高三理科数学二轮复习课件：导数的综合应用一(零点与恒成立问题)

f(0)＝1>0，故 f(x)有小于 0 的零点，
不满足. 当 a<0 时，需使 x0>0 且唯一，只需
答案 C
2 f a>0，则
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a2>4，所以 a<－2.
2.(2017· 全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ax2－ax－xln x，且f(x)≥0. (1)求a； (2)证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e－2<f(x0)<2－2.
按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即可.存在两个极值点x1，x2且x1<x2的
函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的零点分布情况如下：
a的符号 a＞0
零点个数 一个
充要条件 f(x1)＜0或f(x2)>0
(f(x1)为极大值，
f(x2)为极小值) a＜0 (f(x1)为极小值， f(x2)为极大值)
② ∃x ∈ I ， 使 f(x)>g(x) 成 立 ⇔I 与 f(x)>g(x) 的 解 集 的 交 集 不 是 空 集 ⇔[f(x) － g(x)]max>0(x∈I). ③对∀x1，x2∈I使得f(x1)≤g(x2)⇔f(x)max≤g(x)min. ④对∀x1∈I，∃x2∈I使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x)min≥g(x)min. 温馨提醒 解决方程、不等式相关问题，要认真分析题目的结构特点和已知条 件，恰当构造函数并借助导数研究性质，这是解题的关键.
当 0<x<1 时，g′(x)<0，g(x)单调递减； 当 x>1 时，g′(x)>0，g(x)单调递增， 所以 x＝1 是 g(x)的极小值点，故 g(x)≥g(1)＝0. 综上，a＝1. (2)证明 由(1)知 f(x)＝x2－x－xln x，f′(x)＝2x－2－ln x， 1 设 h(x)＝2x－2－ln x，则 h′(x)＝2－x . 当
(1)解
f(x)的定义域为(0，＋∞)，
设 g(x)＝ax－a－ln x， 则 f(x)＝xg(x)，f(x)≥0 等价于 g(x)≥0， 因为 g(1)＝0，g(x)≥0，故 g′(1)＝0， 1 而 g′(x)＝a－ x，g′(1)＝a－1，得 a＝1. 1 若 a＝1，则 g′(x)＝1－ x.
解析
由题意知 a≠0，f′(x)＝3ax
2
2 －6x＝3axx－a，令
f′(x)＝0，
2 解得 x＝0 或 x＝a. 当 a>0
2 时 ， x ∈ ( － ∞ ， 0) ， f ′ (x)>0 ； x∈ 0，a ， f ′ (x)<0 ；
2 x∈a，＋∞，f′(x)>0，且
两个
三个 一个 两个 三个
f(x1)＝0或者f(x2)＝0
f(x1)＞0且f(x2)＜0 f(x1)>0或f(x2)＜0 f(x1)＝0或者f(x2)＝0 f(x1)＜0且f(x2)＞0
3.利用导数解决不等式问题
(1)利用导数证明不等式. 若证明f(x)<g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果能证明F(x) 在(a，b)上的最大值小于0，即可证明f(x)<g(x)，x∈(a，b). (2)利用导数解决不等式的“恒成立”与“存在性”问题. ① f(x)>g(x) 对 一 切 x∈I 恒 成 立 ⇔I 是 f(x)>g(x) 的 解 集 的 子 集 ⇔[f(x) － g(x)]min>0(x∈I).
热点一 利用导数研究函数的零点(方程的根)
【例 1】 (2017· 淄博诊断)已知 a∈R，函数 f(x)＝ex－ax(e＝ 2.718 28„是自然对数的底数). (1)若函数 f(x)在区间(－e，－1)上是减函数，求实数 a 的 取值范围； (2)若函数 F(x)＝f(x)－(e －2ax＋2ln 无零点，求实数 a 的最大值.
x
1 x＋a)在区间0，2内
解 (1)由 f(x)＝ex－ax，得 f′(x)＝ex－a 且 f′(x)在 R 上递增. 若 f(x)在区间(－e，－1)上是减函数，只需 f′(x)≤0 恒成立. 1 因此只需 f′(－1)＝e －a≤0，解之得 a≥ . e
1，且当
x∈(0，x0)时，h(x)>0；当 x∈(x0，1)时，h(x)<0；当 x∈(1，＋∞) 时，h(x)>0.因为 f′(x)＝h(x)，所以 x＝x0 是 f(x)的唯一极大值点. 由 f′(x0)＝0 得 ln x0＝2(x0－1)，故 f(x0)＝x0(1－x0). 由
1 x0∈0，2得
1 f(x0)<4.因为 x＝x0 是 f(x)在(0，1)的最大值点，
由 e－1∈(0，1)，f′(e－1)≠0 得 f(x0)>f(e－1)＝e－2. 所以 e－2<f(x0)<2－2.
考点整合 1.利用导数研究函数的零点 函数的零点、方程的实根、函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念， 解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的变化趋势， 数形结合求解. 2.三次函数的零点分布 三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当x→∞时，函数值也趋向∞，只要
导数的综合应用（一） 零点与恒成立问题
考纲指导：
在高考压轴题中，函数与方程、不等式的交汇是考
查的热点，常以含指数函数、对数函数为载体考查
函数的零点(方程的根)、比较大小、不等式证明、不
等式恒成立与能成立问题.
真题感悟 1.(2014· 全国 Ⅰ卷 ) 已知函数 f(x) ＝ ax3 － 3x2 ＋1，若 f(x)存在唯一的零点 x0，且x0>0， 则实数a的取值范围是( A.(2，＋∞) C.(－∞，－2) ) B.(1，＋∞) D.(－∞，－1)
1 x∈0，2时，h′(x)<0；当 1 x∈2，＋∞时，h′(x)>0.
所以
1 1 h(x)在0，2单调递减，在2，＋∞单调递增.
又 h(e 所以
－2
1 )>0，h2<0，h(1)＝0，
1 1 h(x)在0，2有唯一零点 x0，在2，＋∞有唯一零点