2003年复旦保送生数学考试

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2003年高考.江苏卷.数学试题及答案

2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分1至2页，第Ⅱ卷3至10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）如果函数2y ax bx a =++的图象与x 轴有两个交点，则点(,)a b aOb 在平面上的区域（不包含边界）为（）（2）抛物线2ax y =的准线方程是2=y ，则a 的值为（）（A ）81 （B ）－81 （C ）8 （D ）－8 （3）已知==-∈x tg x x 2,54cos ),0,2(则π（）（A ）247 （B ）－247 （C ）724 （D ）－724 （4）设函数0021,1)(0,,0,12)(x x f x x x x f x 则若>⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-的取值范围是（）（A ）（－1，1）（B ）(1,)-+∞（C ）（－∞，－2）∪（0，+∞）（D ）（－∞，－1）∪（1，+∞）（5）O 是平面上一定点，A B C 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足[)(),0,,AB AC OP OA P ABACλλ=++∈+∞则的轨迹一定通过ABC 的（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心（6）函数1ln,(1,)1x y x x +=∈+∞-的反函数为（）a (A)(B) (C) (D)（A ）1,(0,)1x x e y x e -=∈+∞+ （B ）1,(0,)1x xe y x e +=∈+∞- （C ）1,(,0)1x x e y x e -=∈-∞+ （D ）1,(,0)1x xe y x e +=∈-∞- （7）棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（）（A ）33a （B ）34a （C ）36a （D ）312a（8）设20,()a f x ax bx c >=++，曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处切线的倾斜角的取值范围为0,,4P π⎡⎤⎢⎥⎣⎦则到曲线()y f x =对称轴距离的取值范围为（）（A ）10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （B ）10,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （C ）0,2b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （D ）10,2b a ⎡-⎤⎢⎥⎣⎦（9）已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m （）（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）83（10）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是（）（A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x （11）已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tg θ的取值范围是（）（A ）（31，1）（B ）（31，32）（C ）（52，21）（D ）（52，32）（12）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）（A ）π3（B ）4π（C ）π33（D ）π62003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学（理工农医类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上（13）92)21(xx -的展开式中9x 系数是（14）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取___________，__________，___________辆（15）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有___________________种（以数字作答）（16）对于四面体ABCD ，给出下列四个命题①,,AB AC BD CD BC AD ==⊥若则②,,AB CD AC BD BC AD ==⊥若则③,,AB AC BD CD BC AD ⊥⊥⊥若则④,,AB CD AC BD BC AD ⊥⊥⊥若则其中真命题的序号是__________________.（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤（17）（本小题满分12分）有三种产品，合格率分别为0.90,0.95和0.95，各抽取一件进行检验（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率（精确到0.001）（18）（本小题满分12分）已知函数()sin()(0,0)f x x R ωϕωϕπ=+>≤≤是上的偶函数，其图象关于点3(,0)4M π对称，且在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数ωϕ和的值（19）（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，︒=∠90ACB ，侧棱21=AA ，D 、E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G （Ⅰ）求B A 1与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）（Ⅱ）求点1A 到平面AED 的距离E GD CBAC 1B 1A 1（20）（本小题满分12分）已知常数0,(0,),a c a i >==向量经过原点O 以c i λ+为方向向量的直线与经过定点(0,)2A a i c λ-以为方向向量的直线相交于P ，其中R λ∈试问：是否存在两个定点E 、F ，使得PE PF +为定值若存在，求出E 、F 的坐标；若不存在，说明理由（21）（本小题满分12分）已知0,a n >为正整数（Ⅰ）设()n y x a =-，证明1'()n y n x a -=-；（Ⅱ）设()()n nn f x x x a =--，对任意n a ≥，证明1'(1)(1)'(n n f n n f n ++>+（22）（本小题满分14分）设0a >，如图，已知直线:l y ax =及曲线2:,C y x C =上的点1Q 的横坐标为11(0).(1)n a a a C Q n <<≥从上的点作直线平行于x 轴，交直线11n n l P P ++于点，再从点作直线平行于y 轴，交曲线1.(1,2,3,n n C Q Q n +=于点 …）的横坐标构成数列{}n a（Ⅰ）试求1n n a a +与的关系，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）当111,2a a =≤时，证明1211()32n k k k k a a a ++=-<∑ （Ⅲ）当1a =时，证明1211()3nk k k k a a a ++=-<∑2003年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（江苏卷）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.1．C 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．D 11．C 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分. 13．221- 14．6,30,10 15．120 16．①④三、解答题17．本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分. 解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A 、B 和C. （Ⅰ）95.0)()(,90.0)(===C P B P A P ， .05.0)()(,10.0)(===C P B P A P因为事件A ，B ，C 相互独立，恰有一件不合格的概率为176.095.095.010.005.095.090.02)()()()()()()()()()()()(=⨯⨯+⨯⨯⨯=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅C P B P A P C P B P A P C P B P A P C B A P C B A P C B A P 答：恰有一件不合格的概率为0.176. 解法一：至少有两件不合格的概率为)()C ()B ()(C B A P B A P C A P C B A P ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅012.005.010.095.005.010.0205.090.022=⨯+⨯⨯⨯+⨯= 解法二：三件产品都合格的概率为812.095.090.0)()()()(2=⨯=⋅⋅=⋅⋅C P B P A P C B A P由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至有两件不合格的概率为.012.0)176.0812.0(1]176.0)([1=+-=+⋅⋅-C B A P答：至少有两件不合的概率为0.012.（18）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满12分分。

2003中国数学奥林匹克竞赛获奖名单 xiaoxiaotong.doc

郝征
西北工大附中
王小靖
重庆一中
刘伟顺
荃湾公立何传耀纪念中学
钟达智
伊利沙伯中学
戚善翔
上海复旦大学附中
路亨
山西大学附中
杜金宝
鞍山一中
祝江威
北海中学
崔庸非
东北育才中学
康振宁
攀枝花三中
杨丹
大连育明中学
张乐
西北师大附中
曹晖
东北师大附中
黄海珍
海南中学
魏崟泷
蚌埠二中
王海屹
大庆一中
张帆
河南师大附中
苏李丹
王晨
兰州一中
金哲晖
延边市一中
李春雷
东北师大附中
石磊
河南师大附中
范翔
江西师大附中
苟江涛
陕西西北工大附中
韩斐
华罗庚中学
唐培
重庆市育才中学
金坚
诸暨中学
王加白
镇海中学
杜杰
北大附中
蔡雄伟
仙游一中
杨龙
长沙市一中
余学斌
圣公会白约翰会督中学
林运成
上海中学
萧子衡
顺德联谊总会梁銶琚中学
罗海丰
华南师大附中
2003中国数学奥林匹克竞赛获奖名单
一等奖（19名）
姓名
学校
姓名
学校
方家聪
华南师大附属中学
高峰
南通启东中学
沈欣
华南师大附属中学
王伟
湖南师大附中
陈晨
湖北黄冈中学
何忆捷
上海延安中学
黄皓
华南师大附属中学
邢硕博
北京清华附中
向振

2003年全国统一高考数学试卷(理科)

2003年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2003•全国）已知x∈（﹣，0），cosx=，则tan2x等于（）A．B．﹣C．D．﹣2．（5分）（2003•全国）圆锥曲线的准线方程是（）A．ρcosθ=﹣2 B．ρcosθ=2 C．ρsinθ=﹣2 D．ρsinθ=23．（5分）（2003•全国）设函数若f（x0）＞1，则x0的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）4．（5分）（2003•全国）函数y=2sinx（sinx+cosx）的最大值为（）A．B．C．D．25．（5分）（2003•全国）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4及直线l：x﹣y+3=0，当直线l被C截得的弦长为时，则a等于（）A．B．C． D．6．（5分）（2003•全国）已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）A．2πR2B．C．D．7．（5分）（2003•全国）已知方程（x2﹣2x+m）（x2﹣2x+n）=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m﹣n|等于（）A．1 B．C．D．8．（5分）（2003•全国）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y=x﹣1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为﹣，则此双曲线的方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=19．（5分）（2003•全国）函数f（x）=sinx，x∈的反函数f﹣1（x）=（）A．﹣arcsinx，x∈[﹣1，1]B．﹣π﹣arcsinx，x∈[﹣1，1]C．﹣π+arcsinx，x∈[﹣1，1]D．π﹣arcsinx，x∈[﹣1，1]10．（5分）（2003•全国）已知长方形的四个项点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD．DA和AB上的点P2．P3和P4（入射角等于反射角），设P4坐标为（x4，0），若1＜x4＜2，则tanθ的取值范围是（）A．（，1）B．（，）C．（，）D．（，）11．（5分）（2003•全国）等于（）A．3 B．C．D．612．（5分）（2003•全国）棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A．3πB．4πC．3D．6π二、填空题（共4小题，每小题4分，满16分）13．（4分）（2003•全国）在的展开式中，x3的系数是（用数字作答）14．（4分）（2003•全国）使log2（﹣x）＜x+1成立的x的取值范围是．15．（4分）（2003•全国）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种．（以数字作答）16．（4分）（2003•全国）下列五个正方体图形中，l是正方形的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP的图形的序号是（写出所有符合要求的图形序号）．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2003•全国）已知复数z的辐角为60°，且|z﹣1|是|z|和|z﹣2|的等比中项．求|z|．18．（12分）（2003•全国）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD 上的射影是△ABD的重心G．（Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（Ⅱ）求点A1到平面AED的距离．19．（12分）（2003•全国）已知c＞0，设P：函数y=c x在R上单调递减，Q：不等式x+|x﹣2c|＞1的解集为R．如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围．20．（12分）（2003•全国）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？21．（12分）（2003•全国）已知常数a＞0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a，O 为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE 与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由．22．（14分）（2003•全国）（1）设{a n}是集合{2s+2t|0≤s＜t且s，t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列，即a1=3，a2=5，a3=6，a4=9，a5=10，a6=12，…将数列{a n}各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：35 69 10 12﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣…①写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；②求a100（2）设{b n}是集合{2r+2s+2t|0≤r＜s＜t，且r，s，t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列，已知b k=1160，求k．2003年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2003•全国）已知x∈（﹣，0），cosx=，则tan2x等于（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】GS：二倍角的三角函数；GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】11 ：计算题．【分析】先根据cosx，求得sinx，进而得到tanx的值，最后根据二倍角公式求得tan2x．【解答】解：∵cosx=，x∈（﹣，0），∴sinx=﹣．∴tanx=﹣．∴tan2x===﹣×=﹣．故选：D．【点评】本题主要考查了三角函数中的二倍角公式．属基础题．2．（5分）（2003•全国）圆锥曲线的准线方程是（）A．ρcosθ=﹣2 B．ρcosθ=2 C．ρsinθ=﹣2 D．ρsinθ=2【考点】Q8：点的极坐标和直角坐标的互化．【专题】11 ：计算题．【分析】首先把圆锥曲线方程转化为直角坐标系的方程，然后根据抛物线的准线方程的公式求出准线方程，再转化为极坐标方程即得到答案．【解答】解：圆锥曲线由极坐标与直角坐标系的关系，可转化为直角坐标系上的方程，即为抛物线x2=8y，则准线方程为y=﹣2，再转化为极坐标方程为ρsinθ=﹣2．故选：C．【点评】此题主要考查极坐标与直角坐标系的转化，以及抛物线的准线方程的求解问题，属于综合性的问题有一定的难度．3．（5分）（2003•全国）设函数若f（x0）＞1，则x0的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法．【专题】11 ：计算题．【分析】将变量x0按分段函数的范围分成两种情形，在此条件下分别进行求解，最后将满足的条件进行合并．【解答】解：当x0≤0时，，则x0＜﹣1，当x0＞0时，则x0＞1，故x0的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），故选：D．【点评】本题考查了分段函数已知函数值求自变量的范围问题，以及指数不等式与对数不等式的解法，属于常规题．4．（5分）（2003•全国）函数y=2sinx（sinx+cosx）的最大值为（）A．B．C．D．2【考点】GS：二倍角的三角函数；H4：正弦函数的定义域和值域．【分析】把函数式展开，可以看出要逆用正弦和余弦的二倍角公式，变为y=Asin（ωx+φ）的形式，在定义域是全体实数的条件下，根据正弦的值域求本题的最值．【解答】解：∵y=2sinx（sinx+cosx）∴y=2sin2x+2sinxcosx∴y=1﹣cos2x+sin2x=sin（2x﹣）+1∵当x∈R时，sin（2x﹣）∈[﹣1，1]∴y的最大值为+1，故选：A．【点评】三角函数是高中一年级数学教学中的一个重要内容，公式繁多应用灵活给学生的学习带来了一定的困难．为了学生掌握这一单元的知识，必须使学生熟练的掌握所有公式，在此基础上并能灵活的运用公式．5．（5分）（2003•全国）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4及直线l：x﹣y+3=0，当直线l被C截得的弦长为时，则a等于（）A．B．C． D．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】弦心距、半径、半弦长满足勾股定理，半径是2，半弦长是，则弦心距是1，用点到直线的距离可以求解a．【解答】解：圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4的圆心（a，2），半径是2，半弦长是，则弦心距是1，圆心到直线的距离：1=∴故选：C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，弦心距、半径、半弦长满足勾股定理，是基础题．6．（5分）（2003•全国）已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）A．2πR2B．C．D．【考点】7F：基本不等式及其应用．【分析】将全面积表示成底面半径的函数，用配方法求二次函数的最大值【解答】解：设内接圆柱的底面半径为r，高为h，全面积为S，则有∴h=3R﹣3r∴S=2πrh+2πr2=﹣4πr2+6πRr=﹣4π（r2﹣Rr）=﹣4π（r﹣）2+πR2∴当r=时，S取的最大值πR2．故选：B．【点评】考查实际问题的最值问题，常转化成函数的最值7．（5分）（2003•全国）已知方程（x2﹣2x+m）（x2﹣2x+n）=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m﹣n|等于（）A．1 B．C．D．【考点】83：等差数列的性质；73：一元二次不等式及其应用．【专题】11 ：计算题．【分析】设4个根分别为x1、x2、x3、x4，进而可知x1+x2和x3+x4的值，进而根据等差数列的性质，当m+n=p+q时，a m+a n=a p+a q．设x1为第一项，x2必为第4项，可得数列，进而求得m和n，则答案可得．【解答】解：设4个根分别为x1、x2、x3、x4，则x1+x2=2，x3+x4=2，由等差数列的性质，当m+n=p+q时，a m+a n=a p+a q．设x1为第一项，x2必为第4项，可得数列为，，，，∴m=，n=．∴|m﹣n|=．故选：C．【点评】本题主要考查了等差数列的性质．解题的关键是运用了等差数列当m+n=p+q时，a m+a n=a p+a q的性质．8．（5分）（2003•全国）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y=x﹣1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为﹣，则此双曲线的方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【考点】KB：双曲线的标准方程．【分析】先设出双曲线的方程，然后与直线方程联立方程组，经消元得二元一次方程，再根据韦达定理及MN中点的横坐标可得a、b的一个方程，又双曲线中有c2=a2+b2，则另得a、b的一个方程，最后解a、b的方程组即得双曲线方程．【解答】解：设双曲线方程为﹣=1．将y=x﹣1代入﹣=1，整理得（b2﹣a2）x2+2a2x﹣a2﹣a2b2=0．由韦达定理得x1+x2=，则==﹣．又c2=a2+b2=7，解得a2=2，b2=5，所以双曲线的方程是．故选：D．【点评】本题主要考查代数方法解决几何问题，同时考查双曲线的标准方程与性质等．9．（5分）（2003•全国）函数f（x）=sinx，x∈的反函数f﹣1（x）=（）A．﹣arcsinx，x∈[﹣1，1]B．﹣π﹣arcsinx，x∈[﹣1，1]C．﹣π+arcsinx，x∈[﹣1，1]D．π﹣arcsinx，x∈[﹣1，1]【考点】HV：反三角函数；4R：反函数．【专题】11 ：计算题．【分析】先用诱导公式求出f（x）=sin（π﹣x），x∈，然后可以反函数的定义求解即可．【解答】解：函数f（x）=sinx，x∈所以：函数f（x）=sin（π﹣x），x∈可得π﹣x=arcsiny y∈[﹣1，1]∴f﹣1（x）=π﹣arcsinx，x∈[﹣1，1]故选：D．【点评】本题考查反函数的求法，是基础题．10．（5分）（2003•全国）已知长方形的四个项点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD．DA和AB上的点P2．P3和P4（入射角等于反射角），设P4坐标为（x4，0），若1＜x4＜2，则tanθ的取值范围是（）A．（，1）B．（，）C．（，）D．（，）【考点】IQ：与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】16 ：压轴题．【分析】先画草图，帮助理解，取BC上的点P1为中点，则P4和中点P0重合，tanθ=，用排除法解答．【解答】解：考虑由P0射到BC的中点上，这样依次反射最终回到P0，此时容易求出tanθ=，由题设条件知，1＜x4＜2，则tanθ≠，排除A．B．D，故选：C．【点评】由于是选择题，因而可以特殊值方法解答：排除验证法，也可以用动态观点判定答案．11．（5分）（2003•全国）等于（）A．3 B．C．D．6【考点】6F：极限及其运算；D5：组合及组合数公式．【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题．【分析】利用组合数的性质对原式进行等价转化，得到．【解答】解：∵C22+C32+C42+…+C n2=C33+C32+C42++C n2=C43+C42+…+C n2═C n+13，，∴．故选：B．【点评】本题考查数列的极限，解题时要注意组合数的计算和应用．12．（5分）（2003•全国）棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A．3πB．4πC．3D．6π【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题．【分析】本题考查的知识点是球的体积和表面积公式，由棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，可求出内接该四面体的正方体棱长为1，又因为正方=4πR2，体的对角线即为球的直径，即球的半径R=，代入球的表面积公式，S球即可得到答案．【解答】解：借助立体几何的两个熟知的结论：（1）一个正方体可以内接一个正四面体；（2）若正方体的顶点都在一个球面上，则正方体的体对角线就是球的直径．则球的半径R=，∴球的表面积为3π，故选：A．【点评】棱长为a的正方体，内接正四面体的棱长为a，外接球直径等于长方体的对角线长a．二、填空题（共4小题，每小题4分，满16分）13．（4分）（2003•全国）在的展开式中，x3的系数是﹣（用数字作答）【考点】DA：二项式定理．【专题】11 ：计算题．【分析】首先根据题意，写出的二项展开式，可得9﹣2r=3，解可得r=3，将其代入二项展开式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，对于，=C99﹣r•x9﹣r•（﹣）r=（﹣）r•C99﹣r•x9﹣2r，有T r+1令9﹣2r=3，可得r=3，当r=3时，有T4=﹣x3，故答案﹣．【点评】本题考查二项式定理的应用，注意系数与二项式系数的区别．14．（4分）（2003•全国）使log2（﹣x）＜x+1成立的x的取值范围是（﹣1，0）．【考点】4H：对数的运算性质；7E：其他不等式的解法．【专题】13 ：作图题；44 ：数形结合法．【分析】在坐标系中画出函数f（x）=log2（﹣x）和g（x）=x+1，图象，结合图象判定即可．【解答】解：利用作图法可以判断f（x）=log2（﹣x）和g（x）=x+1，相交于（﹣1，0）前者是单调递减，后者是单调递增．所以只有﹣1＜x＜0时，log2（﹣x）＜x+1成立故答案为：（﹣1，0）．【点评】本题考查对数函数的图象，数形结合法解不等式，是中档题．15．（4分）（2003•全国）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有72种．（以数字作答）【考点】D5：组合及组合数公式．【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题；32 ：分类讨论．【分析】分类型，选3种颜色时，就是②④同色，③⑤同色；4种颜色全用，只能②④或③⑤用一种颜色，其它不相同，求解即可．【解答】解：由题意，选用3种颜色时：涂色方法C43•A33=24种4色全用时涂色方法：C21•A44=48种所以不同的着色方法共有72种．故答案为：72【点评】本题考查组合及组合数公式，考查分类讨论思想，避免重复和遗漏情况，是中档题．16．（4分）（2003•全国）下列五个正方体图形中，l是正方形的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP的图形的序号是①④⑤（写出所有符合要求的图形序号）．【考点】LS：直线与平面平行．【专题】15 ：综合题；16 ：压轴题．【分析】能得出l⊥面MNP，关键是看平面MNP中有没有与1垂直的直线，逐一判断即可．【解答】解：如图，设正方体为ABCD﹣A1B1C1D1．在题图①中，连结AB1，则AB1⊥MN，又AB1是l在面ABB1A1内的射影，∴l⊥MN．同理，l⊥MP．∴l⊥平面MNP．故①符合．在题图②中，延长MP交C1D1的延长线于E，连结NE，若l⊥面MNP，则l ⊥NE．又C1D是l在平面CDD1C内的射影，CD1⊥C1D，∴l⊥CD1．∴l⊥平面CDD1C1，矛盾．∴②不符合．在题图③中，平面MNP与题图①中的平面MNP不是同一平面，它们又过同一点，∴题图③不符合．在题图④中，l⊥MP，l⊥MN，∴l⊥平面MNP．延长PM交AB于F，取CD的中点G，则GN∥MP，∴G∈平面MNP．连结FG交BC于H，则H∈平面MNP，可证H是BC的中点．∴题图④与题图⑤中的平面MNP实为同一平面．∴⑤也符合．答案：①④⑤【点评】点评：本题要先想象直观判断哪些图形符合，再加以推理，考查了空间想象能力、反证法、线面的位置关系等知识，通过这个试题可看出试题在向增加思维量、综合考查同学们的各种能力转化．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2003•全国）已知复数z的辐角为60°，且|z﹣1|是|z|和|z﹣2|的等比中项．求|z|．【考点】A1：虚数单位i、复数；87：等比数列的性质；A8：复数的模．【专题】11 ：计算题．【分析】本题考查的复数的基本概念及等比数列的性质，由复数z的辐角为60°，我们可以使用待定系数法设出复数Z，然后根据|z﹣1|是|z|和|z﹣2|的等比中项，结合等比数列的性质构造方程，解方程求出待定的系数，即可得到Z值，进而求出复数的模．【解答】解：设z=（rcos60°+rsin60°i），则复数z的实部为．由题设|z﹣1|2=|z|•|z﹣2|，即：（z﹣1）（﹣1）=|z|∴r2﹣r+1=r，整理得r2+2r﹣1=0．解得r=﹣1，r=﹣﹣1（舍去）．即|z|=﹣1．【点评】解决复数问题时，我们多使用待定系数法，即设出复数的值，然后根据题目中的其它条件，列出方程，解方程求出系数，即可得到未知复数的值．18．（12分）（2003•全国）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD 上的射影是△ABD的重心G．（Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（Ⅱ）求点A1到平面AED的距离．【考点】MI：直线与平面所成的角；L2：棱柱的结构特征；MK：点、线、面间的距离计算．【专题】11 ：计算题．【分析】（1）连接BG，则BG是BE在面ABD的射影，易证∠EBG是A1B与平面ABD所成的角，设F为AB中点，连接EF、FC，在三角形EBG中求出此角；（2）连接A1D，有，建立等量关系，求出点A1到平面AED的距离即可．【解答】解：（Ⅰ）连接BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角．设F为AB中点，连接EF、FC，∵D，E分别是CC1，A1B的中点，又DC⊥平面ABC，∴CDEF为矩形，连接DE，G是△ADB的重心，∴G∈DF，在直角三角形EFD中，EF2=FG•FD=FD2，∵EF=1，∴FD=．于是ED=，EG=∵FC=，CD=1∴AB=2，A1B=2，EB=，∴A1B与平面ABD所成的角是arcsin；（Ⅱ）连接A1D，有∵ED⊥AB，ED⊥EF，又EF∩AB=F，∴ED⊥平面A1AB，设A1到平面AED的距离为h，则，，．∴，即A1到平面AED的距离为．【点评】本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．19．（12分）（2003•全国）已知c＞0，设P：函数y=c x在R上单调递减，Q：不等式x+|x﹣2c|＞1的解集为R．如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围．【考点】4B：指数函数的单调性与特殊点；R5：绝对值不等式的解法．【专题】11 ：计算题；15 ：综合题．【分析】函数y=c x在R上单调递减，推出c的范围，不等式x+|x﹣2c|＞1的解集为R，推出x+|x﹣2c|的最小值大于1，P和Q有且仅有一个正确，然后求出c 的取值范围．【解答】解：函数y=c x在R上单调递减⇔0＜c＜1．不等式x+|x﹣2c|＞1的解集为R⇔函数y=x+|x﹣2c|在R上恒大于1．∵x+|x﹣2c|=∴函数y=x+|x﹣2c|在R上的最小值为2c．∴不等式x+|x﹣2c|＞1的解集为R⇔2c＞1⇔c＞．如果P正确，且Q不正确，则0＜c≤．如果P不正确，且Q正确，则c＞1．∴c的取值范围为（0，]∪（1，+∞）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，指数函数单调性的应用，是中档题．20．（12分）（2003•全国）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？【考点】JF：圆方程的综合应用．【专题】12 ：应用题；16 ：压轴题．【分析】建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向．设在时刻：t（h）台风中心P（x，y）的坐标进而可知此时台风侵袭的区域，根据题意可知其中r（t）=10t+60，若在t时，该城市O受到台风的侵袭，则有（0﹣x）2+（0﹣y）2≤（10t+60）2，进而可得关于t的一元二次不等式，求得t的范围，答案可得．【解答】解：如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向．在时刻：t（h）台风中心P（x，y）的坐标为令（x′，y′）是台风边缘线上一点，则此时台风侵袭的区域是（x′﹣x）2+（y′﹣y）2≤[r（t）]2，其中r（t）=10t+60，若在t时，该城市受到台风的侵袭，则有（0﹣x）2+（0﹣y）2≤（10t+60）2，即，即t2﹣36t+288≤0，解得12≤t≤24．答：12小时后该城市开始受到台风侵袭．【点评】本题主要考查了圆的方程的综合运用．考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力．21．（12分）（2003•全国）已知常数a＞0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a，O 为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE 与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由．【考点】J3：轨迹方程；K4：椭圆的性质．【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题．【分析】建立坐标系，按题意写出A，B，C，D四点的坐标，进而根据解出E，F，G三点的坐标参数表示，求出OF与GE两条直线的方程，两者联立即可求出点P的坐标满足的参数方程，消去参数，得到点P的轨迹方程．由于参数a的取值范围影响曲线的形状故按参数a的范围来对曲线进行分类．【解答】解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到定点距离的和为定值．按题意有A（﹣2，0），B（2，0），C（2，4a），D（﹣2，4a）设=k（0≤k≤1），由此有E（2，4ak），F（2﹣4k，4a），G（﹣2，4a﹣4ak）．直线OF的方程为：2ax+（2k﹣1）y=0，①直线GE的方程为：﹣a（2k﹣1）x+y﹣2a=0．②从①，②消去参数k，得点P（x，y）坐标满足方程2a2x2+y2﹣2ay=0，整理得．当时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点；当时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长；当时，点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值；当时，点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值2a．【点评】考查解析法求点的轨迹方程，本题在做题时引入了参数k，故得到的轨迹方程为参数方程，需要消去参数得到轨迹方程，又当字母的取值范围对曲线的形状有影响时，要对其范围进行讨论以确定轨迹的具体性状．考查分类讨论的数学思想．22．（14分）（2003•全国）（1）设{a n}是集合{2s+2t|0≤s＜t且s，t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列，即a1=3，a2=5，a3=6，a4=9，a5=10，a6=12，…将数列{a n}各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：35 69 10 12﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣…①写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；②求a100（2）设{b n}是集合{2r+2s+2t|0≤r＜s＜t，且r，s，t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列，已知b k=1160，求k．【考点】8B：数列的应用．【专题】11 ：计算题；15 ：综合题；16 ：压轴题．【分析】（1）①用（t，s）表示2t+2s，先利用前几个数找到其规律，是每一个的横坐标从0增加到对应的行数，而纵坐标为行数，就可求出第四行、第五行各数；②解法一：因为100=（1+2+3+4++13）+9，所以可以知道a100位于第14行第8列，即可求出a100．解法二：直接把设a100=2s0+2t0，再利用条件确定对应的正整数s0，t0即可．（2）利用上面的结论可以快速找到{b n}的规律，再结合组合数对其求解即可．【解答】（1）解：用（t，s）表示2t+2s，下表的规律为3（0，1）5（0，2）6（1，2）9（0，3）10（1，3）12（2，3）①第四行17（0，4）18（1，4）20（2，4）24（3，4）第五行33（0，5）34（1，5）36（2，5）40（3，5）48（4，5）②解法一：因为100=（1+2+3+4+…+13）+9，所以a100=（8，14）=28+214=16640解法二：设a100=2s0+2t0，只须确定正整数s0，t0．数列{a n}中小于2t0的项构成的子集为{2t+2s|0≤s＜t＜t0}，其元素个数为，依题意．满足等式的最大整数t0为14，所以取t0=14．因为100﹣C142=s0+1，由此解得s0=8，∴a100=214+28=16640．（2）解：b k=1160=210+27+23，令M={c∈B|C＜1160}（其中，B={2r+2s+2t|0≤r＜s＜t}）因M={c∈B|c＜210}∪{c∈B|210＜c＜210+27}∪{c∈B|210+27＜c＜210+27+23}．现在求M的元素个数：{c∈B|c＜210}={2r&+2s+2t|0≤r＜s＜t＜10}，其元素个数为C103：{c∈B|210＜c＜210+27}={210&+2s+2r|0≤r＜s＜7}．某元素个数为C72：{c∈B|210+27＜c＜210+27+23}={210+27+2r|0≤r＜3}某元素个数为C107：k=C103+C72+C32+1=145．另法：规定2r+2t+2s=（r，t，s），b k=1160=210+27+23=（3，7，10）则b1=20+21+22=（0，1，2）C22依次为（0，1，3）（0，2，3）（1，2，3）C32（0，1，4）（0，2，4）（1，2，4）（0，3，4）（1，3，4）（2，3，4）C42（0，1，9）（0，2，9）（6，8，9）（7，8，9）C92（0，1，10）（0，2，10）（0，7，10）（1，7，10）（2，7，10）（3，7，10）C72+4k=（C22+C32++C92）+C72+4=145．【点评】本题考查数列的应用是数列这一块的难题，适合做压轴题．考点卡片1．分段函数的解析式求法及其图象的作法【知识点的认识】分段函数是定义在不同区间上解析式也不相同的函数．若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的函数叫分段函数．已知一个分段函数在某一区间上的解析式，求此函数在另一区间上的解析式，这是分段函数中最常见的问题．【解题方法点拨】求解函数解析式的几种常用方法主要有1、待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法；2、换元法或配凑法，已知复合函数f[g（x）]的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法；3、消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f（x）；另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法．分段函数是一类重要的函数模型．解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题．【命题方向】分段函数是今后高考的热点题型．常考题型为函数值的求解，不等式有关问题，函数的图形相联系的简单问题．2．指数函数的单调性与特殊点【知识点归纳】1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a的取值范围即a＞1，0＜a＜1的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判断．2、同增同减的规律：（1）y=a x如果a＞1，则函数单调递增；（2）如果0＜a＜1，则函数单调递减．3、复合函数的单调性：（1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大；（2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大．因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”．3．对数的运算性质【知识点的认识】对数的性质：①=N；②log a a N=N（a＞0且a≠1）．log a（MN）=log a M+log a N；log a=log a M﹣log a N；log a M n=nlog a M；log a=log a M．4．反函数【知识点归纳】【定义】一般地，设函数y=f（x）（x∈A）的值域是C，根据这个函数中x，y 的关系，用y把x表示出，得到x=g（y）．若对于y在中的任何一个值，通过x=g （y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=g（y）就表示y是自变量，x 是因变量是y的函数，这样的函数y=g（x）（x∈C）叫做函数y=f（x）（x∈A）的反函数，记作y=f（﹣1）（x）反函数y=f（﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y=f （x）的值域、定义域．【性质】反函数其实就是y=f（x）中，x和y互换了角色（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y=x对称；函数及其反函数的图形关于直线y=x对称（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f（x），定义域是{0}且f（x）=C （其中C是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0}）．奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．（5）一切隐函数具有反函数；（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；（8）反函数是相互的且具有唯一性；（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））．5．极限及其运算【知识点的知识】1．数列极限（1）数列极限的表示方法：（2）几个常用极限：③对于任意实常数，当|a|＜1时，a n=0，当|a|=1时，若a=1，则a n=1；若a=﹣1，则a n=（﹣1）n不存在当|a|＞1时，a n=不存在．（3）数列极限的四则运算法则：如果，那么特别地，如果C是常数，那么．（4）数列极限的应用：求无穷数列的各项和，特别地，当|q|＜1时，无穷等比数列的各项和为S=（|q|＜1）．（化循环小数为分数方法同上式）注：并不是每一个无穷数列都有极限．=a2．函数极限；（1）当自变量x无限趋近于常数x0（但不等于x0）时，如果函数f（x）无限趋进于一个常数a，就是说当x趋近于x0时，函数f（x）的极限为a．记作=a或当x→x0时，f（x）→a．注：当x→x0时，f（x）是否存在极限与f（x）在x0处是否定义无关，因为x→x0并不要求x=x0．（当然，f（x）在x0是否有定义也与f（x）在x0处是否存在极限无关．函数f（x）在x0有定义是存在的既不充分又不必要条件．）如P（x）=在x=1处无定义，但存在，因为在x=1处左右极限均等于零．（2）函数极限的四则运算法则：如果，那么。

2003年金山中学高考龙虎榜

2003年金山中学高考龙虎榜序林柏仰蓝天、白云、绿树、红花，八月的金中校园，如诗如画。

然而，校园中最亮丽的风景线，却是那刚刚出版的“金山中学2003年高考龙虎榜”。

当我徜徉在龙虎榜前，跃动眼帘的一串串已被全国各高等学府录取的学生名字，突然幻化为一个个活生生的小龙小虎，他们虎虎生威，却又那么憨厚可爱，让金中校园充满了喧闹与欢乐！追踪2003届小龙小虎成长的轨迹，我们会发现，他们在金中三年之间，经受了同龄人想象不到的艰苦的磨砺，付出了车载斗量的心血和汗水。

在昭清园、春涛园的石凳上，你会时时看到他们埋头苦学的身影；在东方天空刚露出鱼肚白的晨早，你会在各个教室里听到他们朗朗的诵书声；在金中的每一位名师的身旁，你会看到他们如饥似渴汲取知识营养的神情。

2003届的小龙小虎在金中三年度过一千多个风风雨雨的日日夜夜，从幼稚走向成熟，从柔弱走向刚强，从寡知走向博学，最终，伴随一阵龙吟虎啸，他们闯进了大学的殿堂，铸就了龙虎榜上的这一片金碧辉煌。

我们赞叹2003届学生的吃苦精神，更赞叹他们无限的创新能力。

他们历经金中第六届、第七届、第八届创造节，其创造作品琳琅满目，个性飞扬；他们开展研究性学习，或遨游于科海，或探幽于文坛，涉猎天文、地理、环保、音乐、美术、医药、古典诗词、现代科技等领域，其研究成果显示研究者才华横溢，各领风骚；他们参加高三级“学习论坛”，不少勇敢者踏上论坛纵论学习新方法、学习新体会，其独特的思维、广阔的视野、新颖的学习方法令人叹为观止。

2003届小龙小虎们是金中创造教育催生出来的新一代，我们相信，这一代将来也一定成为国家的栋梁，社会的擎天柱。

每一年的金中高考龙虎榜都是金中校史上重要的一页，2003年的这一页是这样厚重，2004年的那一页会是一个什么样子？在现高三级的每个课室后墙上，都张贴着一条条豪气干云的标语：“掉汗、掉泪、不掉队”、“守到云开见月明”、“有所作为，突出重围”，“莫道雄关真如铁，而今迈步从头越”……我想，我们应已找到了答案。

2003中国数学奥林匹克竞赛获奖名单

2003中国数学奥林匹克竞赛获奖名单一等奖（19名）姓名学校姓名学校方家聪华南师大附属中学高峰南通启东中学沈欣华南师大附属中学王伟湖南师大附中陈晨湖北黄冈中学何忆捷上海延安中学黄皓华南师大附属中学邢硕博北京清华附中向振长沙市第一中学王国桢甘肃兰州一中万昕成都彭州中学贾敬非东北师大附中刘一峰华东师大第二附中祁涵华中师大一附中林嵩华南师大附属中学孙洪宾耀华中学姜龙石家庄二中周清人大附中梁宏宇北师大实验中学二等奖：（43名）姓名学校姓名学校张凌人上海中学戴午阳东北育才中学周游武钢三中孙婷妮华东师大二附中李杜湖南师大附中张志强华中师大一附中朱庆三华南师大附中齐治雅礼中学刘熠华南师大附中吴昊哈尔滨三中李大州石家庄二中陈苏南洋模范中学沈旭凯杭州二中袁放上海中学陈超河南师大附中洪晓波东北育才中学李先颖湖南师大附中李晓东东北育才中学吴天同淮阴中学马力华东师大二附中张宇北大附中赵亮山东省实验中学王磊武钢三中孙嘉睿深圳高级中学周思慎长沙市一中邹鹏北京汇文中学王晨兰州一中金哲晖延边市一中李春雷东北师大附中石磊河南师大附中范翔江西师大附中苟江涛陕西西北工大附中韩斐华罗庚中学唐培重庆市育才中学金坚诸暨中学王加白镇海中学杜杰北大附中蔡雄伟仙游一中杨龙长沙市一中余学斌圣公会白约翰会督中学林运成上海中学萧子衡顺德联谊总会梁銶琚中学罗海丰华南师大附中三等奖：（69名）姓名学校姓名学校王蓉蓉实验中学张翼飞河南师大附中张伟安庆一中梁举潼南中学张晓光高安中学蔡煊挺诸暨中学郭城威南通启东中学吴博舟山中学曹志敏华罗庚中学陈淞黄冈中学资坤长沙市一中马俊达福州三中刘奇航哈尔滨三中杨启声喇沙书院吴乐秦中山市一中邓昭辉香港道教联合会邓显纪念中学欧觉钧中山市一中张荣华滁州中学黄宇浩桂林中学周云临川一中张鹏程西安交大附中龚伟松盐城中学王崇理镇海中学皇甫秉超河南师大附中袁景瑞唐山一中惠鑫西安交大附中巴蜀中学李君太原外国语学校王晶晶诸暨中学王奇凡南昌十中冯捷成都七中周泽吉武汉二中孔令凯南菁高级中学潘无穷大庆一中郭珩洛阳第一高中李欣鹏实验中学郝征西北工大附中王小靖重庆一中刘伟顺荃湾公立何传耀纪念中学钟达智伊利沙伯中学戚善翔上海复旦大学附中路亨山西大学附中杜金宝鞍山一中祝江威北海中学崔庸非东北育才中学康振宁攀枝花三中杨丹大连育明中学张乐西北师大附中曹晖东北师大附中黄海珍海南中学魏崟泷蚌埠二中王海屹大庆一中张帆河南师大附中苏李丹泉州五中李冬来西南附属中学吴天淋教业中学白雪宁乌鲁木齐一中杜昭南宁三中郭子超元朗商会中学陈虹宇秦皇岛一中刘喆南开中学张尧实验中学贺淳天津一中魏均侨濠江中学程稷人大附中高堃南开中学黄铂东北师大附中齐轶福建师大附中彭闽昱鹰潭市一中。

上海交大复旦同济大学保送生数学试题

交通大学2000年保送生数学试题一、选择题(本题共15分，每小题3分．在每小题给出的4个选项中，只有一项正确，把所选项的字母填在括号内)1．若今天是星期二，则31998天之后是 ( ) A ．星期四 B ．星期三 C ．星期二 D ．星期一2．用13个字母A ，A ，A ，C ，E ，H ，I ，I ，M ，M ，N ，T ，T 作拼字游戏，若字母的各种排列是随机的，恰好组成“MA THEMA TICIAN”一词的概率是 ( )A ．4813!B ．21613!C ．172813!D ．813!3．方程cos 2x -sin 2x +sin x ＝m +1有实数解，则实数m 的取值范围是 ( )A ．18m ≤B ．m >-3C ．m >-1D ．138m -≤≤4．若一项数为偶数2m 的等比数列的中间两项正好是方程x 2+px +q ＝0的两个根，则此数列各项的积是 ( ) A ．p m B ．p 2m C ．q m D ．q 2m 5．设f ’(x 0)＝2，则000()()limh f x h f x h h→+-- ( )A ．-2B ．2C ．-4D ．4二、填空题（本题共24分，每小题3分）1．设f (x )1，则1(2)f x dx =⎰__________．2．设(0,)2x π∈，则函数(222211sin )(cos )sin cos x x x x++的最小值是__________． 3．方程316281536xxx⋅+⋅=⋅的解x ＝__________．4．向量2a i j =+在向量34b i j =+上的投影()b a =__________．5．函数2y x =+__________．6．两个等差数列200，203，206，…和50，54，58…都有100项，它们共同的项的个数是__________． 7．方程7x 2-(k +13)x +k 2-k -2＝0的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则k 的取值范围是__________．8．将3个相同的球放到4个盒子中，假设每个盒子能容纳的球数不限，而且各种不同的放法的出现是等可能的，则事件“有3个盒子各放一个球”的概率是________．三、证明与计算（本题61分）1．(6分)已知正数列a 1，a 2，…，a n ，且对大于1的n 有1232n a a a n +++=，1212n n a a a +=．试证：a 1，a 2，…，a n 中至少有一个小于1．2．(10分)设3次多项式f (x )满足：f (x +2)＝-f (-x )，f (0)＝1，f (3)＝4，试求f (x )．3．(8分)求极限112lim (0)p p pp n n p n+→∞+++>．4．(10分)设2,0(),0x bx c x f x lx m x ⎧++>=⎨+≤⎩在x ＝0处可导，且原点到f (x )中直线的距离为13，原点到f (x )中曲线部分的最短距离为3，试求b ，c ，l ，m 的值．(b ,c >0)5．(8分)证明不等式：3412≤≤，[0,]2x π∈．6．(8分)两名射手轮流向同一目标射击，射手甲和射手乙命中目标的概率都是12．若射手甲先射，谁先命中目标谁就获胜，试求甲、乙两射手获胜的概率．7．(11分)如图所示，设曲线1y x=上的点与x 轴上的点顺次构成等腰直角三角形△OB 1A 1，△A 1B 2A 2，…，直角顶点在曲线1y x=上．试求A n 的坐标表达式，并说明这些三角形的面积之和是否存在．复旦大学2000年保送生招生测试数学试题（理科）一、填空题（每小题10分，共60分）1．将自然数按顺序分组：第一组含一个数，第二组含二个数，第三组含三个数，……，第n 组含n 个数，即1；2，3；4，5，6；……．令a n 为第n 组数之和，则a n ＝________________． 2．222sin sin ()sin ()33ππααα+++-＝______________．3．222lim[(2)log (2)2(1)log (1)log ]n n n n n n n →∞++-+++＝_________________．4．已知平行六面体的底面是一个菱形且其锐角等于60度，又过此锐角的侧棱与锐角两边成等角，和底面成60度角，则两对角面面积之比为__________________．5．正实数x ,y 满足关系式x 2-xy +4＝0，又若x ≤1，则y 的最小值为_____________．6．一列火车长500米以匀速在直线轨道上前进，当车尾经过某站台时，有人驾驶摩托车从站台追赶火车给火车司机送上急件，然后原速返回，返回中与车尾相遇时，此人发现这时正在离站台1000米处，假设摩托车车速不变，则摩托车从出发到站台共行驶了______________米．二、解答题（每小题15分，共90分）1．数列{a n }适合递推式a n +1＝3a n +4，又a 1＝1，求数列前n 项和S n ．2．求证：从椭圆焦点出发的光线经光洁的椭圆壁反射后必经过另一个焦点．你还知道其它圆锥曲线的光学性质吗？请叙述但不必证明．3．正六棱锥的高等于h ，相邻侧面的两面角等于12arcsin 2，求该棱锥的体积．(1cos 124π=)4．设z1,z2,z3,z4是复平面上单位圆上的四点，若z1+z2+z3+z4=0．求证：这四个点组成一个矩形．5．设(1n n x y=+x n,y n为整数，求n→∞时，nnxy的极限．6．设平面上有三个点，任意二个点之间的距离不超过1．问：半径至少为多大的圆盘才能盖住这三个点．请证明你的结论．20XX 年上海交通大学联读班数学试题一、填空题（本题共40分，每小题4分） 1．数12825N =⨯的位数是________________．2．若log 2[log 3(log 4x )]＝log 3[log 4(log 2y )]＝log 4[log 2(log 3z )]＝0，则x +y +z ＝_________． 3．若log 23＝p ，log 35＝q ，则用p 和q 表示log 105为________________．4．设sin α和sin β分别是sin θ与cos θ的算术平均和几何平均，则cos2α:cos2β＝____________． 5．设[0,]2x π∈，则函数f (x )＝cos x +x sin x 的最小值为________________．6．有一盒大小相同的小球，既可将他们排成正方形，又可将它们排成正三角形，已知正三角形每边比正方形每边多2个小球，则这盒小球的个数为____________．7．若在数列1，3，2，…中，前两项以后的每一项等于它的前面一项减去再前面一项，则这个数列的前100项之和是_______________．8．在(1+2x -x 2)4的二项展开式中x 7的系数是_______________． 9．某编辑在校阅教材时，发现这句：“从60°角的顶点开始，在一边截取9厘米的线段，在另一边截取a 厘米的线段，求两个端点间的距离”，其中a 厘米在排版时比原稿上多1．虽然如此，答案却不必改动，即题目与答案仍相符合，则排错的a ＝________________．10．任意掷三只骰子，所有的面朝上的概率相同，三个朝上的点数恰能排列成公差为1的等差数列的概率为_________________．二、选择题（本题共32分，每小题4分）11．a >0，b >0，若(a +1)(b +1)＝2，则arctan a +arctan b ＝ ( )A ．2πB ．3π C ．4π D ．6π12．一个人向正东方向走x 公里，他向左转150°后朝新方向走了3里，则x 是 ( )A B ．C ．3D ．不能确定 13．111113216842(12)(12)(12)(12)(12)-----+++++=( )A ．11321(12)2---B ．1132(12)--- C ．13212--D ．1321(12)2--14．设[t ]表示≤t 的最大整数，其中t ≥0且S ＝{(x ,y )|(x -T )2+y 2≤T 2,T ＝t -[t ]}，则( )A ．对于任何t ，点(0,0)不属于SB ．S 的面积介于0和π之间C ．对于所有的t ≥5，S 被包含在第一象限D ．对于任何t ，S 的圆心在直线y ＝x 上15．若一个圆盘被2n (n >0)条相等间隔的半径和一条割线所分隔，则这个圆盘能够被分成的不交迭区域的最大个数是 ( ) A ．2n +2 B ．3n -1 C ．3n D ．3n +1 16．若i 2＝-1，则cos45°+i cos135°+…+i n cos(45+90n )°+…+i 40cos3645°＝ ( )AB．2C．20)2i-D．(2120)2i+17．若对于正实数x和y定义xyx yx y*=+，则( )A．”*”是可以交换的，但不可以结合B．”*”是可以结合的，但不可以交换C．”*”既不可以交换，也不可以结合D．”*”是可以交换和结合的18．两个或两个以上的整数除以N(N为整数，N>1)，若所得的余数相同且都是非负数，则数学上定义这两个或两个以上的整数为同余．若69，90和125对于某个N是同余的，则对于同样的N，81同余于( )A．3 B．4 C．5 D．7三、计算题（本题共78分）19．(本题10分)已知函数f(x)＝x2+2x+2，x∈[t,t+1]的最小值是g(t)．试写出g(t)的解析表达式．20．(本题12分)设对于x>0，66633311()()2()11()x xx xf xx xx x+-+-=+++，求f(x)的最小值．21．(本题16分)已知函数121 ()1xf xx -=+，对于n＝1,2,3,…定义f n+1(x)＝f1[f n(x)]．若f35(x)＝f5(x)，则f28(x)的解析表达式是什么？22．(本题20分)已知抛物线族2y＝x2-6x cos t-9sin2t+8sin t+9，其中参数t∈R．(1) 求抛物线顶点的轨迹方程；(2) 求在直线y＝12上截得最大弦长的抛物线及最大弦长．23．(本题20分)设{x n}为递增数列，x1＝1，x2＝4，在曲线y=P1(1,1),P2(4,2),33(P x,…,(n nP x…，且以O为原点，由OP n、OP n+1与曲线P n P n+1所围成部分的面积为S n，若{S n}(n∈N)是公比为45的等比数列，图形X n X n+1P n+1P n的面积为332212()3n nx x+-，试求S1+S2+…+S n+…和limnnx→∞．P nO Xn+1XnP n+1复旦大学20XX 年选拔生考试数学试题一、填空(每小题5分，共45分)1．sin x +sin y =0，则cos 2x -sin 2y =___________________．2．平面π1,π2成α的二面角，平面π1中的椭圆在平面π2中的射影是圆，那么椭圆短轴与长轴之比为__________．3．(x 2+2x +2)(y 2-2y +2)＝1，则x +y =________________________．4．电话号码0，1不能是首位，则本市电话号码从7位升到8位，使得电话号码资源增加____． 5．2002=83a 3+82a 2+8a 1+a 0，0≤a 0,a 1,a 2,a 3≤7正整数，则a 0=______________． 6．15(x的常数项为_________________．7．n ＝__________________．8．空间两平面α,β，是否一定存在一个平面均与平面α,β垂直？___________．9．在△ABC 中，cos(2A -C )＝cos(2C -B )，则此三角形的形状是________________．二、解答题(共87分)1．求解：cos3x tan5x ＝sin7x ．2．数列3，3-lg2，…,3-(n -1)lg2．问当n 为几时，前n 项的和最大？3．求证：x ∈R 时，|x -1|≤4|x 3-1|．4．a 为何值时，方程22lg lg()log (1)lg 2lg 2x a x a -+=-有解？只有一解？5．一艘船向西以每小时10公里的速度航行，在它的西南方向有一台风中心正以每小时20公里速度向正北方向移动，船与台风中心距离300米，在台风中心周围100米处将受到影响，问此船航行受台风影响的时间段长度？6．x 3-2y 3＝1的所有整数解(x ,y )，试证明：1334|2|||x y y -<．上海交通大学20XX 年保送生考试数学试题一、填空题（本题共64分，每小题4分）1．设方程x 3=1的一个虚数根为2,1n n ωωω++则(n 是正整数)=__________．2．设a ,b 是整数，直线y =ax +b 和3条抛物线：y =x 2+3,y =x 2+6x +7与y =x 2+4x +5的交点个数分别是2，1，0，则(a ,b )=___________．3．投掷3个骰子，其中点数之积为9的倍数的概率为___________． 4．若x ,y ,z >0且x 2+y 2+z 2=1，则222111x y z++的最小值为___________． 5．若2x -2-x =2，则8x =______________． 6．若a ,b ,c 为正实数，且3a =4b =6c ，则1112a b c+-=_____________． 7．222111(1)(1)(1)23n ---的值为_____________． 8．函数22sec sec x tgxy x tgx-=+的值域为______________． 9．若圆内接四边形ABCD 的边长AB =4，BC =8，CD =9，DA =7，则cos A =__________．10．若a ,b 满足关系：1=，则a 2+b 2=____________． 11．291(1)2x x+-的展开式中x 9的系数是_____________．12．当1a ≤<||x =的相异实根个数共有_____________个．13．若不等式2054x ax ≤++≤有唯一解，则a =_______________．14．设a ,b ,c 表示三角形三边的长，均为整数，且a b c ≤≤，若b =n （正整数），则可组成这样的三角形______个．15．有两个二位数，它们的差是56，它们的平方数的末两位数字相同，则这两个数为_______． 16．某市环形马路上顺次有第一小学至第五小学等5所小学，各小学分别有电脑15，7，11，3，14台，现在为使各小学的电脑数相等，各向相邻小学移交若干台，且要使移交的电脑的总台数最小，因此，从第一小学向第二小学移交了________台，从第二小学向第三小学移交了______台，从第五小学向第一小学移交了________台，移动总数是_________台．二、计算与证明题（本题共86分） 17．（本题12分）（1）设n 为大于2的整数，试用数学归纳法证明下列不等式：(1)22211111223n n ++++<-；(2)已知当2sin 01,116x x x x<≤-<<时，试用此式与(1)的不等式求1111lim (sin12sin 3sin sin )23n n n n→∞++++18．（本题14分）若存在实数x ，使f (x )=x ，则称x 为f (x )的不动点，已知函数2()x af x x b+=+有两个关于原点对称的不动点(1) 求a ,b 须满足的充要条件；(2) 试用y =f (x )和y =x 的图形表示上述两个不动点的位置（画草图） 19．（本题14分）欲建面积为144m 2的长方形围栏，它的一边靠墙（如图），现有铁丝网50m ，问筑成这样的围栏最少要用铁丝网多少米？并求此时围栏的长度．20．（本题14分）设数列{a n }满足关系2121(1,2,)n n a a n +=-=，若N 满足1(2,3,)N a N ==，试证明：(1) 1||1a ≤； (2) 12cos2N k a π-=（k 为整数）21．（本题16分）设()|lg |,,f x x a b =为实数，且0,,()()2()2a ba b a b f a f b f +<<==若满足试写出a 与b 的关系，并证明在这一关系中存在b 满足3<b <422．（本题16分）A 和B 两人掷骰子，掷出一点时，原掷骰子的人再继续掷，掷出不是一点时，由对方接着掷，第一次由A 开始掷，设第n 次由A 掷的概率是P n ．试求：(1)P n +1用P n 表示的式子；(2) 极限lim n n P →∞20XX 年上海交通大学冬令营选拔测试数学试题2003.1.4一、填空题（本大题共40分，每题4分）1．三次多项式f (x )满足f (3)＝2f (1)，且有两个相等的实数根2，则第三个根为___________． 2．用长度为12的篱笆围成四边形，一边靠墙，则所围成面积S 的最大值是_______________． 3．已知,x y R +∈，x +2y ＝1，则22x y+的最小值是______________． 4．有4个数，前3个成等比数列，后3个成等差数列，首末两数和为32，中间两数和为24，则这四个数是___________________．5．已知f (x )=ax 7+bx 5+x 2+2x -1，f (2)=-8，则f (-2)=_______________． 6．投三个骰子，出现三个点数的乘积为偶数的概率是_______________． 7．正四面体的各个面无限延伸，把空间分为________________个部分． 8．有n 个元素的集合分为两部分，空集除外，可有___________种分法．9．有一个整数的首位是7，当7换至末位时，得到的数是原数的三分之一，则原数的最小值是___________．10．100!末尾连续有______________个零．二、解答题（本大题共60分，每题10分）11．数列{a n }的a 1=1，a 2=3，3a n +2=2a n +1+a n ，求a n 和lim n n a →∞．12．3个自然数倒数和为1．求所有的解．13．已知x 1000+x 999(x +1)+…+(x +1)1000，求x 50的系数．14．化简：(1) 11!22!!n n ⋅+⋅++⋅； (2) 1212k nn n k C C C ++++++．15．求证：342231a aa a +++为最简分式．16．证明不等式()!()23nnn n n >>，当自然数n ≥6时成立．复旦大学20XX 年暨保送生考试数学试题一、填空题(本大题共80分，每题8分)1．函数1()2y f t x x =-，当x =1时，252t y t =-+，则f (x )＝________________． 2．方程x 2+(a -2)x +a +1=0的两根x 1,x 2在圆x 2+y 2=4上，则a =_______________．3．划船时有8人，有3人只能划右边，1人只能划左边，共有________种分配方法． 4．A ＝{x |log 2(x 2-4x -4)>0}，B ＝{x ||x +1|+|x -3|≥6}，则A B ⋂=_______________． 5．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a k =k ·p k (1-p ),(p ≠1)，则S k ＝______________． 6．若(x -1)2+(y -1)2=1，则13y x --的范围是___________________． 7．边长为4的正方形ABCD 沿BD 折成60o 二面角，则BC 中点与A 的距离是_________． 8．已知|z 1|=2，|z 2|=3，|z 1+z 2|=4，则12z z =______________． 9．解方程3log 2a xx xa=，x ＝________________． 10．(a >0)，lim 2nn nn a a →∞+＝______________．二、解答题(本大题共120分)11．已知|z |＝1，求|z 2+z +4|的最小值．12．a 1,a 2,a 3,…,a n 是各不相同的自然数，a ≥2，求证：1231111()()()()2a a a anaa a a ++++<．13．已知sin cos αβ+=cos sin αβ+=tan cot αβ⋅的值．14．一矩形的一边在x 轴上，另两个顶点在函数21xy x =+(x >0)的图象上，求此矩形绕x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值．15．一圆锥的底面半径为12，高为16，球O 1内切于圆锥，球O 2内切于圆锥侧面，与球O 1外切，…，以次类推，(1) 求所有这些球的半径r n 的通项公式；(2) 所有这些球的体积分别为V 1,V 2,…,V n ,…．求12lim()n n V V V →∞+++．16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，n a =，求S 2003．17．定义闭集合S ，若,a b S ∈，则a b S +∈，a b S -∈．(1) 举一例，真包含于R 的无限闭集合．(2) 求证对任意两个闭集合S 1,S 2⊂R ，存在c R ∈，但12c S S ∉⋃．同济大学20XX 年暨保送生考试数学试题一、填空题1．f (x )是周期为2的函数，在区间[-1,1]上，f (x )=|x |，则3(2)2f m +=___(m 为整数)． 2．函数y =cos2x -2cos x ,x ∈[0,2π]的单调区间是__________________． 3．函数2y =__________________．4．5．函数y ＝f (x )，f (x +1)-f (x )称为f (x )在x 处的一阶差分，记作△y ，对于△y 在x 处的一阶差分，称为f (x )在x 处的二阶差分△2y ，则y ＝f (x )＝3x ·x 在x 处的二阶差分△2y =____________． 6．7．从1～100这100个自然数中取2个数，它们的和小于等于50的概率是__________． 8．正四面体ABCD ，如图建立直角坐标系，O 为A 在底面的投影，则M 点坐标是_________，CN 与DM 所成角是_________． 9．双曲线x 2-y 2＝1上一点P 与左右焦点所围成三角形的面积___________．10．椭圆22143x y +=在第一象限上一点P (x 0,y 0)，若过P 的切线与坐标轴所围成的三角形的面积是_________．二、解答题11．不等式22222log 0364x kx kx x ++<++对于任意x ∈R 都成立，求k 的取值范围． 12．不动点，()bx c f x x a +=+．(1) 12,3为不动点，求a ,b ,c 的关系；(2) 若1(1)2f =，求f (x )的解析式；(3) 13．已知sin cos ([0,2))2sin cos y θθθπθθ⋅=∈++，(1) 求y 的最小值；(2) 求取得最小值时的θ．14．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1，|AA 1|=h ，|BB 1|=a ，点E 从A 1出发沿棱A 1A 运动，后沿AD 运动，∠A 1D 1E =θ，求过EB 1C 1的平面截三棱柱所得的截面面积S 与θ的函数关系式． 15．已知数列{a n }满足112n n n a a a -++=．(1) 若b n ＝a n -a n -1(n=2,3,…)，求b n ；(2) 求1ni i b =∑；(3) 求lim nn a→∞．16．抛物线y 2＝2px ，(1) 过焦点的直线斜率为k ，交抛物线与A ,B ，求|AB |．(2) 是否存在正方形ABCD ，使C 在抛物线上，D 在抛物线内，若存在，求这样的k ，正方形ABCD 有什么特点？BAC D A 1D 1 C 1 B1上海交通大学20XX 年保送生考试数学试题(90分钟)2004.1.3一、填空题：1．已知x ,y ,z 是非负整数，且x +y +z =10，x +2y +3z =30，则x +5y +3z 的范围是__________． 2．长为l 的钢丝折成三段与另一墙面合成封闭矩形，则它的面积的最大值是_________． 3．函数x x y cos sin +=（20π≤≤x ）的值域是_____________．4．已知a ,b ,c 为三角形三边的长，b =n ，且a ≤b ≤c ，则满足条件的三角形的个数为________． 5．b ax x ++2和c bx x ++2的最大公约数为1+x ，最小公倍数为d x b x c x +++-+)3()1(23，则a =______,b =_______,c =_______,d =__________．6．已知21≤≤a ,则方程x x a -=-222的相异实根的个数是__________．7．8182004)367(+的个位数是______________．8．已知数列{}n a 满足11=a ,22=a ，且n n n a a a 2312-=++，则2004a =____________． 9．n n ⨯的正方格,任取得长方形是正方形的概率是__________． 10．已知abcxyz xyzabc 76=,则xyzabc =_______________．11． 12．二、解答题1．已知矩形的长、宽分别为a 、b ，现在把矩形对折，使矩形的对顶点重合，求所得折线长．2．某二项展开式中，相邻a 项的二项式系数之比为 1：2：3：…：a ，求二项式的次数、a 、以及二项式系数．3．f (x )=ax 4+x 3+(5-8a )x 2+6x -9a ，证明：（1）总有f (x )=0；（2）总有f (x )≠0．4．11)(1+-=x xx f ，对于一切自然数n ，都有)]([)(11x f f x f n n =+，且)()(636x f x f =，求)(28x f ．5．对于两条垂直直线和一个椭圆，已知椭圆无论如何滑动都与两条直线相切，求椭圆中心的轨迹．6．已知{}n b 为公差为6的等差数列，)(11N n a a b n n n ∈-=++．(1) 用1a 、1b 、n 表示数列{}n a的通项公式；(2) 若a b a =-=11，]33,27[∈a ，求n a 的最小值及取最小值时的n 的值．复旦大学20XX 年保送生考试数学试题（150分钟）2003.12.21一、填空题（每题8分，共80分）1．)1)(12(124248++++=+ax x x x x ，则=a _________． 2．已知74535=-++x x ，则x 的范围是___________．3．椭圆191622=+y x ，则椭圆内接矩形的周长最大值是___________． 4．12只手套（左右有区别）形成6双不同的搭配，要从中取出4只正好能形成2双，有____种取法． 5．已知等比数列{}n a 中31=a ，且第一项至第八项的几何平均数为9，则第三项为______． 6．0)1(2<++-a x a x 的所有整数解之和为27，则实数a 的取值范围是___________．7．已知194)4(22=+-y x ，则9422y x +的最大值为____________． 8．设21,x x 是方程053cos 53sin 2=+-ππx x 的两解，则21arctgx arctgx +=__________． 9．z z =3的非零解是___________． 10．x x y +-=112的值域是____________．二、解答题（每题15分，共120分） 1．解方程：1)3(log 5=--x x ．2．已知1312)sin(=+βα，54)sin(-=-βα，且2,0,0πβαβα<+>>，求α2tg ．3．已知过两抛物线C 1：2)1(1-=+y x ，C 2：2(1)41y x a -=--+的交点的各自的切线互相垂直，求a ．4．若存在M ，使任意D t ∈（D 为函数)(x f 的定义域），都有M x f ≤)(，则称函数)(x f 有界．问函数x x x f 1sin 1)(=在)21,0(∈x 上是否有界？5．求证：3131211333<++++n．6．已知E 为棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱AB 的中点，求点B 到平面A 1EC 的距离．7．比较25log 24与26log 25的大小并说明理由．8．已知数列{}n a 、{}n b 满足n n n b a a 21--=+，且n n n b a b 661+=+，又21=a ，41=b ，求 (1)n n b a ,；(2) nnb a lim．简单解答：一、填空题：1.2- 2.)8.0,6.0(- 3.20 4.31二、解答题： 5．证明1：111))1(1)1(1()1()1(113+-+⋅+--=+-<m m mm m m m m m m=（2111)1111-++⋅⋅+--m m m m m而m m m m m =-++<-++211211111113+--<m m m原式<1+111141213111+--++-+-n n =3111222<+--+n n证明2：)1)(1()1(2--+->+=n n n n n n n11)1(1121---=-+-<n n n n n n n nn n n n n nn 111)1(121--=---<原式〈313)1113121211(21<-=--++-+-+nn n同济大学20XX 年自主招生优秀考生文化测试数学试卷一、填空题（本大题共有8题，只要求直接填写结果，每题答对得5分，否则一律得零分，本大题满分40分） 1．函数12()log (sin cos )f x x x =+的单调递增区间是_______________________．2．如图所示，为某质点在20秒内作直线运动时，速度函数()v v t =的图象，则该质点运动的总路程s =_____（厘米）． 3．设a 与b 是两条非相互垂直的异面直线，α与β分别是过直线a 与b 的平面，有以下4个结论：(1) b //α，(2) b ⊥α，(3) β//α，(4) β⊥α，则其中不可能出现的结论的序号为__________．4．设某地于某日午后2时达到最高水位，为3.20米，下一个最高水位恰在12小时后达到，而最低水位为0.20米。

自主招生不等式(附答案)

第一部分奠基篇不等关系一、要点考点1. ⑴平均数不等式（平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数）：（a、b为正数，当a = b时取等号）⑵含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）：①②（只需，时取等号）；（时取等号）⑶绝对值不等式：⑷柯西不等式：设则等号成立当且仅当.（约定时，）例如：.⑸常用不等式的放缩法：①②2. 常用不等式的解法举例（x为正数）：①②类似于③二、技能方法● 配方● 比较● 观察● 等价转化● 函数单调性● 基本不等式● 放缩● 构造● 数学归纳法三、典型例题例1、（复旦2008选拔）已知一个三角形的面积为，且它的外接圆半径为1，设分别是该三角形的三边长，令，，则和的关系是（）A． B.C． D. 无法确定解析：答案：例2、（浙大2008自招）已知，试问是否存在正数，使得对于任意正数可使为三边构成三角形？如果存在，求出的取值范围；如果不存在，请说明理由.解析：例3、（复旦2003保送）,,,…,是各不相同的正自然数，，求证：．证明：例4、（复旦2004保送）求证：．证明：不等关系——不等关系（1）【课后作业】1. （复旦2009自招）如果一个函数在其定义区间内对任意x，y都满足，则称这个函数是下凸函数，下列函数(1)(2)(3) (4)中是下凸函数的有A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)2.（中科大2009年自招）命题“若，则”的否命题是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则3.（南大2008自招）设是正数，且，求的最小值.4.（南开大学2008）有3个实根，证明：.不等关系——不等关系（1）【课后作业】1. （复旦2009自招）如果一个函数在其定义区间内对任意x，y都满足，则称这个函数是下凸函数，下列函数(1)(2)(3) (4)中是下凸函数的有A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)答案：D提示：不等关系，表示了函数图像的形态——下凸，即在函数图像上任取两个点，它们的连线段在函数图像上方．2.（中科大2009年自招）命题“若，则”的否命题是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则答案：C.说明：证明不等关系问题时，常常使用反证法，而反证法和四种命题是息息相关的，所以要掌握一定的命题知识，只要这样才能灵活解决数学问题．3.（南大2008自招）设是正数，且，求的最小值.提示：再利用基本不等式可得．答案：36.4.（南开大学2008）有3个实根，证明：. 证明：设三根为，则由韦达定理得，即从上式可知，必是三负或两正一负．用不等式的基本性质可排除两正一负的情形．于是，转化为正数后用基本不等式．。

济南各个中小学高中各学校情况

育英中学
经七路
东方双语实验学校
千佛山
外国语初中
有住校部，大部分从外地来的学生选择住校。数学外语分班制，分A和AB两个等级。英语学剑桥的同时，你还要自学Go for it(新起点）,外国语孩子不是家里有钱就是父母有权，所以孩子都比吃比穿，建国小经三路所以那儿校风特别不好。一学期住宿费：400吃的费用：14元/天，一学年学费：8000.每年大约200300的保送生(包括小语种) 2003年考入实验中学53人，附中30人，一中31人，历城二中15人，章丘四中9人，升入省重点中学138 槐荫区经四路人，其它高中300人；2004年考入实验59人，附中42人，一中35人，历城一中13人，历城二中14人，章西口丘四中15人，济北中学6人，升入省重点中学184人，其它高中306人。在数学、英语、物理、化学、生物竞赛中，我校每年都取得了优异的成绩。市骨干教师16人，区学科带头人、学科中心组成员13人，在职教育硕士5人，研究生课程班9人，区首席教师2人。目前学校共有28个教学班，在校生1978人。师资队伍素质高，有教职工152名，其中具有高级职称的29人，中级职称的52人，省级教学能手1人，市级教学能手2人，区级教学能手8人，其前身是济美学馆。现有教职工241人，40个教学班，在校生3000余人学校占地42162平方米， 7476平方米的塑胶运动场。专职教师168人，其中高级教师50人，中级教师71人。
山师校区西面大部分是本校教师的子女，整体素质较高。直升山大二附中。舜耕路上 1998年学校承接了山东省教科所的“英汉双语”教学实验课题，直升舜耕中学。济南市最好的中学，一般每年有200多个能上实验，校风很好，抓的很紧，因为很多学生是从经五路小学和胜利大街小学直升过来的，学校根据学生的综合成绩评估教师，所以教师的压力大而且抓的比较严格，学生之间竞争压力很大，升学率高，但是因为在初中都是在老师的督促下学习，到了高中很容易出现学习成绩下滑的情况，级部前60名的学生以后上附中和实验会有希望，教师水平高.东方双语工资最高，奖金最高，每班才40 人，一个年级才不过200，升学率高，设施好，不过面积小，配备多媒体教学。

复旦附中,真有那么神吗？

复旦附中，真有那么神吗？21年前，一场特殊的自主招生考试，让本文作者成为了复旦附中“牛娃”的一员。

但多年后，当年的班主任老师已经想不起，这批提前入校的“学霸”有何过人之处。

如今这些学生中绝大多数，在从事着一份“还不错”的工作，但似乎也仅此而已了。

这几年，自主招生战火已从大学烧到了高中。

虽然上有禁令，但各种以"开放日、冬令营、初高中联谊"为名目的暗渡陈仓事实上从未偃旗息鼓。

无论这些名校主观上抱有何种考虑，“抢生源”造成的实际结果，还是让自主招生成为家长和学生疲于奔命的战场。

现在，2014年的高中自主招生已经拉开序幕，四大名校的冬令营也已排上日程。

此时回顾21年前的一次名牌高中自主招生，或许对现在也有一番参考意义。

一天考完“速战速决”1993年上海举办了东亚运动会，印象极为深刻的5月9日开幕式那晚，我从信箱里找到了苦苦等候的那份通知书。

印着"复旦大学附属中学"的牛皮纸信封内，简单的一张白纸条，写着几行文字，大意是"祝贺你已被录取，请于某月某日参加学校开学夏令营"。

这时，距离那次神奇的自行招考考试，大约已过去2个星期。

我征询了当年几位同学的意见，大家都不太记得考试的题目了，只记得那次考试分三场，数理化、英语和语文政治，一天内考完，强度不亚于如今的“千分考”。

考到晚上，我连视线都模糊了，只是靠机械式的答题习惯在支撑。

依稀还记得有一道数学大题正好是之前做过的，大概正是凭着这一点优势，我杀入了最后的晋级圈。

这是真正的“一考定终身”，既没有考前的各种摸底，也没有笔试后的面试，特别是连中考都不必再参加。

就这样，我和大约200名同级生获得了复旦附中的入场券。

后来获知，当时报名参考人数和最终录取数差不多11取1，激烈程度远超过一般重点学校。

就在我们参加复旦附中考试的同一天，交大附中也在进行类似的招生考试。

据说这是得到教育主管部门特批的一次招生行动，仅限于这两所附中参加。

历届女子数学奥林匹克试题

目录2002年女子数学奥林匹克 (1)2003年女子数学奥林匹克 (3)2004年女子数学奥林匹克 (5)2005年女子数学奥林匹克 (7)2006年女子数学奥林匹克 (9)2007年女子数学奥林匹克 (11)2008年女子数学奥林匹克 (13)2009年女子数学奥林匹克 (16)2010年女子数学奥林匹克 (19)2011年女子数学奥林匹克 (21)2012年女子数学奥林匹克 (24)2002年女子数学奥林匹克1.求出所有的正整数n，使得20n+2能整除2003n+2002.2.夏令营有3n（n是正整数）位女同学参加，每天都有3位女同学担任执勤工作.夏令营结束时，发现这3n位女同学中的任何两位，在同一天担任执勤工作恰好是一次.（1）问：当n=3时，是否存在满足题意的安排？证明你的结论；（2）求证：n是奇数.3.试求出所有的正整数k，使得对任意满足不等式k(aa+ab+ba)>5(a2+a2+b2)4.⊙O1和⊙O2相交于B、C两点，且BC是⊙O1的直径.过点C作⊙O1的切线，交⊙O2于另一点A，连结AB，交⊙O1于另一点E，连结CE并延长，交⊙O2于点F.设点H为线段AF内的任意一点，连结HE并延长，交⊙O1于点G，连结BG并延长，与AC的延长线交于点D.求证：AA AH=AA AC.5.设P1，P2，⋯，P n(n≥2)是1，2，⋯，n的任意一个排列.求证：1P1+P2+1P2+P3+⋯+1P n−2+P n−1+1P n−1+P n>n−1n+2.6.求所有的正整数对(x,y)，满足x y=y x−y.7.锐角△ABC的三条高分别为AD、BE、CF.求证：△DEF的周长不超过△ABC周长的一半.8.设A1，A2，⋯，A8是平面上任意取定的8个点，对平面上任意取定的一条有向直线l，设A1，A2，⋯，A8在该直线上的摄影分别是P1，P2，⋯，P8.如果这8个射影两两不重合，以直线l的方向依次排列为P i1，P i2，⋯，P i8，这样，就得到了1,2，…，8的一个排列i1，i2，⋯，i8（在图1中，此排列为2,1,8,3,7,4,6,5）.设这8个点对平面上所有有向直线作射影后，得到的不同排列的个数为N8=N(A1,A2,⋯88的最大值.图12003年女子数学奥林匹克1. 已知D 是△ABC 的边AB 上的任意一点，E 是边AC 上的任意一点，连结DE ，F 是线段DE 上的任意一点.设AC AA =x ，AA AA =y ，CH CA =z .证明：（1） S △ACH =(1−x )yzS △AAA ，S △AAH =x (1−y )(1−z )S △AAA ;（2） �S △ACH 3+�S △AAH 3≤�S △AAA 3.2. 某班有47个学生，所用教室有6排，每排有8个座位，用(i ,j )表示位于第i 排第j 列的座位.新学期准备调整座位，设某学生原来的座位为(i ,j )，如果调整后的座位为(m ,n )，则称该生作了移动[a ,a ]=[i −m ,j −n ]，并称a +b 为该生的位置数.所有学生的位置数之和记为S .求S 的最大可能值与最小可能值之差.3. 如图1，ABCD 是圆内接四边形，AC 是圆的直径，BB ⊥AA ，AC 与BD 的交点为E ，F 在DA 的延长线上.连结BF ，G 在BA 的延长线上，使得BD ∥BB ，H 在GF 的延长线上，AC ⊥DB .证明：B 、E 、F 、H 四点共圆.图14.（1）证明：存在和为1的5个非负实数a、b、c、d、e，使得将它们任意放置在一个圆周上，总有两个相邻数的乘积不小于19；（2）证明：对于和为1的任意玩个非负实数a、b、c、d、e，总可以将它们适当放置在一个圆周上，且任意相邻两数的乘积均不大于19.5.数列{a n}定义如下：a1=2，a n+1=a n2−a n+1，n=1,2,⋯.证明：1−120032003<1a1+1a2+⋯+1a2003<1.6.给定正整数n(n≥2).求最大的实数λ，使得不等式a n2≥λ(a1+a2+⋯+a n−1)+2a n对任意满足a1<a2⋯<a n的正整数a1，a2，⋯，a n均成立.7.设△ABC的三边长分别为AB=b、BA=a、AA=a，a、b、c互不相等，AD、BE、CF分别为△ABC的三条内角平分线，且DE=DF.证明：（1）a b+c=b c+a+c a+b;（2）∠BAA>90°.8.对于任意正整数n，记n的所有正约数组成的集合为S n.证明：S n中至多有一半元素的个位数为3.2004年女子数学奥林匹克1.如果存在1，2，⋯，n的一个排列a1，a2，⋯，a n，使得k+a k(k=1,2,⋯,n)都是完全平方数，则称n为“好数”.问：在集合{11,13,15,17,19}中，哪些是“好数”，哪些不是“好数”？说明理由.（苏淳供题）2.设a、b、c为正实数.求a+3c a+2b+c+4b a+b+2c−8c a+b+3c的最小值.（李胜宏供题）3.已知钝角△ABC的外接圆半径为1.证明：存在一个斜边长为√2+1的等腰直角三角形覆盖△ABC.（冷岗松供题）4.一副三色纸牌，共有32张，其中红黄蓝每种颜色的牌各10张，编号分别是1，2，⋯，10；另有大小王牌各一张，编号均为0.从这副牌中任取若干张牌，然后按如下规则计算分值：每张编号为k的牌记为2k分.若它们的分值之和为2004，则称这些牌为一个“好牌组”.试求“好牌组”的个数.（陶平生供题）5.设u、v、w为正实数，满足条件u√vv+v√vu+v√uv≥1.试求u+v+v的最小值. （陈永高供题）6.给定锐角△ABC，点O为其外心，直线AO交边BC于点D.动点E、F分别位于边AB、AC上，使得A、E、D、F四点共圆.求证：线段EF在边BC上的投影的长度为定值.（熊斌供题）7.已知p、q为互质的正整数，n为非负整数.问：有多少个不同的整数可以表示为ii+jj的形式，其中i，j为非负整数，且i+j≤n.（李伟固供题）8.将一个3×3的正方形的四个角上各去掉一个单位正方形所得到的图形称为“十字形”.在一个10×11的棋盘上，最多可以放置多少个互不重叠的“十字形”（每个“十字形”恰好盖住棋盘上的5个小方格）？（冯祖明供题）2005年女子数学奥林匹克1.如图1，点P在△ABC的外接圆上，直线CP、AB相交于点E，直线BP、AC相交于点F，边AC的垂直平分线与边AB相交于点J，边AB的垂直平分线与边AC相交于点K.求证：AA2AH=AA⋅AA AA⋅AH.图1（叶中豪供题）2.求方程组�5�x+1x�=12�y+1y�=13(z+1z)xy+yz+zx=1,的所有实数解.（朱华伟供题）3.是否存在这样的凸多面体，它共有8个顶点、12条棱和6个面，并且其中有4个面，每两个面都有公共棱？（苏淳供题）4.求出所有的正实数a，使得存在正整数n及n个互不相交的无限整数集合A1，A2，⋯，A n满足A1∪A2∪⋯∪A n=Z，而且对于每个A i中的任意两数b>c，都有a−b≥a i.（袁汉辉供题）5.设正实数x、y满足x3+y3=x−y.求证：x2+4y2<1. （熊斌供题）6.设正整数n(n≥3).如果在平面上有n个格点P1，P2，⋯，P n满足：当�P i P j�为有理数时，存在P k，使得|P i P k|和�P j P k�均为无理数；当�P i P j�为无理数时，存在P k，使得|P i P k|和�P j P k�均为有理数，那么，称n是“好数”.（1）求最小的好数；（2）问：2005是否为好数（冯祖明供题）7.设m、n是整数，m>n≥2，S=�1，2，⋯，m�，T=�a1，a2，⋯，a n�是S的一个子集.已知T中的任两个数都不能同时整除S中的任何一个数.求证：1a1+1a2+⋯+1a n<m+n m. （张同君供题）8.给定实数a、b(a>a>0)，将长为a、宽为b的矩形放入一个正方形内（包含边界）.问正方形的边至少为多长?（陈永高供题）2006年女子数学奥林匹克1.设a>0，函数f:(0，+∞)→R满足f(a)=1.如果对任意正实数x、y，有f(x)f(y)+f�a x�f�a y�=2f(xy)，求证：f(x)为常数.（朱华伟供题）2.设凸四边形ABCD的对角线交于点O.△OAD、△OBC的外接圆交于点O、M，直线OM分别交△OAB、△OCD的外接圆于点T、S.求证：M是线段TS的中点.（叶中豪供题）3.求证：对i=1，2，3，均有无穷多个正整数n，使得n，n+2，n+28中恰有i个可表示为三个正整数的立方和.（袁汉辉供题）4.8个人参加一次聚会.(1)如果其中任何5个人中都有3个人两两认识，求证：可以从中找出4个人两两认识；(2)试问：如果其中任何6个人中都有3个人两两认识，那么是否一定可以找出4个人两两认识？（苏淳供题）5.平面上整点集S=�(a,a)�1≤a,a≤5(a、a∈Z)�，T为平面上一整点集，对S中任一点P，总存在T中不同于P的一点Q，使得线段PQ上除点P、Q外无其它的整点.问T的元素个数最少为多少？（陈永高供题）6.设集合M={1,2,⋯,19}，A={a1,a2,⋯,a k}⊆M.求最小的k，使得对任意的a∈M，存在a i、a j∈A，满足a=a i或a=a i±a j（a i、a j 可以相同）.（李胜宏供题）7.设x i>0(i=1,2,⋯,n),k≥1.求证：∑11+x i n i=1⋅∑x i n i=1≤∑x i k+11+x i n i=1⋅∑1x i k n i=1. （陈伟固供题）8.设p为大于3的质数，求证：存在若干个整数a1,a2,⋯,a t满足条件−p2<a1<a2<⋯<a t<p2，使得乘积p−a1|a1|⋅p−a2|a2|⋅⋯⋅p−a t|a t|是3的某个正整数次幂.（纪春岗供题）2007年女子数学奥林匹克1.设m为正整数，如果存在某个正整数n，使得m可以表示为n和n的正约数个数（包括1和自身）的商，则称m是“好数”.求证：（1）1,2,⋯,17都是好数；（2）18不是好数.（李胜宏供题）2.设△ABC是锐角三角形，点D、E、F分别在边BC、CA、AB上，线段AD、BE、CF经过△ABC的外心O.已知以下六个比值AC CA、AA AA、AH HA、AH HA、AA AA、AC CA中至少有两个是整数.求证：△ABC是等腰三角形.（冯祖明供题）3.设整数n(n>3)，非负实数a1，a2，⋯，a n满足a1+a2+⋯+a n=2.求a1a22+1+a2a32+1+⋯+a n a12+1的最小值.（朱华伟供题）4.平面内n(n≥3)个点组成集合S，P是此平面内m条直线组成的集合，满足S关于P中每一条直线对称.求证：m≤n，并问等号何时成立？（边红平供题）5.设D是△ABC内的一点，满足∠BAA=∠BAA=30°，∠BBA=60°，E是边BC的中点，F是边AC的三等分点，满足AF=2FC.求证：BD⊥DB.（叶中豪供题）6.已知a、a、b≥0，a+a+b=1.求证：�a+14(a−b)2+√a+√b≤√3（李伟固供题）7.给定绝对值都不大于10的整数a、b、c，三次多项式f(x)=x3+ ax2+ax+b满足条件�f(2+√3)�<0.0001.问：2+√3是否一定是这个多项式的根？（张景中供题）8.n个棋手参加象棋比赛，每两个棋手比赛一局.规定：胜者得1分，负者得0分，平局得0.5分.如果赛后发现任何m个棋手中都有一个棋手胜了其余m-1个棋手，也有一个棋手输给了其余m-1个棋手，就称此赛况具有性质P(m).对给定的m(m≥4)，求n的最小值f(m)，使得对具有性质P(m)的任何赛况，都有所有n名棋手的得分各不相同.（王建伟供题）2008年女子数学奥林匹克1.（1）问能否将集合�1，2，⋯，96�表示为它的32个三元子集的并集，且每个三元子集的元素之和都相等；（2）问能否将集合�1，2，⋯，99�表示为它的33个三元子集的并集，且每个三元子集的元素之和都相等.（刘诗雄供题）2.已知式系数多项式ϕ(x)=ax3+ax2+bx+d有三个正根，且ϕ(0)<0.求证：2a3+9a2d−7aab≤0. （朱华伟供题）3.求最小常数a(a>1)，使得对正方形ABCD内部任一点P，都存在△P AB、△PBC、△PCD、△PDA中的某两个三角形，其面积之比属于区间�a−1，a�.（李伟固供题）4.在凸四边形ABCD的外部分别作正△ABQ、△BCR、△CDS、△DAP，记四边形ABCD的对角线的和为x，四边形PQRS的对角线中点连线的和为y.求y x的最大值.（熊斌供题）5.如图1，已知凸四边形ABCD满足AB=BC，AD=DA，E、F分别是线段AB、AD上一点，满足B、E、F、D四点共圆，作△DPE顺向相似于△ADC，作△BQF顺向相似于△ABC.求证：A、P、Q三点共线.图1 注：两个三角形顺向相似是指它们的对应顶点同按顺时针方向或同按逆时针方向排列.（叶中豪供题）6. 设正数列x 1，x 2，⋯，x n ，⋯满足(8x 2−7x 1)x 17=8及x k+1x k−1−x k 2=x k−18−x k 8(x k x k−1)7(k ≥2).求正实数a ，使得当x 1>a 时，有单调性x 1>x 2>⋯>x n >⋯，当0<x 1<a 时，不具有单调性. （李胜宏供题）7. 给定一个2008×2008的棋盘，棋盘上每个小方格的颜色均不相同.在棋盘的每一个小方格中填入C 、G 、M 、O 这4个字母中的一个，若棋盘中每一个2×2的小棋盘中都有C 、G 、M 、O 这4个字母，则称这个棋盘为“和谐棋盘”，问有多少种不同的和谐棋盘？（冯祖明供题）8. 对于正整数n ，令f n =�2n √2008�+[2n √2009].求证：数列f 1,f 2,⋯中有无穷多个奇数和无穷多个偶数（[x ]表示不超过实数x 的最大整数）.（冯祖明供题）B2009年女子数学奥林匹克1. 求证：方程aab =2009(a +a +b )只有有限组正整数解(a,b,c).（梁应德供题）2. 如图1，在△ABC 中，∠BAA =90°，点E 在△ABC 的外接圆圆Γ的弧BC （不含点A ）内，AE >EC .连结EC 并延长至点F ，使得∠DAA =∠AAB ，连结BF 交圆Γ于点D ，连结ED ，记△DEF 的外心为O .求证：A 、C 、O 三点共线.图1 （边红平供题）3. 在平面直角坐标系中，设点集�P 1，P 2，⋯，P 4n+1�=�(x ,y )�x 、y 为整数，|x |≤n ,|y |≤n ,xy =0�，其中，n ∈N +.求(P 1P 2)2+(P 2P 3)2+⋯+(P 4n P 4n+1)2+(P 4n+1P 1)2的最小值.（王新茂供题）4. 设平面上有n (n ≥4)个点V 1，V 2，⋯，V n ，任意三点不共线，某些点之间连有线段.把标号分别为1，2，⋯，n 的n 枚棋子放置在这n 个点处，每个点处恰有一枚棋子.现对这n 枚棋子进行如下操作：每B次选取若干枚棋子，将它们分别移动到与自己所在点有线段相连的另一个点处；操作后每点处仍恰有一枚棋子，并且没有两枚棋子在操作前后交换位置.若一种连线段的方式使得无论开始时如何放置这n 枚棋子，总能经过有限次操作后，使每个标号为k (k =1,2,⋯,n )的棋子在点V k 处，则称这种连线段的方式为“和谐的”.求在所有和谐的连线段的方式中，线段数目的最小值. （付云皓供题）5. 设实数xyz 大于或等于1.求证：(x 2−2x +2)(y 2−2y +2)(z 2−2z +2)≤(xyz )2−2xyz +2 （熊斌供题）6. 如图2，圆Γ1、Γ2内切于点S ，圆Γ2的弦AB 与圆Γ1切于点C ，M 是弧AB （不含点S ）的中点，过点M 作MN ⊥AB ，垂足为N .记圆Γ1的半径为r .求证：AA ⋅AB =2rMN .图2 （叶中豪供题）7. 在一个10×10的方格表中有一个有4n 个1×1的小方格组成的图形，它既可被n 个“”型的图形覆盖，也可被n 个“”或“”型（可以旋转）的图形覆盖.求正整数n的最小值.（朱华伟供题）8.设a n=n√5−�n√5�.求数列a1，a2，⋯，a2009中的最大项和最小项，其中，[x]表示不超过实数x的最大整数.（王志雄供题）2010年女子数学奥林匹克1. 给定整数n (n ≥3)，设A 1，A 2，⋯，A 2n 是集合�1，2，⋯，n�的两两不同的非空子集，记A 2n+1=A 1.求∑|A i ∩A i+1||A i |⋅|A i+1|2n i=1的最大值.（梁应德供题）2. 如图1，在△ABC 中，AB =AA ，D 是边BC 的中点，E 是在△ABC 外一点，满足AD ⊥AB ，BD =BB .过线段BE 的中点M 作直线MB ⊥BD ，交△ABD 的外接圆的劣弧AD 于点F .求证：DB ⊥BB .图1 （郑焕供题）3. 求证：对于每个正整数n ，都存在满足下面三个条件的质数p 和整数m ：（1）i ≡5(mmd 6)；（2）i ∤n ；（3）n ≡m 3(mmd i ).（付云皓供题） 4. 设实数x 1，x 2，⋯，x n 满足∑x i 2=1(n ≥2)n i=1.求证：∑(1−k ∑ix i 2n i=1)2x k 2k n k=1≤(n−1n+1)2∑x k 2k n k=1，并确定等号成立的条件.（李胜宏供题）5.已知f(x)、g(x)都是定义在R上递增的一次函数，f(x)为整数当且仅当g(x)为整数.证明：对一切x∈R，f(x)−g(x)为整数.（刘诗雄供题）6.如图2，在锐角△ABC中，AB>AA，M为边BC的中点，∠BAA的外角平分线交直线BC于点P.点K、F在直线P A上，使得MB⊥BA，MM⊥PA.求证：BC2图2（边红平供题）7.给定正整数n(n≥3).对于1，2，⋯，n的任意一个排列P=(x1,x2,⋯,x n)，若i<j<k，则称x j介于x i和x k之间（如在排列（1,3,2,4）中，3介于1和4之间，4不介于1和2之间）.设集合S={P1,P2,⋯,P m}的每个元素P i(1≤i≤m)中都不介于另外两个数之间.求m的最大值.（冯祖鸣供题）8.试求满足下列条件的大于5的最小奇数a：存在正整数m1、n1、m2、n2，使得a=m12+n12，a2=m22+n22，且m1−n1=m2−n2.（朱华伟供题）2011年女子数学奥林匹克1.求出所有的正整数n，使得关于x，y的方程1x+1y=1n恰有2011组满足x≤y的正整数解(x，y) .（熊斌供题）2.如图1，在四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点E，边AB、CD的中垂线相交于点F，点M、N分别为边AB、CD的中点，直线EF分别与边BC、AD相交于点P、Q，若MB⋅AB=NB⋅AB, BQ⋅BP=AQ⋅AP，求证：PQ垂直于BC.图1（郑焕供题）3.设正数a，a，b，d满足aabd=1，求证：1+1+1+1+9≥25（朱华伟供题）4.有n(n≥3)名乒乓球选手参加循环赛，每两名选手之间恰好比赛一次(比赛无平局).赛后发现，可以将这些选手排成一圈,使得对于任意三名选手A，B，C，若A，B在圈上相邻,则A，B中至少有一人战胜了C，求n的所有可能值.（付云皓供题）5.给定非负实数a，求最小实数f=f(a)，使得对任意复数,Z1,Z2和实数x(0≤x≤1)，若|Z1|≤a|Z1−Z2|，则|Z1−xZ2|≤f|Z1−Z2|.（李胜宏供题）6.是否存在正整数m，n，使得m20+11n是完全平方数？请予以证明.（袁汉辉供题）7.从左到右编号为B1，B2，⋯，B n的n个盒子共装有n个小球，每次可以选择一个盒子B k，进行如下操作：若k=1且B1中至少有1个小球，则可从B1中移1个小球至B2中；若k＝n，且B n中至少有1个小球，则可从B n中移1个小球至B n-1中，若2≤k≤n－1且B k中至少有2个小球，则可从B k中分别移1个小球至B k－1和B k＋1中，求证：无论初始时这些小球如何放置，总能经过有限次操作使得每个盒子中恰有1个小球.（王新茂供题）8. 如图2，已知⊙O 为△ABC 中BC 边上的旁切圆，点D 、E 分别在线段AB 、AC 上，使得BD ∥BA .⊙O 1为△ADE 的内切圆，O 1B 交DO 于点F ,O 1C 交EO 于点G .⊙O 切BC 于点M .⊙O 1切DE 于点N .求证：MN 平分线段FG .图2 （边红平供题）A2012年女子数学奥林匹克1.设a1,a2,⋯,a n为非负实数，求证：11+a1+a1(1+a1)(1+a2)+⋯+ a1a2⋯a n−1(1+a1)(1+a2)⋯(1+a n)≤1.2.如图1所示，圆O1和O2外切于点T，点A、E在圆O1上，AB切圆O2于点B，ED切圆O2于点D，直线BD、AE交于点P.（1）求证：AB⋅DT=AT⋅DB；（2）求证：∠ATP+∠DTP=180°Array图13.求所有整数对（a,b），使得存在整数d>1，对任意的正整数n，都有d|a n+a n+1.4.在正十三边形的13个顶点上各摆放一枚黑子或者白子，一次操作是指将两枚棋子的位置交换.求证：无论开始时棋子是如何摆放的，总可以至多操作一次，使得各个棋子的颜色关于正十三边形的某一条对称轴是对称的.5.如图2所示，在△ABC中，I为内切圆圆心，D、E分别为AB、AC边上的切点，O为△BIC的外心，求证：∠OBB=∠ODA.图26. 某个国家有n (n ≥3)个城市，每两个城市间都有一条双向航线.这个国家有两个航空公司，每条航线由一家公司经营.一个女数学家从某个城市出发，经过至少两个其它城市，回到出发地.如果无论怎样选择出发城市和路径，都无法只乘坐一家公司的航班，求n 的最大值.7. 有一个无穷项的正整数数列a 1≤a 2≤a 3≤⋯.已知存在正整数k和r ，使得r a r =k +1，求证：存在正整数s ，使得s a s =k .8. 集合{0,1,2,⋯,2012}中有多少个元素k ，使得A 2012k 是2012的倍数.B。

2003年上海高考数学真题试卷及答案解析(理科)

绝密★启用前 2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（理工农医类）（满分150分，考试时间120分钟）考生注意1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.第Ⅰ卷（共110分）一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1．函数)4sin(cos )4cos(sin ππ+++=x x x x y 的最小正周期T= . 2．若=∈=+=απααπ则其中的解是方程),2,0(,1)cos(23x x .3．在等差数列}{n a 中，a 5=3, a 6=－2,则a 4+a 5+…+a 10= 4．在极坐标系中，定点A ),2,1(π点B 在直线0sin cos =+θρθρ上运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标是5．在正四棱锥P —ABCD 中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA 与BC所成角的大小等于 .（结果用反三角函数值表示） 6．设集合A={x ||x |<4},B={x |x 2－4x +3>0}, 则集合{x |x ∈A 且}B A x ∉= . 7．在△ABC 中，sinA;sinB:sinC=2:3:4,则∠ABC= .（结果用反三角函数值表示） 8．若首项为a 1，公比为q 的等比数列}{n a 的前n 项和总小于这个数列的各项和，则首项a 1，公比q 的一组取值可以是（a 1，q ）= .9．某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成.现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 .（结果用分数表示）10．方程x 3+lg x =18的根x ≈ .（结果精确到0.1） 11．已知点),0,24(),2,0(),2,0(nC n B n A +-其中n 的为正整数.设S n 表示△ABC 外接圆的面积，则n n S ∞→lim = .12．给出问题：F 1、F 2是双曲线201622y x -=1的焦点，点P 在双曲线上.若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由 ||PF 1|－|PF 2||=8，即|9－|PF 2||=8，得|PF 2|=1或17.该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内.二、选择题（本大题满分16分）本大题共4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分. 13．下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是（） A ．y=tg|x |. B ．y=cos(－x ).C ．).2sin(π-=x y D ．|2|xctgy =. 14．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（）A ．α、β都垂直于平面r .B ．α内存在不共线的三点到β的距离相等.C ．l ，m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥β.D ．l ，m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α, l ∥β，m ∥β.15．a 1、b 1、c 1、a 2、b 2、c 2均为非零实数，不等式a 1x 2+b 1x +c 1>0和a 2x 2+b 2x +c 2>0的解集分别为集合M 和N ，那么“212121c c b b a a ==”是“M=N ”的（）A ．充分非必要条件.B ．必要非充分条件.C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件.16．f (x )是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象如图所示：令g （x ）=af （x ）+b ，则下列关于函数g （x ）的叙述正确的是（）A ．若a <0,则函数g （x ）的图象关于原点对称.B ．若a =－1，－2<b<0,则方程g （x ）=0有大于2的实根.C ．若a ≠0,b=2,则方程g （x ）=0有两个实根.D ．若a ≥1,b<2,则方程g （x ）=0有三个实根.三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17．（本题满分12分）已知复数z1=cosθ－i，z2=sinθ+i，求| z1·z2|的最大值和最小值.18．（本题满分12分）已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AB=4，AD=2.若B1D⊥BC，直线B1D 与平面ABCD所成的角等于30°，求平行六面体ABCD—A1B1C1D1的体积.19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分. 已知数列}{n a （n 为正整数）是首项是a 1，公比为q 的等比数列.（1）求和：;,334233132031223122021C a C a C a C a C a C a C a -+-+-（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n 的一个结论，并加以证明.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状. （1）若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少？（2）若最大拱高h 不小于6米，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最最小？（半个椭圆的面积公式为lh S 4π=，柱体体积为：底面积乘以高.本题结果精确到0.1米）21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分.在以O 为原点的直角坐标系中，点A （4，－3）为△OAB 的直角顶点.已知|AB|=2|OA|，且点B 的纵坐标大于零.（1）求向量AB 的坐标；（2）求圆02622=++-y y x x 关于直线OB 对称的圆的方程；（3）是否存在实数a ，使抛物线12-=ax y 上总有关于直线OB 对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求a 的取值范围.22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f(x+T)=T f(x)成立.（1）函数f(x)= x是否属于集合M？说明理由；（2）设函数f(x)=a x（a>0,且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：f(x)=a x∈M；（3）若函数f(x)=sin kx∈M ,求实数k的取值范围.2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理工农医类）答案一、（第1题至第12题）1．π. 2．π34. 3．－49 . 4．)43,22(π. 5．arctg2. 6．[1,3]. 7．.611arccos8．10,0)(21,1(1<<>q a 的一组数）. 9．19011910．2.6 . 11．4π 12．|PF 2|=17.二、（第13题至第16题）题号 13 14 15 16 代号CDDB三、（第17题至第22题） 17．[解].2sin 412cos sin 2)sin (cos )cos sin 1(|)sin (cos cos sin 1|||2222221θθθθθθθθθθθ+=+=-++=-++=⋅i z z故||21z z ⋅的最大值为,23最小值为2.18．[解]连结BD ，因为B 1B ⊥平面ABCD ，B 1D ⊥BC ，所以BC ⊥BD.在△BCD 中，BC=2，CD=4，所以BD=32.又因为直线B 1D 与平面ABCD 所成的角等于30°，所以 ∠B 1DB=30°，于是BB 1=31BD=2.故平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的体积为S ABCD ·BB 1=38. 19．[解]（1）.)1(33,)1(231312111334233132031212111223122021q a q a q a q a a C a C a C a C a q a q a q a a C a C a C a -=-+-=-+--=+-=+-（2）归纳概括的结论为：若数列}{n a 是首项为a 1，公比为q 的等比数列，则nnn n n n n n n n nnn nnnn n nn n n n n n n n n n n n n n n q a C q C q C q qC C a C q a C q a C q a qC a C a C a C a C a C a C a n q a C a C a C a C a C a )1(])1([)1()1(:.,)1()1(133********122111011342312011134231201-=-++-+-=-++-+-=-++-+--=-++-+-++ 证明为正整数20．[解]（1）如图建立直角坐标系，则点P （11，4.5），椭圆方程为12222=+by a x .将b=h =6与点P 坐标代入椭圆方程，得3.3377882,7744≈===a l a 此时.因此隧道的拱宽约为33.3米.（2）[解一]由椭圆方程12222=+by a x ，得.15.4112222=+b a4.6,1.312222229,211,215.411,.29924,,2,995.41125.41122222222≈=≈======≥====≥⨯⨯≥+b h a l b a b a S ab lh S b h a l ab ab b a 此时得有取最小值时当所以且即因为πππ故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小.[解二]由椭圆方程12222=+b y a x ，得.15.4112222=+b a 于是,121481222-⋅=a a b ,121121121,,99,12181)2421212(481)242121121121(481222222222-=-≥⨯=+≥+-+-=a a S ab a a b a 有取最小值时当即得.229,211==b a 以下同解一.21．[解]（1）设⎩⎨⎧=-=+⎪⎩⎪⎨⎧=⋅==,034100,0||||||2||},,{22v u v u v u AB 即则由得},3,4{.86,86-+=+=⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==v u v u v u 因为或所以v －3>0,得v =8,故={6，8}.（2）由OB ={10，5}，得B （10，5），于是直线OB 方程：.21x y =由条件可知圆的标准方程为：(x －3)2+y(y+1)2=10, 得圆心（3，－1），半径为10.设圆心（3，－1）关于直线OB 的对称点为（x ,y ）则,31,231021223⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+=-⋅-+y x x y y x 得故所求圆的方程为(x －1)2+(y －3)2=10. （3）设P (x 1,y 1), Q (x 2,y 2) 为抛物线上关于直线OB 对称两点，则.23,022544,02252,,2252,202222222212212121212121>>-⋅-=∆=-++⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=+-+a a a a aa x a x x x a a x x a x x x x y y y y x x 得于是由的两个相异实根为方程即得故当23>a 时，抛物线y=ax 2－1上总有关于直线OB 对称的两点. 22．[解]（1）对于非零常数T ，f (x +T)=x +T, T f (x )=T x . 因为对任意x ∈R ，x +T= T x 不能恒成立，所以f (x )=.M x ∉（2）因为函数f (x )=a x （a >0且a ≠1）的图象与函数y=x 的图象有公共点，所以方程组：⎩⎨⎧==xy a y x有解，消去y 得a x =x ,显然x =0不是方程a x =x 的解，所以存在非零常数T ，使a T =T.于是对于f (x )=a x 有)()(x Tf a T a a a T x f x x T T x =⋅=⋅==++ 故f (x )=a x ∈M.（3）当k=0时，f (x )=0，显然f (x )=0∈M.当k ≠0时，因为f (x )=sin kx ∈M ，所以存在非零常数T ，对任意x ∈R ，有f (x +T)=T f (x )成立，即sin(kx +k T)=Tsin kx .因为k ≠0，且x ∈R ，所以kx ∈R ，kx +k T ∈R ，于是sin kx ∈[－1，1]，sin(kx +k T) ∈[－1，1]，故要使sin(kx +k T)=Tsin kx .成立，只有T=1±，当T=1时，sin(kx +k )=sin kx 成立，则k =2m π, m ∈Z .当T=－1时，sin(kx－k)=－sin kx成立，即sin(kx－k+π)= sin kx成立，则－k+π=2mπ, m∈Z ，即k=－2(m－1)π, m∈Z . 综合得，实数k的取值范围是{k|k= mπ, m∈Z}。

5.复数模的运算与几何意义

[决胜高考数学母题](第008号)复数模的运算与几何意义复数与坐标平面內的点具有一一对应关系,由此可定义复数的模:若复数z=a+bi,则z 的模|z|=22b a +,复数的模具有优美的运算性质和直观的几何意义.[母题结构]:(Ⅰ)(模的运算):|z 1z 2|=|z 1||z 2|;|z|2=|z 2|,|21z z |=||||21z z . (Ⅱ)(几何意义):复数的两层几何意义:复数z=a+bi ←→Z(a,b)←→OZ =(a,b).(Ⅲ)(模的意义)①|z-z o |⇔z 对应的点Z 与z o 对应的点Z o 的距离;②|z-z 1|=|z-z 2|⇔复数z 对应的点Z 在线段Z 1Z 2的垂直平分线上,其中Z 1、Z 2分别是复数z 1、z 2的对应点;③|z-z 0|=R ⇔复数z 对应的点Z 在以点Z 0为圆心,半径为R 的圆上,其中Z 0是复数z 0的对应点;④|z-z 1|+|z-z 2|=|z 1-z 2|⇔复数z 对应的点P 在线段Z 1Z 2上,其中Z 1、Z 2分别是复数z 1、z 2的对应点.[母题解析]:略.1.模的运算子题类型Ⅰ:(2010年课标卷高考试题)已知复数z=2)31(3i i-+,则|z|=( ) (A)41 (B)21 (C)1 (D)2 [解析]:由z=2)31(3i i-+⇒|z|=2|31||3|i i -+=222=21.故选(B). [点评]:利用复数模的运算性质求复数的模,无需把所给复数化成a+bi 的形式,可直接求解,减少计算量,是解决该类高考试题的最佳途径.[同类试题]:1.(2013年课标Ⅱ卷高考试题)|i+12|=( ) (A)22 (B)2 (C)2 (D)12.(2013年山东高考试题)复数z=ii 2)2(-(i 为虚数单位),则|z|=( ) (A)25 (B)41 (C)5 (D)5 2.几何意义子题类型Ⅱ:(2003年上海春招试题)复数z=ii m 212+-(m ∈R,i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限[解析]:由z=i i m 212+-=51(m-2i)(1-2i)=51(m-4)-52(m+1)i;如果在第一象限,则⎩⎨⎧<+>-0104m m ,而该不等式组无解.故选(A). [点评]:复数的几何意义:复数z=a+bi ←→点Z(a,b);本题把复数的几何意义与解不等式进行有机结合,不仅体现了知识的交汇,而且呈现了逆向思维.[同类试题]:3.(2007年复旦大学保送生考试试题)复数z=ii a 212+-(a ∈R,i 为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于( )(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限4.(1989年全国高中数学联赛试题)若A,B 是锐角△ABC 的两个内角,则复数z=(cosB-sinA)+i(sinB-cosA)在复平面内所对应的点位于( )(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 3.模的意义子题类型Ⅲ:(2002年北京高考试题)己知z 1,z 2∈C,且|z 1|=1,若z 1+z 2=2i,则|z 1-z 2|的最大值是( )(A)6 (B)5 (C)4 (D)3[解析]:令z 1、z 2对应的点分别为P 、Q,A(0,2),由|z 1|=1⇒点P 在圆x 2+y 2=1上;又由z 1+z 2=2i ⇒点Q 满足:OP +OQ =OA ,且|z 1-z 2|=|PQ|=|OP -OQ |=|2OP -(OP +OQ )|=|2OP -OA |≤2|OP |+|OA |=4,当且仅当z 1=-i,z 2=3i 时,等号成立.故选(C).[点评]:复数的几何意义有两个层次:复数z=a+bi ←→点Z(a,b)←→向量OZ =(a,b);复数模的意义:|z-z o |⇔z 对应的点Z 与z o 对应的点Z o 的距离;由此作图,根据几何直观是解决模的最值问题的最佳选择.[同类试题]:5.(1990年广东高考试题)如果z 1,z 2是复数,且|z 1|=3,|z 2|=4,|z 1-z 2|=5,那么|z 1+z 2|的值是 .6.(2003年安徽春招试题)若复数z 满足|z-1|=|z-2|=|z-i|,则z= .4.子题系列:7.(2013年广东高考试题)若i(x+yi)=3+4i,x,y ∈R,则复数x+yi 的模是( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)58.(2010年江苏高考试题)设复数z 满足z(2-3i)=6+4i(i 为虚数单位),则z 的模为 .9.(2013年辽宁高考试题)复数z=11-i 的模为( ) (A)21 (B)22 (C)2 (D)2 10.(2013年课标Ⅱ卷高考试题)|i +12|=( ) (A)22 (B)2 (C)2 (D)111.(2013年山东高考试题)复数z=ii 2)2(-(i 为虚数单位),则|z|=( ) (A)25 (B)41 (C)5 (D)512.(2013年重庆高考试题)已知复数z=ii 215+(i 为虚数单位),则|z|= . 13.(2017年江苏高考试题)已知z=(1+i)(1+2i),其中i 是虚数单位,则z 的模是 .14.(2017年高考全国Ⅲ理科试题)设复数z 满足(1+i)z=2i,则|z|=( ) (A)21 (B)22 (C)2 (D)2 15.(2017年山东高考试题)已知a ∈R,i 是虚数单位.若z=a+3i,z z =4,则a=( )(A)1或-1 (B)7或-7 (C)-3 (D)316.(2017年高考全国Ⅲ文科试题)在复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于( )(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限17.(2011年山东高考试题)复数z=ii +-22(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限18.(2005年辽宁高考试题)复数z=ii ++-11-1在复平面内,z 所对应的点在( ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限19.(2005年浙江高考试题)在复平面内,复数ii +1+(1+3i)2对应的点位于( ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限20.(2004年北京春招试题)当32<m<1时,复数z=(3m-2)+(m-1)i 在复平面内所对应的点位于( ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限21.(2017年北京高考试题)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a 的取值范围是( )(A)(-∞,1) (B)(-∞,-1) (C)(1,+∞) (D)(-1,+∞)22.(2008年江西高考试题)在复平面内,复数z=sin2+icos2对应的点位于( )(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限23.(2003年北京高考试题)若z ∈C,且|z+2-2i|=1,则|z-2-2i|的最小值是( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)524.(2004年北京高考试题)满足条件|z-i|=|3+4i|的复数z 在复平面上对应点的轨迹是( )(A)一条直线 (B)两条直线 (C)圆 (D)椭圆25.(1994年全国高考试题)如果复数z 满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是( ) (A)1 (B)2 (C)2 (D)526.(1999年全国高中数学联赛河北初赛试题)若复数z 满足|z+1+i|+|z-1-i|=22,记|z+i|的最大值和最小值分别为M,m,则mM = . 27.(1989年广东高考试题)满足条件|z|=1及|z+21|=|z-23|的复数z 的集合是 . 5.子题详解:1.解:|i +12|=|1|2i +=22=2.故选(C). 2.解:|z|=|i i 2)2(-|=|||2|2i i -=5.故选(C). 3.解:z=i i a 212+-=51(a-4)-52(a+1)i.故选(A). 4.解:由A+B>900⇒cosB-sinA<0,sinB-cosA>0.故选(B).5.解:在复平面内,令z 1,z 2对应的点分别为A,B,则|OA|=3,|OB|=4,|AB|=5⇒△OAB 是直角三角形⇒|z 1+z 2|=|AB|=5.6.解:在复平面内,令点A(1,0),B(2,0),C(0,1),由|z-1|=|z-2|知,复数z 对应的点P 在线段AB 的垂直平分线x=23上,又由|z-1|=|z-i|知,复数z 对应的点P 在线段AC 的垂直平分线y=x ⇒y=x=23⇒P(23,23)⇒z=23+23i. 7.解:由i(x+yi)=3+4i ⇒|i||x+yi|=|3+4i|⇒|x+yi|=5.故选(D).8.解:由z(2-3i)=6+4i ⇒|z|=2.9.解:|z|=|11-i |=|1|1-i =22.故选(B).10.解:|i +12|=|1|2i +=22=2.故选(C). 11.解:|z|=|i i 2)2(-|=|||2|2i i -=5.故选(C). 12.解:|z|=|ii 215+|=5. 13.解:由z=(1+i)(1+2i)⇒|z|=|1+i||1+2i|=2⋅5=10.14.解:由(1+i)z=2i ⇒|1+i||z|=|2i|⇒|z|=2.故选(C).15.解:由z z =4⇒|z|=2⇒a=1或-1.故选(A).16.解:由z=i(-2+i)=-1-2i.故选(C).17.解:由z=i i +-22=51(3-4i).故选(D). 18.解:由z=ii ++-11-1=i-1.故选(B). 19.解:由i i +1+(1+3i)2=2)341(3i ++-.故选(B). 20.解:由3m-2>0,m-1<0.故选(D).21.解:由(1-i)(a+i)=(a+1)+(1-a)i 在第二象限⇒a<-1.故选(B).22.解:由sin2>0,cos2<0.故选(D).23.解:在复平面内,令z,-2+2i,2+2i 对应的点分别为P,A,B,则|PA|=|z+2-2i|=1,|z-2-2i|=|PB|≥|AB|-1=3.故选(B).24.解:令z 1=i 则z 1对应的点Z 1(0,1),设z 对应的点为P,则|z-i|=|3+4i|⇔|PZ 1|=5⇔点P 的轨迹是圆.故选(C).25.解:在复平面上,设A(0,-1),B(0,1),M(-1,-1),P:z,则|AB|=2,由|z+i|+|z-i|=2⇒点P 在线段AB 上⇒|x+i+1|=|PM|≥|AM|=1.故选(A).26.解:在复平面上,设A(-1,-1),B(1,1),C(0,-1),则|AB|=22⇒|z+1+i|+|z-1-i|=22点P 在线段AB 上⇒M=|BC|= 5,m=22. 27.解:在复平面内,令点A(-21,0),B(23,0),由|z+21|=|z-23|⇒复数z 对应的点P 在线段AB 的垂直平分线x=21上;又由|z|=1⇒点P 在圆x 2+y 2=1上⇒y=±23⇒z=21±23i ⇒复数z 的集合是{21±23i}.。

41.周期函数

高考数学母题规划,助你考入清华北大！杨培明(电话:139********)数学丛书,给您一个智慧的人生！高考数学母题[母题]Ⅰ(5-41):周期函数(102) 299周期函数 [母题]Ⅰ(5-41):(2003年北京春招试题)若存在常数p>0,使得函数f(x)满足f(px)=f(px-2p )(x ∈R).则f(x)的一个正周期为 . [解析]:由f(px)=f(px-2p )⇒f(t)=f(t-2p )⇒f(x)是以T=-2p 为周期的周期函数⇒kT=k(-2p )(k ∈Z)都是f(x)的周期⇒f(x)的一个正周期为p(取k=-2).[点评]:周期函数是一类非常重要的特殊函数,周期性作为函数的一个重要性质是高考的热点,对周期函数的系统认识、把握,从定义开始.定义:设f(x)定义在数集D 上的函数,若存在T ≠0,使得对一切x ∈D 有f(x+T)=f(x),则f(x)称为D 上的周期函数,T 称为f(x)的一个周期.如果在所有正周期中存在一个最小正数T 0,那么T 0叫做f(x)的最小正周期.性质:①如果T 是函数f(x)的周期,即f(x+T)=f(x),则对任意的k ∈Z,kT 也是函数f(x)的周期,即f(kT+x)=f(x);②若f(x)有最小正周期T,则除±nT(n=1,2,…)外,函数f(x)无其他周期;[子题](1):(2010年安徽高考试题)若f(x)是R 上周期为5的奇函数,且满足f(1)=1,f(2)=2,则f(3)-f(4)=( )(A)-1 (B)1 (C)-2 (D)2[解析]:由f(x)是R 上周期为5的奇函数⇒f(3)=f(5+(-2))=f(-2)=-f(2)=-2,f(4)=f(5+(-1))=f(-1)=-f(1)=-1⇒ f(3)-f(4)=-1.故选(A).注:充分利用周期函数的定义式:f(x+T)=f(x),就是对x 进行灵活赋值,从而建立已知与未知的关系,由此解决问题. [子题](2):(2004年福建高考试题)定义在R 上的函数f(x)满足f(x)=f(x+2),当x ∈[3,5]时,f(x)=2-|x-4|,则( ) (A)f(22)>f(33) (B)f(22)<f(33) (C)f(-22)<f(33) (D)f(-33)>f(-22) [解析]:由f(x)=f(x+2)⇒f(x)=f(x+4),所以当x ∈[-1,1]时,f(x)=f(x+4)=2-|(x+4)-4|=2-|x|⇒函数f(x)在区间[-1, 1]内是偶函数,且在[0,1]上单调递减,由22>33⇒f(22)<f(33).故选(B). 注:利用周期函数的性质把未知区间内的问题转化为已知区间内的问题是解决周期函数问题的基本方法. [子题](3):(2012年湖南高考试题)设定义在R 上的函数f(x)是最小正周期2π的偶函数,f(x)的导函数,当x ∈[0,π]时,0<f(x)<1;当x ∈(0,π),且x ≠2π时,(x-2π)f '(x)>0,则函数y=f(x)-sinx 在[-2π,2π]上的零点个数为( ) (A)2 (B)4 (C)5 (D)8[解析]:由(x-2π)f '(x)>0⇒f(x)在(0,2π)上单调递减,在(2π,π) y 上单调递增,又当x ∈[0,π]时,0<f(x)<1⇒f(x)在区间[0,π]内的图像如图;由f(x)是偶函数⇒f(x)在区间[-π,0]内的图像如图;由 O x f(x)是以2π为周期的函数⇒f(x)在区间[-2π,2π]内的图像如图;在同一坐标系内,作y=sinx 的图像知,有4个交点.故选(B).注:认识并利用周期函数图像的“周期性”是解决周期函数问题的另一基本方法.[子题系列]:1.(2013年全国大纲试题)设f(x)是以2为周期的函数,且当x ∈[1,3)时,f(x)=x-2,则f(-1)= .300 [母题]Ⅰ(5-41):周期函数(102)2.(2010年全国高中数学联赛湖南预赛试题)若f(x)是R 上周期为5的奇函数,且满足f(1)=8,则f(2010)-f(2009)=( )(A)6 (B)7 (C)8 (D)93.(2003年同济大学保送生考试数学试题)f(x)是周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f(x)=|x|,则f(2m+23)= (m 为整数).4.(2009年湖北高考试题)己知f(x)在R 上是奇函数,且满足f(x+4)=f(x),当x ∈(0,2)时,f(x)=2x 2,则f(7)=( )(A)-2 (B)2 (C)-98 (D)985.(2009年江西高考试题)己知函数f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于x ≥0,都有f(x+2)=f(x),且当x ∈[0,2)时,f(x) =log 2(x+1),则f(-2008)+f(2009)的值为( )(A)-2 (B)-1 (C)1 (D)26.(2009年辽宁高考试题)己知函数f(x)满足:当x ≥4时,f(x)=(21)x ;当x<4时,f(x)=f(x+1),则f(2+log 23)=( ) (A)241 (B)121 (C)81 (D)83 7.(2012年浙江高考试题)设函数f(x)是定义在R 上的周期为2的偶函数,当x ∈[0,1]时,f(x)=x+1,则f(23)= . 8.(2011年全国大纲试题)设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x ≤1时,f(x)=2x(1-x)则f(-25)=( ) (A)-21 (B)-41 (C)41 (D)21 9.(2012年山东高考试题)定义在R 上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3≤x<-1时,f(x)=-(x+2)2,当-1≤x<3时,f(x)=x.则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2012)=( )(A)335 (B)338 (C)1678 (D)201210.(2008年全国高中数学联赛福建预赛试题)已知f(x)是定义在R 上的奇函数,对任意x ∈R 均有f(x+2)=f(x),且x ∈(0,1)时,f(x)=x 2,则f(-23)+f(1)= . 11.(2007年全国高中数学联赛湖北预赛试题)定义在R 上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x∈[0,2π)时,f(x)=sinx,则f(38π)的值为( ) (A)23 (B)-23 (C)21 (D)-21 12.(2003年北京市中学生数学竞赛高一试题)已知f(x)是定义在实数集上的函数,且f(x+5)=-f(x),当x ∈(5,10)时,f(x)=x 1,则f(2003)的值等于( ) (A)-81 (B)51 (C)31 (D)-31 13.(2012年江苏高考试题)设f(x)是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤++<≤-+10,1201,1x x bx x ax ,其中a,b ∈R. 若f(21)=f(23),则a+3b 的值为 . 14.(2006年陕西初赛试题)设f(x)是以2为周期的奇函数,且f(-52)=3,若sin α=55,则f(4cos2α)的值 .[母题]Ⅰ(5-41):周期函数(102) 301 15.(1998年第九届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)设函数y=f(x)是周期为是周期为2的偶函数,且在区间[0,1]内单调递减,则f(-1),f(0),f(2.5)的大小关系是( )(A)f(-1)<f(2.5)<f(0) (B)f(-1)<f(0)<f(2.5) (C)f(0)<f(2.5)<f(-1) (D)f(2.5)<f(0)<f(-1) 16.(1995年第六届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)设函数f(x)是周期为4的周期函数,且在(-2,2)内,f(x)又是单调递减的奇函数,则f(5)、f(-2.43)、f(2π)、f(-4)从小到大的顺序为 . 17.(2009年山东高考试题)己知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数.则( )(A)f(-25)<f(11)<f(80) (B)f(80)<f(11)<f(-25) (C)f(11)<f(80)<f(-25) (D)f(-25)<f(80)<f(11)18.(1998年全国高中数学联赛试题)若f(x)(x ∈R)是以2为周期的偶函数,当x ∈[0,1]时,f(x)=19981x,则f(1998), f(17101),f(15104)由小到大的排列是 . 19.(2012年重庆高考试题)已知f(x)是定义在R 上的偶函数,且以2为周期,则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的( )(A)既不充分也不必要的条件 (B)充分而不必要的条件 (C)必要而不充分的条件 (D)充要条件20.(2004年福建省高一数学夏令营选拔试题)若函数y=f(x)(x ∈R)满足f(x+2)=f(x),且x ∈(-1,1]时,f(x)=|x|.则函数y=f(x)的图象与函数y=log 4|x|的图象的交点个数为( )(A)3 (B)4 (C)6 (D)821.(2011年全国高中数学联赛吉林预赛试题)设函数y=f(x)(x ∈R)满足f(x+2)=f(x),且当x ∈(-1,1]时,函数f(x)=1-x 2,函数g(x)=⎩⎨⎧=≠0,10|,|lg x x x ,则函数t(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,10]内零点的个数为( )(A)l2 (B)14 (C)l3 (D)822.(1990年全国高中数学联赛试题)设f(x)是定义在实数集上的周期为2的函数,且是偶函数,已知当x ∈[2,3]时,f(x)=x,则当x ∈[-2,0]时,f(x)的解析式是( )(A)f(x)=x+4 (B)f(x)=2-x (C)f(x)=3-|x+1| (D)f(x)=2+|x+1|22.(2000年第十一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)函数f(x)是定义在R 上的周期为2的偶函数.x ∈[2,3时,f(x)=x,则当x ∈[-2,0]时,f(x)的解析式写成分段函数的形式是 ,写成统一的形式是 .24.(2006年复旦大学保送生考试试题)设函数f(x)是定义在实数集上的周期为2的周期函数,且是偶函数.已知当x ∈[2,3]时,f(x)=x,则当x ∈[-2,0]时,f(x)的表达式为( )(A)x+4 (B)2-x (C)3-|x+1| (D)2+|x+1|25.(2007年复旦大学保送生考试试题)设函数f(x)是定义在实数集上的周期为2的周期函数,且是偶函数.已知当x ∈[2,3]时,f(x)=-x,则当x ∈[-2,0]时,f(x)的表达式为( )(A)-3+|x+1| (B)2-|x+1| (C)3-|x+1| (D)2+|x+1|26.(2007年全国高中数学联赛浙江预赛试题)设f(x)是定义在R 上的奇函数,且满足f(x+2)=-f(x);又当0≤x ≤1时,f(x)=21x,则{x|f(x)=-21}= . 27.(2009年全国高中数学联赛新疆预赛试题)已知f(x)是定义在R 上的周期为2的偶函数,当0≤x ≤1时,f(x)=x 2,若直线y=21x+a 与y=f(x)的图像恰好有两个公共点,则a= . [子题详解]:1.解:由f(-1)=f(2-1)=f(1)=-1.2.解:由f(2010)-f(2009)=f(402×5+0)-f(402×5-1)=f(0)-f(-1)=f(1)=8.故选(C).3.解:f(2m+23)=f(2m+2+(-21))=f(-21)=21. 4.解:由f(7)=f(8-1)=f(-1)=-f(1)=-2.故选(A). 5.解:由f(-2008)+f(2009)=f(0)+f(1)=1.故选(C). 6.解:由f(2+log 23)=f(3+log 23)=1/24.故选(A).302 [母题]Ⅰ(5-41):周期函数(102)7.解:由函数f(x)是定义在R 上的周期为2的偶函数⇒f(23)=f(2-21)=f(-21)=f(21)=23. 8.解:由f(-25)=f(-2-21)=f(-21)=-f(21)=-21.故选(A). 9.解:由f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=1⇒f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2012)=335[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]+[f(1)+f(2)]=335×1+3=338.故选(B).10.解:由f(x+2)=f(x)⇒f(1)=f(-1)⇒f(1)=0;f(-23)=f(21)=41. 11.解:由f(38π)=f(3π-3π)=f(-3π)=-f(3π)=-sin 3π=-23.故选(B). 12.解:由f(x+5)=-f(x)⇒f(x+10)=-f(x+5)=f(x)⇒f(2003)=f(3)=-f(8)=-81.故选(A).13.解:由f(23)=f(2-21)=f(-21)⇒f(21)=f(-21)⇒34+b =-21a+1⇒3a+2b+2=0;又由f(1)=f(2-1)=f(-1)⇒b=-2a ⇒a=2,b=-4⇒a+3b=-10.14.解:由4cos2α=4(1-2sin 2α)=2+52⇒f(4cos2α)=f(2+52)=f(52)=-f(-52)=-3. 15.解:由f(-1)=f(1),f(2.5)=f(0.5);又由f(1)<f(0.5)<f(0)⇒f(-1)<f(2.5)<f(0).故选(A).16.解:由f(5)=f(1),f(-2.43)=f(1.57),f(-4)=f(0);又由f(0)>f(1)>f(1.57)>f(2π)⇒f(2π)<f(-2.43)<f(5)<f(-4). 17.解:由f(x-4)=-f(x)⇒T=2(-4)⇒T=8⇒f(-25)=f(-1);f(11)=f(1);f(80)=f(0).又由奇函数f(x)在区间[0,2]上是增函数⇒f(x)在区间[-2,0]上是增函数⇒f(-1)<f(0)<f(1)⇒f(-25)<f(80)<f(11).18.解:由f(x)在[0,1]上单调递增,且f(1998)=f(1916),f(17101)=f(171),f(15104)=f(151)⇒f(17101)<f(15104)<f(1998). 19.解:作y=f(x)的图像知,故选(D).20.解:由f(x)与函数y=log 4|x|都是偶函数;当x>0时,作图知,交点个数为3.故选(C).21.解:由f(x)与函数y=log 4|x|都是偶函数;作图知,当x ∈[0,10]时,零点的个数=10;当x ∈[-5,0)时,零点的个数=4.故选(B).22.解:当x ∈[-2,-1]时,x+4∈[2,3]⇒f(x)=f(x+4)=x+4;当x ∈[-1,0]时,-x ∈[0,1]⇒2-x ∈[2,3]⇒f(x)=f(-x)=f(2- x)=2-x.综上,f(x)=3-|x+1|.故选(C).23.解:当x ∈[-2,-1]时,x+4∈[2,3]⇒f(x)=f(x+4)=x+4;当x ∈[-1,0]时,-x ∈[0,1]⇒2-x ∈[2,3]⇒f(x)=f(-x)=f(2 -x)=2-x.综上,f(x)=3-|x+1|.24.解:由已知作图知:当x ∈[-2,0]时,f(x)过A(-2,2),B(-1,3),C(0,2)⇒f(x)=-3+|x+1|.故选(C).25.解:由已知作图知:当x ∈[-2,0]时,f(x)过A(-2,2),B(-1,-3),C(0,-2)⇒f(x)=-3+|x+1|.故选(A).26.解:由f(x+2)=-f(x)⇒f(x+4)=-f(x+2)=f(x)⇒f(x)是以4为周期的周期函数;因为当0≤x ≤1时,f(x)=21x,且f(x)为奇函数⇒当-1≤x ≤1时,f(x)=21x ⇒f(-1)=-21⇒f(3)=f(-1)=-21⇒f(4k-1)=-21⇒{x|f(x)=-21}={4k-1|k ∈Z}. 27.解:因当0≤x ≤1时,f(x)=x 2,且f(x)为偶函数⇒当-1≤x ≤1时,f(x)=x 2⇒当2k-1≤x ≤2k+1时,f(x)=(x-2k)2;直线y=21x+a 与y=f(x)的图像恰好有两个公共点⇔y=21x+a 过点(k+1,1),或直线y=21x+a 与f(x)=(x-2k)2相切⇔k+1=21+a,或x 2-(4k+21)x+4k 2-a=0有等根⇔a=k+21,或(4k+21)2-4(4k 2-a)=0⇔a=k+21,或k-161,k ∈Z.。

5.复数模的运算与几何意义

高考复旦大学历年分数线

【上海】
提前批(01组)：最高分582 中位分579 录取分573
提前批(02组)：最高分582 中位分576 录取分574
提前批(03组)：最高分581 中位分578 录取分576
【北京】
提前批(不限)：最高分675 中位分673.5 录取分671
提前批(物理)：最高分677 中位分671 录取分668
本一批(不限)：最高分682 中位分676 录取分675
本一批(物理)：最高分682 中位分680.5 录取分679
本一批(物理/化学)：最高分682 中位分679.5 录取分678 【天津】
提前批(俄语)：最高分684 中位分683 录取分682
本一批(不限)：最高分704 中位分700 录取分699
本一批(物理)：最高分706 中位分705.5 录取分705
本一批(物理/化学)：最高分705 中位分702 录取分701 【浙江】
提前批(综合)：最高分690 中位分684 录取分671
高校专项(综合)：最高分685 中位分675.5 录取分665 本一批(经济)：最高分698 中位分695 录取分694
本一批(数学)：最高分697 中位分696 录取分694
本一批(新闻)：最高分693 中位分693 录取分693
本一批(工科试验班)：最高分693 中位分693 录取分693。

专题2 不等式

专题2 不等式自主招生常见的不等式试题类型主要包括：不等式的证明、解不等式、不等式的应用，其中不等式的证明是难点，也是重点．证明不等式的基本方法主要有：比较法（作差，作商）、放缩法、反证法、数学归纳法、变量代换法、构造法（构造函数，构造图形）等．它的关键在于恰当的变形和转化，除此之外，也涉及均值不等式和柯西不等式．构造适当的模型来处理不等式问题，也是自主招生考试试题中的热点．总之，不等式试题的特点是形式多样，解法灵活，解题时应重视转化，善于运用技巧．要点概括1．均值不等式．设12,,...,n a a a 是n 个正实数，记n Q =12...nn a a a A n+++=，n G =12111...n nn H a a a =+++，则有n n n n Q A G H ≥≥≥，其中等号成立的条件是：12...n a a a ===. 2．柯西不等式，设1212,,...,;,,...,n n a a a b b b 是2n 个实数，则有222222212121122(...)(...)(...)n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++即222111()()()nnniii ii i i a b a b ===≥∑∑∑，其中等号成立的条件是(1,2,...,)i i a b i n λ==，λ是一个常数.3．柯西不等式的几个绪论．(1) 12...1n b b b ====时，柯西不等式即为 22221212(...)(...)n n n a a a a a a +++≥+++．若(1,2,...,)i a i n =12...na a a n+++≥.(2)当1(1,2,...,)i ib i n a ==时，则柯西不等式即为 22221222212111(...)(...)n na a a n a a a ++++++≥． (3)若(1,2,...,)i i ab i n =、是正实数，则2121212(...)(...)...n n na a ab b b b b b ++++++≥+ 热点透视不等式问题是当前各高校自主招生考试中必定涉及的内容．该类题型要求考生在掌握相关知识及技能的同时，还必须了解和掌握常见不等式的解题策略，这些策略包括特征观察、数式比较、等价转化、函数单调性、有效放缩、合理构造、数学归纳法、重要不等式的运用等．1．解不等式问题．解不等式，需要同解变形，同解变形时需要保证每一步的转化都是等价转化．要密切关注不等式的结构形式，采取正确的应对策略和方法，才能有针对性地解题．例如，2004年同济大学自主招生，2008年浙江大学自主招生，2007年上海交通大学冬令营，2008年、2009 年、2010年复旦大学的自主招生考试的试题都有这类题型． 2．证明不等式，由于证明不等式的试题形式多样，方法灵活，对代数式的变形技能要求高，因此不等式的证明历来是自主招生考试的热点．其中，利用均值不等式和柯西不等式来证明是较为常见的处理方法；而放缩、构造等方法，是更高层次的变形技能．例如，2008年浙江大学自主招生考试，2008年北京大学自主招生考试的试题，2009年清华大学自主招生考试等均出现该类题型．3．不等式的应用，这类问题主要以求相应的最值，求取值范围，以及探讨函数性质的形式给出，常用的解题方法包括等价转化的代数方法，以及数形结合的思想方法．具体解题时应灵活应对．例如，2007年、2008年上海交通大学冬令营，2008年清华大学自主招生考试，2010年复旦大学自主招生考试的试题等均出现过该类题型．例题精析例1(2010年浙江大学自主招生)12,,...,n x x x 是小于1的正数，且12...1n x x x +++=，求证：3331122111...4n n x x x x x x +++---＞.【回顾】方法二的证明，抓住了问题的本质，证明的过程简洁而优美，但①式成立不容易想到．例2（2009北京大学自主招生）已知对任意的cos cos 21a x b x +≥-恒成立，求a b +的最大值.【回顾】通过换元，转化为二次不等式在给定范围上恒成立问题．寻求二次不等式恒立的条件，及解不等式组都是解题的易错点. 例3（2009年南京大学自主招生）P 为△ABC 内一点，它到三边BC 、CA 、AB 的距离分别为123d d d 、、．S 为△ABC 的面积．求证：2123()2a b c a b c d d d S++++≥（这里a b c 、、分别表示BC 、CA 、AB 的长）．(回顾】本题熟练使用柯西不等式是证明的关键．例4（2008年浙江大学自主招生）已知0,y 0,,x a x y b c =+==＞＞是否存在正数m ．使得对于任意正数x y 、可使a b c 、、为三边构成三角形？如果存在，求出m 的取值范围；如果不存在，请说明理由.【回顾】本题中利用构成三角形的条件得出不等式组并不难，但解出不等式组对考生的能力要求较高．例5（2003复旦大学保送生）12,,...,n a a a 是各不相同的正整数，2a ≥.求证：1231111()()()...()2a a a a na a a a ++++＜. 【回顾】本题通过观察不等式的特征，合理联想幂函数和指数函数的单调性，再合理放缩，使不等式得以证明．熟悉幂函数和指数函数的性质，并会灵活运用是解题关键．例6（2008年北京大学自主招生）实数(1i i a b i =、满足123a a a b b b++=++，122331122331a a a a a a bb b b b b ++=++，123123min(,,)min(,,)a a a b b b ≤.求证：123123max(,,)max(,,)a a a b b b ≤．【回顾】本题是一道难度较大的试题，利用反证法，构造函数，来完成证明需要相当的技巧，平时应多加强这方面的练习．巩固提升一、选择题1.（2010年复旦大学自主招生）设实数0x y >、,且满足2x+y=5，则函数2(,)22f x y x x y x y=+++的最大值是（A ）978；（B ）19516；（C ）494；（D ）252.2.（2008年复旦大学自主招生）已知一个三角形的面积为14，且它的外接圆半径为1，a b c 、、分别是该三角形的三边长，若111,u v a b c=++=u 和v 的关系是（A ）u>v; (B)u=v ； (C)u<v; (D)不能确定.3.（2009年复旦大学自主招生）若1,01,x y a b >><<<则下列各式中一定成立的是（A ）a b x y >；（B ）a b x y <；（C ）xya b >；（D ）xya b <.4.（2009年复旦大学自主招生）设0,x y z >>>且有12,x y z y z ++=则422log log log x y z ++的最大值是（A ）3；（B ）4；（C ）5；（D ）6.5.（2009年复旦大学自主招生）若实数x 满足：对任意正数0,a >均有21.x a <+则x 的取值范围是（A ）（-1,1）；（B ）[]1,1-；（C ）(；（D ）不能确定. 6. （2009年复旦大学自主招生）设实数0,,,bc ca aba b c a b c≠、、且成等差数列，则下列不等式一定成立的是（A ）b ac ≤；（B ）2b ac ≥；（C ）222a b c ≤≤；（D ）2a cb +≤. 7. （2007年复旦大学自主招生）当a b 和取遍所有实数时，函数22(,)(53cos )(2sin )f a b a b a b =+-+-所能取到的最小值为（A ）1；（B ）2；（C ）3；（D ）4.8.（2007年武汉大学自主招生）已知函数2,0;(),0,x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩不等式()20f x +>的解集为（A ）(-∞；（B ）(,-∞；（C ）（-2,2）；（D ）(-.9.（2006年复旦大学自主招生）下列不等式正确的是（A）12011617k =<<；（B）12011819k =<<；（C）1202021k =<<；（D）1202223k =<<.10.（2007年全国数学联赛一试）若实数a 使得不等式2232x a x a a -+-≥对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是（A ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（B ）11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（C ）11,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（D ）[]3,3-.二、填空题11．（2008年南开大学自主招生）已知正数a b c 、、满足：26a ab ac bc +++=+，则32a b c ++的最小值是______________.12．（2008年南开大学自主招生）若对任意实数x 都有1()log (2)1,x a f x e -=+≤-则实数x 的取值范围是______________.13．（2006年武汉大学自主招生）已知不等式2236961x px x x ++-<≤-+对任意实数x 恒成立，则p=______________.14．（2004年上海交通大学自主招生）已知x y z 、、是非负整数，且10x y z ++=，2330x y z ++=，则53x y z ++值是______________.三、解答题15．（2009年清华大学自主招生）已知0x y z >、、，a b c 、、是x y z 、、的一个排列．求证：3a b cx y z++≥． 16．（2006年清华大学自主招生）已知a b 、为非负实数，44, 1.M a b a b =++=．求M 的最值． 17．（2008年南开大学自主招生）设a b c 、、为正数，且1a b c ++=．求222111()()()a b c a b c+++++的最小值．18．（2008年浙江大学自主招生）已知0,0a b >>.求证：111...2a b a b a nb+++<+++19．（2007年浙江省高中数学竞赛）设正实数a b c 、、及非负实数x y 、满足条件：666223,(1) 2.a b c x y ++=++≤求332332332111222I a x b y b x c y c x a y =+++++的最小值，并给出证明．20．已知11,2,...,,i a i n <=其中正整数n ≥2． (1)求证：对于一切的正整数i ，都有22112173i i a a +≥--； (2)求1ni S ==的最小值，其中约定11n a a +=.。

2003年CMO试题解答

若有某一个大于10的质数p57p包含了中所有各数的最小质因数因ii若5ps贝0由2知2x3x72x3若5ps贝u由条件3知55x55x7iv2x3p与5x7不同属于当p11或13时由iiiiiiiv知分别至少有3个数2个数1个数1个数共至少有当p17或19时由iiiiii知分别至少有4个数2个数1个数共至少有7个数不当p20时由iii知分别至少有4个数共至少7个数不属于2
当且仅当 θ1 = θ 2 时,等号成立. 2° 当 n ≥ 3 时, λ = n − 1 . 先证 cosθ1 + cosθ 2 + L + cosθ n < n − 1 .(1) 不妨设 θ1 ≥ θ 2 ≥ θ 3 ≥ L ≥ θ n , 要证明(1)式只要证 cosθ1 + cos θ2 + cosθ3 < 2 . ∵ tan θ1 tan θ 2 L tan θn = 2 n / 2 , ∴ tan θ1 tan θ2 tan θ3 ≥ 2 2 . ∵ cosθi = 1 − sin 2 θi < 1 − sin 2 θi / 2 , ∴ cosθ 2 + cosθ3 < 2 − (sin 2 θ 2 + sin 2 θ 3 ) / 2 ≤ 2 − sin θ 2 sin θ3 . ∵ tan 2 θ1 ≥ 8/(tan 2 θ 2 tan 2 θ 3 ) , ∴ 8 + tan 2 θ 2 tan 2 θ 3 1 ≥ , cos2 θ1 tan 2 θ 2 tan 2 θ 3 tanθ 2 tan θ3 ∴ cosθ1 ≤ , 8 + tan θ 2 tan θ3 sin θ 2 sin θ3 = , 2 8cos θ 2 cos2 θ 3 + sin 2 θ 2 sin 2 θ 3

历年名牌大学自主招生数学考试试题及答案

上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题一、填空题（每小题5分,共50分）1．设函数满足，则．2．设均为实数，且，则．3．设且，则方程的解的个数为．4．设扇形的周长为6，则其面积的最大值为．5．．6．设不等式与的解集分别为M和N．若，则k的最小值为．7．设函数，则．8．设,且函数的最大值为,则．9．6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定,且每人答完后立即交卷离开座位，则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为．10．已知函数，对于，定义,若，则．二、计算与证明题（每小题10分，共50分）11．工件内圆弧半径测量问题．为测量一工件的内圆弧半径,工人用三个半径均为的圆柱形量棒放在如图与工件圆弧相切的位置上,通过深度卡尺测出卡尺水平面到中间量棒顶侧面的垂直深度，试写出用表示的函数关系式，并计算当时，的值．12．设函数,试讨论的性态（有界性、奇偶性、单调性和周期性）,求其极值，并作出其在内的图像．13．已知线段长度为，两端均在抛物线上，试求的中点到轴的最短距离和此时点的坐标．参考答案：1. 2。

3。

2 4. 5。

6。

27. 8。

9。

10。

11。

,12.；偶函数;；；周期为 13。

；14。

略;反证法 15。

2；3；2008年交大冬令营数学试题参考答案2008。

1。

1 一．填空题1．若，，则．22．函数的最大值为__________．3．等差数列中,,则前项和取最大值时,的值为__________．20 4．复数，若存在负数使得,则．5．若，则．6．数列的通项公式为，则这个数列的前99项之和．7．……中的系数为．39212258．数列中，，，,，,，,,，此数列的通项公式为．9．甲、乙两厂生产同一种商品．甲厂生产的此商品占市场上的80％，乙厂生产的占20%；甲厂商品的合格率为95%，乙厂商品的合格率为90％．若某人购买了此商品发现为次品，则此次品为甲厂生产的概率为．10．若曲线与错误!未定义书签。

2003高考数学试卷

高考数学试卷一、单选题1.命题：00x ∃≤，20010x x -->的否定是（）A ．0x ∀>，210x x --≤B ．00x ∃>，20010x x -->C ．00x ∃≤，20010x x --≤D ．0x ∀≤，210x x --≤2.下列计算正确的是A.()22x y x y +=+B.()2222x y x xy y -=-- C.()()2111x x x +-=- D.()2211x x -=- 3.已知m 3=n 4，那么下列式子中一定成立的是（）A ．4m =3nB ．3m =4nC ．m =4nD ．mn =124.复数满足(12)3z i i -=-，则z 在复平面内对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线3y x =上，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A.25255 D.56.设32x y +=，则函数327x y z =+的最小值是（）A.12B.6C.27D.307.已知函数()2,01ln ,0x x f x x x -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，()()g x f x x a =--.若()g x 有2个零点，则实数a 的取值范围是（）A.[)1,0-B.[)0,∞+C.[)1,-+∞D.[)1,+∞8．在三棱锥B ACD -中，若AB AC AD BC BD CD =====，则异面直线AB 与CD 所成角为（）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°9.下列函数中，既是偶函数又在区间(0),-∞上单调递增的是（）A ．2(1)f x x =B ．()21f x x =+C ．()2f x x =D ．()2x f x -=10．某学校党支部评选了5份优秀学习报告心得体会（其中教师2份，学生3份），现从中随机抽选2份参展，则参展的优秀学习报告心得体会中，学生、教师各一份的概率是（）A ．120B ．35C ．310D ．91011.要得到函数2sin x y e =的图像，只需将函数cos2x y e =的图像（）A ．向右平移4π个单位B ．向右平移2π个单位C ．向左平移4π个单位D ．向左平移2π个单位12.已知函数()11f x x x =--，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（）A ．14 ,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12 ,1⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,2)D ．(2,3)二、填空题 13.25(0),()8(0).x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩14．正方体的棱长扩大到原来的倍，其表面积扩大到原来的（）倍。