1-2速度加速度

(cm)
Δr
θ
Δx
10
Δy
15
O
5
x (cm)
三、 速度
1.平均速度
Δ r = Δ x i +Δ y j + Δ z k v =Δt Δt Δt Δt 2.瞬时速度
lim Δ r = dr v = Δ t 0Δ t dt dx i dy j dz k = dt + dt + dt
= vx i + vy j + vz k
解二：
x + h =l
2 2 2
y v0
O
h
x
x l
等式两边微分得： 2 x dx = 2 l dl dx = l dl x dt dt dx l dl = = x dt dt v0 l v0 = x x
x +h
2
2
[例4] 路灯高度为h,人高度为l,步行速度为 v0 .试求：（1）人影中头顶的移动速度； （2）影子长度增长的速率。 解： h l dx v = 0 x + b = b h b = l (x + b ) dt db d (x + b ) h =l dt dt dx l db =l + dt dt h 影子长度增长速率为： l l v db = h l 0 b x dt
B
r
2. 瞬时加速度 a = lim Δ v = d v Δt 0 Δ t dt d vy d vz d vx = dt i + dt j + d k t
2 y dz k dx i + d = 2 2 j + 2 t d dt dt
2
2
（式中r 以m计，t 以 s计）试求： 1. 运动方程及轨迹方程； 2. 瞬时速度； 3. 瞬时加速度。 解： 1.运动方程为
π t ) i + 3 sin(π t ) j [例1] r = 3 cos ( 6 6
π t) x = 3 cos ( 6
π t) y = 3 sin ( 6
从运动方程中消去t得轨迹方程：
x 2 + y 2 = 32
π t ) i + 3 sin(π t ) j r = 3 cos ( 6 6
2. 瞬时速度： v = dr dt
ε
m
0601 ΑΒΓΔΕΖΗΘΙΚ 0611 ΛΜΝΞΟΠΡ΢ΣΤ 0621 ΥΦΧΨ 0631αβγδεζηθ 0641ικλμνξοπρσ 0651 τυφχψω 0101 0111 0121 0131 0141 0151 0161 0171 0181 0191 0201 、。·ˉˇ¨〃〄— ～‖…„‟“”【】々 〆〇〈〉《》「〒〓」 『ª×÷∶∧∨∑∏∪ ∩∈∷√≱∥∠≲≰∫ ∮≡≌≈∸∝≠≮≯≤ ≥∞∵∴▬▫©′″℃ ＄¤￠￡‰§№▪▩▦ ▨▧▥▤□■▣▢※→ ←↑↓』→耻虫仇 ⅰⅱⅲⅳⅴⅵⅶⅷⅸⅹ
k k
rB = x B i + y B j + z B
Δ r = ( x B _ x A ) i + ( yB _ yA ) j + ( z B_ z A ) k Δ x i +Δ y j +Δ z =
k
2
z A
Δ r = Δ x + Δ y +Δ z
2 2
Δs
问题： o 1. Δ r = Δ r ？ x 2.路程和位移有什么不同？
3. 速率
平均速率:
v =Δs Δt 瞬时速率:
A
rA
Δr
Δs
rB
B
v = lim Δ s = d s Δt 0Δ t dt lim Δ r = d r = Δt 0 t dt Δ = v
四、 加速度
1.平均加速度
z A
vA
B
vA v
Δv
B
rA
o Δv y a= x Δt vBx vAx vBy vAy vBz vAz i + = j + k Δt Δt Δt Δ vx Δ vy Δ vz = t i + t j+ t k Δ Δ Δ
已知： a = a (t ) 求： v = v (t ) 、 r = r (t )
在求解第二类问题过程中还必须已知在 t = 0 时刻质点的速度及位置坐标，这一条 件称为初始条件 。
初始条件： t=0
x = x0 y = y0 z= z0
vx = v 0x vy = v 0y vz = v 0z
第二类问题的例子：一质点作直线运动， 其加速度为一常量 a ，求其运动规律。 已知在 t = 0 时刻，x = x 0、v = v 0 。 dv 解： a= dv = a dt dt 设 t = 0 时 v = v0 ，将上式积分得
0701 0711 0721 0731
АБВГДЕЁЖЗИ ЙКЛМНОПРСТ УФХЦЧШЩЪЫЬ ЭЮЯ
0211 0221 0231 0241 0251 0261 0271 0281 0291
⊑⊒⊓⊔ ⊕⊖⊗⊘⊙⊚⊛⊜⊝⊞ ⊟⊠⊡⊢⊣⊤≽≾≿⊀ ⊁⊂⊃⊄⊅⊆⊇⊈⊉⊊ ⊋⊌⊍⊎⊏⊐≳≴≵≶ ≷≸≹≺≻≼㈠㈡ ㈢㈣㈤㈥㈦㈧㈨㈩ ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨⅩ ⅪⅫⅩ
= v =
3×
2 2
π sin (π t ) i + 3 ×π cos (π t )j 6 6 6 6
π
3. 瞬时加速度： v = 3 ×π sin (π t ) i + 3 ×π cos (π t ) j 6 6 6 6 d v d vx dv y a = = dt i + dt j dt _ 3 (π )2cos (π t ) i _ 3 (π )2sin(π t ) j = 6 6
t = 4s:
x = 16.0 , y =12.8
Δ x = 12(cm) Δ y = 12.6 (cm)
Δ r = 12 i + 1 2 .6 j (cm)
Δ r = 12 i + 1 2 .6 j (cm)
Δ r = 17.4 (cm) 0 Δy θ = arc tg = 46.4 Δx y
15 10 5
Δr =7 i + 3j
r2 = 8 i + 4 j
Δ x = 68.8 0 a = arc cos Δr
2. 上 述时间内的平均速度 Δr =7i +3 j v = t Δ
3. t =1s 及 t =2s 时刻的瞬时速度 3 2 r =t i +t j dr 3 t 2 i 2 t j v = + = dt v1 = 3 i + 2 j v 2 = 12 i + 4 j 4. 上述时间内的平均加速度 v2 v1 a = Δ = 9i+ 2 j t 5. t =1s 时刻的瞬时加速度 dv = 6 t i + 2 j a = t d = 6i + 2 j
Δr B rA rB y
[例1] 一质点在 xoy 平面内按 x =t 2 的 规律沿曲线 y = x 3/320运动，其中 x、y 以 cm为单位，t 以 s 为单位。 试求：质点在2秒末到4秒末的位移。 6 2 解： x=t y= t 320 t = 2s: x = 4.0 , y = 0.2
位移 速度 加速度
§1-2 位移 速度 加速度
一、位置矢量(位矢)
位置矢量 r r = x i+y j & x +y +z
2 2 2
a
γ
β o
i
k
r
y
j
x cos a = r
x y z cosβ = r cosγ = r
二、位移 rA = x A i + y A j + z A
6 6
_ (π )2 3 cos (π t ) i + 3 sin(π t ) j = [ 6 6 6 _ (π ) 2 r =
6
]
a 与 r 方向相反，可见加速度指向圆心。
[例 2]
r =t i +t j
3
2
( r 以m计,t 以 s 计)
1. t = 1s到 t = 2s的位移
r1 = i + j
[例3] 人以恒定速率 v 0 运动，船之初速为 0 求:任一位置船之速度、加速度。 y
v0 r
hh x
x
r=xi r = r=
hj x +h
2 2
y v0
O
d r = dx i v = dt dt
h
x
x r
x d r = d x 2+ h 2 d x = v0 = 2 2 dt dt x + h dt d r d x i = v 0 x 2+ h 2 i v = t= t x d d 2 v 02 h 2 dv d x a = i = 2 i = 3 x dt dt

∴
v dv v0
= 0a d t = a 0 d t
v = v0 + at
t
t
dx = v = v0 + at dt
dx = v = v0 + at dt
(1)
设 t = 0 时 x = x0 ，将上式积分得运动方程 1 at 2 x = x 0 + v0 t + (2) 2 从(1)、(2)两式中消去 t 得到
l v db = h l 0 dt 所以人影头顶移动速度为： h b = l (x + b )
. ..
h d ( x + b ) h db = l dt = h l v 0 dt h
l b x
五、运动学的两类问题 第一类问题：(求导问题)