高中数学_三棱锥外接球的三种常见模型教学课件设计

S 4R 2 8
小结：
（1）适用情况： 对棱相等的三棱锥 . （2）方法：补形为 长方体 . （3）步骤：
第一步 ：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱
第二步 ：设长方体的长宽高分别为a,b,c,列方程组
a2 b2 BC 2
a
2
c2
BD 2
c2 b2 AB2
第三步 ：三式相加求出外接球半径
(1)2
4 3
S 4R2 16
3
C
B1
思考：什么样的三棱锥可以补
为直三棱柱？
小结： 侧棱垂直于底面 的三棱锥可补为直三
棱柱来寻找球心
变式2：在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=
侧棱PA与底面ABC所成的角为 则该三棱锥外接球的体积 4 .
3
变式3：三棱锥S-ABC所有的顶点都在球O的球面
模型二：对棱相等模型
例2：在三棱锥A-BCD中，AB=CD=2，
AD=BC= 5 ，AC=BD= 7 ，则该三
棱锥的外接球的表面积为 8
.
A
A
D
c
D
解：
C B
C
b
B
a
a2 b2 5
2R a2 b2 c2 2 2,
a
2
c
2
7
2(a2 b2 c2 ) 16
R
2
c2 b2 4
A
B
a
D
c
C
b
变式1：棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一
球面上，求此正四面体外接球的体积 6 .
a2 b2 4
A
解：
a
2
c2
4
2(a2 b2 c2 ) 12
D
c
c2 b2 4 2R a2 b2 c2 6, R 6 ,V 4 R3 6 B
C
b a
变式2：在三棱锥P-ABC2中，P3A=PB=BC=AC=5，
三棱锥的外接球
三种常用模型
一、高考考情分析
空间几何体的外接球问题是高考考 查的重点和热点内容，尤其是三棱锥为 载体的外接球问题，解法灵活多变，对 空间想象能力要求高，如何巧妙的寻找 球心、探索球半径是解决此类问题的关 键。主要以选择题、填空题的形式考查。
二、经典考向分析
模型一：墙角模型
Leabharlann Baidu例1：若三棱锥的三条侧棱两两垂直且棱长均
上，三角形ABC是边长为1的正三角形，
SC为球O的直径，且SC=2则该三棱锥的体
积
2.
6
三、自主反思总结
知识： 三棱锥的外接球
题型： 三种模型： 墙角模型
对棱相等模型 确定球心构造直角三角形
方法： 补形、转化
四、当堂变式练习
1、已知某几何体的三视图如图所示，三视图 是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正 方形，则该几何体外接球的体积为 3 .
.
S
11
解：取正三角形的中心 O' ，连接 SO'
由正三棱锥可知 SO' ABC，设外
OR
接球球心为O，则球心在高线SO'
A
C 上连接OC
O'
O'C 3 , SO' 4 1 33
3
B
33
在 RtOO'C 中，R2 ( 3 )2 ( 33 R)2, R 2 33
3
3
11
思考：如何确定球心位置？ 如何求出半径？
S 4R2 9
变式2：已知几何体的三视图如图所示，则该几
何体的外接球的体积为 6 .
1
1
1 2
2
1
解： 2R a2 b2 c2 11 4 6, R 6 ,
2
4R2 6
思考：什么样的三棱锥适用于墙角模型？
小结：
（1）常见类型：
（2）方法：补形为 长方体 .
（3）公式：2R= a2 b2 c2 .
为 3, 则其外接球的表面积 9 .
A
A
3
3
3P
C
P
C
B B
解： 2R a2 b2 c2
S 4R2 9
3 3 3 3, R 3 2
变式1：若三棱锥的三个侧面两两垂直且棱长均
为 3, 则其外接球的表面积 9 .
A
A
3
3
3P
C
P
C
B
B
解：2R a2 b2 c2 3 3 3 3, R 3 , 2
小结： （1）利用底面三角形的 外心 .确定球心
（2）构造 直角三角形 . 确定半径
变式1：在三棱锥S-ABC中，SA 底面ABC
SA=2，底面ABC是边长为1的正三角形，
则该三棱锥外接球的表面积 16 .
3
解： h 1, r 3
2
3
S
h
R
A
2
r
R2 r2 (h)2 2
R2
3 3
2
2
2、在三棱锥A-BCD中，AB=CD=5，
AD=BC= 13，AC=BD=2 5 ，则该三
棱锥的外接球的表面积为 29 .
3、在三棱锥S-ABC中，SA 底面ABC，
SA=2 3 ，AB=1，AC=2，BAC 60，o 则
三棱锥S-ABC外接球的表面积 16 .
PC=AB= 4 2，则该三棱锥的外接球的表积
为 41 .
a2 b2 25
解：
a
2
c2
25
a2 b2 c2 41, R
c2 b2 32
41 ,S 41
2
模型三：确定球心构造直角三角形
例3：在三棱锥S-ABC中，侧棱SA=SB=SC=2，
底面边长为1，则该三棱锥外接球的半径
为 2 33