第12章 试题解析55

第十二章 机械振动 机械波 光 学案55 机械振动 用单摆测定重力加速度

一、概念规律题组

1．简谐运动的平衡位置是指( ) A ．速度为零的位置 B ．回复力为零的位置 C ．加速度为零的位置 D ．位移最大的位置

2．悬挂在竖直方向上的弹簧振子，周期为2 s ，从最低点的位置向上运动时开始计时，它的振动图象如图1所示，由图可知( )

图1

A ．t ＝1.25 s 时振子的加速度为正，速度为正

B ．t ＝1.7 s 时振子的加速度为负，速度为负

C ．t ＝1.0 s 时振子的速度为零，加速度为负的最大值

D ．t ＝1.5 s 时振子的速度为零，加速度为负的最大值 二、思想方法题组

3．如图2所示两木块A 和B 叠放在光滑水平面上，质量分别为m 和M ，A 与B 之间的最大静摩擦力为F fm ，B 与劲度系数为k 的轻质弹簧连接构成弹簧振子，为使A 和B 在振动过程中不发生相对滑动，则( )

图2

A ．它们的振幅不能大于(M ＋m )

kM F fm

B ．它们的振幅不能大于(M ＋m )

km F fm

C ．它们的最大加速度不能大于F fm

M

D ．它们的最大加速度不能大于F fm

m

一、简谐运动的规律及应用

图3

情景：如图3所示，一水平方向的弹簧振子在BC之间做简谐运动．以此为例，试分析简谐运动的以下特征：

1．受力特征：回复力满足F＝－kx，即回复力大小与位移的大小成正比，方向与位移的方向相反．

2.运动特征：简谐运动是变速运动，位移x、速度v、加速度a都随时间按正弦规律周期性变化．当振子靠近平衡位置时，a、F、x都减小，v增大；当振子远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小．

3．能量特征：振幅越大，能量越大．在运动过程中，动能和势能相互转化，机械能守恒．

4．对称性特征：

图4

(1)如图4所示，振子经过关于平衡位置O对称(OP＝OP′)的两点P、P′时，速度的大小、动能、势能相等．相对于平衡位置的位移大小相等．

(2)振子由P到O所用时间等于由O到P′所用时间，即t PO＝t OP′.

(3)振子往复运动过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等即t OP＝t PO.

【例1】一简谐振子沿x轴振动，平衡位置在坐标原点．t＝0时刻振子的位移x＝－0.1

m；t＝4

3s 时刻x＝0.1 m；t＝4 s时刻x＝0.1 m．该振子的振幅和周期可能为()

A．0.1 m，8

3s B．0.1 m，8 s

C．0.2 m，8

3s D．0.2 m，8 s

二、简谐运动的图象

图5

1．确定振动物体在任一时刻的位移．如图5所示，对应t1、t2时刻的位移分别为x1＝＋7 cm，x2＝－5 cm.

2．确定振动的振幅．图象中最大位移的值就是振幅，如图5所示，振动的振幅是10 cm.

3．确定振动的周期和频率．振动图象上一个完整的正弦(余弦)图形在时间轴上拉开的“长度”表示周期．

由图5可知，OD、AE、BF的间隔都等于振动周期，T＝0.2 s，频率f＝1/T＝5 Hz.

4．确定各质点的振动方向．例如：图5中的t1时刻，质点正远离平衡位置向正方向运动；t3时刻，质点正向着平衡位置运动．

5．比较各时刻质点加速度的大小和方向．例如：在图5中，t1时刻质点位移x1为正，则加速度a1为负，t2时刻质点位移x2为负，则加速度a2为正，又因为|x1|>|x2|，所以|a1|>|a2|.

【例2】如图6所示为一

图6

弹簧振子的振动图象，试完成以下要求：

(1)写出该振子简谐运动的表达式．

(2)在第2 s末到第3 s末这段时间内弹簧振子的加速度、速度、动能和弹性势能各是怎样变化的？

(3)该振子在前100 s的总位移是多少？路程是多少？

三、单摆及周期公式

1．单摆振动的周期公式T＝2πl

g，该公式提供了一种测定重力加速度g的方法．

2．l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离，要区分摆长和摆线长，悬点实质为摆球摆动所在圆弧的圆心．

3．g为当地重力加速度．

4．T＝2πl

g只与l及g有关，而与振子的质量及振幅无关．

特别提示

若单摆没有处于地球表面或所处环境为非平衡态，则g为等效重力加速度，大体有这样几种情况：(1)不同星球表面g＝GM/r2；(2)单摆处于超重或失重状态等效g＝g0±a，如轨道上运行的卫星a＝g0，完全失重，等效g＝0；(3)不论悬点如何运动还是受别的作用力，等效g的取值等于在单摆不摆动时，摆线的拉力F与摆球质量m的比值，即等效g＝F/m.

【例3】)将一劲度系数为k的轻质弹簧竖直悬挂，下端系上质量为m的物块．将物块向下拉离平衡位置后松开，物块上下做简谐运动，其振动周期恰好等于以物块平衡时弹簧的伸长量为摆长的单摆周期．请由单摆的周期公式推算出该物块做简谐运动的周期T.

四、实验：用单摆测重力加速度 1．实验原理

单摆在摆角很小(小于10°)时，其摆动可以看作简谐运动，其振动周期T ＝2π

l

g

，其中l 为摆长，g 为当地重力加速度，由此可得g ＝4π2l

T 2，据此，只要测出摆长l 和周期T ，就

可计算出当地重力加速度g 的数值．

2．注意事项

(1)细线的质量要小，弹性要小，选用体积小、密度大的小球，摆角不超过10°.

(2)要使摆球在同一竖直面内摆动，不能形成圆锥摆，方法是将摆球拉到一定位置后由静止释放．

(3)测周期的方法：

①要从摆球过平衡位置时开始计时，因为此处速度大、计时误差小，而最高点速度小、计时误差大．

②要测多次全振动的时间来计算周期．如在摆球过平衡位置开始计时，且在数“零”的同时按下秒表，以后摆球从同一方向通过最低位置时计数1次．

(4)由公式g ＝4π2l

T 2，分别测出一系列摆长l 对应的周期T ，作出l —T 2的图象，如图7所

示，图象应是一条通过原点的直线，求出图线的斜率k ，即可求得g 值．

图7

g ＝4π2k ，k ＝l T 2＝Δl

2

根据图线斜率求g 值可以减小误差．

【例4】 某同学想在家里做用单摆测定重力加速度的实验，但没有合适的摆球，他只好找到一块大小为3 cm 左右，外形不规则的大理石块代替小球．实验步骤是：

A ．石块用细尼龙线系好，结点为M ，将尼龙线的上端固定于O 点

B ．用刻度尺测量OM 间尼龙线的长度L 作为摆长

C ．将石块拉开一个大约α＝30°的角度，然后由静止释放

D ．从摆球摆到最高点时开始计时，测出30次全振动的总时间t ，由T ＝t

30得出周期

E ．改变OM 间尼龙线的长度，再做几次实验，记下相应的L 和T