线性变换的运算

相对应. 相对应 因此，可逆线性变换 σ 与可逆矩阵 对应，且 与可逆矩阵A对应 对应， 因此， 逆变换 σ
-1 -1 对应于逆矩阵 A .
注： L(V ) ≅ P n×n ;
dim L(V ) = n2 .
事实上，任意取定V的一组基 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 后， 事实上，任意取定 的一组基 对任意 σ ∈ L(V )，定义 ϕ ：
σ ( ξ )＝x1σ ( ε 1 ) + x2σ ( ε 2 ) + L + xnσ ( ε n ) τ ( ξ )＝x1τ ( ε 1 ) + x2τ ( ε 2 ) + L + xnτ ( ε n )
由已知， 由已知，即得 σ ( ξ )＝τ ( ξ ) .
∴ σ =τ.
由此知， 由此知，一个线性变换完全由它在一组基上的作 用所决定. 用所决定
的唯一一个矩阵对应，且具有以下性质： 的唯一一个矩阵对应，且具有以下性质： ① 线性变换的和对应于矩阵的和； 线性变换的和对应于矩阵的和； 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积； ② 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积； 线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积； ③ 线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积； 可逆线性变换与可逆矩阵对应， ④ 可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应 于逆矩阵. 于逆矩阵
x1 x1 x2 = ( ε , ,L , ε ) A x2 σ (ξ ) = (σε 1 ,σε 2 ,L ,σε n ) 1 ε2 n M M x x n n
又
y1 x1 y x ε ε ∴ ( ε 1 , 2 ,L , ε n ) 2 = ( ε 1 , 2 ,L , ε n ) A 2 M M y x n n y1 x1 y2 x2 ε 线性无关， 由于 ε 1 , 2 ,L , ε n 线性无关，所以 M ＝A M . y x n n
二、 线性变换与矩阵
1．线性变换的矩阵 ．
设 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 为数域P上线性空间 的一组基， 为数域 上线性空间V的一组基， 上线性空间 的一组基 σ 的线性变换. 为V的线性变换 基向量的象可以被基线性表出 设 的线性变换 基向量的象可以被基线性表出,设
σ (ε 1 ) = α11ε 1 + α 21ε 2 + L + α n1ε n σ (ε 2 ) = α12ε 1 + α 22ε 2 + L + α n 2ε n LLLLLLLLLLLLL σ (ε ) = α ε + α ε + L + α ε n nn n 1n 1 2n 2
证：由已知有
σ ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) = ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) A,
x1 x2 ξ＝( ε 1 , 2 ,L , ε n ) , ε M x n y1 y2 σ (ξ ) = ( ε 1 , 2 ,L , ε n ) . ε M y n
= ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) ( kA )
∴
= kσ ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) = k ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) A
kσ 在基 ε 1 , ε 2 ,L , ε n下的矩阵为 kA.
由于单位变换(恒等变换 对应于单位矩阵E. 恒等变换) ④ 由于单位变换 恒等变换 E 对应于单位矩阵 所以， 所以， στ = τσ = E 与 AB＝BA＝E ＝ ＝
2．设 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 是线性空间 的一组基，σ ,τ 为 ． 是线性空间V的一组基 的一组基，
V的线性变换，若 σ (ε i ) = τ (ε i ), i = 1, 2,L , n. 的线性变换， 的线性变换 则 σ =τ. 证：对 ∀ξ ∈ V , ξ = x1ε 1 + x2ε 2 + L + xnε n
例1. 设线性空间 P 的线性变换 σ 为
3
σ ( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 , x2 , x1 + x2 )
求 σ 在标准基 ε 1 , ε 2 , ε 3 下的矩阵. 下的矩阵 解： Q σ (ε 1 ) = σ (1,0,0) = (1,0,1)
σ (ε 2 ) = σ (0,1,0) = (0,1,1)
ξ ∈ V 在基 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 下的坐标为 ( x1 , x2 ,L , xn ),
σ (ξ )在基 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 下的坐标为 ( y1 , y2 ,L , yn ),
则有
y1 x1 y2 x2 M ＝ A M . y x n n
为两个线性变换， 证：设 σ ,τ 为两个线性变换，它们在基 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 下的矩阵分别为A、B，即 下的矩阵分别为 、 ，
σ ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) = ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) A τ ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) = ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) B
σ (ε 3 ) = σ (0,0,1) = (0,0,0)
1 0 0 ∴ σ (ε 1 , ε 2 , ε 3 ) = (ε 1 , ε 2 , ε 3 ) 0 1 0 1 1 0
维线性空间V的子空 例2. 设 ε 1 , ε 2 ,L , ε m ( m < n)为n维线性空间 的子空 维线性空间 的一组基，把它扩充为V的一组基 ε 的一组基： 间W 的一组基，把它扩充为 的一组基： 1 , ε 2 ,L , ε n . 并定义线性变换 σ ：
σ ( k β ) = ∑ (kbi )α i = k ∑ biα i = kσ ( β )
i =1 i =1
n
n
∴ σ 为V的线性变换 的线性变换. 的线性变换
又 ε i = 0ε 1 + L + 0ε i −1 + ε i + 0ε i +1 + L + 0ε n
∴ σ (ε i ) = α i ,
Q (σ + τ ) ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n )
①
= σ ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) + τ ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) = ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) A + ( ε 1ε 2 Lε n ) B = ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) ( A + B )
i = 1,2,L , n
由2与3即得 与 即
定理1 为线性空间V的一组基 的一组基， 定理 设 ε 1 , ε 2 ,L , ε n为线性空间 的一组基，
中任意n个向量 对V中任意 个向量 α1 ,α 2 ,L ,α n , 存在唯一的线性 中任意 变换 σ , 使
σ ( ε i ) = α i， i = 1,2,L , n.
下的矩阵为A＋ ∴ σ + τ 在基 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 下的矩阵为 ＋B.
② Q (στ ) ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) = σ (τ ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) )
= ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) ( AB )
③ Q
= σ ( ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) B ) = σ ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) B
ϕ : L(V ) → P n×n ,
ϕ (σ ) = A,
这里A为 下的矩阵. 这里 为 σ 在基 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 下的矩阵
ϕ 就是L(V )到 P n×n 的一个同构映射 的一个同构映射. 则
3．线性变换矩阵与向量在线性变换下的象 ． 定理3 下的矩阵为A, 定理 设线性变换 σ 在基 ε 1 , ε 2 ,L , ε n下的矩阵为
对子空间W的一个投影 的一个投影. 称这样的变换 σ 为对子空间 的一个投影
σ2 =σ. 易验证
2．线性变换运算与矩阵运算 ． 定理2 为数域P上线性空间 上线性空间V的一组 定理 设ε 1 , ε 2 ,L , ε n为数域 上线性空间 的一组
P n×n 中 在这组基下， 的每一个线性变换都与 基，在这组基下，V的每一个线性变换都与
从而， (ξ ) = x1σ (ε 1 ) + x2σ (ε 2 ) + L + xnσ (ε n ). 从而， σ
σ 由此知， 完全确定. 由此知， (ξ ) 由 σ (ε 1 ),σ (ε 2 )向量在 下的象，只需求出V的 所以要求 中任一向量在 σ 下的象，只需求出 的 下的象即可. 一组基在 σ 下的象即可
变换矩阵
一、 线性变换与基
1．设 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 是线性空间 的一组基，σ 为V ． 是线性空间V的一组基 的一组基，
的线性变换. 的线性变换 则对任意 ξ ∈ V 存在唯一的一组数
x1 , x2 ,L , xn ∈ P , 使 ξ = x1ε 1 + x2ε 2 + L + xnε n
用矩阵表示即为
σ ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) = (σε 1 ,σε 2 ,L ,σε n ) = ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) A
其中
α11 α 21 A= L α n1
L L L α n 2 L α nn
α12 L α1n α 22 L α 2 n ,
3．设 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 是线性空间 的一组基，对V中 ． 是线性空间V的一组基 的一组基， 中
任意n个向量 任意 个向量 α1 ,α 2 ,L ,α n , 都存在线性变换 σ 使
σ (ε i ) = α i ,
i = 1,2,L , n
证：∀ξ ∈ V , 设ξ = x1ε 1 + x2ε 2 + L + xnε n 定义 σ : V → V , σ ( ξ )＝x1α1 + x2α 2 + L + xnα n， 的一个变换， 易知 σ 为V的一个变换，下证它是线性的 的一个变换 下证它是线性的. 任取 β，γ ∈ V , 设 β = ∑ biε i , γ = ∑ ciε i
i =1 i =1 n n
则
β ＋γ ＝∑ bi＋c）ε i , （ i
i =1 n
n
k β = ∑ (kbi )ε i
i =1 n n
n
（ 于是 σ ( β ＋γ ) = ∑ bi＋c）α i = ∑ biα i + ∑ ciα i i
i =1 i =1 i =1
= σ ( β ) + σ (γ )
矩阵A称为线性变换 下的矩阵. 矩阵 称为线性变换 σ 在基 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 下的矩阵 称为
注： A的第 列是 σ (ε i ) 在基 ε 1 , ε 2 ,L , ε n下的坐标， 的第i列是 下的坐标， ① 的第
它是唯一的. 在取定一组基下的矩阵是唯一的. 它是唯一的 故 σ 在取定一组基下的矩阵是唯一的 单位变换在任意一组基下的矩阵皆为单位矩阵； ② 单位变换在任意一组基下的矩阵皆为单位矩阵； 零变换在任意一组基下的矩阵皆为零矩阵； 零变换在任意一组基下的矩阵皆为零矩阵； 数乘变换在任意一组基下的矩阵皆为数量矩阵； 数乘变换在任意一组基下的矩阵皆为数量矩阵；
下的矩阵为AB. ∴ στ 在基 ε 1 , ε 2 ,L , ε n下的矩阵为
= ( kσ ( ε 1 ) ,L , kσ ( ε n ) ) = k ( σ ( ε 1 ) ,L ,σ ( ε n ) )
( kσ ) ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) = ( ( kσ ) ( ε 1 ) ,L , ( kσ ) ( ε n ) )
{
σε i = ε i σε i = 0
i = 1, 2,L , m i = m + 1,L , n
1 则 O m行 m行 1 σ ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) = ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) 0 O 0