高中数学第一章坐标系1.1直角坐标系平面上的伸缩变换学案新人教B版选修4_4

1.1直角坐标系，平面上的伸缩变换[对应学生用书P1][读教材·填要点]1．直角坐标系 (1)直线上点的坐标在直线上取定一点O ，取定一个方向，再取一个长度单位，就构成了直线上的坐标系，简称数轴．建立数轴后直线上的点与全体实数之间就建立了一一对应关系．(2)平面直角坐标系在平面上取两条互相垂直并选定了方向的直线，一条称为x 轴，一条称为y 轴，交点O 称为原点．取定长度单位，则构成了平面上的一个直角坐标系．在平面上建立了直角坐标系后，平面上的点就与全体有顺序的实数对之间建立了一一对应关系．(3)空间直角坐标系过空间中一个定点O ，作三边互相垂直且有相同长度单位的数轴，就构成了空间直角坐标系．建立空间直角坐标系后，在空间中的点和有序数组(x ，y ，z )之间就建立了一一对应关系．2．平面上的伸缩变换设点P (x ，y )是平面上的任意一点，在变换⎩⎪⎨⎪⎧X ＝ax ，Y ＝by (a >0，b >0)的作用下，变为平面上的新点Q (X ，Y )，这种变换就是平面上的伸缩变换．[小问题·大思维]1．用坐标法解决几何问题时，坐标系的建立是否是唯一的？提示：对于同一个问题，可建立不同的坐标系解决，但应使图形上的特殊点尽可能多地落在坐标轴，以便使计算更简单、方便．2．伸缩变换中的系数a ，b 有什么特点？在伸缩变换下，平面直角坐标系是否发生变化？ 提示：伸缩变换中的系数a >0，b >0.在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，只是对点的坐标进行伸缩变换．[对应学生用书P1][例1] 已知点H (－3,0)，点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 0当点P 在y轴上移动时，求点M 的轨迹C .[思路点拨] 设出动点M (x ，y )0x ，y 的关系式可求得．[精解详析] 设M (x ，y )，P (0，y ′)，Q (x ′，0)(x ′>0)，0，∴(x ，y －y ′)＝－32(x ′－x ，－y )，且(3，y ′)·(x ，y －y ′)＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝－12，①3x ＋yy ′－y ′2＝0.② 将①代入②式得y 2＝4x (x >0)．即动点M 的轨迹C 是以O (0,0)为顶点，以(1,0)为焦点的抛物线(除去原点)．求轨迹方程，其实质就是根据题设条件，把几何关系通过“坐标”转化成代数关系，得到对应的方程．(1)求轨迹方程的一般步骤是：建系→设点→列式→化简→检验．(2)求轨迹方程时注意不要把范围扩大或缩小，也就是要检验轨迹的纯粹性和完备性． (3)由于观察的角度不同，探求关系的方法也不同，解题时要善于从多角度思考问题．1.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1,1)，P 是动点，且三角形POA 的三边所在直线的斜率满足k OP ＋k OA ＝k PA .求点P 的轨迹C 的方程．解：设点P (x ，y )为所求轨迹上的任意一点， 则由k OP ＋k OA ＝k PA 得，y x ＋1－1＝y －1x ＋1， 整理得轨迹C 的方程为y ＝x 2(x ≠0且x ≠－1).[例2] 已知△ABC 中，AB ＝AC ，BD ，CE 分别为两腰上的高．求证：BD ＝CE .[思路点拨] 本题考查坐标法在几何中的应用．解答本题可通过建立平面直角坐标系，将几何证明问题转化为代数运算问题．[精解详析] 如图，以BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系．设B (－a,0)，C (a,0)，A (0，h )， 则直线AC 的方程为y ＝－h ax ＋h ， 即hx ＋ay －ah ＝0.直线AB 的方程为y ＝h ax ＋h ， 即hx －ay ＋ah ＝0.由点到直线的距离公式得|BD |＝|2ah |a 2＋h 2，|CE |＝|2ah |a 2＋h 2，∴|BD |＝|CE |，即BD ＝CE .(1)建立适当的直角坐标系，将平面(立体)几何问题转化为解析几何问题，即“形”转化为“数”，再回到“形”中，此为坐标法的基本思想．(2)建立坐标系时，要充分利用图形的几何特征．例如，中心对称图形，可利用它的对称中心为坐标原点；轴对称图形，可利用它的对称轴为坐标轴；题设中有三条两两垂直的直线，可考虑以三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系等．2．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是A 1B 1，BD 的中点．求E ，F 两点间的距离．解：如图，以D 为空间坐标原点，建立空间直角坐标系，则A 1(1,0,1)，B 1(1,1,1)，B (1,1,0)，∴E (1，12，1)，F (12，12，0)．∴|EF |＝1－122＋12－122＋1－02＝52， 即E ，F 两点间的距离为52.[例3] 在同一坐标系下经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧X ＝3x ，Y ＝2y 后，圆x 2＋y 2＝1变成了什么曲线？[思路点拨] 将伸缩变换中的x ，y 分别用X ，Y 表示，代入已知的曲线方程，即可得到所求曲线的方程，再由方程判断曲线的类型．[精解详析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧X ＝3x ，Y ＝2y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13X ，y ＝12Y ，代入圆的方程x 2＋y 2＝1，有⎝ ⎛⎭⎪⎫13X 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12Y 2＝1， ∴X 29＋Y 24＝1. ∴经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧X ＝3x ，Y ＝2y 后，圆x 2＋y 2＝1变成了椭圆X 29＋Y 24＝1.利用坐标伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧X ＝ax a ，Y ＝byb，求变换后的曲线方程，其实质是从中求出⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1a X ，y ＝1b Y ，然后将其代入已知的曲线方程求得关于X ，Y 的曲线方程．3．在同一直角坐标系中，将直线2x －y ＝3变成直线2X －6Y ＝9，求满足图形变换的伸缩变换．解：设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧X ＝λx λ，Y ＝μy μ，将其代入2X －6Y ＝9，得2λx －6μy ＝9， 与2x －y ＝3进行比较，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝12.故伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧X ＝3x ，Y ＝12y .[对应学生用书P3]一、选择题1．在同一坐标系中，将曲线y ＝3sin 2x 变为曲线Y ＝sin X 的伸缩变换是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2X y ＝13Y B.⎩⎪⎨⎪⎧X ＝2x Y ＝13yC.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2X y ＝3Y D.⎩⎪⎨⎪⎧X ＝2x Y ＝3y解析：选B 设⎩⎪⎨⎪⎧X ＝λx λ，Y ＝μy μ，将其代入Y ＝sin X ，得μy ＝sin λx ，即y ＝1μsin λx .比较y ＝3sin 2x 与y ＝1μsin λx ，可得1μ＝3，λ＝2，∴μ＝13，λ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧X ＝2x ，Y ＝13y .2．已知平面上两定点A ，B ，且A (－1,0)，B (1,0)，动点P 与两定点连线的斜率之积为－1，则动点P 的轨迹是( )A ．直线B ．圆的一部分C ．椭圆的一部分D ．双曲线的一部分 解析：选B 设点P 的坐标为(x ，y )， 因为k PA ·k PB ＝－1， 所以y x ＋1·yx －1＝－1， 整理得x 2＋y 2＝1(x ≠±1)．故动点P 的轨迹是圆除去点(1,0)，(－1,0)的部分． 3．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( ) A ．椭圆 B ．比原来大的圆 C ．比原来小的圆 D ．双曲线 解析：选D 由伸缩变换的意义可得．4．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)．如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所围成的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π解析：选B 设P 点的坐标为(x ，y )，∵|PA |＝2|PB |， ∴(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]． 即(x －2)2＋y 2＝4.故P 点的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，它的面积为4π. 二、填空题5．△ABC 中，B (－2,0)，C (2,0)，△ABC 的周长为10，则点A 的轨迹方程为__________________．解析：∵△ABC 的周长为10，∴|AB |＋|AC |＋|BC |＝10，其中|BC |＝4， 则有|AB |＋|AC |＝6>4，∴点A 的轨迹为椭圆除去与B ，C 共线的两点，且2a ＝6,2c ＝4， ∴a ＝3，c ＝2，b 2＝5，∴点A 的轨迹方程为x 29＋y 25＝1(y ≠0)．答案：x 29＋y 25＝1(y ≠0)6．将对数曲线y ＝log 3x 的横坐标伸长到原来的2倍得到的曲线方程为________． 解析：设P (x ，y )为对数曲线y ＝log 3x 上任意一点，变换后的对应点为P ′(X ，Y )．由题意知伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧X ＝2x ，Y ＝y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12X ，y ＝Y .代入y ＝log 3x 得Y ＝log 312X ，即y ＝log 3x 2.答案：y ＝log 3x27．把圆x 2＋y 2＝16沿x 轴方向均匀压缩为椭圆X 2＋Y 216＝1，则坐标变换公式是________．解析：设φ：⎩⎪⎨⎪⎧X ＝axa ＞，Y ＝byb ＞，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝Xa ，y ＝Yb .代入x 2＋y 2＝16得X 216a 2＋Y 216b2＝1.∴16a 2＝1,16b 2＝16.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝14，b ＝1.故⎩⎪⎨⎪⎧ X ＝x 4，Y ＝y .答案：⎩⎪⎨⎪⎧X ＝x 4，Y ＝y8．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为⎩⎪⎨⎪⎧X ＝12x ，Y ＝3y ，则在这一坐标变换下余弦曲线y＝cos x 的方程变为________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧X ＝12x ，Y ＝3y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2X ，y ＝13Y .代入y ＝cos x 得Y ＝3cos 2X . 答案：Y ＝3cos 2X 三、解答题9．在同一平面直角坐标系中，将曲线x 2－36y 2－8x ＋12＝0变成曲线X 2－Y 2－4X ＋3＝0，求满足条件的伸缩变换．解：x 2－36y 2－8x ＋12＝0 可化为⎝⎛⎭⎪⎫x －422－9y 2＝1.①X 2－Y 2－4X ＋3＝0可化为(X －2)2－Y 2＝1.②比较①②，可得⎩⎪⎨⎪⎧X －2＝x －42，Y ＝3y ，即⎩⎪⎨⎪⎧X ＝x 2，Y ＝3y .所以将曲线x 2－36y 2－8x ＋12＝0上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标变为原来的3倍，就可得到曲线X 2－Y 2－4X ＋3＝0的图象．10．如图，动点M 与两定点A (－1，0)，B (1,0)构成△MAB ，且直线MA ，MB 的斜率之积为4.设动点M 的轨迹为C .求轨迹C 的方程．解：设M 的坐标为(x ，y )，当x ＝－1时，直线MA 的斜率不存在； 当x ＝1时，直线MB 的斜率不存在． 于是x ≠1且x ≠－1. 此时，MA 的斜率为y x ＋1，MB 的斜率为yx －1. 由题意，有y x ＋1·yx －1＝4，化简可得，4x 2－y 2－4＝0. 故动点M 的轨迹C 的方程为 4x 2－y 2－4＝0(x ≠1且x ≠－1)．11．已知动点P (x ，y )与两定点M (－1,0)，N (1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)． (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)试根据λ的取值情况讨论轨迹C 的形状．解：(1)由题设知直线PM 与PN 的斜率存在且均不为零， 所以k PM ·k PN ＝y x ＋1·yx －1＝λ(λ≠0，x ≠±1)，整理得x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)．即动点P 的轨迹C 的方程为x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)．(2)①当λ>0时，轨迹C 为中心在原点、焦点在x 轴上的双曲线(除去顶点)； ②当－1<λ<0时，轨迹C 为中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆(除去长轴的两个端点)； ③当λ＝－1时，轨迹C 为以原点为圆心、1为半径的圆(除去点(－1,0)，(1,0))； ④当λ<－1时，轨迹C 为中心在原点、焦点在y 轴上的椭圆(除去短轴的两个端点)．。