2014年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷及其解析

四川省2014年全国初中数学联赛（初三组）初赛试卷及其解答

（3月7日 下午4:00—6:00）

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）

本题共有6个小题，每题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中有且只有一个是正确的，将你选择的答案的代号填在题后的括号内，每小题选对得7分；不选、错选或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。

1、某件商品的标价为13200元，若以8折降价出售，仍可获利10%（相对于进货价），则该商品的进货价是 （ B ）

A 、9504元

B 、9600元

C 、9900元

D 、10000元

解析：本题是利润问题。法1：直接设进货价x 元，可列132000810.%x x ⨯-=，解之9600x =；法2：用算术

方法，列式

13200081109600.(%)⨯÷+=，选B 。

2、如图，在凸四边形ABCD 中，80,AB BC BD ABC ==∠=︒，则ADC ∠等于（ C ） A 、80° B 、100° C 、140° D 、160°

解析：法1：∵AB=BC=BD ，∴∠A=∠ADB ，∠C=∠CDB ，由∠A+∠ADB+∠CDB+∠C+∠ABC=360°，

∴2(∠ADB+∠CDB)=360°-80°，即∠CDA=140°； 法2：∵AB=BC=BD ，∴构建以B 为圆心的圆，故可容易得 ADC 所对的圆周角为40°，由圆内接四边形对角互补，所以140ADC

∠=︒，选C 。

3、如果方程2240()()x x x m --+=的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么，实数m 的取值范围是 （ D ）

A 、04m <≤

B 、3m ≥

C 、4m ≥

D 、34m <≤

解析：原方程的三根中有一根为x=2，另两根是x 2

-4x+m=0的两正根，设两根为12,,x x 故有12

02m x x ∆⎧≥⎪

>⎨⎪-<⎩，可解答得

34m <≤，选D 。

4、如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，60306,,,BAD ABC AB AD CD ∠=︒∠=︒==且,那么BD 的长度是 ( C )

A

B 、4 C

、 D

、 解析：法1：如图，延长AD 、BC 交点E ，可构建直角三角形ABE ，∠E=90°，

由∠ABC=30°，AB=6

，∴3,AE BE ==因为DC ∥AB,可得∠ECD=∠ABC=30°,

A

A

B

A B

∴1122

DE DC AD ==.113

,AE

AD DE DE AE =+∴=

=

,BD

= 法2：作DF ⊥AB 于F,CG ⊥AB 于G ，可去求得

再由

AF+FG+GB=AB=6，求得AD=2，故

，

FB=5,BD ==C 。

5、如果20140a -<<，那么20142014x a x x a -+++-+的最小值是 （ A ） A 、2014 B 、2014a + C 、4028 D 、4028a +

解析：用“零点分段法”，①当2014x <-时，化简原式≥x ->2014；②当2014x a -≤<时，化简原式=4028

x +≥2014；③当x

a ≥时，化简原式=324028x a -+≥4028a +2014>,综上所述，最小值为2014，选A 。

6、方程223()x xy y x y ++=+的整数解有 （ D ） A 、3组 B 、4组 C 、5组 D 、6组

解析：把方程看作是关于一个未知数的一元二次方程，求其整数解来解答。 如：看作是关于x 的一元二次方程，整理为

22330()x y x y y +-+-=，方程有解，故223430()()y y y ∆=---≥，即21413

(),y y -≤∴-≤≤。在

13y -≤≤的条件下，再解方程2

2

330()x y x y y +-+-=

，得x =,x y 为整数，且

13y -≤≤，解得203210

100223

,,,,,x x x x x x y y y y y y =====-=⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎨

⎨⎨⎨⎨⎨=-=====⎩⎩⎩⎩⎩⎩，所以共6组，选D 。

二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）

1、如图，扇形AOB 的圆心角90AOB ∠=︒，半径为5，正方形CDEF 内接于该扇形，则正方形CDEF

解析：作O M ⊥EF 于M ，交DC 于点N ，连接OF ，易得OM 为扇形的对称轴，设正方形边长

为2x ，由垂径定理，可得MF=CN=ON=x ，再由2

22

OM

MF OF

+=，有2

22

35

()

x x +=，

解之，2

x =

2、已知四个自然数两两的和依次从小到大的次序是：2

3、28、33、39、x 、y ，则

x y += 93 。

A

B A

B

A

B

解析：设四个自然数从小到大依次为a 、b 、c 、d ，则由题意有

23283339a b a c a d b c b d x c d y

+=⎧⎪+=⎪

⎪+=⎨

+=⎪⎪+=⎪

+=⎩，四式相加，有

3123()a b c d x y +++=++，而72a b c d +++=，所以93x y +=。

3、已知6x y -=

9=

的值是 4 。

a ，与已知根式相乘，得229()x xy xy y a ---=，即2

9()x y a -=，所以4a =。

4、有质地均匀的正方体形的红白骰子各一粒，每个骰子的六个面分别写有1、2、3、4、

5、6的自然数，随机掷红、白两粒骰子各一次，，红色骰子掷出向上面的点数比白色骰子掷出向上面的点数小的概率是 。

解析：利用树状图求概率。

5

12

三、（本大题满分20分）

已知2

240a a +-=，2a b -=，求

12

1a b

++的值。 解析：法（一）：由22,a b b a -=

=-得，又由2240a a +-=，知0a ≠，所以

2

121231122a

a b a a a a +=+=++---22

66622242433()a a a a a a a a a

====---+--- 法（二）：由已知0a

≠，再由2a b -=，得2a b =+ 和 2

224a ab a -=①，由原式与①求差，得245ab a =-。

∴

122224424246121224524522()()b a b a b b b a b ab b ab b a b b b +++++++++====+++-+-++62232()

()

b b +==--+ 四、（本大题满分25分）

R t A B C ∆中，90ACB ∠=︒，AE 垂直于AB 边上的中线CD ，交BC 于点E .

（1）求证：2

AC BC CE =⋅

（2）若3

4CD AE ==，，求边AC BC 与的长。 解析：（1）（法一）

∵ 90ACB

∠=︒，CD 是斜边AB 的中线，

E

C

A

B