误，平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行，故④错误，故选D．(2)①中这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥，①错；②中这条腰若不是垂直于两底的腰，则得到的不是圆台，②错；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，③错误；④中如果用不平行于圆锥底面的平面截圆锥，则得到的不是圆锥和圆台，④错；只有球满足任意截面都是圆面，⑤正确．名师点拨☞解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．(2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．考点2空间几何体的三视图——多维探究角度1由几何体的直观图识别三视图例2(2018·课标Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(A)[解析]两个木构件咬合成长方体时，小长方体(榫头)完全嵌入带卯眼的木构件，易知俯视图．可以为A．故选A．角度2由空间几何体的三视图还原直观图例3(2018·北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为(C)A．1B．2C．3D．4[解析]由该四棱锥的三视图，得其直观图如图，由正视图和侧视图都是等腰直角三角形，知PD⊥平面ABCD，所以侧面P AD和PDC都是直角三角形，由俯视图为直角梯形，易知DC⊥平面P AD．又AB∥DC，所以AB⊥平面P AD，所以AB⊥P A，所以侧面P AB也是直角三角形.易知PC＝22，BC＝5，PB＝3，从而△PBC不是直角三角形，故选C．角度3由三视图的两个视图推测另一视图例4已知一三棱锥的俯视图与左视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，左视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的主视图可能为(C)[解析]由已知条件得直观图如图所示．主视图是直角三角形，中间的线是看不见的线P A形成的投影，应为虚线．故选C．名师点拨☞1．由几何体的直观图求三视图．注意主视图、左视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，看不到的部分用虚线表示．2．由几何体的三视图还原几何体的形状，要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．3．由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，再找其剩下部分三视图的可能形式，当然作为选择题，也可将选项逐项检验，看看给出的部分三视图是否符合．〔变式训练1〕(1)(角度1)(文)(2019·河北衡水中学月考)将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为(D)(角度1)(理)(2019·东北四市联考)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是线段CD的中点，则三棱锥P－A1B1A的侧视图为(D)(2)(角度2)(2018·温州模拟)若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是(A)(3)(角度3)一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是(C)[解析] (1)(文)易知侧视图的投影面为矩形，又AF 的投影线为虚线，即为左下角到右上角的对角线，所以该几何体的侧视图为选项D 中图．(理)画出原正方体的侧视图，显然对于三棱锥P －A 1B 1A ，B (C )点均消失了，其余各点均在，从而其侧视图为D ．(2)利用排除法求解．B 的侧视图不对．C 图的俯视图不对，D 的正视图不对，排除B ，C ，D ，A 正确，故选A ．(3)若俯视图为选项C ，侧视图的宽应为俯视图中三角形的高32，所以俯视图不可能是选项C ．考点3 空间几何体的直观图——师生共研例5 已知正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为( D ) A ．34a 2B ．38a 2C ．68a 2D ．616a 2 [解析] 如图①、②所示的实际图形和直观图．由②可知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a ，在图②中作C ′D ′⊥A ′B ′于D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a . ∴S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×a ×68a ＝616a 2.[引申]本例改为“已知△ABC 的平面直观图△A 1B 1C 1是边长为a 的正三角形，求原△ABC 的面积”，该如何作答？ [解析]在△A 1D 1C 1中，由正弦定理a sin45°＝x sin120°，得x ＝62a ， ∴S △ABC ＝12×a ×6a ＝62a 2.名师点拨 ☞1．在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段的位置，注意“三变”与“三不变”；平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系是S 直观图＝24S 原图形．2．在原图形中与x 轴或y 轴平行的线段，在直观图中与x ′轴或y ′轴平行，原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出． 〔变式训练2〕(1)如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，O ′C ′＝2 cm ，则原图形是( C )A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．一般的平行四边形(2)用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB 平行于y 轴，BC 、AD 平行于x 轴．已知四边形ABCD 的面积为2 2 cm 2，则原平面图形的面积为8_cm 2.[解析] (1)将直观图还原得▱OABC ，则O ′D ′＝2O ′C ′＝22(cm)，OD ＝2O ′D ′＝42(cm)，C′D′＝O′C′＝2(cm)，∴CD＝2(cm)，OC＝CD2＋OD2＝22＋(42)2＝6(cm)，OA＝O′A′＝6(cm)＝OC，故原图形为菱形．(2)依题意可知∠BAD＝45°，则原平面图形为直角梯形，上下底面的长与BC、AD相等，高为梯形ABCD的高的22倍，所以原平面图形的面积为8 cm2.。