点到直线的距离公式、两条平行线之间的距离

3.3.3 点到直线的距离公式--3.3.4两条平行线之间的距离

三维目标：

知识与技能：1. 理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式；

能力和方法：会用点到直线距离公式求解两平行线距离

情感和价值：1。认识事物之间在一定条件下的转化。用联系的观点看问题

教学重点：点到直线的距离公式

教学难点：点到直线距离公式的理解与应用.

教学方法：学导式

教具：多媒体、实物投影仪

教学过程

一、情境设置，导入新课：

前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，两点间的距离公式。逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l 的距离。

用POWERPOINT打出平面直角坐标系中两直线，进行移动，使学生回顾两直线的位置关系，且在直线上取两点，让学生指出两点间的距离公式，复习前面所学。要求学生思考一直线上的计算？能否

用两点间距离公式进行推导？

两条直线方程如下：

⎩⎨

⎧=++=++00

2

22111C y B x A C y B x A . 二、讲解新课：

1．点到直线距离公式：

点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：2

200B

A C

By Ax d +++=

（1）提出问题

在平面直角坐标系中，如果已知某点P 的坐标为),(00y x ，直线＝0或B ＝0时，以上公式0:=++C By Ax l ，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离呢?

学生可自由讨论。

（2）数行结合，分析问题，提出解决方案

学生已有了点到直线的距离的概念，即由点P 到直线l 的距离d 是点P 到直线l 的垂线段的长.

这里体现了“画归”思想方法，把一个新问题转化为 一个曾今解决过的问题，一个自己熟悉的问题。

画出图形，分析任务，理清思路，解决问题。 方案一：

设点P 到直线l 的垂线段为PQ ，垂足

为Q ，由PQ ⊥l 可知，直线PQ 的斜率为

A

B （A ≠0），根据点斜式写出直线PQ 的方程，并由l 与PQ 的方程求出点Q 的坐标；

由此根据两点距离公式求出｜PQ ｜，得到点P 到直线l 的距离为d

此方法虽思路自然，但运算较繁.下面我们探讨别一种方法

方案二：设A ≠0，B ≠0，这时l 与x 轴、y 轴都相交，过点P 作x 轴的平行线，交l 于点),(01y x R ；作y 轴的平行线，交l 于点),(20y x S ，

由⎩⎨⎧=++=++0020

011C By Ax C By x A 得B C

Ax y A C By x --=

--=0201,. 所以，｜P Ｒ｜＝｜10x x -｜＝A

C

By Ax ++00

｜PS ｜＝｜20y y -｜＝B

C

By Ax ++00

｜ＲS ｜＝AB

B A PS PR 2

22

2

+=

+×｜C By Ax ++00｜由三角形面积公式可知：d ·｜ＲS ｜＝｜P Ｒ｜·｜PS ｜

所以2

2

00B

A C

By Ax d +++=

可证明，当A=0时仍适用

这个过程比较繁琐，但同时也使学生在知识，能力。意志品质等方面得到了提高。

3．例题应用，解决问题。

例1 求点P=（-1，2）到直线 3x=2的距离。

解：

53

=

例2 已知点A （1，3），B （3，1），C （-1，0），求三角形ABC 的面积。

解：设AB 边上的高为h ，则

S ABC =

1

2

AB h •

AB == AB 边上的高h 就是点C 到AB 的距离。 AB 边所在直线方程为

31

1331

y X --=

-- 即x+y-4=0。

点C 到X+Y-4=0

的距离为h h=

2

10411

-+-=

+

因此，S ABC

=152⨯= 通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性。

同步练习：教材练习第1，2题。 4．拓展延伸，评价反思。

（1） 应用推导两平行线间的距离公式

已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，

2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为2

22

1B

A C C d +-=

证明：设),(000y x P 是直线02=++C By Ax 上任一点，则点P 0到直线

01=++C By Ax 的距离为2

21

00B

A C By Ax d +++=

又 0200=++C By Ax 即200C By Ax -=+，∴d ＝

2

2

21B

A C C +-

01032=-+y x 的距离.

解法一：在直线1l 上取一点P (４，0)，因为1l ∥2l

例3 求两平行线1l ：0832=-+y x ，2l ：，所以点P 到2l 的距离等于1l 与2l 的距离.于是1313

2

1323210

03422

2==++⨯-⨯=

d 解法二：1l ∥2l 又10,821-=-=C C . 由两平行线间的距离公式得13

3

232)10(82

2=

+---=d 四、课堂练习：

已知一直线被两平行线3x+4y-7=0与3x+4y+8=0所截线段长为3。且该直线过点（2，3），求该直线方程。

五、小结 ：点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式

六、课后作业：

13.求点P （2，-1）到直线2x ＋3y －3＝0的距离.