中考难点突破--与正方形相关题目专项训练

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初三数学中考复习正方形专题练习题含答案

2019 初三中考数学复习正方形专题练习题1. 已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( )A．BC＝CD B．AB＝CD C．AD＝BC D．AC＝BD2. 下列说法不正确的是( )A．一组邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的矩形是正方形C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．有一个角是直角的菱形是正方形3. 在四边形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是( )A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CDB．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BDC．AD∥BC，∠A＝∠CD．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC4. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE ＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是( )A．BC＝AC B．CF⊥BF C．BD＝DF D．AC＝BF5. 如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE的长为( )A．2 B．3 C．2 2 D．236. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )A.对角线互相平分B.内角和为360°C.对角线相等D.对角线平分内角7. 能判定一个四边形是平行四边形的条件是( )A.一组对边平行，另一组对边相等B.一组对边平行，一组对角互补C.一组对角相等，一组邻角互补D.一组对角相等，另一组对角互补8. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )A.对角线相等B.对角线垂直平分C.对角线平分一组对角D.对角线互相平分9. 正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点A的坐标为(0，4)，点B坐标为(－3，0)，则点C的坐标为( )A．(1，3) B．(1，－3) C．(1，－4) D．(2，－4)10. 如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形有( ) A．4个 B．6个 C．8个 D．10个11. 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是____________．12. 如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH.若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是____．13. 如图，已知正方形ABCD的边长为1，连结AC，BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE＝_________________.14. 如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于O，MN∥AB，且分别与AO，BO交于M，N，求证：(1)BM＝CN；(2)BM⊥CN.15. 如图，正方形ABCD中，G为BC边上一点，BE⊥AG于E，DF⊥AG于F，连结DE.(1)求证：△ABE≌△DAF；(2)若AF ＝1，四边形ABED 的面积为6，求EF 的长．参考答案：1---10 ABBDC CCDBC11. 45°12. 4 13. 2－114. 解：(1)∵MN∥AB，∴∠OMN＝∠OAB，∠ONM ＝∠OBA，∵OA＝OB ，∴∠OAB＝∠OBA，∴∠OMN ＝∠ONM，∴OM＝ON ，∴AM＝OA －OM ＝OB －ON ＝BN ，在△ABM 和△BCN 中，⎩⎨⎧AB ＝BC∠MAB＝∠NBC AM ＝BN，∴△ABM≌△BCN(SAS)，∴BM＝CN(2)由△ABM≌△BCN 得，∠ABM＝∠BCN，又∵∠ABM＋∠CBM＝90°，∴∠BCN＋∠CBM＝90°，∴CN⊥BM15. 解：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AB＝AD ，∵DF⊥AG，BE⊥A G ，∴∠BAE＋∠DAF＝90°，∠DAF＋∠ADF＝90°，∴∠BAE＝∠ADF，在△ABE 和△DAF 中，⎩⎨⎧∠BAE＝∠ADF，∠AEB＝∠DFA，AB ＝AD ，∴△ABE≌△DAF(AAS)(2)设EF ＝x ，则AE ＝DF ＝x ＋1，由题意2×12×(x＋1)×1＋12×x×(x＋1)＝6，解得x ＝2或－5(舍弃)，∴EF＝2。

中考数学复习----《正方形的性质》知识点总结与专项练习题(含答案解析)

中考数学复习----《正方形的性质》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形2.正方形的性质：①具有平行四边形的一切性质。

②具有矩形与菱形的一切性质。

所以正方形的四条边都相等，四个角都是直角。

对角线相互平分且相等，且垂直，且平分每一组对角，把正方形分成了四个全等的等腰直角三角形。

正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形。

对角线交点是对称中心，对角线所在直线是对称轴，过每一组对边中点的直线也是对称轴。

练习题1．（2022•黄石）如图，正方形OABC的边长为，将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°，则点B的对应点B1的坐标为（）A．（﹣2，0）B．（2，0）C．（0，2）D．（0，2）【分析】连接OB，由正方形的性质和勾股定理得OB＝2，再由旋转的性质得B1在y轴正半轴上，且OB1＝OB＝2，即可得出结论．【解答】解：如图，连接OB，∵正方形OABC的边长为，∴OC＝BC＝，∠BCO＝90°，∠BOC＝45°，∴OB＝＝＝2，∵将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°后点B旋转到B1的位置，∴B 1在y 轴正半轴上，且OB 1＝OB ＝2，∴点B 1的坐标为（0，2），故选：D ．2．（2022•广州）如图，正方形ABCD 的面积为3，点E 在边CD 上，且CE ＝1，∠ABE 的平分线交AD 于点F ，点M ，N 分别是BE ，BF 的中点，则MN 的长为（）A ．26B ．23C ．2﹣3D ．226− 【分析】连接EF ，由正方形ABCD 的面积为3，CE ＝1，可得DE ＝﹣1，tan ∠EBC ＝＝＝，即得∠EBC ＝30°，又AF 平分∠ABE ，可得∠ABF ＝∠ABE ＝30°，故AF ＝＝1，DF ＝AD ﹣AF ＝﹣1，可知EF ＝DE ＝×（﹣1）＝﹣，而M ，N 分别是BE ，BF 的中点，即得MN ＝EF ＝．【解答】解：连接EF ，如图：∵正方形ABCD 的面积为3，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝，∵CE ＝1，∴DE＝﹣1，tan∠EBC＝＝＝，∴∠EBC＝30°，∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝60°，∵AF平分∠ABE，∴∠ABF＝∠ABE＝30°，在Rt△ABF中，AF＝＝1，∴DF＝AD﹣AF＝﹣1，∴DE＝DF，△DEF是等腰直角三角形，∴EF＝DE＝×（﹣1）＝﹣，∵M，N分别是BE，BF的中点，∴MN是△BEF的中位线，∴MN＝EF＝．故选：D．3．（2022•贵阳）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是（）A．4B．8C．12D．16【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出小正方形的边长，然后即可得到小正方形的周长．【解答】解：由题意可得，小正方形的边长为3﹣1＝2，∴小正方形的周长为2×4＝8，故选：B．4．（2022•青岛）如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形．若AB＝2，则OE 的长度为（）A ．26B ．6C ．22D ．23【分析】首先利用正方形的性质可以求出AC ，然后利用等边三角形的性质可求出OE ．【解答】解：∵四边形ABCD 为正方形，AB ＝2，∴AC ＝2，∵O 为正方形ABCD 对角线AC 的中点，△ACE 为等边三角形，∴∠AOE ＝90°，∴AC ＝AE ＝2，AO ＝，∴OE ＝×＝．故选：B ．5．（2022•泰州）如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为与点D 不重合的动点，以DE 为一边作正方形DEFG ．设DE ＝d 1，点F 、G 与点C 的距离分别为d 2、d 3，则d 1+d 2+d 3的最小值为（）A ．2B ．2C ．22D ．4【分析】连接AE ，那么，AE ＝CG ，所以这三个d 的和就是AE +EF +FC ，所以大于等于AC ，故当AEFC 四点共线有最小值，最后求解，即可求出答案．【解答】解：如图，连接AE ，∵四边形DEFG 是正方形，∴∠EDG ＝90°，EF ＝DE ＝DG ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝CD ，∠ADC ＝90°，∴∠ADE ＝∠CDG ，∴△ADE ≌△CDG （SAS ），∴AE ＝CG ，∴d 1+d 2+d 3＝EF +CF +AE ，∴点A ，E ，F ，C 在同一条线上时，EF +CF +AE 最小，即d 1+d 2+d 3最小，连接AC ，∴d 1+d 2+d 3最小值为AC ，在Rt △ABC 中，AC ＝AB ＝2，∴d 1+d 2+d 3最小＝AC ＝2，故选：C ．6．（2022•黔东南州）如图，在边长为2的等边三角形ABC 的外侧作正方形ABED ，过点D 作DF ⊥BC ，垂足为F ，则DF 的长为（）A ．23+2B ．5﹣33C ．3﹣3D ．3+1【分析】方法一：如图，延长DA 、BC 交于点G ，利用正方形性质和等边三角形性质可得：∠BAG ＝90°，AB ＝2，∠ABC ＝60°，运用解直角三角形可得AG ＝2，DG ＝2+2，再求得∠G ＝30°，根据直角三角形性质得出答案．方法二：过点E 作EG ⊥DF 于点G ，作EH ⊥BC 于点H ，利用解直角三角形可得EH ＝1，BH ＝，再证明△BEH ≌△DEG ，可得DG ＝BH ＝，即可求得答案．【解答】解：方法一：如图，延长DA、BC交于点G，∵四边形ABED是正方形，∴∠BAD＝90°，AD＝AB，∴∠BAG＝180°﹣90°＝90°，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴AB＝2，∠ABC＝60°，∴AG＝AB•tan∠ABC＝2×tan60°＝2，∴DG＝AD+AG＝2+2，∵∠G＝90°﹣60°＝30°，DF⊥BC，∴DF＝DG＝×（2+2）＝1+，故选D．方法二：如图，过点E作EG⊥DF于点G，作EH⊥BC于点H，则∠BHE＝∠DGE＝90°，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴AB＝2，∠ABC＝60°，∵四边形ABED是正方形，∴BE＝DE＝2，∠ABE＝∠BED＝90°，∴∠EBH＝180°﹣∠ABC﹣∠ABE＝180°﹣60°﹣90°＝30°，∴EH＝BE•sin∠EBH＝2•sin30°＝2×＝1，BH＝BE•cos∠EBH＝2cos30°＝，∵EG⊥DF，EH⊥BC，DF⊥BC，∴∠EGF＝∠EHB＝∠DFH＝90°，∴四边形EGFH是矩形，∴FG＝EH＝1，∠BEH+∠BEG＝∠GEH＝90°，∵∠DEG+∠BEG＝90°，∴∠BEH＝∠DEG，在△BEH和△DEG中，，∴△BEH≌△DEG（AAS），∴DG＝BH＝，∴DF＝DG+FG＝+1，故选：D．7．（2022•随州）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板ABCD中，BD为对角线，E，F分别为BC，CD的中点，AP⊥EF分别交BD，EF于O，P两点，M，N分别为BO，DO的中点，连接MP，NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板．则在剪开之前，关于该图形，下列说法正确的有（）①图中的三角形都是等腰直角三角形；②四边形MPEB是菱形；③四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积的．A．只有①B．①②C．①③D．②③【分析】①利用正方形的性质和中位线的性质可以解决问题；②利用①的结论可以证明OM≠MP解决问题；③如图，过M作MG⊥BC于G，设AB＝BC＝x，利用正方形的性质与中位线的性质分别求出BE和MG即可判定是否正确．【解答】解：①如图，∵E，F分别为BC，CD的中点，∴EF为△CBD的中位线，∴EF∥BD，∵AP⊥EF，∴AP⊥BD，∵四边形ABCD为正方形，∴A、O、P、C在同一条直线上，∴△ABC、△ACD、△ABD、△BCD、△OAB、△OAD、△OBC、△OCD、△EFC都是等腰直角三角形，∵M，N分别为BO，DO的中点，∴MP∥BC，NF∥OC，∴△DNF、△OMP也是等腰直角三角形．故①正确；②根据①得OM＝BM＝PM，∴BM≠PM∴四边形MPEB不可能是菱形．故②错误；③∵E，F分别为BC，CD的中点，∴EF∥BD，EF＝BD，∵四边形ABCD是正方形，且设AB＝BC＝x，∴BD＝x，∵AP⊥EF，∴AP⊥BD，∴BO＝OD，∴点P在AC上，∴PE＝EF，∴PE＝BM，∴四边形BMPE是平行四边形，∴BO＝BD，∵M为BO的中点，∴BM＝BD＝x，∵E为BC的中点，∴BE＝BC＝x，过M作MG⊥BC于G，∴MG＝BM＝x，∴四边形BMPE的面积＝BE•MG＝x2，∴四边形BMPE的面积占正方形ABCD面积的．∵E、F是BC，CD的中点，∴S△CEF＝S△CBD＝S四边形ABCD，∴四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积的（1﹣﹣﹣）＝．故③正确．故选：C．8．（2022•宁波）将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形ABCD内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．正方形纸片的面积B．四边形EFGH的面积C．△BEF的面积D．△AEH的面积【分析】根据题意设PD＝x，GH＝y，则PH＝x﹣y，根据矩形纸片和正方形纸片的周长相等，可得AP＝x+y，先用面积差表示图中阴影部分的面积，并化简，再用字母分别表示出图形四个选项的面积，可得出正确的选项．【解答】解：设PD＝x，GH＝y，则PH＝x﹣y，∵矩形纸片和正方形纸片的周长相等，∴2AP+2（x﹣y）＝4x，∴AP＝x+y，∵图中阴影部分的面积＝S矩形ABCD﹣2△ADH﹣2S△AEB＝（2x+y）（2x﹣y）﹣2×•（x﹣y）（2x+y）﹣2×•（2x﹣y）•x＝4x2﹣y2﹣（2x2+xy﹣2xy﹣y2）﹣（2x2﹣xy）＝4x2﹣y2﹣2x2+xy+y2﹣2x2+xy＝2xy，A、正方形纸片的面积＝x2，故A不符合题意；B、四边形EFGH的面积＝y2，故B不符合题意；C、△BEF的面积＝•EF•BQ＝xy，故C符合题意；D、△AEH的面积＝•EH•AM＝y（x﹣y）＝xy﹣y2，故D不符合题意；故选：C．9．（2022•重庆）如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF，若BE＝AF，则∠CDF的度数为（）A．45°B．60°C．67.5°D．77.5°【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质，可以得到∠ADF的度数，从而可以求得∠CDF的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BA，∠DAF＝∠ABE＝90°，在△DAF和△ABE中，，△DAF≌△ABE（SAS），∠ADF＝∠BAE，∵AE平分∠BAC，四边形ABCD是正方形，∴∠BAE＝∠BAC＝22.5°，∠ADC＝90°，∴∠ADF＝22.5°，∴∠CDF＝∠ADC﹣∠ADF＝90°﹣22.5°＝67.5°，故选：C．10．（2022•重庆）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E、F分别为AC、BD上一点，且OE＝OF，连接AF，BE，EF．若∠AFE＝25°，则∠CBE的度数为（）A．50°B．55°C．65°D．70°【分析】利用正方形的对角线互相垂直平分且相等，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理和全等三角形的判定与性质解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOB＝∠AOD＝90°，OA＝OB＝OD＝OC．∵OE＝OF，∴△OEF为等腰直角三角形，∴∠OEF＝∠OFE＝45°，∵∠AFE＝25°，∴∠AFO＝∠AFE+∠OFE＝70°，∴∠F AO＝20°．在△AOF和△BOE中，，∴△AOF ≌△BOE （SAS ）．∴∠F AO ＝∠EBO ＝20°，∵OB ＝OC ，∴△OBC 是等腰直角三角形，∴∠OBC ＝∠OCB ＝45°，∴∠CBE ＝∠EBO +∠OBC ＝65°．故选：C ．11．（2022•益阳）如图，将边长为3的正方形ABCD 沿其对角线AC 平移，使A 的对应点A ′满足AA ′＝31AC ，则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是．【分析】由正方形边长为3，可求AC ＝3，则AA ′＝AC ＝，由平移可得重叠部分是正方形，根据正方形的面积公式可求重叠部分面积．【解答】解：∵正方形ABCD 的边长为3，∴AC ＝3，∴AA ′＝AC ＝， ∴A ′C ＝2，由题意可得重叠部分是正方形，且边长为2，∴S 重叠部分＝4．故答案为：4．12．（2022•海南）如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，AE ＝AF ，∠EAF ＝30°，则∠AEB ＝ °；若△AEF 的面积等于1，则AB 的值是．【分析】利用“HL”先说明△ABE与△ADF全等，得结论∠BAE＝∠DAF，再利用角的和差关系及三角形的内角和定理求出∠AEB；先利用三角形的面积求出AE，再利用直角三角形的边角间关系求出AB．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°．在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）．∴∠BAE＝∠DAF．∴∠BAE＝（∠BAD﹣∠EAF）＝（90°﹣30°）＝30°．∴∠AEB＝60°．故答案为：60．过点F作FG⊥AE，垂足为G．∵sin∠EAF＝，∴FG＝sin∠EAF×AF．∵S△AEF＝×AE×FG＝×AE×AF×sin∠EAF＝1，∴×AE2×sin30°＝1．即×AE2×＝1．∴AE＝2．在Rt△ABE中，∵cos∠BAE＝，∴AB＝cos30°×AE＝×2＝．故答案为：．13．（2022•广西）如图，在正方形ABCD中，AB＝42，对角线AC，BD相交于点O．点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E作EF⊥BE，分别交CD，BD于点F，G，连接BF，交AC于点H，将△EFH沿EF翻折，点H的对应点H′恰好落在BD上，得到△EFH′．若点F为CD的中点，则△EGH′的周长是．【分析】作辅助线，构建全等三角形，先根据翻折的性质得△EGH'≌△EGH，所以△EGH′的周长＝△EGH的周长，接下来计算△EGH的三边即可；证明△BME≌△FNE（ASA）和△BEO≌△EFP（AAS），得OE＝PF＝2，OB＝EP＝4，利用三角函数和勾股定理分别计算EG，GH和EH的长，相加可得结论．【解答】解：如图，过点E作EM⊥BC于M，作EN⊥CD于N，过点F作FP⊥AC于P，连接GH，∵将△EFH沿EF翻折得到△EFH′，∴△EGH'≌△EGH，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝BC＝4，∠BCD＝90°，∠ACD＝∠ACB＝45°，∴BD＝BC＝8，△CPF是等腰直角三角形，∵F是CD的中点，∴CF＝CD＝2，∴CP＝PF＝2，OB＝BD＝4，∵∠ACD＝∠ACB，EM⊥BC，EN⊥CD，∴EM＝EN，∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，∴∠MEN＝90°，∵EF⊥BE，∴∠BEF＝90°，∴∠BEM＝∠FEN，∵∠BME＝∠FNE，∴△BME≌△FNE（ASA），∴EB＝EF，∵∠BEO+∠PEF＝∠PEF+∠EFP＝90°，∴∠BEO＝∠EFP，∵∠BOE＝∠EPF＝90°，∴△BEO≌△EFP（AAS），∴OE＝PF＝2，OB＝EP＝4，∵tan∠OEG＝＝，即＝，∴OG＝1，∴EG＝＝，∵OB∥FP，∴∠OBH＝∠PFH，∴tan∠OBH＝tan∠PFH，∴＝，∴＝＝2，∴OH＝2PH，∵OP＝OC﹣PC＝4﹣2＝2，∴OH＝×2＝，在Rt△OGH中，由勾股定理得：GH＝＝，∴△EGH′的周长＝△EGH的周长＝EH+EG+GH＝2+++＝5+．故答案为：5+．14．（2022•无锡）如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE 且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝．【分析】设CG＝x，则BG＝8﹣x，根据勾股定理可得AB2+BG2＝CE2+CG2，可求得x 的值，进而求出BG的长．【解答】解：连接AG，EG，∵E是CD的中点，∴DE＝CE＝4，设CG＝x，则BG＝8﹣x，在Rt△ABG和Rt△GCE中，根据勾股定理，得AB2+BG2＝CE2+CG2，即82+（8﹣x）2＝42+x2，解得x＝7，∴BG＝BC﹣CG＝8﹣7＝1．故答案是：1．15．（2022•江西）沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为．【分析】根据图形可得长方形的长是正方形的对角线为2，长方形的宽是正方形对角线的一半为1，然后利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：根据图形可知：长方形的长是正方形的对角线为2，长方形的宽是正方形对角线的一半为1，则长方形的对角线长＝＝．故答案为：．。

中考数学专题复习与正方形有关的解题技巧试题

无棣县埕口中学中考数学专题复习与正方形有关的解题技巧新人教版一、等积变换：例1、，如图：的边长为6cm ，对角线AC 、BD 相交于点O,过点O 的任一直线EF 分别交边AB 、CD 于点E 、F,那么阴影局部的面积是 .分析：此题中的阴影局部面积由两个三角形的面积组成，由于这两个三角形的面积分别求得很不容易，因此可以把其中一个三角形用它面积相等的三角形交换，从而构造成一个具有特殊性质的图形.根据正方形的性质有OB=OD,∠BOE=∠DOF,易证△BOE ≌△DOF,于是S 阴影=S △AOB =41S 正方形ABCD . 解答：∵正方形ABCD,∴OB=OD,∠BOE=∠DOF, ∵∠BOE=∠DOF,∴△BOE ≌△DOF, ∴S 阴影=S △AOE +S △DOF = S △AOE +S △BOE =S △AOB =41S 正方形ABCD =41×62=9(cm 2). 故填9cm 2.点评：此题运用正方形的性质，通过等积变换，求得阴影局部的面积是定值，等于正方形面积的四分之一.二、旋转变换：例2、如图，在正方形ABCD 中，P 为BC 边上的一点，Q 为CD 边上一点，假如PQ=BP+DQ,求∠PAQ 的度数.AE BCF D O分析：由PQ=BP+DQ,可以考虑延长PB(或者延长QD)到E ，使BE=DQ,把△ADQ 旋转到△ABE 处，得到△ADQ ≌△ABE 且PE=PQ,再通过证△AQP 与△AEP 全等，EAB 、∠QAD 、∠BAP 及∠PAQ 之间的关系求∠PAQ 的度数.解答：延长PB 到E,使BE=DQ.∵正方形ABCD,∴AB=AD,∠ABE=∠ADQ=900, ∴△ABE ≌△ADQ(SAS),∴AE=AQ,∠EAB=∠QAD. ∵∠QAD+∠BAQ=900,∴∠EAB+∠BAQ=900. ∵AQ=AE,AP=AP,PQ=DQ+BP=BE+BP=PE, ∴△AQP ≌△AEP(SSS),∴∠PAQ=∠PAE=21∠EAQ=21(∠EAB+∠BAQ)= 21×900=450. 点评：解答此题的关键是将△ADQ 旋转到△ABE 处，同学们要认真体会并掌握这种方法. 三、构造全等三角形例3、如图，在正方形ABCD 中，M 为AB 的中点，MN ⊥MD ，BN 平分∠CBE 并交MN 于N ，求证：MD=MN.分析：要证MD=MN,可证它们所在的三角形全等，而它们所在的△AMD 与△MBN 不可能全等，而由M 为AB 的中点，想到如取AD 的中点，那么有DP=MB,再连接PM ，这时可证△DPM 与△MBN 全等.解答：取AD 的中点P,连接PM ，那么DP=PA=21AD. ∵正方形ABCD, ∴AD=AB,∠A=∠ABC=900,∴∠ADM+∠AMD=900.∵MN ⊥MD ，∴∠BMN+∠AMD=900,∴∠ADM=∠BMN. ∵M 为AB 的中点，∴AM=MB=21AB, ∴DP=MB,AP=AM, ∴∠APM=∠AMP=450, ∴∠DPM=1350.BP CQD PAM BEN C∵BN平分∠CBE, ∴∠EBN=450, ∴∠MBN=1350=∠DPM,∴△DPM≌△MBN, ∴DM=MN.综述：由于正方形具有等边和等角的特性，所以无论是等积变换、旋转变换还是构造图形，都是通过证全等三角形来实现的.实际上，利用全等三角形是与正方形有关的计算和证明中最常用的方法.〔解题技巧栏目〕励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

2020中考数学几何难点突破：正方形 (含答案)

2020中考数学几何难点突破：正方形（含答案）1. 如图，在正方形纸片ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，折叠正方形纸片ABCD ，使AD 落在BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合，展开后，折痕DE 分别交AB ，AC 于点E ，G .下列结论：①05.112=∠AGD ；②2=AEAD；③OGD AGD S S ∆∆=；④四边形AEFG 是菱形；⑤OG BE 2=. 其中，正确结论的序号是______________．2. 如图1，操作：把正方形CGEF 的对角线CE 放在正方形ABCD 的边BC 的延长线上)(BC CG >，取线段AE 的中点M .连MD ，MF ．（1）探究线段MD ，MF 的关系，并加以证明．（2）将正方形CGEF 绕点C 旋转任意角后（如图2），其他条件不变．探究线段MD ，MF 的关系，并加以证明．3. 如图，正方形ABCD 中，E ，F 是AB ，BC 边上两点，且FC AE EF +=，EF DG ⊥于G ，求证：DA DG =.4. 如图，正方形ABCD 被两条与边平行的线段EF 、GH 分割成四个小矩形，P 是EF 与GH 的交点，若矩形PFCH 的面积恰是矩形AGPE 面积的2倍，试确定HAF ∠的大小，并证明你的结论．图2图1EEBA B A E5. 如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是边BC ，CD 上的点，满足DF BE EF +=，AF AE ,分别与对角线BD 交于点N M ,．求证：（1）045=∠EAF ；（2）222DN BM MN +=．6. 已知：正方形ABCD 中，045=∠MAN ，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB ，DC （或它们的延长线）于点N M ,．当MAN ∠绕点A 旋转到DN BM =时（如图1），易证MN DN BM =+．（1）当M A N ∠绕点A 旋转到DN BM ≠时（如图2），线段DN BM ,和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时，线段DN BM ,和MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的BAFA B CD E F GHP猜想．基础巩固1. 如图，若四边形ABCD 是正方形，CDE ∆是等边三角形，则EAB ∠的度数为__________.2. 四边形ABCD 的对角线BD AC 、相交于点O ，给出以下题设条件： ①DA CD BC AB ===；②BD AC DO CO BO AO ⊥===,； ③BD AC DO BO CO AO ⊥==,,； ④DA CD BC AB ==,．其中，能判定它是正方形的题设条件是______________. （把你认为正确的序号都填在横线上）3．如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住一个不动，将另一个绕顶点A 顺时针旋转030，则这两个正方形重叠部分的面积是__________.第1题图BA EABCDMN图3ABCD MN图2ABCD MN图1第3题图第4题图4.如图，P 是正方形ABCD 内一点，将ABP ∆绕点B 顺时针方向旋转至能与'CBP ∆重合，若3=PB ，则'PP=__________. 5.将n 个边长都为cm 1的正方形按如图所示摆放，点n A A A ,,21分别是正方形的中心，则n 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为( ) A .241cm B ．24cm n C. 241cm n - D. 2)41(cm n第5题图第6题图6. 如图，以BCA Rt ∆的斜边BC 为一边在BCA ∆的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，连接AO ，如果26,4==AO AB ，则AC 的长为( )A . 12B ．8 C.34 D. 287．如图，正方形ABCD 中，035,=∠=MCE MN CE ，那么ANM ∠是( ) A .045 B ．055 C. 065 D. 075ABCDPP ''B'D '8．如图，正方形ABCD 的面积为256，点F 在AD 上，点E 在AB 的延长线上，CEF Rt ∆的面积为200，则BE 的值是( )A ．15B ．12C ．11D ．109．如图，在正方形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BD 与CE 交于F 点，求证：BE AF ⊥．10. 如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 边的中点，F 是AD 上的一点，且AD AF 41= ．求证：CE 平分BCF ∠．11. 如图，已知P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，F E BC PF DC PE ,,,⊥⊥分别是垂足．求证：EF AP =．12.（1）如图1，已知正方形ABCD 和正方形)(BC CG CGEF >，G C B ,,在同一条直线上，M 为线段AE 的中点．探究：线段MF MD ,的关系．第8题图第7题图ABAD E FBABAEEBA（2）如图2，若将正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转045，使得正方形CGEF 的对角线CE 在正方形ABCD 的边BC 的延长线上，M 为AE 的中点．试问：（1）中探究的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．图1 图2参考答案例1 ①④⑤ 提示：在AD 上取AH ＝AE ，连EH ，则∠AHE ＝45°，∴∠HED ＝∠HDE ＝22.5°，则HE ＝HD ．又∵HE ＝HD ＞AE ，故②不正确．又AGD FGD CGD S S S ∆∆∆=> ，故③不正确．例2 提示：(1)延长DM 交CE 于N ，连DF ，NF ，先证明△ADM ≌△ENM ，再证明△CDF ≌△ENF 得FD ＝FN ，∠DFN ＝∠CFE ＝90°，故MD ⊥MF 且MD ＝MF ．(2)延长DM 到N 点，使DM ＝MN ，连FD ，FN ，先证明△ADM ≌△ENM ，得AD ＝EN ，∠MAD ＝∠MEN ，则AD ∥EN ．延长EN ，DC 交于S 点，则∠ADC ＝∠CSN ＝90°．在四边形FCSE 中，∠FCS ＋∠FEN ＝180°，又∵∠FCS ＋∠FCD ＝180°，故∠FEN ＝∠FCD ，再证△CDF ≌△ENF ．∴(1)中结论仍成立．例3 提示：延长BC 至点H ，使得CH ＝AE ，连结DE ，DF ，由Rt △DAE ≌Rt △DCH 得，DE ＝DH ，进而推证△DEF ≌△DFH ，Rt △DGE ≌Rt △DCH ．例4 设AG ＝a ，BG ＝b ，AE ＝x ，ED ＝y ，则,2. a b x y ax by +=+⎧⎨=⎩①②由①得a －x ＝y －b ，平方得a 2－2ax ＋x 2＝y 2－2by ＋b 2．将②代入得a 2－2ax ＋x 2＝y 2－4ax ＋b 2， ∴(a ＋x )2＝b 2＋y 2，得a ＋x∵b 2＋y 2＝CH 2＋CF 2＝FH 2， ∴a ＋x ＝FH ，即DH ＋BF ＝FH ．ABCDEFG MABCDEFGM A D CFHB MGEP延长CB 至M ，使BM ＝DH ，连结AM ，由Rt △ABM ≌Rt △ADH ，得AM ＝AH ，∠MAB ＝∠HAD ． ∴∠MAH ＝∠MAB ＋∠BAH ＝∠BAH ＋∠HAD ＝90°．再证△AMF ≌△AHF ．∴∠MAF ＝∠HAF ．即∠HAF ＝12∠MAH ＝45°．例5 (1)如图，延长CD 至点E 1，使DE 1＝BE ，连结AE 1，则△ADE 1≌△ABE ．从而，∠DAE 1＝∠BAE ，AE 1＝AE ，于是∠EAE 1＝90°．在△AEF 和△AE 1F 中，EF ＝BE ＋DF ＝E 1D ＋DF ＝E 1F ，则△AEF ≌△AE 1F ．故∠EAF ＝∠E 1AF ＝12∠EAE 1＝45°． (2)如图，在AE 1上取一点M 1，使得AM 1＝AM ，连结M 1D ，M 1N ．则 △ABM ≌△ADM 1，△ANM ≌△ANM 1，故∠ABM ＝∠ADM 1，BM ＝DM 1，MN ＝M 1N ．∵∠NDM 1＝90°，从而M 1N 2＝M 1D 2＋ND 2，∴MN 2＝BM 2＋DN 2．例6 (1)BM ＋DN ＝MN 成立．如图a ，把△AND 绕点A 顺时针旋转90°，得到△ABE ，E 、B 、M 三点共线，则△DAN ≌△BAE ， ∴AE ＝AN ，∠EAM ＝∠NAM ＝45°，AM ＝AM ，得△AEM ≌△ANM ，∴ME ＝MN ． ∵ME ＝BE ＋BM ＝DN ＋BM ，∴DN ＋BM ＝MN ． (2)DN －BM ＝MN ．如图b ，对于图2，连BD 交AM 于E ，交AN 于F ，连EN ，FM可进一步证明：①△CMN 的周长等于正方形边长的2倍； ②EF 2＝BE 2＋DF 2；③△AEN ，△AFM 都为等腰直角三角形； ④2AMN AEF S S ∆∆=．基础巩固1．75° 2．②34．5．C 6．B 7．B 8．B9．提示：△ABE ≌△DCE ，△ADF ≌△CDF ，证明∠ABE ＋∠BAF ＝90°．图b图aEE FADCBM N NMBCD AFEAD CB MNM E 1110．提示：延长CE交DA的延长线于G，证明FG＝FC．11．提示：连PC，则PC＝EF．12．(1)延长DM交EF于N，由△ADM≌△ENM，得DM＝NM，MF＝12DN，FD＝FN，故MD⊥MF，且MD＝MF．(2)延长DM交CE于N，连结DF，FN，先证明△ADM≌△ENM，再证明△CDF≌△ENF，(1)中结论仍成立．。

2021年中考数学专题复习正方形解答题专题突破练习(1)

【全国通用】初中几何正方形解答题专题突破练习（1）1．如图，四边形ABCD 是正方形，点O 为对角线AC 的中点．（1）问题解决：如图①，连接BO ，分别取CB ，BO 的中点P ，Q ，连接PQ ，则PQ 与BO 的数量关系是，位置关系是；（2）问题探究：如图①，①AO 'E 是将图①中的①AOB 绕点A 按顺时针方向旋转45°得到的三角形，连接CE ，点P ，Q 分别为CE ，BO '的中点，连接PQ ，PB ．判断①PQB 的形状，并证明你的结论；（3）拓展延伸：如图①，①AO 'E 是将图①中的①AOB 绕点A 按逆时针方向旋转45°得到的三角形，连接BO '，点P ，Q 分别为CE ，BO '的中点，连接PQ ，PB ．若正方形ABCD 的边长为1，求①PQB 的面积．2．如图，正方形OABC 的边OA ，OC 在坐标轴上，点B 的坐标为()6,6-．点P 从点A 个单位长度的速度沿x 轴向点O 运动；点Q 从点O 同时出发，以相同的速度沿x 轴的正方向运动，规定点P 到达点O 时，点Q 也停止运动．连接BP ，过P 点作BP 的垂线，与过点Q 平行于y 轴的直线相交于点D ，BD 与y 轴交于点E ，连接PE ．设点P 运动的时间为t （s ）．（1）写出PBD ∠的度数和点D 的坐标（点D 的坐标用t 表示）．（2）探索POE △周长是否随时间t 的变化而变化，若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．（3）当何值时，PBE △为等腰三角形？3．如图1，正方形ABCD ，E 为平面内一点，且90BEC ∠=︒，把BCE 绕点B 逆时针旋转90︒得BAG ，直线AG 和直线CE 交于点F ．（1）证明：四边形BEFG 是正方形；（2）若135AGD ∠=︒，猜测CE 和CF 的数量关系，并说明理由；（3）如图2，连接DF ，若13AB =，17CF =，求DF 的长．4．如图，已知正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，①EAF=45° （1）求证：BE+DF=EF （2）当BE=1时，求EF 的长5．已知边长为2的正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上的一个动点（与点A 、C 不重合），过点P 作PE①PB ，PE 交DC 于点E ，过点E 作EF①AC ，垂足为点F ．（1）求证：PB=PE ；（2）在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，写出解答过程；若变化，试说明理由；6．如图，已知正方形ABCD．．（1）如图1，E是AD上一点，过BE上一点O作BE的垂线交AB于点G，交CD于点H，求证：BE GH （2）如图2，过正方形ABCD内任意一点作两条互相垂直的直线，分别交AD，BC于点E，F，交AB，CD于点G，H，EF与GH相等吗？请写出你的结论．（3）当点O在正方形ABCD的边上或外部时，过点O作两条互相垂直的直线，被正方形相对的两边（或它们的延长线）截得的两条线段还相等吗？其中一种情形如图3所示，过正方形ABCD外一点O作互相垂直的两条直线m，n，m与AD，BC的延长线分别交于点E，F，n与AB，DC的延长线分别交于点G，H，试就该图形对你的结论加以证明．7．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把①ADE绕点A顺时针旋转到①ABF的位置，接EF．（1）求证：①AEF是等腰直角三角形；（2）若四边形AECF的面积为25，DE=2，求AE的长．AC BD相交于点O，连接AP，分别交8．如图，点P是正方形ABCD中BC延长线上一点，对角线,，于点,E F，过点B作AP的垂线，垂足为点G，交线段AC于H．BD CD（1）若20P ∠=，求GBE ∠的大小．（2）求证：2AE EF EP =．（3）若正方形ABCD 的边长为1，1CP =，求HG 的长．9．已知，如图，在Rt①ABC 中，①BAC ＝90°，①ABC ＝45°，点D 为直线BC 上一动点(点D 不与点B ，C 重合)．以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ，当点D 在线段BC 的反向延长线上，且点A ，F 分别在直线BC 的两侧时．(1)求证：①ABD ①①ACF ；(2)若正方形ADEF 的边长为AE ，DF 相交于点O ，连接OC ，求OC 的长度．10．四边形ABCD 是正方形，BEF ∆是等腰直角三角形，90,BEF BE EF ∠=︒=，连接DF ，G 为DF 的中点，连接,,EG CG EC ．（1）如图1，若点E 在CB 边的延长线上，直接写出EG 与GC 的位置关系及ECGC的值．（2）将图1中的BEF ∆绕点B 顺时针旋转至图2所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然成立?若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3）将图1中的BEF ∆绕点B 顺时针旋转3(060)a a ︒<<︒，若2,BE AB ==,,E F D 三点共线时，请直接写出GC 的长．11．已知：正方形ABCD ，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点D 处，使三角板绕点D 旋转．（1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想CE 与AF 的数量关系，并加以证明；（2）在（1）的条件下，若::1:DE AE CE =，求AED ∠的度数；（3）若4BC =，点M 是边AB 的中点，连结DM ，DM 与AC 交于点O ，当三角板的边DF 与边DM重合时（如图2），若3OF =，求DN 的长． 12．（1）如图1，正方形ABCD 中，E 为边CD 上一点，连接AE ，过点A 作AF①AE 交CB 的延长线于F ，猜想AE 与AF 的数量关系，并说明理由；（2）如图2，在（1）的条件下，连接AC，过点A作AM①AC交CB的延长线于M，观察并猜想CE与MF的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：王师傅有一块如图所示的板材余料，其中①A=①C=90°，AB=AD．王师傅想切一刀后把它拼成正方形．请你帮王师傅在图3中画出剪拼的示意图．13．已知正方形ABCD，点E在AB上，点G在AD，点F在射线BC上，点H在CD上．（1）如图1，DE①FG，求证：BF＝AE+AG；（2）如图2，DE①DF，P为EF中点，求证：BE；（3）如图3，EH交FG于O，①GOH＝45°，若CD＝4，BF＝DG＝1，则线段EH的长为．14．已知正方形ABCD中AC与BD交于点O，点M在线段BD上，作直线AM交直线DC于点E，过D作DH①AE于H，设直线DH交AC于点N．（1）如图1，当M在线段BO上时，求证：OM＝ON；（2）如图2，当M在线段OD上，连接NE和MN，当EN//BD时，求证：四边形DENM是菱形；（3）在（2）的条件下，若正方形边长为4，求EC的长．15．如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．（1）求证AE＝MN；（2）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F．求①AEF的度数；（3）如图3，若该正方形ABCD边长为10，将正方形沿着直线MN翻折，使得BC的对应边B′C′恰好经过点A，过点A作AG①MN，垂足分别为G，若AG＝6，请直接写出AC′的长________．16．（1）如图1，正方形ABCD中，点P为线段BC上一个动点，若线段MN垂直AP于点E，交线段AB 于点M，交线段CD于点N，证明：AP＝MN；（2）如图2，正方形ABCD中，点P为线段BC上一动点，若线段MN垂直平分线段AP，分别交AB，AP，BD，DC于点M，E，F，N．求证：EF＝ME+FN；（3）若正方形ABCD的边长为2，求线段EF的最大值与最小值．17．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且①EAF＝45°，将①ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到①ABQ，连接EQ．（1）求证：EA是①QED的平分线；（2）已知BE ＝1，DF ＝3，求EF 的长．18．如图1，已知正方形ABCD 和正方形CEGF ，点,,F C B 在同一直线上，连接BE ，DF ，DF 与EG 相交于点M ．（1）求证：BE FD =．（2）如图2，N 是BC 边上的一点，连接AN 交BE 于点H ，且BN GMBC GE=． ①求证：BN EC =； ①若2CE DE =，直接写出BNAB的值． 19．如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形OABC 的顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，点O 在原点．现将正方形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转，旋转角为θ，当点A 第一次落在直线y x =上时停止旋转，旋转过程中，AB 边交直线y x =于点M ，BC 边交x 轴于点N ．（1）若30θ=︒时，求点A 的坐标；（2）设MBN △的周长为P ，在旋转正方形OABC 的过程中，P 值是否有变化？请证明你的结论； 20．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，AF 与DE 相交于点M ，且BAF ADE ∠=∠．（1）如图1，求证：AF DE ⊥．图1（2）如图2，AC 与BD 相交于点O ，AC 交DE 于点G ，BD 交AF 于点H ，连接GH ，试探究直线GH 与AB 的位置关系，并说明理由．图2（3）在（1）（2）的基础上，若AF 平分BAC ∠，且BDE ∆的面积为4+，求正方形ABCD 的面积． 21．在ABC 中，①BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B ，C 重合），以AD 为边在AD 的右侧作正方形ADEF ，连接CF ．（1）观察猜想如图1，当点D 在线段BC 上时， ①BC 与CF 的位置关系为：；①BC ，CD ，CF 之间的数量关系为：．（将结论直接写在横线上）（2）数学思考如图2，当点D 在线段CB 的延长线上时，结论①①是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立，请你写出正确结论再给予证明，（3）拓展延伸如图3，当点D 在线段BC 的延长线上时，延长BA 交CF 于点G ，连接GE ．若AB ＝，CD ＝1，请求出GE 的长．22．如图1，E 是正方形ABCD 中CD 边上的一点，以点A 为中心，把ADE 顺时针旋转α后，得到ABG ．（1）求α的值；（2）当点F 在BC 上，且①EAF=45°，连接EF （如图2），求证：BF+DE=EF ；（3）在（2）的前提下，连接BD ，分别交AE ，AF 于M ，N 两点（如图3），试判断线段BN ，MN ，DM 三者的关系式，请给出证明．23．探究证明：（1）如图1，正方形ABCD 中，点M 、N 分别在边BC 、CD 上，AM①BN ．求证：BN=AM ；（2）如图2，矩形ABCD 中，点M 在BC 上，EF①AM ，EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ．求证：EF BCAM AB=；（3）如图3，四边形ABCD 中，①ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM①DN ，点M 、N 分别在边BC 、AB 上，求DNAM的值． 24．已知：四边形ABCD 为正方形，AMN ∆是等腰Rt ∆，90AMN ∠=︒．（1）如图：当Rt AMN ∆绕点A 旋转时，若边AM 、AN 分别与BC 、CD 相交于点E 、F ，连接EF ，试证明：EF DF BE =+．（2）如图，当Rt AMN ∆绕点A 旋转时，若边AM 、AN 分别与BC 、CD 的延长线相交于点E 、F ，连接EF ．①试写出此时三线段EF 、DF 、BE 的数量关系并加以证明．①若6CE =，2DF =，求：正方形ABCD 的边长以及AEF ∆中AE 边上的高．25．如图1，已知点G 在正方形ABCD 的对角线AC 上，GE BC ⊥，垂足为点E ，GF CD ⊥，垂足为点F ．（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF 是正方形；①推断：AG BE的值为：_______（直接写出答案）．图1（2）探究与证明：将正方形CEGF 绕点C 顺时针方向旋转α角()045α︒<<︒，如图（2）所示，试探究线段AG 与BE 之间的数量关系，并说明理由．图2（3）拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若6AG=，GH=，求BC的长．图3。

2020中考数学几何难点突破：正方形 (含详解版)

2020中考数学几何难点突破：正方形（含答案）1. 如图，在正方形纸片ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，折叠正方形纸片ABCD ，使AD 落在BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合，展开后，折痕DE分别交AB ，AC 于点E ，G . 下列结论：①05.112=∠AGD ；②2=AEAD；③OGD AGD S S ∆∆=；④四边形AEFG 是菱形；⑤OG BE 2=其中，正确结论的序号是______________．....................... ........2. 如图1，操作：把正方形CGEF 的对角线CE 放在正方形ABCD 的边BC 的延长线上)(BC CG >，取线段AE 的中点M 连MD ，MF ．...（1）探究线段MD ，MF 的关系，并加以证明． ...（2）将正方形CGEF 绕点C 旋转任意角后（如图2），其他条件不变． ....探究线段MD ，MF 的关系，并加以证明．................................3. 如图，正方形ABCD 中，E ，F 是AB ，BC 边上两点，且FC AE EF +=，EF DG ⊥于G ，求证：DA DG =..................................................................................................................图2图1EEBA B A E.................................4. 如图，正方形ABCD 被两条与边平行的线段EF 、GH 分割成四个小矩形，P 是EF 与GH 的交点，若矩形PFCH 的面积恰是矩形AGPE 面积的2倍，试确定HAF ∠的大小，并证明你的结论．...............................................................5. 如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是边BC ，CD 上的点，满足DF BE EF +=， AF AE ,分别与对角线BD 交于点N M ,．.............求证：（1）045=∠EAF ；.....（2）222DN BM MN +=．......................... .....................................................................BAFA BCD E FGHP6. 已知.：正方形ABCD 中，045=∠MAN ，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB ，DC （或它们的延长线）于点N M ,．.当MAN ∠绕点A 旋转到DN BM =时（如图1），易证MN DN BM =+．（1）当MAN ∠绕点A 旋转到DN BM ≠时（如图2），线段DN BM ,和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时，线段DN BM ,和MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．.............................................................................基础巩固1 .如图，若四边形ABCD 是正方形，CDE ∆是等边三角形，则EAB ∠的度数为__________. 2 .四边形ABCD 的对角线BD AC 、相交于点O ，给出以下题设条件： ①DA CD BC AB ===；②BD AC DO CO BO AO ⊥===,； ③BD AC DO BO CO AO ⊥==,,； ④DA CD BC AB ==,．其中，能判定它是正方形的题设条件是______________ .. （把你认为正确的序号都填在横线上）........... ................3．如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住一个不动，将另一个绕顶点A 顺时针旋转030，则这两个正方形重叠部分的面积是__________ ..ABCDMN图3ABCD MN图2ABCD MN图1..第1题图....第3题图..第4题图4 如图，P 是正方形ABCD 内一点，将ABP ∆绕点B 顺时针方向旋转至能与'CBP ∆重合，若3=PB ，则'PP =__________ ....................................................................5 将n 个边长都为cm 1的正方形按如图所示摆放，点n A A A ,,21分别是正方形的中心，则n 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为(.....)A.241cm ........B ．24cm n .........C .241cm n -........D .2)41(cm n ......................BA EABCDPP ''B'D '......第5题图第6题图....6 .如图，以BCA Rt ∆的斜边BC 为一边在BCA ∆的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，连接AO ，如果26,4==AO AB ，则AC 的长为(.....) A. .12............B ．8.............C 34..............D .28...........................7．如图，正方形ABCD 中，035,=∠=MCE MN CE ，那么ANM ∠是(......) A. 045............B ．055.............C .065..............D .075.............8．如图，正方形ABCD 的面积为256，点F 在AD 上，点E 在AB 的延长线上，CEF Rt ∆的面积为200，则BE 的值是(.....)A ．15.............B ．12...............C ．11...............D ．10........................................................9．如图，在正方形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BD 与CE 交于F 点，求证：BE AF ⊥．..........................................................................第8题图第7题图ABAD E FB A10 .如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 边的中点，F 是AD 上的一点，且AD AF 41=.．求证：CE 平分BCF ∠．........................................................11 .如图，已知P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，F E BC PF DC PE ,,,⊥⊥分别是垂足．求证：EF AP =．.................................................................12 （1）如图1，已知正方形ABCD 和正方形)(BC CG CGEF >，G C B ,,在同一条直线上，M 为线段AE 的中点．探究：线段MF MD ,的关系．（2）如图2，若将正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转045，使得正方形CGEF 的对角线CE 在正方形ABCD 的边BC 的延长线上，M 为AE 的中点．试问：（1）中探究的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．.............图1 图2BAEEBAABCDEFGMABCDEFGM参考答案例1 ①④⑤ 提示：在AD 上取AH ＝AE ，连EH ，则∠AHE ＝45°，∴∠HED ＝∠HDE ＝22.5°，则HE ＝HD ．又∵HE ＝HD ＞AE ，故②不正确．又AGD FGD CGD S S S ∆∆∆=> ，故③不正确．例2 提示：(1)延长DM 交CE 于N ，连DF ，NF ，先证明△ADM ≌△ENM ，再证明△CDF ≌△ENF 得FD ＝FN ，∠DFN ＝∠CFE ＝90°，故MD ⊥MF 且MD ＝MF ．(2)延长DM 到N 点，使DM ＝MN ，连FD ，FN ，先证明△ADM ≌△ENM ，得AD ＝EN ，∠MAD ＝∠MEN ，则AD ∥EN ．延长EN ，DC 交于S 点，则∠ADC ＝∠CSN ＝90°．在四边形FCSE 中，∠FCS ＋∠FEN ＝180°，又∵∠FCS ＋∠FCD ＝180°，故∠FEN ＝∠FCD ，再证△CDF ≌△ENF ．∴(1)中结论仍成立．例3 提示：延长BC 至点H ，使得CH ＝AE ，连结DE ，DF ，由Rt △DAE ≌Rt △DCH 得，DE ＝DH ，进而推证△DEF ≌△DFH ，Rt △DGE ≌Rt △DCH ．例4 设AG ＝a ，BG ＝b ，AE ＝x ，ED ＝y ，则,2. a b x y ax by +=+⎧⎨=⎩①②由①得a －x ＝y －b ，平方得a 2－2ax ＋x 2＝y 2－2by ＋b 2．将②代入得a 2－2ax ＋x 2＝y 2－4ax ＋b 2， ∴(a ＋x )2＝b 2＋y 2，得a ＋x∵b 2＋y 2＝CH 2＋CF 2＝FH 2， ∴a ＋x ＝FH ，即DH ＋BF ＝FH ．延长CB 至M ，使BM ＝DH ，连结AM ，由Rt △ABM ≌Rt △ADH ，得AM ＝AH ，∠MAB ＝∠HAD ．∴∠MAH ＝∠MAB ＋∠BAH ＝∠BAH ＋∠HAD ＝90°．A D CFHB MGEP再证△AMF ≌△AHF ．∴∠MAF ＝∠HAF ．即∠HAF ＝12∠MAH ＝45°．例5 (1)如图，延长CD 至点E 1，使DE 1＝BE ，连结AE 1，则△ADE 1≌△ABE ．从而，∠DAE 1＝∠BAE ，AE 1＝AE ，于是∠EAE 1＝90°．在△AEF 和△AE 1F 中，EF ＝BE ＋DF ＝E 1D ＋DF ＝E 1F ，则△AEF ≌△AE 1F ．故∠EAF ＝∠E 1AF ＝12∠EAE 1＝45°． (2)如图，在AE 1上取一点M 1，使得AM 1＝AM ，连结M 1D ，M 1N ．则 △ABM ≌△ADM 1，△ANM ≌△ANM 1，故∠ABM ＝∠ADM 1，BM ＝DM 1，MN ＝M 1N ．∵∠NDM 1＝90°，从而M 1N 2＝M 1D 2＋ND 2，∴MN 2＝BM 2＋DN 2．例6 (1)BM ＋DN ＝MN 成立．如图a ，把△AND 绕点A 顺时针旋转90°，得到△ABE ，E 、B 、M 三点共线，则△DAN ≌△BAE ，∴AE ＝AN ，∠EAM ＝∠NAM ＝45°，AM ＝AM ，得△AEM ≌△ANM ，∴ME ＝MN ． ∵ME ＝BE ＋BM ＝DN ＋BM ，∴DN ＋BM ＝MN ． (2)DN －BM ＝MN ．如图b ，对于图2，连BD 交AM 于E ，交AN 于F ，连EN ，FM 可进一步证明：①△CMN 的周长等于正方形边长的2倍；②EF 2＝BE 2＋DF 2；③△AEN ，△AFM 都为等腰直角三角形； ④2AMN AEF S S ∆∆=．基础巩固图b图aEE FADCBM N NMBCD AFEAD CB MNM E 111．75°2．②3．34．5．C6．B7．B8．B 9．提示：△ABE≌△DCE，△ADF≌△CDF，证明∠ABE＋∠BAF＝90°．10．提示：延长CE交DA的延长线于G，证明FG＝FC．11．提示：连PC，则PC＝EF．12．(1)延长DM交EF于N，由△ADM≌△ENM，得DM＝NM，MF＝12DN，FD＝FN，故MD⊥MF，且MD＝MF．(2)延长DM交CE于N，连结DF，FN，先证明△ADM≌△ENM，再证明△CDF≌△ENF，(1)中结论仍成立．。

中考数学总复习《正方形》专项提升训练(带答案)

中考数学总复习《正方形》专项提升训练（带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O .第1题图(1)若四边形ABCD是平行四边形，请添加条件__________，使四边形ABCD是正方形；【判定依据】__________________________；(2)若四边形ABCD是矩形，请添加一个条件________，使四边形ABCD是正方形；【判定依据】__________________________；(3)若四边形ABCD是菱形，请添加一个条件________，使四边形ABCD是正方形；【判定依据】__________________________．2. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.(1)∠ABC＝________，∠BAC＝________，∠COD＝________；(2)若AB＝3，则BC＝________，CD＝________；(3)若OA＝2，则AC＝________，BD＝________，AD＝________；(4)若OA＝4，则正方形ABCD 的面积是________，周长是________．第2题图知识逐点过考点1 正方形的性质及面积边四条边都相等，对边平行角四个角都是直角1.对角线相等且互相①________；对角线2．每一条对角线平分一组对角对称性既是轴对称图形，又是中心对称图形，有4条对称轴，对称中心是两条②________的交点面积公式S＝a2＝12l2【温馨提示】正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形考点2 正方形的判定边1.有一组邻边相等，并且有一个角是③________的平行四边形是正方形(定义)；2．有一组邻边④________的矩形是正方形角有一个角是⑤________的菱形是正方形对角线1.对角线⑥________的矩形是正方形；2．对角线⑦________的菱形是正方形；3．对角线互相⑧__________的四边形是正方形考点3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系从边、角的角度看从对角线的角度看考点4 中点四边形概念依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形原图形任意四边形矩形菱形正方形对角线相等的四边形对角线垂直的四边形对角线垂直且相等的四边形中点四边形形状平行四边形菱形矩形正方形菱形矩形正方形【温馨提示】连接特殊四边形中点的四边形面积是原图形的一半教材原题到重难考法与正方形有关的证明与计算例如图，在正方形ABCD中，点F为对角线AC上一点，连接BF，DF.你能找出图中的全等三角形吗？选择其中一对进行证明．例题图变式题1. 结合角度求线段长如图，正方形ABCD的边长为4，点F为对角线AC上一点，连接BF，当∠CBF＝22.5°时求AF的长．第1题图2. 过点F作AB边的垂线如图，在正方形ABCD中，F是对角线AC上一点，作EF⊥AB于点E，连接DF，若BC＝6，BE＝2，求DF的长．第2题图3. 过点F分别作AB，BC边的垂线如图，F是正方形ABCD对角线AC上一点，过点F分别作FE⊥AB，FG⊥BC，垂足分别为点E，G，连接DF，EG.(1)求证：EG＝DF；(2)若正方形的边长为3＋3，∠BGE＝30°，求DF的长．第3题图真题演练命题点正方形性质的相关计算1. 如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至点E使EB＝2，以EB为边在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AM，AF，H为AD的中点，连接FH分别与AB，AM交于点N，K .则下列结论：①△ANH≌△GNF；②∠AFN＝∠HFG；③FN＝2NK；④S△AFN∶S△ADM ＝1∶4.其中正确的结论有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个第1题图2. 边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上(如图)，则图中阴影部分的面积为________．第2题图基础过关1. 正方形具有而菱形不具有的性质是()A. 对角线平分一组对角B. 对角线相等C. 对角线互相垂直平分D. 四条边相等2. 若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD的两条对角线AC，BD一定是()A. 互相平分B. 互相垂直C. 互相平分且相等D. 互相垂直且相等3.如图，边长为3的正方形OBCD两边与坐标轴正半轴重合，点C的坐标是()A. (3，－3)B. (－3，3)C. (3，3)D. (－3，－3)第3题图4. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°.若∠BAE＝α，则∠FEC一定等于()A. 2αB. 90°－2αC. 45°－αD. 90°－α第4题图5.在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，试添加一个条件_________________________ 使得矩形ABCD为正方形．6. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E在AD上，连接EB，EC，则图中阴影部分的面积是__________．第6题图7. 七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为4 dm的正方形纸板制作了一副七巧板，如图所示，由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成，则图中阴影部分的面积为__________dm2.第7题图8. 如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E，PE＝3.则点P到直线AB的距离为__________．第8题图9. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝7，点F为DE的中点，若△CEF的周长为32，则OF的长为__________．第9题图10. 如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O，点F在DC上，且MF∥AD.(1)求证：△ABE≌△FMN；(2)若AB＝8，AE＝6，求ON的长．第10题图综合提升11. 如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，EF⊥AB于点F，连接DE并延长，交边BC于点M，交边AB的延长线于点G.若AF＝2，FB＝1，则MG＝()A. 23B. 352 C. 5＋1 D. 10第11题图12. 如图，在正方形ABCD 中，点E 为BD 上一点，DE ＝3BE ，连接AE ，过点E 作AE 的垂线，交CD 于点F ，连接AF 交BD 于点G .下列结论：①sin ∠BAE ＝13 ；②∠EAF ＝45°；③点F 为CD 的中点；④BE ＋DG ＝GE .其中正确的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个第12题图13. 第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形(△DAE ，△ABF ，△BCG ，△CDH )和中间一个小正方形EFGH 拼成的大正方形ABCD 中，∠ABF >∠BAF ，连接BE .设∠BAF ＝α，∠BEF ＝β，若正方形EFGH 与正方形ABCD 的面积之比为1∶n ，tan α＝tan 2β，则n ＝( ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2第13题图参考答案1. (1)AC ＝BD ，且AC ⊥BD (答案不唯一)；【判定依据】对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形(答案不唯一)； (2)AC ⊥BD (答案不唯一)；【判定依据】对角线互相垂直的矩形是正方形； (3)∠ABC ＝90°(答案不唯一)【判定依据】有一个角是直角的菱形是正方形．2. (1)90°，45°，90°；(2)3，3；(3)4，4，22 ；(4)32，162 . 教材原题到重难考法例解：△ABC ≌△ADC ，△ABF ≌△ADF ，△CDF ≌△CBF ，理由如下： ∵四边形ABCD 是正方形∴AB ＝AD ＝BC ＝CD ，∠DAC ＝∠BAC ＝∠DCA ＝∠BCA ＝45° 在△ABC 和△ADC 中 ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ∠BAC ＝∠DAC AC ＝AC∴△ABC ≌△ADC (SAS) 在△ABF 和△ADF 中 ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ∠BAF ＝∠DAF AF ＝AF∴△ABF ≌△ADF (SAS) 在△DCF 和△BCF 中 ⎩⎪⎨⎪⎧DC ＝BC ∠DCF ＝∠BCF CF ＝CF∴△DCF ≌△BCF (SAS).(选择其中任意一对证明即可) 1. 解：在正方形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ∴∠BAC ＝∠BCA ＝45° ∵∠CBF ＝22.5°∴∠ABF ＝∠ABC －∠CBF ＝90°－22.5°＝67.5°∴∠AFB ＝180°－∠BAC －∠ABF ＝180°－45°－67.5°＝67.5° ∴∠ABF ＝∠AFB ∴AF ＝AB ＝4.2. 解：如解图，连接BF第2题解图∵四边形ABCD是正方形∴AB＝BC＝6，∠EAF＝45°∵EF⊥AB∴EF＝AE＝AB－BE＝6－2＝4∴BF＝BE2＋EF2＝25∵正方形ABCD关于AC对称∴DF＝BF＝25.3. (1)证明：如解图，连接FB.∵四边形ABCD为正方形∴DA＝AB，∠DAC＝∠BAC∵AF＝AF∴△DAF≌△BAF∴DF＝BF∵四边形ABCD为正方形∴∠ABC＝90°∵FG⊥BC，FE⊥AB∴∠FGB＝∠FEB＝90°∴∠FGB＝∠FEB＝∠ABC＝90°∴四边形FEBG是矩形∴EG＝FB∴EG＝DF；(2)解：∵正方形的边长为3＋3，∠BGE＝30°∴BC＝3＋3∴BG＝BC－CG＝3＋3－CG∵∠BGE＝30°∴BG＝3BE∵AC为正方形ABCD的对角线∴∠DCF＝∠BCF＝45°∵FG⊥BC∴∠FGC＝∠FGB＝90°∴∠CFG＝45°∴FG＝CG∵四边形FEBG是矩形∴EB＝FG∴FG＝CG＝EB设FG＝CG＝EB＝x∴GE＝2x∴BG＝3BE＝3x∵BG＝BC－CG＝3＋3－x∴3＋3－x＝3x∴x＝3∴GE＝2x＝23∴DF＝BF＝GE＝23.第3题解图知识逐点过①垂直平分②对角线③直角④相等⑤直角⑥互相垂直⑦相等⑧垂直平分且相等真题演练1. C 【解析】∵四边形EFGB 是正方形，EB ＝2，∴FG ＝BE ＝2，∠FGB ＝90°，∵四边形ABCD 是正方形，H 为AD 的中点，∴AD ＝4，AH ＝2，∠BAD ＝90°，∴∠HAN ＝∠FGN ，AH ＝FG ，∵∠ANH ＝∠GNF ，∴△ANH ≌△GNF (AAS)，故①正确；∴∠AHN ＝∠HFG ，∵AG ＝FG ＝2＝AH ，∴AF ＝2 FG ＝2 AH ，∴∠AFH ≠∠AHF ，∵AD ∥FG ，∴∠AHF ＝∠HFG ，∴∠AFN ≠∠HFG ，故②错误；∵△ANH ≌△GNF ，∴AN ＝12 AG ＝1，∵GM＝BC ＝4，∴AH AN ＝GM AG＝2，∵∠HAN ＝∠AGM ＝90°，∴△AHN ∽△GMA ，∴∠AHN ＝∠AMG ，∠MAG ＝∠HNA ，∴AK ＝NK ，∵AD ∥GM ，∴∠HAK ＝∠AMG ，∴∠AHK ＝∠HAK ，∴AK ＝HK ，∴AK ＝HK ＝NK ，∵FN ＝HN ，∴FN ＝2NK ；故③正确；∵延长FG 交DC 于M ，∴四边形ADMG 是矩形，∴DM ＝AG ＝2，∵S △AFN ＝12 AN ·FG ＝12 ×2×1＝1，S △ADM＝12 AD ·DM ＝12×4×2＝4，∴S △AFN ∶S △ADM ＝1∶4，故④正确． 2. 15 【解析】如解图，∵四边形ABCD ，ECGF ，IGHK 均为正方形，∴CD ＝AD ＝10，CE ＝FG ＝CG ＝EF ＝6，∠CEF ＝∠F ＝90°，GH ＝IK ＝4，∴CH ＝CG ＋GH ＝10，∴CH ＝AD ，∵∠D ＝∠DCH ＝90°，∠AJD ＝∠HJC ，∴△ADJ ≌△HCJ (AAS)，∴CJ ＝DJ ＝5，∴EJ ＝1，∵GL ∥CJ ，∴△HGL ∽△HCJ ，∴GL CJ ＝GH CH ＝25，∴GL ＝2，∴FL ＝4，∴S阴影＝S梯形EJLF＝12 (EJ ＋FL )·EF ＝12(1＋4)×6＝15.第2题解图基础过关1. B2. D 【解析】如解图，点E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则EH ∥DB ∥GF ，HG ∥AC ∥EF ，EF ＝12 AC ，FG ＝12 BD ，∴四边形EFGH 为平行四边形．要使其为正方形，即EF ⊥FG ，FE ＝FG ，则AC ⊥BD ，AC ＝BD ，即对角线一定互相垂直且相等．第2题解图3. C 【解析】 ∵边长为3的正方形OBCD 两边与坐标轴正半轴重合，∴OB ＝BC ＝3，∴C (3，3).4. A 【解析】如解图，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG ，则AF ＝AG ，∠DAF ＝∠BAG .∵∠EAF ＝45°，∴∠BAE ＋∠DAF ＝45°，∴∠GAE ＝∠EAF ＝45°.在△GAE 和△F AE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AG ＝AF ∠GAE ＝∠F AE AE ＝AE ，∴△GAE ≌△F AE (SAS)，∴∠AEF ＝∠AEG .∵∠BAE ＝α，∴∠AEB ＝90°－α，∴∠AEF ＝∠AEB ＝90°－α，∴∠FEC ＝180°－∠AEF －∠AEB ＝180°－2(90°－α)＝2α.第4题解图5. AB ＝BC (答案不唯一，符合条件即可，如：AC ⊥BD ) 【解析】∵邻边相等的矩形是正方形，∴可添加条件AB ＝BC ；∵对角线互相垂直的矩形是正方形，∴还可以添加条件AC ⊥BD .6. 2 【解析】如解图，过点E 作EF ⊥BC 于点F .∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝2，AD ∥BC ，∴EF ＝AB ＝2，∴S △BCE ＝12 BC ·EF ＝12×2×2＝2.∵S 正方形ABCD ＝BC 2＝22＝4，∴S阴影＝S 正方形ABCD －S △BCE ＝4－2＝2.第6题解图7. 2 【解析】如解图，依题意得OD ＝22 AD ＝22 ，OE ＝12OD ＝2 ，∴图中阴影部分的面积为OE 2＝(2 )2＝2(dm 2).第7题解图8. 3 【解析】如解图，过点P 作PF ⊥AB 于点F .∵四边形ABCD 是正方形，AC 是对角线，∴∠DAC ＝∠BAC .∵PE ⊥AD ，PF ⊥AB ，∴PE ＝PF .∵PE ＝3，∴点P 到直线AB 的距离为PF ＝3.第8题解图9.172【解析】∵CE ＝7，△CEF 的周长为32，∴CF ＋EF ＝32－7＝25.∵点F 为DE 的中点，∴DF ＝EF .∵四边形ABCD 为正方形，∴∠BCD ＝90°，BC ＝CD ，∴CF ＝EF ＝DF ＝252，∴DE ＝25，∴在Rt △DCE 中，CD ＝DE 2－CE 2 ＝24，∴BC ＝CD ＝24.∵点O 为BD 的中点，∴OF 是△BDE 的中位线，∴OF ＝12 (BC －CE )＝12 (24－7)＝172 .10. (1)证明：∵四边形ABCD 为正方形 ∴AB ＝AD ，∠A ＝∠D ＝90°. ∵MF ∥AD ∴∠DFM ＝90° ∴四边形ADFM 为矩形 ∴MF ＝AD ＝AB . ∵MN 垂直平分BE ∴∠BOM ＝90° ∴∠ABE ＋∠BMO ＝90°. ∵∠FMN ＋∠BMO ＝90° ∴∠ABE ＝∠FMN . 在△ABE 和△FMN 中⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠MFN AB ＝FM ∠ABE ＝∠FMN∴△ABE ≌△FMN (ASA)； (2)解：如解图，连接ME . ∵MN 垂直平分BE ∴ME ＝BM .设BM ＝x ，则AM ＝8－x ，ME ＝x .在Rt △AME 中，由勾股定理得ME 2＝AE 2＋AM 2，即x 2＝62＋(8－x )2. 解得x ＝254 ，即BM ＝254.在Rt △ABE 中，由勾股定理得BE ＝62＋82 ＝10. ∵∠MBO ＝∠EBA ，∠MOB ＝∠A ∴△BOM ∽△BAE ∴OM AE ＝BMBE∴OM ＝AE ·BM BE ＝6×25410 ＝154 .由(1)知△ABE ≌△FMN ∴MN ＝BE ＝10∴ON ＝MN －OM ＝10－154 ＝254.第10题解图11. B 【解析】∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ⊥AB ，CD ∥AB ，CD ＝AB .∵EF ⊥AB ，∴EF ∥BC ，∴AE EC ＝AF FB .∵AF ＝2，FB ＝1，∴AE EC ＝21 .∵CD ∥AB ，∴CD ∥AG ，∴∠DCE＝∠GAE ，∠CDE ＝∠AGE ，∴△DCE ∽△GAE ，∴AG CD ＝AE CE ＝21，∴AG ＝2CD ，∴CD ＝AB ＝BG .∵∠DCM ＝∠GBM ＝90°，∠DMC ＝∠GMB ，∴△DCM ≌△GBM (AAS)，∴DM＝GM ＝12 DG .∵AF ＝2，FB ＝1，∴AB ＝3.∵AD ＝AB ＝3，∴AG ＝6，∴在Rt △DAG 中，DG ＝32＋62 ＝35 ，∴MG ＝352.12. B 【解析】如解图，延长AE 交BC 于点H .∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝AB ，AD ∥BC ，∴△ADE ∽△HBE ，∴AD HB ＝DEBE ，∵DE ＝3BE ，∴AD ＝3HB ，∴AB ＝3HB ，在Rt △ABH 中，由勾股定理得AH ＝AB 2＋HB 2 ＝10 HB ，∴sin ∠BAE ＝HB AH ＝1010 ，①错误；如解图，过点E 分别作AB ，CD 的垂线，交AB ，CD 于点M ，N ，∴∠AME ＝∠ENF ＝90°，∴∠AEM ＋∠MAE ＝90°，∵∠AEF ＝90°，∴∠AEM ＋∠NEF ＝90°，∴∠MAE ＝∠NEF ，∵∠MBE ＝45°，∴MB ＝ME ，∵AB ＝MN ，∴AM ＝EN ，∴△AME ≌△ENF ，∴AE ＝EF ，∵∠AEF ＝90°，∴∠EAF ＝45°，②正确；∵△AME ≌△ENF ，∴ME ＝NF ＝MB ，∵BE ＝2 ME ，∴CF ＝2ME ＝2 BE ，∵DE ＝3BE ，∴BD ＝4BE ，∴CD ＝22BD ＝22 BE ，∴CD ＝2CF ，∴点F 为CD 的中点，③正确；∵点F 为CD 的中点，∴DF ＝12 CD ＝12 AB ，∵AB ∥CD ，∴△FDG ∽△ABG ，∴DG BG ＝DF AB ＝12 ，∴DG ＝13 BD ，GB ＝23 BD ，设BE ＝x ，则DE ＝3x ，BD ＝4x ，∴DG ＝43 x ，GB ＝83 x ，∴GE ＝GB －BE ＝53 x ，∴BE ＋DG ＝73 x ≠GE ，④错误．第12题解图13. C 【解析】设BF ＝a ，AF ＝b ，则AB ＝a 2＋b 2 ，EF ＝b －a ，∴tan α＝tan ∠BAF ＝BFAF＝a b ，tan β＝tan ∠BEF ＝BF EF ＝a b －a .∵正方形EFGH ∽正方形ABCD ，∴S 正方形EFGH S 正方形ABCD ＝(EFAB )2＝EF 2AB 2 ＝（b －a ）2a 2＋b 2 ＝1n .∵tan α＝tan 2β，∴a b ＝a 2（b －a ）2 .∴(b －a )2＝ab ，b 2＋a 2－2ab ＝ab ，∴a 2＋b 2＝3ab ，∴n ＝a 2＋b 2（b －a ）2＝a 2＋b 2ab ＝3abab ＝3.。

初三数学正方形练习题

初三数学正方形练习题正方形是具有特殊性质的几何形状，掌握正方形的性质并熟练运用相关公式是初中数学的基础内容之一。

为了帮助初三学生更好地复习和掌握正方形的相关知识，下面是一些正方形练习题。

练习题1：1. 已知正方形ABCD的边长为5 cm，求正方形的面积和周长。

2. 若正方形的周长为24 m，求正方形的面积。

3. 若正方形的对角线长为12 cm，求正方形的面积和周长。

练习题2：1. 若正方形ABCD的面积为64 cm²，求正方形的边长。

2. 若正方形的周长为48 cm，求正方形的面积。

3. 若正方形的面积是某个整数，且正方形的边长是2 cm的倍数，求可能的正方形的边长和面积。

练习题3：1. 若正方形ABCD的边长为x cm，求正方形的面积和周长。

2. 若正方形的周长为4x m，求正方形的面积。

3. 若正方形的对角线长为2x cm，求正方形的面积和周长。

解答如下：练习题1：1. 正方形的边长为5 cm，根据正方形的性质，可以知道正方形的面积等于边长的平方。

所以，正方形的面积为5² = 25 cm²。

正方形的周长等于4倍边长，即4 * 5 = 20 cm。

2. 正方形的周长为24 m，根据正方形的性质，可以知道正方形的边长等于周长的四分之一。

所以，正方形的边长为24 / 4 = 6 m。

正方形的面积等于边长的平方，即6² = 36 m²。

3. 正方形的对角线长为12 cm，根据正方形的性质，可以知道正方形的边长等于对角线长的根号2倍。

所以，正方形的边长为12 / √2 = 12√2 cm。

正方形的面积等于边长的平方，即(12√2)² = 288 cm²。

正方形的周长等于4倍边长，即4 * 12√2 = 48√2 cm。

练习题2：1. 正方形的面积为64 cm²，根据正方形的性质，可以知道正方形的边长等于面积的平方根。

所以，正方形的边长为√64 = 8 cm。

中考专题复习数学几何正方形解答题专题突破练习(3)

【全国通用】初中几何正方形解答题专题突破练习（3）1．如图，已知四边形ABCD 是正方形，E 是对角线BD 上的一点，连接,AE CE ．()1求证：AE CE =；()2如图，点P 是边CD 上的一点，且PE BD ⊥于,E 连接,BP O 为BP 的中点，连接EO ．若30PBC ∠=︒，求POE ∠的度数；()3在()2的条件下，若OE =CE 的长．2．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点F 是CD 的中点，E 是边BC 上的一点，连接AE ，EF ，若AEF EAD ∠=∠，求AB 与BE 的比值．3．如图，正方形ABCD 的边长为1，点E 是AD 边上的动点，从点A 沿AD 向点D 运动，以BE 为边，在BE 的上方作正方形BEFG ，连接CG ．（1）求证：AEB CGB △≌△；（2）若设AE=x ，DH=y ，当x 取何值时，y 有最大值？并求出这个最大值；（3）连接BH ，当点E 运动到AD 的何位置时有BEH BAE ∽？4．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点B作射线BM交CD于点F，交AE于点O，且BF AE⊥．（1）求证：BF AE=；（2）连接OD，猜想OD与AB的数量关系，并证明．5．如图1，已知点A(-1，0)，B(0，-2)，C为双曲线kyx=上一点，连结AC与y轴交于点E，且E为AC的中点，其坐标为(0，2)．（1）求k的值；（2）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图2），点T是AF边上一动点，M是HT的中点，MN丄HT 交AB于N，当T在AF上运动时，∠TNH的大小是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明．6．同学们：八年级下册第9章我们学习了一种新的图形变换旋转，图形旋转过程中蕴含着众多数学规律，以图形旋转为依托构建的解题方法是解决各类几何问题的常用方法．（1）（问题提出）如图∠，在正方形ABCD中，∠MAN=45°，点M、N分别在边BC、CD上．求证：MN＝BM＋DN．证明思路如下：△绕点A按顺时针方向旋转90°得到∠ABE，再证明E、B、M三点在一条直线上．第一步：如图∠，将ADN△≌△．第二步：证明AEM ANM请你按照证明思路写出完整．．的证明过程.（2）（初步思考）△和BCE．如图∠，四边形ABCD和CEFG为正方形，连接DG、BE，得到DCG下列关于这两个三角形的结论：∠周长相等；∠面积相等；∠∠CBE=∠CDG．其中所有正确结论的序号是．（3）（深入研究）如图∠，分别以□ABCD的四条边为边向外作正方形，连接EF，GH，IJ，KL．若□ABCD的面积为8，则图中阴影部分（四个三角形）的面积之和为．7．已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE=CF．（1）求证：DE ∠BF（2）若四边形DEBF 的面积为8，AE，则正方形边长为．8．如图，在正方形ABCD 中，点G 在边BC 上（不与点B 、C 重合）．连结AG ，作DE∠AG 于点E ，BF∠AG 于点F ，BGAD＝K ． ∠求证：Rt∠BFG∠Rt∠DEA ；∠连结BE 、DF ，设∠EDF ＝α，∠EBF ＝β，求证：tan α＝Ktan β．∠设正方形ABCD 的边长为1，线段AG 与对角线BD 交于点H ，∠AHD 和四边形CDHG 的面积为S 1和S 2，求21S S 的最大值．9．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，点E 是边AD 上的一动点（与点,A D 不重合），CE 交BD 于点F ，连结AF .（1）求证：DAF DCF ≅；（2）当AE 的长度是多少时，AEF 是等腰三角形？（3）当点E 运动到AD 的中点时,连BE 结交AF 于点M ，连结CM ，求证：∠BE AF ⊥；∠CB CM =．10．如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 边上一点，以DE 为边向外作正方形DEFG ，将正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转，连接AG ．（1）如图1，若AD ＝DE ＝2，当150ADG ∠︒＝时，求AG 的长；（2）如图2，正方形DEFG 绕点D 旋转的过程中，取AG 的中点M ，连接DM 、CE ，猜想：DM 和CE 之间有何等量关系？并利用图2加以证明．11．如图，P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，,PE DC PF BC ⊥⊥，点,E F 分别是垂足. （1）求证：AP PC =；（2）若60,BAP PD ∠=︒=，求PC 的长.12．如图1，点C 在线段AB 上，分别以AC 、BC 为边在线段AB 的同侧作正方形ACDE 和正方形BCMN ，连结AM 、BD ．（1）AM 与BD 的关系是：________．（2）如果将正方形BCMN 绕点C 顺时针旋转锐角α(如图2)．(1) 中所得的结论是否仍然成立？请说明理由．（3）在(2)的条件下，连接AB 、DM ，若AC=4，BC=2，求AB 2+DM 2的值． 13．已知如图1,四边形ABCD 是正方形，45EAF ︒∠= ．()1如图1,若点,E F 分别在边BC CD 、上,延长线段CB 至G ,使得BG DF =,若3,2BE BG ==，求EF 的长；()2如图2，若点,E F 分别在边CB DC 、延长线上时，求证： .EF DF BE =-()3如图3,如果四边形ABCD 不是正方形，但满足,90,45,AB AD BAD BCD EAF ︒︒=∠=∠=∠=且7, 13,5BC DC CF ===，请你直接写出BE 的长．14．点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE和BCFG，连接AF、BD．（1）如图∠，AF与BD的数量关系和位置关系分别为；（2）将正方形BCFG绕着点C顺时针旋转α角(0°＜α＜360°)，∠如图∠，第（1）问的结论是否仍然成立？请说明理由．∠若AC=4，BC=22，当正方形BCFG绕着点C顺时针旋转到点A、B、F三点共线时，求DB的长度．15．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF∠DE，交线段BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；（2）若AB＝，CE＝2，求CG的长；16．以Rt ABC ∆的两边AB 、AC 为边，向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连接EG ，过点A 作AM BC ⊥于M ，延长MA 交EG 于点N ．（1）如图1，若90BAC ∠=︒，AB AC =，易证：EN GN =；（2）如图2，90BAC ∠=︒；如图3，90BAC ∠≠︒，（1）中结论，是否成立，若成立，选择一个图形进行证明；若不成立，写出你的结论，并说明理由． 17．已知正方形ABCD ，点E 在射线BD 上．（1）如图1，若点E 在线段BD 上，F 在线段AD 上，且AE BF ⊥，垂足为H ，连接CE ． ∠求证：HF AFAH AB=； ∠求证：tan DEECD BE∠=；（2）如图2，点E 在BD 的延长线上，以AE 为斜边，作Rt AFE ，90AFE ∠=︒，AF EF =，若4=AD ，直接写出DF 的最小值．18．如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且CE=CF ．（1）求证：BE=DF ；（2）若点G 在AD 上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD 成立吗？为什么？19．如图，正方形ABCD 中，点E 是边BC 上一点，EF ∠AC 于点F ，点P 是AE 的中点．（1）求证：BP∠FP；（2）连接DF，求证：AE＝DF．20．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF与DE相交于点M，且∠BAF＝∠ADE．（1）如图1，求证：AF∠DE；（2）如图2，AC与BD相交于点O，AC交DE于点G，BD交AF于点H，连接GH，试探究直线GH与AB的位置关系，并说明理由；（3）在（1）（2）的基础上，若AF平分∠BAC，且BDE的面积为，求正方形ABCD的面积．AC BD相交于点O，E是OC的中点，连接BE，过点21．如图，正方形ABCD的边长为,A作AM BE⊥于点M，交BD于点F．=；（1）求证：AF BE（2）求点E到BC边的距离．22．在正方形ABCD中，连接AC，点E在线段AD上，连接BE交AC于M，过点M作FM∠BE交CD于F．（1）如图∠，求证：∠ABE+∠CMF＝∠ACD；（2）如图∠，求证：BM＝MF；（3）如图∠，连接BF，若点E为AD的中点，AB＝6，求BF的长．23．如图，正方形ABCD的边长为6．E，F分别是射线AB，AD上的点（不与点A重合），且EC CF⊥，M为EF的中点．P为线段AD上一点，1AP=，连结PM．=；（1）求证：CE CF△为直角三角形时，求AE的长；（2）当PMF△的面积为________．（在横线上直接写（3）记BC边的中点为N，连结MN，若MN=PMF出答案）=，24．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上，且DE CF 连接AE、DF，AE的延长线交DF于点M．（1）求证：AE DF=；⊥．（2）求证：AM DF25．定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形为垂等四边形．（1）写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是．（2）如图1，在3×3方格纸中，A ，B ，C 在格点上，请画出两个符合条件的不全等的垂等四边形，使AC ，BD 是对角线，点D 在格点上．（3）如图2，在正方形ABCD 中，点E ，F ，G 分别在AD ，AB ，BC 上，AE ＝AF ＝CG 且∠DGC ＝∠DEG ，求证：四边形DEFG 是垂等四边形．（4）如图3，已知Rt∠ABC ，∠B ＝90°，∠C ＝30°，AB ＝2，以AC 为边在AC 的右上方作等腰三角形，使四边形ABCD 是垂等四边形，请直接写出四边形ABCD 的面积．26．如图1所示，边长为4的正方形ABCD 与边长为()14a a <<的正方形CFEG 的顶点C 重合，点E 在对角线AC 上．（问题发现）如图1所示，AE 与BF 的数量关系为________；（类比探究）如图2所示，将正方形CFEG 绕点C 旋转，旋转角为()030αα<<︒，请问此时上述结论是否还成立？如成立写出推理过程，如不成立，说明理由；（拓展延伸）若点F 为BC 的中点，且在正方形CFEG 的旋转过程中，有点A 、F 、G 在一条直线上，直接写出此时线段AG 的长度为________27．如图，P 为正方形ABCD 的边BC 上的一动点（P 不与B ，C 重合），连接AP ，过点B 作BQ AP ⊥交CD 于点Q ，将BCQ ∆沿着BQ 所在直线翻折得到∆BQE ，延长QE 交AB 的延长线于点M ．（1）探求AP 与BQ 的数量关系（2）若3AB =，2BP PC =，求QM 的长28．如图，正方形 ABCD 的边长为 4，E 是 BC 的中点，点 P 在射线 AD 上，过点 P 作 PF∠AE ，垂足为 F ．（1）求证：PFA ABE ∽△△；（2）当点 P 在射线 AD 上运动时，设 PA=x ，是否存在实数 x ，使以 P ，F ，E 为顶点的三角形也与ABE △相似？若存在，求出 x 的值；若不存在，说明理由．29．如图，在正方形ABCD 中，E 是边DC 上的一点（与，C 不重合）连接AE ，将ADE 沿AE 所在的直线折叠得到AFE △，延长EF 交BC 于G ，作GH AG ⊥，与AE 的延长线交于点H ，连接CH ．（1）求证：AG GH =（2）求证：CH 平分DCM ∠．30．如图，在边长为a 的正方形ABCD 中，作∠ACD 的平分线交AD 于F ，过F 作直线AC 的垂线交AC 于P ，交CD 的延长线于Q ，又过P 作AD 的平行线与直线CF 交于点E ，连接DE ，AE ，PD ，PB ．。

类型十一二次函数与正方形有关的问题训练24年中考数学二轮复习满分冲刺题型突破(全国通用)(解析版)

类型十一二次函数与正方形有关的问题（专题训练）(1)求抛物线和一次函数的解析式．(2)点E ，F 为平面内两点，若以E 、F 、B 、C 为顶点的四边形是正方形，且点E 在点F 的左侧．这样的E ，F 两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E 的坐标：如果不存在，请说明理由．(3)将抛物线21y ax bx c =++的图象向右平移8个单位长度得到抛物线2y ，此抛物线的图象与x 轴交于M ，N 两点（M 点在N 点左侧）．点P 是抛物线2y 上的一个动点且在直线NC 下过点1E 作11E H x ⊥轴于1H .∵1111,90BE CB BOC E H B E BC =∠=∠=︒=∠，又111190BE H E BH CBO ∠=︒-∠=∠，∴11(AAS)BE H CBO △≌△，∴112E H BO ==，16H B OC ==∴1(8,2)E -同理可得，2(4,2)E -②以BC 为正方形的对角线时，过BC 的中点G 作33EF BC ⊥，使33E F 与BC 互相平分且相等，则四边形33E BF C 为正方形，过点3E 作3E N y ⊥轴于点N ，过点B 作3BM E N ⊥于点M∵(6,0)N ，(0,6)C ∴ON OC=∴CON 是等腰直角三角形∵45CHG ∠=︒，90GHP ∠=︒∴45PHD ∠=︒又PD CN⊥∴HPD 是等腰直角三角形2(1)当1m =时，求点D 的坐标；(2)连接BC CD DB 、、BCD △为直角三角形，求此时(3)在（2）的条件下，若BCD 的面积为3,E F 、两点分别在边以EF 为一边作正方形EFGH ，连接CG ，写出CG ()1,6D 223x x -++或22y x =-+∴()3,B m m +．又∵点B 在2=23y x x --图像上，∴()()23233m m m =+-+-．解得0m =或3m =-．∵当3m =-时，可得()()0,3,0,3B C --，此时B C 、重合，舍去．当0m =时，符合题意．将0m =代入22:223L y x x m =-+++，得22:23L y x x =-++．②当=90BDC ∠︒时，如图2，过B 作BT ND ⊥，交ND 的延长线于点T ．同理可得BT DT =．∵()1,24D m +，(1)如果四个点()()()()0,00,21,11,1-、、、中恰有三个点在二次函数y 的图象上．①=a ________；②如图1，已知菱形ABCD 的顶点B 、C 、D 在该二次函数的图象上，且的边长；③如图2，已知正方形ABCD 的顶点B 、D 在该二次函数的图象上，点由正方形的性质可知，E 为AC ∴90ABM CBN CBN ∠+∠=︒=∠∴ABM BCN ∠=∠，∵ABM BCN ∠=∠，AMB ∠∴()AAS AMB BNC ≌△△，∴AM BN =，BM CN =，由题意知，()2,B m m ，(,D n 设()0,A q ，则(2,C m n m n ++∴2AM q m =-，BN n =，BM ∴2q m n -=，2m n q =-，∴22n m m n --=，(1)初步感知：如图1，当点P 由点C 运动到点①当1t =时，S =_______．②S 关于t 的函数解析式为_______．(2)当点P 由点B 运动到点A 时，经探究发现的图象请根据图象信息，求S 关于t 的函数解析式及线段(3)延伸探究：若存在3个时刻123,,t t t （1t t <①12t t +=_______；【点睛】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键．5．（2023·湖南永州·统考中考真题）如图1，抛物线过点()0,5F ，顶点坐标为()2,9，点()11,P x y 为抛物线上的动点，(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，直线11:y OP y x x =交BF 于点G ，求BPG BOGS S △△的最大值；(3)如图2，四边形OBMF 为正方形，PA 交y 轴于点E ，BC 交FM 的延长线于C ，且,BC BE PH FC ⊥=，求点P 的横坐标．【答案】(1)245y x x =-++；(2)54；(3)552+抛物线的解析式为：y= ()B∴，5,0()，0,5F设直线BF的解析式为：y6.（2022·浙江湖州）如图1，已知在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是边长为3的正方形，其中顶点A，C 分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上，抛物线2y x bx c =-++经过A，C 两点，与x 轴交于另一个点D．(1)①求点A，B，C的坐标；②求b，c的值．(2)若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值．【答案】(1)①A(3，0)，B(3，3)，C(0，3)；②23 bc=⎧⎨=⎩(2)2133324n m⎛⎫=--+⎪⎝⎭；34【分析】（1）①根据坐标与图形的性质即可求解；②利用待定系数法求解即可；（2）证明Rt△ABP∽Rt△PCM，根据相似三角形的性质得到n关于m的二次函数，利用二次函数的性质即可求解．(1)解：①∵正方形OABC的边长为3，∴点A，B，C的坐标分别为A(3，0)，B(3，3)，C(0，3)；②把点A(3，0)，C(0，3)的坐标分别代入y=−x2+bx+c，得9303b cc-++=⎧⎨=⎩，解得23bc=⎧⎨=⎩；(2)解：由题意，得∠APB=90°-∠MPC=∠PMC，∠B=∠PCM=90°，∴Rt△ABP∽Rt△PCM，∴AB BPPC CM=，即33mm n=-．整理，得213n m m =-+，即2133324n m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．∴当32m =时，n 的值最大，最大值是34．【点睛】本题综合考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，根据正方形的性质求出点A，B，C 的坐标是解题的关键．(1)求点,A B 的坐标；(2)若以M 的切线长PT 为边长的正方形的面积与()3,2，求PM 长的取值范围．【答案】(1)()()2,0,4,0A B ；(2)1<【分析】（1）令0y =求得点,A B 的横坐标即可解答；（2）由题意可得抛物线的对称轴为连接MT ，则MT PT ⊥，进而可得切线长假设M 过点()3,2N ,则有以下两种情况：①如图1：当点M 在点N 的上方，即∴2683m m -+=，解得：m =∵4m >∴5m =；②如图2：当点M 在点N 的上方，即∴2681m m -+=，解得：m =∵4m >∴32m =±；综上，32PM m =-=或2．∴当M 不经过点()3,2时，1【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、切线的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．8.（2022·山东泰安）若二次函数2y ax bx c =++的图象经过点()2,0A -，()0,4B -，其对称轴为直线1x =，与x 轴的另一交点为C．(1)求二次函数的表达式；(2)若点M 在直线AB 上，且在第四象限，过点M 作MN x ⊥轴于点N．①若点N 在线段OC 上，且3MN NC =，求点M 的坐标；②以MN 为对角线作正方形MPNQ （点P 在MN 右侧），当点P 在抛物线上时，求点M 的坐标．【答案】(1)2142y x x =--(2)①836,55⎛⎫- ⎪⎝⎭；②1,52⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）利用待定系数解答，即可求解；（2）①先求出直线AB 的表达式为24y x =--，然后设点N 的坐标为()0m ,．可得(),24M m m --．可得到24MN m =+，4NC m =-．再由3MN NC =，即可求解；②连接PQ 与MN 交与点E．设点M 的坐标为(),24t t --，则点N 的坐标为(),0t 根据正方形的性质可得E 的坐标为(),2t t --，进而得到P 的坐标()22,2t t +--．再由点P 在抛物线上，即可求解．(1)解：二次函数2y ax bx c =++的图象经过点()0,4-，4c ∴=-．又抛物线经过点()2,0A -，对称轴为直线1x =，1,24240,b a a b ⎧-=⎪∴⎨⎪--=⎩解得∶1,21,a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴抛物线的表达式为2142y x x =--．(2)解∶①设直线AB 的表达式为y kx n =+．点A，B 的坐标为()2,0A -，()0,4B -，∴204k n n -+=⎧⎨=-⎩，解得∶24k n =-⎧⎨=-⎩，∴直线AB 的表达式为24y x =--．根据题意得∶点C 与点()2,0A -关于对称轴直线1x =对称，()4,0C ∴．设点N 的坐标为()0m ,．MN x ⊥ 轴，(),24M m m ∴--．∴24MN m =+4NC m ∴=-．3MN NC= ()2434m m ∴+=-，解，得85m =．∴点M 的坐标836,55⎛⎫- ⎪⎝⎭；②连接PQ 与MN 交与点E．设点M 的坐标为(),24t t --，则点N 的坐标为(),0t 四边形MPNQ 是正方形，PQ M N ∴⊥，NE EP =，12NE MN =．∵MN⊥x 轴，//PQ x ∴轴．∴E 的坐标为(),2t t --．2NE t ∴=+．222ON EP ON NE t t t ∴+=+=++=+．∴P 的坐标()22,2t t +--．点P 在抛物线2142y x x =--上，()()212222422t t t ∴+-+-=--．解，得112t =，22t =-．点P 在第四象限，2t ∴=-舍去．即12t =．∴点M 坐标为1,52⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图形和性质，正方形的性质，一次函数的图象和性质是解题的关键．9.如图，在平面直角坐标系中，抛物线21322y x bx =-++与x 轴正半轴交于点A ，且点A 的坐标为()3,0，过点A 作垂直于x 轴的直线l ．P 是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m ，过点P 作PQ l ⊥于点Q ；M 是直线l 上的一点，其纵坐标为32m -+，以PQ ，QM 为边作矩形PQMN ．（1）求b 的值．（2）当点Q 与点M 重合时，求m 的值．（3）当矩形PQMN 是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m 的值．（4）当抛物线在矩形PQMN 内的部分所对应的函数值y 随x 的增大而减小时，直接写出m 的取值范围．【答案】（1）1b =；（2）120,4m m ==；（3）1m =+；（4）03m <<或4m >．【解析】【分析】（1）将A 点坐标代入函数解析式即可求得b 的值；（2）分别表示出P、Q、M 的坐标，根据Q、M 的横坐标相同，它们重合时纵坐标也相同，列出方程求解即可；（3）分别表示出PQ 和MQ 的长度，根据矩形PQMN 是正方形时PQ MQ =，即可求得m 的值，再根据顶点在正方形内部，排除不符合条件的m 的值；（4）分1m £，13m <<，3m =，3m >四种情况讨论，结合图形分析即可．【详解】解：（1）将点()3,0A 代入21322y x bx =-++得21303322b =-⨯++，解得b=1,；（2）由（1）可得函数的解析式为21322y x x =-++，∴213,22P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭,∵PQ l ⊥于点Q ，∴233,122m m Q ⎛⎫ ⎪⎝-+⎭+,∵M 是直线l 上的一点，其纵坐标为32m -+，∴3(3,2m M -+，若点Q 与点M 重合，则2133222m m m -++=-+，解得120,4m m ==；（3）由（2）可得|3|PQ m =-，223131)2222|((||2|MQ m m m m m -+=+=-+--，当矩形PQMN 是正方形时，PQ MQ =即212|2||3|m m m -=-，即22123m m m -=-或22123m m m -=-，解22123m m m -=-得121,1m m ==-，解22123m m m -=-得3233m m =+=-，又2131(1)2222y x x x =-++=--+，∴抛物线的顶点为(1，2)，∵抛物线的顶点在该正方形内部，∴P 点在抛物线对称轴左侧，即1m <，且M 点的纵坐标大于抛物线顶点的纵坐标，即322m -+>，解得12m <-，故m 的值为1；（4）①如下图当1m £时，若抛物线在矩形PQMN 内的部分所对应的函数值y 随x 的增大而减小，则M 点的纵坐标应该小于P 点纵坐标，且P 点应该在x 轴上侧，即2313222m m m -+<-++且213022m m -++>，解2313222m m m -+<-++得04m <<，解213022m m -++>得13m -<<，∴01m <≤，②如下图当13m <<时，若抛物线在矩形PQMN 内的部分所对应的函数值y 随x 的增大而减小，则M 点的纵坐标应该小于P 点纵坐标，即2313222m m m -+<-++，解得04m <<，∴13m <<；③当3m =时，P 点和M 点都在直线x=3上不构成矩形，不符合题意；④如下图当3m >时，若抛物线在矩形PQMN 内的部分所对应的函数值y 随x 的增大而减小，则M 点的纵坐标应该大于P 点纵坐标，即2313222m m m -+>-++，解得0m <或4m >，故4m >，综上所述03m <<或4m >．【点睛】本题考查二次函数综合，正方形的性质定理，求二次函数解析式．能分别表示出M、P、Q 的坐标并结合图形分析是解决此题的关键，注意分类讨论．10.如图，抛物线28(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于点()2,0A -和点()8,0B ，与y 轴交于点C，顶点为D，连接,,AC BC BC 与抛物线的对称轴l 交于点E．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 是第一象限内抛物线上的动点，连接,PB PC ，当35PBC ABC S S =时，求点P 的坐标；（3）点N 是对称轴l 右侧抛物线上的动点，在射线ED 上是否存在点M，使得以点M，N，E 为顶点的三角形与OBC 相似？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）21382y x x =-++；（2）()()1221268P P ，，，；（3）在射线ED 上存在点M，使得以点M，N，E 为顶点的三角形与OBC 相似，点M 的坐标为：()3,8，(3,5+或()311，．【解析】【分析】（1）直接将()2,0A -和点()8,0B代入28(0)y ax bx a =++≠，解出a，b 的值即可得出答案；（2）先求出点C 的坐标及直线BC 的解析式，再根据图及题意得出三角形PBC 的面积；过点P 作PG ⊥x 轴，交x 轴于点G，交BC 于点F，设21,382P t t x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，根据三角形PBC 的面积列关于t 的方程，解出t 的值，即可得出点P 的坐标；（3）由题意得出三角形BOC 为等腰直角三角形，然后分MN=EM，MN=NE，NE=EM 三种情况讨论结合图形得出边之间的关系，即可得出答案．【详解】（1）抛物线28(0)y ax bx a =++≠过点()2,0A -和点()8,0B 428064880a b a b -+=⎧∴⎨++=⎩123a b ⎧=-⎪∴⎨⎪=⎩∴抛物线解析式为：21382y x x =-++（2）当0x =时，8y =()0,8C ∴∴直线BC 解析式为：8y x =-+111084022ABC S AB OC =⋅⋅=⨯⨯= 3245PBC ABC S S ∴== 过点P 作PG ⊥x 轴，交x 轴于点G，交BC 于点F 设21,382P t t x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭(),8F t t ∴-+2142PF t t ∴=-+1242PBC S PF OB ∴=⋅=即211482422t t ⎛⎫⨯-+⨯= ⎪⎝⎭122,6t t ∴==()()1221268P P ∴，，，（3）()()08,80=90C B COB ∠︒ ，，，OBC ∴ 为等腰直角三角形抛物线21382y x x =-++的对称轴为331222b x a =-=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭∴点E 的横坐标为3又点E 在直线BC 上∴点E 的纵坐标为5()35E ∴，设()21,,382M m N n n n ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭3，①当MN=EM，90EMN ∠=︒,NME COB △△时2531382m n n n m -=-⎧⎪⎨-++=⎪⎩解得68n m =⎧⎨=⎩或20n m =-⎧⎨=⎩（舍去）∴此时点M 的坐标为()3,8②当ME=EN，90MEN ∠=︒时25313852m n n n -=-⎧⎪⎨-++=⎪⎩解得：515315m n ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩或515315m n ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩（舍去）∴此时点M 的坐标为()3,515+③当MN=EN，90MNE ∠=︒时连接CM，易知当N 为C 关于对称轴l 的对称点时，MNE COB △△，此时四边形CMNE 为正方形CM CE∴=()()()0,8,3,5,3,C E M m ()()22223835832CM m CE ∴=+-=+-=()223832m +-=解得：1211,5m m ==（舍去）此时点M 的坐标为()311，在射线ED 上存在点M，使得以点M，N，E 为顶点的三角形与OBC 相似，点M 的坐标为：()3,8，(3,515或()311，．【点睛】本题是一道综合题，涉及到二次函数的综合、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识点，综合性比较强，解答类似题的关键是添加合适的辅助线．11.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =−23x 2+bx +c ，经过A（0，﹣4），B（x 1，0），C（x 2，0）三点，且|x 2−x 1|=5．（1）求b，c 的值；（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE 是以BC 为对角线的菱形；（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH 是以OB 为对角线的菱形？若存在，求出点P 的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．【答案】（1）b =−143，c =−4；（2）D（−72，256）；（3）存在一点P（﹣3，4），使得四边形BPOH 为菱形，不能为正方形．【解析】试题分析：（1）把A（0，﹣4）代入可求c，运用根与系数的关系及|x 2−x 1|=5，可求出b；（2）因为菱形的对角线互相垂直平分，故菱形的另外一条对角线必在抛物线的对称轴上，满足条件的D 点，就是抛物线的顶点；（3）由四边形BPOH 是以OB 为对角线的菱形，可得PH 垂直平分OB，求出OB 的中点坐标，代入抛物线解析式即可，再根据所求点的坐标与线段OB 的长度关系，判断是否为正方形即可．试题解析：（1）∵抛物线y =−23x 2+bx +c ，经过点A（0，﹣4），∴c=﹣4，又∵由题意可知，x 1、x 2是方程−23x 2+bx −4=0的两个根，∴x 1+x 2=32b ，x 1x 2=6，由已知得(x 2−x 1)2=25，∴x 12+x 22−2x 1x 2=25，∴(x 1+x 2)2−4x 1x 2=25，∴94b 2−24=25，解得：b =±143，当b=143时，抛物线与x 轴的交点在x 轴的正半轴上，不合题意，舍去．∴b=−143；（2）∵四边形BDCE 是以BC 为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D 必在抛物线的对称轴上，又∵y =−23x 2−143x −4=−23(x +72)2+256，∴抛物线的顶点（−72，256）即为所求的点D；（3）∵四边形BPOH 是以OB 为对角线的菱形，点B 的坐标为（﹣6，0），根据菱形的性质，点P 必是直线x=﹣3与抛物线y =−23x 2−143x −4的交点，∴当x=﹣3时，y =−23×(−3)2−143×(−3)−4=4，∴在抛物线上存在一点P（﹣3，4），使得四边形BPOH 为菱形．四边形BPOH 不能成为正方形，因为如果四边形BPOH 为正方形，点P 的坐标只能是（﹣3，3），但这一点不在抛物线上．考点：1．二次函数综合题；2．探究型；3．存在型；4．压轴题．12.如图，顶点为M 的抛物线23y ax bx =++与x 轴交于()3,0A ，()1,0B -两点，与y 轴交于点C ．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）问在y 轴上是否存在一点P ，使得PAM ∆为直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点D ，满足DA OA =，过D 作DG x ⊥轴于点G ，设ADG ∆的内心为I ，试求CI 的最小值．【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）点P 坐标为30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或()0,1或()0,3或70,2⎛⎫ ⎪⎝⎭时，PAM ∆为直角三角形；（3）CI 最小值为310322.【解析】（1）结合题意，用待定系数法即可求解；（2）分3种情况讨论，用勾股定理即可求解；（3）根据正方形的判定和勾股定理，即可得到答案.【详解】（1）∵抛物线23y ax bx =++过点()3,0A ，()1,0B -，∴933030a b a b ++=⎧⎨-+=⎩，解得：12a b =-⎧⎨=⎩，∴这条抛物线对应的函数表达式为2y x 2x 3=-++.（2）在y 轴上存在点P ，使得PAM ∆为直角三角形．∵()222314y x x x =-++=--+，∴顶点()1,4M ，∴()22231420AM =-+=，设点P 坐标为()0,p ，∴222239AP p p =+=+，()222214178MP p p p =+-=-+，①若90PAM ∠=︒，则222AM AP MP +=.∴22209178p p p ++=-+，解得：32p =-，∴30,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.②若90APM ∠=︒，则222AP MP AM +=，∴22917820p p p ++-+=，解得：11p =，23p =，∴()0,1P 或()0,3.③若90AMP ∠=︒，则222AM MP AP +=，∴22201789p p p +-+=+，解得：72p =，∴70,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.综上所述，点P 坐标为30,2⎛⎫-⎪⎝⎭或()0,1或()0,3或70,2⎛⎫ ⎪⎝⎭时，PAM ∆为直角三角形．（3）如图，过点I 作IE x ⊥轴于点E ，IF AD ⊥于点F ，IH DG ⊥于点H ，∵DG x ⊥轴于点G ，∴90HGE IEG IHG ∠=∠=∠=︒，∴四边形IEGH 是矩形，∵点I 为ADG ∆的内心，∴IE IF IH ==，AE AF =，DF DH =，EG HG =，∴矩形IEGH 是正方形，设点I 坐标为(),m n ，∴OE m =，HG GE IE n ===，∴3AF AE OA OE m ==-=-，∵3DA OA ==，∴()33DH DF DA AF m m ==-=--=，∴DG DH HG m n =+=+，∵222DG AG DA +=，∴()()22233m n n m +++-=，∴化简得：22330m m n n -++=，配方得：22339222m n ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴点(),I m n 与定点33,22Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭的距离为322.∴点I 在以点33,22Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆心，半径为322的圆在第一象限的弧上运动，∴当点I 在线段CQ 上时，CI 最小，∵3102CQ ==，∴310322CI CQ IQ =-=，∴CI 最小值为2-.【点睛】本题考查用待定系数法求二元一次方程、勾股定理和正方形的判定，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求二元一次方程、勾股定理和正方形的判定.13.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长为4，边OA,OC 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，把正方形OABC 的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点P 为抛物线2()2y x m m =--++的顶点．（1）当0m =时，求该抛物线下方（包括边界）的好点个数．（2）当3m =时，求该抛物线上的好点坐标．（3）若点P 在正方形OABC 内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求m 的取值范围．【答案】（1）好点有：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)和(1,1)，共5个；（2）(1,1)，(2,4)和(4,4)；（3）512m -<.【解析】【分析】（1）如图1中，当m＝0时，二次函数的表达式y＝﹣x 2+2，画出函数图象，利用图象法解决问题即可；（2）如图2中，当m＝3时，二次函数解析式为y＝﹣（x﹣3）2+5，如图2，结合图象即可解决问题；（3）如图3中，抛物线的顶点P（m，m+2），推出抛物线的顶点P 在直线y＝x+2上，由点P 在正方形内部，则0＜m＜2，如图3中，E（2，1），F（2，2），观察图象可知，当点P 在正方形OABC 内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点时，抛物线与线段EF 有交点（点F 除外），求出抛物线经过点E 或点F 时Dm 的值，即可判断．【详解】解：（1）当0m ≡时，二次函数的表达式为22y x =-+画出函数图像（图1）图1当0x =时，2y =；当1x =时，1y =∴抛物线经过点(0,2)和(1,1)∴好点有：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)和(1,1)，共5个（2）当3m =时，二次函数的表达式为2(3)5y x =--+画出函数图像（图2）图2当1x =时，1y =；当2x =时，4y =；当4x =时，y 4=∴该抛物线上存在好点，坐标分别是(1,1)，(2,4)和(4,4)（3）抛物线顶点P 的坐标为(,2)m m +∴点P 支直线2y x =+上由于点P 在正方形内部，则02m <<如图3，点(2,1)E ，(2,2)F图3∴当顶点P 支正方形OABC 内，且好点恰好存在8个时，抛物线与线段EF 有交点（点F 除外）当抛物线经过点(2,1)E 时，2(2)21m m --++=解得：15132m -=，25132m +=（舍去）当抛物线经过点(2,2)F 时，2(2)22m m --++=解得：31m =，44m =（舍去）∴当51312m -<时，顶点P 在正方形OABC 内，恰好存在8个好点【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了正方形的性质，二次函数的性质，好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会正确画出图象，利用图象法解决问题，学会利用特殊点解决问题．14.如图，矩形OABC 的两边在坐标轴上，点A 的坐标为（10，0），抛物线y=ax 2+bx+4过点B，C 两点，且与x 轴的一个交点为D （﹣2，0），点P 是线段CB 上的动点，设CP=t （0＜t＜10）．（1）请直接写出B、C 两点的坐标及抛物线的解析式；（2）过点P 作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t 为何值时，∠PBE=∠OCD？（3）点Q 是x 轴上的动点，过点P 作PM∥BQ，交CQ 于点M，作PN∥CQ，交BQ 于点N，当四边形PMQN 为正方形时，请求出t 的值．【答案】（1）B（10，4），C（0，4），215463y x x =-++；（2）3；（3）103或203.【解析】试题分析：（1）由抛物线的解析式可求得C 点坐标，由矩形的性质可求得B 点坐标，由B、D 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可设P（t，4），则可表示出E 点坐标，从而可表示出PB、PE 的长，由条件可证得△PBE∽△OCD，利用相似三角形的性质可得到关于t 的方程，可求得t 的值；（3）当四边形PMQN 为正方形时，则可证得△COQ∽△QAB，利用相似三角形的性质可求得CQ 的长，在Rt△BCQ 中可求得BQ、CQ，则可用t 分别表示出PM 和PN，可得到关于t 的方程，可求得t 的值．试题解析：解：（1）在y＝ax 2＋bx＋4中，令x＝0可得y＝4，∴C（0，4），∵四边形OABC 为矩形，且A（10，0），∴B（10，4），把B、D 坐标代入抛物线解析式可得10010444240a b a b ++=⎧⎨-+=⎩，解得1653a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线解析式为y＝16-x 2＋53x＋4；（2）由题意可设P（t，4），则E（t，16-t 2＋53t＋4），∴PB＝10﹣t，PE＝16-t 2＋53t＋4﹣4＝16-t 2＋53t，∵∠BPE＝∠COD＝90°，当∠PBE＝∠OCD 时，则△PBE∽△OCD，∴PE PB OD OC =，即BP•OD＝CO•PE，∴2（10﹣t）＝4（16-t 2＋53t），解得t＝3或t＝10（不合题意，舍去），∴当t＝3时，∠PBE＝∠OCD；当∠PBE＝∠CDO 时，则△PBE∽△ODC，∴PE PB OC OD =，即BP•OC＝DO•PE，∴4（10﹣t）＝2（16-t 2＋53t），解得t＝12或t＝10（均不合题意，舍去）综上所述∴当t＝3时，∠PBE＝∠OCD；（3）当四边形PMQN 为正方形时，则∠PMC＝∠PNB＝∠CQB＝90°，PM＝PN，∴∠CQO＋∠AQB＝90°，∵∠CQO＋∠OCQ＝90°，∴∠OCQ＝∠AQB，∴Rt△COQ∽Rt△QAB，∴CO OQ AQ AB=，即OQ•AQ＝CO•AB，设OQ＝m，则AQ＝10﹣m，∴m（10﹣m）＝4×4，解得m＝2或m＝8，①当m＝2＝＝，∴sin∠BCQ＝BQ BC ＝5，sin∠CBQ＝CQ BC ＝5，（10﹣t），t （10﹣t），解得t＝103，②当m＝8时，同理可求得t＝203，∴当四边形PMQN 为正方形时，t 的值为103或203．点睛：本题为二次函数的综合应用，涉及矩形的性质、待定系数法、相似三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形、方程思想等知识．在（1）中注意利用矩形的性质求得B 点坐标是解题的关键，在（2）中证得△PBE∽△OCD 是解题的关键，在（3）中利用Rt△COQ ∽Rt△QAB 求得CQ 的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．。

中考数学复习----《正方形的判定》知识点总结与专项练习题(含答案解析)

中考数学复习----《正方形的判定》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.直接判定：四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形。

2.利用平行四边形判定：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

（定义判定）3.利用菱形与矩形判定：①有一个角是直角的菱形是正方形。

②对角线相等的菱形是正方形。

③邻边相等的矩形是正方形。

④对角线相互垂直的矩形是正方形。

练习题1、（2022•绍兴）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB＝2，∠ABC＝60°，E，F是对角线BD上的动点，且BE＝DF，M，N分别是边AD，边BC上的动点．下列四种说法：①存在无数个平行四边形MENF；②存在无数个矩形MENF；③存在无数个菱形MENF；④存在无数个正方形MENF．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后逐一分析即可．【解答】解：连接AC，MN，且令AC，MN，BD相交于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OE＝OF，只要OM＝ON，那么四边形MENF就是平行四边形，∵点E，F是BD上的动点，∴存在无数个平行四边形MENF，故①正确；只要MN＝EF，OM＝ON，则四边形MENF是矩形，∵点E，F是BD上的动点，∴存在无数个矩形MENF，故②正确；只要MN⊥EF，OM＝ON，则四边形MENF是菱形，∵点E，F是BD上的动点，∴存在无数个菱形MENF，故③正确；只要MN＝EF，MN⊥EF，OM＝ON，则四边形MENF是正方形，而符合要求的正方形只有一个，故④错误；故选：C．2、（2022•滨州）下列命题，其中是真命题的是（）A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形B．有一个角是直角的四边形是矩形C．对角线互相平分的四边形是菱形D．对角线互相垂直的矩形是正方形【分析】根据，平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定方法一一判断即可．【解答】解：A、对角线互相垂直的四边形是平行四边形，是假命题，本选项不符合题意；B、有一个角是直角的四边形是矩形，是假命题，本选项不符合题意；C、对角线互相平分的四边形是菱形，是假命题，本选项不符合题意；D、对角线互相垂直的矩形是正方形，是真命题，本选项符合题意．故选：D．3、（2022•攀枝花）如图，以△ABC的三边为边在BC上方分别作等边△ACD、△ABE、△BCF．且点A在△BCF内部．给出以下结论：①四边形ADFE是平行四边形；②当∠BAC ＝150°时，四边形ADFE是矩形；③当AB＝AC时，四边形ADFE是菱形；④当AB＝AC，且∠BAC＝150°时，四边形ADFE是正方形．其中正确结论有（填上所有正确结论的序号）．【分析】①利用SAS证明△EFB≌△ACB，得出EF＝AC＝AD；同理由△CDF≌△CAB，得DF＝AB＝AE；根据两边分别相等的四边形是平行四边形得出四边形ADFE是平行四边形，即可判断结论①正确；②当∠BAC＝150°时，求出∠EAD＝90°，根据有一个角是90°的平行四边形是矩形即可判断结论②正确；③先证明AE＝AD，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可判断结论③正确；④根据正方形的判定：既是菱形，又是矩形的四边形是正方形即可判断结论④正确．【解答】解：①∵△ABE、△CBF是等边三角形，∴BE＝AB，BF＝CB，∠EBA＝∠FBC＝60°；∴∠EBF＝∠ABC＝60°﹣∠ABF；∴△EFB≌△ACB（SAS）；∴EF＝AC＝AD；同理由△CDF≌△CAB，得DF＝AB＝AE；由AE＝DF，AD＝EF即可得出四边形ADFE是平行四边形，故结论①正确；②当∠BAC＝150°时，∠EAD＝360°﹣∠BAE﹣∠BAC﹣∠CAD＝360°﹣60°﹣150°﹣60°＝90°，由①知四边形AEFD是平行四边形，∴平行四边形ADFE是矩形，故结论②正确；③由①知AB＝AE，AC＝AD，四边形AEFD是平行四边形，∴当AB＝AC时，AE＝AD，∴平行四边形AEFD是菱形，故结论③正确；④综合②③的结论知：当AB＝AC，且∠BAC＝150°时，四边形AEFD既是菱形，又是矩形，∴四边形AEFD是正方形，故结论④正确．故答案为：①②③④．。

中考数学专题复习——正方形(详细答案)

中考数学专题复习——正方形(详细答案) 中考数学复专题——正方形一．选择题（共4小题）1.如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上，若AB=3，BC=4，则tan∠AFE的值（）。

A。

等于B。

等于1C。

等于3/4D。

随点E位置的变化而变化2.如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB，EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于（）。

A。

1/8B。

1/4C。

1/2D。

3/43.下列说法中，正确个数有（）①对顶角相等；②两直线平行，同旁内角相等；③对角线互相垂直的四边形为菱形；④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形．A。

1个B。

2个C。

3个D。

4个4.下列说法中，正确的是（）A。

两条直线被第三条直线所截，内错角相等B。

对角线相等的平行四边形是矩形C。

相等的角是对顶角D。

角平分线上的点到角两边的距离相等二．填空题（共7小题）5.以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是60°。

6.如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，△___由△DAM平移得到。

若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：①点M位置变化，使得∠DHC=60°时，2BE=DM；②无论点M运动到何处，都有DM=HM；③无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°。

其中正确结论的序号为①和②。

7.如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE=DF=2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为9.8.如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为（3，-2）。

9.在正方形ABCD中，AB=6，连接AC，BD，P是正方形边上或对角线上一点，若PD=2AP，则AP的长为2.1.如图，正方形ABCD的边长为1，点A与原点重合，点B在y轴的正半轴上，点D在x轴的负半轴上。

中考数学复习《正方形》专项提升训练(附答案)

中考数学复习《正方形》专项提升训练(附答案) 学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1.如图，平行四边形、矩形、菱形、正方形的包含关系可用如图表示，则图中阴影部分所表示的图形是( )A.矩形B.菱形C.矩形或菱形D.正方形2.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是( )A.22.5°B.25°C.23°D.20°3.如图，已知菱形ABCD，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( )A.16B.12C.24D.184.如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE＝AC，则∠E＝( )A.90°B.45°C.30°D.22.5°5.将一正方形纸片按图中⑴、⑵的方式依次对折后，再沿⑶中的虚线裁剪，最后将⑷中的纸片打开铺平，所得图案应该是下面图案中的( )6.如图所示，两个含有30°角的完全相同的三角板ABC 和DEF 沿直线l 滑动，下列说法错误的是( )A.四边形ACDF 是平行四边形B.当点E 为BC 中点时，四边形ACDF 是矩形C.当点B 与点E 重合时，四边形ACDF 是菱形D.四边形ACDF 不可能是正方形 7.下列叙述，错误的是( )A.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形B.对角线互相垂直平分的四边形是菱形C.对角线互相平分的四边形是平行四边形D.对角线相等的四边形是矩形8.已知一个无盖长方体的底面是边长为1的正方形，侧面是长为2的长方形，现展开铺平.如图，依次连结点A ，B ，C ，D 得到一个正方形，将周围的四个长方形沿虚线剪去一个直角三角形，则所剪得的直角三角形较短直角边与较长直角边的比是( )A.12B.13C.23D.459.如图，正方形ABCD 的对角线交于点O ，点O 又是正方形A 1B 1C 1O 的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等.无论正方形A 1B 1C 1O 绕点O 怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的( )A.12B.13C.14D.1510.如图,点O(0,0)，A(0,1)是正方形OAA 1B 的两个顶点，以OA 1对角线为边作正方形OA 1A 2B 1，再以正方形的对角线OA 2作正方形OA 1A 2B 1，…，依此规律，则点A 2027的坐标是( )A.(0，21013)B.(21013，21013)C.(21014，0)D.(21014，﹣21014) 二、填空题11.如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边△ADE ，则∠BED 的度数是 .12.如图．将正方形纸片ABCD 折叠，使边AB 、CB 均落在对角线BD 上，得折痕BE 、BF ，则∠EBF 的大小为．13.如图1，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图2．这个拼成的长方形的长为30，宽为20．则图2中Ⅱ部分的面积是．14.若正方形的面积是9，则它的对角线长是 .15.如图，正方形ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点，∠DAE＝30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q.若PQ＝AE，则AP等于_______cm.16.如图，线段AC＝n＋1(其中n为正整数)，点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到△AME.当AB＝1时，△AME的面积记为S1；当AB＝2时，△AME的面积记为S2；当AB＝3时，△AME的面积记为S3；则S3﹣S2＝.三、解答题17.如图，已知点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且AF＝BP＝CQ＝DE．求证：(1)EF＝FP＝PQ＝QE；(2)四边形EFPQ是正方形．18.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，分别延长OA、OC到点E、F，使AE＝CF，依次连接B、F、D、E各点.(1)求证：△BAE≌△BCF；(2)若∠ABC＝50°，则当∠EBA＝________°时，四边形BFDE是正方形.19.如图，已知在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．(1)求证：AP＝BQ；(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．20.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，CD边上的点，BE，AF交于点O，且AE＝DF．(1)求证：△ABE≌△DAF；(2)若BO＝4，DE＝2，求正方形ABCD的面积．21.如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE 于点F，交CD于点G．(1)证明：△ADG≌△DCE；(2)连接BF，证明：AB＝FB．22.如图，在正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于点Q.(1)如图①，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明；(2)如图②，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想.23.在几何探究问题中，经常需要通过作辅助线(如，连接两点，过某点作垂线，作延长线，作平行线等等)把分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的.(1)(探究发现)如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF＝45°，连接EF.通过探究，可发现BE，EF，DF之间的数量关系为________(直接写出结果).(2)(验证猜想)同学们讨论得出下列三种证明思路(如图1)：思路一：过点A作AG⊥AE，交CD的延长线于点G.思路二：过点A作AG⊥AE，并截取AG＝AE，连接DG.思路三：延长CD至点G，使DG＝BE，连接AG.请选择一种思路证明(探究发现)中的结论.(3)(应用)如图2，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且BC＝3BE，∠EAF ＝45°，设BE＝t，试用含t的代数式表示DF的长.参考答案1.D.2.A3.A.4.D5.B.6.B.7.D.8.C.9.C.10.B11.答案为：45°.12.答案为：45°．13.答案为：100.14.答案为：3 2.15.答案为：1或2.16.答案为：52 .17.证明：(1)∵四边形ABCD是正方形∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD ∵AF＝BP＝CQ＝DE∴DF＝CE＝BQ＝AP在△APF和△DFE和△CEQ和△BQP中∴△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP(SAS)∴EF＝FP＝PQ＝QE；(2)∵EF＝FP＝PQ＝QE∴四边形EFPQ是菱形∵△APF≌△BQP∴∠AFP＝∠BPQ∵∠AFP＋∠APF＝90°∴∠APF＋∠BPQ＝90°∴∠FPQ＝90°∴四边形EFPQ是正方形．18.证明：(1)在菱形ABCD中，BA＝BC∴∠BAC＝∠BCA∴∠BAE＝∠BCF.在△BAE与△BCF中BA＝BC，∠BAE＝∠BCF，AE＝CF∴△BAE≌△BCF(SAS).(2)20.19.证明：(1)∵正方形ABCD∴AD＝BA，∠BAD＝90°，即∠BAQ＋∠DAP＝90°∵DP⊥AQ∴∠ADP＋∠DAP＝90°∴∠BAQ＝∠ADP∵AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P∴∠AQB＝∠DPA＝90°∴△AQB≌△DPA(AAS)∴AP＝BQ(2)①AQ﹣AP＝PQ②AQ﹣BQ＝PQ③DP﹣AP＝PQ④DP﹣BQ＝PQ20.证明：(1)∵四边形ABCD是正方形∴AB＝AD，∠BAE＝∠D＝90°又AE＝DF∴△ABE≌△DAF；(2)∵△ABE≌△DAF∴∠FAD＝∠ABE又∠FAD＋∠BAO＝90°∴∠ABO＋∠BAO＝90°∴△ABO∽△EAB∴AB：BE＝BO：AB，即AB：6＝4：AB∴AB2＝24所以正方形ABCD面积是24．21.解：(1)∵四边形ABCD是正方形∴∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC又∵AG⊥DE∴∠DAG＋∠ADF＝90°＝∠CDE＋∠ADF∴∠DAG＝∠CDE∴△ADG≌△DCE(ASA)；(2)如图所示，延长DE交AB的延长线于H∵E是BC的中点∴BE＝CE又∵∠C＝∠HBE＝90°，∠DEC＝∠HEB∴△DCE≌△HBE(ASA)∴BH＝DC＝AB，即B是AH的中点又∵∠AFH＝90°∴Rt△AFH中BF＝12AH＝AB．22.解：(1)PB＝PQ.证明：连接PD ∵四边形ABCD是正方形∴∠ACB＝∠ACD，∠BCD＝90°，BC＝CD又∵PC＝PC∴△DCP≌△BCP(SAS)∴PD＝PB，∠PBC＝∠PDC∵∠PBC＋∠PQC＝180°，∠PQD＋∠PQC＝180°∴∠PBC＝∠PQD∴∠PDC＝∠PQD∴PQ＝PD∴PB＝PQ(2)PB＝PQ.证明：连接PD同(1)可证△DCP≌△BCP∴PD＝PB，∠PBC＝∠PDC∵∠PBC＝∠Q∴∠PDC＝∠Q∴PD＝PQ∴PB＝PQ.23.解：(1)EF＝BE＋DF.(2)思路三：延长CD至点G，使DG＝BE，连接AG. ∵正方形ABCD∴AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°∵BE＝DG∴△ABE≌△ADG(SAS)∴AE＝AG,∠BAE＝∠DAG∵∠EAF＝45°∴∠BAE＋∠DAF＝45°∴∠GAF＝∠GAD＋∠DAF＝45°∴∠GAF＝∠EAF∴AF＝AF∴△EAF≌△GAF(SAS)∴EF＝GF＝BE＋DF.(3)由题意可知，CE＝2t，设DF＝x，则CF＝3t-x，EF＝2t＋x ∴在RtCEF中，EF2＝CE2＋CF2∴(x＋t)2＝(3t-x)2＋(2t)2∴x＝32t.即DF＝32t.。

【全国通用】初中几何正方形选择题专题突破练习(2)

【全国通用】初中几何正方形选择题专题突破练习（2）一、单选题1．如图，正方形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点,2O AB =,将正方形ABCD 沿直线DF 折叠,点C 落在对角线BD 上的E 处,折痕DF 与AC 交于点G ，则OG =（）A ．2-B ．2C ．1D 2．如图，在正方形ABCD 内作45EAF ∠=︒，AE 交BC 于点E ，AF 交CD 于点F ，连接EF ，过点A 作AH EF ⊥，垂足为点H ，将ADF 绕点A 顺时针旋转90︒得到ABG ，若4,6BE DF ==，则以下结论：①ADF AHF ≅△△，①AH EF =，①3AE AF =，①24CEF S =，正确的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图，在正方形ABCD 中，点G 为CD 边上一点，以CG 为边向右作正方形CEFG ，连结AF ，BD 交于点P ，连结BG ，过点F 作FH①BG 交BC 于点H ，连结AH ，交BD 于点K ，下列结论中错误的是（）A ．HE=CDB ．①AHF 是等腰直角三角形C ．点P 为AF 中点D ．PK=BK+DP4．如图，在正方形有ABCD 中，E 是AB 上的动点，（不与A 、B 重合），连结DE ，点A 关于DE 的对称点为F ，连结EF 并延长交BC 于点G ，连接DG ，过点E 作EH ①DE 交DG 的延长线于点H ，连接BH ，那么BH AE的值为（）A ．1BCD ．25．如图，正方形ABCD 中，AB ＝2 ，点E 为对角线AC 上一点，且AE ＝CB ，连接DE 并延长交BC 于点G ，过点A 作AH①BE 于点H ，交BC 于点F ．以下结论：①BH =HE ；①①ABF①①DCG ；①①BEG =45°；①4BH 2=BG·CD ；①BF ＝1其中正确结论的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．56．如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ．将①ADE 沿AE 对折至①AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①①ABG ①①AFG ；①BG ＝GC ；①AG ①CF ；①S ①FGC ＝185．其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点,E F 分别是, BC CD 边上的动点，满足.BE CF =则AE AF +的最小值为（）A B ． C ．2+ D ．8．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，AE 交BF 于点H ，//CG AE 交BF 于点G ，下列结论，①sin cos HBE HEB ∠=∠；①CG BF BC CF ⋅=⋅；①BH FG =；①22BC BG CF GF=其中正确的是（）A ．①①①B ．①①①C ．①①①D ．①①①9．在正方形ABCD 中，AB ＝3，点E 在边CD 上，且DE ＝1，将①ADE 沿AE 对折到①AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG ，CF ．下列结论，其中正确的有（）个．（1）CG ＝FG ；（2）①EAG ＝45°；（3）S ①EFC ＝35；（4）CF ＝12GEA ．1B ．2C ．3D ．410．如图，正方形ABCD 的边长为4，G 是边BC 上的一点，且BG ＝3，连AG ，过D 作DE ①AG 于点E ，BF ①DE 交AG 于点F ，则EF 的长为（）A ．25B ．65C ．45D ．8511．如图，点E 在正方形ABCD 的边CD 上，将ADE 绕点A 顺时针旋转90︒到ABF 的位置，连接EF ，过点A 作EF 的垂线，垂足为点H ，与BC 交于点G ．若3BG =，2CG =，则CE 的长为（）A ．54B ．154C ．4D ．9212．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 将对角线AC 三等分，且AC ＝9，点P 在正方形的边上，则满足PE +PF ＝8的点P 的个数是（）A ．8B ．6C ．4D ．013．如图所示，已知正方形ABCD ，对角线AC 、BD 交于点O ，点P 是边BC 上一动点（不与点B 、C 重合），过点P 作①BPF ，使得①BPF=12①ACB ，BG①PF 于点F ，交AC 于点G ，PF 交BD 于点E ，给出下列结论，其中正确的是（）①AG =；①PE=2BF ；①在点P 运动的过程中，当GB=GP时，(2GP BF =；①当P 为BC 的中点时，116BEF ABG SS =． A ．①①①B ．．①①①C ．①①①D ．．①①①① 14．如图，正方形ABCD 的边长为a ，点E 在边AB 上运动（不与点A ，B 重合），45DAM ∠=︒，点F在射线AM 上，且AF =，CF 与AD 相交于点G ，连接EC 、EF 、EG ．则下列结论：①45ECF ∠=︒；①AEG∆的周长为12a ⎛+ ⎝⎭；①222BE DG EG +=；①EAF ∆的面积的最大值是218a ；①当13BE a =时，G 是线段AD 的中点．其中正确的结论是（）A ．①①①B ．①①①C ．①①①D ．①①①15．如图，正方形ABCD 中，AB ＝8，O 为AB 的中点，P 为正方形ABCD 外一动点，且AP ①CP ，则线段OP 的最大值为（）A ．B ．2+C ．D ．616．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点E 是正方形ABCD 的边AD 上的一点，点A 关于BE 的对称点为F ，若90DFC ∠=︒，则EF 的长为（）A ．37B ．23C ．25D ．71017．如图，正方形ABCD 中，F 为AB 上一点，E 是BC 延长线上一点，且AF EC =，连结EF ，DE ，DF ，M 是FE 中点，连结MC ，设FE 与DC 相交于点N ．则4个结论：①DE DF =；①∠=∠CME CDE ；①2=⋅DG GN GE ；①若2BF =，则MC =；正确的结论有( )个A ．4B ．3C ．2D ．118．如图，点E 是边长为2正方形ABCD 的边AD 的中点，点F 是边CD 的一动点，FE 的延长线交BA 的延长线于点G ，过点E 作HE GF ⊥，交CB 延长线于点H ．当点F 运动到CD 的中点时，CH 的长是（）A ．6B ．CD ．319．如图，正方形ABCD 中，4=AD ，点E 是对角线AC 上一点，连接DE ，过点E 作EF ED ⊥，交AB 于点F ，连接DF ，交AC 于点G ，将EFG ∆沿EF 翻折，得到EFM △，连接DM ，交EF 于点N ，若点F 是AB 的中点，则EMN 的周长是（）A ．2B ．2C D 20．如图，在Rt①ABC 中，①ACB ＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C 作CR①FG 于点R ，再过点C 作PQ①CR 分别交边DE ，BH 于点P ，Q ．若QH ＝2PE ，PQ ＝15，则CR 的长为（）A ．14B ．15 C．D．21．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD 与正方形EFGH .连结EG ，BD 相交于点O ，BD 与HC 相交于点P .若GO=GP ，则ABCDEFGH S S 正方形正方形的值是（）A．1B．2+ C．5 D ．15422．如图，在正方形ABCD 各边上分别截取AE BF CG DH ===，且45AFQ BGM CHN DEP ∠=∠=∠=∠=︒，若四边形MNPQ 的面积为1S ．四边形FAEQ 面积为2S ，当AF =123241S S =时，则AE 的长为（）A．B ．3 C ．4 D．23．如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 是BC 边上的一点，以AB 为直径在正方形内作半圆O ，将DCE∆沿着DE 翻折，点C 恰好落在半圆O 上的点F 处，则CE 的长为（）A ．13B ．12C ．34D ．2324．如图，正方形ABCD 中，4AB =，E ，F 分别是边AB ，AD 上的动点，AE DF =，连接DE ，CF 交于点P ，过点P 作//PK BC ，且2PK =，若CBK ∠的度数最大时，则BK 长为（）A ．6B ．C ．D ．25．如图，正方形ABCD 中，点E 为BC 边上的一点，连接AE ，过点D 作DM①AE ，垂足为点M ，交AB 于点F ．将①AMF 沿AB 翻折得到①ANF ．延长DM ，AN 交于点P ．给出以下结论①ABE DAF ≅△△；①APF ~DAP △△；①2AP PF PD =⋅；①若2tan ADF 3∠=，则:4:5APF AFD S S =△△；．其中正确的是（）A ．①①①①B ．①①①C ．①①①D ．①①26．如图，正方形ABCD 的边长是3，BP=CQ ，连接AQ ，DP 交于点O ，并分别与边CD ，BC 交于点F ，E ，连接AE ，下列结论：①AQ①DP ；①OA 2=OE•OP ；①S ①AOD =S 四边形OECF ；①当BP=1时，tan①OAE=34，其中正确的结论是（）A．①①B．①①①C．①①①D．①①①①27．如图，正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，在AB上取一点F，使点B关于直线EF的对称点G 落在AD上，连接EG交CD于点H，连接BH交EF于点M，连接CM．则下列结论，其中正确的是（）①①1＝①2；①①3＝①4；①GD CM；①若AG＝1，GD＝2，则BMA．①①①①B．①①C．①①D．①①①28．如图，正方形ABCD中，AB=6，E为AB的中点，将①ADE沿DE翻折得到①FDE，延长EF交BC于G，FH①BC，垂足为H，连接BF、DG．以下结论：①BF①ED；①①DFG ①①DCG；①①FHB①①EAD；①tan①GEB= 4；①S①BFG=2.4．其中正确的个数是（）3A．2B．3C．4D．529．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE①EF．有下列结论：①①BAE＝①EAF；①射线FE 是①AFC 的角平分线；①CF ＝14CD ；①AF ＝AB +CF ．其中正确结论的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个30．如图所示，四边形ABCD 是边长为1的正方形，E 为BC 边的中点，沿AP 折叠使D 点落在AE 上的点H 处，连接PH 并延长交BC 于点F ，则EF 的长为( )A B C ．3 D ．1431．如图，己知正方形ABCD 的边长为4， P 是对角线BD 上一点，PE①BC 于点E ， PF①CD 于点F ，连接AP ， EF ，给出下列结论：EC ；①四边形PECF 的周长为8；①①APD 一定是等腰三角形；①AP=EF ；①EF 的最小值为①AP①EF ，其中正确结论的序号为（）A ．①①①①①B ．①①①①C ．①①①D ．①①32．如图，正方形ABCD 中，点E 在BD 上，且AB BE =，延长CE 交AD 于F ，则AFC ∠为( )A ．67.5︒B ．112.5︒C ．122.5︒D ．135︒33．如图，在正方形ABCD 中，AEF ∆的顶点E ，F 分别在BC ，CD 边上，高AG 与正方形的边长相等，连接BD 分别交AE ，AF 于点M ，N ，下列说法：①45EAF ∠=︒；①连接MG ，NG ，则MGN ∆为直角三角形；①Δ~ΔAMN AFE ；①若2BE =，3FD =，则MN 是（）A ．4B ．3C ．2D ．134．如图，已知正方形ABCD 的边长为8，点E 是正方形内部一点，连接BE ，CE ，且①ABE ＝①BCE ，点P 是AB 边上一动点，连接 PD ，PE ，则PD+PE 长度的最小值为（）A ．B ．C ．4D ．435．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，E 、F 分别是AB ，BC 的中点，AF 分别交DE ，DB 于G ，H 两点，则四边形BEGH 的面积是（）A ．13B ．25C ．715D ．7836．如图，正方形ABCD 中，AB ＝4，E 为CD 上一动点，连接AE 交BD 于F ，过F 作FH①AE 于F ，过H 作HG①BD 于 G ．则下列结论：①AF ＝FH ；①①HAE ＝45°；①BD ＝2FG ；①①CEH 的周长为 8．其中正确的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个37．如图，边长为8的正方形ABCD 的对角线交于点O ，点,E F 分别在边,CD DA 上（CE DE <），且90,,EOF OE BC ︒∠=的延长线交于点 ,,G OF CD 的延长线交于点,H E 恰为OG 的中点．下列结论： ①OCE ODF ∆∆≌；①OG OH =；①GH =其中，正确结论的个数是（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个38．如图，在正方形ABCD 中，顶点A （﹣1，0），C （1，2），点F 是BC 的中点，CD 与y 轴交于点E ，AF 与BE 交于点G ．将正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转，每次旋转90°，则第99次旋转结束时，点G 的坐标为（）A ．（35，45）B ．（﹣45，35）C ．（﹣35，45）D ．（45，﹣35） 39．如图，正方形ABCD 中，点E 是AD 边的中点，BD ，CE 交于点H ，BE 、AH 交于点G ，则下列结论： ①①ABE ＝①DCE ；①①AHB ＝①EHD ；①S ①BHE ＝S ①CHD ；①AG ①BE ．其中正确的是（）A ．①①B ．①①①①C ．①①①D ．①①①40．如图，在矩形ABCD 中，将①ABE 沿着BE 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处，再将①DEG 沿着EG 翻折，使点D 落在EF 边上的点H 处．若点A ，H ，C 在同一直线上，AB=1，则AD 的长为（）A ．32BC D41．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中,..BC E 三点在同一直线上,点D 在CG 上.1,3BC CE ==，连接,AF H 是AF 的中点，连接CH ,那么CH 的长是( )A B ．C ．2 D ．42．如图，正方形ABCD 中，3AB =，点E 在边CD 上，且2CE DE =；将ADE ∆沿AE 对折至AFE ∆，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ，下列结论中，正确的个数为（）①BG GC =；①45GAE ∠=︒；①//AG CF ；①910FGC S ∆=A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个43．如图，在正方形ABCD 中，点G 是对角线AC 上一点，且CG =CB ，连接BG ，取BG 上任意一点H ，分别作HM ①AC 于点M ，HN ①BC 于点N ，若正方形的边长为2，则HM +HN 的值为（）A B ．1 C D 44．如图，已知正方形ABCD 和正方形DEFG ，点E 在CD 边上，边长1DE =，将正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转30，得到正方形DE F G '''，此时E '在AC 上，连接G C '，则E C G C ''+的值为（）A B C D 45．如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接DE 、CE 、AE ，过点D 作DE 的垂线交AE 于点P ．若1DE DP ==，PC =①APD CED ≌△△；①90CEA ∠=︒；①点C 到直线DE 的距离；①1APD CPD S S +=△△①S 正方形ABCD ）A ．①①①①B ．①①①①C ．①①①D ．①①①46．如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 的中点，连接AF 、DE 交于点P ，过B 作BG ①DE 交AD 于G ，BG 与AF 交于点M ．对于下列结论：①AF ①DE ；①G 是AD 的中点；①①GBP ＝①BPE ；①S ①AGM ：S ①DEC ＝1：4．正确的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个47．如图，正方形ABCD 的边长为5，4AG CH ==，3BG DH ==，连接GH ，则线段GH 的长为（）A B ．75 C D ．548．如图，在正方形ABCD 中，①BPC 是等边三角形，BP 、CP 的延长线分别交AD 于点E 、F ，连接BD 、DP ，BD 与CF 相较于点H ，给出下列结论：①BE=2AE ；①①DFP①①BPH ；①DP 2=PH·PC ；①若AB=2，则S ①BPD 1；其中正确的是（）A ．①①①①B ．①①C ．①①①D ．①①①49．如图，E 为正方形ABCD 边AB 上一动点（不与A 重合），AB=4，将①DAE 绕着点A 逆时针旋转90°得到①BAF ，再将①DAE 沿直线DE 折叠得到①DME ．下列结论：①连结AM ，则AM①FB ；①连结FE ，当F 、E 、M 共线时，-4；①连结EF 、EC 、FC ，若①FEC 是等腰三角形，则-4；①连结EF ，设FC 、ED 交于点O ，若FE 平分①BFC ，则O 是FC 的中点，且2，其中正确的个数有（）个．A ．4B ．3C ．2D ．150．如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，PE ①BC 于E ，PF ①CD 于F ，连接EF ，给出下列四个结论，其中正确结论的序号是（）①AP ＝EF ；①①PFE ＝①BAP ；①①APD 一定是等腰三角形；①PD EC ．A ．①①①B ．①①C ．①①①D ．①①①51．如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG，下列结论：①CE①DF；①AG=AD；①①CHG=①DAG；①HG=12AD．其中正确的有( )A．① ①B．① ① ①C．① ① ①D．① ① ① ①52．已知正方形ABCD的边长为3，E是BC上一点，Q是CD上一动点，将①CEQ沿直线EQ 折叠后，点C落在点P处，连接PA，点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动，当PA的长度最小时，CQ的长为（）A．3B．3C．32D．3参考答案1．A2．C3．D4．B5．C6．D7．D8．D9．C10．C11．B12．A13．A14．D15．A16．B17．A18．D19．C20．A21．B22．A23．D24．A25．A26．A27．A28．D29．D30．A 31．A 32．B 33．A 34．D 35．C 36．D 37．C 38．B 39．B 40．B 41．A 42．D 43．A 44．C 45．D 46．C 47．C 48．A 49．A 50．A 51．D 52．A。

正方形的性质-【重难点突破练】八年级数学下学期同步训练(人教版)(解析版)

§18.2.3.1正方形的性质一、知识导航1.正方形的定义：有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形是正方形.注意：正方形既是矩形，也是菱形.2.正方形的性质（1）边：四条边都相等，邻边垂直，对边相等（2）角：四个角都是直角（3）对角线：对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角二、重难点突破重点1利用正方形的性质求线段长度例1.如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，M 是边AD 上一点，连接OM ，过点O 作ON ⊥OM ，交CD 于点N ．若四边形MOND 的面积是1，则AB 的长为（）A ．1B ．2C ．2D ．22【答案】C 【分析】先证明()MAO NDO ASA ，再证明四边形MOND 的面积等于，DAO 的面积，继而解得正方形的面积，据此解题．【详解】在正方形ABCD 中，对角线BD ⊥AC ，90AODON OM∵90MONAOM DON又45,MAO NDO AO DO∵()MAO NDO ASA MAO NDOS S ∵四边形MOND 的面积是1，1DAO S 正方形ABCD 的面积是4，24AB 2AB 故选：C ．【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．变式1-1如图所示，直线a 经过正方形ABCD 的顶点A ，分别过正方形的顶点B 、D 作BF ⊥a 于点F ，DE ⊥a 于点E ，若DE ＝8，BF ＝5，则EF 的长为__．【答案】13【分析】本题是典型的一线三角模型，根据正方形的性质、直角三角形两个锐角互余以及等量代换可以证得△AFB ≌△AED ；然后由全等三角形的对应边相等推知AF ＝DE 、BF ＝AE ，所以EF ＝AF +AE ＝13．【详解】∵ABCD 是正方形（已知）∴AB ＝AD ，∠ABC ＝∠BAD ＝90°又∵∠FAB+∠FBA ＝∠FAB+∠EAD ＝90°∴∠FBA ＝∠EAD （等量代换）∵BF ⊥a 于点F ，DE ⊥a 于点E∴在Rt △AFB 和Rt △AED 中∵90AFB DEA FBA EAD AB DA∴△AFB ≌△DEA （AAS ）∴AF ＝DE ＝8，BF ＝AE ＝5（全等三角形的对应边相等）∴EF ＝AF+AE ＝DE+BF ＝8+5＝13故答案为：13【点睛】本题考查了正方形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质及熟悉一线三角模型是解本题的关键．变式1-2如图，E ，F 是正方形ABCD 的对角线AC 上的两点，8AC ，2AE CF ，则四边形BEDF 的周长是_____．【答案】【分析】连接BD 交AC 于点O ，则可证得OE OF ，OD OB ，可证四边形BEDF 为平行四边形，且BD EF ，可证得四边形BEDF 为菱形；根据勾股定理计算DE 的长，可得结论．【详解】如图，连接BD 交AC 于点O ，∵四边形ABCD 为正方形，∴BD AC ，OD OB OA OC ，∵2AE CF ，∴OA AE OC CF ，即OE OF ，∴四边形BEDF 为平行四边形，且BD EF ，∴四边形BEDF 为菱形，∴DE DF BE BF ，∵8AC BD ，8422OE OF ，由勾股定理得：DE∴四边形BEDF 的周长44DE故答案为.【点睛】本题考查了正方形的性质、菱形的判定和性质及勾股定理，掌握对角线互相垂直平分的四边形为菱形是解题的关键．变式1-3如图，边长为6的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG ，EF 交AD 于点H ，则DH ____________．【答案】【分析】过点F 作FI ⊥BC 于点I ，延长线IF 交AD 于J ，根据含30°直角三角形的性质可求出FI 、FJ 和JH 的长度，从而求出HD 的长度．【详解】过点F 作FI ⊥BC 于点BC ，延长线AD 交AD 于J ，重点点拨：由于正方形的两条对角线互相垂直，因此在解决正方形中的线段的长度问题时，常常利用勾股定理解答.由题意可知：CF =BC =6，∠FCB =30°，∴FI =3，CI =33∵JI =CD =6，∴JF =JI -FI =6-3=3，∵∠HFC =90°，∴∠JFH +∠IFC =∠IFC +∠FCB =90°，∴∠JFH =∠FCB =30°，设JH =x ，则HF =2x ，∴由勾股定理可知：（2x ）2=x 2+32，∴x 3∴DH =DJ -JH =3333故答案为：23【点睛】本题考查正方形的性质，涉及正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，含30°的直角三角形的性质，本题属于中等题型．重点2利用正方形的性质求角度例2.如图，正方形ABCD 中，点E 是对角线AC 上的一点，且AE AD 连接DE ，则∠CDE 的度数为（）A ．20°B ．22.5°C ．25°D ．30°【答案】B 【分析】由正方形的性质可得∠DAE 的度数，再由AE =AD ，即可求得∠ADE 的度数，从而可求得∠CDE 的度数．【详解】∵四边形ABCD 是正方形∴∠ADC =90゜，∠DAE =45゜∵AE =AD ∴11(180)(18045)67.522ADE AED DAE ∴9067.522.5CDE ADC ADE故选：B【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，掌握这两个性质是关键．变式2-1如图，正方形ABCD 的对角线BD 是菱形BEFD 的一边，菱形BEFD 的对角线BF 交CD 于点P ，则∠FPC 的度数是______．【答案】112.5°【分析】利用正方形的性质得到90BCD ＝，45CBD ＝，再根据菱形的性质得BF 平分,EBD，所以22.5＝，然后根据三角形外角性质计算 FPC的度数．CBP【详解】∵四边形ABCD为正方形，CBD＝，BCD90＝，45∵四边形BEFD为菱形，∴BF平分∠EBD，＝，CBP22.5＝＋＝＋＝．22.590112.5FPC PBC BCP故答案为：112.5 ．【点睛】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；也考查了菱形的对角线的性质：菱形对角线平分每对对角，且互相垂直；三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．熟记这些知识是解题关键．变式2-2如图，正方形ABCD中，点F为AB上一点，CF与BD交于点E，连接AE，若∠BCF=20°，则∠AEF的度数（）A．35°B．40°C．45°D．50°【答案】D【分析】先证明△ABE≌△CBE，得到∠BAE=∠BCE=20°，在Rt△BCF中利用三角形内角和180°可求∠BFC度数．再根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和求出∠AEF的度数．【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，BC=BA，∠ABE=∠CBE=45°．又BE =BE ，∴△ABE ≌△CBE （SAS ）．∴∠BAE =∠BCE =20°．∵∠ABC =90°，∠BCF =20°∴∠BFC =180°-∠ABC -∠BCF=180°-90°-20°=70°∵∠BFC =∠BAE +∠AEF∴∠AEF=∠BFC -∠BAE =70°-20°=50°故选：D ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，解题的关键是熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定、以及三角形的外角等于和它不相邻两个内角和的性质．解决正方形中角的问题一般会涉及对角线平分对角成45°．变式2-3正方形ABCD 中，E 为AB 上一点，M ，N 分别在BC ，AD 上，CE ＝MN ，∠MCE ＝35°，则∠ANM ＝______．【答案】55°或125°【分析】分两种情况：∠ANM 是锐角时，如图，过M 作MG ∥AB 交AD 于G ，由题意易得∠NGM ＝∠A ＝∠B ＝90°，且AB ＝MG ＝CD ，然后可得GMN BCE ≌△△，进而根据全等三角形的性质可求解；∠ANM 是钝角时，如图，同理可求出∠MNG =55°，进而可得答案．【详解】如图，当∠ANM 是锐角时，过M 作MG ∥AB 交AD 于G ，∵四边形ABCD 为正方形，∴∠NGM ＝∠A ＝∠B ＝90°，且AB ＝MG ＝CD ，在Rt △GMN 和Rt △BCE 中，MN EC GM BC，∴ HL GMN BCE ≌△△，∴∠ANM ＝∠CEB ，又∵∠MCE ＝35°，∴∠CEB ＝90°－35°＝55°，∴∠ANM ＝55°．当∠ANM是钝角时，如图，同理可求得∠MNG =55°，∴∠ANM =125°；故答案为55°或125°．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及正方形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及正方形的性质是解题的关键．重点3利用正方形的性质解决与面积有关的问题例3.如图，边长为2的正方形ABCD 内接于⊙O ，则阴影部分的面积为（）重点点拨：利用正方形的性质进行角度计算时，有时候要用到等腰三角形和等边三角形的性质.A ．12B ．12C ．14D ．14【答案】B【分析】圆的面积减去正方形的面积除以4即可求得答案．【详解】∵正方形的边长为2，∴圆的半径为2，∴阴影部分的面积：-2-4==-1442S S 圆正方形ππ，故选B ．【点睛】此题考查圆的面积，正方形面积，解题关键在于掌握面积公式变式3-1如图，正方形ABCD 中，AE 垂直于BE ，且3AE ，4BE ，则阴影部分的面积是()A ．16B ．18C ．19D ．21【答案】C 【分析】已知得ABE 为直角三角形，用勾股定理求正方形的边长AB ，用ABE ABCD S S S 阴影部分正方形求面积．【详解】AE ∵垂直于BE ，且3AE ，4BE ，在Rt ABE △中，22225AB AE BE ，ABE ABCD S S S 阴影部分正方形212AB AE BE =-创12534219 ．故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理的运用，正方形的性质，解题的关键是判断ABE 为直角三角形，运用勾股定理及面积公式求解．变式3-2正方形OGHK 绕边长为10cm 的正方形ABCD 的对角线的交点O 旋转到如图所示的位置，则阴影部分的面积为()A ．100cm 2B ．75cm 2C ．50cm 2D ．25cm 2【答案】D 【分析】根据正方形的性质证明△AOE ≌△BOF ，得到阴影部分的面积=14S 正方形ABCD ，即可得出答案.【详解】∵∠AOB=∠EOF=90°，∴∠AOE=∠BOF ，在△AOE 和△BOF 中，45AOE BOF OA OB OAE OBF，∴△AOE ≌△BOF ，∴S △AOE =S △BOF ，∴阴影部分的面积=14S 正方形ABCD =14×10×10=25cm 2，故选D.【点睛】本题考查了正方形的性质和三角形全等的判定和性质，证明得出阴影部分的面积=14S 正方形ABCD 是解题关键.变式3-3七巧板是大家熟悉的一种益智玩具，用七巧板能拼出许多有趣的图案．小李将块等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割七块，正好制成一副七巧板（如图②），已知40AB cm ，则图中阴影部分的面积为（）A ．225cm B ．21003cm C ．250cm D ．275cm 【答案】C【分析】如图，设OF ＝EF ＝FG ＝x ，可得EH ＝＝20，解方程即可解决问题．【详解】如图，设OF ＝EF ＝FG ＝x ，∴OE ＝OH ＝2x ，在Rt △EOH 中，EH ＝x ，由题意EH ＝20cm ，∴20＝，∴x ＝，∴阴影部分的面积＝（）2＝50（cm 2），故选：C ．【点睛】本题考查正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．重点4利用正方形的性质进行证明例4.如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且BE ＝CF．求证：（1）AE ＝BF ；（2）AE ⊥BF ．【分析】（1）根据正方形的性质可得AB ＝BC ，∠ABE ＝∠BCF ，然后利用“边角边”证明△ABE 和△BCF 全等，即可得出结论；（2）根据全等三角形对应边相等可得AE ＝BF ，全等三角形对应角相等可得∠BAE ＝∠CAF ，然后求出∠BAE +∠ABF ＝∠ABC ＝90°，判断出AE ⊥BF ．【详解】证明：（1）在正方形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABE ＝∠BCF ，在△ABE 和△BCF 中，AB BC ABE BCF BE CF ，∴△ABE ≌△BCF （SAS ），∴AE ＝BF ；重点点拨：在解决与正方形有关的面积问题时，常常结合轴对称、等腰直角三角形以及全等三角形的性质和判定来求解.（2）∵△ABE ≌△BCF ，∴∠BAE ＝∠CBF ，∴∠BAE +∠ABF ＝∠CBF +∠ABF ＝∠ABC ＝90°，∴AE ⊥BF ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，确定出AE 与BF 所在的三角形并证明三角形全等是解题的关键．变式4-1如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 的中点，连接DE ，过点A 作AG ED 交DE 于点F ，交CD 于点G ．（1）证明：ADG DCE ≌；（2）连接BF ，证明：AB FB ＝．【分析】（1）依据正方形的性质以及垂线的定义，即可得到∠ADG=∠C=90°，AD=DC ，∠DAG=∠CDE ，即可得出△ADG ≌△DCE ；（2）延长DE 交AB 的延长线于H ，根据△DCE ≌△HBE ，即可得出B 是AH 的中点，进而得到AB=FB ．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD 是正方形，90ADG C AD DC ＝＝，＝，又AG DE ∵，90DAG ADF CDE ADF ＝＝，DAG CDE ＝，ADG DCE ASA ≌（）（2）如图所示，延长DE 交AB 的延长线于H ，E ∵是BC 的中点，BE CE ＝，又90C HBE DEC HEB ∵＝＝，＝，DCE HBE ASA ≌（），BH DC AB ＝＝，即B 是AH 的中点，又90AFH ∵＝，Rt AFH 中，12BF AH AB ＝＝．【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．变式4-2如图，点M ，N 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，且45MAN ，把ADN△绕点A 顺时针旋转90 得到ABE △．（1）求证：AEM △≌ANM ．（2）若3BM ，2DN ，求正方形ABCD 的边长．【分析】（1）先根据旋转的性质可得,AE AN BAE DAN ，再根据正方形的性质、角的和差可得45 MAE ，然后根据三角形全等的判定定理即可得证；（2）设正方形ABCD 的边长为x ，从而可得3,2CM x CN x ，再根据旋转的性质可得2BE DN ，从而可得5ME ，然后根据三角形全等的性质可得5MN ME ，最后在Rt CMN 中，利用勾股定理即可得．【详解】（1）由旋转的性质得：,AE AN BAE DAN∵四边形ABCD 是正方形90BAD ，即90BAN DAN90BAN BAE ，即90EAN45MAN∵904545MAE EAN MAN在AEM △和ANM 中，45AE AN MAE MAN AM AM()ANM A S S EM A ；（2）设正方形ABCD 的边长为x ，则BC CD x3,2BM DN ∵3,2CM BC BM x CN CD DN x 由旋转的性质得：2BE DN 235ME BE BM 由（1）已证：AEM ANM5MN ME 又∵四边形ABCD 是正方形90C则在Rt CMN 中，222CM CN MN ，即222(3)(2)5x x 解得6x 或1x （不符题意，舍去）故正方形ABCD 的边长为6．【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2），熟练掌握旋转的性质与正方形的性质是解题关键．重点点拨：根据正方形的性质可以得到许多边、角的等量关系，故正方形与全等三角形经常结合在一起考察，充分利用正方形的性质是解题的关键.三、提升训练1.下列说法中，是正方形具有而矩形不具有的性质是（）A ．两组对边分别平行B ．对角线互相垂直C ．四个角都为直角D ．对角线互相平分【答案】B【分析】根据正方形、矩形的性质即可判断．【详解】因为正方形的对角相等，对角线相等、垂直、且互相平分，矩形的对角相等，对角线相等，互相平分，所以正方形具有而矩形不具有的性质是对角线互相垂直．故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质等知识，记住正方形、矩形的性质是解题的关键．2.如图，四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中正确的是（）A ．当ABCD 是矩形时，90BACB ．当ABCD 是菱形时，AB BCC ．当ABCD 是正方形时，AC BDD ．当ABCD 是菱形时，AB AC【答案】C【分析】分别根据矩形、菱形、正方形、菱形的性质逐项判断即可求解．【详解】A.当ABCD 是矩形时，90BAD ，故原结论错误，不合题意；B.当ABCD 是菱形时，AB BC ，故原结论错误，不合题意；C.当ABCD 是正方形时，AC BD ，故原结论正确，符合题意；D.当ABCD 是菱形时，AB BC ，故原结论错误，不合题意．故选：C【点睛】本题考查了矩形、菱形、正方形的性质，熟知三种特殊平行四边形的性质是解题关键，注意三种特殊平行四边形的性质不要混淆．3.顺次联结直角梯形各边中点所得到的四边形可能是（）A ．菱形B ．矩形C ．梯形D ．正方形【答案】B【分析】根据题意画出图形，证明四边形EFGH 是平行四边形，即可排除C ，根据邻边边相等，即可求解．【详解】如图，∵四边形ABCD 是直角梯形，,,,E F G H 分别为各边中点，则 11,,,22EF BD GH BD EF BD GH BD ∥∥ 四边形EFGH 是平行四边形AC BD∵EF EH四边形EFGH 不能是菱形或正方形，四边形EFGH 可能是矩形，如图故选B【点睛】本题考查了中点四边形，掌握那个特殊四边形的性质是解题的关键．4.如图，在正方形ABCD中，AB=9，点E在CD边上，且DE=2CE，点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是（）A．B．C．9D．【答案】A【分析】根据点B与D关于AC对称，连接BE，设BE与AC交于点P′，即P在AC与BE 的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度．再利用勾股定理即可得出结果．【详解】如图，连接BE，设BE与AC交于点P′，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与D关于AC对称，∴P′D=P′B，∴P′D+P′E=P′B+P′E=BE最小．即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度．∵直角△CBE中，∠BCE=90°，BC=3，CE=13CD=1，∴BE．故选A．【点睛】本题考查了轴对称﹣﹣最短路线问题，正方形的性质，要灵活运用对称性解决此类问题，找出P点位置是解题的关键．5.如图，正方形ABCD的面积为144，菱形BCEF面积为108，则△ABF面积为（）A．18B．36C．D．【答案】C【分析】由题意易得AB=BC=BF=EF=EC=12，设CD与EF的交点为G，根据菱形的面积可得CG的长，在Rt△CEG中，可根据勾股定理求得EG，又有EG=阴影部分三角形AB 边上的高，进而可得S阴影的值．【详解】如图，由题意，正方形边长为12，则CG=108÷12=9，在Rt△CEG中，又CE=BC，∴阴影部分三角形AB边上的高=EG=∴S阴影=12×12×故选：C．【点睛】此题主要考查了菱形的性质和面积计算以及正方形的性质，根据已知得出CG=9，进而求出EG的长是解题关键．6.如图，在矩形ABCD内有一点F，FB与FC分别平分∠ABC和∠BCD，点E为矩形ABCD 外一点，连接BE，CE．现添加下列条件：①EB∥CF，CE∥BF；②BE=CE，BE=BF；③BE∥CF，CE⊥BE；④BE=CE，CE∥BF，其中能判定四边形BECF是正方形的共有()A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【分析】根据题意可得CF=BF，∠F=90°，根据平行四边形与正方形的的判定即可判断①；根据菱形与正方形的判定即可判断②；根据矩形与正方形的判定即可判断③；根据正方形的判定即可判断.【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠DCB=∠ABC=90°，∵FB与FC分别平分∠ABC和∠BCD，∴∠FCB=12∠DCB=45°，∠FBC=12∠ABC=45°，∴∠FCB=∠FBC=45°，∴CF=BF，∠F=180°﹣45°﹣45°=90°，①∵EB∥CF，CE∥BF，∴四边形BFCE是平行四边形，∵CF=BF，∠F=90°，∴四边形BFCE是正方形，故①正确；∵BE=CE，BF=BE，CF=BF，∴BF=CF=CE=BE，∴四边形BFCE是菱形，∵∠F=90°，∴四边形BFCE是正方形，故②正确；∵BE∥CF，CE⊥BE，∴CF⊥CE，∴∠FCE=∠E=∠F=90°，∴四边形BFCE是矩形，∵BF=CF，∴四边形BFCE是正方形，故③正确；∵CE∥BF，∠FBC=∠FCB=45°，∴∠ECB=∠FBC=45°，∠EBC=∠FCB=45°，∵∠F=90°，∴∠FCE=∠FBE=∠F=90°，∵BF=CF，∴四边形BFCE是正方形，故④正确；即正确的个数是4个.故选D．【点睛】本题主要考查正方形的判定，平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定.解此题的关键在于熟练掌握其知识点.7.若一个正方形的对角线长是2cm，则它的面积是【答案】2cm2【分析】根据正方形的性质可求得边长，从而根据面积公式即可求得其面积．，则其面积为2cm2，【点睛】本题考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键.8.如图，在正方形ABCD内，以AB为边作等边△ABE，则∠BEG＝_____°．【答案】45【分析】本题通过正方形的性质得到AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB ＝90°，在由等边三角形的性质得到AB＝AE＝BE，∠EAB＝∠ABE＝∠AEB＝60°，进而得到∠ADE＝∠AED＝75°，从而得到答案即可．【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°．又∵三角形ABE是等边三角形，∴AB＝AE＝BE，∠EAB＝∠ABE＝∠AEB＝60°．∴∠DAE＝∠DAB﹣∠EAB＝90°﹣60°＝30°，∴AE＝AD，∴∠ADE＝∠AED＝75°，∴∠BEG＝180°﹣∠DAE﹣∠AEB＝180°﹣75°﹣60°＝45°．故答案为：45．【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握基础知识是解题的关键．9.如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE=1，F为AB上的一点，AF=2，P为AC上的一个动点，则PF＋PE的最小值为______________【分析】作点F关于AC对称点F′根据正方形ABCD是轴对称图形，AC是一条对称轴,可得点F关于AC的对称点在线段AD上，连结EF′，P为AC上的一个动点，PF=PF′，则PF+PE=PF′+PE≥EF′，PF+PE的最小值为EF′的长即可．【详解】作点F关于AC对称点F′，∵正方形ABCD是轴对称图形，AC是一条对称轴，∴点F关于AC的对称点在线段AD上，连结EF′，∵P为AC上的一个动点，∴PF=PF′则PF+PE=PF′+PE≥EF′，PF+PE的最小值为EF′的长，∵AB=4，AF=2，∴AF′=AF=2，∴EF【点睛】本题考查正方形性质，轴对称性质，两点之间线段最短，掌握正方形性质，轴对称性质，两点之间线段最短是解题关键．10.如图，PA＝2，PB＝4，以AB为边作正方形ABCD，使得P、D两点落在直线AB的两侧，当∠APB变化时，则PD的最大值为_________．【答案】4【分析】过点A作AQ⊥AP，使AQ=AP=2，连接BQ，先证明△QAB≌△PAD，得到BQ=PD，得到当Q、P、B在同一直线时，BQ最大，最大值为PQ+PB，根据勾股定理求出PQ，即可求出PD最大值．【详解】过点A作AQ⊥AP，使AQ=AP=2，连接BQ，∴∠QAP=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAB=90°，∴∠QAP=∠BAD，∴∠QAP+∠PAB=∠BAD∠PAB，即∠QAB=∠PAD，∴△QAB≌△PAD，∴BQ=PD，∴PD最大值即为BQ最大值，∵BQ≤PQ+PB，∴当Q、P、B在同一直线时，BQ最大，最大值为PQ+PB，在Rt△AQP中，PQ ,∴PQ+PB最大值为，∴PD最大值为4．故答案为：4．【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理、求线段的最大值等问题，根据题意添加辅助线，构造全等三角形进行线段转化是解题重点．11.如图，四边形ABCD是正方形，M为BC上一点，连接AM，延长AD至点E，使得AE=AM，过点E作EF⊥AM，垂足为F，求证：AB=EF．【分析】根据AAS证明△ABM≌△EFA，可得结论．【详解】证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B=90°，AD∥BC，∴∠EAF=∠BMA，∵EF⊥AM，∴∠AFE=90°=∠B，在△ABM和△EFA中，∵EAF BMA AFE BAE AM，∴△ABM≌△EFA（AAS），∴AB=EF．【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定，熟练掌握三角形全等的判定是关键．12.如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF =BE （1）求证：CE =CF ；（2）若点G 在AD 上，且∠GCE =45°，则GE =BE +GD 成立吗？为什么？【分析】（1）由DF =BE ，四边形ABCD 为正方形可证△CEB 和△CFD 全等，从而证出CE =CF ．（2）由（1）得，CE =CF ，∠BCE +∠ECD =∠DCF +∠ECD 即∠ECF =∠BCD =90°又∠GCE =45°所以可得∠GCE =∠GCF ，故可证得△ECG 和△FCG 全等，即EG =FG =GD +DF ．又因为DF =BE ，所以可证出GE =BE +GD 成立．【详解】（1）在正方形ABCD 中，BC CD B CDF BE DF＝＝＝∴△CBE ≌△CDF （SAS ）．∴CE =CF ．（2）GE =BE +GD 成立．理由：∵由（1）得：△CBE ≌△CDF ，∴∠BCE =∠DCF ，∴∠BCE +∠ECD =∠DCF +∠ECD ，即∠ECF =∠BCD =90°，又∵∠GCE =45°，∴∠GCF =∠GCE =45°，CE ＝CF ．∵∠GCE ＝∠GCF ，GC ＝GC∴△ECG ≌△FCG （SAS ）．∴GE =GF ．∴GE =DF +GD =BE +GD ．【点睛】本题考查了以下内容：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；解决本题的关键是理解题意，灵活运用全等三角形的性质与判定．13.如图，正方形ABCD ，G 是BC 边上任意一点（不与B 、C 重合），DE AG 于点E ，//BF DE ，且交AG 于点F ．（1）求证：AF BF EF ；（2）四边形BFDE 是否可能是平行四边形，如果可能请指出此时点G 的位置，如不可能请说明理由．【分析】（1）证明△ABF ≌△DAE ，从而得到AF=DE ，AE=BF ，可得结果；（2）若要四边形BFDE 是平行四边形，则DE=BF ，则∠BAF=45°，再证明∠BAF≠45°即可.【详解】（1）证明：∵正方形ABCD ，∴AB=AD ，∠BAF+∠DAE=90°，∵DE ⊥AG ，∴∠DAE+∠ADE=90°，∴∠ADE=∠BAF ，又∵//BF DE ，∴∠BFA=90°=∠AED ，∴△ABF ≌△DAE （AAS ），∴AF=DE ，AE=BF ，∴AF BF AF AE EF；（2）不可能，理由是：如图，若要四边形BFDE是平行四边形，已知DE∥BF，则当DE=BF时，四边形BFDE为平行四边形，∵DE=AF，∴BF=AF，即此时∠BAF=45°，而点G不与B和C重合，∴∠BAF≠45°，矛盾，∴四边形BFDE不能是平行四边形.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，平行四边形的性质，解题的关键是找到三角形全等的条件.。

2021年九年级中考数学复习高频考点特训集中营(正方形高频考题专项目练习)

2021年中考数学复习高频考点特训集中营（正方形高频考题专项练习）一．选择题。

1. 下列判断错误的是( )A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形B.四个内角都相等的四边形是矩形C.四条边都相等的四边形是菱形D.两条对角线垂直且平分的四边形是正方形2. 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC的度数为( )A．45° B．55° C．60° D．75°3. 小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD中，选两个作为补充条件，使▱ABCD 成为正方形(如图)．现有下列四种选法，你认为错误的是( )A．①② B．②③ C．①③ D．②④4. 如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E，若∠CBF=20°，则∠AED等于______度. ( )A．45° B．55° C．65° D．75°5. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB 于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是( )A.BC=ACB.CF⊥BFC.BD=DFD.AC=BF6.如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE.若AB的长为2，则FM的长为( )A.2B.√3C.√2D.17. 如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，点E在DC边的延长线上.若∠CAE=15°，则AE=( )A．6 B．7 C．8 D．98. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下面四个结论：①OA=OD；②AD⊥EF；③当∠BAC=90°时，四边形AEDF是正方形；④AE2+DF2=AF2+DE2.其中正确的是( )A.②③B.②④C.①③④D.②③④二．填空题。

中考正方形练习题

中考正方形练习题正方形是我们学习几何形体的一个重要概念。

它不仅在我们的生活中随处可见，而且在中考中也经常出现。

为了提高同学们的几何知识和解题能力，老师经常布置一些正方形练习题。

下面我们来看一些经典的中考正方形练习题，并尝试解答。

首先，我们来看一个简单的题目：已知ABCD是一个正方形，点E在BC上，连接AE与AC的延长线交BD于点F，则下面哪个等式成立？A. AE = AFB. AF = CDC. AF = ABD. AF = AC这个题目考察了同学们对正方形的基本性质的理解。

我们可以通过观察图形来得出正确的答案。

由于AD=AB，所以三角形ADC、ABE是全等三角形。

因此，角A的补角等于角A，即角D等于角B。

通过这个性质，我们可以知道AC平分角B。

因此，延长线AF平分角DAC。

所以，答案是C. AF = AB。

接下来，让我们来看一个稍微复杂一点的题目：已知正方形ABCD的边长为3cm，点E在线段AC上，且AE:EC=1:2，连接BE，则BE的长度是多少？这个题目考察了同学们对正方形的边与角的关系的理解，以及代数求解的能力。

我们可以通过设置未知数来解答这个问题。

设AE为x，则CE为2x。

由于AE+EC=AC=3cm，所以x+2x=3，解得x=1。

因此，AE=1cm，CE=2cm。

连接BE，构成直角三角形AEB和BEC，可以使用勾股定理求得BE的长度为BE=sqrt(AE^2+AB^2)=sqrt(1^2+3^2)=sqrt(10)cm。

最后，我们来看一个稍微有挑战性的题目：正方形ABCD内有一个点P，将正方形分成四个小三角形，使得四个小三角形的面积比分别为1:2:3:4，点P在正方形内的位置为何处？这个题目考察了同学们对面积比例和三角形特性的理解。

解答这个题目需要一些几何知识和推理能力。

由于正方形ABCD是等边三角形，将它分成四个小三角形可以看作是将一个等边三角形分成四个等腰三角形。

设正方形ABCD的边长为x，则小三角形的高分别为h1, h2, h3,h4，根据面积比例的性质可得h1:h2:h3:h4=1:2:3:4。

备考2024年中考数学专题突破(全国通用)专题1-5 正方形基本型(原卷版)

专题1-5正方形基本型（母题溯源）模型解读 (2)【模型一】中点+折叠 (2)【模型二】双中点（十字架模型拓展） (4)【模型三】对角线模型 (11)【模型四】半角模型（七个性质） (11)题型一中点+折叠模型 (15)题型二双中点模型（十字架拓展） (16)2023.东营.中考真题 (16)2203.绥化.中考真题 (17)题型三对角线模型 (19)2023.攀枝花.中考真题 (21)2023.四川宜宾.统考中考真题 (21)题型四半角模型（七个性质） (22)2023.重庆.中考真题 (22)2023.眉山.中考真题 (22)2022达州.中考真题 (23)模型解读【模型一】中点+折叠性质一：''AA A D ；性质二：F ，G 为中点；性质三：'A G CG ;性质四：45EBG ；性质五：2DG CG ；性质六：1tan 3DCNEGEENE性质一证明：AA A D性质二证明：G 是BC 中点性质三，四证明：HL 全等性质五证明：勾股，或“12345”模型E【12345模型说明】易知45 ，1tan 2，故1tan 3，记4,8CG DG AB 12性质六证明：12345模型【模型二】双中点（十字架模型拓展）(1)知2推1：①M 中点；②N 是中点；③AM ⊥DN(2)已知：M 是中点，N 是中点，连接CE 并延长，交AD 于F①求:::EM ED EN AE _________2证明：EC 平分∠NEM 3求DFAF【解析】1::1:2:3:4ED EN AE证明：法一：角平分线逆定理法二：旋转相似（手拉手模型）法三：四点共圆2法一：角平分线定理F在角平分线上，过F作角两边垂线∴D F A F =S △D EF S △A EF =D E A E =12（角平分线定理2）法二：12345模型（正切和角公式）∠D EF=45°,∠ED C=12 t an∠D CF=13（3）已知：M ，N 是中点，O 是中心，连接OE ，①求DE:EG:GN ;②证∠OEC=90°C【解析】第一问C D EN E=23,N GD G=12r o 12345模型【解析】第二问法一：由（2）可知∠NEC=45°，故构造手拉手模型可得△黄≌△黄(SAS)，从而可得∠NEO=45°，得证或者换个方向也可以，像这种方方正正的图形也可以试试建系法二：四点共圆法三：补成玄图易知∠OEG=45°（4）已知：M ，N 是中点,连接BE ，证BE=CDC【解析】法一斜边上的中线等于斜边一般法二：过AD 的中点P 作AE 垂线，交AM 于Q ，可得Q 是AE 中点，则BQ 垂直平分AE ，故AB=BE法三：对角互补得四点共圆，导角得等腰法四：勾股定理，由（2）可知DE ：NE=2:3，设值求值即可10m5m 2m 3m C（5）已知：M ，N 是中点,连接BE ，AH ⊥BE 于H ，交DN 于K ，证AK=CDC【解析】法一：构造玄图导等腰法二：四点共圆∠1=∠2=∠3=∠4法三：建系求坐标（略）【模型三】对角线模型【模型四】半角模型如图，已知ABCD为正方形，∠FAE=45°，对角线BD交AE于M，交AF与N，AG⊥EF5个条件知1推41∠EAF=45°2BE DF EF，AG=AB3AG EF4AE平分∠BEF5AF平分∠DFE【性质一】DF ＋BE ＝EF易证△ABE ≌△AGE ，易证△AGF ≌△ADF【性质二】222BG HD GH ＋＝简证，如图【性质三】∠MGN=90°简证，如图：两组全等【性质四】²•AM MN MD ①；²•AN NM NB ②；·ABCD S BN DM ③＝（2组子母，1共享型相似）简证③，如图S ABCD ＝BN·DM （共享型相似）∠1=45°+∠2=∠BAN ⇒△BAN ∽△DMA ⇒BN•DM=AB•AD【性质五】△ANE ，△AMF ，是2个隐藏的等腰直角三角形简证，以△ANE 为例，△AMF 方法相同法一：两次相似△AMN ∽△BME ⇒AM NM BM EM △BMA ∽△EMN ∠ABM=∠NEM=45°法二：ABEN 四点共圆，对角互补∠ABE+∠ANE=180°或∠ABN=∠AEN【性质六】△AMN∽△AFE，且相似比为2 2先证相似，易知∠1=∠2=∠3，故相似成立相似比为：22 AH AHAG AB【性质七】22 ND BMEC FC122 N DE C222 N DE C题型一中点+折叠模型1．如图，在边长4的正方形ABCD 中，E 是边BC 的中点，将CDE 沿直线DE 折叠后，点C 落在点F 处，再将其打开、展平，得折痕DE ．连接CF 、BF 、EF ，延长BF 交AD 于点G ．则下列结论：①BG DE ；②CF BG ；③1sin 2DFG ；④125DFG S ，其中正确的有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，正方形ABCD 中，12AB ，点E 在边BC 上，BE EC ，将DCE 沿DE 对折至DFE ，延长EF 交边AB 于点G ，连接DG ，BF ，给出以下结论：①DAG DFG ；②2BG AG ；③//BF DE ；④725BEF S ．其中所有正确结论的个数是()3．如图，矩形ABCD 中，AB ，12BC ，E 为AD 中点，F 为AB 上一点，将AEF 沿EF 折叠后，点A 恰好落到CF 上的点G 处，则折痕EF 的长是．题型二双中点模型（十字架拓展）2023·东营·中考真题A ．①②B ．②③④2．如图，正方形ABCD 中，点连接GM 、CG ，CG 与DE 交于点N ，则结论①GM CM ；②CD DM ；③四边形AGCF 是平行四边形；④CMD AGM 中，正确的有()个．2203·绥化·中考真题3．如图，在正方形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，连接AE ，过点B 作BF AE 于点F ，连接BD 交AE 于点G ，FH 平分BFG 交BD 于点H ．则下列结论中，正确的个数为（）①2AB BF AE ；②:2:3BGF BAF S S △△；③当AB a =时，22BD BD HD a A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．如图，已知E ，F 分别为正方形ABCD 的边AB ，BC 的中点，AF 与DE 交于点M ，O 为BD 的中点，则下列结论：①90AME ；②BAF EDB ；③90BMO ；④24MD AM EM ；⑤23AM MF ．其中正确结论的是()A ．①③④B ．②④⑤C ．①③④⑤D ．①③⑤5．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别在CD 、AD 边上，且CE DF ，连接BE 、CF 相交于G 点．则下列结论：①BE CF ；②BCG DFGE S S 四边形；③2CG BG GE ；④当E 为CD 中点时，连接DG ，则45FGD ，正确的结论是．（填序号）题型三对角线模型1．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，动点F ，E 分别以相同的速度从D ，C 两点同时出发向C 和B 运动（任何一个点到达即停止），连接AE 、BF 交于点P ，过点P 作//PM CD 交BC 于M 点，//PN BC 交CD于N 点，连接MN ，在运动过程中则下列结论：①ABE BCF ；②AE BF ；③AE BF ；④2CF PE BF ；⑤线段MN 的最小值为522 ．其中正确的结论有()A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．如图，正方形ABCD 中，3AB ，点E 是对角线AC 上的一点，连接DE ，过点E 作EF DE ，交AB于点F ，连接DF 交AC 于点G ，下列结论：①DE EF ；②ADF AEF ；③2DG GE GC ；④若1AF ，则524EG ，其中结论正确的个数是()A ．1B ．2C ．3D ．43．如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别为边BC ，CD 上的点，连接AE ，AF ，与对角线BD 分别交于点G ，H ，连接EH ．若45EAF ，则下列判断错误的是()A ．BE DF EFB ．222BG HD GHC ．E ，F 分别为边BC ，CD 的中点D ．AH EH4．在正方形ABCD 中，点E 为BC 边上一点且2CE BE ，点F 为对角线BD 上一点且2BF DF ，连接AE 交BD 于点G ，过点F 作FH AE 于点H ，连接CH 、CF ，若2HG cm ，则CHF 的面积是5652cm ．5.如图，正方形AFBH,点T 是边AF 上一动点,M 是HT 的中点,MN ⊥HT 交AB 于N,当点T 在AF 上运动时,HTMN 的值是否发生改变?若改变求出其变化范围:若不改变请求出其值并给出你的证明2023·攀枝花·中考真题A ．3B ．2023·四川宜宾·统考中考真题7.如图，边长为6的正方形则AM 的长为（）A ． 331B ．题型四半角模型（七个性质）2023·重庆·中考真题1．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，连接AE ，AF ，EF ，45EAF ．若BAE ，则FEC 一定等于（）A ．2B ．902C ．45D ．902023·眉山·中考真题2．如图，在正方形ABCD 中，点E 是CD 上一点，延长CB 至点F ，使BF DE ，连结,,AE AF EF ，EF 交AB 于点K ，过点A 作AG EF ，垂足为点H ，交CF 于点G ，连结HD HC ，．下列四个结论：①AH HC ；②HD CD ；③FAB DHE ；④22AK HD HE ．其中正确结论的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，AE AF ，AC 与EF 相交于点G ．下列结论：①AC 垂直平分EF ；②BE DF EF ；③当15DAF 时，AEF 为等边三角形；④当60EAF 时，AEB AEF ．其中正确的结论是()A ．①③B ．②④C ．①③④D ．②③④2022达州·中考真题4．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E ，F 分别为AD ，CD 边上的动点（不与端点重合），连接BE ，BF ，分别交对角线AC 于点P ，Q ．点E ，F 在运动过程中，始终保持45EBF ，连接EF ，PF ，PD ．以下结论：①PB PD ；②2EFD FBC ；③PQ PA CQ ；④BPF 为等腰直角三角形；⑤若过点B 作BH EF ，垂足为H ，连接DH ，则DH 的最小值为222 ．其中所有正确结论的序号是．5．如图，点M 、N 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的两个动点，在运动过程中保持45MAN ，AM 、AN 分别与对角线BD 交于点E 、F ，连接EN 、F M 相交于点O ，以下结论：①MN BM DN ；②222BE DF EF ；③2BC BF DE ；④2OM OF ，一定成立的是．6．如图，点M 、N 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的两个动点，在运动过程中保持45MAN ，AM 、AN 分别与对角线BD 交于点E 、F ，连接EN 、FM 相交于点O ，以下结论：①MN BM DN ；②222BE DF EF ；③2BC BF DE ；④2OM OF ，一定成立的是()A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④7．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，点M ，N 分别是边BC ，CD 上的动点（不与点B ，C ，D 重合），AM ，AN 分别交BD 于E ，F 两点，且45MAN ，则下列结论：①MN BM DN ；②AEF BEM ∽；③22AF AM ；④FMC 是等腰三角形．其中正确的有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，F 是线段OD 上的动点（点F 不与点O ，D 重合）连接CF ，过点F 作FG CF 分别交AC ，AB 于点H ，G ，连接CG 交BD 于点M ，作 OE CD 交CG 于点E ，EF 交AC 于点N ．有下列结论：①当BG BM 时，2AG BG ；②222CN BM DF ；③GFM GCH 时，2CF CN BC ；④OH OF OM OC ．其中正确的是（填序号）．。

2024年中考数学总复习考点培优训练考点二十二正方形

二十二正方形1.正方形具有而菱形不一定有的性质是 (B)A.四边相等B.对角线相等C.对角线平分一组对角D.对角线垂直2.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,下列条件中,能判定四边形ABCD是正方形的是(C)A.AC=BC=CD=DAB.AO=CO,BO=DO,AC⊥BDC.AO=BO=CO=DO,AC⊥BDD.AB=BC,CD⊥DA2题图3题图3.如图,直线l上方有三个正方形a,b,c,且正方形a和c的一边在直线l上,正方形b的一个顶点在直线l上,有两个顶点分别与a和c的一个顶点重合.若a,c的面积分别为5和11,则b 的面积为(B)A.6B.16C.41D.554.由沈康身教授所著,数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事:如图,三姐妹为了平分一块边长为2的祖传正方形地毯,先将地毯分割成七块,再拼成三个小正方形(阴影部分),则图中AB的长应是(A)A.2√2-2B.√3-1C.1D.√25.将图1中两个三角形按图2所示的方式摆放,其中四边形ABCD为矩形,连接PQ,甲、乙两人有如下结论:甲:若四边形ABCD是边长为1的正方形,则四边形PQMN必是正方形;乙:若四边形PQMN为正方形,则四边形ABCD必是边长为1的正方形.下列判断正确的是(D)A.甲正确,乙不正确B.甲不正确,乙正确C.甲、乙都不正确D.甲、乙都正确6.如图,正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,连接AE,BF,请添加一个条件:BE=CF(答案不唯一),使△ABE≌△BCF.6题图8题图7.我们规定菱形与正方形接近程度称为“接近度”,设菱形相邻两个内角的度数分别为α°,β°,将菱形的“接近度”定义为|α-β|,于是|α-β|越小,菱形越接近正方形.①若菱形的一个内角为80°,则该菱形的“接近度”为20;②当菱形的“接近度”等于0时,菱形是正方形.8.现有一张边长等于a(a>16)的正方形纸片,从距离正方形的四个顶点8 cm处,沿45°角画线,将正方形纸片分成5部分,则阴影部分是正方形(填写图形的形状)(如图),它的一边长是8√2 cm.9.如图,三个边长均为√2的正方形重叠在一起,M,N是其中两个正方形对角线的交点,则两个阴影部分面积之和是1.10.如图,△ABC中∠ACB=90°,CD平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC.求证:四边形CFDE为正方形.【证明】∵∠ACB=90°,DE⊥BC,DF⊥AC,∴四边形CFDE是矩形.又∵CD平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC,∴DE=DF.∴四边形CFDE是正方形.11.如图,延长平行四边形ABCD的边DC到E,使CE=CD,连接AE交BC于点F.(1)求证:△ABF≌△ECF;(2)若AE=AD,连接BE,当线段OF与BD满足怎样的数量关系时,四边形ABEC是正方形?请说明理由.【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD.∴∠ABF=∠ECF,∠BAF=∠CEF,∵CE=DC.∴AB=CE.∴△ABF≌△ECF.(2)当线段OF与BD满足BD=2√5OF时,四边形ABEC是正方形,理由如下:∵AB∥CD,AB=CE,∴四边形ABEC是平行四边形.又AE=AD,DC=CE.∴AC⊥DE.∴∠ACE=90°.∴平行四边形ABEC是矩形.∴∠BED=90°.令OF=x,则BD=2√5x,∵OF是△BCD的中位线,∴CD=2OF=2x,∴DE=4x.∴BE=√BD2-DE2=2x.∴BE=CE.∴四边形ABEC是正方形.∴当线段OF与BD满足BD=2√5OF时,四边形ABEC是正方形.。