【高中数学】2018最新北师大版高中数学选修1-1学案：第二章 1.2 椭圆的简单性质(二)
【配套K12】2018北师大版高中数学选修1-1学案：第二章 疑难规律方法
1 椭圆的定义在解题中的妙用椭圆定义反映了椭圆的本质特征，揭示了曲线存在的简单性质．有些问题，如果恰当运用定义来解决，可以起到事半功倍的效果，下面通过几个例子进行说明．1．求最值例1 线段|AB |＝4，|PA |＋|PB |＝6，M 是AB 的中点，当P 点在同一平面内运动时，PM 的长度的最小值是( )A ．2 B. 2 C. 5 D ．5解析 由于|PA |＋|PB |＝6>4＝|AB |，故由椭圆定义知P 点的轨迹是以M 为原点，A 、B 为焦点的椭圆，且a ＝3，c ＝2，∴b ＝a 2－c 2＝ 5.于是PM 的长度的最小值是b ＝ 5.答案 C2．求动点坐标例2 椭圆x 29＋y 225＝1上到两个焦点F 1，F 2距离之积最大的点的坐标是________． 解析 设椭圆上的动点为P ，由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10， 所以|PF 1|·|PF 2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝⎝⎛⎭⎫1022＝25， 当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号．由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝10，|PF 1|＝|PF 2|， 解得|PF 1|＝|PF 2|＝5＝a ，此时点P 恰好是椭圆短轴的两端点，即所求点的坐标为P (±3,0)．答案 (±3,0)点评 由椭圆的定义可得“|PF 1|＋|PF 2|＝10”，即两个正数|PF 1|，|PF 2|的和为定值，结合基本不等式可求|PF 1|，|PF 2|积的最大值，结合图形可得所求点P 的坐标．3．求焦点三角形面积例3 如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 在第二象限，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．解 由已知得a ＝2，b ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝1，|F 1F 2|＝2c ＝2.在△PF 1F 2中，由余弦定理得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|cos 120°，即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|，①由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4，即|PF 2|＝4－|PF 1|.②将②代入①，得|PF 1|＝65. 所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|F 1F 2|·sin 120° ＝12×65×2×32＝353，即△PF 1F 2的面积是353. 点评 在△PF 1F 2中，由椭圆的定义及余弦定理可得关于|PF 1|，|PF 2|的方程组，消去|PF 2|可求|PF 1|.从以上问题，我们不难发现，凡涉及椭圆上的点及椭圆焦点的问题，我们应首先考虑利用椭圆的定义求解.2 解抛物线问题的五个技巧1．设而不求，整体处理例1 已知抛物线y 2＝－8x 的弦PQ 被点A (－1,1)平分，求弦PQ 所在的直线方程．解 设弦PQ 的两个端点分别为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则有y 21＝－8x 1，y 22＝－8x 2.两式相减，得y 21－y 22＝－8(x 1－x 2)，即(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝－8(x 1－x 2)．∵A 是PQ 的中点，∴y 1＋y 2＝2，即y 1－y 2＝－4(x 1－x 2)．∴y 1－y 2x 1－x 2＝－4，k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－4. 故弦PQ 所在的直线的方程为y －1＝－4(x ＋1)，即4x ＋y ＋3＝0.2．巧用定义求最值例2 定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线y 2＝x 上移动，记AB 的中点为M ，求点M 到y 轴的最短距离．解 如图，AA ′⊥l ，MN ⊥l ，BB ′⊥l ，l 为抛物线y 2＝x 的准线，由抛物线方程y 2＝x ，知2p ＝1，p 2＝14.设点M 到y 轴的距离为d ，d ＝|MN |－14. 由抛物线的定义，知|AF |＝|AA ′|，|BF |＝|BB ′|.因为AA ′，BB ′，MN 都垂直于准线，所以AA ′∥MN ∥BB ′，所以MN 是梯形AA ′B ′B 的中位线．于是|MN |＝12(|AA ′|＋|BB ′|)＝12(|AF |＋|BF |)． 若AB 不过焦点，则由三角形的性质，得|AF |＋|BF |>|AB |；若AB 过焦点F ，则|MN |＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |＝32. 所以当AB 过F 时|MN |最小，此时d 也最小，d ＝|MN |－14＝32－14＝54. 故点M 到y 轴的最短距离为54. 3．巧设抛物线的方程例3 抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，且被直线y ＝x ＋1所截得的弦长为10，求此抛物线的方程．解 设抛物线的方程为y 2＝ax (a ≠0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝ax ，y ＝x ＋1.消去y ，整理得x 2＋(2－a )x ＋1＝0.设所截得的弦的两个端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程的两个实根．由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝a －2，x 1x 2＝1. 由弦长公式，知2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10，即(a －2)2－4＝5，解得a ＝－1或a ＝5.所以所求抛物线的方程为y 2＝－x 或y 2＝5x .4．巧设弦所在的直线的方程例4 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点作一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标分别为y 1，y 2，求证：y 1y 2＝－p 2.证明 当直线的斜率为0时，直线不会与抛物线有两个交点．因为抛物线的焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0，所以可设过焦点的直线方程为x －p 2＝my ， 即x ＝my ＋p 2，代入y 2＝2px ， 得y 2－2pmy －p 2＝0.由根与系数的关系，得y 1y 2＝－p 2.5．巧设抛物线上的点的坐标例5 如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)上一定点P (P 在x 轴上方)作两条直线分别交抛物线于A ，B 两点．当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，证明直线AB 的斜率是非零常数．证明 设P ⎝⎛⎭⎫y 202p ，y 0，A ⎝⎛⎭⎫y 212p ，y 1，B ⎝⎛⎭⎫y 222p ，y 2， 由k PA ＝－k PB ，得y 1－y 0y 212p －y 202p ＝－y 2－y 0y 222p －y 202p. 整理，得y 1＋y 2＝－2y 0.k AB ＝y 2－y 1y 222p －y 212p＝2p y 1＋y 2＝－p y 0(y 0≠0)． 所以直线AB 的斜率是非零常数．3 巧用抛物线的焦点弦如图所示，AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的一条弦．设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，过A 、M 、B 分别向抛物线的准线l 作垂线，垂足分别为A 1、M 1、B 1，则有以下重要结论：(1)以AB 为直径的圆必与准线相切；(2)|AB |＝2(x 0＋p 2)(焦点弦长与中点坐标的关系)； (3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ；(4)A 、B 两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值，即x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2； (5)A 1F ⊥B 1F ；(6)A 、O 、B 1三点共线；(7)1|FA |＋1|FB |＝2p . 证明 当直线AB 的斜率不存在，即与x 轴垂直时，|FA |＝|FB |＝p ，∴1|FA |＋1|FB |＝1p ＋1p ＝2p. 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，并代入y 2＝2px ， ∴⎝⎛⎭⎫kx －kp 22＝2px ，即k 2x 2－p (2＋k 2)x ＋k 2p 24＝0. 设A (x A ，y A )、B (x B ，y B )，则x A ＋x B ＝p (k 2＋2)k 2，x A x B ＝p 24. ∵|FA |＝x A ＋p 2，|FB |＝x B ＋p 2， ∴|FA |＋|FB |＝x A ＋x B ＋p ，|FA |·|FB |＝⎝⎛⎭⎫x A ＋p 2⎝⎛⎭⎫x B ＋p 2 ＝x A x B ＋p 2(x A ＋x B )＋p 24＝p 2(x A ＋x B ＋p )． ∴|FA |＋|FB |＝|FA |·|FB |·2p ，即1|FA |＋1|FB |＝2p . 点评 该结论是抛物线过焦点的弦所具有的一个重要性质，解题时，不可忽视AB ⊥x 轴的情况．例 设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则|FA→|＋|FB →|＋|FC →|＝________.解析 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，又F (1,0)．由FA →＋FB →＋FC →＝0知(x 1－1)＋(x 2－1)＋(x 3－1)＝0，即x 1＋x 2＋x 3＝3，|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋x 2＋x 3＋32p ＝6. 答案 64 解析几何中的定值与最值问题解法辨析1．定点、定值问题对于解析几何中的定点、定值问题，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊图形等)先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口．例1 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A ，B 两点，OA →＋OB →与a ＝(3，－1)共线．设M 为椭圆上任意一点，且OM →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R)，求证：λ2＋μ2为定值．证明 ∵M 是椭圆上任意一点，若M 与A 重合，则OM →＝OA →，此时λ＝1，μ＝0，∴λ2＋μ2＝1，现在需要证明λ2＋μ2为定值1.设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为N (x 0，y 0)， ∴⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1， ①x 22a 2＋y 22b 2＝1， ②①－②得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0， 即y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝－b 2x 0a 2y 0， 又∵k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1， ∴y 0＝－b 2a 2x 0. ∴直线ON 的方向向量为ON →＝⎝⎛⎭⎫1，－b 2a 2，∵ON →∥a ，∴13＝b 2a 2. ∵a 2＝3b 2，∴椭圆方程为x 2＋3y 2＝3b 2，又直线方程为y ＝x －c . 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －c ，x 2＋3y 2＝3b 2， 得4x 2－6cx ＋3c 2－3b 2＝0.∵x 1＋x 2＝32c ，x 1x 2＝3c 2－3b 24＝38c 2.又设M (x ，y )，则由OM →＝λOA →＋μOB →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λx 1＋μx 2，y ＝λy 1＋μy 2，代入椭圆方程整理得λ2(x 21＋3y 21)＋μ2(x 22＋3y 22)＋2λμ(x 1x 2＋3y 1y 2)＝3b 2.又∵x 21＋3y 21＝3b 2，x 22＋3y 22＝3b 2， x 1x 2＋3y 1y 2＝4x 1x 2－3c (x 1＋x 2)＋3c 2＝32c 2－92c 2＋3c 2＝0， ∴λ2＋μ2＝1，故λ2＋μ2为定值．例2 已知抛物线y 2＝2px (p >0)上有两个动点A 、B 及一个定点M (x 0，y 0)，F 是抛物线的焦点，且|AF |、|MF |、|BF |成等差数列．求证：线段AB 的垂直平分线经过定点(x 0＋p,0)． 证明 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由抛物线定义，知|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p 2，|MF |＝x 0＋p 2. 因为|AF |、|MF |、|BF |成等差数列，所以2|MF |＝|AF |＋|BF |，即x 0＝x 1＋x 22. 设AB 的中点为(x 0，t )，t ＝y 1＋y 22. 则k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 1－y 2y 212p －y 222p＝2p y 1＋y 2＝p t . 所以线段AB 的垂直平分线方程为y －t ＝－t p (x －x 0)，即t [x －(x 0＋p )]＋py ＝0.所以线段AB 的垂直平分线过定点(x 0＋p,0)．2．最值问题解决圆锥曲线中的最值问题，一般有两种方法：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解，非常巧妙；二是代数法，将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题(即根据条件列出所求的目标函数)，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角有界法、函数单调法及基本不等式法等，求解最大或最小值．例3 已知F 是双曲线x 29－y 216＝1的左焦点，A (2,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为________．解析 设右焦点为F ′，由题意可知F ′坐标为(5,0)，根据双曲线的定义，|PF |－|PF ′|＝6， ∴|PF |＋|PA |＝6＋|PF ′|＋|PA |，∴要使|PF |＋|PA |最小，只需|PF ′|＋|PA |最小即可，|PF ′|＋|PA |最小需P 、F ′、A 三点共线，最小值即6＋|F ′A |＝6＋9＋16＝11. 答案 11点评 “化曲为直”求与距离有关的最值是平面几何中一种巧妙的方法，特别是涉及圆锥曲线上动点与定点和焦点距离之和的最值问题常用此法．例4 已知平面内一动点P 到点F (1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D ，E ，求AD →·EB →的最小值．解 (1)设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意有(x －1)2＋y 2－|x |＝1. 化简得y 2＝2x ＋2|x |.当x ≥0时，y 2＝4x ；当x <0时，y ＝0.所以，动点P 的轨迹C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ≥0，y ＝0，x <0. (2)如图，由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋4k 2，x 1x 2＝1. 因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1k. 设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可得x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1.故AD →·EB →＝(AF →＋FD →)·(EF →＋FB →)＝AF →·EF →＋AF →·FB →＋FD →·EF →＋FD →·FB →＝|AF →|·|FB →|＋|FD →|·|EF →|＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1)＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1＝1＋⎝⎛⎭⎫2＋4k 2＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1 ＝8＋4⎝⎛⎭⎫k 2＋1k 2≥8＋4×2k 2·1k 2＝16. 当且仅当k 2＝1k2， 即k ＝±1时，AD →·EB →取得最小值16.5 圆锥曲线中存在探索型问题的解法存在探索型问题作为探索性问题之一，具备了内容涉及面广、重点题型丰富等命题要求，方便考查分析、比较、猜测、归纳等综合能力，因而受到命题人的喜爱．圆锥曲线存在探索型问题是指在给定题设条件下是否存在某个数学对象(数值、性质、图形)使某个数学结论成立的数学问题．下面仅就圆锥曲线中的存在探索型问题展开，帮助同学们复习．1．常数存在型问题例1 直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1相交于A ，B 两点，是否存在这样的实数a ，使A ，B 关于直线l ：y ＝2x 对称？请说明理由．分析 先假设实数a 存在，然后根据推理或计算求出满足题意的结果，或得到与假设相矛盾的结果，从而否定假设，得出某数学对象不存在的结论．解 设存在实数a ，使A ，B 关于直线l ：y ＝2x 对称，并设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22. 依题设有y 1＋y 22＝2·x 1＋x 22， 即y 1＋y 2＝2(x 1＋x 2)，①又A ，B 在直线y ＝ax ＋1上，∴y 1＝ax 1＋1，y 2＝ax 2＋1，∴y 1＋y 2＝a (x 1＋x 2)＋2，②由①②，得2(x 1＋x 2)＝a (x 1＋x 2)＋2，即(2－a )(x 1＋x 2)＝2，③联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0，∴x 1＋x 2＝2a 3－a 2，④ 把④代入③，得(2－a )·2a 3－a 2＝2，解得a ＝32， ∴k AB ＝32，而k l ＝2， ∴k AB ·k l ＝32×2＝3≠－1.故不存在满足题意的实数a .2．点存在型问题例2 在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆与直线y ＝x 相切于原点O ，椭圆x 2a 2＋y 29＝1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10. (1)求圆C 的方程；(2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．分析 假设满足条件的点Q 存在，根据其满足的几何性质，求出Q 的坐标，则点Q 存在，若求不出Q 的坐标，则点Q 就不存在．解 (1)由题意知圆心在y ＝－x 上，设圆心的坐标是(－p ，p ) (p >0)，则圆的方程可设为(x ＋p )2＋(y －p )2＝8，由于O (0,0)在圆上，∴p 2＋p 2＝8，解得p ＝2，∴圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8.(2)椭圆x 2a 2＋y 29＝1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10， 由椭圆的定义知2a ＝10，a ＝5，∴椭圆右焦点为F (4,0)．假设存在异于原点的点Q (m ，n )使|QF |＝|OF |，则有⎩⎪⎨⎪⎧(m ＋2)2＋(n －2)2＝8，(m －4)2＋n 2＝16，且m 2＋n 2≠0， 解得⎩⎨⎧ m ＝45，n ＝125，故圆C 上存在满足条件的点Q ⎝⎛⎭⎫45，125.3．直线存在型问题例3 试问是否能找到一条斜率为k (k ≠0)的直线l 与椭圆x 23＋y 2＝1交于两个不同的点M ，N ，且使M ，N 到点A (0，1)的距离相等，若存在，试求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由．分析 假设满足条件的直线l 存在，由平面解析几何的相关知识求解．解 设直线l ：y ＝kx ＋m 为满足条件的直线，再设P 为MN 的中点，欲满足条件，只要AP ⊥MN 即可．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(1＋3k 2)x 2＋6mkx ＋3m 2－3＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x P ＝x 1＋x 22＝－3mk 1＋3k 2，y P ＝kx P ＋m ＝m 1＋3k 2， ∴k AP ＝3k 2－m ＋13mk. ∵AP ⊥MN ，∴3k 2－m ＋13mk＝－1k (k ≠0)， 故m ＝－3k 2＋12. 由Δ＝36m 2k 2－4(1＋3k 2)(3m 2－3)＝9(1＋3k 2)·(1－k 2)>0，得－1<k <1，且k ≠0.故当k ∈(－1,0)∪(0,1)时，存在满足条件的直线l .6 圆锥曲线中的易错点剖析1．忽视定义中的条件而致误例1 平面内一点M 到两定点F 1(0，－4)，F 2(0,4)的距离之和为8，则点M 的轨迹为( )A ．椭圆B ．圆C ．直线D ．线段错解 根据椭圆的定义，点M 的轨迹为椭圆，故选A.错因分析 在椭圆的定义中，点M 到两定点F 1，F 2的距离之和必须大于两定点的距离，即|MF 1|＋|MF 2|>|F 1F 2|，亦即2a >2c .而本题中|MF 1|＋|MF 2|＝|F 1F 2|，所以点M 的轨迹不是椭圆，而是线段F 1F 2.正解 因为点M 到两定点F 1，F 2的距离之和为|F 1F 2|，所以点M 的轨迹是线段F 1F 2. 答案 D2．忽视标准方程的特征而致误例2 设抛物线y ＝mx 2 (m ≠0)的准线与直线y ＝1的距离为3，求抛物线的标准方程．错解 抛物线y ＝mx 2 (m ≠0)的准线方程为y ＝－m 4. 又与直线y ＝1的距离为3的直线为y ＝－2或y ＝4.故－m 4＝－2或－m 4＝4. ∴m ＝8或m ＝－16.所以抛物线的标准方程为y ＝8x 2或y ＝－16x 2.错因分析 错解忽视了抛物线标准方程中的系数，应位于一次项前这个特征，故本题应先化为x 2＝1m y 的形式，再求解．正解 由于y ＝mx 2 (m ≠0)可化为x 2＝1m y ，其准线方程为y ＝－14m. 由题意知－14m ＝－2或－14m＝4， 解得m ＝18或m ＝－116. 则所求抛物线的标准方程为x 2＝8y 或x 2＝－16y .3．涉及弦长问题时，忽视判别式Δ>0这一隐含条件而失分例3 正方形ABCD 的A ，B 两点在抛物线y ＝x 2上，另两点C ，D 在直线y ＝x －4上，求正方形的边长．错解 ∵AB 与直线y ＝x －4平行，∴设AB 的直线方程为y ＝x ＋b ，A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，y ＝x 2⇒x 2－x －b ＝0， |AB |2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2(1＋4b )．∵AB 与直线y ＝x －4间的距离为d ＝|b ＋4|2， ∴2(1＋4b )＝(b ＋4)22，即b 2－8b ＋12＝0， 解得b ＝2或b ＝6，∴|AB |＝32或|AB |＝5 2.错因分析 在考虑直线AB 与抛物线相交时，必须有方程x 2－x －b ＝0的判别式Δ>0，以此来限制b 的取舍．正解 ∵AB 与直线y ＝x －4平行，∴设AB 的直线方程为y ＝x ＋b ，A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)， 则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，y ＝x2⇒x 2－x －b ＝0， |AB |2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2(1＋4b )．∵AB 与直线y ＝x －4间的距离为d ＝|b ＋4|2， ∴2(1＋4b )＝(b ＋4)22，即b 2－8b ＋12＝0， 解得b ＝2或b ＝6，∵Δ＝1＋4b >0，∴b >－14. ∴b ＝2或b ＝6都满足Δ>0，∴b ＝2或b ＝6.∴|AB |＝32或|AB |＝5 2.。
2018版高中数学北师大版选修1-1学案：第二章 1-2 椭圆的简单性质二 精品
1.2 椭圆的简单性质(二)学习目标 1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识．知识点一 点与椭圆的位置关系思考1 判断点P (1,2)与椭圆x 24＋y 2＝1的位置关系．思考2 类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系的判定吗？知识点二 直线与椭圆的位置关系 思考1 直线与椭圆有几种位置关系？思考2 如何判断y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系？知识点三 直线与椭圆的相交弦思考 若直线与椭圆相交，如何求相交弦弦长？梳理 弦长公式：(1)|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]； (2)|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|＝ (1＋1k2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2].注：直线与椭圆的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，k 为直线的斜率．其中，x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立，消去y 或x 后得到关于x 或y 的一元二次方程得到．类型一 直线与椭圆的位置关系 命题角度1 直线与椭圆位置关系的判断例1 直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 22＋y 23＝1的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定反思与感悟 直线与椭圆的位置关系判断方法(代数法) 联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程： (1)Δ>0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点． (2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点． (3)Δ<0⇔直线与椭圆相离⇔无公共点．跟踪训练1 在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q .求k 的取值范围．命题角度2 距离的最值问题例2 在椭圆x 24＋y 27＝1上求一点P ，使它到直线l ：3x －2y －16＝0的距离最短，并求出最短距离．反思与感悟 此类问题可用数形结合思想寻找解题思路，简化运算过程，也可以设出所求点的坐标，利用点到直线的距离公式求出最小距离．跟踪训练2 已知椭圆x 2＋8y 2＝8，在椭圆上求一点P ，使点P 到直线l ：x －y ＋4＝0的距离最短，并求出最短距离．类型二 弦长及中点弦问题例3 已知椭圆x 236＋y 29＝1和点P (4,2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A 、B 两点．(1)当直线l 的斜率为12时，求线段AB 的长度；(2)当P 点恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程．反思与感悟 处理直线与椭圆相交的关系问题的通用方法是通过解直线与椭圆构成的方程．利用根与系数的关系或中点坐标公式解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系．跟踪训练3 已知椭圆ax 2＋by 2＝1(a >0，b >0且a ≠b )与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程．类型三椭圆中的最值(或范围)问题例4已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．引申探究在例4中，设直线与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求△AOB面积的最大值及△AOB 面积最大时的直线方程．反思与感悟解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等．解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想．其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件．跟踪训练4椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，且离心率为12，点P为椭圆上一动点，△F1PF2面积的最大值为 3.(1)求椭圆的方程；(2)已知直线l与椭圆交于A，B两点，且直线l的方程为y＝kx＋3(k>0)，若O为坐标原点，求△OAB的面积的最大值．1．经过椭圆x 216＋y 23＝1的中心的直线与椭圆的两个交点间距离的最大值为( )A ．6B ．8C ．10D ．162．经过椭圆x 29＋y 26＝1的焦点与椭圆长轴垂直的直线与椭圆的相交弦的长度为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( )A ．m >1B ．m >1且m ≠3C ．m >3D ．m >0且m ≠34．过点P (－1,1)的直线交椭圆x 24＋y 22＝1于A ，B 两点，若线段AB 的中点恰为点P ，则AB所在的直线方程为________________．5．直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1交于M ，N 两点，且|MN |＝423，求直线l 的方程．解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为 (1)设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)； (2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于x 或y 的一元二次方程； (4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为x 1＋x 2，x 1·x 2或y 1＋y 2，y 1·y 2，进而求解．答案精析问题导学 知识点一思考1 当x ＝1时，得y 2＝34，故y ＝±32，而2>32，故点在椭圆外．思考2 当P 在椭圆外时，x 20a 2＋y 20b 2>1；当P 在椭圆上时，x 20a 2＋y 20b 2＝1；当P 在椭圆内时，x 20a 2＋y 20b 2<1.知识点二思考1 有三种位置关系，分别有相交、相切、相离． 思考2 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b2＝1，消去y 得关于x 的一元二次方程.知识点三思考 有两种方法：一种方法是联立直线方程与椭圆方程求出交点坐标，利用两点间距离公式可求得，另一种方法是利用弦长公式可求得． 题型探究例1 A [直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1,1)，且该点在椭圆内部，因此必与椭圆相交．]跟踪训练1 解 由已知条件知直线l 的方程为y ＝kx ＋2， 代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1.整理得⎝⎛⎭⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0.直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于 Δ＝8k 2－4⎝⎛⎭⎫12＋k 2＝4k 2－2＞0， 解得k ＜－22或k ＞22.即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞.例2 解 设与椭圆相切并与l 平行的直线方程为y ＝32x ＋m ，代入x 24＋y 27＝1，并整理得4x 2＋3mx ＋m 2－7＝0，Δ＝9m 2－16(m 2－7)＝0⇒m 2＝16⇒m ＝±4， 故两切线方程为y ＝32x ＋4和y ＝32x －4，显然y ＝32x －4距l 最近，d ＝|16－8|32＋(－2)2＝813＝81313，切点为P ⎝⎛⎭⎫32，－74. 跟踪训练2 解 设与直线x －y ＋4＝0平行且与椭圆相切的直线为x －y ＋a ＝0，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋8y 2＝8，x －y ＋a ＝0，得9y 2－2ay ＋a 2－8＝0， Δ＝4a 2－36(a 2－8)＝0， 解得a ＝3或a ＝－3，∴与直线l 距离较近的切线方程为 x －y ＋3＝0，最小距离为d ＝|4－3|2＝22.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋8y 2＝8，x －y ＋3＝0，得⎩⎨⎧x ＝－83，y ＝13，即P 点坐标为(－83，13)．例3 解 (1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝12(x －4)，即y ＝12x .由⎩⎨⎧y ＝12x ，x 236＋y29＝1，消去y 可得x 2－18＝0，若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18. 于是|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝ (x 1－x 2)2＋14(x 1－x 2)2＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝52×62＝310.所以线段AB 的长度为310. (2)当直线l 的斜率不存在时，不合题意． 所以直线l 的斜率存在． 设l 的斜率为k ，则其方程为 y －2＝k (x －4)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k (x －4)，x 236＋y 29＝1，消去y 得(1＋4k 2)x 2－(32k 2－16k )x ＋(64k 2－64k －20)＝0. 若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝32k 2－16k1＋4k 2，由于AB 的中点恰好为P (4,2)， 所以x 1＋x 22＝16k 2－8k 1＋4k 2＝4，解得k ＝－12，且满足Δ>0.这时直线的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.跟踪训练3 解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程并作差， 得a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.① ∵A ，B 为直线x ＋y －1＝0上的点， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－1. 由已知得y 1＋y 2x 1＋x 2＝k OC ＝22，代入①式可得b ＝2a .∵直线x ＋y －1＝0的斜率k ＝－1. 又|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1| ＝2|x 2－x 1|＝22， ∴|x 2－x 1|＝2.联立ax 2＋by 2＝1与x ＋y －1＝0， 可得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0.且由已知得x 1，x 2是方程(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0的两根， ∴x 1＋x 2＝2ba ＋b ，x 1x 2＝b －1a ＋b， ∴4＝(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝⎝⎛⎭⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b.② 将b ＝2a 代入②式，解得a ＝13，∴b ＝23. ∴所求椭圆的方程是x 23＋2y 23＝1.例4 解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， 因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0， 解得－52≤m ≤52. (2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由(1)知5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， 所以x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)，所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝2(x 1－x 2)2 ＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2⎣⎡⎦⎤4m 225－45(m 2－1)＝2510－8m 2. 所以当m ＝0时，|AB |最大，此时直线方程为y ＝x . 引申探究 解 可求得O 到AB 的距离d ＝|m |2， 又|AB |＝2510－8m 2，∴S △AOB ＝12|AB |·d＝12·2510－8m 2·|m |2 ＝25(54－m 2)m 2 ≤25·(54－m 2)＋m 22＝14， 当且仅当54－m 2＝m 2时，等号成立，此时m ＝±104∈[－52，52]． ∴所求直线的方程为x －y ±104＝0. 跟踪训练4 解 (1)已知椭圆的离心率为12，不妨设c ＝t ，a ＝2t ，即b ＝3t ，其中t >0，又△F 1PF 2面积取最大值3时，即点P 为短轴端点， 因此12·2t ·3t ＝3，解得t ＝1，则椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，x 24＋y 23＝1，整理得(4k 2＋3)x 2＋83kx ＝0. 解得x 1＝0或x 2＝－83k4k 2＋3.∵k >0，∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2|－83k4k 2＋3| ＝1＋k 2·83k4k 2＋3，原点O 到直线l 的距离为d ＝31＋k 2. ∴S △OAB ＝121＋k 2·83k 4k 2＋3·31＋k 2＝12k 4k 2＋3＝124k ＋3k ≤1243＝3， 当且仅当4k ＝3k ，即k ＝32时， △OAB 面积的最大值为 3.当堂训练1．B 2.D 3.B 4.x －2y ＋3＝05．解 设直线l 与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 22＋y 2＝1，消去y 并化简， 得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0，所以x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1x 2＝0. 由|MN |＝423，得 (x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝329， 所以(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝329， 所以(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝329， 即(1＋k 2)(－4k 1＋2k 2)2＝329， 化简得k 4＋k 2－2＝0，所以k 2＝1，所以k ＝±1.所以所求直线l 的方程是x －y ＋1＝0或x ＋y －1＝0.。
2018版高中数学北师大版选修1-1学案：第二章 圆锥曲线
2.2抛物线的简单性质[学习目标] 1.通过图形理解抛物线的对称性、范围、顶点等简单性质.2.掌握抛物线的四种位置及相应的焦点坐标和准线方程.3.能够运用一元二次方程的根的性质解决直线与抛物线的位置关系等问题．知识点一抛物线的简单性质知识点二焦点弦直线过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋p2，|BF|＝x2＋p2，故|AB|＝x1＋x2＋p.知识点三直线与抛物线的位置关系直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0的解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线没有公共点．当k＝0时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点．题型一抛物线的简单性质例1过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为________．答案322解析 由题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>0，y 2<0)，如图所示，|AF |＝x 1＋1＝3，∴x 1＝2，y 1＝2 2.设AB 的方程为x －1＝ty ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x －1＝ty消去x 得y 2－4ty －4＝0.∴y 1y 2＝－4.∴y 2＝－2，x 2＝12，∴S △AOB ＝12×1×|y 1－y 2|＝322.反思与感悟 (1)注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称．(2)解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义的运用，实现两个距离之间的转化，简化解题过程．跟踪训练1 已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M (1，－2)．求抛物线的标准方程和准线方程． 解 (1)当抛物线的焦点在x 轴上时， 设其标准方程为y 2＝mx (m ≠0)． 将点M (1，－2)代入，得m ＝4. ∴抛物线的标准方程为y 2＝4x ；(2)当抛物线的焦点在y 轴上时，设其标准方程为x 2＝ny (n ≠0)． 将点M (1，－2)代入，得n ＝－12.∴抛物线的标准方程为x 2＝－12y .故所求的抛物线的标准方程为y 2＝4x 或x 2＝－12y .准线方程为x ＝－1或y ＝18.题型二 抛物线的焦点弦问题例2 已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AB |＝52p ，求AB 所在的直线方程．解 由题意知焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 若AB ⊥x 轴，则|AB |＝2p <52p ，不满足题意．所以直线AB 的斜率存在，设为k ， 则直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2，k ≠0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x ，整理得ky 2－2py －kp 2＝0. 由根与系数的关系得y 1＋y 2＝2pk，y 1y 2＝－p 2. 所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2·(y 1－y 2)2＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2p ⎝⎛⎭⎫1＋1k 2＝52p ， 解得k ＝±2.所以AB 所在的直线方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －p 2 或y ＝－2⎝⎛⎭⎫x －p2. 反思与感悟 (1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解． (2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论．跟踪训练2 已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离． 解 (1)因为直线l 的倾斜角为60°， 所以其斜率k ＝tan 60°＝3，又F ⎝⎛⎭⎫32，0. 所以直线l 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32，消去y 得x 2－5x ＋94＝0.若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5， 而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p . 所以|AB |＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知 |AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3， 又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.题型三 直线与抛物线的位置关系例3 已知直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，直线l 与抛物线C 有： (1)一个公共点； (2)两个公共点； (3)没有公共点．解 将直线l 和抛物线C 的方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.(*)当k ＝0时，方程(*)只有一个解，为x ＝14，此时y ＝1.∴直线l 与抛物线C 只有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1，此时直线l 平行于x 轴． 当k ≠0时，方程(*)为一元二次方程，Δ＝(2k －4)2－4k 2，①当Δ>0，即k <1且k ≠0时，直线l 与抛物线C 有两个公共点，此时直线l 与抛物线C 相交；②当Δ＝0，即k ＝1时，直线l 与抛物线C 有一个公共点，此时直线l 与抛物线C 相切； ③当Δ<0，即k >1时，直线l 与抛物线C 没有公共点，此时直线l 与抛物线C 相离． 综上所述，(1)当k ＝1或k ＝0时，直线l 与抛物线C 有一个公共点； (2)当k <1且k ≠0时，直线l 与抛物线C 有两个公共点； (3)当k >1时，直线l 与抛物线C 没有公共点．反思与感悟 直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程与抛物线方程联立得到的方程组解的个数．注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况．跟踪训练3 在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由. 解 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝⎛⎭⎫t 22p ，t ，又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝⎛⎭⎫t 2p ，t ，ON 的方程为y ＝pt x ，代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p，因此H ⎝⎛⎭⎫2t 2p ，2t . 所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点，理由如下： 直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp(y －t ).代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其它公共点.1．以x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( ) A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝8x 或y 2＝－8xD ．x 2＝8y 或x 2＝－8y 答案 C解析 设抛物线y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)，依题意得x ＝p2，代入y 2＝2px 或y 2＝－2px ，得|y |＝p ，∴2|y |＝2p ＝8，p ＝4.2．若抛物线y 2＝x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为( ) A ．(14，±24)B ．(18，±24)C ．(14，24)D ．(18，24)答案 B解析 由题意知，点P 到焦点F 的距离等于它到顶点O 的距离，因此点P 在线段OF 的垂直平分线上，而F (14，0)，所以点P 的横坐标为18，代入抛物线方程得y ＝±24，故点P 的坐标为(18，±24)，故选B.3．抛物线y ＝4x 2上一点到直线y ＝4x －5的距离最短，则该点坐标为( ) A ．(1,2) B ．(0,0) C ．(12，1) D ．(1,4)答案 C解析 因为y ＝4x 2与y ＝4x －5不相交，设与y ＝4x －5平行的直线方程为y ＝4x ＋m .则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x 2，y ＝4x ＋m ⇒4x 2－4x －m ＝0.① 设此直线与抛物线相切，此时有Δ＝0， 即Δ＝16＋16m ＝0，∴m ＝－1. 将m ＝－1代入①式，x ＝12，y ＝1，故所求点的坐标为(12，1)．4．经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是( ) A ．6x －4y －3＝0 B ．3x －2y －3＝0 C ．2x ＋3y －2＝0 D ．2x ＋3y －1＝0答案 A解析 设直线l 的方程为3x －2y ＋c ＝0，抛物线y 2＝2x 的焦点F (12，0)，所以3×12－2×0＋c ＝0，所以c ＝－32，故直线l 的方程是6x －4y －3＝0.选A.5．已知直线x －y ＋1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a ＝________. 答案 －14解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝ax 2，消去y 得ax 2－x －1＝0， ∵直线与抛物线相切，∴a ≠0且Δ＝1＋4a ＝0. ∴a ＝－14.1.讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．2．直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦．解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率．常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立，转化为关于x 或y 的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点．尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用． 3．判断直线与抛物线位置关系的两种方法(1)几何法：利用图像，数形结合，判断直线与抛物线的位置关系，但有误差影响判断的结果．(2)代数法：设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x (或y )的一元二次方程形式：Ax 2＋Bx ＋C ＝0(或Ay 2＋By ＋C ＝0)．相交：①有两个交点：⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ>0；②有一个交点：A ＝0(直线与抛物线的对称轴平行或重合，即相交)；相切：有一个公共点，即⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ＝0；相离：没有公共点，即⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ<0.直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件．。
【教育专用】2018北师大版高中数学选修1-1学案：第二章 1.1 椭圆及其标准方程
1．1椭圆及其标准方程学习目标 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．知识点一椭圆的定义思考1给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板能画出椭圆吗？思考2在上述画出椭圆的过程中，你能说出笔尖(动点)满足的几何条件吗？梳理把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于____________________的点的集合叫作椭圆，这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距．知识点二椭圆的标准方程思考1椭圆方程中，a、b以及参数c有什么几何意义，它们满足什么关系？思考2椭圆定义中，为什么要限制常数|PF1|＋|PF2|＝2a>|F1F2|?梳理类型一 求椭圆的标准方程命题角度1 焦点位置已知求椭圆的方程 例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在x 轴上，a ∶b ＝2∶1，c ＝6；(2)经过点(3，15)，且与椭圆x 225＋y 29＝1有共同的焦点．反思与感悟 用待定系数法求椭圆的标准方程的基本思路：首先根据焦点的位置设出椭圆的方程，然后根据条件建立关于待定系数的方程(组)，再解方程(组)求出待定系数，最后写出椭圆的标准方程．跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点(－32，52)；(2)焦点在x 轴上，且经过两个点(2,0)和(0,1)．命题角度2 焦点位置未知求椭圆的方程 例2 求经过(2，－2)和⎝⎛⎭⎫－1，142两点的椭圆的标准方程．反思与感悟 如果不能确定焦点的位置，那么求椭圆的标准方程有以下两种方法：一是分类讨论，分别就焦点在x 轴上和焦点在y 轴上设出椭圆的标准方程，再解答；二是设出椭圆的一般方程Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )，再解答．跟踪训练2 求经过A (0,2)和B (12，3)两点的椭圆的标准方程．类型二 椭圆方程中参数的取值范围例3 “方程x 2m －1＋y 23－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的充分不必要条件是( )A ．1<m <32B ．1<m <2C ．2<m <3D ．1<m <3反思与感悟 (1)利用椭圆方程解题时，一般首先要化成标准形式．(2)x 2m ＋y2n＝1表示椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，n >0，m ≠n ；表示焦点在x 轴上的椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n >0，m >n ；表示焦点在y 轴上的椭圆的条件是⎩⎨⎧m >0，n >0，n >m .跟踪训练3 已知x 2sin α＋y 2cos α＝1(0≤α≤π)表示焦点在x 轴上的椭圆．求α的取值范围．类型三 椭圆定义的应用例4 如图所示，点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上的一点，F 1和F 2是焦点，且∠F 1PF 2＝30°，求△F 1PF 2的面积．引申探究在例4中，若图中的直线PF 1与椭圆相交于另一点B ，连接BF 2，其他条件不变，求△BPF 2的周长． 跟踪训练4已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，椭圆上有一点P 满足∠PF 1F 2＝90°(如图)．求△PF 1F 2的面积．1．已知F 1，F 2是定点，|F 1F 2|＝8，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝8，则动点M 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．直线 C ．圆D ．线段2．已知椭圆4x 2＋ky 2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________．5．已知椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆两焦点F 1、F 2的连线夹角为直角，则|PF 1|·|PF 2|＝________.1．平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，当2a >|F 1F 2|时，轨迹是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是线段F 1F 2；当2a <|F 1F 2|时，轨迹不存在．2．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解．3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的．答案精析问题导学 知识点一思考1 固定两个图钉，绳长大于图钉间的距离是画出椭圆的关键． 思考2 笔尖(动点)到两定点(绳端点的固定点)的距离之和始终等于绳长． 梳理 常数(大于|F 1F 2|) 知识点二思考1 椭圆方程中，a 表示椭圆上的点M 到两焦点间距离之和的一半，可借助图形帮助记忆，a 、b 、c (都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边，a 是斜边，c 是焦距的一半．a 、b 、c 始终满足关系式a 2＝b 2＋c 2. 思考2 只有当2a >|F 1F 2|时，动点M 的轨迹才是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，点的轨迹是线段F 1F 2；当2a <|F 1F 2|时，满足条件的点不存在． 梳理 F 1(－c,0)，F 2(c,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c ) c 2＝a 2－b 2 题型探究例1 解 (1)∵c ＝6，∴a 2－b 2＝c 2＝6.① 又由a ∶b ＝2∶1，得a ＝2b ， 代入①，得4b 2－b 2＝6，解得b 2＝2， ∴a 2＝8.又∵焦点在x 轴上，∴椭圆的标准方程为x 28＋y 22＝1.(2)方法一 椭圆x 225＋y 29＝1的焦点为(－4,0)和(4,0)，由椭圆的定义可得 2a ＝(3＋4)2＋(15－0)2＋(3－4)2＋(15－0)2， ∴2a ＝12，即a ＝6.∵c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝62－42＝20，∴椭圆的标准方程为x 236＋y 220＝1.方法二 由题意可设椭圆的标准方程为 x 225＋λ＋y 29＋λ＝1， 将x ＝3，y ＝15代入上面的椭圆方程，得 3225＋λ＋(15)29＋λ＝1， 解得λ＝11或λ＝－21(舍去)， ∴椭圆的标准方程为x 236＋y 220＝1.跟踪训练1 解 (1)∵椭圆的焦点在y 轴上， ∴设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆的定义知， 2a ＝(－32)2＋(52＋2)2＋ (－32)2＋(52－2)2 ＝210，即a ＝10.又c ＝2， ∴b 2＝a 2－c 2＝6.∴所求椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1.(2)∵椭圆的焦点在x 轴上，∴设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．又椭圆经过点(2,0)和(0,1)，∴⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.∴所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.例2 解 设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )． 将点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142代入， 得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝18，B ＝14.故所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.跟踪训练2 解 当焦点在x 轴上时，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵A (0,2)，B (12，3)在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧4b 2＝1，(12)2a 2＋(3)2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝4，这与a >b 相矛盾，故应舍去．当焦点在y 轴上时，可设椭圆的标准方程为 y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)， ∵A (0,2)，B (12，3)在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝1，(3)2a 2＋(12)2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1，综上可知，椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.例3 A [要使方程x 2m －1＋y 23－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 应满足⎩⎪⎨⎪⎧m －1>0，3－m >0，3－m >m －1，解得1<m <2， ∵A 选项中{m |1<m <32}{m |1<m <2}，故选A.]跟踪训练3 解 x 2sin α＋y 2cos α＝1， 可化为x 21sin α＋y 21cos α＝1，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1sin α>1cos α，1sin α>0，1cos α>0，0≤α≤π，解得0<α<π4.∴α的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，π4. 例4 解 在椭圆x 25＋y 24＝1中，a ＝5，b ＝2， ∴c ＝a 2－b 2＝1.又∵P 在椭圆上，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝25，①教育学习+K12教育学习+K12 由余弦定理知，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 30°＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4，② ①式两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝20，③③－②，得(2＋3)|PF 1|·|PF 2|＝16， ∴|PF 1|·|PF 2|＝16(2－3)．∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 30°＝8－43－12. 引申探究 解 由椭圆的定义，可得△BPF 2的周长为|PB |＋|PF 2|＋|BF 2| ＝(|PF 1|＋|PF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝2a ＋2a ＝4a ＝4 5.跟踪训练4 解 由已知得a ＝2，b ＝3， 所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1.从而|F 1F 2|＝2c ＝2.在△PF 1F 2中，由勾股定理可得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2，即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4.又由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2×2＝4，所以|PF 2|＝4－|PF 1|.从而有(4－|PF 1|)2＝|PF 1|2＋4.解得|PF 1|＝32.所以△PF 1F 2的面积S ＝12·|PF 1|·|F 1F 2|＝12×32×2＝32， 即△PF 1F 2的面积是32.当堂训练1．D 2.B 3.C 4.y 216＋x 2＝1 5.48。
2018版高中数学北师大版选修1-1学案：第二章 圆锥曲线
1.能够熟练使用直接法、待定系数法、定义法求椭圆方程；能够利用“坐标法”研究椭圆的基本性质；能够利用数形结合思想、分类讨论思想、参数法解决椭圆中的有关问题.2.能够根据所给的几何条件熟练地求出双曲线方程，并能灵活运用双曲线定义、参数间的关系，解决相关问题；准确理解参数a、b、c、e的关系、渐近线及其几何意义，并灵活运用.3.会根据方程形式或焦点位置判断抛物线的标准方程的类型；会根据抛物线的标准方程确定其几何性质，以及会由几何性质确定抛物线的方程.了解抛物线的一些实际应用.题型一数形结合思想“数形结合”指的是在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐结合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决.判断直线与圆锥曲线的位置关系、求最值等问题，可以结合图形，运用数形结合思想，化抽象为具体，使问题变得简单.例1双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若P为双曲线上一点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为() A.(1,3) B.(1,3]C.(3，＋∞)D.[3，＋∞)答案 B解析 如图所示，由|PF 1|＝2|PF 2|知P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 又|PF 1|＝2|PF 2|， ∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ， 在△F 1PF 2中， 由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝16a 2＋4a 2－4c 22·4a ·2a ＝54－c 24a 2＝54－e 24，∵0<∠F 1PF 2≤π，且当点P 是双曲线的顶点时，∠F 1PF 2＝π， ∴－1≤cos ∠F 1PF 2<1， ∴－1≤54－e 24<1，由e >1，解得1<e ≤3.故选B.跟踪训练1 抛物线y 2＝2px (p >0)上有A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点，F 是它的焦点，若|AF |，|BF |，|CF |成等差数列，则( ) A.x 1，x 2，x 3成等差数列 B.y 1，y 2，y 3成等差数列 C.x 1，x 3，x 2成等差数列 D.y 1，y 3，y 2成等差数列 答案 A解析 如图，过A ，B ，C 分别作准线的垂线，垂足分别为A ′，B ′，C ′，由抛物线定义知：|AF |＝|AA ′|，|BF |＝|BB ′|，|CF |＝|CC ′|. ∵2|BF |＝|AF |＋|CF |， ∴2|BB ′|＝|AA ′|＋|CC ′|.又∵|AA ′|＝x 1＋p 2，|BB ′|＝x 2＋p 2，|CC ′|＝x 3＋p2，∴2(x 2＋p 2)＝x 1＋p 2＋x 3＋p2⇒2x 2＝x 1＋x 3，∴选A.题型二 分类讨论思想分类讨论思想是指当所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果得到整个问题的结果.如曲线方程中含有的参数的取值范围不同，对应的曲线也不同，这时要讨论字母的取值范围，有时焦点位置也要讨论，直线的斜率是否存在也需要讨论.例2 如果双曲线的两条渐近线的方程为y ＝±34x ，求此双曲线的离心率.解 当双曲线的焦点在x 轴上时，由已知可得b a ＝34，∵c 2＝a 2＋b 2，∴e 2＝⎝⎛⎭⎫c a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝2516， ∴双曲线的离心率e ＝54；同理，当焦点在y 轴上时，可求得离心率e ＝53.故双曲线的离心率为54或53.跟踪训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点P (2，－6)； (2)椭圆过点P (3,0)，且e ＝63.解 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0).由已知得a ＝2b .①∵椭圆过点P (2，－6)，∴4a 2＋36b 2＝1或36a 2＋4b 2＝1.②由①②得a 2＝148，b 2＝37或a 2＝52，b 2＝13. 故所求椭圆的标准方程为x 2148＋y 237＝1或y 252＋x 213＝1.(2)当焦点在x 轴上时，∵椭圆过点P (3,0)，∴a ＝3. 又c a ＝63，∴c ＝ 6.∴b 2＝a 2－c 2＝3. 此时椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1.当焦点在y 轴上时，∵椭圆过点P (3,0)，∴b ＝3. 又c a ＝63，∴a 2－b 2a ＝63，∴a 2＝27. 此时椭圆的标准方程为y 227＋x 29＝1.故所求椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1或y 227＋x 29＝1.题型三 函数与方程思想圆锥曲线中的许多问题，若能运用函数与方程的思想去分析，则往往能较快地找到解题的突破口.用函数思想解决圆锥曲线中的有关定值、最值问题，最值问题是高中数学中常见的问题，在圆锥曲线问题中也不例外，而函数思想是解决最值问题最有利的武器.我们通常可用建立目标函数的方法解有关圆锥曲线的最值问题.方程思想是从分析问题的数量关系入手，通过联想与类比，将问题中的条件转化为方程或方程组，然后通过解方程或方程组使问题获解，方程思想是高中数学中最基本、最重要的思想方法之一，在高考中占有非常重要的地位.在求圆锥曲线方程、直线与圆锥曲线的位置关系的问题中经常利用方程或方程组来解决.例3 设椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a ＞3)的右焦点为F ，右顶点为A .已知1|OF |＋1|OA |＝3e|F A |，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程；(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若BF ⊥HF ，且∠MOA ＝∠MAO ，求直线l 的斜率. 解 (1)设F (c ，0)，由1|OF |＋1|OA |＝3e|F A |，即1c ＋1a ＝3c a （a －c ），可得a 2－c 2＝3c 2. 又a 2－c 2＝b 2＝3，所以c 2＝1，因此a 2＝4. 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －2).设B (x B ，y B )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －2）消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0.解得x ＝2或x ＝8k 2－64k 2＋3.由题意得x B ＝8k 2－64k 2＋3，从而y B ＝－12k4k 2＋3.由(1)知，F (1，0)，设H (0，y H )， 有FH →＝(－1，y H )，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9－4k24k 2＋3，12k 4k 2＋3.由BF ⊥HF ，得BF →·FH →＝0，所以4k 2－94k 2＋3＋12ky H 4k 2＋3＝0，解得y H ＝9－4k 212k .因为直线MH 的方程为y ＝－1k x ＋9－4k212k.设M (x M ，y M )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），y ＝－1k x ＋9－4k 212k 消去y ，解得x M ＝20k 2＋912（k 2＋1）.在△MAO 中，∠MOA ＝∠MAO ⇔|MA |＝|MO |， 即(x M －2)2＋y 2M ＝x 2M ＋y 2M ，化简得x M ＝1，即20k 2＋912（k 2＋1）＝1，解得k ＝－64或k ＝64. 所以直线l 的斜率为－64或64. 跟踪训练3 若双曲线x 2a 2－y 216＝1(a >0)的离心率为53，则a ＝________.答案 3解析 由离心率公式，有a 2＋16a 2＝⎝⎛⎭⎫532(a >0)，得a ＝3.故填3.题型四 转化与化归思想将所研究的对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象的思想方法称之为转化与化归思想.一般将有待解决的问题进行转化，使之成为大家熟悉的或容易解决的问题模式.转化与化归思想在圆锥曲线中经常应用，如把直线与圆锥曲线的位置关系问题转化为方程组的解的个数问题，把求参数的取值范围问题转化为解不等式(组)问题，把陌生的问题转化为熟悉的问题，需要注意转化的等价性.例4 已知点A (4，－2)，F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，点M 在抛物线上移动，当|MA |＋|MF |取最小值时，点M 的坐标为( ) A.(0,0) B.(1，－22) C.(2，－4) D.(12，－2)答案 D解析 过点M 作准线l 的垂线，垂足为E ，由抛物线定义知|MF |＝|ME |. 当点M 在抛物线上移动时，|MF |＋|MA |的值在变化， 显然M 移到M ′，AM ′∥Ox 时，A ，M ，E 共线， 此时|ME |＋|MA |最小，把y ＝－2代入y 2＝8x ， 得x ＝12，∴M (12，－2).跟踪训练4 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为4，焦距为2 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)过动点M (0，m )(m ＞0)的直线交x 轴于点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点.过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B .①设直线PM 、QM 的斜率分别为k 、k ′，证明k ′k 为定值.②求直线AB 的斜率的最小值. (1)解 设椭圆的半焦距为c . 由题意知2a ＝4，2c ＝2 2. 所以a ＝2，b ＝a 2－c 2＝ 2. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)①证明 设P (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0). 由M (0，m )，可得P (x 0，2m )，Q (x 0，－2m ). 所以直线PM 的斜率k ＝2m －m x 0＝mx 0.直线QM 的斜率k ′＝－2m －m x 0＝－3mx 0. 此时k ′k ＝－3.所以k ′k 为定值－3.②解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 直线P A 的方程为y ＝kx ＋m .直线QB 的方程为y ＝－3kx ＋m .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 22＝1，整理得(2k 2＋1)x 2＋4mkx ＋2m 2－4＝0， 由x 0x 1＝2m 2－42k 2＋1，可得x 1＝2（m 2－2）（2k 2＋1）x 0，所以y 1＝kx 1＋m ＝2k （m 2－2）（2k 2＋1）x 0＋m .同理x 2＝2（m 2－2）（18k 2＋1）x 0，y 2＝－6k （m 2－2）（18k 2＋1）x 0＋m .所以x 2－x 1＝2（m 2－2）（18k 2＋1）x 0－2（m 2－2）（2k 2＋1）x 0＝－32k 2（m 2－2）（18k 2＋1）（2k 2＋1）x 0， y 2－y 1＝－6k （m 2－2）（18k 2＋1）x 0＋m －2k （m 2－2）（2k 2＋1）x 0－m＝－8k （6k 2＋1）（m 2－2）（18k 2＋1）（2k 2＋1）x 0， 所以k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝6k 2＋14k ＝14⎝⎛⎭⎫6k ＋1k ， 由m ＞0，x 0＞0，可知k ＞0，所以6k ＋1k ≥26，当且仅当k ＝66时取“＝”.∵P (x 0，2m )在椭圆x 24＋y 22＝1上，∴x 0＝4－8m 2，故此时2m －m 4－8m 2－0＝66， 即m ＝147，符合题意.所以直线AB 的斜率的最小值为62.1.圆锥曲线的定义是圆锥曲线问题的根本，利用圆锥曲线的定义解题是考查圆锥曲线的一个重要命题点.2.圆锥曲线的标准方程是用代数方法研究圆锥曲线的几何性质的基础，对圆锥曲线标准方程的考查方式有两种：一是在解答题中作为试题的入口进行考查；二是在选择题和填空题中结合圆锥曲线的简单几何性质进行考查.3.虽然考纲中没有直接要求关于直线与圆锥曲线相结合的知识，但直线与圆锥曲线是密不可分的，如双曲线的渐近线、抛物线的准线，圆锥曲线的对称轴等都是直线.考试不但不回避直线与圆锥曲线，而且在试题中进行重点考查，考查方式既可以是选择题、填空题，也可以是解答题.4.考纲对曲线与方程的要求是“了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系”，考试对曲线与方程的考查主要体现在以利用圆锥曲线的定义、待定系数法、直接法和代入法等方法求圆锥曲线的方程.5.对圆锥曲线的考查是综合性的，这种综合性体现在圆锥曲线、直线、圆、平面向量、不等式等知识的相互交汇，对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，一般以椭圆或者抛物线为依托，全面考查圆锥曲线与方程的求法、直线与圆锥曲线的位置关系，考查函数、方程、不等式、平面向量等在解决问题中的综合运用.。
高中数学北师大版选修1-1课件：第2章 §1 1.2 第1课时 椭圆的简单性质
第十一页，编辑于星期日：二十三点 三十一分。
类型三 与离心率有关的问题 【典型例题】
1.(2012·新课标全国卷)设F1,F2是椭圆E：
x2 a2
y2 b2
1
(a>b>0)的左、右焦点，P为直线
上x 一3点a ，△F2PF1是底
角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( 2 )
A. 1
B. 2
2
3
C. 3
D. 4
4
5
第二十七页，编辑于星期日：二十三点 三十一 分。
第十四页，编辑于星期日：二十三点 三十一分。
【拓展提升】确定椭圆的几何性质的四个步骤
提醒：由椭圆标准方程确定a2,b2的值，则
ec a
1
b2 a2
.
第十五页，编辑于星期日：二十三点 三十一分。
【变式训练】已知：椭圆 x2 y2 的1 离心率 e 10则，实数
5k
5
k的值为______.
【解析】当k>5时，e c k 5 10 , k 25 .
a
题过程中用到了整体思想和方程思想.
2.求解椭圆离心率要特别注意e的范围，因为a>c>0,所以0<e<1. 3.当椭圆中涉及其他平面几何图形时，注意利用平面图形的几何性质， 找关系，列等式.
第三十页，编辑于星期日：二十三点 三十一分。
【解析】1.选C.设直线 x与x3轴a交于点M，则∠PF2M=60°，在
2018-2019学年北师大版选修1-1 2.1.2椭圆的简单性质 课件 (24张)
2）e 越接近 0，c 就越接近 0，请问：此时椭圆又是如何变化的？ b就越大，此时椭圆就越圆
4.离心率
即离心率是反映椭圆扁平程度的一个量。
结论：离心率越大，椭圆越扁； 离心率越小，椭圆越接近圆。
三、内容升华
两个范围，三对称 四个顶点，离心率
椭圆方程
椭 圆 范围 的 几 何 对称性 性 质 顶点
即 A1(-a,0)、 A2(a,0)、 B1(0,-b)、B2(0,b) *顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭 y 圆的顶点。
B2(0,-b)
A1(-a，0)
F1
o
B (0,-b)
F2 A2(a，0)
3.顶点
*长轴、短轴:线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和 短轴。 且它们的长分别等于2a和2b。 a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 y
例题
x2 y2 1 9 4 2 2 x2 y2 y x (2) 1 或 1 100 64 100 64
五、课后作业
（1）反思知识的形成过程，掌握研究问题的方法； （2）研究 的范围、对称性、顶点、离心率； 设计意图：课后作业的设置体现了本节课研究方法的延 伸，作业（1）强调研究方法的重要性，作业（2）是对 学生学习效果的一种检验
离心率
-a x a -b y b
x2 y2 2 1 2 a b ( a b 0)
-a y a
x y 2 1 2 b a (a b ) -b x 0b
2
2
对称轴： x轴、 y轴 对称中心：原点
(±a,0) (0,±b) (0,±a) (±b,0)
c e ( 0<e<1 ) a
2
对称性
北师大版数学选修1-1教案：第2章-知识点拨：椭圆与双曲线的经典性质及法则
椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-，即0202y a x b K AB-=。
12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b+=+. 双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=. 7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K ABOM =⋅，即0202y a x b K AB =。
高中数学选修1-1北师大版第二章 2.1 椭圆教案
高二年级班第组学生姓名组评：编写时间：2018年月日授课时间：2018年月日共第1课时课题：椭圆及其标准方程主备人邹同路审核人学习目标掌握椭圆的定义和标准方程学习重难点掌握椭圆的定义和标准方程.（重点）掌握椭圆的标准方程的推导过程.（难点）课时安排教学用具教学过程师生笔记学习流程学习内容自主学习自主预习学案椭圆的定义：平面内到两个定点1F，2F的距离之和_________（大于21FF）的点的集合叫作椭圆.这两个________叫作椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫作椭圆的_____.椭圆的定义的符号表示：aMFMF221=+，_____22,221时，为>>=cacFF；思考：椭圆定义中为什么要求常数大于21FF(即2a>2c)？探究点椭圆的标准方程如图，作直线21FF和线段21FF的垂直平分线,设P为椭圆上一点，根据椭圆的定义，P 关于这两条直线的对称点也都在椭圆上，即这两条直线是椭圆的对称轴. 以直线21FF为x轴，线段21FF的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系xOy,则焦点1F，2F的坐标分别为(c,0)，(c,0).抽象概括：椭圆上任意一点的坐标都是方程12222=+byax的解，以方程12222=+byax的解为坐标的点都在椭圆上。
我们将方程），（012222>>=+babyax叫作椭圆的标准方程，焦点坐标是___________.如果椭圆的焦点在y轴上,其焦点坐标为____________预习展示例1 已知B,C是两个定点，10=BC,且ABC∆的周长等于22，求顶点A满足的一个轨迹方程.探究交流例2 已知椭圆的两个焦点坐标分别为（0,2），（0，-2），并且经过点（2523-，），求椭圆的标准的方程。
课堂练习已知椭圆的标准方程为13422=+yx,则焦点坐标为( )A.(1,0)B.(0,1)C.(±1,0)D.(0,±1)已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(0,-3)(0,3)，椭圆上的点P到两焦点距离的和等于8.求椭圆的标准方程.。
2018版高中数学北师大版选修1-1学案：第二章 章末复习课 精品
学习目标 1.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其应用，会用定义求标准方程.2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其求法.3.掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，会利用几何性质解决相关问题.4.掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法．知识点一椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、简单性质知识点二椭圆的焦点三角形设P 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上任意一点(不在x 轴上)，F 1，F 2为焦点且∠F 1PF 2＝α，则△PF 1F 2为焦点三角形(如图)．(1)焦点三角形的面积S ＝b 2tan α2.(2)焦点三角形的周长L ＝2a ＋2c . 知识点三 双曲线及渐近线的设法技巧1．由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法是：把标准方程中的1换成0，即可得到两条渐近线的方程．如双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为x 2a 2－y 2b 2＝0(a >0，b >0)，即y ＝______________；双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y 2a 2－x 2b 2＝0(a >0，b >0)，即y ＝__________.2．如果双曲线的渐近线为x a ±yb ＝0时，它的双曲线方程可设为__________________．知识点四 求圆锥曲线方程的一般步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤． (1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．(2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)．(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小． 知识点五 三法求解离心率1．定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x 轴上还是y 轴上，都有关系式a 2－b 2＝c 2(a 2＋b 2＝c 2)以及e ＝c a ，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．2．方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．3．几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．知识点六 直线与圆锥曲线位置关系1．直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况：一是相切；二是直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行．2．直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题．解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等．类型一 圆锥曲线定义的应用例1 若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，P 是双曲线上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积． 引申探究将本例的条件|PF 1|·|PF 2|＝32改为|PF 1|∶|PF 2|＝1∶3，求△F 1PF 2的面积．反思与感悟 涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决．跟踪训练1 已知椭圆x 2m ＋y 2＝1(m >1)和双曲线x 2n －y 2＝1(n >0)有相同的焦点F 1，F 2，P 是它们的一个交点，则△F 1PF 2的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．随m ，n 变化而变化类型二 圆锥曲线的性质及其应用例2 (1)已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0(2)已知抛物线y 2＝4x 的准线与双曲线x 2a 2－y 2＝1交于A ，B 两点，点F 为抛物线的焦点，若△F AB 为直角三角形，则该双曲线的离心率是________．反思与感悟 有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中常见的问题，只要掌握基本公式和概念，并且充分理解题意，大都可以顺利解决．跟踪训练2 如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( ) A. 2 B. 3 C.32 D.62类型三 直线与圆锥曲线的位置关系例3 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的点P 到左，右两焦点F 1，F 2的距离之和为22，离心率为22. (1)求椭圆的标准方程；(2)过右焦点F 2的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若y 轴上一点M (0，37)满足|MA |＝|MB |，求直线l 的斜率k 的值．反思与感悟 解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法： (1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解． (2)不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围．跟踪训练3 如图，焦距为2的椭圆E 的两个顶点分别为A ，B ，且AB →与n ＝(2，－1)共线．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线y ＝kx ＋m 与椭圆E 有两个不同的交点P 和Q ，且原点O 总在以PQ 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围．1．双曲线x 2－y 2m＝1的离心率大于2的充要条件是( )A ．m >12B ．m ≥1C ．m >1D ．m >22．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( ) A.x 281＋y 272＝1 B.x 281＋y 29＝1 C.x 281＋y 225＝1 D.x 281＋y 236＝1 3．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1 (m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为( ) A.x 212＋y 216＝1 B.x 216＋y 212＝1 C.x 248＋y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 4．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( ) A.12 B.23 C.34D.435．点P(8,1)平分双曲线x2－4y2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是________________．在解决圆锥曲线问题时，待定系数法，“设而不求”思想，转化与化归思想是最常用的几种思想方法，设而不求，在解决直线和圆锥曲线的位置关系问题中匠心独具，很好地解决了计算的繁杂、琐碎问题．答案精析问题导学 知识点三 1．±b a x ±a b x2.x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0) 题型探究例1 解 由双曲线方程x 29－y 216＝1，可知a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5. 由双曲线的定义，得 ||PF 1|－|PF 2||＝6， 将此式两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36， 所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2| ＝36＋2×32＝100.如图所示，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝100－1002|PF 1||PF 2|＝0，所以∠F 1PF 2＝90°，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×32×1＝16. 引申探究 解 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧|PF 2|＝3|PF 1|，|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝6， 所以⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝3，|PF 2|＝9，所以cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝9＋81－1002×3×9＝－527.所以sin ∠F 1PF 2＝81127，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2＝12×3×9×81127＝411. 即△F 1PF 2的面积为411.跟踪训练1 B [设P 为双曲线右支上的一点． 对椭圆x 2m ＋y 2＝1(m >1)，c 2＝m －1，|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，对双曲线x 2n －y 2＝1，c 2＝n ＋1，|PF 1|－|PF 2|＝2n ，∴|PF 1|＝m ＋n ，|PF 2|＝m －n ， |F 1F 2|2＝(2c )2＝2(m ＋n )，而|PF 1|2＋|PF 2|2＝2(m ＋n )＝(2c )2＝|F 1F 2|2， ∴△F 1PF 2是直角三角形，故选B.] 例2 (1)A (2) 6 解析 (1)a ＞b ＞0， 椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，C 1的离心率为a 2－b 2a ，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 2的离心率为a 2＋b 2a .∵C 1与C 2的离心率之积为32， ∴a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32，∴⎝⎛⎭⎫b a 2＝12，b a ＝22，∴C 2的渐近线方程为y ＝±22x ，即x ±2y ＝0.(2)抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，又△F AB 为直角三角形， 则只有∠AFB ＝90°，如图，则A (－1,2)应在双曲线上， 代入双曲线方程可得a 2＝15，于是c ＝a 2＋1＝65. 故e ＝ca＝ 6.跟踪训练2 D [由椭圆可知 |AF 1|＋|AF 2|＝4，|F 1F 2|＝2 3. ∵四边形AF 1BF 2为矩形， ∴|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝12，∴2|AF 1||AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)2－(|AF 1|2＋|AF 2|2)＝16－12＝4， ∴(|AF 2|－|AF 1|)2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1||AF 2|＝12－4＝8， ∴|AF 2|－|AF 1|＝2 2.因此对于双曲线C 2有a ＝2，c ＝3， ∴C 2的离心率e ＝c a ＝62.]例3 解 (1)由题意知， |PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝22， 所以a ＝ 2. 又因为e ＝c a ＝22，所以c ＝22×2＝1， 所以b 2＝a 2－c 2＝2－1＝1， 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)已知F 2(1,0)，直线斜率显然存在， 设直线的方程为y ＝k (x －1)， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立直线与椭圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 22＋y 2＝1， 化简得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0， 所以x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝－2k1＋2k 2.所以AB 的中点坐标为 (2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2)． ①当k ≠0时，AB 的中垂线方程为 y －－k 1＋2k 2＝－1k (x －2k 21＋2k 2)，因为|MA |＝|MB |，所以点M 在AB 的中垂线上， 将点M 的坐标代入直线方程得， 37＋k 1＋2k 2＝2k1＋2k 2， 即23k 2－7k ＋3＝0， 解得k ＝3或k ＝36； ②当k ＝0时，AB 的中垂线方程为x ＝0，满足题意． 所以斜率k 的取值为0，3或36. 跟踪训练3 解 (1)因为2c ＝2， 所以c ＝1.又AB →＝(－a ，b )，且AB →∥n ， 所以2b ＝a ，所以2b 2＝b 2＋1， 所以b 2＝1，a 2＝2.所以椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，把直线方程y ＝kx ＋m 代入椭圆方程x 22＋y 2＝1，消去y ，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－22k 2＋1. Δ＝16k 2－8m 2＋8>0，即m 2<2k 2＋1.(*)因为原点O 总在以PQ 为直径的圆的内部，所以OP →·OQ →<0，即x 1x 2＋y 1y 2<0.又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－2k 22k 2＋1. 由2m 2－22k 2＋1＋m 2－2k 22k 2＋1<0， 得m 2<23k 2＋23. 依题意且满足(*)得，m 2<23， 故实数m 的取值范围是(－63，63)． 当堂训练1．C 2.A 3.B 4.D 5.2x －y －15＝0。
2018版高中数学北师大版选修1-1学案：第二章1.2椭圆的简单性质(一)
1.2椭圆的简单性质（一）［学习目标】1•根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形 件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形.H 问题导学 ----------------------------知识点一椭圆的简单性质2 2已知两椭圆C i 、C 2的标准方程：C i ： 2X5+务=1,怎样求C i 、C 2与两坐标轴的交点？交点坐标是什么?思考2椭圆具有对称性吗?思考3椭圆方程中x , y 的取值范围分别是什么?2 C 2： 25 2X / =1. 162根据几何条思考知识点二椭圆的离心率思考观察不同的椭圆可见它们的扁平程度不一样，哪些量影响其扁平程度？怎样刻画?梳理(1)定义：椭圆的焦距与长轴长度的比叫作椭圆的_______________ ，用e表示.⑵性质：离心率e的取值范围是 ________ ,当e越接近1,椭圆越________ ，当e越接近 _____椭圆就越接近圆.题型探究类型一椭圆的简单性质引申探究已知椭圆方程为4x2+ 9y2= 36,求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率. 例1求椭圆9x2+ 16y2= 144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.反思与感悟解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式,然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a, b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量.跟踪训练1设椭圆方程mx2+ 4y2= 4m(m>0)的离心率为*,试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标.类型二求椭圆的离心率命题角度1与焦点三角形有关的离心率问题2 2例2设F!, F2分别是椭圆E: * +器=1 (a>b>0)的左，右焦点，过点F i的直线交椭圆E 于A, B 两点，AF i|= 3|BF i|.(1)若|AB| = 4,^ ABF2 的周长为16,求|AF2|；3⑵若cos/AF2B= 5，求椭圆E的离心率.反思与感悟涉及到焦点三角形注意利用椭圆的定义找到a与c的关系或利用e=”.1—b求解.2 2跟踪训练2椭圆予+詁=1(a>b>0)的两焦点为F i, F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为 ____________ •命题角度2利用a, c的齐次式，求椭圆的离心率(或其取值范围)2 2例3 (1)设椭圆C: *+ b2= l(a>b>0)的左，右焦点分别为F i, F2,过F2作x轴的垂线与C相交于A, B两点，F i B与y轴相交于点D，若AD丄F i B,则椭圆C的离心率等于______________ •2 2⑵若椭圆X2+ 1(a>b>0)上存在一点M，使得/ F i MF2= 90°F i, F2为椭圆的两个焦点)，则椭圆的离心率e的取值范围是__________ •反思与感悟若a, c的值不可求，则可根据条件建立a, b, c的关系式，借助于a2= b2+ c2,转化为关于a, c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幕，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围.跟踪训练 3 若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是类型三利用椭圆的简单性质求方程例4求满足下列各条件的椭圆的标准方程.(i)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，且与y轴的一个交点为(0, —i0)，该点与最近的焦点的距离为，iO—,5;2⑵已知椭圆的离心率为e=3,短轴长为8 5.反思与感悟在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴， 从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程 （组）确定a , b ,这就是我们常用的待定系数法.跟踪训练4椭圆过点（3,0），离心率e =』，求椭圆的标准方程.3当堂训练A . ( ±3,0) C . （0, ±13）2•如图，已知直线I : x — 2y + 2 = 0过椭圆的左焦点 F i 和一个顶点椭圆的离心率为（）1 2 代1B.2D年3•与椭圆9x 2 + 4y 2= 36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆标准方程是（222A.》+ 丁= 1B . x 2 + 曽=12 46 2 2 2C — + y 2= 1 D.— + y= 1 6『8 54.已知点（m , n ）在椭圆8x 2+ 3/= 24上，贝V 2m + 4的取值范围是 ______5.求满足下列各条件的椭圆的标准方程.1（1）已知椭圆的中心在原点，焦点在 y 轴上，若其离心率为3，焦距为8; ⑵短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为1椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是（0,13），另一个顶点是 （-10,0），则焦点坐标为(0, ±10) (0, 土. 69)3.B ,厂规律与方法------------------------------------ ,1.已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式.2•根据椭圆的简单性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法. 在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距.3.求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用.问题导学 知识点一思考1对于方程C l ：令x = 0,得y =±4,即椭圆与y 轴的交点为(0,4)与(0, — 4);令y = 0, 得x = ±5，即椭圆与x 轴的交点为(5,0)与(—5,0).同理得C 2与y 轴的交点为(0,5)与(0, — 5), 与x 轴的交点为(4,0)与(—4,0).思考2有•问题中两椭圆都是以原点为对称中心的中心对称图形，也是以 x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形.思考 3 C i ：— 5 < x w 5, — 4 < y w 4; C 2:— 4W x W 4, — 5W y W 5.梳理 F i (— c,0), F 2(C ,0) F i (0，— c), F 2(0, c) |x|w a , |y|w b |x|w b , |y|w a x 轴、y 轴和原点 (±,0), (0, ±5)(0, ±1), (±,0) 2a 2b知识点二题型探究 例1解已知方程化成标准方程为 2 2x y 16〒 9， 于是 a = 4, b = 3, c= ” 16 — 9=-；, 7,•••椭圆的长轴长和短轴长分别是 2a = 8和2b = 6, 离心率e =：=尖又知焦点在x 轴上， •两个焦点坐标分别是F# — -, 7, 0)和F 2(,7, 0),四个顶点坐标分别是 A" — 4,0), A 2(4,0), B 1(0, — 3)和 B 2(0,3).引申探究2 2解把椭圆的方程化为标准方程肝;=1,可知此椭圆的焦点在 x 轴上，且长半轴长 a = 3,短半轴长b = 2.答案精析思考 如图所示, 在 Rf BF 2O 中，cos / BF 2O = 1，记 e =1 则 0<e <1，e越大，/ B F 2O越小, 椭圆越扁;e 越小，/ BF 2O 越大，椭圆越圆.梳理 (1)离心率 ⑵(0,1)扁又得半焦距c=- a2—b2=•：：：：」9一4 = \/5.所以椭圆的长轴长2a= 6，短轴长2b = 4;两个焦点的坐标分别是（一，5，0），（_ 5，0）.四个顶点的坐标分别是（一3, 0）, （3,0）, （0, —2）, （0,2）•离心率e= C=严.a 32 2 i跟踪训练1解椭圆方程化为标准形式为X + y= 1,且e=1.4 m 2（1）当0<m<4时，长轴长和短轴长分别是4,2 .3,焦点坐标为F1( —1,0), F2(1,0),顶点坐标为A1( —2,0), A2(2,0),B1(0，—J3), B2(0, .3).⑵当m>4时，长轴长和短轴长分别为8y3, 4,焦点坐标为L 沁沁F1（0，—〒），F2（0，亏）,顶点坐标为A矩迈A1(0，—才)，A2(0，亏),B1(—2,0) , B2(2,0).例 2 解(1)由AFf= 3|F i B|,AB|= 4,得|AF1|= 3, |F1B|= 1.因为△ ABF2的周长为16,所以由椭圆定义可得4a = 16,AF1I+ |AF2|= 2a= 8.故|AF2|= 2a —|AF1|= 8—3= 5.⑵设|F1B|= k,则k>0,且|AF1| = 3k, |AB|= 4k. 由椭圆定义可得|AF2|= 2a —3k, |BF2|= 2a—k.在厶ABF2中，由余弦定理可得2 2 2AB|2 3=|AF2|2+ IBF2I2—2AF2| •2|BF2| cos Z AF2B，即(4k)6=(2a—3k) + (2a —k) —5(2a—3k) (2a—k)，化简可得(a + k)(a—3k) = 0, 而a+ k>0,故a= 3k. 于是有|AF2|= 3k= |AF i|, |BF2|= 5k.2 2 2因此|BF2| = |F2A| + |AB|，可得F i A丄F2A,故△ AF1F2为等腰直角三角形.从而c= 22a,2 2由于AD丄BE 一肚=-1,跟踪训练23— 1例3⑴于,b 2 ±— ±a ，b 2令 x = 0，则 y =— 2^，所以椭圆E 的离心率ce=_a解析直线AB : x = c ,代入2活=1,得y =••• A(c,2a )‘ B (c , a )- ••• kBF —匚0 a 1 = c — — cb!abi2c 2ac ， •-直线 BF i : y — 0 = _b !_ ^(x +c)，•- D(0，— 2a ), • k AD =2 2b_+ b_a 2a = 3bc =2ac .••• 3b 2= 2ac ,即.3(a 2-c 2) = 2ac ,••• .3e 2+ 2e — ,3= 0,—2 ±42 3，2彳、(2)［亍，1)2 2 解析 椭圆a 2+器=1(a>b>0),—b < y w b.由题意知，以F 1F 2为直径的圆至少与椭圆有一个公共点, 则 c > b ，即 c 2 > b 2,所以 c 2>a 2— c 2,所以 e 2> 1 — e 2,即 e 2>2.又 0<e<1 ,所以e 的取值范围是［亍，1).跟踪训练3 3 5解析 由题意知2a + 2c = 2(2b),即 a + c = 2b ,又c 2 = a 2— b 2,消去b 整理得2 25c = 3a — 2ac ,2即 5e + 2e — 3= 0,3• - e = 5或 e =— 1(舍去).例4解⑴由题意知a = 10,•/e>0,…e = 2 =」2 j3 3 .a — c = ,10 — 5,则 c = , 5.所以 b 3= a 2— c 2= 5,2 2所以所求椭圆的方程为土+x =i. 10 5c 2 2 ⑵由 e = a = 2，得 c = 3a ,又 2b = 8、J5, a 2= b 2+ c 2,所以 a 2= 144, b 2 = 80,2 2 2 2 x y . x y-- + — = 1 ^或—-U --- = 1144 〒 80 或 80〒 144跟踪训练4解•••椭圆过点（3,0）, •••点（3,0）为椭圆的一个顶点.①当椭圆的焦点在 x 轴上时，（3,0）为右顶点，则a = 3, V e =：=孚•。
北师版高中同步学考数学选修1-1精品课件 第二章 1.2 椭圆的简单性质
-8-
1.2 椭圆的简单性质
探究一
探究二
首页
探究三
探究一
自主预习
探究学习
当堂检测
思维辨析
椭圆的性质
3
【例1】 已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率e= 2 ,求m的值
及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标.
3
分析应先将椭圆方程化为标准形式,用m表示a,b,c,再由e= 2 求
出m的值,最后再研究椭圆的相关性质.
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1.2 椭圆的简单性质
探究一
首页
探究二
探究三
自主预习
探究学习
当堂检测
思维辨析
2
2
解椭圆方程可化为 + =1(m>0),
+3
(+2)
因为 m=
>0,
+3
+3
所以 m>
,所以焦点在 x 轴上,
+3
,c=
+3
即 a2 =m,b2 =
由
3
e= 2 得
+2
+3
=
2 - 2 =
2
∴椭圆的标准方程为 9
2
+ =1
5
(2)由题意知焦点在 x 轴上,
2
故可设椭圆的标准方程为2
+
2
或
9
+
2
+ 2=1(a>b>0).
2
=1.
5
2
2 =1(a>b>0),且两焦点为
F'(-3,0),F(3,0).
2018-2019学年高中数学北师大版选修1-1课件：2.1.1.2椭圆的轨迹方程
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练 1】
Rt△ABC 中,∠CAB=90°,AB=2,AC=
2 2
,
曲线������过点������, 动点������在������上运动, 且保持|������������| + |������������|的值不变,
求曲线������的方程.
分析:要求曲线E的方程,需建立适当的坐标系,注意到条件
解:设动点 P 为(x,y),∵M(4,0),N(1,0),
∴ ������������ = (−3,0), ������������ = (������ − 4, ������), ������������ = (������ − 1, ������). 又 ∵ ������������ ·������������ = 12 − 3������ + ������ × 0 = 12 − 3������,
第2课时 椭圆的轨迹方程
1.加深理解椭圆的定义及其标准方程. 2.能熟练求解与椭圆有关的轨迹问题.
1.常见求解椭圆轨迹方程的方法:定义法、相关点法、直接法. 2.在椭圆中,有关焦点三角形的问题要注意掌握:
(1)|PF1|+|PF2|=2a;
(2)利用正弦定理: ������△������������1������2
所以动点
Q
的轨迹方程是
������2 4
+
������2 16
=
1(������≠0).
题型一
题型二
题型三
题型四
直接法求椭圆轨迹方程
【例 3】 已知 M(4,0),N(1,0),若动点 P 满足������������ ·������������ = 6|������������|, 求动点������的轨迹������的方程.
2018版高中数学北师大版选修1-1学案：第二章 圆锥曲线
1.2椭圆的简单性质(一)[学习目标] 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出图像.知识点一椭圆的简单几何性质知识点二离心率的作用当椭圆的离心率越接近1，则椭圆越扁；当椭圆离心率越接近0，则椭圆越接近于圆.题型一椭圆的简单性质例1求椭圆25x2＋y2＝25的长轴和短轴的长及焦点和顶点坐标.解把已知方程化成标准方程为y225＋x2＝1，则a ＝5，b ＝1.所以c ＝25－1＝26，因此，椭圆的长轴长2a ＝10，短轴长2b ＝2，两个焦点分别是F 1(0，－26)，F 2(0,26)，椭圆的四个顶点分别是A 1(0，－5)，A 2(0,5)，B 1(－1,0)，B 2(1,0).反思与感悟 解决此类问题的方法是先将所给方程化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a ，b ，c 之间的关系和定义，就可以得到椭圆相应的几何性质.跟踪训练1 求椭圆m 2x 2＋4m 2y 2＝1 (m >0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.解 椭圆的方程m 2x 2＋4m 2y 2＝1 (m >0)可转化为 x 21m 2＋y 214m 2＝1. ∵m 2<4m 2，∴1m 2>14m 2，∴椭圆的焦点在x 轴上，并且长半轴长a ＝1m ，短半轴长b ＝12m ，半焦距长c ＝32m.∴椭圆的长轴长2a ＝2m ，短轴长2b ＝1m ，焦点坐标为(－32m ，0)，(32m，0)，顶点坐标为(1m ，0)，(－1m ，0)，(0，－12m )，(0，12m ).离心率e ＝c a ＝32m 1m＝32.题型二 由椭圆的简单性质求方程 例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程.(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，其离心率为12，焦距为8；(2)已知椭圆的离心率为e ＝23，短轴长为8 5.解 (1)由题意知，2c ＝8，c ＝4，∴e ＝c a ＝4a ＝12，∴a ＝8，从而b 2＝a 2－c 2＝48，∴椭圆的标准方程是y 264＋x 248＝1.(2)由e ＝c a ＝23，得c ＝23a ，又2b ＝85，a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝144，b 2＝80， 所以椭圆的标准方程为x 2144＋y 280＝1或x 280＋y 2144＝1.反思与感悟 在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组)确定a ，b ，这就是我们常用的待定系数法.跟踪训练2 椭圆过点(3,0)，离心率e ＝63，求椭圆的标准方程. 解 ∵所求椭圆的方程为标准方程，又椭圆过点(3,0)，∴点(3,0)为椭圆的一个顶点.①当椭圆的焦点在x 轴上时，(3,0)为右顶点，则a ＝3， ∵e ＝c a ＝63，∴c ＝63a ＝63×3＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝32－(6)2＝9－6＝3， ∴椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1.②当椭圆的焦点在y 轴上时，(3,0)为右顶点，则b ＝3， ∵e ＝c a ＝63，∴c ＝63a ，∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－23a 2＝13a 2，∴a 2＝3b 2＝27，∴椭圆的标准方程为y 227＋x 29＝1.综上可知，椭圆的标准方程是x 29＋y 23＝1或y 227＋x 29＝1.题型三 求椭圆的离心率例3 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________. 答案63解析 联立方程组⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝b 2，解得B 、C 两点坐标为B ⎝⎛⎭⎫－32a ，b 2，C ⎝⎛⎭⎫32a ，b 2，又F (c ，0)， 则FB →＝⎝⎛⎭⎫－32a －c ，b 2，FC →＝⎝⎛⎭⎫3a 2－c ，b 2，又由∠BFC ＝90°，可得FB →·FC →＝0，代入坐标可得： c 2－34a 2＋b 24＝0①，又因为b 2＝a 2－c 2.代入①式可化简为c 2a 2＝23，则椭圆离心率为e ＝c a ＝23＝63. 反思与感悟 求椭圆离心率的方法： (1)直接求出a 和c ，再求e ＝ca，也可利用e ＝1－b 2a2求解. (2)若a 和c 不能直接求出，则看是否可利用条件得到a 和c 的齐次等式关系，然后整理成ca 的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率e 的方程，进而求解.跟踪训练3 已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( ) A.13 B.12C.23D.34答案 A解析 设M (－c ，m )，则E ⎝⎛⎭⎫0，am a －c ，OE 的中点为D ，则D ⎝⎛⎭⎫0，am2（a －c ），又B ，D ，M三点共线，所以m 2（a －c ）＝m a ＋c ，a ＝3c ，e ＝13.椭圆离心率的求法椭圆离心率的三种求法：求椭圆的离心率一般运用直接法、定义法、方程法求解.(1)求椭圆的离心率时，若不能直接求得ca 的值，通常由已知寻求a ，b ，c 的关系式，再与a 2＝b 2＋c 2组成方程组，消去b 得只含a ，c 的方程，再化成关于e 的方程求解.(2)若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定a 2，b 2，求a ，c 的值，利用公式e ＝ca直接求解.(3)求离心率时要充分利用题设条件中的几何特征构建方程求解，从而达到简化运算的目的. 涉及椭圆离心率的范围问题要依据题设条件首先构建关于a ，b ，c 的不等式，消去b 后，转化为关于e 的不等式，从而求出e 的取值范围.例4 若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被点⎝⎛⎭⎫b 2，0分成的两段，则此椭圆的离心率为( ) A.1617 B.41717 C.45 D.255 解析 依题意，得c ＋b2c －b 2＝53，∴c ＝2b ，∴a ＝b 2＋c 2＝5b ， ∴e ＝2b 5b＝255.答案 D点评 本题的解法是直接利用题目中的等量关系，列出条件求离心率.例5 设P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，F 1，F 2是其左，右焦点.已知∠F 1PF 2＝60°，求椭圆离心率的取值范围.分析 本题主要考查椭圆离心率取值范围的求法，建立不等关系是解答此类问题的关键. 解 方法一 根据椭圆的定义，有|PF 1|＋|PF 2|＝2a .① 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得 cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝12，即|PF 1|2＋|PF 2|2－4c 2＝|PF 1||PF 2|.②①式平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝4a 2.③ 由②③，得|PF 1||PF 2|＝4b 23.④由①和④运用基本不等式，得 |PF 1||PF 2|≤⎝⎛⎭⎫|PF 1|＋|PF 2|22，即4b23≤a 2.由b 2＝a 2－c 2，得43(a 2－c 2)≤a 2，解得e ＝c a ≥12.又e ＜1，∴该椭圆的离心率的取值范围是[12，1).方法二 设椭圆与y 轴交于B 1，B 2两点，则当点P 位于B 1或B 2处时，点P 对两焦点的张角最大，故∠F 1B 2F 2≥∠F 1PF 2＝60°，从而∠OB 2F 2≥30°. 在Rt △OB 2F 2中，e ＝c a ＝sin ∠OB 2F 2≥sin 30°＝12.又e ＜1，∴12≤e ＜1.∴该椭圆的离心率的取值范围是[12，1).点评 在求椭圆离心率的取值范围时，常需建立不等关系，通过解不等式来求离心率的取值范围，建立不等关系的途径有：基本不等式，利用椭圆自身存在的不等关系(如基本量之间的大小关系或基本量的范围，点与椭圆的位置关系所对应的不等关系，椭圆上点的横、纵坐标的有界性等)，判别式，极端情况等等.如上面方法二就应用了“当点P 运动到短轴的端点时，点P 对两焦点的张角最大”这一极端情况.1.椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( )A.(±13,0)B.(0，±10)C.(0，±13)D.(0，±69) 答案 D解析 由题意知椭圆的焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69).2.直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( ) A.13 B.12C.23D.34答案 B解析 如图，由题意得，BF ＝a ，OF ＝c ，OB ＝b ，OD ＝14×2b ＝12b .在Rt △OFB 中，|OF |×|OB |＝|BF |×|OD |，即cb ＝a ·12b ，代入解得a 2＝4c 2，故椭圆离心率e＝c a ＝12，故选B. 3.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A.45 B.35 C.25 D.15 答案 B解析 由题意有，2a ＋2c ＝2(2b )，即a ＋c ＝2b ， 又c 2＝a 2－b 2，消去b 整理得5c 2＝3a 2－2ac ， 即5e 2＋2e －3＝0，∴e ＝35或e ＝－1(舍去).4.若焦点在y 轴上的椭圆x 2m ＋y 22＝1的离心率为12，则m 的值为________.答案 32解析 ∵焦点在y 轴上，∴0<m <2， ∴a ＝2，b ＝m ，∴c ＝2－m ， 又e ＝c a ＝12，∴2－m 2＝12，解得m ＝32.5.椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长，短轴长，离心率依次为________. 答案 10,6，45解析 由题意，可将椭圆方程化为标准式为 y 225＋x 29＝1， 由此可得a ＝5，b ＝3，c ＝4， ∴2a ＝10,2b ＝6，e ＝45.1.已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式.2.根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法.在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e 、焦距.3.求椭圆的离心率要注意函数与方程思想、数形结合思想的应用.。
2018-2019学年高二数学北师大版选修1-1课件：第2章 1.2 第1课时
解析
答案
x2 y2 (2)若椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)上存在一点 M，使得∠F1MF2＝90° (F1，F2 为 2 ， 1 2 椭圆的两个焦点)，则椭圆的离心率 e 的取值范围是________.
解析
答案
反思与感悟
若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，
第二章 1.2
椭圆的简单性质
第1课时 椭圆的简单性质
学习目标
1.掌握椭圆的简单性质，并正确地画出它的图形.
2. 能根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的
性质、图形．
内容索引
问题导学 题型探究
达标检测
问题导学
知识点一椭圆的范围Fra bibliotek对称性和顶点思考 在画椭圆图形时，怎样才能画的更准确些？ 答案 在画椭圆时，可先画一个矩形，矩形的顶点为(－a，b)，(a，b)，
解析
答案
达标检测
1.椭圆25x2＋9y2＝1的范围为
A.|x|≤5，|y|≤3 C.|x|≤3，|y|≤5
√
1 1 B.|x|≤5，|y|≤3 1 1 D.|x|≤3，|y|≤5
x2 y2 解析 椭圆方程可化为 1 ＋ 1 ＝1， 25 9 1 1 所以 a＝3，b＝5， 1 1 又焦点在 y 轴上，所以|x|≤5，|y|≤3.故选 B.
√
3 C.4
4 D.5
解析
答案
命题角度2 利用a，c的齐次式，求椭圆的离心率(或其取值范围)
例 3 x2 y2 (1)设椭圆 C：a2＋b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过
F2 作 x 轴的垂线与 C 相交于 A， B 两点， F1B 与 y 轴相交于点 D， 若 AD⊥F1B， 3 则椭圆 C 的离心率为________. 3
北师大版选修1-1高中数学第2章《圆锥曲线与方程》2.1.1椭圆及其标准方程导学案
高中数学 第2章《圆锥曲线与方程》2.1.1椭圆及其标准方程导学案
北师大版选修1-1
学习目标：1、理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；
2、理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；
3、了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法．
重点、难点：理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义；理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的
常用的方法
自主学习
合作探究 1.椭圆标准方程的推导过程（见教材）：
思考：（1）已知图形，建立直角坐标系的一般性要求是什么？第一、充分利用图形的对称性；第二、注意图形的特殊性和一般性关系．
（2）无理方程的化简过程是教学的难点，注意无理方程的两次移项、平方整理．
（3）设参量b 的意义：第一、便于写出椭圆的标准方程；第二、c b a ，，的关系有明显的几何意义．
（4）类比：写出焦点在轴上，中心在原点的椭圆的标准方程()0122
22>>=+b a b
x a y ．
2.如何用几何图形解释 b2=a2－c2 ？在椭圆中分别表示哪些线段的长？
3.已知椭圆两个焦点的坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程．
练习反馈
1.如图，设，的坐标分别为，．直线，相交于点，且它们的斜率之积为，求点的轨迹方程．
图2-1-1
2.在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？。
2018版高中数学北师大版选修1-1学案：第二章 圆锥曲线与方程 3-1 双曲线及其标准方程 含答案 精品
3.1双曲线及其标准方程[学习目标] 1.了解双曲线的定义，几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.知识点一双曲线的定义我们把平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.知识点二双曲线的标准方程思考(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)确定双曲线的标准方程需要知道哪些量？答案(1)当距离之差等于|F1F2|时，动点的轨迹就是两条射线，端点分别是F1、F2，当距离之差大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在.(2)a，b的值及焦点所在的位置.题型一 求双曲线的标准方程例1 根据下列条件，求双曲线的标准方程. (1)经过点P (3，154)，Q (－163，5)；(2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上. 解 (1)方法一 若焦点在x 轴上， 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由于点P (3，154)和Q (－163，5)在双曲线上，∴⎩⎨⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－16，b 2＝－9，(舍去).若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为 y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)， 将P 、Q 两点坐标代入可得⎩⎨⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16，∴双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.综上，双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.方法二 设双曲线方程为x 2m ＋y 2n ＝1(mn <0).∵P 、Q 两点在双曲线上，∴⎩⎨⎧9m ＋22516n＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－16，n ＝9.∴所求双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.(2)方法一 依题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0).则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝6，25a 2－4b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝1，∴所求双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1.方法二 ∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6).∵双曲线经过点(－5,2)， ∴25λ－46－λ＝1， ∴λ＝5或λ＝30(舍去).∴所求双曲线的标准方程是x 25－y 2＝1.反思与感悟 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出a ，b 的值.若焦点位置不确定，可按焦点在x 轴和y 轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，通过解方程组即可确定m 、n ，避免了讨论，从而简化求解过程. 跟踪训练1 求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－5,0)，(5,0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8； (2)焦点在x 轴上，经过点P (4，－2)和点Q (26，22). 解 (1)由双曲线的定义知，2a ＝8，所以a ＝4， 又知焦点在x 轴上，且c ＝5， 所以b 2＝c 2－a 2＝25－16＝9， 所以双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.(2)因为焦点在x 轴上，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，将点(4，－2)和(26，22)代入方程得⎩⎨⎧16a 2－4b 2＝1， ①24a 2－8b 2＝1，②解得a 2＝8，b 2＝4，所以双曲线的标准方程为x 28－y 24＝1.题型二 双曲线定义的应用例2 若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点.(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； (2)如图，若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积.解 双曲线的标准方程为x 29－y216＝1，故a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.(1)由双曲线的定义得||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝6，又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，假设点M 到另一个焦点的距离等于x ，则|16－x |＝6，解得x ＝10或x ＝22. 故点M 到另一个焦点的距离为10或22. (2)将||PF 2|－|PF 1||＝2a ＝6两边平方得 |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2| ＝36＋2×32＝100.在△F 1PF 2中，由余弦定理得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002×32＝0，且∠F 1PF 2∈(0°，180°)，∴∠F 1PF 2＝90°， ∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16. 反思与感悟 (1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF 1|－|PF 2||＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c －a ).(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用.跟踪训练2 设双曲线x 2－y 23＝1的左、焦点分别为F 1，F 2，若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________. 答案 (27，8)解析 如图，由已知可得a ＝1，b ＝3，c ＝2，从而|F 1F 2|＝4，由对称性不妨设P 在右支上， 设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝m ＋2a ＝m ＋2， 由于△PF 1F 2为锐角三角形， 结合实际意义需满足⎩⎪⎨⎪⎧（m ＋2）2＜m 2＋42，42＜（m ＋2）2＋m 2，解得－1＋7＜m ＜3，又|PF 1|＋|PF 2|＝2m ＋2， ∴27＜2m ＋2＜8.题型三 与双曲线有关的轨迹问题例3 如图，在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三个内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程.解 以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A (－22，0)，B (22，0).由正弦定理得sin A ＝|BC |2R ，sin B ＝|AC |2R ，sin C ＝|AB |2R (R 为△ABC 的外接圆半径).∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ， ∴2|BC |＋|AB |＝2|AC |，从而有|AC |－|BC |＝12|AB |＝22<|AB |.由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点). ∵a ＝2，c ＝22，∴b 2＝c 2－a 2＝6， 即所求轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2).反思与感悟 (1)求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：①列出等量关系，化简得到方程；②寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程.(2)求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：①双曲线的焦点所在的坐标轴；②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.跟踪训练3 如图所示，已知定圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，定圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.解 圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1； 圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4. 设动圆M 的半径为R ，则有|MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4， ∴|MF 2|－|MF 1|＝3<10＝|F 1F 2|.∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的左支，且a ＝32，c ＝5，于是b 2＝c 2－a 2＝914.∴动圆圆心M 的轨迹方程为x 294－y 2914＝1(x ≤－32).数形结合思想的应用例4 已知F 1、F 2是双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点，A 是双曲线右支上的动点.(1)若点M (5,1)，求|AM |＋|AF 2|的最小值； (2)若点M (5，n )，求|AM |＋|AF 2|的最小值. 分析 画出草图，结合焦点三角形进行考虑. 解 (1)草图如图所示.由双曲线的定义，知|AM |＋|AF 2|＝|AM |＋|AF 1|－2a .由于点M 在双曲线右支的右边，故由图知当点A 在线段MF 1上时，|AM |＋|AF 1|最小，即|AM |＋|AF 2|最小. 故所求的最小值为|MF 1|－2a ＝101－8.(2)类似(1)可知，当点M 在双曲线右支的右边，即|n |＜94时，|AM |＋|AF 2|＝|AM |＋|AF 1|－2a ≥|MF 1|－2a ＝100＋n 2－8.当M在双曲线右支的外边或其上，即|n|≥94时，|AM|＋|AF2|≥|MF2|＝|n|.故当|n|＜94时，|AM|＋|AF2|的最小值为100＋n2－8；当|n|≥94时，|AM|＋|AF2|的最小值为|n|.解后反思解决这类综合性较强的双曲线问题时，应利用图形的形象直观的特点画图分析，并注意运用双曲线的定义，对所求解的问题进行恰当转化，使问题顺利地得到解决.。
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Δ＝9m2－16(m2－7)＝0⇒m2＝16⇒m＝±4，
故两切线方程为y＝ x＋4和y＝ x－4，
显然y＝ x－4距l最近，
引申探究
在例4中，设直线与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求△AOB面积的最大值及△AOB面积最大时的直线方程．
反思与感悟解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等．解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想．其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件．
联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程：
(1)Δ>0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点．
(2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点．
(3)Δ<0⇔直线与椭圆相离⇔无公共点．
跟踪训练1在平面直角坐标系xOy中，经过点(0， )且斜率为k的直线l与椭圆 ＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.求k的取值范围．
命题角度2距离的最值问题
例2在椭圆 ＋ ＝1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距离最短，并求出最短距离．
反思与感悟此类问题可用数形结合思想寻找解题思路，简化运算过程，也可以设出所求点的坐标，利用点到直线的距离公式求出最小距离．
跟踪训练2已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使点P到直线l：x－y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离．
思考1直线与椭圆有几种位置关系？
思考2如何判断y＝kx＋m与椭圆 ＋ ＝1(a>b>0)的位置关系？
知识点三 直线与椭圆的相交弦
思考若直线与椭圆相交，如何求相交弦弦长？
梳理弦长公式：(1)|AB|＝ ＝ |x1－x2|＝ ；
(2)|AB|＝ |y1－y2|＝ .
注：直线与椭圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，k为直线的斜率．
跟踪训练4椭圆 ＋ ＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，且离心率为 ，点P为椭圆上一动点，△F1PF2面积的最大值为 .
(1)求椭圆的方程；
(2)已知直线l与椭圆交于A，B两点，且直线l的方程为y＝kx＋ (k>0)，若O为坐标原点，求△OAB的面积的最大值．
1．经过椭圆 ＋ ＝1的中心的直线与椭圆的两个交点间距离的最大值为()
其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立，消去y或x后得到关于x或y的一元二次方程得到．
类型一 直线与椭圆的位置关系
命题角度1直线与椭圆位置关系的判断
例1直线y＝kx－k＋1与椭圆 ＋ ＝1的位置关系是()
A．相交B．相切C．相离D．不确定
反思与感悟直线与椭圆的位置关系判断方法(代数法)
类型二 弦长及中点弦问题
例3已知椭圆 ＋ ＝1和点P(4,2)，直线l经过点P且与椭圆交于A、B两点．
(1)当直线l的斜率为 时，求线段AB的长度；
(2)当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程．
反思与感悟处理直线与椭圆相交的关系问题的通用方法是通过解直线与椭圆构成的方程．利用根与系数的关系或中点坐标公式解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系．
(5)把题干中的条件转化为x1＋x2，x1·x2或y1＋y2，y1·y2，进而求解．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1当x＝1时，得y2＝ ，故y＝± ，而2> ，故点在椭圆外．
思考2当P在椭圆外时， ＋ >1；
当P在椭圆上时， ＋ ＝1；
当P在椭圆内时， ＋ <1.
知识点二
思考1有三种位置关系，分别Байду номын сангаас相交、相切、相离．
思考2联立 消去y得关于x的一元二次方程.
位置关系
解的个数
Δ的取值
相交
两解
Δ>0
相切
一解
Δ＝0
相离
无解
Δ<0
知识点三
思考有两种方法：一种方法是联立直线方程与椭圆方程求出交点坐标，利用两点间距离公式可求得，另一种方法是利用弦长公式可求得．
题型探究
例1A[直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1过定点(1,1)，且该点在椭圆内部，因此必与椭圆相交．]
跟踪训练1解由已知条件知直线l的方程为y＝kx＋ ，
代入椭圆方程得 ＋(kx＋ )2＝1.
整理得 x2＋2 kx＋1＝0.
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于
Δ＝8k2－4 ＝4k2－2＞0，
解得k＜－ 或k＞ .
即k的取值范围为
∪ .
例2解 设与椭圆相切并与l平行的直线方程为y＝ x＋m，代入 ＋ ＝1，
5．直线l：y＝kx＋1与椭圆 ＋y2＝1交于M，N两点，
且|MN|＝ ，求直线l的方程．
解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为
(1)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)；
(2)联立直线与椭圆的方程；
(3)消元得到关于x或y的一元二次方程；
(4)利用根与系数的关系设而不求；
跟踪训练3已知椭圆ax2＋by2＝1(a>0，b>0且a≠b)与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|＝2 ，OC的斜率为 ，求椭圆的方程．
类型三 椭圆中的最值(或范围)问题
例4已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
1.2
学习目标 1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识．
知识点一 点与椭圆的位置关系
思考1判断点P(1,2)与椭圆 ＋y2＝1的位置关系．
思考2类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P(x0，y0)与椭圆 ＋ ＝1(a>b>0)的位置关系的判定吗？
知识点二 直线与椭圆的位置关系
A．6 B．8 C．10 D．16
2．经过椭圆 ＋ ＝1的焦点与椭圆长轴垂直的直线与椭圆的相交弦的长度为()
A．1 B．2C．3 D．4
3．直线y＝x＋2与椭圆 ＋ ＝1有两个公共点，则m的取值范围是()
A．m>1B．m>1且m≠3
C．m>3D．m>0且m≠3
4．过点P(－1,1)的直线交椭圆 ＋ ＝1于A，B两点，若线段AB的中点恰为点P，则AB所在的直线方程为________________．