中考中的最值问题(导学案)李素香

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函数的极值、最值导学案

函数的极值、最值导学案（一）学习目标：编辑：赵辉、李勤涛、王芳1.理解极大值、极小值的概念.2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值.3.掌握求可导函数的极值、最值的步骤。

自主学习：阅读课本27、28页之后回答下列问题1 求函数44313+-=x x y 的单调区间，并画出函数图象简图。

探究：观察函数图形在x=2和2-=x 的函数值与其附近的函数值有什么关系？ )2(f '和)2(-'f 的值呢？在x=2和2-=x 附近的导数值又有什么规律？2 观察下列函数图象分析当x 等于54321,,,,x x x x x 时导数怎样？在这些点附近导数的符号有什么规律？f(x 2)f(x 4)f(x 5)f(x 3)f(x 1)f(b)f(a)x 5x 4x 3x 2x 1b axOy归纳总结1.极大值：一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点都有，就说f(x 0)是函数f(x)的一个，记作，x 0是极大值点 2.极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点都有 .就说是函数f(x)的，记作，x 0是极小值点 3.极大值与极小值统称为在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值思考函数3)(x x f =有没有极值点？导数为0的点一定是函数的极值点吗？典型例题例1. 求函数44313+-=x x y 的极值，并求[-3 ,4]上的最大值和最小值。

变式1：将区间[3,4]-改为[0,3]【归纳】：一、求可导函数f (x )的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数/()f x(2)求方程/()f x =0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查/()f x 在方程根左右的值的符号：①如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值； ②如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值； ③ 如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值二、求闭区间[a,b]的最值的步骤： ① 先求出给定区间上的极值；再求出区间端点的函数值; ②最后从极值和区间端点的函数值中找出最大值和最小值。

中考复习专题——《几何最值问题》导学案

《中考数学专题复习（三）——几何最值问题》导学案A.要点归纳，分点训练1.如图1 A 点到B 点路程最短的是②，因为2.如图2,点P 到直线AE 上的连线段中，PC 最短,因为3. 如图3,根据三角形任意两边之和大于第三边，有4.圆中最长的弦是5，则圆的面积是5. P 是⊙O 外一点，P 到⊙O 的最近距离是3，最远距离是9，则圆的面积是6. 如图, 要在河边修建一个水泵站C, 分别向张村, 李村送水, 使所用的水管最短．(1)修在河边什么地方?(画图) (2)若A 、B 到河边a 的距离AM 、BN 分别是10m 和20m ，且MN=40m ，求水管最短为多少m ？７.如图，圆柱底面半径为2cm ，高为3cm ，点A 、B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且A 、B 在同一母线上，用一棉线从A 顺着圆柱侧面绕3圈到B ，求棉线最短为cm 。

８.如上中图，正方形ABCD 中，AB=4，E 是BC 的中点，点P 是对角线AC 上一动点，则PE+PB的最小值为．９.如上图，长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ，高为5cm .若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为【】 A.13cm B.12cm C.10cm D.8cmB.综合运用，能力提升图1 图2图3１０.如下图△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6．若点P 在边AC 上移动，则BP 的最小值是．１１.如上图，点A 的坐标为（-1，0），点B 在直线y x =上运动，当线段AB 最短时，点B的坐标为【】 A.（0，0） B.（21-，21-） C.（22，22-） D.（22-，22-）１２.如上图，⊙O 的半径为2，点O 到直线l 的距离为3，点P 是直线l 上的一个动点， PQ 切⊙O 于点Q ，则PQ 的最小值为【】A ．B ．C ．3D ．2１３、在☉O 中,直径AB=6,BC 是弦,∠ABC=30°,点P 在BC 上,点Q 在☉O 上,且OP ⊥PQ. (1)如图1,当PQ ∥AB 时,求PQ 的长度;(2)如图2,当点P 在BC 上移动时,求PQ 长的最大值.《中考数学专题复习（三）——几何最值问题》导学案答案A.要点归纳，分点训练1.如图1 A 点到B 点路程最短的是②，因为两点之间线段最短1352.如图2,点P 到直线AE 上的连线段中，PC 最短,因为垂线段最短3. 如图3,根据三角形任意两边之和大于第三边，有a+b>c 、a+c>b 、b+c>a4.圆中最长的弦是5，则圆的面积是254π5. P 是⊙O 外一点，P 到⊙O 的最近距离是3，最远距离是9，则圆的面积是9π6. 如图, 要在河边修建一个水泵站C, 分别向张村, 李村送水, 使所用的水管最短．(1)修在河边什么地方?(画图) (2)若A 、B 到河边a 的距离AM 、BN 分别是10m 和20m ，且MN=40m ，求水管最短为多少m ？解：（1）如图, C 为所求（2）作BP ⊥AA `于P 点，则A`P=30，又BP= MN=40所以由勾股定理得A`B=50=CA+C Ｂ，即水管最短为５０m７.如图，圆柱底面半径为2cm ，高为3cm π，点A 、B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且A 、B 在同一母线上，用一棉线从A 顺着圆柱侧面绕3圈到B ，求棉线最短为5πcm 。

9年级数学中考复习专题最值问题导学案(无答案)

最值问题解决几何最值问题的理论依据（读一读，背一背）①两点之间，线段最短②垂线段最短（直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短）③三角形三边关系（三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边）●轴对称最值模型●巩固练习1.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(1，4)和(3，0)，C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（）A．(0，0) B．(0，1) C．(0，2) D．(0，3)4. 已知：如图，∠ABC =30°，P 为∠ABC 内部一点，BP =4，如果点M ，N 分别为边AB ，BC 上的两个动点，请画图说明当M ，N 在什么位置时使得△PMN 的周长最小，并求出△PMN 周长的最小值．● 折叠之最值模型特征1：折痕过定点，折叠前后线段相等（线段BA ′长度不变，A ′的路径为圆弧）思路：求A ′C 最小，转化为BA ′+A ′C 最小，利用三角形三边关系求解特征2：折痕折痕经过两条线的动点，折叠前后线段相等（A′N +NC 为定值）思路：求BA′的最小值，转化为求BA′+A′N +NC 的最小值，利用两点之间线段最短求解． ● 巩固练习5. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AB =5，BC=3．P 是AB 边上的动点（不与点B 重合），将△BCP 沿CP 所在的直线翻折，得到△B′CP ，连接B′A ，则B′A 长度的最小值是_____．a b A'M C B AA'M C BAA MA'NBC7. 如图，在直角梯形纸片ABCD 中，AD ⊥AB ，AB =8，AD =CD =4，点E ，F 分别在线段AB ，AD 上，将△AEF 沿EF 翻折，点A 的对应点记为P ．（1）当点P 落在线段CD 上时，PD 的取值范围是_______．（2）当点P 落在直角梯形ABCD 内部时，PD 长度的最小值为_____________．8. 如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A =60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A′MN ，连接A′C ，则A′C 长度的最小值是_______．C'Q PCBAP F ED CB APFE DCBA9. 如图，菱形ABCD 的边AB =8，∠B =60°，P 是AB 上一点，BP =3，Q 是CD 边上一动点，将梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点为A′，当CA′的长度最小时，CQ 的长为________．10. 动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB =3，AD =5．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A ′处，折痕为PQ ，当点A ′在BC 边上移动时，折痕的端点P ，Q 也随之移动．若限定点P ，Q 分别在AB ，AD 边上移动，则点A ′在BC 边上可移动的最大距离为________________．A'D CBNMAQE PABDCBP D ACQPA'D CB A D CBA直角之最值模型特征：直角不变，斜边长不变思路：取斜边中点，结合斜边中线等于斜边一半，利用三角形三边关系求解示例：如图，在直角△ABC 中，∠ACB =90°，AC =4，BC =3，在△ABC 内部以AC 为斜边任意作Rt △ACD ，连接BD ，则线段BD 的最小值是________．思路：求BA′的最小值，利用三角形三边关系求解，BD OB OD ≥-．巩固练习：11. 如图，∠MON=90°，长方形ABCD 的顶点A ，B 分别在OM ，ON 上，当点B在ON 上运动时，点A 随之在OM 上运动，且长方形ABCD的形状和大小保持不变．若AB =2，BC =1，则在运动过程中，点D 到点O 的最大距离为（） AB ．C D ．52D A CBDCABONM12. 如图，菱形ABCD 边长为2，∠C =60°．当点A 在x 轴上运动时，点D 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B 到原点O 的最大距离为_______ 13. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =8，BC =3，在△ABC 内部以AC 为斜边任意作Rt △ACD ，连接BD ，则BD 长度的最小值为（） A ．2 B ．4 C ．5 D ．1解决几何最值问题的通常思路：1.分析定点、动点，寻找不变特征．2.若属于常见模型、结构，调用模型、结构解决问题；若不属于常见模型，结合所求目标，依据不变特征转化，借助基本定理解决问题．转化原则：尽量减少变量，向定点、定线段、定图形靠拢．14. 如图，在△ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为BC 边上一动点，PE ⊥AB于点E ，PF ⊥AC 于点F ．若M 为EF 的中点，则AM 长度的最小值为____________．15. 如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，AB =3，BC =4，点D 在BC 边上，则以AC为对角线的所有□ADCE 中，DE 长度的最小值为_____________．DCBA M FE PCBAOED CBA17. 如图，在等边△ABC 中，D 是AC 边上一个动点，连接BD ，将线段BD 绕点B 逆时针旋转60°得到BE ，连接ED ，若BC =2，则△AED 的周长的最小值是_______．18. 如图，△ABC ，△EFG 均是边长为2的等边三角形，点D 是边BC ，EF 的中点，直线AG ，FC 相交于点M ．当△EFG 绕点D 旋转时，线段BM 长的最小值是__________．DGFECB A E DC BA19. 如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，且满足AE =DF ．连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ，连接DH ．若正方形的边长为2，则DH 长度的最小值是_______．实战模式20. 如图，钝角三角形ABC 的面积为15，最长边AB =10，BD 平分∠ABC ，点M ，N 分别是BD ，BC 上的动点，则CM +MN 的最小值为_____．21. 如图，在菱形ABCD 中，AB =4，∠ABC =60°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK +QK 的最小值为_____．22. 如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，正方形AEFG 的边长为1cm ，如果正方形AEFG 绕点A 旋转，那么C ，F 两点之间的距离的最大值为____________，连接BD ，则△BDF 面积的最大值为__________，最小值为_____．DMBKQPDCBAG FE DCB AGFE DCB AP CDAPBOAQ①当∠EAC=90°时，求PB的长；②直接写出旋转过程中线段PB长的最小值与最大值。

中考数学中的最值问题解法

中考数学几何最值问题解法在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。

解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。

下面通过近年全国各地中考的实例探讨其解法。

应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值典型例题：例1. （2012山东济南3分）如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为【】A1B C．55 D．52【答案】A。

【考点】矩形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形三边关系，勾股定理。

【分析】如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，∵OD≤OE+DE，∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，此时，∵AB=2，BC=1，∴OE=AE=12AB=1。

DE====∴OD1。

故选A。

例2.（2012湖北鄂州3分）在锐角三角形ABC中，BC=24，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是▲ 。

【答案】4。

【考点】最短路线问题，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】如图，在BA 上截取BE=BN ，连接EM 。

∵∠ABC 的平分线交AC 于点D ，∴∠EBM=∠NBM。

在△AME 与△AMN 中，∵BE=BN ，∠EBM=∠NBM，BM=BM ，∴△BME≌△BMN（SAS ）。

∴ME=MN。

∴CM+MN=CM+ME≥CE。

一次函数中最值问题(导学案)

B是直线x=5上一点，当△ABC的周长最小时，求C、B两点的坐标.
问题5:问题3如图，已知点A（4，3）,B（1，2）。若点C是y轴上点，D是x轴上一点，当四边形ABCD的周长最小时，求C、D两点的坐标.
问题6:如图，已知点A（4，3）,B（1，2）。若点C、D是x轴上两点，且CD=1当使四边形ABCD的周长最小时，求C、D两点的坐标.
问题2：已知点A（1, 2）和点B（3, 5），P是x=4上一点，
且满足PA+PB的值最小，是求点P的坐标，并求出此时PA+PB的最小值。
问题3：已知点A（1, 2）和点B（3, 5），P是y轴上一点，
且满足△PAB的周长最小，是求点P的坐标，并求出此时周长的最小值。
问题4:已知点A（4，3）。若点C是直线y=-x+4上一点，
年级
类型
课题
上课时间
姓名
八年级
导学案
一次函数中最值问题
年月日
导学目标
体会图形变换在解决问题中的转化作用，利用一次函数的解析式求直线的交点，增强数学的应用意识.
在解决问题的过程中，帮助学生认识数学，体验探索的快乐与成功的喜悦.
问题Байду номын сангаас：已知点A（1, 2）和点B（3, 5），P是x轴上一点，
且满足PA+PB的值最小，是求点P的坐标，并求出此时PA+PB的最小值。

初中最值问题教案

初中最值问题教案教学目标：1. 理解最值问题的概念和意义；2. 掌握解决最值问题的基本方法和技巧；3. 能够应用最值问题解决实际生活中的问题。

教学重点：1. 最值问题的概念和意义；2. 解决最值问题的方法和技巧。

教学难点：1. 解决实际生活中的最值问题。

教学准备：1. 教学课件；2. 练习题。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入最值问题的概念，让学生尝试举例说明最值问题。

2. 引导学生思考最值问题的意义和应用。

二、讲解（20分钟）1. 讲解最值问题的定义和性质。

2. 介绍解决最值问题的基本方法和技巧。

3. 通过例题讲解最值问题的解题步骤和思路。

三、练习（15分钟）1. 分组讨论并解决练习题，教师巡回指导。

2. 选取部分学生的解题过程进行点评和讲解。

四、应用（10分钟）1. 让学生思考并尝试解决实际生活中的最值问题。

2. 分组讨论并展示解题过程和结果。

五、总结（5分钟）1. 回顾本节课的学习内容和重点。

2. 强调最值问题在实际生活中的应用和重要性。

教学反思：通过本节课的教学，我发现学生们对最值问题的概念和意义有了较好的理解，能够掌握解决最值问题的基本方法和技巧。

但在解决实际生活中的最值问题时，部分学生还存在一定的困难，需要进一步加强练习和指导。

在接下来的教学中，我将继续强调最值问题的概念和意义，并通过更多的练习题让学生们熟练掌握解决最值问题的方法和技巧。

同时，我也会注重培养学生们解决实际问题的能力，将最值问题与生活实际相结合，提高他们的数学应用能力。

初中求最值的三种方法教案

初中求最值的三种方法教案教学目标：1. 让学生掌握初中求最值的三种方法：解析法、代入法和图像法。

2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3. 培养学生合作学习、积极思考的良好学习习惯。

教学重点：1. 解析法的运用。

2. 代入法的运用。

3. 图像法的运用。

教学难点：1. 解析法在实际问题中的运用。

2. 代入法在实际问题中的运用。

3. 图像法在实际问题中的运用。

教学准备：1. PPT课件。

2. 练习题。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾已学过的求最值的方法，如平均数、中位数等。

2. 提问：求最值的一般方法有哪些？二、新课讲解（20分钟）1. 解析法：（1）解释解析法的定义和原理。

（2）通过例题讲解解析法的步骤和运用。

（3）让学生分组讨论，总结解析法的关键步骤和注意事项。

2. 代入法：（1）解释代入法的定义和原理。

（2）通过例题讲解代入法的步骤和运用。

（3）让学生分组讨论，总结代入法的关键步骤和注意事项。

3. 图像法：（1）解释图像法的定义和原理。

（2）通过例题讲解图像法的步骤和运用。

（3）让学生分组讨论，总结图像法的关键步骤和注意事项。

三、课堂练习（15分钟）1. 出示练习题，让学生独立完成。

2. 分组讨论，互相讲解，解决疑难问题。

四、总结和拓展（5分钟）1. 引导学生总结本节课所学的三种求最值的方法。

2. 提问：这些方法在实际问题中如何运用？3. 出示拓展问题，激发学生的学习兴趣。

五、课后作业（布置作业）1. 根据课堂练习的情况，布置适量的作业，巩固所学知识。

教学反思：本节课通过讲解、练习和讨论，使学生掌握了初中求最值的三种方法。

在教学过程中，注意引导学生主动参与、积极思考，培养学生的合作意识和解决问题的能力。

同时，通过课后作业的布置，帮助学生巩固所学知识，为后续学习打下基础。

中考复习最值教学案(2)无答案

2019中考复习专题课——最值（2）教学内容：最值（2）教学目标：通过典型例题的学习提炼出解决最值问题的策略，并尽可能的帮助学生突破中考图形部分最值问题这一难点。

教学重难点：根据不同问题的特征，通过转化解决不同类型的最值问题。

教学仪器：多媒体教者：教学过程：引入新课唐朝诗人李颀的诗《古从军行》头两句：白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河诗中隐含着一个有趣的数学问题：问题1:将军在观望烽火后从山脚下的点A 出发，走到小河边的P 处给马喝水后再到河对岸的点B 宿营，他怎么走才能使路程最短呢，你能找到路程最短时P 的位置吗？例1：已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A(5，0)，点P 是对角线OB 上的一个动点，D(0，1)，则CP ＋DP 的最小值为______ 。

练习1:已知平面直角坐标系中点A(0，2)、点B （-2，n ），且点B 在反比例函数y=- 2x上,点P 为x 轴上一动点,求PA+PB 取最小值时点P 的坐标。

问题2：当点P 到A ，B 两点距离之差的绝对值最大时点P 又在何处呢？例2．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0，1)，B(1，2)，点P 在x 轴上运动，当点P 到A ，B 两点距离之差的绝对值最大时，求点P 的坐标．练习2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B ，C 分别为坐标轴上的三个点，且OA ＝1，OB ＝3，OC ＝4.(1)求经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式；(2)当点P 的坐标为(5，3)时，若点M 为该抛物线上一动点，请求出当|PM －AM|的最大值时点M 的坐标，并直接写出|PM －AM|的最大值．例3. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，将△ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到△A ′B ′C ，M 是BC 的中点，P 是A ′B ′的中点，连结PM ，若BC ＝2，∠BAC ＝30°，求线段PM 的最大值．再看一模第16题：如图，点P 为函数y = （x ＞0）的图像上一点，且到两坐标轴距离相等，⊙P 半径为2，A （3，0），B （6，0），点Q 是⊙P 上的动点，点C 是QB 的中点，则AC 的最小值是( )A ．B ．C ．4D ．2 本节课的收获：思考题：如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，求点D 到点O 的最大距离。

《最值探究》学案-2021-2022学年鲁教版（五四制）九年级数学中考复习

中考专题复习—《最值问题》探究一、两点之间线段最短、垂线段最短问题（1）（将军饮马对称问题）如图，在菱形ABCD 上，︒=∠==120,2EC BC ,4BAD a E a AB 上，在，P 在BD 上，求PE +PC 的最小值分析与解答：通过对称把动点问题转化成两点之间线段最短的问题解：连接AP 、AE 、AC∵四边形ABCD 是菱形，AB =4a∵BC =BA =4a , ∵CBP =∵ ABP又∵ BP =BP∵∵CBP ∵∵ ABP∵PC =P A∵PE +PC =PE +P A 大于等于AE∵ BAD =120°∵∵ABC =180°﹣∵BAD =60°∵∵ABC 是等边三角形∵EC =2a∵EC =21BC ∵AE ∵ BC∵AEB =90°∵AE =3BE =23a ∵PE +PF 的最小值为2（2）在菱形ABCD 中，AB =6，点E 为边BC 的中点，∵BAD＝120°，点P 为对角线AC 上一点，则PB +PE 的最小值为多少？分析与解答：（通过对称转化成垂线段最短问题）∵ 四边形ABCD 是菱形 ∵点B 关于AC 的对称点为点D 连结ED ，与AC 交于P ，连接BP ，则线段ED 的长即PB +PE 的最小值。

过点D 作BC 的垂线交BC 的延长线于点H∵菱形AB =6， ∵BAD ＝120°∵BC =CD =6 ∵BCD ＝120°∵∵DCH ＝60°在RT∵CHD 中，∵CHD ＝90﹣∵DCH ＝30° ∵321==CD CH ∵33362222=-=-=CH DC DH∵E 为BC 边中点∵321==BC EC ∵6=+=CH EC EH ∵在Rt∵DEH 中736)33(2222=+=+=EH DH DE∵PE PB +的最小值为73二、三角形三边关系中的最大最小值（3）如图，MON=90°,矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM,ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2,BC=1,运动过程中，求点D 到点O 的最大距离。

中考数学最值问题教案

中考数学"最值"问题教案(1)课时计划：本课题共安排2课时教学目标：（1）复习中考数学中的最值问题；（2）培养学生全面的分析能力，渗透数形结合的思想。

教学重点：几何模型的最值问题。

教学难点：常见几何模型下的最值问题。

教学过程：一、导入最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用.无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。

利用一次函数和二次函数的性质求最值。

二、知识讲解“最值”问题大都归于两类基本模型：1、归于几何模型，这类模型又分为一下几种情况：（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”,凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。

（2）归于“三角形两边之差小于第三边”,凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。

（3）归于“与圆相关的最值问题”2、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值三、模型分析利用几何模型求最值（1）归入“两点之间的连线中，线段最短”条件：如下左图，A、B是直线同旁的两个定点．问题：在直线L上确定一点P，使PA+PB的值最小．方法：作点A关于直线L的对称点A1，连结A1 B交L与点P，则PA+PB=A1 B 的值最小（不必证明）A/例1. 如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是________。

分析：首先分解此图形，构建如图模型，因为E 、B 在直线AC 的同侧，要在AC 上找一点P ，使PE+PB 最小，关键是找出点B 或E 关于AC 的对称点。

如图，由菱形的对称性可知点B 和D 关于AC 对称，连结DE ，此时DE 即为PE+PB 的最小值，由∠BAD=60°，AB=AD ，AE=BE 知，3223DE =⨯=故PE+PB 的最小值为3。

青岛市中考数学专题复习——最值问题导学案

《中考二轮专题复习---最值问题》导学案【使用说明及学法指导】最值有关的知识点总结归纳知识，并画出知识树或结构导图完成课前导学案在老师的指导下完成课中导学案【学习目标】1、能用有关几何的概念或图形代表的数学模型求出某几何量的最大值或最小值问题2、能用二次函数或一次函数数学求出特定条件下有关量的最大值或最小值3. 提高的分析、转化、建模和用模等综合应用能力【教学重、难点】用数学模型，求的最大值或最小值，提炼总结出最值问题的解答思路与方法课前任务单【导学流程】一、自主复习试试看：与最值有关的知识点能想起多少？让我们翻开记忆，搜索一下，把你能想到的列出来吧，你还能进行简单的归纳吗？二、知识回顾：1.应用两点之间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值基本模型：两点之间最短针对练习：边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是（）.（A ）3 （B )√ 5 （C ）2 （D 1 B 2.应用垂线段最短的性质求最值基本模型：垂线段的性质：直线外一点与直线上各点的所有连线中，最短。

A 针对练习：（2012·山东莱芜）在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6．若点P 在边AC 上移动，则BP 的最小值是．A AB3.应用轴对称的性质求最值基本模型：如图，点A 、B 位于直线m 的同侧（异侧），在直线m 上找一点P ，使PA ＋PB 的值最小针对练习：【微课助学】工人师傅要在菱形框架内做一个造型PMN,已知菱形框架ABCD 的边长为10，M 、N 分别是边BC 、CD 的中点，P 是对角线BD 上一动点，为了节约材料，要使PM+PN 的值最小，这个最小值= ．4.应用直径是圆中最长的弦求最值（2013•陕西）如图，AB 是⊙O 的一条弦，AB=6，点C 是⊙O 上一动点，点E 、F 分别是AC 、BC 的中点，直线EF 与⊙O 交于G 、H 两点．若⊙O 的半径为7，则GE+FH 的最大值为．5.应用一次函数的增减性求最值基本模型：一次函数y ＝kx ＋b 若k ＞0，y 随x 的增大而若k ＜0，y 随x 的增大而_____针对练习：如图，已知一次函数y=2x+3 （1）函数y 有最大值吗?（2）当1≤x ≤3时，y 最小=_____ ， y 最大=_____6.应用二次函数的增减性求最值基本模型：二次函数y=ax 2+bx +c 顶点坐标是（），对称轴是直线 _____当a ＞0时 x= 时函数有最小值y= ；当a ＜0时，x= 时函数有最大值y= ；当a ＞0时，开口向上，在对称轴的左边，y 随x 的增大而，在对称轴的右边，y 随x 的增大而；当a ＜0时，开口向下，在对称轴的左边，y 随x 的增大而，在对称轴的右边，y 随x 的增大而 .针对练习：已知二次函数y=2(x-1)²-5，y 有（最大或最小）值为若-1≤X ≤5当X=_____时y 最小=_____; 当X=_____时 y 最大=_____.若2≤X ≤5 y 最小=_____,y 最大=_____.【自我测学】1.如图，已知长方体的长为AB ＝4cm ，宽BC ＝2cm ，高AA 1=1cm ，求一只蚂蚁沿长方体的表面从A 点爬到C 1点的最短路径。

几何中最值问题专题复习导学案

几何中最值问题专题复习导学案几何图形中最值问题专题复习导学案学习目标：1.复习回顾解决几何最值问题常用的知识源:“两点间线段最短”、“垂线段最短”、“三角形的三边关系”、“圆外一点与圆的最近点、最远点“、“二次函数最值”等;2.借助中考真题的探究,掌握处理最值问题的基本知识源，明确解决图形几何最值问题的思考方向、思路方法,感受体验其解题策略；3.体验变化中寻找不变性的数学思想方法,能将最值问题化归与转化为相应的数学模型进行分析与突破.学习重难点：1.结合题意，借助相关概念、图形性质、定理,探寻几何图形最值问题中化归与转化的关键.2.知识溯源，借助中考真题的研究，从知识转化角度，掌握处理最值问题的基本知识源，归纳总结其解题策略.教学过程一、问题导入:1.乌龟与兔子从点A到点B，走那条路线最短？.根据是.2.如图，污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水沟PQ，应如何铺设排水管道，才能使用料最省？试画出铺设管道的路线？并说明理由。

3.已知一个三角形玩具的三边长分别为6㎝，8㎝，a㎝，则a的最值范围是.AQP4.已知圆外一点P到圆⊙O上最近点的距离是5㎝，⊙O 的半径是2㎝，则这点到圆上最远点的距离是.①②③AB④二、真题探究真题示例1（2016•福建龙岩）如图1，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）(图2)A．1B．2C.3D．4(图1)真题示例2（2016•四川内江）如图2所示，已知点C(1，0)，直线y＝－x＋7与两坐标轴分别交于A，B 两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是______．【解题策略】(图4)(原创题)如图3，在周长为16的菱形ABCD 中，∠A=120°，E、F为边AB、CD上的动点，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为.(图3)真题（组）示例3（2012•浙江宁波）如图4，△ABC中，，，AB=，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为.【解题策略】真题（组）示例4（2013•江苏宿迁）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），B（1，2），点P在x轴上运动，当点P到A、B两点距离之差的绝对值最大时，点P的坐标是．变式:在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，-1），B（1，2），点P在x 轴上运动，当|PA﹣PB|最大时，点P的坐标是．真题（组）示例5(2016•四川眉山)已知如图5，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上上的三个点，且OA=1，OB=3，OC=4，（1）求经过A、B、C 三点的抛物线的解析式；(图5)（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM﹣AM|的最大值时点M的坐标，并直接写出|PM﹣AM|的最大值．【解题策略】真题（组）示例6(图6)(2016•四川泸州)如图6，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是.【解题策略】真题（组）示例71．（2016•江苏常州）如图7，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x与二次函数y=x2+bx 的图象相交于O、A两点，点A（3，3），点M为抛物线的顶点．(图7)（1）求二次函数的表达式；（2）长度为2的线段PQ在线段OA（不包括端点）上滑动，分别过点P、Q作x轴的垂线交抛物线于点P1、Q1，求四边形PQQ1P1面积的最大值；【解题策略】三、专题总结1.收获哪些解题方法?2.体验哪些解题策略?四、题型预测。

初中数学_九年级数学中考数学中的最值问题教学设计学情分析教材分析课后反思

课题：中考数学中的最值问题课型：复习课年级：九年级姓名：单位：教学目标：1．经历分析实际问题，建立几何模型，进而解决问题的过程；2．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高法解决问题的能力．教学重、难点：重点：结合轴对称利用两点之间线段最短解决实际问题．难点：如何从实际问题中抽象出数学问题、建立几何模型，用数学知识去解决实际问题．课前准备：制作多媒体课件．教学过程：一、复习回顾、导入新课几何最值问题中线段的最小值问题，在近几年中考题中所占的比例越来越多，涉及的知识点多，具有一定的难度，我们这节课就来研究解决此类问题的方法。

一般利用轴对称的作图方法根据定理“两点之间，线段最短”，解决此类问题。

如图，要在街道旁修建一个奶站P，向居民区A、B提供牛奶，奶站P应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？为什么处理方式：学生依次回答求线段和最小值的一般步骤：①_x0001_直线l为对称轴；画出点A的对称点A’；②_x0001_②连结对称点A’与B之间的线段，交直线l于点P，点P即为所求的点，线段A’B的长就是AP+BP的最小值。

基本图形:两点一线基本解法:利用对称性,将“折”转“直”二、合作探究，获取新知活动内容：例题展示（展示多媒体课件）例题1如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6 和8，点P是对角线AC 上的一个动点，点M、N 分别是边AB、BC 的中点，则PM+PN 的最小值是_____________．例题2如图，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，P是BD上一动点．连结AC，由正方形对称性可知，A与C关于直线BD称．连结AE交BD于P，则PC+PE的最小值等于线段_____ 的长度，最小值等于_________例题3已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点M是半圆的三等分点，点N是弧BC的中点，AB上有一动点P，连接PM，PN，则PM+PN的最小值是多少？并画出点P的位置.例题4如图，已知二次函数y=ax2-4x+c的图象与坐标轴交于点A（-1，0）点B（0，-5）点C．(I)求抛物线的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使三角形PAB的周长最小，求出点P的坐标。

江苏省仪征市第三中学2020年中考数学复习导学案(最值问题)讲义设计(无答案)

九年级数学中考复习导学案（最值问题）教学目标：1、掌握动点运动轨迹为圆弧的证明方法及最值问题2、掌握圆弧运动过程中路径长度3、掌握运动路径为直线或圆弧的计算方法【精题精练精讲】专题1：一定一动线段两个端点一个为定点，一个为动点，求线段最值，先找到动点的运动轨迹，再利用两点之间线段最短求最值例1（折叠）：如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝6，E 为 AB 边的中点，F 是线段BC 边上的动点．将△EFB 沿 EF 所在的直线折叠得到△EB'F，连接 B'D，则B'D 的最小值为_________分析：如图所示点B′在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当D、B′、E共线时时，此时B′D的值最小，根据勾股定理求出DE，根据折叠的性质可知B′E=BE=2，即可求出B′D．变式：1、如图，在边长为4的正方形ABCD中，E为AB边的中点，F是BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB'F，连接B'D．则当B'D取得最小值时，例2（定弦定角，角度为90度）：如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB=4cm，∠CAB=60°，P是弧BC上的一个动点，连接AP，过C点作CD⊥AP于D，连接BD，分析;连接BO′、BC．在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B-O′E，利用勾股定理求出BO′即可解决问题．变式：如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE = DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是_____．例3（定弦定角，角度≠90度）：如图,在△ABC中,∠C=90∘，AC=BC=1，P为△ABC内一个动点，∠PAB=∠PBC，则CP的最小值为___.分析：首先求得∠APB=135°，点P在以AB为弦的⊙O上，然后可求得OC=√2，OP=1，当点O、P、C在一条直线上时，PC有最小值．变式：如图，点A（-3，0），B（0，-3√3），直线y=-√3x+4√3与x轴、y轴分别交于点D、C，M是平面内一动点，且∠AMB=60°，则△MCD面积的最小值是。

2022年初中数学精品《实际问题中二次函数的最值问题》导学案

第2课时实际问题中二次函数的最值问题自学目的【知识与技能】1.经历探索实际问题中两个变量的过程,使学生理解用抛物线知识解决最值问题的思路.2.初步学会运用抛物线知识分析和解决实际问题.【过程与方法】经历优化问题的探究过程,认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史开展的作用,开展我们运用数学知识解决实际问题的能力.【情感态度】体会数学与人类社会的密切联系,了解数学的价值,增加对数学的理解和学好数学的信心.【自学重点】能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最值.【自学难点】二次函数最值在实际中生活中的应用，激发学生的学习兴趣.自学过程一、情境导入，初步认识问题1同学们完成以下问题:y=x2-2x-3①x= 时，y有最值，其值为；②当-1≤x≤4时，y最小值为，y最大值为 .答案:①1,小，-4；②-4，5【自学说明】解决上述问题既是对前面所学知识的稳固，又是本节课解决优化最值问题的理论依据.二、思考探究，获取新知自学点1最大面积问题阅读教材P30动脑筋，答复以下问题.1.假设设窗框的宽为xm，那么窗框的高为 m,x的取值范围是 .2.窗框的透光面积S与x之间的关系式是什么？3.如何由关系式求出最大面积？答案：1.832x-0<x<832.S=-32x2+4x,0<x<83max=83m2.例1如图，从一张矩形纸片较短的边上找一点E，过E点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE，DE，要使剪下的两个正方形的面积和最小，点E应选在何处？为什么？解：设矩形纸较短边长为a,设DE=x，那么AE=a-x,那么两个正方形的面积和:y=x2+(a-x)2=2x2-2ax+a2当x=-21222aa-=⨯时，y最小值=2×〔12a〕2-2a×12a+a2=12a2即点E选在矩形纸较短边的中点时，剪下的两个正方形的面积和最小.【自学说明】此题要充分利用几何关系建立二次函数模型,再利用二次函数性质求解.自学点2 最大利润问题例2 预习教材P31例题【自学说明】通过例题讲解使学生初步认识到解决实际问题中的最值，首先要找出最值问题的二次函数关系式，利用二次函数的性质为理论依据来解决问题.例3某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价，增加销售量的方法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件.将这种商品的售价降低多少时,能使销售利润最大?【分析】找出进价,售价,销售,总利润之间的关系,建立二次函数,再求最大值.列表分析如下:关系式：每件利润=售价-进价，总利润=每件利润×销量.解:设降价x元，总利润为y元，由题意得y=(10-x-8)(100+100x)=-100x2+100x+200=-100(x-0.5)2+225.当x=0.5时，总利润最大为225元.∴当商品的售价降低0.5元时，销售利润最大.三、运用新知，深化理解1.如图，点C是线段AB上的一个支点,AB=1,分别以AC和CB为一边作正方形,用S表示这两个正方形的面积之和,以下判断正确的选项是( )A.当C是AB的中点时,S最小B.当C是AB的中点时,S最大C.当C为AB的三点分点时,S最小D.当C是AB的三等分点时,S最大第1题图第2题图2.如图,某水渠的横断面是等腰梯形,底角为120°，两腰与下底的和为4cm，当水渠深x为时，横断面面积最大，最大面积是 .3.某经销店为某工厂代销一种建筑材料,当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销，经市场调查发现：当每吨售价下降10元时，月销售量就会增加7.5吨.综合考虑各种因素，每售出1吨建筑材料共需支付厂家及其他费用100元，设每吨材料售价为x〔元〕，该经销店的月利润为y〔元〕.①当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；②求出y与x的函数关系式〔不要求写出x的取值范围〕；③该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？④小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大.〞你认为对吗？请说明理由.【答案】2343cm23.解：①45+26024010-×7.5=60〔吨〕.②y=(x-100)(45+26010x-×7.5).化简，得y=-34x2+315x-24 000.③y=-34x 2+315x-24 000=-34(x-210)2+9 075. 此经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元.④我认为,小静说得不对.理由:当月利润最大时,x 为210元，每月销售额W=x(45+26010x ×7.5=-34 (x-160)2+19 200.当x 为160元时，月销售额W 最大.∴当x 为210元时，月销售额W 不是最大的.∴小静说得不对.【自学说明】1.先列出函数的解析式，再根据其增减性确定最值.2.要分清利润,销售量与售价的关系;分清最大利润与最大销售额之间的区别.四、预习小结这节课你学到了什么?还有哪些疑惑?能根据实际问题建立二次函数的关系式并确定自变量取值范围,并能求出实际问题的最值.14.4 近似数学习目标：1.理解准确数与近似数的概念，并能够进行判断.〔难点〕2.根据理解精准度的概念，能够按照要求近似数.(重点〕3.能运用近似数解决一些简单实际问题.学习重点：按照要求近似数.学习难点：准确数与近似数的概念.一、知识链接1.1.6和1.60表示的含义相同吗？答：___________________________________________________________________________.二、新知预习2.宇宙现在的年龄是200亿年，长江长约是6300千米，像这样接近实际数值的数，叫做近似数.(1)下面实际问题中的数，哪些是近似数，哪些是精确数？①八〔1〕班有55名学生②地球的半径约为6370千米③中华人民共和国现有31个省级行政单位④.（2）你还能举出一些实际问题中的近似数和精确数吗？答：___________________________________________________________________________.3.在一些实际问题中，常用四舍五入法得到一个数的近似数在利用近似数解决问题之前，必须对近似数的近似程度〔也就是精确度〕作出要求.如：计算圆的周长和面积要用到圆周率,对于经常按四舍五入法取它的近似值，如取3,3.1,3.14等，取3，就说精确到位，记作取3.1，就说精确到位〔或精确到0.1〕,记作取3.14，就说精确到位〔或精确到0.01〕,记作一般地,一个近似数四舍五入到哪一位,就说这个数精确到哪一位.三、自学自测1.以下表达中，出现近似数的是( )A．八年级(1)班有46名学生B．小李买了5支笔C．晶晶向希望工程捐款200元D．小芳体重为46千克2.地球的外表积约等于5.1亿平方千米，其中海洋面积约等于陆地面积的7129倍，那么地球上陆地面积约等于(精确到0.1亿平方千米)( )3..用四舍五入法写出以下各数的近似数〔1〕1.538(精确到0.01) ；〔2〕0.3654〔精确到0.01〕；〔3〕15.96〔精确到十分位〕；〔4〕257.47〔或精确到个位〕.四、我的疑惑_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________合作探究一、要点探究探究点1：准确数与近似数问题：判断以下各数哪些是准确数，哪些是近似数．(1) 一本小说有200页．( )(2) 小明的步长有1米．( )(3) 长江三峡水库的容量为390亿立方米．( )(4) 南京紫峰大厦地上有89层．( )(5) 英才中学师生共有4 356人．( )【归纳总结】此题主要考察了实数与数轴之间的对应关系，两点之间的距离为两数之差的绝对值.【针对训练】以下各数中，近似数有________，准确数______________.〔1〕小刚买了3本书；〔2〕我国的国土面积是960万平方千米；〔3〕我国共有34个省、直辖市、自治区和特别行政区；〔4〕一双没有洗的手，带有细菌约80000万个；〔5〕一天有24小时.探究点2：近似数的精确度问题：用四舍五入法，按要求对以下各数取近似值．(1)0.851 49(保存三位小数)；(2)47 600(精确到千位)；(3)0.298(精确到0.01)；(4)8 903 000(精确到万位)．【归纳总结】此题主要考察了实数与数轴之间的对应关系，两点之间的距离为两数之差的绝对值.【针对训练】1．(1) 对398．15取近似值，精确到百分位是，精确到个位是．(2) 近似数0．020精确到位；近似数3．10×104精确到位．(3) 2．598精确到百分位是；23 560精确到千位是．2．用四舍五入法对0．807 5取近似值为．(精确到0．01)内容准确数能表示原来物体或时间的实际数量的数.近似数能接实际的数或在计算中按要求所取的某个准确数接近的数.精准度一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数精确到哪一位.当堂检测1.以下问题中出现的数，哪些是准确数？哪些是近似数？〔1〕某中学八年级〔3〕班有64名学生；〔2〕小兰的身高接近1.6m；〔3〕数学课本共有178页；〔4〕某十字路口每天的车流量大约有10000辆；〔5〕我们居住的地球的半径约为6710km ；〔6〕某小区在入冬以后35户人家向物业部门保修暖气.2.以下由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？×103；〔4〕2.40万.×105km ，求地球和月球之间的距离〔结果精确到千分位〕.当堂检测参考答案：1.〔1〕准确数；〔2〕近似数；〔3〕准确数；〔4〕近似数；〔5〕准确数；〔6〕近似数.2.〔1〕32.9精确到十分位〔精确到0.1〕；〔2〕0.8960精确到万分位〔精确到0.0001〕；×103精确到百位；〔4〕2.40万精确到百位. 3.5551 2.57310 3.85510 3.8610km.2⨯⨯⨯=⨯≈⨯ 答：地球和月球之间的距离是53.8610km ⨯.。

例析中考中的最值问题

例析中考中的最值问题
李永军
【期刊名称】《魅力中国》
【年(卷),期】2013(000)004
【摘要】最值问题也已经成为近年来中考试题的热点之一。

它涉及的知识面广，
体现的数学思想方法也多，同时对学生能力的考查力度较大，还是具体反映学生素质教育的一个方面；下面以2006年中考题为例，就此类问题的各种解法分类探讨，供大家学习时参考；
【总页数】1页(P174-174)
【作者】李永军
【作者单位】河南濮阳经济开发区第三初级中学河南濮阳 457000
【正文语种】中文
【相关文献】
1.例析处理椭圆中的最值问题的方法与策略 [J], 邓华清;
2.例析高考中的复合最值问题 [J], 虞懿
3.例析实际应用中与球相关的最值问题 [J], 谢新华
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5.例析解三角形中的最值问题 [J], 李宁
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九年级数学上册导学案：22.3.1二次函数最值问题

22.3.1二次函数最值问题(研学案) 姓名：家长签名：研学目标：1、会用公式（或通过配方）确定抛物线得对称轴、顶点的位置2、会通过配方求出二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的最大值或最小值；研学过程环节一：知识回顾1、函数y= ax 2+bx+c 的顶点公式为（，），它的对称轴为 .2、求抛物线y=-2x 2+8x-7的开口方向，对称轴及顶点坐标（画草图）方法一：配方法：解：∴抛物线开口向；对称轴；顶点坐标方法二：公式法解：∵a= ，b= ，c= ∴ab 2-= = =-a b ac 442 = ∴抛物线开口向；对称轴；顶点坐标环节二：例题学习例1：求函数y=-2x 2+8x-7的最值．分析：由于函数y=-2x 2+8x-7的自变量x 的取值范围是，所以只要确定它的图象有最高点还是最低点，就可以确定它有最大值还是最小值．解：二次函数y=-2x 2+8x-7配方得y=二次项系数a= 0（中填“>”或“<”）因此抛物线y=-2x 2+8x-7有最点，即函数有最值．所以当x= 时，函数y=-2x 2+8x-7有最值是．小结：函数最大值或最小值的求法第一步：确定a 的符号，a ＞0有最值，a ＜0有最值；第二步：配方求顶点坐标，顶点的坐标即为对应的最大值或最小值．变式：求二次函数y=-2x 2+8x-7在)20(≤≤x 的最值。

环节三：巩固练习1、请确定下列函数的开口方向、对称轴及顶点坐标、最大值或最小值，并研究其增减性。

（1）22-+=x x y （-1≤x ≤2)解：∴抛物线开口方向，对称轴，顶点坐标当x= 时，函数有最值是 ; 当x= 时，函数有最值是．在对称轴的左侧y 随x 的增大而；在对称轴的右侧y 随x 的增大而 .（2）y=21x 2-4x+8 （-1≤x ≤2)∴抛物线开口方向，对称轴，顶点坐标当x= 时，函数有最值是 ; 当x= 时，函数有最值是．在对称轴的左侧y 随x 的增大而；在对称轴的右侧y 随x 的增大而 .2、有一根长为40 cm 的铁丝，把它弯成一个矩形框．当矩形框的长、宽各是多少时，矩形面积最大？最大面积是多少？解：设矩形的一边长为xcm ,另一边长为 cm ，矩形的面积为ycm 2则矩形的面积y 与边长x 的函数关系式是：研学小结：（1）怎样找二次函数的最值？（2）注意自变量的取值范围。