辽宁省大连市高一上学期数学期末联考试卷

辽宁省大连市高一数学上学期期末试卷(含解析)

辽宁省大连市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知点A（﹣3，1，5）与点B（0，2，3），则A，B之间的距离为（）A．B．2C．D．2．（5分）集合A={（x，y）|y=ax+1}，B={（x，y）|y=x+3}，且A∩B={（2，5）}，则（）A．a=3 B．a=2 C．a=﹣3 D．a=﹣23．（5分）a，b，c为空间中三条直线，若a⊥b，b⊥c，则直线a，c的关系是（）A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能4．（5分）直线ax+by+c=0经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足（）A．ab＞0，bc＞0 B．ab＞0，bc＜0 C．ab＜0，bc＞0 D．ab＜0，bc＜05．（5分）两条平行线l1：3x﹣4y﹣1=0与l2：6x﹣8y﹣7=0间的距离为（）A．B．C．D．16．（5分）若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）A．B．C．D．7．（5分）若a=20.5，b=logπ3，c=log20.3，则（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞b＞c8．（5分）若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（）A．B．C．2+D．1+9．（5分）已知圆C：x2+y2=10，过点P（1，3）作圆C的切线，则切线方程为（）A．x+3y﹣10=0 B．x﹣3y+8=0 C．3x+y﹣6=0 D．3x﹣y+10=010．（5分）如图所示，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1﹣ABC1的体积为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）=3﹣2|x|，g（x）=x2，构造函数F（x）=，那么函数y=F（x）（）A．有最大值1，最小值﹣1 B．有最小值﹣1，无最大值C．有最大值1，无最小值D．有最大值3，最小值112．（5分）若半径均为2的四个球，每个球都与其他三个球外切，另有一个小球与这四个球都外切，则这个小球的半径为（）A．B．﹣2 C．﹣3 D．2﹣2二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷卡的相应位置上）13．（5分）计算（lg2）2+lg20•lg5=．14．（5分）一个几何体的三视图如图所示，俯视图为等边三角形，若其体积为8，则a=．15．（5分）已知两圆相交于两点（1，3）和（m，1），且两圆的圆心都在直线上，则m+c的值是．16．（5分）过点（2，3）且与圆（x﹣1）2+y2=1相切的直线方程．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）如图，平面α⊥平面β，在α与β的交线l上取线段AB=4，AC、BD分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线l，并且AC=3，BD=12，求CD的长．18．（12分）设，其中a为常数；（1）f（x）为奇函数，试确定a的值；（2）若不等式f（x）+a＞0恒成立，求实数a的取值范围．19．（12分）圆C过点A（6，0），B（1，5），且圆心在直线l：2x﹣7y+8=0上．（1）求圆C的方程；（2）P为圆C上的任意一点，定点Q（8，0），求线段PQ中点M的轨迹方程．20．（12分）如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，对角线AC，BD相交于点O，将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，DM=3．求证：（1）OM∥平面ABD；（2）平面ABC⊥平面MDO．21．（12分）已知函数f（x）=log4（ax2+2x+3）（1）若f（1）=1，求f（x）的单调区间；（2）是否存在实数a，使f（x）的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．（1）求以点A为圆心，以为半径的圆与直线l相交所得弦长；（2）设圆C的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．辽宁省大连市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知点A（﹣3，1，5）与点B（0，2，3），则A，B之间的距离为（）A．B．2C．D．考点：空间两点间的距离公式．专题：直线与圆．分析：根据空间两点间的距离公式进行计算即可．解答：解：∵A（﹣3，1，5），B（0，2，3），∴|AB|===，故选：C点评：本题主要考查空间两点间的距离的计算，比较基础．2．（5分）集合A={（x，y）|y=ax+1}，B={（x，y）|y=x+3}，且A∩B={（2，5）}，则（）A．a=3 B．a=2 C．a=﹣3 D．a=﹣2考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据A，B，以及两集合的交集，确定出a的值即可．解答：解：联立得：，把x=2，y=5代入得：5=2a+1，解得：a=2，故选：B．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（5分）a，b，c为空间中三条直线，若a⊥b，b⊥c，则直线a，c的关系是（）A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：根据空间直线垂直的位置关系进行判断即可．解答：解：如图满足a⊥b，b⊥c，则a，c的关系可能平行，可能相交，可能异面，故选D．点评：本题主要考查空间直线的位置关系的判断，比较基础．4．（5分）直线ax+by+c=0经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足（）A．ab＞0，bc＞0 B．ab＞0，bc＜0 C．ab＜0，bc＞0 D．ab＜0，bc＜0考点：直线的一般式方程．专题：直线与圆．分析：直线ax+by+c=0化为：，利用斜率与截距的意义即可得出．解答：解：直线ax+by+c=0化为：，∵直线ax+by+c=0经过第一、第二、第四象限，∴，＜0，∴ab＞0，bc＜0．故选：B．点评：本题考查了直线斜率与截距的意义，属于基础题．5．（5分）两条平行线l1：3x﹣4y﹣1=0与l2：6x﹣8y﹣7=0间的距离为（）A．B．C．D．1考点：两条平行直线间的距离．专题：直线与圆．分析：把两直线的方程中x、y的系数化为相同的，然后利用两平行线间的距离公式，求得结果．解答：解：两条平行线l1：3x﹣4y﹣1=0，即6x﹣8y﹣2=0，与它平行的直线l2：6x﹣8y﹣7=0，故它们之间的距离为 d==，故选A．点评：本题主要考查两平行线间的距离公式的应用，要注意先把两直线的方程中x、y的系数化为相同的，然后才能用两平行线间的距离公式，属于中档题．6．（5分）若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）A．B．C．D．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：设侧面展开正方形边长为a，可得底面半径r满足：2πr=a，得r=，从而算出底面圆面积S底=，由此加以计算即可算出这个圆柱的全面积与侧面积的比．解答：解：∵圆柱的侧面展开图是一个正方形，∴设正方形的边长为a，可得圆柱的母线长为a，底面周长也等于a底面半径r满足：2πr=a，得r=，因此，该圆柱的底面圆面积为S底=πr2=，圆柱的全面积与侧面积的比为=，点评：本题给出侧面展开为正方形的圆柱，求全面积与侧面积之比．着重考查了圆柱的侧面展开和圆的周长、面积公式等知识，属于基础题．7．（5分）若a=20.5，b=logπ3，c=log20.3，则（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞b＞c考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数函数与指数函数的单调性即可得出．解答：解：∵a=20.5＞1，1＞b=logπ3＞0，c=log20.3＜0，∴a＞b＞c．故选：D．点评：本题考查了对数函数与指数函数的单调性，属于基础题．8．（5分）若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（）A．B．C．2+D．1+考点：斜二测法画直观图．专题：空间位置关系与距离．分析：水平放置的图形为直角梯形，求出上底，高，下底，利用梯形面积公式求解即可．解答：解：水平放置的图形为一直角梯形，由题意可知上底为1，高为2，下底为1+，S=（1++1）×2=2+．故选：C点评：本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法，也可利用原图和直观图的面积关系求解．属基础知识的考查．9．（5分）已知圆C：x2+y2=10，过点P（1，3）作圆C的切线，则切线方程为（）A．x+3y﹣10=0 B．x﹣3y+8=0 C．3x+y﹣6=0 D．3x﹣y+10=0考点：圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：判断出P在圆上即P为切点，根据圆的切线垂直于过切点的直径，由圆心和P的坐标求出CP确定直线方程的斜率，根据两直线垂直时斜率乘积为﹣1，求出切线的斜率，根据P 坐标和求出的斜率写出切线方程即可．解答：解：由点P（1，3），圆x2+y2=10，得到P在圆上，则过P作圆的切线与CP所在的直线垂直，因为CP所在直线的斜率为3，所以切线的斜率为﹣，则切线方程为：y﹣3=﹣（x﹣1）即x+3y﹣10=0．点评：此题考查学生掌握点与圆的位置关系及直线与圆的位置关系，掌握两直线垂直时斜率所满足的关系，会根据一点的坐标和直线的斜率写出直线的方程，是一道综合题．10．（5分）如图所示，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1﹣ABC1的体积为（）A．B．C．D．考点：直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据题意，三棱柱ABC﹣A1B1C1是棱长均为1的正三棱柱，算出它的体积V=．再根据锥体的体积公式得三棱锥A﹣A1B1C1、三棱锥C1﹣ABC的体积都等于三棱柱ABC﹣A1B1C1体积的，由此用三棱柱ABC﹣A1B1C1体积减去两个三棱锥的体积，即可算出三棱锥B1﹣ABC1的体积．解答：解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为1，∴底面△ABC为正三角形，面积S△ABC==又∵AA1⊥底面AB C，AA1=1∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=S△ABC•AA1=∵三棱锥A﹣A1B1C1、三棱锥C1﹣ABC与三棱柱ABC﹣A1B1C1等底等高∴V=V=V=由此可得三棱锥B1﹣ABC1的体积V=V﹣V﹣V=故选：A点评：本题给出棱长均为1的正三棱柱，求其中的三棱锥B1﹣ABC1体积．着重考查了正三棱柱的性质、柱体和锥体的体积公式等知识，属于中档题．11．（5分）已知函数f（x）=3﹣2|x|，g（x）=x2，构造函数F（x）=，那么函数y=F（x）（）A．有最大值1，最小值﹣1 B．有最小值﹣1，无最大值C．有最大值1，无最小值D．有最大值3，最小值1考点：函数的最值及其几何意义．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：由g（x）﹣f（x）=x2﹣3+2|x|≥0得|x|≥1，从而可得F（x）=，作函数图象求解．解答：解：由g（x）﹣f（x）=x2﹣3+2|x|≥0得，|x|≥1；故F（x）=；故作F（x）=的图象如下，故有最大值1，没有最小值．故选C．点评：本题考查了函数的图象的应用，属于中档题．12．（5分）若半径均为2的四个球，每个球都与其他三个球外切，另有一个小球与这四个球都外切，则这个小球的半径为（）A．B．﹣2 C．﹣3 D．2﹣2考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离；球．分析：将这四个球的球心连接成一个正四面体，并根据四球外切，得到四面体的棱长为2，求出外接球半径，由于这四个球之间有一个小球和这四个球都外切，则小球的球心与四面体外接球球心重合，进而再由小球与其它四球外切，球心距（即正四面体外接球半径）等于大球半径与小球半径之和，得到答案．解答：解：连接四个球的球心，得到一个棱长为4的正四面体，可将该正四面体补成一个正方体，设正方体的边长为a，则有4=a，由正方体的对角线长即为球的直径，可得a=2r，则该正四面体的外接球半径为，若这四个球之间有一个小球和这四个球都外切，则小球的球心与四面体的外接球球心重合，因为由小球与其它四球外切，所以球心距（即正四面体外接球半径）等于大球半径与小球半径之和，所以小球的半径为﹣2．故选B．点评：本题考查棱锥的结构特征，球的结构特征，其中根据已知条件求出四个半径为2的球球心连接后所形成的正四面体的棱长及外接球半径的长是解答本题的关键．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷卡的相应位置上）13．（5分）计算（lg2）2+lg20•lg5=1．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数的运算法则、lg2+lg5=1即可得出．解答：解：原式=（lg2）2+（lg2+1）•lg5=lg2（lg2+lg5）+lg5=lg2+lg5=1．故答案为：1．点评：本题考查了对数的运算法则、lg2+lg5=1，属于基础题．14．（5分）一个几何体的三视图如图所示，俯视图为等边三角形，若其体积为8，则a=2．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知：该几何体为正三棱柱，底面正三角形的边上的高为2，棱柱的高为a，即可得出该几何体的体积．解答：解：由三视图可知：该几何体为正三棱柱，底面正三角形的边上的高为2，棱柱的高为a，∴底面正三角形的边长=4，∴该正三棱柱的体积V==，解得a=2．故答案为：2．点评：本题主要考查了正三棱柱的三视图及其体积计算公式、等边三角形的边角关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、化归与转化能力，属于中档题．15．（5分）已知两圆相交于两点（1，3）和（m，1），且两圆的圆心都在直线上，则m+c的值是3．考点：相交弦所在直线的方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：计算题．分析：两圆的公共弦的方程与两圆连心线垂直，求出公共弦的方程，然后求出m，利用中点在连心线上，求出c，即可求出结果．解答：解：已知两圆相交于两点（1，3）和（m，1），且两圆的圆心都在直线上，所以公共弦方程为：y﹣3=﹣1（x﹣1），所以x+y﹣4=0，因为（m，1）在公共弦上，m=3；中点在连心线上，即（2，2）在连心线上，所以c=0，所以m+c=3；故答案为：3．点评：本题是基础题，考查两圆的位置关系，公共弦的方程与连心线方程的关系，考查计算能力，逻辑推理能力．16．（5分）过点（2，3）且与圆（x﹣1）2+y2=1相切的直线方程4x﹣3y+1=0或 x=2．考点：圆的切线方程．专题：计算题；分类讨论．分析：当切线的斜率不存在时，写出切线的方程；当切线的斜率存在时，设出切线的方程，由圆心到切线的距离等于半径求出斜率，从而得到切线的方程．解答：解：当切线的斜率不存在时，切线的方程为 x=2，当切线的斜率存在时，设切线的斜率为 k，则切线的方程为 y﹣3=k（x﹣2），即 kx﹣y+3﹣2k=0，由圆心（1，0）到切线的距离等于半径得∴k=，此切线的方程 4x﹣3y+1=0，综上，圆的切线方程为 x=2或4x﹣3y+1=0，故答案为：x=2或4x﹣3y+1=0．点评：本题考查求圆的切线方程的方法，点到直线的距离公式的应用，体现了分类讨论的数学思想．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）如图，平面α⊥平面β，在α与β的交线l上取线段AB=4，AC、BD分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线l，并且AC=3，BD=12，求CD的长．考点：与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：连接BC．由AC⊥l，利用勾股定理可得BC=．利用面面垂直与线面垂直的判定及其性质定理可得BD⊥BC．再利用勾股定理可得CD=，即可得出．解答：解连接BC．∵AC⊥l，∴BC===5．又∵BD⊥l，α⊥β，α∩β=l，∴BD⊥α．又∵BC⊂α，∴BD⊥BC．∴CD===13．∴CD长为13cm．点评：本题考查了面面垂直与线面垂直的判定及其性质定理、勾股定理，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）设，其中a为常数；（1）f（x）为奇函数，试确定a的值；（2）若不等式f（x）+a＞0恒成立，求实数a的取值范围．考点：函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）由奇函数定义可得f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，由此可得a值；（2）f（x）+a＞0恒成立，可化为2a＞恒成立，等价于2a＞（）max，利用基本函数的性质可求得（）max；解答：解：（1）∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即a﹣=﹣a+，∴2a=+=+=2，∴a=1；（2）f（x）+a＞0恒成立，即a﹣+a＞0，2a＞恒成立，等价于2a＞（）max，而2x＞0，2x+1＞1，∴0＜＜2，故2a≥2，解得a≥1，故实数a的取值范围可得函数f（x）=log4（﹣x2+2x+3）∵真数为﹣x2+2x+3＞0⇒﹣1＜x＜3∴函数定义域为（﹣1，3）令t=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4可得：当x∈（﹣1，1）时，t为关于x的增函数；当x∈（1，3）时，t为关于x的减函数．∵底数为4＞1∴函数f（x）=log4（﹣x2+2x+3）的单调增区间为（﹣1，1），单调减区间为（1，3）（2）设存在实数a，使f（x）的最小值为0，由于底数为4＞1，可得真数t=ax2+2x+3≥1恒成立，且真数t的最小值恰好是1，即a为正数，且当x=﹣=﹣时，t值为1．∴⇒⇒a=因此存在实数a=，使f（x）的最小值为0．点评：本题借助于一个对数型函数，求单调性与最值的问题，着重考查了函数的单调性与值域和二次函数的图象与性质等知识点，属于中档题．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．（1）求以点A为圆心，以为半径的圆与直线l相交所得弦长；（2）设圆C的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．考点：直线和圆的方程的应用．专题：直线与圆．分析：（1）设直线l：y=2x﹣4与圆A相交的弦为线段BC，求出圆心到直线l的距离，利用垂径定理求解即可．（2）设圆C的方程为（x﹣a）2+2=1．设点M（x，y），通过|MA|=2|MO|，化简，利用点M（x，y）在圆C上，推出|2﹣1|≤|CD|≤2+1，求解即可．解答：解：（1）设直线l：y=2x﹣4与圆A相交的弦为线段BC则圆心到直线l的距离．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）由题意知，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）因为圆心在直线y=2x﹣4上，所以圆C的方程为（x﹣a）2+2=1．设点M（x，y），因为|MA|=2|MO|，所以，化简得x2+y2+2y﹣3=0，即x2+（y+1）2=4，所以点M在以D（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆上．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）由题意，点M（x，y）在圆C上，所以M 是圆C与圆D的公共点，则|2﹣1|≤|CD|≤2+1，所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）即得所以点C的横坐标a的取值范围为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题考查圆的方程的应用，直线与圆的位置关系，考查分析问题解决问题的能力．。

辽宁省大连市高一上学期期末考试数学试题(原卷版)

A. 0B. 1C. 2D. 3
6.根据天气预报，某一天A城市和B城市降雨的概率均为0.6，假定这一天两城市是否降雨相互之间没有影响，则该天这两个城市中，至少有一个城市降雨的概率为（）
A. 0.16B. 0.48C. 0.52D. 0.84
7.函数的图像大致为（）
A. B.
C D.
8.关于频率和概率，下列说法正确的是（）
13.已知，，则 ________.
14.现统计出甲、乙两人在8次测验中的数学成绩如下（其中乙的一个成绩被污损）：
甲：86，79，82，91，83，89，94， 89
乙：90，92，，80，84，95，94，90
已知乙成绩的平均数恰好等于甲成绩的60%分位数，则乙成绩的平均数为________，的值为________.
④将一个均匀的骰子抛掷6000次，则出现点数大于2的次数大约为4000次.
A.②④B.①④C.①②D.②③
9.已知平面上的非零向量，，，下列说法中正确的是（）
①若，，则；
②若，则；
③若，则，；
④若，则一定存在唯一的实数，使得 .
A ①③B. ①④C. ②③D. ②④
10.已知定义在R上的函数，下列说法中正确的个数是（）
1.已知集合，则（）
A. B. C. D.
2.已知命题，，则为（）
A. ， B. ，
C. ，. B. C. D.
4.如果平均数，方差，则的平均数和方差分别为（）
A.5，5B.5，4C.4，3D.4，2
5.已知向量，满足，，，则（）
男性：
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辽宁省大连市2023-2024学年高一上学期期末考试数学答案

大连市2023～2024学年度第一学期期末考试高一数学参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．一、单项选择题：1．C 2．C 3．D 4．A 5．B 6．B 7．D 8．A 二、多项选择题：9．AC 10．ACD 11．BCD 12．BC 三、填空题：13．1 14．2()f x x -=（答案不唯一） 15．8；8.7 16．四、解答题：17．（本小题满分10分）解：（1）2(2,3)2(1,2)(2,3)(2,4)(4,1)+=+-=+-=-a b …………………2分|2|+==a b …………………4分（2）方法一：由已知得(2,3)(1,2)(2,23)λλλλ+=+-=+-+a b ，(2,3)(1,2)(21,32)λλλλ+=+-=+-a b …………………6分因为与共线，所以(2)(32)(21)(23)λλλλ+-=+-+ …………………8分解得1λ=或1λ=-． …………………10分方法二：由已知(2,3)=a ，(1,2)=-bλ+a b λ+a b因为2(2)13⨯-≠⨯，所以a 与b 不共线， …………………6分所以a b λ+≠0，因为与共线，所以存在实数μ，使得()a b a b λμλ+=+ …………………8分即a b a b λμλμ+=+，所以1λμλμ=⎧⎨=⎩，解得1λ=或1λ=- …………………10分18．（本小题满分12分）解：（1）由频率分布直方图可知，(0.0050.0050.00750.020.0025)201a +++++⨯=解得0.01=a ． …………………3分（2）估计80%分位数为0.80.10.10.150.41101150.01----+=． ……………6分（3）由频率分布直方图可知，得分在[50,70)分数段的人数为1000.0052010⨯⨯=人，得分在[70,90)分数段的人数为1000.00752015⨯⨯=人． …………………7分由分层抽样可知，在[50,70)分数段抽取两人，分别记为12,a a ，在[70,90)分数段抽取三人，分别记为123,,b b b ， …………………8分因此这个试验的样本空间可记为{}12111213212223121323Ω,,,,,,,,,a a a b a b a b a b a b a b b b b b b b =，共包含10个样本点． …………………9分方法一：记A ：抽取的这2名学生至少有1人成绩在[70,90)内，则}111213212223121323{,,,,,,,,=A a b a b a b a b a b a b b b b b b b ，包含9个样本点，……………10分所以()109=P A ． …………………12分方法二：记A ：抽取的这2名学生至少有1人成绩在[70,90)内，则A ：抽取的这2名学生成绩都在[50,70)内，}12{=A a a ，包含1个样本点， …………………10分所以()101=P A ， λ+a b λ+a b从而1()1()911010=-=-=P A P A ． …………………12分 19．（本小题满分12分）解：设,(1,2,3)=i i A B i 分别表示甲、乙在第i 次投篮投中．（1）所求的概率为1111211()()()323==⨯=P A B P A P B ． …………………4分（2）所求的概率为111211223111211223()()()()++=++P A A B A A B A B A P A P A B A P A B A B A1211212111333233232327=+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=． …………………8分（3）所求的概率为11211221121122()()()+=+P A B A A B A B P A B A P A B A B2112121232332329=⨯⨯+⨯⨯⨯=． …………………12分 20．(本小题满分12分)（1）当时，01<-xx 可化为(1)0-<x x ，所以原不等式的解集(0,1)=M ． …………………2分（2）①因为322a =221=，所以2221(log )log 2y x x =- ……………3分令2log t x =，则(0,2)t ∈所以211[,3)216=-∈-y t t ，即1[,3)16A =- …………………5分可化为()(1)0--<x m x 当1>m 时，(1,)M m =，不合题意； …………………7分当1=m 时，=∅M ，不合题意； …………………9分当1<m 时，(,1)M m =，因为，所以116<-m ． …………………11分 0m =01x mx -<-{|3}MA x m x =<<综上所述，116<-m ． …………………12分 ②因为313log 18log 2a =+=29log 3=，所以21(2)22x x y =-⋅ ………………3分令2x t =，则(0,2)t ∈所以211[,3)216=-∈-y t t ，即1[,3)16A =- …………………5分可化为 ()(1)0--<x m x 当1>m 时，(1,)M m =，不合题意； …………………7分当1=m 时，=∅M ，不合题意； …………………9分当1<m 时，(,1)M m =，因为，所以116<-m ． …………………11分综上所述，116<-m ． …………………12分 21．(本小题满分12分)（1）证明：令()(1)1=+-g x f x ，因为∈x R , …………………1分()()(1)(1)2g x g x f x f x +-=++-+-所以222(12)220121212x x x x-+=+-=-=+++…………………3分所以函数()g x 为奇函数， …………………4分函数()f x 的图象关于点(1,1)对称． …………………5分（2）解：方法一：由（1）知2()(1)1112-=+-=-+xg x f x ，任取12,x x ∈R ，且21>x x ，因为2121122121222(22)()()12122(12)(12)--+----=-=++++x x x x x x x x g x g x ，因为21>x x ，所以21220->x x ，所以21()()>g x g x ，01x mx -<-{|3}MA x m x =<<所以函数()g x 在R 上为增函数， …………………7分因为2()(21)2+->f a f a ，所以2(11)11(221)-+->--+f a f a ，所以2(1)(22)->--g a g a ， …………………9分因为函数()g x 为奇函数，所以2(1)(22)->-+g a g a ， …………………10分因为函数()g x 在R 上为增函数，所以2122->-+a a ， …………………11分即2230+->a a ，解得31<->或a a . …………………12分方法二：任取12,x x ∈R ，且21>x x ，因为21211221211111224(22)()()12122(12)(12)x x x x x x x x f x f x --+----=-=++++，因为21>x x ，所以21220->x x ，所以21()()>f x f x ，所以函数()f x 在R 上为增函数， …………………7分由（1）有()(2)2+-=f x f x …………………8分因为2()(21)2+->f a f a ，所以22(2)(21)2--+->f a f a ，所以2(21)(2)->-f a f a ， …………………10分因为函数()f x 在R 上为增函数，所以2212a a ->-， …………………11分即2230+->a a ，解得31<->或a a . …………………12分 22．(本小题满分12分)解：（1）因为3x x e e -+=，所以2310x x e e -+=令=xs e ，则1s ，2s 为2310-+=s s 的两根，所以1212121+⋅=⋅==x x x xs s e e e ，得120+=x x ． …………………2分（2）22()2()12x x x x g x e e a e e --=+-++ 令-=+x x t e e ，因为0>x e ，所以2-=+≥x x t e e当且仅当x x e e -=，即0=x 时等号成立． …………………3分因为2222--=+x x t e e ，所以222212210(2)=--+=-+≥y t at t at t 的最小值为1 当2≤a 时，1441-=a ，解得134=a ，不合题意 …………………5分当2>a 时，2101-+=a ，解得3a =±，所以3a =． …………………7分综上所述3=a ． …………………8分（3）因为()x F x e =，所以1()ln F x x -=，所以ln 1ln()1()ln()=ln()x mx h x me mx e mx --=++ …………………9分方法一：令ln()1mx u e -=，则ln ln()1u mx =- 所以ln 12=++≥y u u ，因为ln 1=++y u u 在(0,)+∞上是增函数，且当1=u 时，2=y所以ln()11mx u e -=≥，即ln()1ln ln 10mx m x -=+-≥， …………………11分所以1ln ln -≤m x 在(,)∈+∞x e 上恒成立，所以1ln 1-≤m ，解得1≥m ． …………………12分方法二：令ln()v mx =，则12v y e v -=+≥，因为1v y e v -=+在R 上是增函数，且当1v =时，2=y所以1v ≥，即ln()ln ln 1v mx m x ==+≥， …………………11分所以1ln ln -≤m x 在(,)∈+∞x e 上恒成立，所以1ln 1-≤m ，解得1≥m ． …………………12分。

辽宁省大连市2019-2020学年高一上学期期末考试数学(含答案)

1 d log2 x d 3
log2
1 2
d
log2
x
d
log2
8
育学院 1 d x d 8 教2
大连院
育学为
®x ¯
1 2
d
x
d
½
8¾ ¿
…..4
分
大连教（Ⅱ） f x
log2
2a x
x log2 8
(log2 2a log2 x)(log2 x log2 8)
育学院 (log2 x a)(log2 x 3)
大连中抽出 20 人，打分小于 4 的人数为 4 人，作 A, B,C, D .
大连教育学院在 6 人中任意抽取两人，所得样本空为：
: {ab, aA, aB, aC, aD,bA,bB,bC,bD, AB, AC, AD,BC,BD,CD} ，共包含 15 个样本点. …..9 分
把两人性别恰好同个事件作 M ，
大院 3
3
教育学 AF AB BF AB 3 BC a 3 b …..6 分
大连 4
4
大连教育学院（Ⅱ）因为
AD AO OD AO DO y AF xDE
§ ¨©
y

2 3
x
· ¸¹
a

§ ¨©
3 4
y

x
·¸¹ b
b . …..9 分
y
§ ¨©
a

3 4
b
· ¸¹

x
§ ¨©
大连教院 log2 x 2 a 3 log2 x 3a …..6
x

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2020届辽宁省大连市高一上学期期末考试数学试题(解析版)

辽宁省大连市高一上学期期末考试数学试题一、单选题1．设集合，3，，则正确的是A．3， B．3，C． D．【答案】D【解析】根据集合的定义与运算法则，对选项中的结论判断正误即可．【详解】解：集合，3，，则，选项A错误；2，3，，选项B错误；，选项C错误；，选项D正确．故选：D．【点睛】本题考查了集合的定义与运算问题，属于基础题．2．命题P：“，”的否定为A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】“全称命题”的否定是“特称命题”根据全称命题的否定写出即可．【详解】解：命题P：“，”的否定是：，．故选：B．【点睛】本题考察了“全称命题”的否定是“特称命题”，属于基础题.3．下列函数在上是增函数的是A ．B ．C ．D ．【答案】A 4．函数的单调递减区间为 A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据所给的二次函数的二次项系数大于零，得到二次函数的图象是一个开口向上的抛物线，根据对称轴，考查二次函数的变化区间，得到结果．【详解】解：函数的二次项的系数大于零，抛物线的开口向上，二次函数的对称轴是，函数的单调递减区间是故选：A ．【点睛】本题考查二次函数的性质，属于基础题．5．某公司10位员工的月工资（单位：元）为1x ， 2x ，…， 10x ，其均值和方差分别为x 和2s ，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（）A ．x ， 22s 100+B ．100x +， 22s 100+C ．x ， 2sD ．100x +， 2s 【答案】D 6．函数的零点所在的区间为 A ．B ．C ．D ．【答案】B7．已知，，则a ，b ，c 的大小关系为A． B． C． D．【答案】D8．函数的图象可能是A． B．C． D．【答案】D9．从含有两件正品，和一件次品的3件产品中每次任取1件，每次取出后放回，连续取两次，则取出的两件产品中恰有一件是次品的概率为A． B． C． D．【答案】B10．设，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D11．已知函数在上的值域为R，则a的取值范围是A． B． C． D．【答案】A【解析】利用分段函数，通过一次函数以及指数函数判断求解即可．【详解】解：函数在上的值域为R，当函数的值域不可能是R，可得，解得：．故选：A．【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的最值的求法，属于基础题.12．已知与分别是函数与的零点，则的值为A． B． C．4 D．5【答案】D二、填空题13．已知，则______．【答案】1014．甲、乙两套设备生产的同类产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80 的样本进行检测.若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件.【答案】180015．定义域为上的函数满足，且当时，，若，则a的取值范围是______．【答案】16．关于x的不等式在上恒成立，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】对m进行讨论，变形，构造新函数求导，利用单调性求解最值可得实数m的取值范围；【详解】解：由上，；当时，显然也不成立；；可得设，其定义域为R；则，令，可得；当上时，；当上时，；当时；取得最大值为可得，；解得：；故答案为：.【点睛】本题考查了导数在判断函数单调性和最值中的应用，属于难题.三、解答题17．已知函数且．若，求的值；若，求证：是偶函数．【答案】（1）7；（2）见解析.【解析】根据题意，由函数的解析式可得，则，计算可得答案；根据题意，求出的解析式，由函数奇偶性的定义分析可得答案．【详解】解：根据题意，函数，若，即，则；证明：根据题意，，则，故函数是偶函数．【点睛】本题考查指数函数的性质以及函数奇偶性的判断，属于基础题.18．某中学调查了某班全部45名学生参加社会实践活动和社会公益活动的情况，数据如表单位：人：参加社会公益活动未参加社会公益活动参加社会实践活动304未参加社会实践活动83从该班随机选1名学生，求该学生没有参加上述活动的概率；在参加社会公益活动，但未参加社会实践活动的8名同学中，有5名男同学，，，，，三名女同学，，，现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人参加岗位体验活动，求被选中且未被选中的概率．【答案】（1）；（2）.【解析】从该班随机选1名学生，利用古典概型能求出该学生没有参加上述活动的概率．基本事件总数，被选中且未被选中包含的基本事件个数，由此能求出被选中且未被选中的概率．【详解】解：从该班随机选1名学生，该学生没有参加上述活动的概率．在参加社会公益活动，但未参加社会实践活动的8名同学中，有5名男同学，，，，，三名女同学，，，现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人参加岗位体验活动，基本事件总数，被选中且未被选中包含的基本事件个数，被选中且未被选中的概率．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，属于基础题．19．设函数．当时，求函数的零点；若，当时，求x的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】由分段函数解析式可得时无零点；讨论，，解方程即可得到所求零点；求得的解析式，讨论，，解不等式组即可得到所求范围．【详解】解：函数，可得时，无解；当时，无解；当时，即，可得；综上可得时，无零点；时，的零点为；，，当时，即有或，可得或且，综上可得x的范围是．【点睛】本题考查分段函数、函数零点和解不等式等知识，属于中档题．20．从某校随机抽取100名学生，调查他们一学期内参加社团活动的次数，整理得到的频数分布表和频率分布直方图如下：组号分组频数1628317422525612768292合计100从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该学期参加社团活动次数少于12次的概率；求频率分布直方图中的a、b的值；假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生本学期参加社团活动的平均次数．【答案】（1）0.9；（2）b=0.125；（3）7.68次.【解析】由频数分布表得这名学生该学期参加社团活动次数少于12次的频数为90，由此能求出从该校随机选取一名学生，估计这名学生该学期参加社团活动次数少于12次的概率．由频数分布表及频率分布直方图能求出频率分布直方图a，b的值．利用频率分布直方图和频数分布表能估计样本中的100名学生本学期参加社团活动的平均次数．【详解】解：由频数分布表得这名学生该学期参加社团活动次数少于12次的频数为：，从该校随机选取一名学生，估计这名学生该学期参加社团活动次数少于12次的概率．由频数分布表及频率分布直方图得：频率分布直方图中，．估计样本中的100名学生本学期参加社团活动的平均次数：次．【点睛】本题考查概率、频率、平均数的求法，考查频数分布表、频率分布直方图等知识，属于基础题．21．某校食堂需定期购买大米已知该食堂每天需用大来吨，每吨大米的价格为6000元，大米的保管费用单位：元与购买天数单位：天的关系为，每次购买大米需支付其他固定费用900元．该食堂多少天购买一次大米，才能使平均每天所支付的总费用最少？若提供粮食的公司规定：当一次性购买大米不少于21吨时，其价格可享受8折优惠即原价的，该食堂是否应考虑接受此优惠条件？请说明理由．【答案】（1）10天购买一次大米；（2）见解析.【解析】根据条件建立函数关系，结合基本不等式的应用求最值即可；求出优惠之后的函数表达式，结合函数的单调性求出函数的最值进行判断即可．【详解】解：设每天所支付的总费用为元，则，当且仅当，即时取等号，则该食堂10天购买一次大米，才能使平均每天所支付的总费用最少．若该食堂接受此优惠条件，则至少每35天购买一次大米，设该食堂接受此优惠条件后，每x，天购买一次大米，平均每天支付的总费用为，则，设，，则在时，为增函数，则当时，有最小值，约为，此时，则食堂应考虑接受此优惠条件．【点睛】本题主要考查函数的应用问题，基本不等式的性质以及函数的单调性，属于中档题. 22．已知二次函数满足，且．求的解析式；设，若存在实数a、b使得，求a的取值范围；若对任意，都有恒成立，求实数t的取值范围．【答案】（1）；（2）或；（3）.【解析】利用待定系数法求出二次函数的解析式；求出函数的值域，再由题意得出关于a的不等式，求出解集即可；由题意知对任意，都有，讨论t的取值，解不等式求出满足条件的t的取值范围．【详解】解：设，因为，所以；；；；；解得：；；函数，若存在实数a、b使得，则，即，，解得或，即a的取值范围是或；由题意知，若对任意，都有恒成立，即，故有，由，；当时，在上为增函数，，解得，所以；当，即时，在区间上是单调减函数，，解得，所以；当，即时，，若，则，解得；若，则，解得，所以，应取；综上所述，实数t的取值范围是．【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，也考查了分类讨论思想与转化思想，属于难题．。

大连高一上学期数学期末试卷(有答案)

2016-2017学年度上学期期末考试高一数学试卷考试时间：120分钟试题分数：150分参考公式：球的表面积公式 24S R π=，其中R 为球半径．锥体体积公式Sh V 31=，柱体体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高第Ⅰ卷一．选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合{}{}R x y y B R x x y y A x ∈==∈+==,2,,1,则A B ⋂等于 A. ()+∞,0 B. {}1,0 C. {}1,2 D. {})2,1(),1,0(2.函数23212---=x x x y 的定义域 A. ]1,(-∞ B. ]2,(-∞ C. ]1,21()21,(-⋂--∞ D. ]1,21()21,(-⋃--∞ 3.若直线10mx y +-=与直线230x y -+=平行，则m 的值为A. 2B. 2-C. 12D. 12- 4．直线0ax by c ++=经过第一、第二、第四象限，则,,a b c 应满足A ．ab ＞0，bc ＞0B ．ab ＞0，bc ＜0C ．ab ＜0，bc ＞0D ．ab ＜0，bc ＜05．已知两条不同的直线n m ,，两个不同的平面βα,，则下列命题中正确的是A.若,,//,βαβα⊥⊥n m 则n m ⊥B.若,,,//βαβα⊥⊥n m 则n m //C.若,,,βαβα⊥⊥⊥n m 则n m ⊥D.若,//,//,//βαβαn m 则n m //6. 已知圆锥的表面积为6π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为A 1B ．2 C7. 两条平行线1l ：3x －4y －1＝0，与2l ：6x －8y －7＝0间的距离为A.12B. 35C. 65D ．1 8.在梯形ABCD 中，o ABC 90=∠，//,222AD BC BC AD AB === .将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 A.23π B.43π C.53π D.2π 9.设c b a ,,均为正数，且a a 21log 2=，b b 21log 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛，c c2log 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛.则 A ．c b a << B ．a b c << C ． b a c << D ． c a b <<10.某三棱锥的三视图如右图所示，该三棱锥的表面积是A．56+．60+C．30+ D ．28+11．已知函数2)(|,|23)(x x g x x f =-=，构造函数⎩⎨⎧>≥=)()(),()()(),()(x f x g x f x g x f x g x F ，那么函数)(x F y =A. 有最大值1，最小值1-B. 有最大值1，无最小值C. 有最小值1-，无最大值 D ．有最大值3，最小值112. 已知球的直径4SC =，B A ,是球面上的两点2AB =, 045BSC ASC ∠=∠=,则棱锥S ABC -的体积是A. 335B. 334C. 332D. 33 第Ⅱ卷二．填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.过点)2,1(且与直线3450x y +-=垂直的直线方程_______________．14.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的表面积是_______________．15.函数log (1)8a y x =-+(0a >且1)a ≠的图象恒过定点P ，P 在幂函数()f x 的图象上，则(3)f =___________．16.如图，已知四棱锥ABCD P -，底面ABCD 为正方形， ①AC PB ⊥；②平面PAB 与平面PCD 的交线与AB 平行；③平面⊥PBD 平面PAC ；④PCD ∆为锐角三角形.其中正确命题的序号是_______________. (写出所有正确命题的序号)三．解答题本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本小题满分10分）已知点)1,2(-P ，求：（Ⅰ）过点P 且与直线032=+-y x 平行的直线方程；（Ⅱ）过点P 且与原点距离为2的直线方程．18. （本小题满分12分）设U R =,}{}{13,24A x x B x x =≤≤=<<，}{1C x a x a =≤≤+（a 为实数）（Ⅰ）分别求A B ，()U A C B ；（Ⅱ）若B C C =，求a 的取值范围.19. （本小题满分12分）如下的三个图中，分别是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图以及它的主视图和左（侧）视图（单位：cm ）（Ⅰ）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；不用注册，免费下载！。

辽宁省大连市2020-2021学年高一上学期期末考试数学试卷(含答案)

辽宁省大连市2020~2021学年高一第一学期期末考试数学试卷第 I 卷一､单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求.(1)向量a =b 是|a |=|b |的()(A) 充分不必要条件(B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件 (2)若A=(-1,3),则()R A B ⋂= (A){x|3≤x} (B){x|-1<x<2} (C){x|2≤x<3} (D){x|x<3}(3)若样本平均数为x ,总体平均数为μ,则() ()A x μ= (B)x μ≈ (C)μ是x 的估计值 ()D x 是μ的估计值(4)如图所示,在正方形ABCD 中,E 为AB 的中点,F 为CE 的中点,则AF =（）31()44A AB AD + 13()44B AB AD + 1()2C AB AD + 31()42D AB AD + (5)幂函数1y x −=及直线y=x,y=1,x=1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”:①,②,③,④,⑤,⑥,⑦,⑧(如图所示),则幂函数12y x =的图象经过的“卦限”是()(A)①,⑦(B)④,⑧(C)③,⑦(D)①,⑤(6)从含有两件正品12,a a 和一件次品b 的3件产品中,按先后,顺序任意取出两件产品,每次取出后不放回,则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是()3()4A 2()3B 1()2C 1()4D (7)基本再生数0R 与世代间隔T 是肺炎的流行病学基本参数｡基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间｡在肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:()rt I t e =描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r 与0,R T 近似满足01.R rT =+有学者基于已有数据估计出0 3.28,6R T ==据此,在肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(1n2≈0.69)()天(A)1.2 (B)1.8 (C)2.5 (D)3.5(8)已知函数,0,()lg(),0,x e x f x x x ⎧≥⎪=⎨−<⎪⎩若关于x 的方程2()()0f x f x t ++=有三个不同的实根,则t 的取值范围为()(A)(-∞,-2] (B)[1,+∞) 1()(,]4C −∞ (D)(-∞,-2]∪[1,+∞)多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求｡全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分｡(9)设A,B,C 为三个事件,下列各式意义表述正确的是() (A)ABC 表示事件A 不发生且事件B 和事件C 同时发生 (B)A B C ++表示事件A,B,C 中至少有一个没发生(C)A+B 表示事件A, B 至少有一个发生 (D)ABC ABC ABC ++表示事件A,B,C 恰有一个发生(10)已知正数a,b,则下列不等式中恒成立的是()()A a b +≥ 11()()()4B a b a b ++≥222()()2()C a b a b +≥+ 2()ab D a b>+(11)下列结论正确的是()(A)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底(B)若1212(,,,ae be ce de a b c d +=+∈R ,12,e e 是单位向量),则a=c,b=d(C)向量a 与b 共线⇔存在不全为零的实数12,,λλ使120λλ+=a b(D)已知A,B,P 三点共线,O 为直线外任意一点,若,OP xOA yOB =+则x+y=1(12)已知函数22|log |(02)(),813(2)x x f x x x x <<⎧⎪=⎨−+≥⎪⎩若f(x)=a 有四个解1234,,,x x x x 满足1234x x x x <<<，则下列命题正确的是()(A)0<a<112()2(3,)B x x +∈+∞ (C)123421(10,)2x x x x +++∈ 3()[2,)D x ∈+∞第II 卷二.填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上)(13)2log 3lg 2lg52++的值为____.(14)设a ,b 是两个不共线的向量,2,4,,,AB BC k A B C =−=+a b a b 三点共线,则k=____.(15)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,估计这批米内所夹的谷有____石.(只要求写出运算式,不用化简)(16)已知定义在R 上函数2()ln(1)21x xx x e e f x x x x e e −−−=+−++++,已知定义在R 上函数y=g(x)满足g(x)+g(-x)=2,设函数f(x)与g(x)图像交点为11(,),x y22(,),,(,),n n x y x y 则f(2)+f(-2)的值为____的值为(用n 表示);1()ni ii x y =+∑的值为___. 三.解答题:(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤)(17)(本小题满分10分)如图,已知M,N,P 是△ABC 三边BC,CA,AB 上的点,且11,,44BM BC CN CA ==1,4AP AB =如果,,AB AC ==a b 试用基底{a ,b }表示向量,.NP AM(18)(本小题满分12分)我国是世界上严重缺水的国家之一,某市为了制定合理的节水方案,对家庭用水进行了调查,通过抽样,获得了某年100个家庭的月均用水量(单位:t),将数据按[0,1),[1,2),[2,3),[3,4),[4,5]分成5组,制成了如图所示的频率分布直方图｡(I)求图中a 的值(II)假设同组中的每个数据都用该组区间的中值点代替,估计全市家庭月均用水量的平均数.(19)(本小题满分12分)已知函数()x x f x e ae −=−的反函数1()f x −的图象经过点3(,ln 2).2P (I)求函数f(x)的解析式;(II)判断函数f(x)的奇偶性,并证明.(20)(本小题满分12分)某项选拔有四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答者进入下一轮考核,否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一､二､三､四轮的问题的概率分别为4321,,,,5555且各轮问题能否回答正确互不影响. (I)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率;(II)求该选手至多进入第三轮考核的概率.(21)(本小题满分12分)定义满足性质“y=f(x)(x ∈D),对任意,,2x y x y D +∈均满足1()[()()],22x y f f x f y +≥+当且仅当x=y 时等号成立”的函数叫M 函数.(I)下列函数2(1)()g x x =−;2(2)()m x x =;(3)()x h x e =;2(4)()log g x x =是M 函数是______(直接写出序号)(II)选择(I)中一个M 函数,加以证明;(III)试利用M 函数解决下列问题: 若实数m,n 满足221,m n +=求m+n 的最大值.(22)(本小题满分12分)已知函数()2log ()log a a f x mx b x =+−,其中b ∈R.(I)若m=b=2,且1[,2]4x ∈时,f(x)的最小值是-2,求实数a 的值; (II)若m=2,0<a<1,且1[,2]4x ∈时,f(x)≤0恒成立,求实数b 的取值范围; (III)若a=2,b=1,1[,1],2t ∀∈函数2()()log g x f x x =−在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不大于2,求正数m 的取值范围.。

辽宁省大连市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题

大连市2019~2020学年第一学期期末考试试卷高一数学命题人：校对人：注意事项：1．请在答题纸上作答，在试卷上作答无效．2．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}0,1,2,3,4A =，{}3B x N x =∈<则AB =（）A ．{}0,1,2B ．{}0,1,2,3,4C ．{}1,2D ．{}1,2,3 2．已知命题:1p x ∀>，lg 0x >，则p ⌝为（） A ．1x ∀>，lg 0x ≤ B ．1x ∃>，lg 0x > C ．1x ∃≤，lg 0x ≤ D ．1x ∃>，lg 0x ≤ 3．下列幂函数为偶函数的是（）A ．13y x = B ．12y x = C ．23y x = D ．32y x = 4．如果12,,,n x x x 的平均数2x =，方差21s =，则1221,21,,21n x x x +++的平均数和方差分别为（）A ．5，5B ．5，4C ．4，3D ．4，25．已知向量a ，b 满足1a =，2b =，3a b =+，则a b -=（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．根据天气预报，某一天A 城市和B 城市降雨的概率均为0.6，假定这一天两城市是否降雨相互之间没有影响，则该天这两个城市中，至少有一个城市降雨的概率为（） A ．0.16 B ．0.48 C ．0.52 D ．0.847．函数()2121x x f x -=+的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．8．关于频率和概率，下列说法正确的是（）①某同学在罚球线投篮三次，命中两次，则该同学每次投篮的命中率为23； ②数学家皮尔逊曾经做过两次试验，抛掷12000次硬币，得到正面向上的频率为0.5016；抛掷24000次硬币，得到正面向上的频率为0.5005．如果他抛掷36000次硬币，正面向上的频率可能大于0.5005； ③某类种子发芽的概率为0.903，当我们抽取2000粒种子试种，一定会有1806粒种子发芽； ④将一个均匀的骰子抛掷6000次，则出现点数大于2的次数大约为4000次． A ．②④ B ．①④ C ．①② D ．②③ 9．已知平面上的非零．．向量a ，b ，c ，下列说法中正确的是（） ①若//a b ，//b c 则//a c ； ②若2a b =，则2a b =±；③若23xa yb a b +=+，则2x =，3y =；④若//a b ，则一定存在唯一的实数λ，使得a b λ=． A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④10．已知定义在R 上的函数()f x ，下列说法中正确的个数是（）①()()f x f x +-是偶函数；②()()f x f x --是奇函数；③()()f x f x -是偶函数；④()f x 是偶函数；⑤()f x 是偶函数．A ．2B ．3C ．4D ．511．已知函数()xf x e =与函数()g x 的图像关于y x =对称，若()()()g a b g b a =<，则4a b +的取值范围是（）A ．[)4,+∞B ．()4,+∞C ．[)5,+∞D ．()5,+∞12．函数()(11lg 11xf x gx x+=++-，则关于x 的不等式()()212f x f x +-<的解集为（） A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13．已知()1,3AB =，()2,1AC =-，则CB =________．14．现统计出甲、乙两人在8次测验中的数学成绩如下（其中乙的一个成绩被污损）：甲：86，79，82，91，83，89，94，89 乙：90，92，，80，84，95，94，90已知乙成绩的平均数恰好等于甲成绩的60%分位数，则乙成绩的平均数为________，的值为________．（本题第一空3分，第二空2分）15．已知ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，DF tDE =，AF x AB y AC =+，则xy 的最大值为________．16．设0a >且1a ≠，函数()2log a f x x ax =-在[]2,3上是减函数，则实数a 的取值范围是________．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分10分）关于x 的不等式1x a -<的解集为A ，关于x 的不等式2320x x -+≤的解集为B ，若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 18．（本小题满分12分）已知正数a ，b ，c ，求证：4a b +，9b c +，1c a+这三个数中，至少有一个不小于4． 19．（本小题满分12分）如图，平行四边形ABCD 中，已知2AE EB =，3BF FC =，设AB a =，AD b =，（Ⅰ）用向量a 和b 表示向量DE ，AF ；（Ⅱ）若DO xDE =，AO y AF =，求实数x 和y 的值． 20．（本小题满分12分）某电子产品厂商新推出一款产品，邀请了男女各1000名消费者进行试用，并评分（满分为5分），得到了评分的频数分布表如下：男性：女性：（Ⅰ）根据频数分布表，完成下列频率分布直方图，并根据频率分布直方图分别比较男女消费者评分的中位数的相对大小，以及方差的相对大小（其中方差的相对大小给出判断即可，不必说明理由）；（Ⅱ）现从男女各1000名消费者中，分别按评分运用分层抽样的方法各自抽出20人放在一起，在抽出的40人中，从评分不小于4分的人中任取2人，求这2人性别恰好不同的概率． 21．（本小题满分12分）已知函数()()22log 2log 8a xf x x =（常数a R ∈）．（Ⅰ）当1a =时，求不等式()0f x ≤的解集；（Ⅱ）当1,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最小值．22．（本小题满分12分）已知函数()()22x xaR f x x =+∈为偶函数．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）证明()f x 在[)0,+∞上为增函数；（Ⅲ）若关于x 的方程()()230f x f x λ+-=有两个不等的实根，求实数λ的取值范围．参考答案说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、选择题和填空题每题均5分，其中（14）题第一空3分，第二空2分．一、选择题：1．A 2．D 3．C 4．B 5．B 6．D 7．A 8．A 9．B 10．C 11．D 12．A 二、填空题：13．()3,2 14．89，87 15．11616．()(]0,13,4三、解答题：17．解：因为x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集 2分解不等式1x a -<，得11a x a -+<<+，所以{}11A x a x a =-+<<+， 4分解不等式2320x x -+≤，得12x ≤≤，所以{}12B x x =≤≤， 6分因为集合B 是集合A 的真子集，所以1112a a -+<⎧⎨+>⎩， 8分即12a << 10分18．证明：假设这三个数都小于4，即44a b +<，94b c +<，14c a+<，所以49112a b c b c a+++++< 2分因为a ，b ，c 均大于0，根据均值不等式有，49114912a b c a b c b c a a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++++≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 8分当且仅当1a =，2b =，3c =时，等号成立． 10分这与49112a b c b c a+++++<矛盾，因此假设不成立，从而这三个数中，至少有一个不小于4． 12分 19．解：（Ⅰ）2233DE AE AD AB AD a b =-=-=- 3分3344AF AB BF AB BC a b =+=+=+ 6分（Ⅱ）因为3243AD AO OD AO DO y AF xDE y a b x a b ⎛⎫⎛⎫=+=-=-=+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2334y x a y x b b ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 9分即231034y x a y x b ⎛⎫⎛⎫-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为a 与b 不共线，从而2033104y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，解得2349x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩12分20．解：（Ⅰ）频率分布直方图如下图所示，4分由频率分布直方图可以看出，男性消费者评分的中位数在区间[)2,3内，女性消费者评分的中位数在区间[)1,2内，所以男性消费者评分的中位数大．由图估计男性消费者评分的方差小． 6分（Ⅱ）运用分层抽样的方法从1000名男消费者中抽出20人，打分不小于4的人数为2人，记作a ，b ；运用分层抽样的方法从1000名女消费者中抽出20人，打分不小于4的人数为4人，记作A ，B ，C ，D ．在这6人中任意抽取两人，所得样本空间为：{},,,,,,,,,,,,,,ab aA aB aC aD bA bB bC bD AB AC AD BC BD CD Ω=，共包含15个样本点． 9分把两人性别恰好不同这个事件记作M ，则{},,,,,,,M aA aB aC aD bA bB bC bD =，共包含8个样本点．()815P M ∴=． 12分 21．解：（Ⅰ）由题意可得()()2222log 2log log log 80x x +-≤()()22log 1log 30x x +-≤1log 23x -≤≤2221log log log 82x ≤≤ 182x ≤≤ 解集为182xx ⎧≤≤⎫⎨⎬⎩⎭． 4分（Ⅱ）()()22log 2log 8a xf x x = ()()2222log 2log log log 8a x x =+-()()22log log 3x a x =+-()()222log 3log 3x a x a =+-- 6分令2log u x =，因为1,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以[]2,3u ∈-求()f x 在1,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最小值即求函数()()233g u u a u a =+--在[]2,3u ∈-上的最小值，()()22233()3324a a g u u a u a u +-⎛⎫=+--=--⎪⎝⎭时，[]2,3u ∈- 8分当332a-≥时，即3a ≤-时，易知函数()g u 在[]2,3-为减函数，所以()()min 30g u g ==；当3232a--<<时，即37a -<<时，易知函数()g u 在32,2a -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为减函数，在3,32a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，所以 ()()22min3324a a g u g +-⎛⎫==- ⎪⎝⎭；当322a-≤-即7a ≥时，易知函数()g u 在[]2,3-为增函数，()()min 2105g u g a =-=- 11分综上，当3a ≤-时，()f x 的最小值为0；当37a -<<时，()f x 的最小值为()234a +-；当7a ≥时，()f x 的最小值为105a - 12分 22．解：（Ⅰ）因为()f x 是偶函数，所以()()f x f x -=，有2222x xx x a a --+=+，即()11202x xa ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，因为对任意的实数x ，上式恒成立，所以1a = 3分（Ⅱ）任取1x ，[)20,x ∈+∞，且12x x <，()()()1212121212111122222222x x x x x x x x f x f x ⎛⎫-=+--=-+- ⎪⎝⎭()12121221222x x x x x x ++-=-又由210x x >≥，得1222x x <，1221x x +>，即12220x x +<，12210x x+->，则()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以()f x 在[)0,+∞上为增函数． 6分（Ⅲ）因为()()230f x f x λ+-=，()122x xf x =+，所以 2211223022x x xxλ⎛⎫⎛⎫+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2112232022x x x x λλ⎛⎫⎛⎫+++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由于函数122x x y =+为偶函数，在[)0,+∞上为增函数，易知[)2,y ∈+∞，当1222x x+=时，即0x =，代入原方程 2112232022x x x x λλ⎛⎫⎛⎫+++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得12λ=，此时方程21112240222x x x x ⎛⎫⎛⎫+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭仅有一个根0x =，所以不符合题意；令122x xu =+，()2,u ∈+∞，则任取()02,u ∈+∞，关于x 的方程0122x x u +=均有两个不同的实数根，因此若原方程有两个不同的实数根，只需关于u 的方程2320u u λλ+--=在()2,+∞上满足：①当0λ≠时，有两个相等实数根，或者一个实数根（且另一个实数根小于2）()2214328121λλλλ∆=---=++设函数()232g u u u λλ=+--，()2,u ∈+∞所以281210122k λλ⎧++=⎪⎨->⎪⎩或者()20g λ⋅<，解得：102λ<<或34λ-= 11分②当0λ=时，2320u u λλ+--=解得3u =，此时原方程有两个不等的实数根，符合题意．综上：102λ≤<或34λ-= 12分。

辽宁省部分高中2023-2024学年高一上学期期末联考试题数学含解析

2023—2024学年度上学期期末考试高一试题数学（答案在最后）考试时间：120分钟满分：150分第I 卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本题共8小题，每题5分，共40分．每小题只有一个选项符合要求）1.已知集合{}30log 2A x x =≤≤，{}33B x x =-≤，则A B = （）A.[]0,1 B.[]0,9 C.[]1,6D.[]6,92.“12a >”是“12a<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知0.643a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，141log 5b =，0.934c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A.b c a>> B.c a b >> C.b a c>> D.a c b>>4.袋子中有大小、形状、质地完全相同的4个小球，分别写有“风”、“展”、“红”、“旗”四个字，若有放回地从袋子中任意摸出一个小球，直到写有“红”、“旗”的两个球都摸到就停止摸球.利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，用1，2，3，4分别代表“风”、“展”、“红”、“旗”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：411231324412112443213144331123114142111344312334223122113133由此可以估计，恰好在第三次就停止摸球的概率为（）A.110B.320 C.15D.145.已知(1,2)a = ，(3,1)b =- ，若()//(2)kb a a b -+ ，则k =（）A.1- B.12-C.23-D.136.已知函数()2()lg 67f x x x =--在(,)a +∞上单调递增，则a 的取值范围是（）A.[7,)+∞ B.[3,)+∞ C.(,3]-∞ D.(,1]-∞-7.若关于x 的不等式20x px q ++>的解集为(,1)(2,)-∞-⋃+∞，则不等式280x qx x p+->+的解集为（）．A.(4,1)(2,)-+∞ B.(2,1)(4,)-+∞ C.(,2)(1,4)-∞- D.(,4)(1,2)-∞- 8.已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()++-=f x y f x y f x f y ，(1)1f =，则（）A.(0)0f =B.函数()f x 为奇函数C.(2)1f =- D.函数()f x 既不是奇函数也不是偶函数二、多项选择题（本题共4小题，每题5分，共20分．全对得5分，漏选得2分，错选不得分）9.《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中O 为正八边形的中心，则下列说法正确的是（）A.AH ED=B.OA EF FO-=C.OA OC +=D.AB 和GD不能构成一组基底10.已知函数2log ||()2a x m f x x b+=+的图象如图所示，当x n <时，有()0f x >，则下列判断中正确的是（）A.2m =-B.1n = C.0b > D.01a <<11.在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下，一定符合没有发生大规模群体感染标志的是（）A.甲地：中位数为2，极差为5B.乙地：总体平均数为2，众数为2C.丙地：总体平均数为1，总体方差大于0D.丁地：总体平均数为2，总体方差为312.如图，对于任意正数u ，()v u v <．记曲线1y x=与直线x u =，x v =，0y =所围成的曲边梯形面积为(,)L u v ，并约定(,)0=L u u 和(,)(,)=-L v u L u v ．已知(1,)ln =L x x ，则以下命题正确的有（）A.()1e ,21ln 2L -=+B.(2,3)(4,6)L L >C.对任意正数k 和1<<u v ，有(,)(,)=L u v L ku kv D.对任意正数k 和1<<u v ，有()(,),k kkL u v L u v=第II 卷（非选择题，共90分）三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分．）13.函数11x y a -=+（1a >且0a ≠）的反函数过定点_________．14.如图所示的茎叶图记录着甲、乙两支篮球是各6名球员某份比赛的得分数据（单位：分）.若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x y +=______.15.若函数y =的定义域为R ，则m 的取值范围是______.16.已知函数()()2221,2log 2,2x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩则函数[]3()()2()4F x f f x f x =-+有_________个零点．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知幂函数()22()1m f x m m x +=-+，（1）求m 的值；（2）若_________写出函数()f x 的单调区间（不需证明单调性），并利用()f x 的单调性解不等式(1)(3)f x f x +>-．①函数()f x 为奇函数；②函数()f x 为偶函数，从这两个条件中任选一个填入横线．18.碳14是碳的一种具有放射性的同位素，它常用于确定生物体的死亡年代，即放射性碳定年法．在活的生物体内碳14的含量与自然界中碳14的含量一样且保持稳定，一旦生物死亡，碳14摄入停止，生物体内的碳14会按指数函数的规律衰减，大约经过5730年衰减为原来的一半，通过测定生物遗体内碳14的含量就可以测定该生物的死亡年代．设生物体内的碳14的含量为P ，死亡年数为t ．（1）试将P 表示为t 的函数；（2）不久前，科学家发现一块生物化石上的碳14的含量为自然界中碳14的含量的20%，请推算该生物死亡的年代距今多少年？（参考数据：lg 20.3≈）19.辽宁省数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[]90,100，并绘制成如图所示的频率分布直方图．（1）补全频率分布直方图，若只有30%的人能进决赛，入围分数应设为多少分（保留两位小数）；（2）采用分层随机抽样的方法从成绩为[80,100]的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取2名学生进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90的概率；（3）进入决赛的同学需要再经过考试才能参加冬令营活动．考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考2门学科，每科笔试成绩从高到低依次有A +，A ，B ，C ，D 五个等级．若两科笔试成绩均为A +，则直接参加；若一科笔试成绩为A +，另一科笔试成绩不低于B ，则要参加第二轮面试，面试通过也将参加，否则均不能参加．现有甲、乙二人报名参加，二人互不影响．甲在每科笔试中取得A +，A ，B ，C ，D 的概率分别为25，16，112，15，320；乙在每科笔试中取得A +，A ，B ，C ，D 的概率分别为14，15，25，110，120；甲、乙在面试中通过的概率分别为15，516．求甲、乙能同时参加冬令营的概率．20.已知函数2()log ()f x x a =+．（1）当2a =时，解不等式：2()2log f x x >；（2）当0a >时，记1()(4)2g x f x =，若对任意的(0,2)x ∈，函数()y f x =的图像总在函数()y g x =的图像的下方，求正数a 的取值范围．21.如图，在ABC 中，点P 满足2PC BP =，O 是线段AP 的中点，过点O 的直线与边AB ，AC 分别交于点,E F ．（1）若23AF AC = ，求AEEB 的值；（2）若(0)EB AE λλ=> ，(0)FC AF μμ=>，求111λμ++的最小值．22.已知2()21x x af x +=+是定义在R 上的奇函数．（1）求a 的值，指出()f x 的单调性（单调性无需证明）；（2）若函数2()22xxb g x ⋅=+的图象可以由函数()f x 的图象通过平移得到，求函数()g x 的值域；（3）若存在区间[,]()m n m n <，使得函数()y f x t =+在[,]m n 上的值域为2,2m n⎡⎤⎣⎦，求t 的取值范围．2023—2024学年度上学期期末考试高一试题数学考试时间：120分钟满分：150分第I 卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本题共8小题，每题5分，共40分．每小题只有一个选项符合要求）1.已知集合{}30log 2A x x =≤≤，{}33B x x =-≤，则A B = （）A.[]0,1 B.[]0,9 C.[]1,6D.[]6,9【答案】C 【解析】【分析】首先解对数不等式和绝对值不等式求出集合A 、B ，再根据交集的定义计算可得.【详解】由30log 2x ≤≤，即333log 1log log 9x ≤≤，所以19x ≤≤，所以{}{}30log 219A x x x x =≤≤=≤≤，由33x -≤，即333x -≤-≤，解得06x ≤≤，所以{}{}33|06B x x x x =-≤=≤≤，所以{}16A B x x ⋂=≤≤.故选：C 2.“12a >”是“12a<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件求解即可.【详解】因为112122a a a>⇒>⇒<，而12a <推不出12a >，例如1a =-满足12a <，但12a >不成立，所以“12a >”是“12a<”的充分不必要条件，故选：A3.已知0.643a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，141log 5b =，0.934c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A.b c a >>B.c a b >>C.b a c >>D.a c b>>【答案】C 【解析】【分析】利用指数函数34xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性判断出1a c >>，再利用对数函数14log y x =的单调性判断出1b >即可.【详解】0.60.64334a -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎭=⎝，因为34xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，且00.60.9<<，所以00.60.9333444⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎝>⎭⎝⎭>⎭，即1a c >>；因为14log y x =在(0,+)∞上单调递减，且1145>，所以414111log log 54<，即1b >；因此b a c >>.故选：C.4.袋子中有大小、形状、质地完全相同的4个小球，分别写有“风”、“展”、“红”、“旗”四个字，若有放回地从袋子中任意摸出一个小球，直到写有“红”、“旗”的两个球都摸到就停止摸球.利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，用1，2，3，4分别代表“风”、“展”、“红”、“旗”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：411231324412112443213144331123114142111344312334223122113133由此可以估计，恰好在第三次就停止摸球的概率为（）A.110B.320 C.15D.14【答案】B 【解析】【分析】利用列举法求出恰好在第三次就停止摸球的随机数有3个，再利用古典概型的概率求解.【详解】由题得恰好在第三次就停止摸球的随机数有：324，443，334，共有3个.由古典概型的概率公式得恰好在第三次就停止摸球的概率为320P =.故选：B5.已知(1,2)a =，(3,1)b =- ，若()//(2)kb a a b -+，则k =（）A.1-B.12-C.23-D.13【答案】B 【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示求解即可.【详解】因为(3,)(1,2)(31,2)kb a k k k k -=--=--- ，2(2,4)(3,1)(5,3)a b +=+-=，且()//(2)kb a a b -+ ，所以()()313520k k -⨯---=，即147k =-，解得12k =-.故选：B6.已知函数()2()lg 67f x x x =--在(,)a +∞上单调递增，则a 的取值范围是（）A.[7,)+∞B.[3,)+∞ C.(,3]-∞ D.(,1]-∞-【答案】A 【解析】【分析】根据对数型复合函数的单调性求出()f x 的单调区间，即可求出参数的取值范围.【详解】对于函数()2()lg 67f x x x =--，令2670x x -->，解得7x >或1x <-，所以函数()f x 的定义域为()(),17,∞∞--⋃+，又267y x x =--在(),1-∞-上单调递减，在()7,+∞上单调递增，lg y x =在定义域上单调递增，所以()2()lg 67f x x x =--在(),1-∞-上单调递减，在()7,+∞上单调递增，因为函数()2()lg 67f x x x =--在(,)a +∞上单调递增，所以7a ≥，即a 的取值范围是[7,)+∞.故选：A7.若关于x 的不等式20x px q ++>的解集为(,1)(2,)-∞-⋃+∞，则不等式280x qx x p+->+的解集为（）．A.(4,1)(2,)-+∞B.(2,1)(4,)-+∞ C.(,2)(1,4)-∞- D.(,4)(1,2)-∞- 【答案】B【分析】根据关于x 的不等式{}20x x px q ++<的解集是{}|12x x -<<，利用韦达定理可得1,2=-=-p q ，将不等式等价转化为()()4201x x x -+>-，进而求解.【详解】因为关于x 的不等式20x px q ++>的解集为(,1)(2,)-∞-⋃+∞，所以20x px q ++=的两根是1-或2，由韦达定理可得：1,2=-=-p q ，所以280x qx x p +->+可转化为()()4201x x x -+>-，解得2<<1x -或>4x .所以原不等式的解集为(2,1)(4,)-+∞ ，故选：B.8.已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()++-=f x y f x y f x f y ，(1)1f =，则（）A.(0)0f =B.函数()f x 为奇函数C.(2)1f =-D.函数()f x 既不是奇函数也不是偶函数【答案】C 【解析】【分析】利用赋值法得到()(2)1()f x f x f x +=+-，再令1,0x y ==即可求出()0f ，从而判断A 、B ，在由赋值法判断C 、D.【详解】依题意，()11f =，()()()()++-=f x y f x y f x f y ，令1y =得()(1)(1)()(1)f x f x f x f f x ++-==，所以()(1)(1)f x f x f x +=--，则()(2)1()f x f x f x +=+-，令1,0x y ==，则(1)(1)(1)(0)f f f f +=，所以()02f =，故A 错误；因为()00f ≠，所以()f x 不是奇函数，故B 错误；()()()210121f f f =-=-=-，故C 正确；令0x =可得()()()()()02f y f y f f y f y +-==，所以()()-=f y f y ，所以()f x 为偶函数，故D 错误；二、多项选择题（本题共4小题，每题5分，共20分．全对得5分，漏选得2分，错选不得分）9.《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中O 为正八边形的中心，则下列说法正确的是（）A.AH ED=B.OA EF FO-=C.OA OC +=D.AB 和GD不能构成一组基底【答案】BCD 【解析】【分析】根据正八边形的结构性质及向量的共线、线性运算逐项判断即可得解.【详解】因为正八边形ABCDEFGH 中，DEA HAE ∠=∠，所以//AH DE ，但,AH ED方向不同，所以AH ED =不正确，故A 错误；由OA EF EO EF FO -=-= ，所以OA EF FO -=正确，故B 正确；由正八边形知，π2AOC ∠=，且OA OB = ,根据向量加法法则可知：OA OC +为以,OA OC 为邻边的正方形中以O 为始点的一条对角线所对应的向量，所以OA OC += ，又OA OB = ，OB与以O 为始点的一条对角线所对应的向量共线，所以OA OC +=，故C 正确；在正八边形ABCDEFGH 中，AB FE = ，FE 和GD 平行，所以AB 和GD 共线，故AB 和GD不能构成一组基底，故D 正确.故选：BCD10.已知函数2log ||()2a x m f x x b+=+的图象如图所示，当x n <时，有()0f x >，则下列判断中正确的是（）A.2m =- B.1n = C.0b > D.01a <<【答案】ABC【解析】【分析】根据()f x 的定义域为()()22-∞⋃+∞，，，分情况得到2m =-，判断A 选项；根据()2log 02a n m f n n b +==+，得到1n =，判断B ；再结合1x <时，()0f x >得到0b >，判断C 选项；根据()log 20a f b=，0b >得到1a >，排除D 选项.【详解】由图象可得，()f x 的定义域为()()22-∞⋃+∞，，，所以2x ≠可能是220x b +≠的解，也可能是0x m +≠的解，当2x ≠是220x b +≠的解时，8b =-，此时220x b +≠的解为2x ≠±，跟题意不符；当2x ≠是0x m +≠的解时，2m =-，符合要求，故A 正确；因为2m =-，所以()2log 02a n mf n n b +==+，解得1n =或3n =，因为2n <，所以1n =，故B 正确；当1x <时，()2log 02a x mf x x b +=>+，而21x ->，所以log 2a x -的符号在1x <时不变，则22x b +的符号也不变，所以22x b +只能大于零，即0b >，故C 正确；因为()log 20a f b=，0b >，所以2log 0a >，即1a >，故D 错误.故选：ABC.11.在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下，一定符合没有发生大规模群体感染标志的是（）A.甲地：中位数为2，极差为5B.乙地：总体平均数为2，众数为2C.丙地：总体平均数为1，总体方差大于0D.丁地：总体平均数为2，总体方差为3【答案】AD【解析】【分析】逐个选项分析是否一定满足每天新增疑似病例不超过7人即可.【详解】对A ，因为甲地中位数为2，极差为5，故最大值不会大于257+=，故A 正确；对B ，若乙地过去10日分别为0,0,0,2,2,2,2,2,2,8，则满足总体平均数为2，众数为2，但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故B 错误；对C ，若丙地过去10日分别为0,0,0,0,0,0,0,0,1,9，则满足总体平均数为1，总体方差大于0，但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故C 错误；对D ，利用反证法，若至少有一天疑似病例超过7人，则方差大于()2182 3.6310⨯-=>.与题设矛盾，故连续10天，每天新增疑似病例不超过7人，故D 正确.故选：AD12.如图，对于任意正数u ，()v u v <．记曲线1y x =与直线x u =，x v =，0y =所围成的曲边梯形面积为(,)L u v ，并约定(,)0=L u u 和(,)(,)=-L v u L u v ．已知(1,)ln =L x x ，则以下命题正确的有（）A.()1e ,21ln 2L -=+B.(2,3)(4,6)L L >C.对任意正数k 和1<<u v ，有(,)(,)=L u v L ku kv D.对任意正数k 和1<<u v ，有()(,),k k kL u v L u v=【答案】ACD【解析】【分析】根据新定义中的运算律(,)0=L u u 和(,)(,)=-L v u L u v 及(1,)ln =L x x 逐项计算分析即可得解.【详解】()()()()1111e ,2e ,11,21,e ln 2ln e ln 21ln 2L L L L ----=+=-+=-+=+，故A 正确；()()()()()32,32,11,31,21,3ln 2ln 3ln 2L L L L L =+=-+=-+= ，()()()()()634,64,11,61,41,6ln 6ln 4ln ln 42L L L L L =+=-+=-==，()()2,34,6L L ∴=，故B 错误；对任意正数k 和1<<u v ，因为()()(),1,1,ln ln lnv L u v L u L v v u u=-+=-=，()()(),1,1,ln ln ln v L ku kv L ku L kv kv ku u =-+=-=，所以(,)(,)=L u v L ku kv ，故C 正确；对任意正数k 和1<<u v ，则()()(),1,1,ln ln L u v L u L v v u =-+=-，()()()()(),1,1,ln ln ln ln ,k k k k k k L u v L u L v u v k u v kL u v =-+=-=-=，故()(,),k k kL u v L u v=，故D 正确.故选：ACD 第II 卷（非选择题，共90分）三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分．）13.函数11x y a -=+（1a >且0a ≠）的反函数过定点_________．【答案】()2,1【解析】【分析】根据指数函数的性质及反函数的性质计算得到.【详解】对于函数11x y a -=+（1a >且0a ≠），令10x -=，即1x =，所以012y a =+=，即函数11x y a -=+（1a >且0a ≠）恒过点()1,2，所以函数11x y a -=+（1a >且0a ≠）的反函数恒过点()2,1.故答案为：()2,114.如图所示的茎叶图记录着甲、乙两支篮球是各6名球员某份比赛的得分数据（单位：分）.若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x y +=______.【答案】3【解析】【分析】根据茎叶图进行数据分析，列方程求出x 、y 即可求解.【详解】由题意，甲的中位数为：1220162+=，故乙的中位数1910162y ++=①7+121220203110266x x x ++++++=甲，8+91910252899=66y y x ++++++=乙，因为平均数相同，所以1029966x y ++=②，由①②可得3y =，0x =，所以3x y +=，故答案为：3.15.若函数()21y mx m x m =--+的定义域为R ，则m 的取值范围是______.【答案】1[,)3+∞【解析】【分析】根据函数定义域为R ，转化为不等式2(1)0mx m x m --+≥恒成立，即可得到结论．【详解】函数的定义域为R ，∴不等式2(1)0mx m x m --+≥，对任意x ∈R 恒成立，当0m =时，不等式等价为0x -≥，不恒成立，此时不满足题意．当0m ≠，要使不等式恒成立，则满足()220140m m m >⎧⎪⎨--≤⎪⎩，解得13m ≥，即实数m 的取值范围为1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：1[,).3+∞16.已知函数()()2221,2log 2,2x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩则函数[]3()()2()4F x f f x f x =-+有_________个零点．【答案】4【解析】【分析】令()t f x =，由()0F x =可得，3()204f t t -+=，转化为数形结合，判断图象交点个数，即可得解.【详解】令()t f x =，由()0F x =可得，3()204f t t -+=，作()y f t =与324y t =-的图象，如图，由图象知有两个交点，分别设横坐标为12,t t ，则120,(2,3)t t =∈，由1()0f x t ==可知2x =或3x =，有两个根，由2()(2,3)f x t =∈，显然有两个根，综上，[]3()()2()04F x ff x f x =-+=有4个根，即()F x 有4个零点.故答案为：4四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知幂函数()22()1m f x m m x+=-+，（1）求m 的值；（2）若_________写出函数()f x 的单调区间（不需证明单调性），并利用()f x 的单调性解不等式(1)(3)f x f x +>-．①函数()f x 为奇函数；②函数()f x 为偶函数，从这两个条件中任选一个填入横线．【答案】（1）0m =或1m =（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据函数为幂函数可知系数为1，解方程即可得解；（2）选①，根据奇函数确定函数解析式，根据单调性可得不等式求解即可，选②根据偶函数确定m ，由解析式确定单调性，结合偶函数的性质转化为代数不等式求解.【小问1详解】因为()f x 为幂函数，所以211m m -+=，解得0m =或1m =.【小问2详解】选①，若函数()f x 为奇函数，则1m =，即函数3()f x x =，此时函数()f x 单调递增区间为(,)-∞+∞，所以13x x +>-，解得1x >，即不等式的解集为{}1x x >．选②，若函数()f x 为偶函数，则0m =，即函数2()f x x =，此时函数()f x 单调递减区间为(,0)-∞，单调递增区间为(0,)+∞，由偶函数性质可知(1)(3)f x f x +>-，由单调性可知|1||3|x x +>-，即222169x x x x ++>-+，解得1x >，即不等式的解集为{}1x x >．18.碳14是碳的一种具有放射性的同位素，它常用于确定生物体的死亡年代，即放射性碳定年法．在活的生物体内碳14的含量与自然界中碳14的含量一样且保持稳定，一旦生物死亡，碳14摄入停止，生物体内的碳14会按指数函数的规律衰减，大约经过5730年衰减为原来的一半，通过测定生物遗体内碳14的含量就可以测定该生物的死亡年代．设生物体内的碳14的含量为P ，死亡年数为t ．（1）试将P 表示为t 的函数；（2）不久前，科学家发现一块生物化石上的碳14的含量为自然界中碳14的含量的20%，请推算该生物死亡的年代距今多少年？（参考数据：lg 20.3≈）【答案】（1）57301(0)2tP t ⎛⎫=> ⎪⎝⎭（2）13370年【解析】【分析】（1）设出函数解析式t P a =，代入所给数据，求出a 得解；（2）利用函数解析式，根据题意建立方程求解即可.【小问1详解】已知碳14含量与死亡年数成指数函数关系，设t P a =，由经过5730年衰减为原来的一半，可得573012a =，所以1573012a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故碳14的含量P 与死亡年数t 的函数关系式为57301(0)2tP t ⎛⎫=> ⎪⎝⎭；【小问2详解】由已知57301202100t⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以1220lg 20lg 20lg1001lg 27100log 15730100lg 2lg 23lg 2t --====≈-，即13370t ≈，所以推算该生物死亡的年代距今13370年．19.辽宁省数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[]90,100，并绘制成如图所示的频率分布直方图．（1）补全频率分布直方图，若只有30%的人能进决赛，入围分数应设为多少分（保留两位小数）；（2）采用分层随机抽样的方法从成绩为[80,100]的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取2名学生进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90的概率；（3）进入决赛的同学需要再经过考试才能参加冬令营活动．考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考2门学科，每科笔试成绩从高到低依次有A +，A ，B ，C ，D 五个等级．若两科笔试成绩均为A +，则直接参加；若一科笔试成绩为A +，另一科笔试成绩不低于B ，则要参加第二轮面试，面试通过也将参加，否则均不能参加．现有甲、乙二人报名参加，二人互不影响．甲在每科笔试中取得A +，A ，B ，C ，D 的概率分别为25，16，112，15，320；乙在每科笔试中取得A +，A ，B ，C ，D 的概率分别为14，15，25，110，120；甲、乙在面试中通过的概率分别为15，516．求甲、乙能同时参加冬令营的概率．【答案】（1）作图见解析，76.25分；（2）35；（3）132.【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求解即可；（2）根据古典概型的概率计算公式求解即可；（3）根据独立事件的乘法公式求解即可.【小问1详解】由频率分布直方图可知[70,80)的频率为1(0.0150.0300.0100.005)100.40-+++⨯=，所以[70,80)组的纵轴为0.40100.040÷=，所以频率分布直方图如下所示：又(0.0100.005)100.150.3+⨯=<，0.4(0.0100.005)100.550.3++⨯=>，所以第70%分位数位于[70,80)，且0.40.15107076.250.4-⨯+=，所以入围分数应设为76.25分.【小问2详解】依题意从[80,90)抽取0.01640.010.005´=+人，标记为1,2,3,4；从[90,100]抽取0.005620.010.005´=+，标记为a ，b ；从6人中随机选2人其样本空间可记为()()()()()()()()(){()()()()()()}Ω1,21,31,41,1,2,32,42,2,3,43,3,4,4,,a b a b a b a b a b =，共包含15个样本点，即有15种选法．设事件A =“至少有1名学生成绩不低于90”，则其中2人都是[80,90)的样本空间可记为{}(1,2)(1,3)(1,4)(2,3)(2,4)(3,4)A =，共包含6个样本点，即有6种选法．则63()1()1155P A P A =-=-=；所以至少有1名学生成绩不低于90的概率为35.【小问3详解】依题意甲能参加冬令营的概率2221111255561255P ⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭甲，乙能参加冬令营的概率11112552444551632P ⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭乙，二人互不影响，所以甲、乙、丙能同时参加冬令营的概率15153232P P P ==⨯=甲乙．20.已知函数2()log ()f x x a =+．（1）当2a =时，解不等式：2()2log f x x >；（2）当0a >时，记1()(4)2g x f x =，若对任意的(0,2)x ∈，函数()y f x =的图像总在函数()y g x =的图像的下方，求正数a 的取值范围．【答案】（1）(0,2)（2）(0,1]【解析】【分析】（1）依题意可得22log (2)2log x x +>，根据对数函数的单调性得到22002x x x x +>⎧⎪>⎨⎪+>⎩，解得即可；（2）依题意可得()()f x g x <在(0,2)x ∈上恒成立，整理得222(2)0x a x a a +-+-<在(0,2)x ∈上恒成立，设22()2(2)0m x x a x a a =+-+-<，(0,2)x ∈，则(0)0(2)0m m ≤⎧⎨≤⎩，即可求出参数的取值范围.【小问1详解】由2()2log f x x >，2a =，得22log (2)2log x x +>，即222log (2)log x x +>，所以22002x x x x +>⎧⎪>⎨⎪+>⎩，解得02x <<，即不等式的解集为(0,2)．【小问2详解】因为211()(4)log (4)(0)22g x f x x a a ==+>，对任意的(0,2)x ∈，函数()y f x =的图像总在函数()y g x =图像的下方，则()()f x g x <在(0,2)x ∈上恒成立，即221log ()log (4)(0)2x a x a a +<+>在(0,2)x ∈上恒成立，即222log ()log (4)x a x a +<+在(0,2)x ∈上恒成立，即222log ()log (4)x a x a +<+，2()4x a x a +<+在(0,2)x ∈上恒成立，整理得222(2)0x a x a a +-+-<在(0,2)x ∈上恒成立，设22()2(2)0m x x a x a a =+-+-<，(0,2)x ∈，则只需要22(0)0(2)340m a a m a a ⎧=-≤⎨=+-≤⎩即可，可得01a ≤≤，又因为0a >，所以01a <≤，所以正数a 的范围为(0,1]．21.如图，在ABC 中，点P 满足2PC BP =，O 是线段AP 的中点，过点O 的直线与边AB ，AC 分别交于点,E F．（1）若23AF AC = ，求AE EB 的值；（2）若(0)EB AE λλ=> ，(0)FC AF μμ=> ，求111λμ++的最小值．【答案】（1）45AE EB =（2）34+【解析】【分析】（1）由题意根据向量的线性运算法则得到2133AP AB AC =+uu u r uu u r uuu r ，134x AO AE AF =+ ，再根据,,E O F 三点共线，求得94x =即可求解.（2）根据题意得到(1)AB AE λ=+ ，(1)AC AF μ=+ ，结合,,E O F 三点共线得到23λμ+=，利用基本不等式“1”的妙用即可求解.【小问1详解】因为2PC BP =，所以1121()3333AP AB BP AB BC AB BA AC AB =+=+=++=+ ，因为O 是线段AP 的中点，所以111236AO AP AB AC ==+ ，又因为23AF AC = ，设AB xAE = ，则有134x AO AE AF =+ ，因为,,E O F 三点共线，所以1134x +=，解得94x =，即49AE AB =，所以45AE EB =．【小问2详解】因为(1)AB AE EB AE AE AE λλ=+=+=+ ，()1AC AF FC AF AF AF μμ=+=+=+ ，由（1）可知，111236AO AP AB AC ==+ ，所以1136AO AE AF λμ++=+ ，因为,,E O F 三点共线，所以11136λμ+++=，即23λμ+=，所以1111113(21)314144λμλμλμ⎛⎛⎫++=+⋅++≥+= ⎪ ++⎝⎭⎝，当且仅当1μ+=，即4λ=-5μ=-时取等号，所以111λμ++的最小值为34+．22.已知2()21x x a f x +=+是定义在R 上的奇函数．（1）求a 的值，指出()f x 的单调性（单调性无需证明）；（2）若函数2()22xx b g x ⋅=+的图象可以由函数()f x 的图象通过平移得到，求函数()g x 的值域；（3）若存在区间[,]()m n m n <，使得函数()y f x t =+在[,]m n 上的值域为2,2m n ⎡⎤⎣⎦，求t 的取值范围．【答案】（1）1a =-，()f x 在R 上单调递增，（2）(0,2)（3）()2,1【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义求参数a 的值，根据复合函数的单调性判断()f x 的单调性；（2）根据函数平移的性质求得参数b 的值，再求函数()g x 的值域；（3）根据函数单调性结合题意将问题转化为关于x 的方程210x tx t --+=有两个不相等的正实根，然后利用一元二次方程根的分布求解即可.【小问1详解】因为2()21x x a f x +=+是定义在R 上的奇函数，所以()()0f x f x -+=，即2202121x x x x a a --+++=++，所以()()222021221x x x x x x a a --+++=++，即12201221x x x x a a +⋅++=++，所以1220x x a a +⋅++=，整理得()()1212x xa +=-+，得1a =-，所以212122()1212121x x x x x f x +--===-+++，所以()f x 在R 上单调递增；【小问2详解】由（1）得2()121x f x =-+，()111112122()22212121x x x x x x x b b b b b g x b -----+-⋅⋅====-++++，因为函数2()22xx b g x ⋅=+的图象可以由函数()f x 的图象通过平移得到，所以2b =，所以12()221x g x -=-+，因为120x ->，所以1211x -+>，所以122021x --<-<+，所以1202221x -<-<+，所以函数()g x 的值域为(0,2)；【小问3详解】由（1）得212()12121x x x y f x t t t -=+=+=+-++，令2()121x h x t =+-+，则2()121x h x t =+-+在R 上递增，因为函数()y f x t =+在[,]m n 上的值域为2,2m n ⎡⎤⎣⎦，所以2()12212()1221m m n n h m t h n t ⎧=+-=⎪⎪+⎨⎪=+-=⎪+⎩，所以()()2222102210m m n n t t t t ⎧-⋅-+=⎪⎨⎪-⋅-+=⎩，因为022m n <<，所以关于x 的方程210x tx t --+=有两个不相等的正实根，所以2Δ4(1)0010t t t t ⎧=-->⎪>⎨⎪->⎩，解得21t <<，即t的取值范围为()2,1．【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性、函数图象平移的综合问题，第（3）问解题的关键就是利用转化的数学思想将问题转化为一元二次方程有两个不相等的正实根，然后利用根的分布求解.。

辽宁省大连市高一数学上学期期末试卷(含解析)

辽宁省大连市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知点A（﹣3，1，5）与点B（0，2，3），则A，B之间的距离为（）A．B．2C．D．2．（5分）集合A={（x，y）|y=ax+1}，B={（x，y）|y=x+3}，且A∩B={（2，5）}，则（）A．a=3 B．a=2 C．a=﹣3 D．a=﹣23．（5分）a，b，c为空间中三条直线，若a⊥b，b⊥c，则直线a，c的关系是（）A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能4．（5分）直线ax+by+c=0经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足（）A．ab＞0，bc＞0 B．ab＞0，bc＜0 C．ab＜0，bc＞0 D．ab＜0，bc＜05．（5分）两条平行线l1：3x﹣4y﹣1=0与l2：6x﹣8y﹣7=0间的距离为（）A．B．C．D．16．（5分）若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）A．B．C．D．7．（5分）若a=20.5，b=logπ3，c=log20.3，则（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞b＞c8．（5分）若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（）A．B．C．2+D．1+9．（5分）已知圆C：x2+y2=10，过点P（1，3）作圆C的切线，则切线方程为（）A．x+3y﹣10=0 B．x﹣3y+8=0 C．3x+y﹣6=0 D．3x﹣y+10=010．（5分）如图所示，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1﹣ABC1的体积为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）=3﹣2|x|，g（x）=x2，构造函数F（x）=，那么函数y=F（x）（）A．有最大值1，最小值﹣1 B．有最小值﹣1，无最大值C．有最大值1，无最小值D．有最大值3，最小值112．（5分）若半径均为2的四个球，每个球都与其他三个球外切，另有一个小球与这四个球都外切，则这个小球的半径为（）A．B．﹣2 C．﹣3 D．2﹣2二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷卡的相应位置上）13．（5分）计算（lg2）2+lg20•lg5=．14．（5分）一个几何体的三视图如图所示，俯视图为等边三角形，若其体积为8，则a=．15．（5分）已知两圆相交于两点（1，3）和（m，1），且两圆的圆心都在直线上，则m+c的值是．16．（5分）过点（2，3）且与圆（x﹣1）2+y2=1相切的直线方程．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）如图，平面α⊥平面β，在α与β的交线l上取线段AB=4，AC、BD分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线l，并且AC=3，BD=12，求CD的长．18．（12分）设，其中a为常数；（1）f（x）为奇函数，试确定a的值；（2）若不等式f（x）+a＞0恒成立，求实数a的取值范围．19．（12分）圆C过点A（6，0），B（1，5），且圆心在直线l：2x﹣7y+8=0上．（1）求圆C的方程；（2）P为圆C上的任意一点，定点Q（8，0），求线段PQ中点M的轨迹方程．20．（12分）如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，对角线AC，BD相交于点O，将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，DM=3．求证：（1）OM∥平面ABD；（2）平面ABC⊥平面MDO．21．（12分）已知函数f（x）=log4（ax2+2x+3）（1）若f（1）=1，求f（x）的单调区间；（2）是否存在实数a，使f（x）的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．（1）求以点A为圆心，以为半径的圆与直线l相交所得弦长；（2）设圆C的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．辽宁省大连市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知点A（﹣3，1，5）与点B（0，2，3），则A，B之间的距离为（）A．B．2C．D．考点：空间两点间的距离公式．专题：直线与圆．分析：根据空间两点间的距离公式进行计算即可．解答：解：∵A（﹣3，1，5），B（0，2，3），∴|AB|===，故选：C点评：本题主要考查空间两点间的距离的计算，比较基础．2．（5分）集合A={（x，y）|y=ax+1}，B={（x，y）|y=x+3}，且A∩B={（2，5）}，则（）A．a=3 B．a=2 C．a=﹣3 D．a=﹣2考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据A，B，以及两集合的交集，确定出a的值即可．解答：解：联立得：，把x=2，y=5代入得：5=2a+1，解得：a=2，故选：B．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（5分）a，b，c为空间中三条直线，若a⊥b，b⊥c，则直线a，c的关系是（）A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：根据空间直线垂直的位置关系进行判断即可．解答：解：如图满足a⊥b，b⊥c，则a，c的关系可能平行，可能相交，可能异面，故选D．点评：本题主要考查空间直线的位置关系的判断，比较基础．4．（5分）直线ax+by+c=0经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足（）A．ab＞0，bc＞0 B．ab＞0，bc＜0 C．ab＜0，bc＞0 D．ab＜0，bc＜0考点：直线的一般式方程．专题：直线与圆．分析：直线ax+by+c=0化为：，利用斜率与截距的意义即可得出．解答：解：直线ax+by+c=0化为：，∵直线ax+by+c=0经过第一、第二、第四象限，∴，＜0，∴ab＞0，bc＜0．故选：B．点评：本题考查了直线斜率与截距的意义，属于基础题．5．（5分）两条平行线l1：3x﹣4y﹣1=0与l2：6x﹣8y﹣7=0间的距离为（）A．B．C．D．1考点：两条平行直线间的距离．专题：直线与圆．分析：把两直线的方程中x、y的系数化为相同的，然后利用两平行线间的距离公式，求得结果．解答：解：两条平行线l1：3x﹣4y﹣1=0，即6x﹣8y﹣2=0，与它平行的直线l2：6x﹣8y﹣7=0，故它们之间的距离为 d==，故选A．点评：本题主要考查两平行线间的距离公式的应用，要注意先把两直线的方程中x、y的系数化为相同的，然后才能用两平行线间的距离公式，属于中档题．6．（5分）若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）A．B．C．D．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：设侧面展开正方形边长为a，可得底面半径r满足：2πr=a，得r=，从而算出底面圆面积S底=，由此加以计算即可算出这个圆柱的全面积与侧面积的比．解答：解：∵圆柱的侧面展开图是一个正方形，∴设正方形的边长为a，可得圆柱的母线长为a，底面周长也等于a底面半径r满足：2πr=a，得r=，因此，该圆柱的底面圆面积为S底=πr2=，圆柱的全面积与侧面积的比为=，点评：本题给出侧面展开为正方形的圆柱，求全面积与侧面积之比．着重考查了圆柱的侧面展开和圆的周长、面积公式等知识，属于基础题．7．（5分）若a=20.5，b=logπ3，c=log20.3，则（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞b＞c考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数函数与指数函数的单调性即可得出．解答：解：∵a=20.5＞1，1＞b=logπ3＞0，c=log20.3＜0，∴a＞b＞c．故选：D．点评：本题考查了对数函数与指数函数的单调性，属于基础题．8．（5分）若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（）A．B．C．2+D．1+考点：斜二测法画直观图．专题：空间位置关系与距离．分析：水平放置的图形为直角梯形，求出上底，高，下底，利用梯形面积公式求解即可．解答：解：水平放置的图形为一直角梯形，由题意可知上底为1，高为2，下底为1+，S=（1++1）×2=2+．故选：C点评：本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法，也可利用原图和直观图的面积关系求解．属基础知识的考查．9．（5分）已知圆C：x2+y2=10，过点P（1，3）作圆C的切线，则切线方程为（）A．x+3y﹣10=0 B．x﹣3y+8=0 C．3x+y﹣6=0 D．3x﹣y+10=0考点：圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：判断出P在圆上即P为切点，根据圆的切线垂直于过切点的直径，由圆心和P的坐标求出CP确定直线方程的斜率，根据两直线垂直时斜率乘积为﹣1，求出切线的斜率，根据P 坐标和求出的斜率写出切线方程即可．解答：解：由点P（1，3），圆x2+y2=10，得到P在圆上，则过P作圆的切线与CP所在的直线垂直，因为CP所在直线的斜率为3，所以切线的斜率为﹣，则切线方程为：y﹣3=﹣（x﹣1）即x+3y﹣10=0．点评：此题考查学生掌握点与圆的位置关系及直线与圆的位置关系，掌握两直线垂直时斜率所满足的关系，会根据一点的坐标和直线的斜率写出直线的方程，是一道综合题．10．（5分）如图所示，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1﹣ABC1的体积为（）A．B．C．D．考点：直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据题意，三棱柱ABC﹣A1B1C1是棱长均为1的正三棱柱，算出它的体积V=．再根据锥体的体积公式得三棱锥A﹣A1B1C1、三棱锥C1﹣ABC的体积都等于三棱柱ABC﹣A1B1C1体积的，由此用三棱柱ABC﹣A1B1C1体积减去两个三棱锥的体积，即可算出三棱锥B1﹣ABC1的体积．解答：解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为1，∴底面△ABC为正三角形，面积S△ABC==又∵AA1⊥底面AB C，AA1=1∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=S△ABC•AA1=∵三棱锥A﹣A1B1C1、三棱锥C1﹣ABC与三棱柱ABC﹣A1B1C1等底等高∴V=V=V=由此可得三棱锥B1﹣ABC1的体积V=V﹣V﹣V=故选：A点评：本题给出棱长均为1的正三棱柱，求其中的三棱锥B1﹣ABC1体积．着重考查了正三棱柱的性质、柱体和锥体的体积公式等知识，属于中档题．11．（5分）已知函数f（x）=3﹣2|x|，g（x）=x2，构造函数F（x）=，那么函数y=F（x）（）A．有最大值1，最小值﹣1 B．有最小值﹣1，无最大值C．有最大值1，无最小值D．有最大值3，最小值1考点：函数的最值及其几何意义．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：由g（x）﹣f（x）=x2﹣3+2|x|≥0得|x|≥1，从而可得F（x）=，作函数图象求解．解答：解：由g（x）﹣f（x）=x2﹣3+2|x|≥0得，|x|≥1；故F（x）=；故作F（x）=的图象如下，故有最大值1，没有最小值．故选C．点评：本题考查了函数的图象的应用，属于中档题．12．（5分）若半径均为2的四个球，每个球都与其他三个球外切，另有一个小球与这四个球都外切，则这个小球的半径为（）A．B．﹣2 C．﹣3 D．2﹣2考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离；球．分析：将这四个球的球心连接成一个正四面体，并根据四球外切，得到四面体的棱长为2，求出外接球半径，由于这四个球之间有一个小球和这四个球都外切，则小球的球心与四面体外接球球心重合，进而再由小球与其它四球外切，球心距（即正四面体外接球半径）等于大球半径与小球半径之和，得到答案．解答：解：连接四个球的球心，得到一个棱长为4的正四面体，可将该正四面体补成一个正方体，设正方体的边长为a，则有4=a，由正方体的对角线长即为球的直径，可得a=2r，则该正四面体的外接球半径为，若这四个球之间有一个小球和这四个球都外切，则小球的球心与四面体的外接球球心重合，因为由小球与其它四球外切，所以球心距（即正四面体外接球半径）等于大球半径与小球半径之和，所以小球的半径为﹣2．故选B．点评：本题考查棱锥的结构特征，球的结构特征，其中根据已知条件求出四个半径为2的球球心连接后所形成的正四面体的棱长及外接球半径的长是解答本题的关键．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷卡的相应位置上）13．（5分）计算（lg2）2+lg20•lg5=1．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数的运算法则、lg2+lg5=1即可得出．解答：解：原式=（lg2）2+（lg2+1）•lg5=lg2（lg2+lg5）+lg5=lg2+lg5=1．故答案为：1．点评：本题考查了对数的运算法则、lg2+lg5=1，属于基础题．14．（5分）一个几何体的三视图如图所示，俯视图为等边三角形，若其体积为8，则a=2．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知：该几何体为正三棱柱，底面正三角形的边上的高为2，棱柱的高为a，即可得出该几何体的体积．解答：解：由三视图可知：该几何体为正三棱柱，底面正三角形的边上的高为2，棱柱的高为a，∴底面正三角形的边长=4，∴该正三棱柱的体积V==，解得a=2．故答案为：2．点评：本题主要考查了正三棱柱的三视图及其体积计算公式、等边三角形的边角关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、化归与转化能力，属于中档题．15．（5分）已知两圆相交于两点（1，3）和（m，1），且两圆的圆心都在直线上，则m+c的值是3．考点：相交弦所在直线的方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：计算题．分析：两圆的公共弦的方程与两圆连心线垂直，求出公共弦的方程，然后求出m，利用中点在连心线上，求出c，即可求出结果．解答：解：已知两圆相交于两点（1，3）和（m，1），且两圆的圆心都在直线上，所以公共弦方程为：y﹣3=﹣1（x﹣1），所以x+y﹣4=0，因为（m，1）在公共弦上，m=3；中点在连心线上，即（2，2）在连心线上，所以c=0，所以m+c=3；故答案为：3．点评：本题是基础题，考查两圆的位置关系，公共弦的方程与连心线方程的关系，考查计算能力，逻辑推理能力．16．（5分）过点（2，3）且与圆（x﹣1）2+y2=1相切的直线方程4x﹣3y+1=0或 x=2．考点：圆的切线方程．专题：计算题；分类讨论．分析：当切线的斜率不存在时，写出切线的方程；当切线的斜率存在时，设出切线的方程，由圆心到切线的距离等于半径求出斜率，从而得到切线的方程．解答：解：当切线的斜率不存在时，切线的方程为 x=2，当切线的斜率存在时，设切线的斜率为 k，则切线的方程为 y﹣3=k（x﹣2），即 kx﹣y+3﹣2k=0，由圆心（1，0）到切线的距离等于半径得∴k=，此切线的方程 4x﹣3y+1=0，综上，圆的切线方程为 x=2或4x﹣3y+1=0，故答案为：x=2或4x﹣3y+1=0．点评：本题考查求圆的切线方程的方法，点到直线的距离公式的应用，体现了分类讨论的数学思想．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）如图，平面α⊥平面β，在α与β的交线l上取线段AB=4，AC、BD分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线l，并且AC=3，BD=12，求CD的长．考点：与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：连接BC．由AC⊥l，利用勾股定理可得BC=．利用面面垂直与线面垂直的判定及其性质定理可得BD⊥BC．再利用勾股定理可得CD=，即可得出．解答：解连接BC．∵AC⊥l，∴BC===5．又∵BD⊥l，α⊥β，α∩β=l，∴BD⊥α．又∵BC⊂α，∴BD⊥BC．∴CD===13．∴CD长为13cm．点评：本题考查了面面垂直与线面垂直的判定及其性质定理、勾股定理，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）设，其中a为常数；（1）f（x）为奇函数，试确定a的值；（2）若不等式f（x）+a＞0恒成立，求实数a的取值范围．考点：函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）由奇函数定义可得f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，由此可得a值；（2）f（x）+a＞0恒成立，可化为2a＞恒成立，等价于2a＞（）max，利用基本函数的性质可求得（）max；解答：解：（1）∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即a﹣=﹣a+，∴2a=+=+=2，∴a=1；（2）f（x）+a＞0恒成立，即a﹣+a＞0，2a＞恒成立，等价于2a＞（）max，而2x＞0，2x+1＞1，∴0＜＜2，故2a≥2，解得a≥1，故实数a的取值范围可得函数f（x）=log4（﹣x2+2x+3）∵真数为﹣x2+2x+3＞0⇒﹣1＜x＜3∴函数定义域为（﹣1，3）令t=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4可得：当x∈（﹣1，1）时，t为关于x的增函数；当x∈（1，3）时，t为关于x的减函数．∵底数为4＞1∴函数f（x）=log4（﹣x2+2x+3）的单调增区间为（﹣1，1），单调减区间为（1，3）（2）设存在实数a，使f（x）的最小值为0，由于底数为4＞1，可得真数t=ax2+2x+3≥1恒成立，且真数t的最小值恰好是1，即a为正数，且当x=﹣=﹣时，t值为1．∴⇒⇒a=因此存在实数a=，使f（x）的最小值为0．点评：本题借助于一个对数型函数，求单调性与最值的问题，着重考查了函数的单调性与值域和二次函数的图象与性质等知识点，属于中档题．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．（1）求以点A为圆心，以为半径的圆与直线l相交所得弦长；（2）设圆C的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．考点：直线和圆的方程的应用．专题：直线与圆．分析：（1）设直线l：y=2x﹣4与圆A相交的弦为线段BC，求出圆心到直线l的距离，利用垂径定理求解即可．（2）设圆C的方程为（x﹣a）2+2=1．设点M（x，y），通过|MA|=2|MO|，化简，利用点M（x，y）在圆C上，推出|2﹣1|≤|CD|≤2+1，求解即可．解答：解：（1）设直线l：y=2x﹣4与圆A相交的弦为线段BC则圆心到直线l的距离．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）由题意知，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）因为圆心在直线y=2x﹣4上，所以圆C的方程为（x﹣a）2+2=1．设点M（x，y），因为|MA|=2|MO|，所以，化简得x2+y2+2y﹣3=0，即x2+（y+1）2=4，所以点M在以D（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆上．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）由题意，点M（x，y）在圆C上，所以M 是圆C与圆D的公共点，则|2﹣1|≤|CD|≤2+1，所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）即得所以点C的横坐标a的取值范围为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题考查圆的方程的应用，直线与圆的位置关系，考查分析问题解决问题的能力．。

2019-2020年辽宁省大连市高一上册期末数学试卷(有答案)

辽宁省大连市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A={﹣1，0}，B={0，1，2}，则A∪B=（）A．{0}B．{﹣1，0}C．{1，2}D．{﹣1，0，1，2}2．（5分）在空间直角坐标系中，点P（3，﹣2，1）关于轴的对称点坐标为（）A．（3，2，﹣1）B．（﹣3，﹣2，1） C．（﹣3，2，﹣1） D．（3，2，1）3．（5分）若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥βC．若m⊥β，m∥α，则α⊥βD．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ4．（5分）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A．（2+）πB．4πC．（2+2）πD．6π5．（5分）设f（）=3+3﹣8，用二分法求方程3+3﹣8=0在∈（1，2）内近似解的过程中得f （1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（）A．（1，1.25） B．（1.25，1.5）C．（1.5，2）D．不能确定6．（5分）过点（0，3）且与直线2+y﹣5=0垂直的直线方程为（）A．2+y﹣3=0 B．+2y﹣6=0 C．﹣2y+6=0 D．2﹣y+3=07．（5分）函数y=﹣的图象大致为（）A．B． C．D．8．（5分）已知圆：C1：（+1）2+（y﹣1）2=1，圆C2与圆C1关于直线﹣y﹣1=0对称，则圆C2的方程为（）A．（﹣2）2+（y﹣2）2=1 B．（+2）2+（y+2）2=1 C．（+2）2+（y﹣2）2=1 D．（﹣2）2+（y+2）2=19．（5分）已知梯形ABCD是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图A′B′C′D′（如图所示），其中A′D′=2，B′C′=4，A′B′=1，则直角梯形DC边的长度是（）A． B．C．D．10．（5分）已知a=log23，b=20.5，，则a，b，c从大到小的顺序为（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．c＞a＞b11．（5分）对于每个实数，设f（）取，y=|﹣2|两个函数中的较小值．若动直线y=m 与函数y=f（）的图象有三个不同的交点，它们的横坐标分别为1、2、3，则1+2+3的取值范围是（）A．（2，）B．（2，）C．（4，）D．（0，）12．（5分）已知两点A（0，0），B（2，2）到直线l的距离分别为1和2，这样的直线l条数为（）A．1条B．2条 C．3条 D．4条二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷卡的相应位置上）13．（5分）已知正四棱锥的底面边长为4cm，高与侧棱夹角为45°，则其斜高长为（cm）．14．（5分）已知圆C：2+y2=9，过点P（3，1）作圆C的切线，则切线方程为．15．（5分）若函数f（）=lg（2+a﹣a﹣1）在区间[2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是．16．（5分）已知正三棱柱的棱长均为2，则其外接球体积为．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．17．（10分）已知函数f（）=．（I）求f（0），f（1）；（II）求f（）值域．18．（12分）△ABC三个顶点坐标为A（0，1），B（0，﹣1），C（﹣2，1）．（I）求AC边中线所在直线方程；（II）求△ABC的外接圆方程．19．（12分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点．求证：（1）C1O∥面AB1D1；（2）A1C⊥面AB1D1．20．（12分）如图，有一个正三棱锥的零件，P是侧面ACD上的一点．过点P作一个与棱AB 垂直的截面，怎样画法？并说明理由．21．（12分）已知函数f（）=．（Ⅰ）证明：f（）为奇函数；（Ⅱ）判断f（）单调性并证明；（III）不等式f（﹣t）+f（2﹣t2）≥0对于∈[1，2]恒成立，求实数t的取值范围．22．（12分）平面内有两个定点A（1，0），B（1，﹣2），设点P到A、B的距离分别为d1，d2，且=（I）求点P的轨迹C的方程；（II）是否存在过点A的直线l与轨迹C相交于E、F两点，满足（O为坐标原点）．若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．辽宁省大连市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A={﹣1，0}，B={0，1，2}，则A∪B=（）A．{0}B．{﹣1，0}C．{1，2}D．{﹣1，0，1，2}【解答】解：∵A={﹣1，0}，B={0，1，2}，∴A∪B={﹣1，0，1，2}，故选：D．2．（5分）在空间直角坐标系中，点P（3，﹣2，1）关于轴的对称点坐标为（）A．（3，2，﹣1）B．（﹣3，﹣2，1） C．（﹣3，2，﹣1） D．（3，2，1）【解答】解：∵在空间直角坐标系中，点（，y，）关于轴的对称点的坐标为：（，﹣y，﹣），∴点P（3，﹣2，1）关于轴的对称点的坐标为：（3，2，﹣1）．故选：A3．（5分）若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥βC．若m⊥β，m∥α，则α⊥βD．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ【解答】解：对于A，m⊂β，α⊥β，则m与α的关系有三种，即m∥α、m⊂α或m与α相交，选项A错误；对于B，α∩γ=m，β∩γ=n，若m∥n，则α∥β或α与β相交，选项B错误；对于C，m⊥β，m∥α，则α内存在与m平行的直线与β垂直，则α⊥β，选项C正确；对于D，α⊥γ，α⊥β，则β与γ可能平行，也可能相交，选项D错误．故选：C．4．（5分）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A．（2+）πB．4πC．（2+2）πD．6π【解答】解：由已知的三视图可得：该几何体是一个半球与一个圆锥组合而成的几何体，半球的半径为1，故半球面面积为：2π，圆锥的底面半径为1，高为2，故母线长为，故圆锥的侧面积为：π，故组合体的表面积是：（2+）π，故选：A5．（5分）设f（）=3+3﹣8，用二分法求方程3+3﹣8=0在∈（1，2）内近似解的过程中得f （1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（）A．（1，1.25） B．（1.25，1.5）C．（1.5，2）D．不能确定【解答】解析：∵f（1.5）•f（1.25）＜0，由零点存在定理，得，∴方程的根落在区间（1.25，1.5）．故选B．6．（5分）过点（0，3）且与直线2+y﹣5=0垂直的直线方程为（）A．2+y﹣3=0 B．+2y﹣6=0 C．﹣2y+6=0 D．2﹣y+3=0【解答】解：设与直线2+y﹣5=0垂直的直线方程为﹣2y+c=0，把点（0，3）代入，得0﹣6+c=0，解得c=6，∴过点（0，3）且与直线2+y﹣5=0垂直的直线方程是﹣2y+6=0．故选C．7．（5分）函数y=﹣的图象大致为（）A．B． C．D．【解答】解：令y=f（）=﹣，∵f（﹣）=﹣+=﹣（﹣）=﹣f（），∴y=f（）=﹣为奇函数，∴其图象关于原点成中心对称，故可排除C，D；又=1时，y=1﹣1=0，当＞1时，不妨令=8，y=8﹣8=6＞0，可排除B，故选A．8．（5分）已知圆：C1：（+1）2+（y﹣1）2=1，圆C2与圆C1关于直线﹣y﹣1=0对称，则圆C2的方程为（）A．（﹣2）2+（y﹣2）2=1 B．（+2）2+（y+2）2=1 C．（+2）2+（y﹣2）2=1 D．（﹣2）2+（y+2）2=1【解答】解：在圆C2上任取一点（，y），则此点关于直线﹣y﹣1=0的对称点（y+1，﹣1）在圆C1：（+1）2+（y﹣1）2=1上，∴有（y+1+1）2+（﹣1﹣1）2=1，即（﹣2）2+（y+2）2=1，∴答案为（﹣2）2+（y+2）2=1．故选：D．9．（5分）已知梯形ABCD是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图A′B′C′D′（如图所示），其中A′D′=2，B′C′=4，A′B′=1，则直角梯形DC边的长度是（）A． B．C．D．【解答】解：由已知作出梯形ABCD是直角梯形，如右图：∵按照斜二测画法画出它的直观图A′B′C′D′，A′D′=2，B′C′=4，A′B′=1，∴直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD=A′D′=2，BC=B′C′=4，AB=2A′B′=2，过D作DE⊥BC，交BC于E，则DE=AB=2，EC=BC﹣AD=4﹣2=2，∴直角梯形DC边的长度为：=2．故选：B．10．（5分）已知a=log23，b=20.5，，则a，b，c从大到小的顺序为（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．c＞a＞b【解答】解：∵a=log23==＜=c，=＞b=20.5，∴c＞a＞b．故选：D．11．（5分）对于每个实数，设f（）取，y=|﹣2|两个函数中的较小值．若动直线y=m 与函数y=f（）的图象有三个不同的交点，它们的横坐标分别为1、2、3，则1+2+3的取值范围是（）A．（2，）B．（2，）C．（4，）D．（0，）【解答】解：由2=|﹣2|，平方得4=2﹣4+4，即2﹣8+4=0，解得=4+2或=4﹣2，设1＜2＜3，作出函数f（）的图象如图：则0＜1＜4﹣2，2与3，关于=2对称，则2+3=4，则1+2+3=1+4，∵0＜1＜4﹣2，∴4＜4+1＜8﹣2，即1+2+3的取值范围为（4，8﹣2 ），故选：C12．（5分）已知两点A（0，0），B（2，2）到直线l的距离分别为1和2，这样的直线l条数为（）A．1条B．2条 C．3条 D．4条【解答】解：到点A（0，0）距离为1的直线，可看作以A为圆心1为半径的圆的切线，同理到点B（2，2）距离为2的直线，可看作以B为圆心2为半径的圆的切线，故所求直线为两圆的公切线，又|AB|=2，所以2﹣1＜|AB|＜1+2，故两圆相交，公切线有2条，故选：B．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷卡的相应位置上）13．（5分）已知正四棱锥的底面边长为4cm，高与侧棱夹角为45°（cm）．【解答】解：如图所示：∠SBO=45°，OE=2cm，SO=OB=2，∴斜高为SE=﹣，故答案为．14．（5分）已知圆C：2+y2=9，过点P（3，1）作圆C的切线，则切线方程为=3或4+3y ﹣15=0．【解答】解：圆心坐标为（0，0），半径为3，∵点P（3，1）在圆外，∴若直线斜率不存在，则直线方程为=3，圆心到直线的距离为3，满足相切．若直线斜率存在设为，则直线方程为y﹣1=（﹣3），即﹣y+1﹣3=0，则圆心到直线﹣y+1﹣3=0的距离等于半径1，即d==1，解得=﹣，此时直线方程为4+3y﹣15=0，综上切线方程为=3或4+3y﹣15=0，故答案为：=3或4+3y﹣15=015．（5分）若函数f（）=lg（2+a﹣a﹣1）在区间[2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（﹣3，+∞）．【解答】解：令t=2+a﹣a﹣1，外函数y=lgt为增函数，要使复合函数f（）=lg（2+a﹣a﹣1）在区间[2，+∞）上单调递增，则，解得a＞﹣3．∴实数a的取值范围是：（﹣3，+∞）．故答案为：（﹣3，+∞）．16．（5分）已知正三棱柱的棱长均为2，则其外接球体积为．【解答】解：取三棱柱ABC﹣A′B′C′的两底面中心O，O′，连结OO′，取OO′的中点D，连结BD则BD为三棱柱外接球的半径．∵△ABC是边长为2的正三角形，O是△ABC的中心，∴BO=．又∵OD=1，∴BD=．∴三棱柱外接球的体积V=π×BD3=．故答案为．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．17．（10分）已知函数f（）=．（I）求f（0），f（1）；（II）求f（）值域．【解答】解：（I）f（0）=1，；（II）这个函数当=0时，函数取得最大值1，当自变量的绝对值逐渐变大时，函数值逐渐变小并趋向于0，但永远不会等于0，于是可知这个函数的值域为集合．18．（12分）△ABC三个顶点坐标为A（0，1），B（0，﹣1），C（﹣2，1）．（I）求AC边中线所在直线方程；（II）求△ABC的外接圆方程．【解答】解：（I）由于AC的中点为（﹣1，1），B（0，﹣1），故AC边中线所在直线方程为2+y+1=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（II）（方法一）设△ABC的外接圆方程为2+y2+D+Ey+F=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）则把A，B，C的坐标代入可得，﹣﹣﹣﹣﹣（10分）求得，故要求的圆的方程为2+y2+2﹣1=0．﹣﹣﹣﹣﹣（12分）（方法二）因为AC⊥BA，所以△ABC的外接圆是以Rt△ABC的斜边BC为直径的圆，﹣﹣﹣﹣（8分）则圆心坐标为BC中点（﹣1，0），半径为|BC|的一半是，﹣﹣﹣﹣﹣（10分）所以△ABC的外接圆方程是（+1）2+y2=2．﹣﹣﹣﹣﹣（12分）19．（12分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点．求证：（1）C1O∥面AB1D1；（2）A1C⊥面AB1D1．【解答】证明：（1）连接A1C1，设A1C1∩B1D1=O1，连接AO1，∵ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，∴A1ACC1是平行四边形，∴A1C1∥AC且A1C1=AC，又O1，O分别是A1C1，AC的中点，∴O1C1∥AO且O1C1=AO，∴AOC1O1是平行四边形，∴C1O∥AO1，AO1⊂面AB1D1，C1O⊄面AB1D1，∴C1O∥面AB1D1；（2）∵CC1⊥面A1B1C1D1∴CC1⊥B1D!，又∵A1C1⊥B1D1，∴B1D1⊥面A1C1C，即A1C⊥B1D1，∵A1B⊥AB1，BC⊥AB1，又A1B∩BC=B，AB1⊥平面A1BC，又A1C⊂平面A1BC，∴A1C⊥AB1，又D1B1∩AB1=B1，∴A1C⊥面AB1D120．（12分）如图，有一个正三棱锥的零件，P是侧面ACD上的一点．过点P作一个与棱AB 垂直的截面，怎样画法？并说明理由．【解答】解：（方法一）画法：过点P在面ACD内作EF∥CD，交AC于E点，交AD于F点．过E作EG⊥AB，连接FG，平面EFG为所求．﹣﹣﹣﹣（4分）理由：取CD中点M，连接AM，BM．∵A﹣BCD为正三棱锥，∴AC=AD，BC=BD，∴BM⊥CD，AM⊥CD，﹣﹣﹣﹣（6分）AM∩BM=M，AM⊂平面ABM，BM⊂平面ABM，∴CD⊥平面ABM．﹣﹣﹣﹣（8分）∵AB⊂平面ABM，∴CD⊥AB．∵EF∥CD，∴EF⊥AB．﹣﹣﹣﹣（10分）过E作EG⊥AB，连接FG，∵EF∩EG=E．EF⊂面EFG，EG⊂面EFG，∴AB⊥面EFG．﹣﹣﹣﹣（12分）（方法二）画法：过C在平面ABC内M作CE⊥AB，垂足为E．连接DE．过点P作MN∥CD，交AC于M，AD于N．过M作MH∥CE，交AE于H，连接HN，平面HMN为所求．﹣﹣﹣﹣（4分）理由：∵△ABC≌△ABD，∴DE⊥AB．﹣﹣﹣﹣（6分）∵，，∴，∴HN∥DE，﹣﹣﹣﹣（8分）∴AB⊥HN．由画法知，AB⊥HM，∵HM∩HN=H，HM⊂面MNH，HN⊂面MNH，∴AB⊥平面MNH．﹣﹣﹣﹣（12分）21．（12分）已知函数f（）=．（Ⅰ）证明：f（）为奇函数；（Ⅱ）判断f（）单调性并证明；（III）不等式f（﹣t）+f（2﹣t2）≥0对于∈[1，2]恒成立，求实数t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：对于函数f（）=，其定义域为R，关于原点对称，∵，∴f（）为奇函数．（II）f（）在R上为增函数．证明：根据题意，，在R内任取1，2，△=2﹣1＞0，则，∵2＞1∴22＞21∴，∵，∴△y＞0．∴f（）在R上为增函数．（III）根据题意，f（﹣t）+f（2﹣t2）≥0⇔f（﹣t）≥﹣f（2﹣t2），又由f（）为奇函数，∵f（﹣t）≥﹣f（2﹣t2）=f（t2﹣2），又∵f（）在R上为增函数，∴当∈[1，2]时，﹣t≥t2﹣2恒成立，即2+≥t2+t恒成立，而∈[1，2]时，（2+）min=2，则2+≥t2+t恒成立⇔t2+t≤2，解得﹣2≤t≤1，即t的取值范围是[﹣2，1]．22．（12分）平面内有两个定点A（1，0），B（1，﹣2），设点P到A、B的距离分别为d1，d2，且=（I）求点P的轨迹C的方程；（II）是否存在过点A的直线l与轨迹C相交于E、F两点，满足（O为坐标原点）．若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【解答】（本小题12分）（Ⅰ）设P（，y），则，d2=，∵，∴，﹣﹣﹣﹣（2分）整理得：（﹣1）2+（y+4）2=8，∴点P的轨迹C的方程为（﹣1）2+（y+4）2=8．﹣﹣﹣﹣（4分）（II）存在过点A的直线l，l与轨迹C相交于E，F两点，且使三角形S=．△OEF理由如下：①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为=1，直线过圆心，，点O到直线l的距离为1，此时，，所以成立．﹣﹣﹣﹣（6分）②当直线l斜率存在时，设l方程为：y=（﹣1）．点C到l的距离，利用勾股定理，得：．﹣﹣﹣﹣（8分）点O到l的距离，∴，﹣﹣﹣﹣（10分）整理得32=﹣1，无解．所以直线斜率存在时满足题意的直线不存在．综上，存在过点A的直线l：=1，满足题意．﹣﹣﹣﹣（12分）（其它做法相应给分）。

辽宁省大连市21-22学年高一上学期期末数学试卷(含答案解析)

辽宁省大连市21-22学年高一上学期期末数学试卷班级：_________ 姓名：_________ 分数：_________一、单选题（本大题共2小题，共10分）1、在△ABC 中，P 、Q 分别在AB ，BC 上，且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =（）A. 13a ⃗ +13b ⃗B. −13a ⃗ +13b ⃗C. 13a −13b ⃗D. −13a ⃗ −13b ⃗ 2、神舟十二号载人飞船搭载3名宇航员进入太空，在中国空间站完成了为期三个月的太空驻留任务，期间进行了很多空间实验，目前已经顺利返回地球．在太空中水资源有限，要通过回收水的方法制造可用水．回收水是将宇航员的尿液、汗液和太空中的水收集起来经过特殊的净水器处理成饮用水，循环使用．净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤的次数为(参考数据：lg2=0.3010.)（）A. 10B. 12C. 14D. 16二、填空题（本大题共2小题，共10分）3、某校学生高一年级有400人，高二年级有300人，高三年级有200人，现用分层抽样的方法从所有学生中抽取一个容量为n 的样本．已知从高三学生中抽取的人数为10，那么n = ．4、如图，在正方形ABCD 中，P 为DC 边上的动点，设向量AC⃗⃗⃗⃗⃗ =λDB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μAP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ的最大值为．三、解答题（本大题共1小题，共12分）5、(本小题12.0分)已知函数f(x)=log a (x −a2)+log a (x −a)(a >0且a ≠1)．(1)当a =2时，解不等式f(x)>1；(2)∀x ∈[2a,4a]，f(x)≤1，求实数a 的取值范围；(3)在(2)的条件下，是否存在α，β∈(a,+∞)，使f(x)在区间[α,β]上的值域是[log aβ,log aα]？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，试说明理由．参考答案及解析1.答案：A解析：本题考查了平面向量的线性运算，属于基础题．直接利用向量的线性运算即可PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13a ⃗ +13b ⃗ ，所以选：A ．2.答案：C解析：本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，是中档题．设过滤的次数为n ，原来水中杂质为1，则(1−20%)n <5%，两边同时取常用对数可得lg0.8n <−lg20，结合对数的运算性质即可求出n 的最小值．设过滤的次数为n ，原来水中杂质为1，则(1−20%)n <5%，即0．8n <120， ∴lg0.8n <−lg20，∴nlg0.8<−lg20，∴n >−lg20lg0.8=lg201−3lg2=1+lg21−3lg2≈13.4，又∵n ∈N ∗，∴n 的最小值为14，即至少需要过滤14次，所以选：C ．3.答案：45解析：本题考查样本容量的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．利用分层抽样的性质列出方程，由此能求出n 的值．∵某校学生高一年级有400人，高二年级有300人，高三年级有200人，现用分层抽样的方法从所有学生中抽取一个容量为n 的样本．已知从高三学生中抽取的人数为10， ∴n 400+300+200=10200，解得n =45．所以答案为：45．4.答案：3 解析：本题主要考查向量在几何中的应用，向量的运算，建立坐标系，将问题转化为坐标运算，是解答的关键．建立直角坐标系，把向量用坐标表示出来，根据P 的坐标表示出λ+μ的表达式，求其最大值即可．以A 为原点，以AB 、AD 分别为x ，y 轴建立直角坐标系，设正方形的边长为2，则C(2,2)，B(2,0)，D(0,2)，P(x,2)，x ∈[0,2]∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2)，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,2)， ∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λDB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μAP⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴{2λ+xμ=2−2λ+2μ=2，∴{λ=2−x 2+x μ=42+x， ∴λ+μ=6−x 2+x ，令f(x)=6−x2+x =−1+82+x ，(0≤x ≤2) ∴易判断f(x)在[0,2]上单调递减，∴f(x)max=f(0)=3．所以答案为：3．5.答案：(1)当a=2时，f(x)=log2(x−1)+log2(x−2)=log2[(x−2)(x−1)]，由f(x)=log2[(x−2)(x−1)]>1得(x−2)(x−1)>2且x−2>0，x−1>0，即x2−3x>0且x>2，解得x>3，故不等式f(x)>1的解集(3,+∞)；(2)f(x)=loga(x2−3ax2+a22)，因为∀x∈[2a,4a]，f(x)≤1，令t=x2−3ax2+a22=(x−3a4)2−a216，则t在[2a,4a]上为增函数，当0<a<1时，结合复合函数单调性可知f(x)在[2a,4a]上单调递减，∴f(2a)≤1，则(2a−3a4)2−a216≥a，整理得a(3a2−1)≥0，解得a≥23或a≤0，因为0<a<1，所以23≤a<1，当a>1时，f(x)在[2a,4a]上单调递增，则f(4a)=(4a−3a4)2−a216≤a，整理得a(21a2−1)≤0，解得0≤a≤221，因为a>1，此时a不存在，综上23≤a<1，∴a的取值范围是[23,1)；(3)假设存在α，β∈(a,+∞)，使f(x)在区间[α,β]上的值域是[log aβ,log aα]，由(2)知f(x)在(a,+∞)上单调递减，则{f(α)=log a αf(β)=log a β，即{α2−32aα+a 22=αβ2−32aβ+a 22=β，即α，β是方程x 2−3a 2x +a 22=x 的大于a 的两个不等根，设ℎ(x)=x 2−(3a 2+1)x +a 22，对称轴x =12+3a 4，由题意得{ 12+3a 4>a△=(1+3a 2)2−4×12a 2>0ℎ(a)=−a >0, 解{a <2a >4√2−6或a <−6−4√2a <0，又23≤a <1，此时a 不存在．解析：本题主要考查了对数函数单调性及定义域，还考查了复合函数的单调性，还考查了二次函数的性质，体现了转化思想及分类讨论思想的应用，属于较难题．(1)把a =2代入，然后结合对数函数的单调性即可求解不等式；(2)由已知不等式恒成立转化为最值成立，结合复合函数的单调性即可求解；(3)结合对数函数单调性代入后，结合已知等式特点构造函数，结合二次函数性质可求．。

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