纠错码在通信系统中的应用

第７卷 第４期 ２００８年 ４ 月
软件导刊 Ｓｏｆｔｗａｒｅ Ｇｕｉｄｅ
Ｖｏｌ．７ Ｎｏ．４ Ａｐｒ． ２００８
纠错码在通信系统中的应用
吕 菲， 刘大伟
（ 武警工程学院 基础部， 陕西 西安 ７１００８６）
摘 要： 结合纠错码的基本原理， 重点论证了海明码的计算方法及其在通信系统中的应用， 并提出了利用海明码纠
值得注意的是： ｋ个连续的码字被排成一列传输， 每行一个 码字。传输的时候每次一个码字， 从左向右。这样， 就把待传输 的码字构成了一个矩阵， ｋ行ｍ列， 这里假设每个码字的报文位 为ｍ。然而， 我们也能把这个矩阵看成是ｍ个码字， 每个码字有ｋ 个报文位。如果一个突发性错误的长度小于等于ｋ位， 则每一列 至多 只 有１位 出 错 ， 也就 是 说 ， 看 成ｍ个 码字 后 ， 每 个 码 字 里 至 多只有１位错误， 用海明码可以纠正。也就是说， 利用ｋｒ个校验 位， 使ｋｍ个数据位能够纠正长度小于或等于ｋ的单个突发性错 误。
以下是由３个校验方程推导出的确定校验位的公式：
Ａ＝Ｂ１⊕Ｂ３⊕Ｂ５⊕Ｂ７＝０ Ｂ＝Ｂ２⊕Ｂ３⊕Ｂ６⊕Ｂ７＝０ Ｃ＝Ｂ４⊕Ｂ５⊕Ｂ６⊕Ｂ７＝０
"$Ｐ１＝Ｄ１⊕Ｄ２⊕Ｄ４ #$$$Ｐ２＝Ｄ１⊕Ｄ３⊕Ｄ４ %$$Ｐ３＝Ｄ２⊕Ｄ３⊕Ｄ４
在接收方， 可根据这３个校验方程对接收到的信息进行同
样的奇偶测试， 若３个校验方程都成立， 即方程式右边都等于０，
参考文献：
［ １］ Ａｎｄｒｅｗ Ｓ．Ｔａｎｅｎｂａｕｍ ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｎｅｔｗｏｒｋｓ， ｆｏｕｒｔｈ ｅｄｉｔｉｏｎ［ Ｍ］ ．北 京 ： 清华大学出版社， ２００４．
［ ２］ 王爱英．计算机组成与结构［ Ｍ］ ．北京： 清华大学出版社， ２００１． ［ ３］ 王新梅， 肖国镇．纠错码－ 原理与方法［ Ｍ］ ．西安： 西安 电 子科 技 大
３ 结束语
普通的海明码的码距应该是３， 所以能发现２位， 或者纠正１位 错误， 应满足２ｋ－ １≥ｍ＋ｋ。； 而奇偶校验码的码距是２， 只能发现１ 位出错， 但不能纠正； 无校验的码距是１， 它出任何一位错后还 是合法代码， 所以也就无法检测错误。
我们还讨论了一种码距为４的海明码， 可以发现２位， 并且 纠 正 １位 错 。 应 满 足 ２（ ｋ－ １） ≥ｍ＋ｋ。
ｒ为编码时外加冗余位位数 ｎ为编码后的码字长度
２ 纠错码在通信系统中的应用
信号在物理信道中传输时， 线路本身电器特性造成的随机
作者简介：吕菲（ １９８０￣） ， 男， 河南漯河人， 武警工程学院硕士研究生， 研究方向为分布式计算； 刘大伟（ １９８０￣） ， 男， 山东潍坊人， 武警工程学院硕士 研究生， 研究方向为地理信息系统。
Ｐ４＝Ｄ４⊕Ｄ３⊕Ｄ２⊕Ｄ１⊕Ｐ３⊕Ｐ２⊕Ｐ１
Ｐ３＝Ｄ４⊕Ｄ３⊕Ｄ２
Ｐ２＝Ｄ４⊕Ｄ３⊕Ｄ１ Ｐ１＝Ｄ４⊕Ｄ２⊕Ｄ１ 译码方程的值是接收方判断接收数据的依据， 由此得到以 下方程： Ｓ４＝Ｄ４⊕Ｄ３⊕Ｄ２⊕Ｄ１⊕Ｐ４⊕Ｐ３⊕Ｐ２⊕Ｐ１ Ｓ３＝Ｐ３⊕Ｄ４⊕Ｄ３⊕Ｄ２ Ｓ２＝Ｐ２⊕Ｄ４⊕Ｄ３⊕Ｄ１ Ｓ１＝Ｐ１⊕Ｄ４⊕Ｄ２⊕Ｄ１ 如果接收正确， 译码方程的值应该全部为０。 如果Ｓ４＝０， 则有两位出错； Ｓ４＝１， 一位出错， 可以纠正。例如 接 收 到 的 是 １００１０００１， Ｓ４＝Ｄ４⊕Ｄ３⊕Ｄ２⊕Ｄ１⊕Ｐ４⊕Ｐ３⊕Ｐ２⊕Ｐ１＝１⊕０⊕０⊕１⊕０⊕０⊕ ０⊕１＝１ Ｓ３＝Ｐ３⊕Ｄ４⊕Ｄ３⊕Ｄ２＝０⊕１⊕０⊕０＝１ Ｓ２＝Ｐ２⊕Ｄ４⊕Ｄ３⊕Ｄ１＝０⊕１⊕０⊕１＝０ Ｓ１＝Ｐ１⊕Ｄ４⊕Ｄ２⊕Ｄ１＝１⊕１⊕０⊕１＝１ 显然属于Ｓ４＝１， １位出错。根据译码方程的值１１０１查译码阵 列中的对应列， 知道Ｄ２发生错误， 纠正为１０１１０００１。
正突发性错误的方法。
关键词： 纠错码； 海明码； 码距
中图分类号： ＴＰ３０１
文献标识码： Ａ
文章编号： １６７２－ ７８００（ ２００８） ０４－ ００１７－ ０２
０ 引言
所谓纠错码， 就是指在每一个发送的数据块中包含足够的 冗余信息， 以便接收方可以推断出被发送数据中肯定有哪些内 容。任何把信息以数字（ １、０的序列） 形式传送的数字系统中， 存 在一定量的数字被误收的概率。只有在理想的无噪声系统中， 才能期望绝对无误地接收这样的数据。因此， 重要的是提供信 息的编码方式， 以便在接收端有了差错能够被检查出来， 或被 纠正。由于在长距离传输以及多噪声传输中， 用检错码不能够 满足要求， 重传的代价较高， 在这些情况当中， 通常使用纠错 码。
海 明 码 是 一 种 可 以 纠 正 １位 差 错 的 分 组 码 。它 利 用 在 ｋ个 信 息位上， 增加ｒ位冗余位， 构成一个ｎ＝ｋ＋ｒ位的码字， 然后用ｒ个监 督关系式产生的ｒ个校正因子来区分无错和在码字中的ｎ个不 同位置的１位错。
使用具有ｋ位数据的海明码， 所需步骤如下： （ １） 确定最小的校验位数ｒ， 将它们分别记成Ｐ１、Ｐ２、…、Ｐｒ。
传输中的差错都是由噪声引起的。噪声有两大类， 一类是 信道固有的、持续存在的随机热噪声； 另一类是由外界特定的 短暂原因所造成的冲击噪声。
热噪声引起的差错称为随机差错， 所引起的某位码元的差 错是孤立的， 与前后码元没有关系。它导致的随机错通常较少。
冲击噪声呈突发状， 由其引起的差错称为突发错。冲击噪 声幅度可能相当大， 无法靠提高幅度来避免冲击噪声造成的差 错， 它是传输中产生差错的主要原因。冲击噪声虽然持续时间 较短， 但在一定的数据速率条件下， 仍然会影响到一串码元。 假设ｍ个报文位， ｒ个冗余位， 求海明码：
学出版社， ２００１． ［ ４］ 冯克勤．纠错码的代数理论［ Ｍ］ ．北京： 清华大学出版社， ２００５．
（ 责任编辑： 卓 光）
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软件导刊
２００８ 年
噪 声 、信 号 幅 度 的 衰 减 、频 率 和 相 位 的 畸 变 、电 器 信 号 在 线 路 上 产 生 反 射 造 成 的 回 音 效 应 、相 邻 线 路 间 的 串 扰 以 及 各 种 外 界 因 素（ 如大气中的闪电、开关的跳火、外界强电流磁场的变化、电 源的波动等） 都会造成信号的失真。在数据通信中， 将会使接受 端收到的二进制数位和发送端实际发送的二进制数位不一致， 从 而 造 成 由 “０”变 成 “１”或 由 “１”变 成 “０”的 差 错 。
Ｐ２位 检 验 Ｂ２、Ｂ３、Ｂ６、Ｂ７、Ｂ１０、Ｂ１１… …
Ｐ３位 检 验 Ｂ４、Ｂ５、Ｂ６、Ｂ７、Ｂ１２、Ｂ１３… …
Ｐ４位 检 验 Ｂ８、Ｂ９、Ｂ１０、Ｂ１１、Ｂ１２、Ｂ１３… …
（ １） 码距为３的海明码
为方便表示， 这里不妨设ｍ＝４， 根据２ｒ－ １≥４＋ｒ得ｒ＝３。满足
这个条件的海明码能发现２位错误， 或者纠正１位错误。
则说明没有错。若不成立即方程式右边不等于０， 说明有错。构
成的二进制数ＣＢＡ的值， 就是出错报文位的位数。
（ ２） 码距为４的海明码
同样设ｍ＝４， 根 据２ｒ－１≥４＋ｒ得ｒ＝４。满足 这 个 关 系 式 的海 明
码能检测２位错误， 并且纠正１位。
取Ｐｉ为“１”的行中的所有为“１”的项进行“异或”， 得编码方程：
（ ２） 选择ｒ校验位的数值（ ０或１） 以满足必要的奇偶条件， ｋ 位 数 据 和 ｒ个 校 验 位 一 起 编 成 长 为 ｋ＋ｒ位 的 新 码 字 。
（ ３） 对所接收的信息作所需的ｒ个奇偶检查。 （ ４） 如果所有的奇偶检查结果均为正确的， 则认为信息无 错误。 如果发现有一个或多个错了， 则错误的位由这些检查的结 果来唯一地确定或者纠正。 推导海明码时的一项基本考虑是确定所需最少的校验位 数ｒ。考虑长度为ｋ位的信息， 若附加了ｒ个校验位， 则所发送的 总长度为ｋ＋ｒ。在接收器中要进行ｒ个奇偶检查， 每个检查结果 或是真或是伪。这个奇偶检查的结果可以表示成一个ｒ位的二 进制字， 它可以确定最多２ｒ种不同状态。这些状态中必有一个 其所有奇偶测试都是真的， 它便是判定信息正确的条件。于是 剩下的（ ２ｒ－ １） 种状态， 可以用来判定误码的位置。于是导出下 一关系：
２ｒ－ １≥ｋ＋ｒ 如果要求能检测出与自动纠正１位错误， 并能检测２位错 误， 应该符合：
２ｒ－ １≥ｋ＋ｒ 衡量编码性能好坏的一个重要参数是编码效率Ｒ， 它是码 字中信息位所占的比例。编码效率越高， 即Ｒ越大， 信道中用来 传送信息码元的有效利用率就越高。编码效率计算公式为：
Ｒ＝ｋ／ｎ＝ｋ／（ ｋ＋ｒ） 式 中 ：ｋ为 码 字 中 的 信 息 位 位 数
１ 纠错码原理
１．１ 码距与纠错、检错能力 一个编码系统中任意两个合法编码之间不同的二进制位
数叫海明距离， 也叫码距。而整个编码系统中任意两个码字的 最小码距就是该编码系统的码距。码距的意义在于： 如果两个 码字的码距为ｄ， 则需要ｄ个１位错误才能将一个码字转变为另 一个； 为了纠正ｄ个错误， 需要一个距离为２ｄ＋１的编码方案， 因 为即使发生了ｄ位的错误， 还是原来的码字离它最近， 因而可以 唯一地确定原码字， 从而达到纠错的目的。如果仅有２ｄ的距离， 那么仅仅能检测出错误， 却并不能纠正。 １．２ 海明码
首先， 校验位通常在２的幂次方位， 即： １， ２， ４……位上。见 表１。
表１ 码位的排列
位 置 Ｂ１ Ｂ２ Ｂ３ Ｂ４ Ｂ５ Ｂ６ Ｂ７ Ｂ８ ……校验Βιβλιοθήκη ｘ ｘｘｘ ……
信息位
ｘ
ｘｘｘ
……
复合位 Ｐ１ Ｐ２ Ｄ１ Ｐ３ Ｄ２ Ｄ３ Ｄ４ Ｐ ４ ……
其 中 ：Ｐ１位 检 验 Ｂ１、Ｂ３、Ｂ５、Ｂ７、Ｂ９、Ｂ１１… …