第五章(2)Nyquist稳定判剧.
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F(s)的零点,极点的含义是什么?
由上式可见，复变函数F(s)的零点为系统特征方程的根 (闭环极点) s1、s2 ……sn ，而F(s)的极点则为系统的开 环极点p1,p2……pn。 闭环系统稳定的充分和必要条件是，特征方程的根(即 F(s)的零点)，都位于s平面的左半部。
根据映射定理,设s平面上的封闭曲线包围了整个右半平面,
顺时针
s平面
F (s) (s z j ) (s pi )
j 1 i 1
m
n
F(s)平面
如果在s平面画一条封闭曲线，则在F(s)平面上必有一 条对应的映射曲线. 若在s平面上的封闭曲线是沿着顺时针方向运动的，则 在F(s)平面上的映射曲线的运动方向可能是顺时针的，也 可能是逆时针的，取决于F(s)函数的特性。 根据式(5-3-1)，复变函数F(s)的相角可表示为
( s z1 )(s z2 ) ( s zm ) ( s p1 )(s p2 ) ( s pn )
(s p1 )(s p2 ) (s pn ) K1 ( s z1 )(s z2 )( s zm ) (s p1 )(s p2 ) (s pn ) (s s1 )(s s2 )( s sn ) (s p1 )(s p2 ) (s pn )
图5-3-2 封闭曲线包围z1时的映射情况
综上所述，可以归纳如下： 映射定理: 设s平面上的封闭曲线包围了复变 函数F(s)的p个极点和z个零点，并且此曲线不经
过F(s)的任一零点和极点，则当复变量s沿封闭曲
线顺时针方向移动一周时，在F(s)平面上的映射 曲线按逆时针方向包围坐标原点绕过(p-z)周。
５ .４
频率稳定性判据
奈奎斯特稳定判据是根据系统开环频率特性判断系统 闭环系统稳定性的方法.既可以使用Nyquist图,又可以使用 Bode图. 教学要求: 理解奈奎斯特回线的概念,掌握奈奎斯特稳定判据及其 应用. 教学内容: 一.映射定理 二.奈奎斯特回线 三.奈奎斯特判据 四.奈奎斯特稳定判据应用 教学难点: 完整Nyquist图的绘制.
（5-3-4）
这意味着F(s)的映射曲线ΓF围绕原点运动的情 况，相当于G(s)H(s)的封闭曲线ΓGH围绕着(-1，j0) 点的运动情况，如图5-3-4所示。
F ( s) ( s z j ) (s pi )
j 1 i 1 m n
1.包含一个零点: 假定在s平面上的封闭曲线包围了F(s)的一个零点z1，而 其他零极点都位于封闭曲线之外，则当s沿着s平面上的封闭 曲线顺时针方向移动一周时，相量(s-z1)的相角变化-2π弧度， 而其他各相量的相角变化为零。
斯特图,也可以用一半的奈奎斯特图(开环频率特性曲线,但要逆 时针补画V*90).
什么情况下系统稳定?
三.奈奎斯特判据 如果在s平面上，s沿着奈奎斯特回线顺时针方 向移动一周时，在F(s)平面上的映射曲线ΓF围绕 坐标原点按逆时针方向旋转N=P周，则系统为稳定 的。
根据系统闭环特征方程有
G( s ) H ( s ) F ( s ) 1
注意方向!Hale Waihona Puke Baidu!
这意味着在F(s)平面上的映射曲线沿顺时针方向 围绕着原点旋转一周，也就是相量F(s)的相角变化 了-2π弧度，如图5-3-2所示。 2.包含Z个零点: 若s平面上的封闭曲线包围着F(s)的z个零点。则在 F(s)平面上的映射曲线将按顺时针方向围绕着坐标原 点旋转z周:Z X (-2π) 3.包含 p个极点: 用类似分析方法可以推论，若s平面上的封闭曲线 包围了F(s)的p个极点。则当s沿着s平面上的封闭曲 线顺时针移动一周时，在F(s)平面上的映射曲线将按 逆时针方向围绕着坐标原点旋转p周。
则当复变量s沿封闭曲线顺时针方向移动一周时，在F(s)平面
上的映射曲线按逆时针方向包围坐标原点绕过p周,即不含z个 零点。则系统稳定. 为了判断闭环系统的稳定性，需要检验F(s)是否具有位于s 平面右半部的零点。为此可以选择一条包围整个s平面右半部 的按顺时针方向运动的封闭曲线，通常称为乃奎斯特回线。 根据F(s)可以判断系统的稳定性,但F(s)与G(s) 之间有简单关系: F (s) 1 G(s)H (s) ,因此,常用G(s) 来判断系统的稳定性.
F ( s)
K1 (s z1 )(s z2 )(s zm ) (s p1 )(s p1 )(s zn )
图5-3-1 s平面与F(s)平 面的映射关系
F ( s)
K1 ( s z1 )(s z2 ) ( s zm ) ( s p1 )(s p1 )(s zn )
4.5
奈奎斯特稳定判据
一.映射定理 奎斯特稳定判据的数学基础是复变函数论中的映 射定理，又称幅角定理。 设有一复变函数为
给定S，如何求F(s)?
K1 ( s z1 )(s z2 ) ( s zm ) F ( s) ( s p1 )(s p1 )(s zn )
s为复变量，以s复平面上的s=σ+jω表示。F(s)为 复变函数，以F(s)复平面上的F(s)=U+jV表示。对 于s平面上的每一点，在F(s)平面上必定有一个对 应的映射点。
二.奈奎斯特回线
系统的特征方程为: 系统的开环传递函数可以写为 代入特征方程,得
F ( s) 1 K1
F(s)与G(s)H(s)有什么区别?
F ( s ) 1 G( s ) H ( s ) 0
G(s) K1 (s z1 )(s z2 )(s zm ) (s p1 )(s p2 )(s pn )
图5-3-3 乃奎斯特回线
奈奎斯特回线与奈奎斯特图之间的关系: 1.ω=0+→+∞:开环频率特性曲线;G(jω)H(jω) 2.ω=-∞→-0 :关于实轴对称; 3.ω=0-→0+: 从ω=0+开始补画半径为∞ 的一定 角度的圆弧. 4.ω=+∞→-∞:
利用奈奎斯特判据判断系统的稳定性,可以用完整的奈奎
由上式可见，复变函数F(s)的零点为系统特征方程的根 (闭环极点) s1、s2 ……sn ，而F(s)的极点则为系统的开 环极点p1,p2……pn。 闭环系统稳定的充分和必要条件是，特征方程的根(即 F(s)的零点)，都位于s平面的左半部。
根据映射定理,设s平面上的封闭曲线包围了整个右半平面,
顺时针
s平面
F (s) (s z j ) (s pi )
j 1 i 1
m
n
F(s)平面
如果在s平面画一条封闭曲线，则在F(s)平面上必有一 条对应的映射曲线. 若在s平面上的封闭曲线是沿着顺时针方向运动的，则 在F(s)平面上的映射曲线的运动方向可能是顺时针的，也 可能是逆时针的，取决于F(s)函数的特性。 根据式(5-3-1)，复变函数F(s)的相角可表示为
( s z1 )(s z2 ) ( s zm ) ( s p1 )(s p2 ) ( s pn )
(s p1 )(s p2 ) (s pn ) K1 ( s z1 )(s z2 )( s zm ) (s p1 )(s p2 ) (s pn ) (s s1 )(s s2 )( s sn ) (s p1 )(s p2 ) (s pn )
图5-3-2 封闭曲线包围z1时的映射情况
综上所述，可以归纳如下： 映射定理: 设s平面上的封闭曲线包围了复变 函数F(s)的p个极点和z个零点，并且此曲线不经
过F(s)的任一零点和极点，则当复变量s沿封闭曲
线顺时针方向移动一周时，在F(s)平面上的映射 曲线按逆时针方向包围坐标原点绕过(p-z)周。
５ .４
频率稳定性判据
奈奎斯特稳定判据是根据系统开环频率特性判断系统 闭环系统稳定性的方法.既可以使用Nyquist图,又可以使用 Bode图. 教学要求: 理解奈奎斯特回线的概念,掌握奈奎斯特稳定判据及其 应用. 教学内容: 一.映射定理 二.奈奎斯特回线 三.奈奎斯特判据 四.奈奎斯特稳定判据应用 教学难点: 完整Nyquist图的绘制.
（5-3-4）
这意味着F(s)的映射曲线ΓF围绕原点运动的情 况，相当于G(s)H(s)的封闭曲线ΓGH围绕着(-1，j0) 点的运动情况，如图5-3-4所示。
F ( s) ( s z j ) (s pi )
j 1 i 1 m n
1.包含一个零点: 假定在s平面上的封闭曲线包围了F(s)的一个零点z1，而 其他零极点都位于封闭曲线之外，则当s沿着s平面上的封闭 曲线顺时针方向移动一周时，相量(s-z1)的相角变化-2π弧度， 而其他各相量的相角变化为零。
斯特图,也可以用一半的奈奎斯特图(开环频率特性曲线,但要逆 时针补画V*90).
什么情况下系统稳定?
三.奈奎斯特判据 如果在s平面上，s沿着奈奎斯特回线顺时针方 向移动一周时，在F(s)平面上的映射曲线ΓF围绕 坐标原点按逆时针方向旋转N=P周，则系统为稳定 的。
根据系统闭环特征方程有
G( s ) H ( s ) F ( s ) 1
注意方向!Hale Waihona Puke Baidu!
这意味着在F(s)平面上的映射曲线沿顺时针方向 围绕着原点旋转一周，也就是相量F(s)的相角变化 了-2π弧度，如图5-3-2所示。 2.包含Z个零点: 若s平面上的封闭曲线包围着F(s)的z个零点。则在 F(s)平面上的映射曲线将按顺时针方向围绕着坐标原 点旋转z周:Z X (-2π) 3.包含 p个极点: 用类似分析方法可以推论，若s平面上的封闭曲线 包围了F(s)的p个极点。则当s沿着s平面上的封闭曲 线顺时针移动一周时，在F(s)平面上的映射曲线将按 逆时针方向围绕着坐标原点旋转p周。
则当复变量s沿封闭曲线顺时针方向移动一周时，在F(s)平面
上的映射曲线按逆时针方向包围坐标原点绕过p周,即不含z个 零点。则系统稳定. 为了判断闭环系统的稳定性，需要检验F(s)是否具有位于s 平面右半部的零点。为此可以选择一条包围整个s平面右半部 的按顺时针方向运动的封闭曲线，通常称为乃奎斯特回线。 根据F(s)可以判断系统的稳定性,但F(s)与G(s) 之间有简单关系: F (s) 1 G(s)H (s) ,因此,常用G(s) 来判断系统的稳定性.
F ( s)
K1 (s z1 )(s z2 )(s zm ) (s p1 )(s p1 )(s zn )
图5-3-1 s平面与F(s)平 面的映射关系
F ( s)
K1 ( s z1 )(s z2 ) ( s zm ) ( s p1 )(s p1 )(s zn )
4.5
奈奎斯特稳定判据
一.映射定理 奎斯特稳定判据的数学基础是复变函数论中的映 射定理，又称幅角定理。 设有一复变函数为
给定S，如何求F(s)?
K1 ( s z1 )(s z2 ) ( s zm ) F ( s) ( s p1 )(s p1 )(s zn )
s为复变量，以s复平面上的s=σ+jω表示。F(s)为 复变函数，以F(s)复平面上的F(s)=U+jV表示。对 于s平面上的每一点，在F(s)平面上必定有一个对 应的映射点。
二.奈奎斯特回线
系统的特征方程为: 系统的开环传递函数可以写为 代入特征方程,得
F ( s) 1 K1
F(s)与G(s)H(s)有什么区别?
F ( s ) 1 G( s ) H ( s ) 0
G(s) K1 (s z1 )(s z2 )(s zm ) (s p1 )(s p2 )(s pn )
图5-3-3 乃奎斯特回线
奈奎斯特回线与奈奎斯特图之间的关系: 1.ω=0+→+∞:开环频率特性曲线;G(jω)H(jω) 2.ω=-∞→-0 :关于实轴对称; 3.ω=0-→0+: 从ω=0+开始补画半径为∞ 的一定 角度的圆弧. 4.ω=+∞→-∞:
利用奈奎斯特判据判断系统的稳定性,可以用完整的奈奎