点的合成运动
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理论力学第八章点的合成运动
3
实例三
描述一个长杆在平面内同时作直线运动和回转运动的合成运动，讨论合成运动对 杆心运动特性的影响。
合成运动中的矢量操作
在合成运动中，我们经常需要进行矢量的加法、减法和乘法等操作。这些操作可以帮助我们推导、计算和分析 合成运动的各种特性。
合成运动的应用及展望
应用
合成运动的概念和原理广泛应用于物理学、工程学和运动学等领域，为我们理解和解决复杂 的运动问题提供了有力的工具。
点的合成运动的基本概念
点的合成运动是指多个点以各自不同的速度和方向同时运动，并在同一时间 到达相对位置的运动方式。它是合成运动的基本形式之一。
合成运动的示意图和公式推导
示意图
通过示意图展示合成运动的过程和结果，帮助加深 理解。
公式推导
推导合成运动的公式，使我们能够定量描述和计算 合成运动的各个特性。
质点运动的合成运动
质点的合成运动是指质点在运动过程中，同时具有平移运动和旋转运动的一 种复杂运动形式。在合成运动中，质点的运动轨迹会呈现出特定的形态和规 律。
质点合成运动实例分析
1
实例一
分析一个小球在倾斜平面上同时进行滚动和滑动的合成运动，探讨其运动规律和 性质。
2
实例二
研究一个弹射体在水平飞行过程中受到重力和空气阻力合成运动的影响，揭示合 成运动对物体运动轨迹的影响。
理论力学第八章点的合成 运动
欢迎大家来到本次关于理论力学第八章点的合成运动的精彩演讲。在本次演 讲中，我们将深入探讨合成运动的定义、基本概念、示意图与公式推导，以 及质点运动的合成运动等内容。
合成运动的定义
合成运动是指由多个简单的运动相结合而成的复杂运动。它将两个或多个运 动矢量合成为一个合成矢量，从而形成全新的运动方式。
点的合成运动
定参考系：
动点相对定参考系的运动，称为 动点相对定参考系的运动，称为绝对运动 绝对运动。 。
动参考系：
固定在其他相对于地球运动的 参考体上的坐标系Ox’y Ox’y’ ’。
动点相对动参考系的运动，称为相对运动 动点相对动参考系的运动，称为相对运动。 。 动参考系相对定参考系的运动，称为 动参考系相对定参考系的运动，称为牵连运动 牵连运动
点的速度合成定理
点的速度合成定理
动点：A 动参考系：O’B 固定参考系：地面 相对运动：直线运动，vr 绝对运动：圆周运动
v a = rω
牵连运动：圆周运动
ve =Байду номын сангаасO' Aω O 'B
2
§3 点的合成运动
点的速度合成定理
点的速度合成定理
点的速度合成定理
速度合成定理将建立动点的绝对速度，相对速度和 牵连速度之间的关系。
点的速度合成定理
牵连点
● 动点动系不能同时固连在同一个刚体上。 ● 动点相对于动系的相对运动轨迹要明显。
点的速度合成定理
牵连点
点的速度合成定理
点的速度合成定理
例3-1 图3-6为曲柄滑道连杆机构。曲柄OA=a，以匀
解：（１）选取动点和动参考系
角速度 ω 绕O轴转动，其端点用铰链和滑道中的滑块A 连接，来带动连杆作往复运动。 求曲柄与连杆轴线成 ϕ 角时连杆的速度。
1
§3 点的合成运动
点的合成运动的概念
大梁不动时 定参考系？ 动参考系？ 绝对运动？ 相对运动？ 牵连运动？
点的合成运动的概念
定系： 动系： 动点： Oxy Ox’y’ 杆AB上的A点
直线 绝对运动： 相对运动： 曲线（圆弧） 直线平动 牵连运动：
理论力学
两个坐标系
定坐标系（定系） 动坐标系（动系）
三种运动
绝对运动：动点相对于定系的运动。 相对运动：动点相对于动系的运动。 牵连运动：动系相对于定系的运动。
定参考系
牵连运动
动参考系
动点
一点、二系、三运动
相对轨迹
相对速度 v r
相对加速度 a r
绝对轨迹
绝对速度 绝对加速度
va
aa
牵连速度 v e 和牵连加速度 a e
在动参考系上与动点相重合的那一点（牵连点）的 速度和加速度称为动点的牵连速度和牵连加速度。
(1) 动点相对于定参考系的速度、加速度和轨迹， 称为动点的绝对速度va、绝对加速度aa和绝对轨迹。
(2) 动点相对于动参考系的速度、加速度和轨迹， 称为动点的相对速度vr、相对加速度ar和相对轨迹 。
由于动参考系的运动是刚体的运动而不是一个点 的运动，所以除非动参考系作平动，否则其上各点的 运动都不完全相同。因为动参考系与动点直接相关的 是动参考系上与动点相重合的那一点(牵连点)，因此 定义：
rO xi ' yj 'zk '
v a d d r M t r O x i' y j ' z k ' x i' y j ' z k '
得
vavevr
点的速度合成定理：动点在某瞬时的绝对速度等于
它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。
处理具体问题时应注意： (1) 选取动点、动参考系和定参考系。
练习：已知 ,，小球的相对速度u，OM=l。 求：牵连速度和牵连加速度
y x'
y'
M
O
φ
x
实例一：车刀的运动分析
《点的合成运动》课件
合成结果决定了动物的整体运动轨迹和速度。
04
机械臂的运动也是点的合成运动的实例，机械臂的每 个关节的运动都是相对独立的，但它们的合成结果决 定了机械臂的整体位置和姿态。
03
点的合成运动计算方法
坐标系转换法
总结词
坐标系转换法是一种通过坐标变换来计算点的合成运动的方法。
详细描述
坐标系转换法的基本思想是将点的合成运动分解为一系列坐标系的旋转和平移变换，通过逐一应用这 些变换来计算合成运动的结果。这种方法需要明确各个坐标系之间的关系，并掌握坐标变换的规则。
《点的合成运动》ppt课件
目 录
• 点的合成运动概述 • 点的合成运动原理 • 点的合成运动计算方法 • 点的合成运动在工程中的应用 • 点的合成运动的发展趋势与展望
01
点的合成运动概述
定义与概念
定义
点的合成运动是指一个点在两个或多个运动的作用下的相对 运动。
概念
点的合成运动是分析机构运动的基础，是研究机构运动特性 的重要方法。
合成运动的分类
平面合成运动
一个点在平面内的两个或多个运动作 用下的合成运动。
空间合成运动
一个点在三维空间中的两个或多个运 动作用下的合成运动。
合成运动的应用场景
机械制造
01
在机械制造中，点的合成运动被广泛应用于机构分析和设计，
如连杆机构、齿轮机构等。
机器人学
02
在机器人学中，点的合成运动是实现机器人精确控制和轨迹规
03
，广泛应用于工程、物理和生物等领域。
点的合成运动特性
01
点的合成运动特性包括相对性、 独立性和叠加性。
02
相对性是指点的合成运动是相对 于观察者的，观察者的位置和速
04
机械臂的运动也是点的合成运动的实例，机械臂的每 个关节的运动都是相对独立的，但它们的合成结果决 定了机械臂的整体位置和姿态。
03
点的合成运动计算方法
坐标系转换法
总结词
坐标系转换法是一种通过坐标变换来计算点的合成运动的方法。
详细描述
坐标系转换法的基本思想是将点的合成运动分解为一系列坐标系的旋转和平移变换，通过逐一应用这 些变换来计算合成运动的结果。这种方法需要明确各个坐标系之间的关系，并掌握坐标变换的规则。
《点的合成运动》ppt课件
目 录
• 点的合成运动概述 • 点的合成运动原理 • 点的合成运动计算方法 • 点的合成运动在工程中的应用 • 点的合成运动的发展趋势与展望
01
点的合成运动概述
定义与概念
定义
点的合成运动是指一个点在两个或多个运动的作用下的相对 运动。
概念
点的合成运动是分析机构运动的基础，是研究机构运动特性 的重要方法。
合成运动的分类
平面合成运动
一个点在平面内的两个或多个运动作 用下的合成运动。
空间合成运动
一个点在三维空间中的两个或多个运 动作用下的合成运动。
合成运动的应用场景
机械制造
01
在机械制造中，点的合成运动被广泛应用于机构分析和设计，
如连杆机构、齿轮机构等。
机器人学
02
在机器人学中，点的合成运动是实现机器人精确控制和轨迹规
03
，广泛应用于工程、物理和生物等领域。
点的合成运动特性
01
点的合成运动特性包括相对性、 独立性和叠加性。
02
相对性是指点的合成运动是相对 于观察者的，观察者的位置和速
点的合成运动
种位移之间的关系为
MM'' =MM' + M' M''
目录
刚体的运动\点的合成运动
将上式两边分别除以Δt ,并取Δt→0 时的极限，得
y Ox
lim lim lim MM
MM
M M
t0 t
t0 t
t0 t
式在中绝：对lit运m0动M中Mt 的 表速示度动，点称在为瞬动时点t的、
y
vr
va
系相固结的物体的运动，因而是指一个刚体的运动，它可以是平移、
转动或其他复杂的运动。
目录
刚体的运动\点的合成运动
1.2 点的速度合成定理
以图示桥式起重机为例，研究
y Ox
绝对运动、相对运动和牵连运动三
者速度之间的关系。设在瞬时t，动 点在位置M。假如动点不作相对运
y
M''
动，则经Δt时间后，动点随动系运
理论力学
刚体的运动\点的合成运动
点的合成运动
在研究刚体的平面运动之前，先介绍点的合成运动的有关概念 及点的速度合成定理，这既是研究点的运动的又一种方法，又是研 究刚体复杂运动的基础。
1.1 点的合成运动的概念
在不同的物体上观察同一物体的运动时，会得出不同的结果。 例如，当火车行驶时，在车厢上观察车轮上一点的运动是圆周运动， 在地面上观察则是复杂的曲线运动，若在车轮上观察则是静止的。 因此，在研究一个物体的运动时，必须指明是相对于哪个物体而言， 即必须选定参考体或参考系。在工程上如果没有特别的说明，都是 以地面作为参考系。
目录
刚体的运动\点的合成运动 【例6.5】 凸轮机构（如图）中，导
杆AB可在铅垂管D内上下滑动，其下端 与凸轮保持接触。凸轮以匀角速度ω绕O 轴逆时针转动，在图示瞬时OA=a ，凸轮
理论力学点的合成运动
例 8-4 曲柄OA以匀角速度 w绕O轴转动，其上
套有小环 M，而小环 M又在固定的大圆环上运动，大 圆环的半径为 R。
试求当曲柄与水平线成的角 j ωt 时，小环 M
的绝对速度和相对曲柄 OA 的相对速度。
A
M w
R
O
j
C
解：（1）选择动点及 动系： 小环M为动点，动系固连在 OA上。
（2）分析三种运动：绝 对运动为圆周运动，相对运 动为沿OA的直线运动，牵连 运动为定轴转动。
y
OA杆转动的角速度为
O
wOA
ve OC
ve 2r
3u 6r
y
wOA B
j va vr
A
r ve C
x
u x
8.3 牵连运动是平动时点的加速度合成定理
在图8-9中，设 Oxyz为定系，Oxyz为动系且作平
动，M为动点。动点M在动系中的坐标为 x、y 、z， 动系单位矢量为 i、 j、k。动系平动，i、j、k 的
Oxyz 作某种运动，在瞬时t，动系连同相对轨迹AB在
定系中的I位置，动点则在曲线 AB
上的 M 点。经过时间间 隔 t ，动系运动到定系 中的II位置，动点运动到
点 M。 如果在动系上观
察点M 的运动，则它沿 曲线 AB 运动到点 M2。
z B
M2
vr
z
M O
A
O I
x
va
M B
ve M1
z
O x A
例 8-1 汽车以速度 v1 沿直线的道路行驶，雨滴 以速度 v2 铅直下落，试求雨滴相对于汽车的速度。
v1
解： 因为雨滴相对运动的汽车有运动，所以本题 为点的合成运动问题，可应用点的速度合成定理求解。
《点的合成运动》课件
点的合成运动的发展趋势
应用领域：在 计算机图形学、 虚拟现实等领 域有广泛应用
技术发展：随 着计算机技术 的发展，点的 合成运动将更 加精确、高效
研究热点：点 的合成运动在 动态图形生成、 动画制作等领 域的研究将更
加深入
应用前景：点 的合成运动在 虚拟现实、游 戏开发等领域 的应用前景广
阔
点的合成运动的研究方向
研究点的合成 运动在物理、 化学、生物等
领域的应用
研究点的合成 运动在工程、 制造、设计等
领域的应用
研究点的合成 运动在教育、 培训、科研等
领域的应用
研究点的合成 运动在虚拟现 实、增强现实 等领域的应用
点的合成运动的未来展望
应用领域：在机 器人、自动驾驶 等领域有广泛应 用前景
技术发展：随着 人工智能、大数 据等技术的发展， 点的合成运动将 更加智能化、精 准化
点的合成运动的概
01
念
点的合成运动的定义
概念：点的合成运 动是指将两个或多 个点按照一定的规 律进行组合，形成 一个新的点。
应用：点的合成运 动广泛应用于图形 处理、动画制作等 领域。
特点：点的合成运 动具有可逆性、可 重复性等特点。
原理：点的合成运 动基于向量运算和 几何变换原理。
点的合成运动的分类
稳定性，减少故障率。
点的合成运动在自动化生产线中的应用
机器人控制：通过点的合成运动 控制机器人进行精确定位和运动
生产线监控：通过点的合成运动 实现生产线的实时监控和故障诊 断
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
物料搬运：通过点的合成运动实 现物料的自动化搬运和分拣
质量检测：通过点的合成运动实 现产品的自动质量检测和分类
点的合成运动
1点的合成运动§1 点的合成运动的概念§1点的合成运动的概念§2 点的速度合成定理§3 点的加速度合成定理2§1点的合成运动的概念物体的运动对于不同的来说是不同参考体来说是不同。
同一物体相对于不同参考体的运动之间有什么样的联系呢？3摆线（旋轮线）（cycloid）个圆沿直线缓慢地滚动，则圆上固定点所经过的一个圆沿一缓慢地滚动则圆上一固定点所经过的轨迹称为摆线．4轮缘上M点车厢平动相对地球的轨迹---旋轮线相对车厢的轨迹---圆周合成运动——相对于某一参考体的运动可由相对于其5它参考体的几个简单运动组合而成，这种运动称为合成运动。
动点所研究的点（运动着的）一．动点：所研究的点（运动着的）二．坐标系：1.固定参考系, 简称定系。
2.动参考系：相对定系运动的参考系,简称动系。
6三．三种运动及三种速度与三种加速度。
１．绝对运动１２．相对运动３．牵连运动绝对运动:相对运动:牵连运动:牵连运动动点(相对轨迹、度度(绝对轨迹、速度与加速度)速度与加速度)动系定系牵连运动(刚体运动)(牵连速度与加速度)动系上与动点重合的点(牵连点)合成牵8相对运动+牵连运动绝对运动⇔分解⒈选取动点、动系、定系：动点:物块A 动点: 物块A ，动系: 固连小车，定系:固连地面定系: 固连地面。
⒉三种运动分析：⑴绝对运动：定系动点A绝对轨迹：未知曲线⑵相对运动:⑶牵连运动:9动点A 动系（小车）相对轨迹：铅直直线直线平动动系（小车）定系§２点的速度合成定理式中(1)rRR+=式中，zkyjxir++=动系转动时，i, j, k的方向随时间而变化10时间而变化。
OARRi−=RRiOA−=&&&RROA−=×−×=ωω()(2)iRROA×=×ωωjj×=ω&(3)kk×=ω&11在求r ~dtrd v r =•将r在定系中对时间求绝对导数，有k z&()6上述公式适用于任意矢量对时间的求导运算。
点的合成运动
vr ve va r0
BD
ve r 0 BD l
11
已知：OA 0 常数 , OA r , BC DE , BD CE l , 求：BD , BD
3.加速度
方向
a a a e a ar
t n e
BD
BD
√
√
√
√
2 BD
2
√
√
√
√
aen 2 OA 2 2e
vr2
vr art arn
向η轴投影：
n
3
3
θ n
aa cos ae cos ar aC
n
2 2 2 3 16 e 8 e 2 2 2 aa (2e ) e 2 9 3 3 3 3
8
O ω
OA水平时,O1B的角速度ω1和角加速度 。 解：1. 速度分析： 动点为滑块 A , 动系固于摇杆 O1B 上。 绝对运动 — 圆周运动（ O 为圆心） va 牵连运动 — 定轴转动（O1为圆心） B vr 相对运动 — 直线运动（沿 O1B 方向） 2 v r ω e
O A
va ve vr
ω O
α
A α O 1
O
D
x
va vA OA 125.6 cm / s
由几何关系可知：
R
C
vBCD ve vr va 125.6 cm / s
2
aa ae ar aa aan 2 OA n t n n t n tt n 2 2 a a a aa aaa a a a a a a e e rr r e c (4 ) 10 1579 cm/s
理论力学课件第6章
lim MM lim MM1 lim M1M
t0 t
t0 t
t0 t
根据点的速度定义，动点 M 在瞬时t 的绝对速度为
va
lim
t 0
MM t
它的方向沿绝对轨迹 MM 的切线。
相对速度
vr
lim
t 0
M1M t
它的方向沿在 M 点处相对轨迹AB 的切线。
牵连速度
ve
lim
t0
MM1 t
同样，它的方向沿曲线 MM1 的切线。 由上述关系，便可得到 va ve vr （6-4）
式（6-4）表示：动点的绝对速度等于动点的牵连速度与相对速度
的矢量和，这就是点的速度合成定理，即动点的绝对速度 va 可由它 的牵连速度 ve 与相对速度vr 构成的平行四边形的对角线来确定，如
图6-3所示。该平行四边形称为速度平行四边形。
度为 ve 。同样由速度合成定理有 va ve vr （b）
现以 aa 表示动点的绝对加速度。根据动点的加速度定义，则动点
的绝对加速度 aa 可写成
aa
lim va va t0 t
（6-5）
将式（a）和式（b）均代入（6-5）式并整理，得到
aa
lim (ve
t 0
vr) (ve t
vr )
本章内容
1 点的合成运动的概念 2 点的速度合成定理
3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理 4 牵连运动为定轴转动时点的加速度合成定理
第一节 点的合成运动的概念
引例 图6-1（a）所示的沿直线轨道滚动的车轮，其轮缘上的点 M ， 对于固结在地面上的坐标系来说，其轨迹是旋轮线，但是对于固结在车 厢上的坐标系来说，其轨迹则是一个圆；又如，图6-1（b）所示的等速
点的合成运动
解： ⒈ 选取动点、动系、 静系： 动点：凸轮上的Ｃ点, 动系：固连摆杆OA， 静系：固连地面。 ⒉ 三种运动分析： ⑴ 绝对运动： 动点C ⑵ 相对运动: 动点C
静系 绝对轨迹： （摆杆OA ） 动系
静系 定轴转动
相对轨迹：
⑶ 牵连运动: 动系（摆杆OA ）
⒊ 三种速度分析: 由速度合成定理：
§9-3
牵连运动为平动时点的加速度合成定理
一．定理的导出 设有一动点M按一定规律沿着固连于动系O'x'y'z' 的曲线 AB运动, 而曲线AB同时又随同动系O'x'y'z' 相对静系Oxyz平动。 由于牵连运动为平动，故
ve vO ' , ae aO '
由速度合成定理
va ve vr
若动点A在 偏心轮上时，动 系固连AB杆，绝 对运动轨迹为以
动点：A(在AB杆上) 动系：固连偏心轮 静系：固连地面 动点A 绝对运动： 静系 绝对轨迹：铅直直线 动点A 相对运动： （偏心轮） 动系
相对轨迹： 曲线（圆弧） 牵连运动： 动系 （偏心轮) 静系 定轴转动
OA为半径的圆， 而相对运动轨迹 为未知曲线。
因牵连运动为平动，故有
aa ae ar ar
大小：? 方向：
n
aO
? vr2 / R 两未知
量可解
⒌ 加速度分析:
aa ae ar ar
大小：? 方向：
n
aO
2
n
? v / R 两未知 量可解
2 r
n
2
4v 2 其中 a r vr / R ( v0 ) 2 / R 0 3R 3
理论力学.
相对运动：沿O1B的直线运动； 牵连运动：摇杆绕O1轴的定轴转动。
2.速度分析： vavevr
大小：rω ? ?
方向：√ √ √
v e v as i n rs in
1
ve r2
O1A l2 r2
例7-4
已知：如图所示半径为R、偏心距为e的凸轮，以角速度ω 绕O轴转动，杆AB能在滑槽中上下平移，杆的端点A始终 与凸轮接触，且OAB成一直线。 求：在图示位置时，杆AB的速度。
求：当连线OM在水平位置时， 圆盘边缘上的点M的绝对速度。
D
C
M
B A
解： 1.运动分析：
动点：M点 ； 动系:固连于框架BACD；
绝对运动：未知；
相对运动：以O为圆心的圆周运动；
牵连运动：绕AB轴的定轴转动。
2.速度分析
C
vavevr
大小： ？ Rω2 Rω 1
方向： ？ √ √
vave 2 vr2R1 222
用铰链连接。当曲柄OA以匀角速度ω绕固定轴O转动时，
滑块在摇杆O1B上滑动，并带动杆O1B绕定轴O1摆动。设曲
柄长为OA=r，两轴间距离OO1=l。
求：曲柄在水平位置时摇杆的角 加速度。
解:
1.运动分析：
§动 绝牵点对连7-M运 运4相动动牵对、：连于相D运E地对动的面动绝运是水作动定平空点对、轴平间牵转移曲：运连动。线运时运滑动动点动的块：加速以度A合O；成点为动圆系心:，与O摇A杆为半固O径1 连B的；圆周运动；
arctvvaer)na( rct a1 2)n(
D M
B A
点的速度合成定理的解题步骤
1.选取动点、动参考系和定参考系； 2.分析三种运动和三种速度；
绝对运动、相对运动、牵连运动 绝对速度、相对速度、牵连速度 3.应用速度合成定理，做出速度平行四边形； 绝对速度为平行四边形的对角线 4.利用速度平行四边形中的几何关系解出未知数。
2.速度分析： vavevr
大小：rω ? ?
方向：√ √ √
v e v as i n rs in
1
ve r2
O1A l2 r2
例7-4
已知：如图所示半径为R、偏心距为e的凸轮，以角速度ω 绕O轴转动，杆AB能在滑槽中上下平移，杆的端点A始终 与凸轮接触，且OAB成一直线。 求：在图示位置时，杆AB的速度。
求：当连线OM在水平位置时， 圆盘边缘上的点M的绝对速度。
D
C
M
B A
解： 1.运动分析：
动点：M点 ； 动系:固连于框架BACD；
绝对运动：未知；
相对运动：以O为圆心的圆周运动；
牵连运动：绕AB轴的定轴转动。
2.速度分析
C
vavevr
大小： ？ Rω2 Rω 1
方向： ？ √ √
vave 2 vr2R1 222
用铰链连接。当曲柄OA以匀角速度ω绕固定轴O转动时，
滑块在摇杆O1B上滑动，并带动杆O1B绕定轴O1摆动。设曲
柄长为OA=r，两轴间距离OO1=l。
求：曲柄在水平位置时摇杆的角 加速度。
解:
1.运动分析：
§动 绝牵点对连7-M运 运4相动动牵对、：连于相D运E地对动的面动绝运是水作动定平空点对、轴平间牵转移曲：运连动。线运时运滑动动点动的块：加速以度A合O；成点为动圆系心:，与O摇A杆为半固O径1 连B的；圆周运动；
arctvvaer)na( rct a1 2)n(
D M
B A
点的速度合成定理的解题步骤
1.选取动点、动参考系和定参考系； 2.分析三种运动和三种速度；
绝对运动、相对运动、牵连运动 绝对速度、相对速度、牵连速度 3.应用速度合成定理，做出速度平行四边形； 绝对速度为平行四边形的对角线 4.利用速度平行四边形中的几何关系解出未知数。
点的合成运动资料课件
软件与工具的选择建议
01
根据项目需求选择合适的软件与工具，如进行复杂的三维建模和运动仿真，应 选择如AutoCAD或SolidWorks等专业软件；如需要进行数据处理和简单的分 析，可以选择Excel或Python等常用工具。
02
考虑软件的易用性和学习曲线，初学者可选择界面友好、易于上手的软件；专 业用户可根据自己的习惯和项目需求选择更为专业的软件。
一款三维CAD软件，适用于进行复杂机械设计和仿真。它 支持点的合成运动分析，并提供了强大的运动模拟功能。
常用工具介绍
Microsoft Excel
一款电子表格软件，虽然不是专门为点的合成运动分析 而设计，但可以通过公式和函数进行简单的数据处理和 分析。
Python
一种编程语言，通过使用特定的库（如NumPy、 Pandas等），可以进行数据的处理、分析和可视化。
点合成运动的机械结构相对简单，减少了 机械磨损和故障率，提高了设备的可靠性 和稳定性。
点合成运动的局限性
成本高
点合成运动的设备成本较高，对于一些小型企业而言，投资门槛较高 。
技术难度大
点合成运动需要高精度的伺服控制系统和复杂的算法支持，技术难度 较大，需要专业人员进行维护和操作。
适用范围有限
点合成运动适用于一些特定的生产场景，如精密加工、机器人制造等 ，对于一些大规模、重型或简单的生产任务可能并不适用。
点的合成运动在工程中的应用
机械制造中的点合成运动
机械制造中，点的合成运动被广泛应 用于切削、磨削、装配等工艺过程中 。通过控制点的合成运动，可以精确 地控制工件的形状和尺寸，提高制造 精度和产品质量。
在切削过程中，通过控制刀具和工件 之间的相对运动，可以实现复杂曲面 的加工。在磨削过程中，控制点的合 成运动可以实现对工件表面微观形貌 的精确调控。
理论力学8—点的合成运动
(2) 应用速度合成定理时,可利用速度平行四边形中的 几何关系解出未知数。也可以采用投影法：即等式左 右两边同时对某一轴进行投影，投影的结果相等。
7.2 点的速度合成定理
通常选动点和动系主要有以下几种情况： 1. 有一个很明显的动点，在题中很容易发现；
2. 有一个不变的接触点，可选该点为动点；
3. 没有不变的接触点，此时应选相对轨迹容易确 定的点为动点； 4. 必须选某点为动点，而动系要取两次； 5. 根据题意，必须取两次动点和动系； 6. 两个不相关的动点，可根据题意来确定；
＝ωt， 已知：r，相对速度v，
求：点M的绝对运动方程。
t0
0。
解:
动点：M 点 动 系 ： O x y
相对运动方程
OO x O M cos 1 1 O y M sin 1
代入
vt r
＝ωt， 已知：r，相对速度v，
求：点M的绝对运动方程。
vt x r 1 cos r y r sin vt r
第 7 章
点的合成运动
8.1 相对运动· 牵连运动· 绝对运动
8.2 点的速度合成定理
8.3 点的加速度合成定理
7.1 相对运动· 牵连运动· 绝对运动
一、方法及思想起源
运动合成的思想我们 大家都很熟悉，比如说右 边直升飞机螺旋桨端的P 点，其运动就可以分解为： “随螺旋桨一起相对飞机 机身的运动”和“随机身 一起在空中的移动”。你 们可以试着点击一下图片， 看看运动合成的情况。
A
y`
转轮
x
现在我们可以这样陈述：动点A相对于坐标架xoy的运动（螺旋 线），可以分解为动点相对于坐标架x`oy`的运动（直线运动）和坐 标架x`oy`相对于坐标架xoy的运动（定轴转动）。
点的合成运动
r cos 45 e e
r
45
e 4
a 8 e
e r 式向y方向投影： 由 a
sin r sin 45 a 4 / sin a
x方向：
cos e r cos 45 4 a 45
r a sin
r OA
OO1 sin OO1 sin OA
向 x 轴投影： e a cos
O B
1
e
O1 A
a cos
O1 A
cos 1 sin 2 O1 A
y
OA sin(180 ) sin
大小 ？ √ ？
e r a
？ √ ？
方向 ？ √ √
？ √ √
注意：绝对速度 a及夹角，无论坐标怎样选取，其大
小和方向都不变。 因此
a
r e r e
r cos 45 8 4 4
r
将上式投影到x方向：
A b v
va ve vr
x
M
300
y
B
n τ n aa aa ae ar ar ac
0
求速度和加速度因轨 迹变化复杂，相对速 度和相对法向加速度 无法求解，导致其他 速度和加速度解不出, 因此动点选取时应选 该动点不变的点，如 直角端点为动点。
τ ae
3 ac 21 vr r 4
2
aen=2r/8
3 r 4
2
1
ae
0' M
r
45
e 4
a 8 e
e r 式向y方向投影： 由 a
sin r sin 45 a 4 / sin a
x方向：
cos e r cos 45 4 a 45
r a sin
r OA
OO1 sin OO1 sin OA
向 x 轴投影： e a cos
O B
1
e
O1 A
a cos
O1 A
cos 1 sin 2 O1 A
y
OA sin(180 ) sin
大小 ？ √ ？
e r a
？ √ ？
方向 ？ √ √
？ √ √
注意：绝对速度 a及夹角，无论坐标怎样选取，其大
小和方向都不变。 因此
a
r e r e
r cos 45 8 4 4
r
将上式投影到x方向：
A b v
va ve vr
x
M
300
y
B
n τ n aa aa ae ar ar ac
0
求速度和加速度因轨 迹变化复杂，相对速 度和相对法向加速度 无法求解，导致其他 速度和加速度解不出, 因此动点选取时应选 该动点不变的点，如 直角端点为动点。
τ ae
3 ac 21 vr r 4
2
aen=2r/8
3 r 4
2
1
ae
0' M
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vr与铅垂线的夹角
v
2 2
tan
v1 v2
例 7-2 刨床的急回机构如图 7-4(a)示，曲柄 OA 的一端 与滑块 A 用铰链连接。当曲柄 OA 以匀角速度 绕定轴
O 转动时，滑块在摇杆 O1B 的槽中滑动，并带动摇杆
O1B 绕固定轴 O1 来回摆动。设曲柄长 OA=r，两轴间
距离 OO1 l ， 求曲柄在水平位置
MM 1是此牵连点的轨迹。
MM 1 MM 1 M 1M 1
lim MM1 lim MM 1 lim M1M1
t0 t
t0 t t0 t
va
lim
t 0
MM 1 t
显然：
ve
lim MM1 t0 t
vr
lim
t 0
M 1M 1 t
速度合成定理
va ve vr
动点的绝对速度等于它 的牵连速度与相对速度 的矢量和
的瞬时，摇杆 O1B 绕 O1 轴摆动的角 速度1 及滑块 A 对 于摇杆 O1B 的相对
速度。
解：该机构在运动过程中，
滑块A与摇杆O1B相对运动， 且A相对于摇杆O1B的直线
运动轨迹为已知，
➢动点：滑块A ➢动系：与摇杆O1B固连
绝对运动：圆周运动
相对运动：滑块沿滑槽的直线运动
牵连运动：摇杆绕O1轴的转动
沿直线轨道滚动的圆 轮，轮缘上A点的运 动，对于地面上的观 察者来说，点的轨迹 是旋轮线，但对站在 轮心上的观察者来说 是圆。
A点的运动可看成随轮心的平动与绕轮心转动 的合成。
❖参考系
静坐标系或定坐标系：固结在地球
上的坐标系；以Oxyz表示。
动坐标系：固定在其它相对于地球运 动的参考体上的坐标系；以Oxyz表示
在任意瞬时，只有牵连点的运动能够给动点 以直接的影响。为此，定义某瞬时，与动点 相重合的动坐标系上的点（牵连点）相对于 静坐标系运动的速度称为动点的牵连速度
下图中，动坐标系OA上各点的速度大小不一 样
M点绝对速度va沿着绝对运动轨迹（半圆弧）在点M 处的切线方向，即va垂直于点M与圆心的连线； M点相对速度vr沿着动点M与动系（摇杆OA）的相对 运动轨迹的切线方向，即沿着OA上的滑槽方向；
图(b)是A点的速度矢量图，建立图示A坐标轴，并
第六章 点的合成运动
第一节 点的绝对运动、相对运动和牵连运动 第二节 速度合成定理 第三节 牵连运动为平移时，点的加速度合成 定理 第四节 牵连运动为平移时，点的加速度合成 定理
第一节 点的绝对运动、相对运动和牵连运动
合成运动：相对于某一参考体的运动可由相对 于其它参考体的几个运动组合而成，称这种运 动为合成运动
解题格式
➢M点的相对运动：相对于动坐标系 （摇杆OA）做平动，也就是沿OA杆上 的滑槽滑动
➢牵连运动：点M受动坐标系（摇杆OA） 牵连，牵连运动是动坐标系的运动，此 题中动坐标系是摇杆OA，因此牵连运 动为摇杆OA绕O点定轴转动。
讨论
➢动点的绝对运动和相对运动都是点的 运动，它可能是直线运动，也可能是曲 线运动。
雨滴相对于车厢的速度。
解：动点:雨滴M，动系Oxy与车厢固结，
静系：Oxy 绝对运动：雨滴相对地面铅垂落下 相对运动 ：雨滴相对于车厢的运动 牵连运动：车厢的运动（平动）
解： 绝对速度为va= v2
车厢作移动，故雨滴M的牵连点的速度为v1， 即雨滴M的牵连速度ve = v1
vr
ve2
v
2 a
v12
M点牵连速度ve是动系（摇杆OA）上与M点位置重合 的那个几何点的速度，由于摇杆OA 绕点O定轴转动， 故ve 垂直于杆OA。
再如，直管OB以匀角速度绕定轴O转动，小 球M以速度u在直管OB中作相对的匀速直线运 动，如图示。将动坐标系固结在OB管上，以 小球M为动点。随着动点M的运动，牵连点在 动坐标系中的位置在相应改变。设小球在t1、 t2瞬时分别到达M1、M2位置，
试讨论如下机构的静坐标系和动坐 标系。
➢三种运动
绝对运动：动点相对于静坐标系的运动。 相对运动：动点相对于动坐标系的运动 牵连运动：动坐标系相对于静坐标系的运动
试讨论如下机构中，M点在图示位置时的绝对 运动、相对运动和牵连运动。
解题格式
➢动点：M ➢动系：摇杆OA ➢静坐标系：固结于地面（有时直接说 地面） ➢动坐标系：固结于摇杆OA（有时直接 说摇杆OA ） ➢M点的绝对运动：沿半圆槽BC运动， 轨迹为圆弧
点这个几何位置处的运动。
▪在运动的不同瞬时，动点与动坐标系上不 同的点重合，而这些点在不同瞬时的运动状
态往往不同 。
❖速度合成定理
动点在一个任意运动的刚体
K上沿弧AB相对于刚体K运动 动坐标系固结在刚体K上，
静坐标系固结在地面上
瞬时t，动点位于M处
t后，动点运动到 M 1处
绝对运动轨迹 MM 1
则动点的牵连速度 分别为
ve1 OM 1
ve2 OM 2
动点与牵连点
▪动点和牵连点是一对相伴点，在运动的同一 瞬时，它们是重合在一起的。
▪动点是与动系有相对运动的点 。动点往往 是有实际意义的，比如滑块、小环、杆端等 等。 ▪牵连点是动系上的几何点 ，是个几何位置。 ▪对动点来说，牵连运动是动坐标系在牵连
上式为矢量方程，它包含了绝对速度、牵 连速度和相对速度的大小、方向六个量， 已知其中四个量可求出其余的两个量。
例7-1 火车车厢以速度v1沿直线轨道行驶（图
7-5）。雨滴M沿铅垂落下，其速度为v2。求
雨滴相对于车厢的速度。
例7-1 火车车厢以速度v1沿直线轨道行驶（图
7-5）。雨滴M沿铅垂落下，其速度为v2。求
标系上的点（牵连点）相对于静坐标系运动 的速度。(即动点若相对于动坐标系静止时它 所应具有的速度)
牵连点：在任意瞬时，与动点相重合的动 坐标系上的点，称为动点的牵连点。牵连 点是一个几何点（几何位置）。
讨论
动坐标系是一个包含与之固连的刚体在内的 运动空间。除非动坐标系作平移，否则动坐 标系上各点的运动状态是不相同的。
➢牵连运动则是动坐标系的运动，属于 刚体的运动，有平移、定轴转动和其它 形式的运动。
➢动坐标系作何种运动取决于与之固连 的刚体的运动形式。
第二节 速度合成定理 ❖绝对速度、相对速度和牵连速度
绝对速度va：动点相对于静坐标系运动的速度
相对速度vr：动点相对于动坐标系运动的速度
牵连速度ve：某瞬时，与动点相重合的动坐