测评网学习资料-高二数学第二学期期中考试试卷

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2024高二数学期中考试题及答案

2024高二数学期中考试题及答案一、选择题（每小题3分，共计60分）1. 已知函数f(x)=2x^3-3x^2-12x+5，求f(-1)的值是多少？A) -9 B) -7 C) 7 D) 92. 若集合A={1,2,3,4}，集合B={2,3,4,5}，则A∪B的元素个数是多少？A) 4 B) 5 C) 7 D) 83. 设函数f(x)=4x-1，g(x)=2x+3，求满足f(g(x))=1的x的值。

A) 0 B) -1 C) 1 D) 24. 在等差数列an中，若a1=3，d=4，an=19，则n的值是多少？A) 4 B) 5 C) 6 D) 75. 已知直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度是多少？A) 5 B) 7 C) 25 D) 49二、填空题（每小题4分，共计40分）1. 若集合A={1,2,3,4,5}，集合B={4,5,6,7}，则A∩B的元素个数是_________。

2. 设函数f(x)=3x+2，则f(-1)的值是_________。

3. 在等差数列an中，若a1=2，d=3，an=23，则n的值是_________。

4. 男生与女生的比例是3:5，班级总人数为80，女生人数是_________。

5. 若正方形的边长为x+2，其面积是_________。

6. 已知平行四边形的底边长为5，高为3，其面积是_________。

7. 若正方形的对角线长为10，边长是_________。

8. 设函数f(x)=x^2+2x-1，g(x)=x-1，则f(g(2))的值是_________。

9. 若直角三角形的两条直角边分别为6和8，斜边的长度是_________。

10. 设集合A={a,b,c}，集合B={c,d,e}，则A×B的元素个数是_________。

三、解答题（共计40分）1. 若函数f(x)满足f(2x-1)=2x^2-2x，则求f(x)的表达式。

2. 已知数列{an}的通项公式为an=n^2-3n-4，求数列{an}的首项和前6项的和。

高二数学下学期期中考试试卷含答案(word版)

第二学期期中考试高二级数学试卷考试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知命题:,sin 1p x x ∀∈≤R ，它的否定是（） A ．存在,sin 1x x ∈>R B ．任意,sin 1x x ∈≥R C ．存在,sin 1x x ∈≥R D ．任意,sin 1x x ∈>R2．已知复数z 满足（z-1）i=i+1，复平面内表示复数z 的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．函数()f x 在0x=x 处导数存在，若p ：f ‘（x 0）=0；q ：x=x 0是()f x 的极值点，则( ) A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是 q 的充分条件D ． p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件4．有下列命题：①若0xy =，则0x y +=；②若a b >，则a c b c +>+；③矩形的对角线互相垂直．其中真命题有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．设复数z=()()12i i a ++为纯虚数，其中a 为实数，则a =（）A ．2-B ．12-C ． 12 D ．26．双曲线2214y x -=的渐近线方程和离心率分别是（）A ． 2,y x e =±=B ． 1,2y x e =±=C ．1,2y x e =± D ．2,y x e =±=7．若函数()ln f x x x =-的单调递增区间是( ) A ．()0,1 B ．()0,e C ．()0,+∞ D ．()1,+∞8．按照图1——图3的规律，第10个图中圆点的个数为（）个． A ．40 B ．36 C ．44 D ．52图1图2图39．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：广告费用x (万元) 4 2 3 5 销售额y (万元)49263954根据上表可得回归方程y bx a =+ 中的b 为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )． A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元10．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则( )A ．乙可以知道两人的成绩B ．丁可能知道两人的成绩C ．乙、丁可以知道自己的成绩D ．乙、丁可以知道对方的成绩11．已知函数3()63f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值，则b 的取值范围是( )A ． ,0-∞B ．1(0,)2C ． 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ． ()0,112．设A 、B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1][4,)+∞B ．3][4,)+∞C ．(0,1][9,)+∞D ．3][9,)+∞第II 卷二．填空题：本大题共4小题．每小题5分，满分20分． 13．设()11i x yi +=+，其中,x y 是实数，则x yi += ．14．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为98、63，则输出的a = ．15．已知双曲线的顶点为椭圆2212y x +=长轴的端点，且双曲线的离心率与椭圆的离心率的乘积等于1，则双曲线的方程是16．已知曲线ln y x x =+在点 ()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++ 相切，则a = ．三．解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（本小题满分12分）已知:p 关于x 的方程210x mx ++=有两个不等的负根；:q 关于x 的方程244(2)10x m x +-+=无实根。

高二期中考试_数学试卷

一、选择题（本大题共20小题，每小题5分，共100分）1. 已知函数f(x) = 2x - 3，若f(2) = a，则a的值为（）A. 1B. 3C. 5D. 72. 若a，b，c是等差数列，且a + b + c = 9，a^2 + b^2 + c^2 = 27，则ab + bc + ca的值为（）A. 9B. 15C. 18D. 213. 已知等比数列{an}的公比为q，若a1 = 1，a2 + a3 = 8，则q的值为（）A. 2B. 4C. 1/2D. 1/44. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，若f(x)在x = 1处取得极值，则该极值为（）A. 0B. 1C. -1D. -25. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10 = 100，S20 = 300，则公差d的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 46. 已知函数f(x) = |x - 2| + |x + 1|，则f(x)的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D. 47. 若等比数列{an}的公比为q，若a1 = 2，a3 = 8，则q的值为（）A. 2B. 4C. 1/2D. 1/48. 已知函数f(x) = (x - 1)^2，若f(x)在x = 2处取得极值，则该极值为（）A. 0B. 1C. -1D. -29. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10 = 100，S20 = 300，则公差d的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 410. 已知函数f(x) = |x - 2| + |x + 1|，则f(x)的最大值为（）A. 1B. 2C. 3D. 411. 若等比数列{an}的公比为q，若a1 = 1，a2 + a3 = 8，则q的值为（）A. 2B. 4C. 1/2D. 1/412. 已知函数f(x) = (x - 1)^2，若f(x)在x = 2处取得极值，则该极值为（）A. 0B. 1C. -1D. -213. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10 = 100，S20 = 300，则公差d的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 414. 已知函数f(x) = |x - 2| + |x + 1|，则f(x)的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D. 415. 若等比数列{an}的公比为q，若a1 = 2，a3 = 8，则q的值为（）A. 2B. 4C. 1/2D. 1/416. 已知函数f(x) = (x - 1)^2，若f(x)在x = 2处取得极值，则该极值为（）A. 0B. 1C. -1D. -217. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10 = 100，S20 = 300，则公差d的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 418. 已知函数f(x) = |x - 2| + |x + 1|，则f(x)的最大值为（）A. 1B. 2C. 3D. 419. 若等比数列{an}的公比为q，若a1 = 1，a2 + a3 = 8，则q的值为（）A. 2B. 4C. 1/2D. 1/420. 已知函数f(x) = (x - 1)^2，若f(x)在x = 2处取得极值，则该极值为（）A. 0B. 1C. -1D. -2二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）21. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c的图像开口向上，且顶点坐标为(1, -2)，则a，b，c的值分别为______。

2023-2024学年山西省高二年级第二学期期中考试数学质量检测模拟试题 (含解析)

2023-2024学年山西省高二年级第二学期期中考试数学模拟试题一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.某大学食堂备有4种荤菜､8种素菜､2种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为（）A.14B.64C.72D.802.已知随机变量X 服从两点分布，()0.6E X =，则其成功概率为（）A.0.3B.0.4C.0.5D.0.63.64()(21)x a x -++的展开式中，3x 的系数为12，则实数a 的值为（）A.-1B.0C.1D.24.一个盒子里装有相同大小的白球､黑球共20个，其中黑球6个，现从盒中随机的抽取5个球，则概率为324150146146146520C C C C C C C ++的事件是（）A.没有白球B.至多有2个黑球C.至少有2个白球D.至少有2个黑球5.对任意实数x ，有()4234012342(2)(2)(2)x a a x a x a x a x =++++++++，则01a a +的值为（）A.20- B.16- C.22D.306.小王､小李等9名同学相约去游玩，在某景点排成一排拍照留念，则小王不在两端，且小李不在正中间位置的概率是（）A.2536 B.914 C.58D.17287.已知随机变量()21,,6,,,3X Y X B Y N μσ⎛⎫~~ ⎪⎝⎭，且()()E X E Y =，又()()23P Y m P Y m ≤-=≥，则实数m 的值为（）A.1-或4B.1- C.4或1D.58.已知数列{}n a 满足121232n n n n n a a a a a ++++⋅=-，且1211,3a a ==，数列()(){}121nn n a λ+-的前n 项和为n S ，若n S 的最大值仅为8S ，则实数λ的取值范围是（）A 11,1011⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B.11,89⎛⎫-- ⎪⎝⎭C.11,1011⎛⎤--⎥⎝⎦ D.11,89⎡⎤--⎢⎥⎣⎦二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知随机变量X 满足()()5,2E X D X ==，则下列选项正确的是（）A.()2111E X +=B.()2110E X +=C ()219D X += D.()218D X +=10.高二年级安排甲､乙､丙三位同学到,,,,,A B C DEF 六个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（）A.如果社区B 必须有同学选择，则不同的安排方法有88种B.如果同学乙必须选择社区C ，则不同的安排方法有36种C.如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有150种D.如果甲､丙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有36种11.已知233331124561011A C C C C C A n n n n --=+++++⋅ ，则n 的值可能为（）A.2B.4C.7D.912.某商场举办一项抽奖活动，规则如下：每人将一枚质地均匀的骰子连续投掷3次，记第i 次正面朝上的点数为()1,2,3i a i =，若“123a a a <<”，则算作中奖，现甲､乙､丙､丁四人参加抽奖活动，记中奖人数为X ，下列说法正确的是（）A.若甲第1次投掷正面朝上的点数为3，则甲中奖的可能情况有4种B.若甲第3次投掷正面朝上的点数为5，则甲中奖的可能情况有6种C.甲中奖的概率为554P =D.()1027E X =三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.8312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为__________．14设随机变量13,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()1P X ≥=__________．15.由0,1,2,3,4,5,6这七个数字组成没有重复数字的七位数，且偶数数字从小到大排列（由高数位到低数位），这样的七位数有__________个．16.已知,A B 两个不透明的盒中各有形状､大小都相同的红球､白球若干个，A 盒中有(08)m m <<个红球与8m -个白球，B 盒中有8m -个红球与m 个白球，若从,A B 两盒中各取1个球，ξ表示所取的2个球中红球的个数，则()D ξ的最大值为__________．四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤．17.已知有9本不同的书．（1）分成三堆，每堆3本，有多少种不同的分堆方法？（2）分成三堆，一堆2本，一堆3本，一堆4本，有多少种不同的分堆方法？（用数字作答）18.已知二项式nx⎛ ⎝的展开式中，所有项的二项式系数之和为a ，各项的系数之和为b ，32a b +=（1）求n 的值；（2）求其展开式中所有的有理项．19.为迎接2023年美国数学竞赛()AMC ，选手们正在刻苦磨练，积极备战，假设模拟考试成绩从低到高分为1、2、3三个等级，某选手一次模拟考试所得成绩等级X 的分布列如下：X123P0.30.50.2现进行两次模拟考试，且两次互不影响，该选手两次模拟考试中成绩的最高等级记为ξ．（1）求此选手两次成绩的等级不相同的概率；（2）求ξ的分布列和数学期望．20.设甲袋中有4个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球（每个球除颜色以外均相同）．（1）从甲袋中取4个球，求这4个球中恰好有3个红球的概率；（2）先从乙袋中取2个球放人甲袋，再从甲袋中取2个球，求从甲袋中取出的是2个红球的概率．21.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ，上顶点为B ，过,A B 两点的直线平分圆222)(4(x y ++-=的面积，且3BF BO ⋅=（O 为坐标原点）．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线():20l y x m m =-≠与椭圆E 相交于,H M 两点，且点()0,N m ，当HMN △的面积最大时，求直线l 的方程．22.已知函数()ln 1af x x x=+-．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个零点12,x x ，且12x x >．证明：12121x x a+>．答案解析一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【正确答案】B【2题答案】【正确答案】D【3题答案】【正确答案】C【4题答案】【正确答案】B【5题答案】【正确答案】B【6题答案】【正确答案】A【7题答案】【正确答案】A【8题答案】【正确答案】B二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．【9题答案】【正确答案】AD【10题答案】【正确答案】BD【11题答案】【正确答案】BC【12题答案】【正确答案】BCD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．【13题答案】【正确答案】7【14题答案】【正确答案】1927【15题答案】【正确答案】90【16题答案】【正确答案】12##0.5四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤．【17题答案】【正确答案】（1）280（2）1260【18题答案】【正确答案】（1）4（2）42135,54,81T x T x T x-===【19题答案】【正确答案】（1）0.62（2）分布列见解析，() 2.27E ξ=【20题答案】【正确答案】（1）835（2）727【21题答案】【正确答案】（1）22143x y +=；（2）142y x =+或142y x =-．【22题答案】【正确答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）证明见解析.。

高二下学期期中数学试题(含答案) (2)

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！高二下数学半期考试试题（高考班）一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1. 下列导数运算正确的是（）A. 21-¢æö=ç÷èøx x B. ()22ln 2x x ¢=C. ()1ln 22¢=x xD. ()sin cos cos sin x x x x¢-=-【答案】B 【解析】【分析】利用基本初等函数的导数和复合函数的导数，依次分析即得解【详解】选项A ，121()x x x --¢æö¢==-ç÷èø，错误；选项B ，()22ln 2x x ¢=，正确；选项C ，()11ln 222x x x¢=´=，错误；选项D ，()sin cos cos sin x x x x ¢-=+，错误故选：B2. 曲线()1ln f x x x=-在()()1,1f 处的切线方程为（）A. 230x y --= B. 210x y --= C. 230x y +-= D. 210x y +-=【答案】A 【解析】【分析】求出导函数()¢f x ，计算出(1)f ¢为切线斜率，再求得(1)f ，由点斜式写出直线方程，并整理．【详解】()211x f x x=+¢，()11f =-，()12f ¢=，故切线方程为()()121y x --=-，即230x y --=.故选：A.3. 从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A =“取到的2个数之和为偶数”，事件B =“取到两个数均为偶数”，则()|P B A =A.18B.14C.25D.12【答案】B 【解析】【分析】先求得()P A 和()P AB 的值，然后利用条件概率计算公式，计算出所求的概率.【详解】依题意()22322542105C C P A C +===,()22251=10C P AB C =,故()|P B A =()()1110245P AB P A ==.故选B.【点睛】本小题主要考查条件概型的计算，考查运算求解能力，属于基础题.4. 已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布()20,3N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（附：若随机变量ξ服从正态分布()2,Nm s ，则()68.26%P m s x m s -<<+= ，()2295.44%P m s x m s -<<+=．）A. 4.56%B. 13.59%C. 27.18%D. 31.74%【答案】B 【解析】【详解】试题分析：由题意13368.26%6695.44%3695.44%68.26%13.59%2P P P （＜＜），（＜＜），（＜＜）（）．x x x -=-=\=-=故选B ．考点：正态分布5. 2020年12月1日，大连市开始实行生活垃圾分类管理.某单位有四个垃圾桶，分别是一个可回收物垃圾桶､一个有害垃圾桶､一个厨余垃圾桶､一个其它垃圾桶.因为场地限制，要将这四个垃圾桶摆放在三个固定角落，每个角落至少摆放一个，则不同的摆放方法共有(如果某两个垃圾桶摆放在同一角落，它们的前后左右位置关系不作考虑)（）A. 18种 B. 24种C. 36种D. 72种【答案】C 【解析】【分析】分析题意，得到有一个固定点放着两个垃圾桶，先选出两个垃圾桶，之后相当于三个元素分配到三个地方，最后利用分步乘法计数原理，求得结果.【详解】根据题意，有四个垃圾桶放到三个固定角落，其中有一个角落放两个垃圾桶，先选出两个垃圾桶，有246C =种选法，之后与另两个垃圾桶分别放在三个不同的地方有33A 种放法；所以不同的摆放方法共有23436636C A ×=´=种，故选：C.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关排列组合综合题，解题方法如下：（1）首先根据题意，分析出有两个垃圾桶分到同一个地方，有246C =种选法；（2）之后就相当于三个元素的一个全排；（3）利用分步乘法计数原理求得结果.6. 已知变量x ，y 之间的线性回归方程为ˆ0.710.3yx =-+，且变量x ，y 之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（）x681012y6m32A. 变量x ，y 之间呈负相关关系B. 4m =C. 可以预测，当20x =时，ˆ 3.7y=- D. 该回归直线必过点()9,4【答案】B 【解析】【分析】A.由回归方程ˆ0.710.3yx =-+的x 的系数判断；B.将9x =。

高二数学下学期期中检测卷(解析版)

高二数学下学期期中检测卷(解析版)高二数学下学期期中检测卷(解析版)注意：本试卷共120分，考试时间120分钟。

第一部分：选择题（共70分）本部分共10小题，每小题7分。

从每小题所给的四个选项中，选出一个最佳答案，并将其标号填入答题卡相应的位置。

1. 已知直线L1的斜率为k1，点A(x1, y1)在直线L1上，若直线L1与直线L2垂直，则直线L2的斜率为（）。

A. -1/k1B. 1/k1C. k1D. -k12. 已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点为（1,3），则a+b+c的值为（）。

A. 3B. -3C. 1D. -13. 设f(x) = (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)，其中a，b，c，d都是正数，且a+b+c+d=16，abc+abd+acd+bcd=60，则abcd的值为（）。

A. 70B. 80C. 90D. 1004. 函数f(x)=x³+3x²+3x+1的单调递减区间为（）。

A. (-∞, -1)B. (-1, 0)C. (0, 1)D. (1, +∞)5. 已知集合A={x|x²-2x-8<0}，则A的解集为（）。

A. x∈(-∞,-2)U(4, +∞)B. x∈(-∞,-2)U(2, +∞)C. x∈(-∞,-4)U(2, +∞)D. x∈(-∞,-4)U(4, +∞)6. 在直角三角形ABC中，∠C = 90°，AC=3，BC=4，则三角形ABC中斜边AB的长度为（）。

A. 5B. 6C. 7D. 87. 已知函数y=ln(x+1)+a是函数y=f(x)=ln(x)的图像上任意一点(x, y)的图像，若f(x)在点(1,0)处的切线方程为y=2x-1，则a的值为（）。

A. 1B. 2C. 3D. 48. 设集合A={x|log₂(x+1)≥0}，则A的解集为（）。

A. x≥-1B. x>-1C. x>-2D. x≥-29. 已知向量a=(2,3)和b=(4,5)，则向量a与向量b的数量积为（）。

2022-2023学年高二下学期期中教学质量检测数学试题(解析版)

亳州二中2022-2023学年第二学期期中教学质量检测高二数学试题考生注意：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷.选择题部分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知等差数列的公差为1，为其前项和，若，则（） {}n a n S n 36S a =2a =A. B. 1C.D. 21-2-【答案】D 【解析】【分析】先求得，然后求得.1a 2a 【详解】依题意. 1112335,1,112a a a a +=+==+=故选：D2. 已知是等比数列，，，则公比（） {}n a 22a =514a =q =A. B. -2 C. 2D.12-12【答案】D 【解析】【分析】由题意可得，开方可得答案． 35218a q a ==【详解】解：由题意可得， 35218a q a ==故可得 12q =故选：D ．【点睛】本题考查等比数列的通项公式，涉及公比的求解，属于基础题．3. 甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，分别译出的概率为、、，则密码能被译出的概率是231412（） A.B.C.D.18111278112【答案】C 【解析】【分析】首先求解出密码不能被译出的概率，再由对立事件的概率公式求得结果. 【详解】因为甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，分别译出的概率为、、， 231412所以此密码不能被译出的概率为，21111113428⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以此密码能被译出的概率为， 17188P =-=故选：C.4. 2022年12月4日是第九个“国家宪法日”.某中学开展主题为“学习宪法知识，弘扬宪法精神”的知识竞赛活动，甲同学答对第一道题的概率为，连续答对两道题的概率为.用事件A 表示“甲同学答对第一道2312题”，事件表示“甲同学答对第二道题”，则（） B ()P BA =∣A.B.C.D.34231213【答案】A 【解析】【分析】根据条件概率的计算公式，即可求得答案.【详解】依题意， ()()()()()12132,,23243P AB P A P AB P BA P A ==∴===∣故选：A 5. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若＝，则等于（） 53a a 5995S S A. 1 B. －1C. 2D.12【答案】A 【解析】【分析】利用等差数列的求和公式计算即可.【详解】＝＝＝1. 95S S 19159()25()2a a a a ++5395a a 故选：A.6. 已知随机变量，，则（）()2~1,X N σ()00.8P X ≥=()2P X >=A. 0.2 B. 0.4C. 0.6D. 0.8【答案】A 【解析】【分析】由有随机变量的分布函数图象关于对称，结合已知条件即可求()2~1,X N σX 1X =；()2P X >【详解】由，知：随机变量的分布函数图象关于对称，()2~1,X N σX 1X =∴； ()(2)01(0)0.2P X P X P X >=<=-≥=故选：A【点睛】本题考查了正态分布的对称性，利用随机变量的分布函数图象关于对称求概率，属于简X μ=单题；7. 已知是数列的前项和，且满足，，则=（） n S {}n a n 11a =12n n a S +=2023a A. B. C. D.202123⨯2021320223202223⨯【答案】A 【解析】【分析】求出的值，由可得出，分析可知数列从第二项开始成以为公比的等比2a 2n ≥13n n a a +={}n a 3数列，由此可求得的值. 2023a 【详解】由已知可得，2122a S ==当时，由可得，两式作差可得，则，又2n ≥12n n a S +=12n n a S -=12n n n a a a +=-13n n a a +=2123a a =≠，所以，数列是从第二项开始以为公比的等比数列， {}n a 3则.2021202120232323a a =⨯=⨯故选：A.8. 已知数列满足若数列为递增数列，则实数a 的取值范围为{}n a ()()41,5,71,5,n n a n a a n n -⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩{}n a （）．A. B. C. D.()1,7()2,7()2,6()6,7【答案】C 【解析】【分析】由数列为递增数列，结合指数函数、一次函数性质列不等式，解不等式可求实数a 的取值{}n a 范围.【详解】因为数列为递增数列，所以必有 {}n a ()()5411,70,1761,a a a a -⎧->⎪⎪->⎨⎪-<-⨯-⎪⎩解得， ()2,6a ∈故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝6，则S 4＝（） A. －10 B. －8 C. 8 D. 10【答案】AC 【解析】【分析】设等比数列的公比为，解方程求出的值即得解.q 22226q q ++=q 【详解】设等比数列的公比为，由于，q 132,6a S == ，则，或，232226S q q =++=220q q +-=2q =-1q =所以或，3343162(2)10S S a q =+=+⨯-=-4148S a ==故选：AC.10. 2020年3月15日，某市物价部门对5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场的售价(元)和销售量(件)之间的一组数据如表所示： x y 价格 x 9 9.5 10 10.5 11 销售量y 1110865按公式计算，与的回归直线方程是：，相关系数，则下列说法正确的有y x 3.2y x a=-+0.986r =（）A. 变量，线性负相关且相关性较强；B. ；x y 40a =$C. 当时，的估计值为12.8； D. 相应于点的残差约为0.4.8.5x =y ()10.5,6【答案】ABC 【解析】【分析】根据相关性、相关系数判断A 选项的正确性.利用样本中心点判断B 选项的正确性.将代入回归直8.5x =线方程，由此判断C 选项的正确性.求得时的估计值，进而求得对应的残差，从而判断D 选项10.5x =y 的正确性.【详解】对A ，由表可知随增大而减少，可认为变量，线性负相关，且由相关系数可y x x y 0.986r =知相关性强，故A 正确. 对B ，价格平均，销售量. ()199.51010.511105x =++++=()1111086585y =++++=故回归直线恒过定点，故，故B 正确. ()10,8 8 3.21040aa =-⨯+⇒=对C ，当时，，故C 正确.8.5x = 3.28.54012.8y =-⨯+=对D ，相应于点的残差，故D 不正确. ()10.5,6()6 3.210.5400.4e=--⨯+=- 故选：ABC11. 设随机变量的分布列为，，，分别为随机变量ξ()()1,2,51aP k k k ξ===+a R ∈()E ξ()D ξ的数学期望与方差，则下列结论正确的是（）ξA. B. C. D.()50 3.56P ξ<<=()317E ξ+=()2D ξ=()316D ξ+=【答案】ABC 【解析】【分析】利用分布列的性质求，而，根据期望、方差公式即可a ()()()0 3.512P P P ξξξ<<==+=求、、，进而可确定选项的正误. ()31E ξ+()D ξ()31D ξ+【详解】因为随机变量的分布列为， ξ()()1,2,51aP k k k ξ===+由分布列的性质可知，，解得， ()()()1251236a a aP P P ξξξ=+=+==++=1a =∴，A 选项正确； ()()()50 3.5126P P P ξξξ<<==+==，即有，B 选项正确；()1111252236E ξ=⨯+⨯+⨯=()()31313217E E ξξ+=+=⨯+=，C 选项正确()()()()2221111222522236D ξ=⨯-+⨯-+⨯-=，D 选项不正确.()()31918D D ξξ+=⨯=故选：ABC .12. 已知数列满足，，数列的前n 项和为，则（） {}n a 12a =-()*122,1n n a n n n N a n -=≥∈-{}n a n S A. B. 28a =-2nn a n =-⋅C. D.330S =-()1122+=-⋅-n n S n 【答案】ABD 【解析】【分析】求得数列的通项公式和前n 项和公式，再去验证选项即可解决.{}n a n a n S 【详解】由，12a =-()*122,1n n a nn n N a n -=≥∈-可得：，，，，， 21221a a ⨯=32232a a ⨯=43243a a ⨯=L ()12212n n n a a n ---=-则 21a a ⨯32a a ⨯43a a ⨯12n n a a --⨯⨯ 1n n a a -221⨯=⨯232⨯⨯243⨯⨯L ()212n n -⨯⨯-21n n -即，则，又时也成立，所以 1na a 12n n -=⋅2(2)nn a n n =-⋅≥1n =2n n a n =-⋅故选项B 判断正确；由，可知选项A 判断正确； 22228a =-⨯=-令 1231222322nn S n =-⨯-⨯-⨯--⋅ 则223411222322n n S n +=-⨯-⨯-⨯--⋅ 两式相减得()1231112(12)(2222)2212212n nn n n n S n n n +++-=++++-⋅=-⋅=-⋅-- 故选项D 判断正确；由，可得选项C 判断错误.()313132234S +=-⋅-=-故选：ABD非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )，若E (X )＝12，则n ＝___. 3=【答案】48 【解析】【分析】化简已知得，，解方程组即得解. 12np =(1)9np p -=【详解】因为E (X )＝12，所以（1）.12np =，所以（2） 3=()9,(1)9D X np p =∴-=解（1）（2）得. 48n =故答案为：4814. 数列的前n 项和为，且，则＝___.{}n a n S ()()121nn a n =--2023S 【答案】 2023-【解析】【分析】利用分组求和计算得到答案. 【详解】，()()121nn a n =-- .2023(13)(57)(40414043)40452101140452023S ∴=-++-+++-+-=⨯-=- 故答案为：.2023-15. 已知函数的导函数为，且满足关系式，则()f x ()f x '()()232ln f x x xf x '=++()2f '=__________. 【答案】 94-【解析】【分析】根据题意求得，令，代入即可求解. ()()1232f x x f x''=++2x =【详解】由函数，可得， ()()232ln f x x xf x '=++()()1232f x x f x''=++令，可得，解得. 2x =()()()1924323222f f f '''=++=+()924f '=-故答案为：. 94-16. 若数列的前项和，则此数列的通项公式为____________．{}n a n 21nn S =+n a =【答案】13(1){2(2)n n n -=≥【解析】【详解】试题分析：当时，，又当时，，2n ≥11121(21)2n n n n n n a S S ---=-=+-+=1n =113a S ==所以＝．n a 13(1){2(2)n n n -=≥考点：数列的通项公式．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 求下列函数的导数（1）；()e ln sin xf x x x =++（2）. ()cos e xxf x =【答案】（1）； ()1e cos xf x x x'=++（2）. ()sin cos exx xf x +'=-【解析】【分析】（1）利用和的导数运算法则求导得解；（2）利用商的导数运算法则求导得解. 【小问1详解】因为，则. ()e ln sin xf x x x =++()1e cos xf x x x'=++【小问2详解】由题得=＝＝－. ()f x 'cos e x x '⎛⎫ ⎪⎝⎭()()2(cos )e cos e ex x xx x ''-sin cos e x x x +18. 在①,②,③这三个条件中选择两个,补充在下面问题中,并进行解答.已知89a =520S =2913a a +=等差数列的前项和为,______,______. {}n a n *,n S n ∈N （1）求数列的通项公式; {}n a （2）设,求数列的前项和. 11n n n b a a +={}n b n n T 注:如果选择多组条件分别解答,按第一个解答计分. 【答案】（1）*1,n a n n =+∈N （2）()22n nT n =+【解析】【分析】(1)根据是等差数列,设出公差为,选择两个选项,将首项公差代入,解方程组,即可求得基{}n a d 本量,写出通项公式;(2)根据(1)中的通项公式,写出的通项,利用裂项相消即可求得前项和. {}n b n n T 【小问1详解】由于是等差数列,设公差为,{}n a d 当选①②时:,解得, 81517951020a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩121a d =⎧⎨=⎩所以的通项公式.{}n a ()*2111,n a n n n =+-⨯=+∈N 选①③时:,解得, 81291792913a a d a a a d =+=⎧⎨+=+=⎩121a d =⎧⎨=⎩所以的通项公式.{}n a ()*2111,n a n n n =+-⨯=+∈N 选②③时:,解得, 51291510202913S a d a a a d =+=⎧⎨+=+=⎩121a d =⎧⎨=⎩所以的通项公式.{}n a ()*2111,n a n n n =+-⨯=+∈N 【小问2详解】由(1)知,, *1,n a n n =+∈N 所以, ()()111111212n n n b a a n n n n +===-++++所以 111111233412n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ()112222n n n =-=++19. 已知函数．()e ln 1xf x x =-+（1）求曲线在点处的切线方程；()y f x =()()1,1f （2）求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积． ()y f x =()()1,1f 【答案】（1）；()e 12y x =-+（2）. 2e 1-【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求切线方程；（2）由（1）所得切线方程求出数轴上的截距，再由三角形面积公式求面积即可. 【小问1详解】由题设，，则，又， 1()e xf x x'=-(1)e 1f '=-(1)e 1f =+所以处的切线方程为，整理得. ()()1,1f (e 1)(e 1)(1)y x -+=--()e 12y x =-+【小问2详解】由（1），令时，；令时，； 0x =2y =0y =21ex =-所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为. 1222||21e e 1⨯⨯=--20. 某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不断挖据中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利润．该公司2014年至2020年的年销售额y 关于年份代号x 的统计数据如下表（已知该公司的年销售额与年份代号线性相关）．年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 年份代号x12 3 4 5 6 7 年销售额y (单位：亿元) 29 333644485259（1）求y 关于x 的线性回归方程；（2）根据（1）中的线性回归方程，预测2022年该公司的年销售额．附：样本数据的线性回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为(),(1,2,,)i i x y i n = ˆˆˆy bx a =+，． ()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑ˆˆa y bx=-【答案】（1）；ˆ523yx =+（2）68. 【解析】【分析】（1）利用最小二乘法原理求y 关于x 的线性回归方程；（2）把2022年的年份代号代入线性回归方程即得解. 【小问1详解】由题得， 11(1+2+3+4+5+6+7)4,(29+33+3644485259)4377x y ===++++=∴，()()()()1277222218+44++4=2i i x x x x x =-=---∑ ，()()()()()()111777443+443140iii x x y y x yx y =--=--+--=∑ ∴, ()()()71721140ˆ528iii ii x x y y bx x ==--===-∑∑∴, ˆˆ435423a y bx=-=-⨯=∴y 关于x 的线性回归方程为. ˆ523yx =+【小问2详解】2022年的年份代号为，729+=∴， ˆ592368y=⨯+=∴预测2022年该公司的年销售额为68亿元．21. 在新冠肺炎疫情得到有效控制后，某公司迅速复工复产，为扩大销售额，提升产品品质，现随机选取了100名顾客到公司体验产品，并对体验的满意度进行评分（满分100分）.体验结束后，该公司将评分制作成如图所示的直方图.（1）将评分低于80分的为“良”，80分及以上的为“优”.根据已知条件完成下面列联表，能否在22⨯犯错误的概率不超过0.10的前提下认为体验评分为“优良”与性别有关.良优合计男40 女40 合计（2）为答谢顾客参与产品体验活动，在体验度评分为和的顾客中用分层抽样的方法选[)50,60[]90,100取了6名顾客发放优惠卡.若在这6名顾客中，随机选取4名再发放纪念品，记体验评分为的顾[)50,60客获得纪念品数为随机变量，求的分布列和数学期望.X X 附表及公式： ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ()20P K k ≥0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k 2.072 2.076 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【答案】（1）列联表见解析，能；（2）分布列见解析，. 43【解析】【分析】（1）根据题意，评分为“良”的有人，进而完成列联表，计算，进而得402 2.78 2.706K ≈>答案；（2）由题知随机抽取的6人中评分为有2人，评分为有4人，进而根据超几何分布求[)50,60[]90,100解即可；【详解】(1).根据题意，评分低于80分的有人，即评分为“良”的()0.010.010.021010040++⨯⨯=有人，所以列联表如下：40良优合计男20 20 40 女20 40 60 合计 40 60 100由题得， ()221002********* 2.78 2.706406060409K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯所以，能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为体验评分为“优良”与性别有关.（2）由已知得体验度评分为和的顾客分别有10人，20人，则在随机抽取的6人中评[)50,60[]90,100分为有2人，评分为有4人.[)50,60[]90,100则可能的取值有0,1,2.X ，，， ()44461015C P X C ===()1324468115C C P X C ⋅===()2224466215C C P X C ⋅===则的分布列为XX 0 1 2 P 115 815 615所以，. ()18640121515153E X =⨯+⨯+⨯=【点睛】本题考查独立性检验，分层抽样，超几何分布，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意进行数据处理，分析频率分布直方图中的数据特征，完成列联表，进而根据分层抽样，超几何分布求解.22. 已知数列中，，. {}n a 11a =()*13n n n a a n N a +=∈+（1）求证：数列是等比数列；112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭（2）数列满足的，数列的前项和为，若不等式对{}n b ()312n n n n n b a =-⋅⋅{}n b n n T ()112n n n n T λ--<+一切恒成立，求的取值范围.*n ∈N λ【答案】（1）证明见解析（2）23λ-<<【解析】【分析】（1）将递推公式两边取倒数，即可得到，从而得到，即可得1131n n a a +=+11111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭证；（2）由（1）可得，从而得到，再利用错位相减法求和即可得到，即可得到231n n a =-12n n n b -=n T ，对一切恒成立，再对分奇偶讨论，即可求出的取值范围； ()12142n n λ--<-*n ∈N n λ【小问1详解】解：由，得 ()*13n n n a a n N a +=∈+13131n n n na a a a ++==+∴， 11111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭所以数列是以3为公比，以为首项的等比数列 . 112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭111322a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭【小问2详解】解：由（1）得，即. 1113322n n a -+=⨯231n n a =-所以 12n n n b -= ()0122111111123122222n n n T n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯. ()121111112122222n n n T n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯两式相减得:， 012111111222222222n n n n T n n -+=+++⋅⋅⋅+-⨯=-∴ 1242n n n T -+=-因为不等式对一切恒成立， ()112n n n n T λ--<+*n ∈N 所以，对一切恒成立， ()12142n n λ--<-*n ∈N因为单调递增 1242n t -=-若为偶数，则，对一切恒成立，∴； n 1242n λ-<-*n ∈N 3λ<若为奇数，则，对一切恒成立，∴，∴ n 1242n λ--<-*n ∈N 2λ-<2λ>-综上：.23λ-<<。

高二下学期期中考试数学试卷-附带参考答案和解析

高二下学期期中考试数学试卷-附带参考答案和解析本试卷共5页 22小题满分150分.考试用时120分钟.考生注意事项：1．试卷分第Ⅰ卷和第Ⅰ卷第Ⅰ卷用2B 铅笔涂在答题卡上第Ⅰ卷用黑色钢笔签字笔在答题卡上作答2．质量监测时间120分钟全卷满分150分．一、选择题：本大题共8小题每小题5分共40分每小题只有一项是符合题目要求的．1．已知集合(){}2log 20A x x =∈-≤N {A x y =∈N ，则A B ⋃=（）A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}0,1D ．{}1【答案】C【分析】根据对数的单调性一元二次不等式的解法结合并集的定义进行求解即可. 【详解】由(){}2log 20021121x x x A -≤⇒<-≤⇒≤<⇒=由{}210110,1x x B -≥⇒-≤≤⇒=所以A B ⋃={}0,1 故选：C2．复数z 满足()1i i z += i 为虚数单位，则下列说法正确的是（） A ．1z = B ．z 在复平面内对应的点位于第二象限 C ．z 的实部为12D ．z 的虚部为1i 2【答案】C【分析】根据复数的除法运算求出复数z 即可求得其模以及实部和虚部以及对应的点所在象限一一判断各选项即得答案.【详解】因为()1i i z += 故i i (1i)11i 1i (1i)(1i)22z ⋅-===+++-则z ==A 错误 z 在复平面内对应的点为11(,)22位于第一象限 B 错误z 的实部为12C 正确z 的虚部为12D 错误故选：C ．3．在ABC 中点D 是线段AB 上靠近B 的四等分点点E 是线段CD 上靠近D 的三等分点，则AE =（）A ．2133CA CB -+ B ．1526CA CB -C ．1233CA CB -+D 5162CA CB -+．【答案】D【分析】方法一：利用平面向量基本定理得到答案方法二：设ABC 是等腰直角三角形且4CA CB == 建立空间直角坐标系写出点的坐标设m A CA nCB E =+ 从而得到方程组求出答案.【详解】方法一：如图由题意得23CE CD = 34AD AB =故()22123333AE AC CE AC CD AC AD AC AC AD =+=+=+-=+()111151323262AC AB CA CB CA CA CB =+=-+-=-+方法二：不妨设ABC 是等腰直角三角形且4CA CB == 以C 为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示则()()()()20,0,0,4,4,0,3,1,2,3C A B D E ⎛⎫ ⎪⎝⎭则()()0,4,4,0CA CB == 设m A CA nCB E =+故()()102,0,44,03m n ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭所以1042,43n m ==- 解得51,62m n =-=故5162CA C A B E -=+．故选：D ．4．函数()()()2sin 0,ππf x x ωϕωϕ=+>-<<的部分图像如图所示，则ω ϕ的值分别是（）A ．2 π6- B ．2 π3-C ．2π3D ．4 5π6-【答案】B【分析】根据三角函数图像与性质求ω ϕ的值即可. 【详解】设()f x 的周期为T则由图像知35π9π3πππ4123124T T ⎛⎫=--==⇒= ⎪⎝⎭所以2π2Tω==，则()()2sin 2f x x ϕ=+ 因为()f x 在5π12x =处取得最大值所以5π2π2π,Z 122k k ϕ⨯+=+∈ 得π2π,Z 3k k ϕ=-+∈因为ππϕ-<< 所以π0,3k ϕ==-.故选：B5．在数列{}n a 中的相邻两项n a 与()*1n a n +∈N 之间插入一个首项为1n a n- 公差为1n -的等差数列的前n 项记构成的新数列为{}n b 若21n a n =+，则{}n b 前65项的和为（） A ．252-B ．-13C ．272-D ．-14【答案】A【分析】根据题意得到数列{}n b 中n a 及其后面n 项的和为n S ()()1112n n n n S n a n+=+-⨯求解. 【详解】解：数列{}n b 为：1122233331121,1,,,1,,,,1,,,233n n a a a a a a a a a a a n-------1231,,,,1,,n n n n n n a a a a a n nn+-----设n a 及其后面n 项的和为n S ，则()()()1111123222n n n n n S n a n n ++=+-⨯=-=- 所以数列{}n S 是以1为首项公差为12-的等差数列.所以{}n b 前65项的和为1210710125222S S S ⎛⎫- ⎪⎝⎭+++==-故选：A.6．冬季是流感高发期其中甲型流感病毒传染性非常强．基本再生数0R 与世代间隔T 是流行病学基本参考数据．某市疾控中心数据库统计分析可以用函数模型()2rtW t =来描述累计感染甲型流感病毒的人数()W t 随时间t Z t ∈（单位：天）的变化规律其中指数增长率r 与基本再生数0R 和世代间隔T 之间的关系近似满足01R rT =+ 根据已有数据估计出04R =时 12T =．据此回答累计感染甲型流感病毒的人数增加至()0W 的3倍至少需要（参考数据：lg 20.301≈ lg30.477≈）（）A ．6天B ．7天C ．8天D ．9天【答案】B【分析】先求得r 然后根据“()0W 的3倍”列方程化简求得需要的时间. 【详解】依题意 01R rT =+ 且04R =时 12T =即14112,4r r =+⨯= 所以()142tW t = ()10W =令()1423tW t == 两边取以10为底的对数得14lg 340.477lg 2lg 3, 6.34lg 20.301t t ⨯==≈≈ 所以至少需要7天. 故选：B7．如图在长方形ABCD 中 2AB = 1BC = E 为DC 的中点 F 为线段EC （端点除外）上的动点．现将AFD △沿AF 折起使平面ABD ⊥平面ABC 在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥ K 为垂足．设AK t ，则t 的取值范围是（）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】设DF x = 求得x 关于t 的表达式根据x 的取值范围求得t 的取值范围. 【详解】如图在平面ADF 内过点D 作DH AF ⊥垂足为H 连接HK ．过点F 作//FP BC 交AB 于点P ．设FAB θ∠= AE AC == 所以cos θ∈⎝⎭．设DF x =，则12x <<．因为平面ABD ⊥平面ABC 平面ABD ⋂平面ABC AB =DK AB ⊥ DK ⊂平面ABD 所以DK ⊥平面ABC又AF ⊂平面ABC 所以DK AF ⊥．又因为DHAF ⊥DKDH D = DK DH ⊂平面DKH 所以AF ⊥平面DKH 所以AF HK ⊥ 即AH HK ⊥．在Rt ADF 中 AF DH因为ADF △和APF 都是直角三角形 PF AD = 所以Rt Rt ADF FPA ≌△△ AP DF x ==．因为AHD ADF ∽△△,1AH DH AH AH AD DF ===所以cos AH AP AK AF θ=== 得1x t=．因为12x << 所以112t<< 所以112t <<．故选：C【点睛】方法点睛：线面垂直面面垂直转化的过程中要从线面垂直得到面面垂直需要“经过一个平面的垂线” 要从面面垂直得到线面垂直，则需要“在一个平面内垂直于交线” 在答题过程中要注意使用正确的符号语言.8．在直角坐标系xOy 内圆22:(2)(2)1C x y -+-= 若直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后与圆C 存在公共点，则实数m 的取值范围是（）A．⎡⎣ B．44⎡--⎣C．22⎡--⎣D．2⎡-⎣【答案】A【分析】由题意首先得出旋转后的直线为1:0l x y m 然后由直线与圆的位置关系列出不等式即可求解. 【详解】连接OP 设POx θ∠=（即以x 轴正方向为始边 OP 为终边的角）由题意对于直线:0l x y m ++=上任意一点(),P x y存在R a θ=∈ 使得()cos ,sin P a a θθ 则直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后点()cos ,sin P a a θθ对应点为1ππcos ,sin 22P a a θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 即()1sin ,cos Pa a θθ- 因为()cos ,sin P a a θθ在直线:0l x y m ++=上所以满足cos sin 0a a m θθ++= 设11sin ,cos x a y a θθ==- 所以110y x m -++= 即()1sin ,cos P a a θθ-所在直线方程为1:0l xy m而圆22:(2)(2)1C x y -+-=的圆心半径分别为()2,2,1r = 若直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后与圆C 存在公共点所以圆心()2,2C 到直线1:0l x y m 的距离1d r =≤= 解得m ≤故选：A.【点睛】关键点睛：关键是求出旋转后的直线从而即可顺利得解.二多选题9．某校举行演讲比赛 6位评委对甲乙两位选手的评分如下：甲：7.5 7.5 7.8 7.8 8.0 8.0 乙：7.5 7.8 7.8 7.8 8.0 8.0 则下列说法正确的是（）A ．评委对甲评分的平均数低于对乙评分的平均数B ．评委对甲评分的方差小于对乙评分的方差C ．评委对甲评分的40%分位数为7.8D ．评委对乙评分的众数为7.8 【答案】ACD【分析】由平均数方差百分位数众数的概念及求法分别求解判断即可. 【详解】选项A 评委对甲评分的平均数7.57.57.87.88.08.017.87.8630x +++++==-<甲评委对乙评分的平均数7.57.87.87.88.08.017.87.8660x +++++==+>乙所以x x <甲乙故A 正确选项B 由A 知两组数据平均数均约为7.8且纵向看甲组数据与乙组数据仅一组数据7.5,7.8不同其余数据相同又甲组数据7.5与平均数的差明显大于乙组数据7.8与平均数的差且差距较大故与平均数比较甲组数据波动程度明显大些即评委对甲评分的方差大于对乙评分的方差故B 错误选项C 由640% 2.4⨯=不是整数则评委对甲评分的40%分位数为从小到大第3个数据即：7.8 故C 正确选项D 评委对乙评分中最多的数据即众数为7.8 故D 正确.故选：ACD.10．下列说法正确的是（）A ．“α为第一象限角”是“2α为第一象限角或第三象限角”的充分不必要条件 B ．“π2π6k α=+ Z k ∈”是“1sin 2α=”的充要条件C ．设ππ,Z 4M k k αα⎧⎫==±∈⎨⎬⎩⎭ π,Z 4k N k αα⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，则“M θ∈”是“N θ∈”的充分不必要条件D ．“sin 0θ>”是“θtan 02>”的必要不充分条件【答案】AC【分析】对于A 利用象限角求得角α的范围可判定充分性取π3α= 验证必要性即可对于B 考查1sin 2α=时 α的取值范围可判定必要性不成立对于C 根据集合M N 的关系即可判定对于D 根据条件求得α的取值范围即可判断. 【详解】对于A,因为α为第一象限角所以π2π2π,Z 2k k k α<<+∈ 则πππ,Z 4k k k α<<+∈, 当k 为偶数时 α为第一象限角当k 为奇数时 α为第三象限角所以充分性成立当π3α=时 α为第一象限角，则2π23α= 为第二象限角即必要性不成立故A 正确对于B 当π2π6k α=+ Z k ∈时 1sin 2α=成立，则充分性成立当1sin 2α=时 π2π6k α=+或5π2π6k α=+ Z k ∈, 故必要性不成立，则B 错误对于C ()41πππ,Z ,Z 44k M k k k αααα⎧⎫⎧⎫⎪⎪==±∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭而π,Z 4k N k αα⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭则MN 故则“M θ∈”是“N θ∈”的充分不必要条件故C 正确对于D,当sin 0θ>时 2π2ππ,Z k k k θ<<+∈, 则πππ,Z 22k k k θ<<+∈ 则θtan 02> 故充分性成立当θtan02>时 πππ,Z 22k k k θ<<+∈则2π2ππ,Z k k k θ<<+∈ 则sin 0θ>成立所以“sin 0θ>”是“θtan 02>”的充要条件故D 错误故选：AC.11．椭圆C 的标准方程为22121,,82x y F F +=为椭圆的左右焦点点()2,1P ．12PF F △的内切圆圆心为(),I I I x y 与1212,,PF PF F F 分别相切于点,,D E H ，则（）A ．126PF F S =△ B ．13x C ．1233y = D ．226PD PE ==【答案】BCD【分析】根据椭圆中焦点三角形的性质求解12PF F S再结合三角形内切圆的几何性质逐项判断即可得结论.【详解】椭圆C ：22182x y +=，则22,2,826a b c ===-= 所以()()126,0,6,0F F又()2,1P 所以点P 再椭圆上连接12,,,,,ID IE IH IP IF IF则121211122PF F p SF F y =⋅=⨯ 故A 不正确由椭圆的定义可得122PF PF a +==又12PF F △的内切圆圆心为(),I I I x y 所以内切圆半径I r y = 由于121212PF F IF F IF PIF PSSSS=++()(121212121111122222I I I I I F F y PF y PF y y F F PF PF y =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⋅++=⋅故3I r y === 故C 正确又1122,,PD PE DF F H EF HF ===所以12121212PF PF PD DF PE EF PD F H PE HF PD PE F F +=+++=+++=++=则2PD = 所以PD PE == 故D 正确又2PF == 所以222HF EF PF PE ==-又H I x x = I x = 即1x 故B 正确. 故选：BCD.12．已知函数()()e xf x a x =+ ()()lng x x a x =+，则下列说法正确的是（）A ．若函数()y f x =存在两个极值，则实数a 的取值范围为21,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．当1a =时函数()y g x =在(0,)+∞上单调递增C ．当1a =时若存在1x ≥ 使不等式()()2()ln f mx fxx x ≥+成立，则实数m 的最小值为0D ．当1a =时若()()12(0)f x g x t t ==>，则()121ln x x t +⋅的最小值为1e【答案】BC【分析】对A 选项：由极值点的性质结合导数讨论单调性即可得对B 选项：结合导数讨论单调性即可得对C 选项：结合()f x 单调性可转化为当1x ≥时有()1ln m x x ≥+成立求出()1ln x x +最小值即可得对D 选项：采用同构法可确定12e xx = 再将多变量化为单变量后结合导数讨论单调性即可得.【详解】对A 选项：()()()e e 1e x x xf x x a x a +=+'=++若函数()y f x =存在两个极值，则函数()f x '必有两个变号零点令()()1e 0x f x x a =++='，则()1e xa x =-+令()()1e xh x x =-+，则()()2e xh x x +'=-则当2x >-时 ()0h x '< 当<2x -时 ()0h x '> 故()h x 在(),2∞--上单调递增在()2,∞-+上单调递减故()()()221221e e h x h -≤-=--+=又当1x >-时 ()()1e 0xh x x =-+<恒成立当x →-∞时 ()0h x →故当210,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭函数()f x '有两个变号零点即若函数()y f x =存在两个极值，则实数a 的取值范围为210,e⎛⎫ ⎪⎝⎭故A 错误对B 选项：当1a =时 ()(1)ln g x x x =+ ()11ln ln 1x g x x x x x='+=+++ 令()()x g x μ='，则()22111x x x x xμ'-=-= 则当()0,1x ∈时 ()0x μ'< 当()1,x ∞∈+时 ()0x μ'> 故()x μ在()0,1上单调递减在()1,∞+上单调递增故()()120g x g '='≥> 故函数()y g x =在(0,)+∞上单调递增故B 正确对C 选项：当1a =时 ()()e 1xf x x =+()()()e e 11e 1x x x f x x x =++=++'令()()m x f x ='，则()()2e xm x x +'=则当<2x -时 ()0m x '< 当2x >-时 ()0m x '> 故()m x 在(),2∞--上单调递减在()2,∞-+上单调递增故()()2212e 110e f x f -≥-=-+=-'>' 故()f x 在R 上单调递增则存在1x ≥ 使不等式()()2()ln f mx fxx x ≥+成立等价于存在1x ≥ 使不等式()2ln mx x x x ≥+成立则当1x ≥时有()1ln m x x ≥+成立由当1a =时 ()(1)ln g x x x =+ 且()y g x =在(0,)+∞上单调递增故()11ln10m ≥+= 即实数m 的最小值为0 故C 正确对D 选项：当1a =时由B C 可知 ()f x ()g x 均为定义域上的增函数由()00f = ()10g = 故有1>0x 21x >由()()12f x g x =，则()()1122e 11ln xx x x +=+即()()()111122e 1e 1ln e 1ln x x x x x x +=+=+ 故12e xx =又()()111e 10xf x t x ==+> 故()121ln ln x x t t t +⋅=令()ln n x x x =，则()1ln n x x x ='+ 令()()1ln p x n x x x==+'则()22111x p x x x x='-=- 则当()0,1x ∈时 ()0p x '< 当()1,x ∞∈+时 ()0p x '> 故()p x 在()0,1上单调递减在()1,∞+上单调递增即()()10n x n ''≥= 故()n x 在()0,∞+上单调递增故()n x 无最小值即()121ln x x t +⋅无最小值故D 错误. 故选：BC.【点睛】思路点睛：本题考查导数在研究函数中的综合应用问题其中D 选项中涉及到多变量问题的求解求解此类问题的基本思路是根据已知中的等量关系将多变量转化为单变量的问题从而将其转化为函数最值问题的求解. 三填空题13．()622x x y y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中42x y 的系数为．（用数字作答）【答案】40-【分析】由二项式定理得到()62x y -的通项公式结合2xy+得到34,T T 得到42x y 的系数. 【详解】()62x y -的通项公式为()()66166C 2C 2rrr r r r r r T x y x y --+=-=-令2r =得 ()22424236C 260T x y x y =-= 此时4242602120x y x y ⋅=令3r =得 ()33333346C 2160T x y x y =-=- 此时3342160160xx y x y y-⋅=- 故42x y 的系数为12016040-=- 故答案为：40-14．设数列{}n a 满足12a = 26a = 且2122n n n a a a ++-+= 若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122021202120212021a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦．【答案】2020【分析】根据题意得到()()2112n n n n a a a a +++---= 得到{}1n n a a +-为等差数列求得其通项公式结合累加法得到(1)n a n n =+ 求得2021112021()1n a n n =-+ 再利用裂项求和求得12202120212021202120212021(2020,2021)2022a a a +++=⨯∈ 即可求解. 【详解】因为2122n n n a a a ++-+= 可得()()2112n n n n a a a a +++---= 又因为12a = 26a = 可得214a a -=所以数列{}1n n a a +-是首项为4 公差为2的等差数列所以14(1)222n n n a n a +-=+-⨯=+ 当2n ≥时 112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+(1)22(1)2222(1)2n n n n n n +=+-++⨯+=⨯=+ 且当1n =时 12a =也成立所以()1n a n n =+ 所以202111120212021()(1)1n a n n n n =⨯=-++ 所以122021202120212021111112021[(1)()()]22320212022a a a +++=-+-++- 120212021(1)2021(2020,2021)20222022=-=⨯∈所以1220212021202120212020a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦. 故答案为：2020.15．已知椭圆 22221(0)x y C a b a b+=>>：的左右焦点为12,F F ．直线y kx =与椭圆C 相交于,P Q 两点若112PF QF = 且12π3PFQ ∠= ，则椭圆C 的离心率为．【分析】由椭圆的对称性可得四边形12PFQF 为平行四边形再根据椭圆的定义求出12,PF PF 再在12PF F △中利用余弦定理求出,a c 的关系即可得解.【详解】由椭圆的对称性可得四边形12PFQF 为平行四边形，则21PF QF =由12π3PFQ ∠= 得12π3F PF ∠= 因为112PF QF = 所以122PF PF = 又122PF PF a += 所以1242,33a aPF PF == 在12PF F △中由余弦定理得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠ 即2222164421442993323a a a a ac =+-⨯⨯⨯=所以c a =即椭圆的离心率c e a ==16．已知A M N 是棱长为1的正方体表面上不同的三点，则·AM AN 的取值范围是．【答案】1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】根据正方体的性质可得·3cos ,a AM AN AM AN =≤结合夹角的定义可得3a ≤ 可得其最大值根据数量积的运算可知24≥-MN a 可得其最小值.【详解】正方体表面上任意两点间距不超过体对角线长度d 则,AM AN d ≤ 故·3cos ,a AM AN AM AN =≤ 而[]cos ,1,1AM AN ∈- 故3a ≤如图建立空间直角坐标系取()0,0,0A ,M N 重合为()1,1,1时则()()1,1,11,1,13a =⋅= 取得最大值3由对称性设A 在下底面 (),,AM x y z = (),,AN a b c =由A 在下底面知0,0,0z c zc ≥≥≥ 当且仅当,M N 也在下底面时取等此时,,A M N 共面时设MN 中点为E ，则EM EN =-()()()()()2222··4MN a AM AN AE EM AE EN AE EN EN==++=-≥-=-当且仅当,A E 重合时取等又因为2MN ≤ 可得2142-≥-≥a MN 例如11,,022A ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()()1,0,0,0,1,0M N ，则11111·,,0,,022222a AM AN ⎛⎫⎛⎫==--=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以·AM AN 的取值范围是1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.四解答题（共70分）17．（本题10分）如图在ABC 中 6AB AC == 点D 是边BC 上一点且,cos AD AB CAD ∠⊥=2AE EB =(1)求BCE 的面积 (2)求线段AD 的长. 【答案】(1)(2)=AD【分析】（1）根据13BCE ABC S S =△△求解即可（2）解法1：在ABC 中根据余弦定理求出BC 结合等腰三角形的性质求cos B 在ABD △中勾股定理求AD 即可解法2：由A BCABDACDSSS=+求得AD .【详解】（1）12,3BCEABCAE EB SS =∴=而11πsin 66sin 222ABCSAB AC BAC CAD ⎛⎫=⋅⋅∠=⨯⨯⨯∠+ ⎪⎝⎭ 18cos 18CAD =∠== 1423BCEABCSS ∴==（2）解法1：()1cos 0,π,sin 3CAD CAD CAD ∠=∠∈∴∠= π1cos cos sin 23CAB CAD CAD ⎛⎫∴∠=∠+=-∠=- ⎪⎝⎭在ABC 中 22212cos 3636266963BC AB AC AB AC CAB ⎛⎫=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭BC ∴=∴在等腰ABC 中12cos BCB BA ==∴Rt ABD △中6cos ,BA BBD BD BD===∴=AD ∴==解法2：()1cos 0,π,sin 3CAD CAD CAD ∠=∠∈∴∠== 由A BCABDACDSSS=+得1166sin 22AD AD CAD =⨯⨯+⨯⨯⋅∠,即()11166223AD AD =⨯⋅+⋅⋅⋅解得=AD18．（本题12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S 11a = 且满足()()11112n n n S nS n n ++=-+.(1)求数列{}n a 的通项公式(2)设()23cos πn a n n b a n =+⋅ 求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)n a n =(2)()()()()11133,,24133,.24n n n n n n T n n n ++⎧++--⎪⎪=⎨++-⎪--⎪⎩为偶数为奇数【分析】（1）利用构造法和等差数列的定义与通项公式可得()12n n n S +=结合1n n n a S S -=-即可求解（2）由（1）知()()213nnn b n =-+- 利用分组求和法计算即可求解. 【详解】（1）根据题意 ()()11112n n n S nS n n ++=-+ 所以1112n n S S n n +-=+由于1111S a ==，则n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1 公差为12的等差数列所以()111122n S n n n +=+-⨯= 所以()12n n n S += 当2n ≥时 1(1)(1)22n n n n n n na S S n -+-=-=-=. 验证1n =时11a =满足通项公式故数列{}n a 的通项公式为n a n =.（2）由（1）知()()()223cos π13n n na n nb a n n =+⋅=-+-.设()21nn -的前n 项和为n A ，则当n 为偶数时 ()22222212341n A n n =-+-+-⋅⋅⋅--+()()()()()()2121434311n n n n ⎡⎤⎡⎤=-++-++⋅⋅⋅+--+-⎣⎦⎣⎦ ()()1123412n n n n +=++++⋅⋅⋅+-+=. 当n 为奇数时 ()()2211122n n n n n n A A n n --+=-=-=-设()3n-的前n 项和为n B ，则()()()131333134nn nB +⎡⎤-⋅-----⎣⎦==+. 因为=+n n n T A B 所以()()()()11133,,24133,.24n n n n n n T n n n ++⎧++--⎪⎪=⎨++-⎪--⎪⎩为偶数为奇数 19．（本题12分）如图在四棱锥P ABCD -中 PAD 为等边三角形 AD CD ⊥ //AD BC 且22AD BC ==CD =PB = E 为AD 中点．(1)求证：平面PAD ⊥平面ABCD(2)若线段PC 上存在点Q 使得二面角Q BE C --的大小为60︒ 求CQCP的值．【答案】(1)证明见解析 (2)12【分析】（1）首先连接PE 根据线面垂直的判定定理证明PE ⊥平面ABCD 再利用面面垂直的判定定理证明平面PAD ⊥平面ABCD . （2）设()01CQ CP λλ=≤≤,再利用向量法求二面角Q BE C --的平面角再列方程得到12λ= 即得CQCP 的值．【详解】（1）证明：连接PEPAD 是边长为2的等边三角形 E 是AD 的中点PE AD ⊥∴PE =//DE BC DE BC = AD CD ⊥ ∴四边形BCDE 是矩形BE CD ∴==222PE BE PB ∴+= PE BE ∴⊥又AD BE E = AD BE ⊂平面ABCDPE ∴⊥平面ABCD又PE ⊂平面PAD∴平面PAD ⊥平面ABCD ．（2）以E 为原点以EA EB EP 为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则(00P()C -()0B ()0,0,0E ()0EB ∴=， ()100BC =-，，(1CP = 设()01CQCPλλ=≤≤则()1BQ BC CQ BC CP λλ=+=+=- 设平面QBE 的法向量为(),,m x y z =则00m EB m BQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即()010x y z λ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，，令1z = 得()301m λλ=-，，又PE ⊥平面ABCD()001n ∴=，，为平面BEC 的一个法向量cos 3m n m n m nλ⋅∴==，二面角Q BE C --的大小为60︒12= 解得12λ=． 12CQ CP ∴=． 20．（本题12分）2023年秋末冬初呼和浩特市发生了流感疾病. 为了彻底击败病毒人们更加讲究卫生讲究环保. 某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动现从中抽取200名学生记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图根据图形请回答下列问题：(1)若从成绩低于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩求5人中成绩低于50分的人数 (2)以样本估计总体利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数(3)首轮竞赛成绩位列前10%的学生入围第二轮的复赛请根据图中信息估计入围复赛的成绩（记为K ）. 【答案】(1)2人 (2)71 (3)88K ≥【分析】（1）利用分层抽样的定义求解即可（2）利用平均数公式求解即可（3）根据题意设入围复赛的成绩的临界值为[)80,90K ∈，则()900.0250.050.1K -⨯+= 求出K 的值即可. 【详解】（1）成绩在[)40,50的人数为0.011020020⨯⨯=（人）成绩在[)50,60的人数为0.0151020030⨯⨯=（人）则按分层抽样方法从成绩低于60分的同学中抽取5人成绩低于50分的人数为20522030⨯=+（人）. 故5人中成绩低于50分的人数为2人（2）由()0.010.0150.0150.0250.005101a +++++⨯= 得0.030a = 则平均数450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故该校学生首轮竞赛成绩的平均数约为71分（3）根据频率分布直方图可知：[]90,100的频率为0.005100.05⨯= [)80,90的频率为0.025100.25⨯=所以入围复赛的成绩一定在[)80,90可知入围复赛的成绩的临界值为[)80,90K ∈则()900.0250.050.1K -⨯+= 解得88K =故估计入围复赛的成绩为88K ≥分.21．（本题12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>> 斜率为2的直线l 与x 轴交于点M l 与C 交于A B 两点 D 是A 关于y 轴的对称点．当M 与原点O 重合时 ABD △面积为169． (1)求C 的方程(2)当M 异于O 点时记直线BD 与y 轴交于点N 求OMN 周长的最小值．【答案】(1)22142x y += (2)2【分析】（1）设出各点坐标表示出面积后结合面积与离心率计算即可得（2）要求OMN 的周长，则需把各边长一一算出即需把M x N y 算出设出直线方程与椭圆方程联立得与横坐标有关韦达定理借助韦达定理表示出M x N y 可得OMN 各边边长结合基本不等式即可求得最值.【详解】（1）当M 与原点O 重合时可设()00,A x y ，则有()00,B x y -- ()00,D x y -且002y x = 即有AD BD ⊥, 则()()00001116229ABD S AD BD x x y y =⋅=++=即201649x = 又00x > 故023x =，则043y = 即有22416199a b +=即c a =则22222a c b c ==+ 故222a b = 即有224161189b b += 解得22b = 故24a = 即C 的方程为22142x y +=（2）设直线l 方程为2y x t =+ 令0y = 有2t x =- 即2M t x =- 设点()11,A x y ()22,B x y ，则()11,D x y - 联立直线与椭圆方程：222142y x t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 有2298240x tx t ++-= ()222Δ64362414480t t t =--=->即t -<有1289t x x -+= 212249t x x -= BD l 为()122212y y y x x y x x -=-+-- 令0x = 故21222122122221122121212N x y x y x y x y x y x y x y x y y y x x x x x x -+-+++=+==--++ 由2y x t =+ 故()()2112211212121212224x x t x x t x y x y x x t x x x x x x ++++==++++ 其中2121224198429t x x t t x x t -==-+-+ 即12442N t y t t t ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭则22OMN N M t C y x t =+=+2≥=当且仅当2t =±时等号成立故OMN周长的最小值为2+【点睛】本题考查了椭圆的方程在求解直线与椭圆的位置关系问题时常用方法是设而不求借助韦达定理等手段将多变量问题转变为单变量问题再用基本不等式或函数方式求取范围或最值.22．（本题12分）已知函数21()ln 2f x x x ax =+-． (1)当12a =时求在曲线()y f x =上的点(1,(1))f 处的切线方程 (2)讨论函数()f x 的单调性(3)若()f x 有两个极值点1x 2x 证明：()()121222f x f x a x x -<--．【答案】(1)3230x y --=(2)详见解析(3)详见解析.【分析】（1）根据导数的几何意义求出（2）求出导函数()1(0)f x x a x x '=+-> 在定义域()0,∞+内分类讨论解含参不等式即可求出（3）由题意得2a > 12x x a += 121=x x 而()()1212f x f x x x --1212ln ln 12x x a x x -=-- 只需证明1212ln ln 2x x x x -<- 即证：11111ln ln 2x x x x ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭ 即证：1111ln x x x <-对任意的1(1,)x ∈+∞恒成立即可．【详解】（1）由题可知当12a =时 211()ln 22f x x x x =+- ()112f x x x ∴=+-' ∴(1)0f = 3(1)2f '= ∴切点为(1,0) 切线的斜率为32 ∴切线方程为：30(1)2y x -=- 即3230x y --=（2）对函数()f x 求导可得 ()1(0)f x x a x x '=+->．当2a ≤时 ()120f x x a a x=+-≥-≥'．则()f x 在(0,)+∞上单调递增．当2a >时 ()2110x ax f x x a x x -+=+-=='．则1x =2x = 令()0f x '>，则10x x << 或2x x >．()0f x '<，则12x x x <<综上：当2a ≤时 ()f x 在(0,)+∞上单调递增当2a >时 ()f x在⎛ ⎝⎭和∞⎫+⎪⎪⎝⎭上单调递增 ()f x在⎝⎭上单调递减．（3）()f x 有两个极值1x 2x1x ∴ 2x 是方程210x ax -+=的两个不等实根则2a > 12x x a += 121=x x()()2211122212121211ln ln 22x x ax x x ax f x f x x x x x ⎛⎫+--+- ⎪-⎝⎭=-- ()()()121212*********ln ln ln ln 122x x x x x x a x x x x a a x x x x -+-+---==+--- 1212ln ln 12x x a x x -=--．要证：()()121222f x f x a x x -<--．即证：1212ln ln 2x x x x -<-．不妨设1210x x >>> 即证：11111ln ln 2x x x x ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭．即证：1111ln x x x <-对任意的1(1,)x ∈+∞恒成立．令1()ln f x x x x =-+ (1)x >．则()22211110x x f x x x x -+=--=-<'．从而()f x 在(1,)+∞上单调递减故()(1)0f x f <=．所以()()121222f x f x a x x -<--．【点睛】本题考查了切线方程问题考查函数的单调性问题考查导数的应用以及分类讨论思想训练了构造函数法证明不等式的成立属难题.。

高二数学下学期期中考试试卷含答案(共5套,word版)

高二下学期数学期中考试试卷时量：120分钟总分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设全集R I =，集合}1|{},3,log |{A 3-==>==x y x B x x y y ，则（）A ．B A ⊆ B ．A B A =⋃C ．φ=⋂B AD ．φ≠⋂)(B C A I 2.已知i 是虚数单位，复数z 满足i z i 2)1(=-，则z 的虚部是（） A ．1 B ．i C ．－1 D ．－i3. 函数x x f 3log )(=的图象与函数()sin g x x π=的图象的交点个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．54. 若向量,a b 的夹角为32π，且1||,2||==b a ，则向量b a 2+与向量a 的夹角为（） A ．6π B ．3π C. 23π D ．56π5. 已知0a >，0b >，若不等式313ma b a b+≥+恒成立，则m 的最大值为（）A ．9B ．12C ．18D ．246.已知21)4tan(=-πα，且0<<-απ，则αα2sin 22sin +等于（）A ．B ．25-C ．25D ．5127.已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，AB ⊥BC ，AB=BC=AA 1=2，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A ．π48B ．π32C ．π12D ．π8 8. 已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- （m 为实数）为偶函数，记)3(log 5.0f a =,),2(),5(log 2m f c f b ==则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<9.直线02=++y x 分别与轴轴，y x 交于B A ,两点，点P 在圆2)2(22=+-y x 上，则ABP ∆面积的取值范围是（）A ．]6,2[B ．]8,4[ C. ]23,2[ D ．]23,22[ 10. 执行如图所示的程序框图，则输出的k 值为（） A ．4B ．5C ．7D ．911.已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，设函数)(x f 的导数为)(x f '，若对任意的0>x 都有0)()(2>'+x f x x f 成立，则（）A ．)3(9)2(4f f <-B ． )3(9)2(4f f >-C ．)2(3)3(2->f fD ．)2(2)3(3-<-f f12.设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x C ，：的左、右焦点分别为1F 、2F 。

高二数学第二学期期中考试试卷含答案

高二年级第二学期期中考试数学试卷时量：120分钟满分：150分命题人一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合{}{}1,31,2,5A B ==,，则A B =（） A ．{}1,3 B ．{}3 C ．{}1 D ．{}2,3,4,52．用一个平面去截圆锥，则截面不可能是（）A ．椭圆B ．矩形C ．三角形D ．圆3．下列函数是偶函数且在区间(–),0∞上为减函数的是（）A ． y x =B ．1y x= C ． 2y x = D ．2y x =- 4．《易经》是中国文化中的精髓，下图是易经八卦图(含乾､坤､巽､震､坎､离､艮､兑八卦)，每一卦由三根线组成( 表示一根阳线，表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中至少有2根阳线的概率（）A ．18B ．14C ．38D ．125．已知角α的终边经过点()4,3-，则sin α=（）A ．45B ．35C ．45-D ．356．已知直线l 经过点()2,3-，且与直线250x y --=垂直，则直线l 的方程为（） A ．042=++y x B ．042=-+y x C ．082=--y x D ．082=+-y x 7．已知0.62a =，20.6b =，0.6log 2c =则（）．A ．c a b >>B ．a c b >>C ．a b c >>D ．c b a >> 8．若函数{12)42(1)(>+-≤=x x a x a x f x 在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（） A ．（0,1）B ．)1,21[ C ．]54,21( D ．)1,54[二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.已知函数⎩⎨⎧>≤+=)0(2)0(1)(2x xx x x f ，若10)(=a f ，则a 的值可能是（） A. 3- B. 3 C. 10log 2 D. 510．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ､N 分别为AC ，A 1B 的中点，则下列说法正确的是（） A ．MN ∥平面ADD 1A 1B ．MN ⊥ABC ．直线MN 与平面ABCD 所成角为45°D ．异面直线MN 与DD 1所成角为60°11．已知角α的终边经过点(sin120,tan120)P ︒︒，则（）A ．5cos 5α= B ．25sin 5α= C ．2tan -=αD ．5sin cos αα+=12.已知圆9)2()1(:22=-+-y x C ，过点)3,1(-M 的直线被圆C 截得的弦长可能是（）A. 22B. 23C. 24D.25三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．计算12216log 4+的结果是__________.14.已知圆C ：x 2＋y 2＝20，则过点P (4，2)的圆的切线方程是________.15．已知tan 2θ=-，则2sin sin cos θθθ-=________．16.若方程02||=--m x 有实数解，则实数m 的取值范围是______________.四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18至22题每小题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知{|3}A x a x a =≤≤+，2{|450}B x x x =-++<.（Ⅰ）若2a =-，求A B ；（Ⅱ）若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围.18.(本小题满分12分)已知02<<-x π，51cos sin =+x x ．（Ⅰ）求x x cos sin ⋅的值；（Ⅱ）求x x cos sin -的值19.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，点E 是PD 的中点.（Ⅰ）求证：//PB 平面ACE ；（Ⅱ）若直线PB 与面PAC 的夹角为30，求三棱锥D AEC -的体积.20.(本小题满分12分)近期中央电视台播出的《中国诗词大会》火遍全国．某选拔赛后，随机抽取100名选手的成绩，按成绩由低到高依次分为第1，2，3，4，5组，制成频率分布直方图如下图所示： (I)在第3、4、5组中用分层抽样抽取5名选手，求第3、4、5组每组各抽取多少名选手；(II)在(I)的前提下，在5名选手中随机抽取2名选手，求第4组至少有一名选手被抽取的概率．21.(本小题满分12分)圆P 的圆心坐标为P ()0,2-，且过点()4,1A（Ⅰ）求圆P 的方程；（Ⅱ）设直线290x y ++=与圆P 相交于M,N 两点．求△PMN 的面积。

2022-2023学年高二下学期期中数学试题(解析版)

香山中学2022-2023学年度第二学期高二级期中考试数学科试卷一、单项选择题（共40分）1. 下列式子正确的是（）A. B. ππsin cos 66'⎛⎫= ⎪⎝⎭()1ln x x'=C.D.e e 22x x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭()sin cos x x x '=【答案】B 【解析】【分析】根据基本初等函数的导数公式和导数的运算法则，逐项求解，即可得到答案.【详解】A 中，因为，所以，故A 错误；π1sin 62=πsin 06'⎛⎫= ⎪⎝⎭B 中，由基本初等函数的导数公式易知，故B 正确； ()1ln x x'=C 中，因为，故C 错误； ()221e e 22e e 242xx x x x x x x x -'-⎛⎫== ⎪⎝⎭D 中，，故D 错误. ()sin sin cos x x x x x '=+故选：B.2. 曲线在处的切线的倾斜角是（） 2()e 25x f x x x =+--0x =A.B.C.D.56π23π4π34π【答案】D 【解析】【分析】求出函数的导数，再求出并借助导数的几何意义求解作答. ()f x ()f x '(0)f '【详解】由求导得：，则有，2()e 25x f x x x =+--()e 22xf x x '=+-(0)1f '=-因此，曲线在处的切线的斜率为， 2()e 25xf x x x =+--0x =1-所以曲线在处的切线的倾斜角是. 2()e 25xf x x x =+--0x =34π故选：D3. 某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，在下雨天里，刮风的概率为，则41521538既刮风又下雨的概率为（）A.B.C.D.3435110120【答案】C 【解析】【分析】利用条件概率的计算公式求解即可【详解】记“下雨”，“刮风”，“刮风又下雨”，A =B =AB =则， ()()()423,,15158P A P B P B A ===所以. ()()()43115810P AB P A P B A ==⨯=故选：C4. 已知函数的导函数为，且，则（） ()f x ()'f x ()2cos 6f x xf x π⎛⎫'=+⎪⎝⎭6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A. B.C.D.12-126π-6π+【答案】D 【解析】【分析】将求导并代入即可得出，即可得到的具体解析式，再代入即()f x 6x π=6f π⎛⎫' ⎪⎝⎭()f x 6x π=可得出答案.【详解】， ()2cos 6f x xf x π⎛⎫'=+⎪⎝⎭，()2sin 6f x f x π⎛⎫''∴=- ⎪⎝⎭令，则， 6x π=2sin 666f f πππ⎛⎫⎛⎫''=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，162f π⎛⎫'= ⎪⎭∴⎝则，()cos f x x x =+cos 6666f ππππ⎛⎫=+= ⎪⎭+⎝∴故选：D.5. 为庆祝中国共产党成立100周年，树人中学举行“唱红歌”比赛.现有甲、乙、丙、丁共4人进入决赛，则甲必须在第一或第二个出场，且丁不能最后一个出场的方法有（） A. 6种 B. 8种 C. 20种 D. 24种【答案】B 【解析】【分析】根据分类计数法将甲分为第一个出场和第二个出场两种情况，然后根据分步计数原理求出这两种情况下的排列方式，即可求解. 【详解】解：由题意知：当甲第一个出场时，不同演讲的方法有（种）； 1222C A 4=当甲第二个出场时，不同演讲方法有（种）.1222C A 4=所以所求的不同演讲方法有（种） 448+=故选：B6. 若离散型随机变量的概率分布列如下表所示，则的值为ξaξ 1-1P41a -23a a + A.B.C.或 D.132-132-12【答案】A 【解析】【详解】由离散型随机变量ξ的概率分布表知：. 2204110314131a a a a a a -⎧⎪+⎨⎪-++=⎩…………解得. 13a =故选A.7. 已知（为常数）的展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数为521ax x x ⎛⎛⎫- ⎪ ⎝⎭⎝a 13x （）A.B.C.D.79-7981-81【答案】A 【解析】【分析】利用已知条件求出实数的值，然后写出展开式通项，利用的指数为，求出参数的值，代入a x 3通项即可得解.【详解】因为（为常数）的展开式中各项系数之和为， 521ax x x ⎛⎛⎫-- ⎪ ⎝⎭⎝a 1所以在中令，可得，解得， 521ax x x ⎛⎛⎫- ⎪ ⎝⎭⎝1x =()()5111a --=2a =的展开式的通项， 5x ⎛ ⎝()35521552rr r r r r r T C x C x --+⎛=⋅⋅=- ⎝因为， 555221122x x x x x x x ⎛⎛⎛⎛⎫--=- ⎪ ⎝⎭⎝⎝⎝，令，可得， ()33215212r r r r T C x x-+=-3332r -=0r =，令，可得. ()36215222k kkk xT C x-+=⨯-⋅3632k -=2k =故的展开式中的系数为， 521ax x x ⎛⎛⎫- ⎪ ⎝⎭⎝3x ()30255C 2C 79+-=-故选：A.8. 已知函数，若函数在上为增函数，则正实数的取值范围为1()ln xf x x ax-=+()f x [1,)+∞a （）A. B. C.D.()0,1(01]，()1,+∞[1,)+∞【答案】D 【解析】【分析】根据函数，求导得到，然后根据函数在上为增函数，转1()ln xf x x ax-=+()f x '()f x [1,)+∞化为在上恒成立求解. ()0f x '≥[1,)+∞【详解】函数， 1()ln xf x x ax-=+，()2211()aax f x x ax ax --'=+=因为函数在上为增函数，()f x [1,)+∞所以在上恒成立， ()0f x '≥[1,)+∞又，0a >所以在上恒成立，10ax -≥[1,)+∞即在上恒成立， 1a x ≥[1,)+∞令，()()max 11g x g x x==，所以， 1a ≥故选：D【点睛】本题主要考查函数的单调性与导数，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、多项选择题（共20分）9. 已知随机变量X 的分布列如下表(其中a 为常数)： X 0 1 2 3 4 P0.10.20.40.2a 则下列计算结果正确的有（）A. a ＝0.1B. P (X ≥2)＝0.7C. P (X ≥3)＝0.4D. P (X ≤1)＝0.3【答案】ABD 【解析】【分析】由概率之和为1可判断A ，根据分布列计算可判断B,C,D.【详解】因为，解得，故A 正确； 0.10.20.40.21a ++++=0.1a =由分布列知,，(2)0.40.20.10.7P X ≥=++=(3)0.20.10.3P X ≥=+=，故BD 正确，C 错误.(1)0.10.20.3P X ≤=+=故选：ABD10. 如果函数的导函数的图象如图所示，则下述结论正确的是（）()y f x =A. 函数在区间内单调递增B. 当时，函数有极大值 ()y f x =()3,512x =-()y f x =C. 函数在区间内单调递增 D. 当时，函数有极大值()y f x =()1,22x =()y f x =【答案】CD 【解析】【分析】本题首先可结合函数的导函数的图像分析出函数的单调递增区间、单调递减区间以及极值点，()y f x =然后与选项对比，即可得出结果.【详解】结合函数的导函数的图像可知： ()y f x =当时，导函数值小于，函数是减函数； <2x -0()f x 当时，导函数值等于，函数取极小值； 2x =-0()f x 当时，导函数值大于，函数是增函数； 22x -<<0()f x 当时，导函数值等于，函数取极大值； 2x =0()f x 当时，导函数值小于，函数是减函数； 24x <<0()f x 当时，导函数值等于，函数取极小值； 4x =0()f x 当时，导函数值大于，函数是增函数， >4x 0()f x 结合选项易知，、错误，、正确， A B C D 故选：CD.【点睛】本题考查根据导函数图像判断函数性质，当导函数值为负数时，函数是减函数，当导函数值是正数时，函数是增函数，考查数形结合思想，考查推理能力，是中档题.11. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中1A 2A 3A 随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（） B A. B. ()25P B =()1511P B A =C. 事件与事件相互独立D. ，，是两两互斥的事件B 1A 1A 2A 3A 【答案】BD 【解析】【分析】由可判定A 错误；由条件概率求解，可判定B 正确；由()()()()123P B P BA P BA P BA =++独立事件的概率计算公式，可判定C 错误；由互斥的事件的定义，可判定D 正确. 【详解】由题意，因为每次取一球，所以，，是两两互斥的事件，所以D 正确；1A 2A 3A 因为，所以，所以B 正确； ()()()123523,,101010P A P A P A ===()()()111555101151110P BA P B A P A ⨯===同理可得, 3223222434()()4410111011(|),(|)23()11()111010P BA P BA P B A P B A P A P A ⨯⨯======所以，所以A 错误； ()()()()123552434910111011101122P B P BA P BA P BA =++=⨯+⨯+⨯=因为，所以，所以C 错误． ()()()11555959,101122221044P BA P B P A =⨯=⋅=⨯=()()()11P BA P B P A ≠⋅故选：BD.12. 若函数（是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数()()e xg x f x = 2.71828e =()f x 具有M 性质．下列函数中具有M 性质的为（）()f x A.B.()2xf x -=()xf x -=3C.D.()3f x x =()22f x x =+【答案】AD 【解析】【分析】根据新定义，由函数的单调性，逐一判断各个选项是否满足条件，从而得出结论．【详解】当时，的定义域为R ，函数， ()2xf x -=()f x ()()e 22e e xxxxg x f x -⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭==由，则在R 上单调递增，函数具有M 性质，故A 选项正确； e12>()g x ()f x 当时，的定义域为R ，函数， ()xf x -=3()f x ()()e 33e e x xx x g x f x -⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭==由，则在R 上单调递减，函数不具有M 性质，故B 选项不正确； e013<<()g x ()f x 当时，的定义域为R ，函数，()3f x x =()f x ()()3e e xxg x f x x ==，当时，，单调递减，故函数不具有()()2323e e 3e x x x g x x x x x '=+=+3x <-()0g x '<()g x ()f x M 性质，故C 选项不正确；当时，的定义域为R ，函数，()22f x x =+()f x ()()()2e 2e xxg x f x x ==+，则在R 上单调递增，函数()()()()2222e 2e 22e 11e 0x x x x g x x x x x x ⎡⎤=++=++=++>⎣⎦'()g x 具有M 性质，故D 选项正确.()f x 故选：AD三、填空题（共20分）13. 如图，直线是曲线在点处的切线，则的值等于______ ．l ()y f x =(4,(4))f (4)(4)f f '+【答案】##5.5 112【解析】【分析】由函数的图像可得，以及直线过点和，由直线的斜率公式可得直线的斜()45f =l (0,3)(4,5)l 率，进而由导数的几何意义可得的值，将求得的与的值相加即可. k (4)f '()4f (4)f '【详解】由函数的图像可得，直线过点和，则直线的斜率， ()45f =l (0,3)(4,5)l 531402k -==-又由直线是曲线在点处的切线，则， l ()y f x =(4,(4))f 1(4)2f '=所以． 111(4)(4)522f f '+=+=故答案为：11214. 设随机变量的分布列为，则常数________．X ()()1,2,,10P X k ak k ===⋅⋅⋅=a 【答案】155【解析】【分析】利用概率和为求解即可.1【详解】因为， ()()1,2,,10P X k ak k ===⋅⋅⋅因为，即，()123101a ++++= ()1011012a ⨯+=所以. 155a =故答案为：. 15515. 已知，则_______．()422380123832x x a a x a x a x a x -+=++++⋅⋅⋅+1357a a a a +++=【答案】 648-【解析】【分析】利用赋值法分别将和代入已知式子中，得到两个方程，由这两个方程化简整理，即1x ==1x -可求出的值． 1357a a a a +++【详解】因为，()422380123832x x a a x a x a x a x -+=++++⋅⋅⋅+令，可得，1x =01280a a a a ++++…=令，可得，=1x -40123861296a a a a a -+-+⋯+==两式相减，可得，则. ()135721296a a a a +++=-1357648+++=-a a a a 故答案为：．648-16. 某机场有并排的10个停机位，若有3架飞机要降落在该机场并停放在这排停机位中，每架飞机停放在任一停机位都是随机的，则3架飞机停好后每架飞机两边各至少有一个空停机位的不同停法种数为______．【答案】120 【解析】【分析】对于不相邻问题，在求解时，可以考虑采用插空法，先排列不受限制的元素，再将不相邻的元素插在前面元素排列后形成的空位中．【详解】求3架飞机随机停在10个停机位的3个停机位中，每架飞机两边各至少有一个空停机位的方法数，可考虑先将其中的7个空停机位排成一排，这样有6个空隙，再把3架飞机安排到其中的3个空隙中，共有种不同的停法． 36120A =故答案为：120.四、解答题（共70分）17. 已知函数在时取得极值． ()()()32111,,1,032f x ax a x bx a b a a =-++∈≠>R 1x =（1）求的值；b （2）求的单调减区间． ()f x 【答案】（1）1b =（2）答案见解析【解析】【分析】（1）先对求导，利用极值的定义求得，再利用导数进行检验是否满足题意即()f x 1b =1b =可；（2）利用（1）中结论直接得解. 【小问1详解】因为， ()()3211132f x ax a x bx =-++所以，()()21f x ax a x b '=-++由于为函数的一个极值点，则，即，得， 1x =()10f '=()10a a b -++=1b =当时，，1b =()()()()21111fx ax a x ax x '=-++=--因为，令，则或， 1,0a a ≠>()0f x '=1x a=1x =当，即时， 11a<1a >令，得；令，得当或； ()0f x '<11x a <<()0f x ¢>1x a<1x >所以在上单调递减，在，上单调递增，()f x 1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭1,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭()1,+∞此时是的极小值，满足题意；1x =()f x 当，即时， 11a<01a <<令，得；令，得当或； ()0f x '<11x a <<()0f x ¢>1x <1x a>所以在上单调递减，在，上单调递增，()f x 11,a ⎛⎫⎪⎝⎭(),1-∞1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭此时是的极大值，满足题意； 1x =()f x 综上：. 1b =【小问2详解】由（1）可知，当时，的单调减区间为； 01a <<()f x 11,a ⎛⎫⎪⎝⎭当时，的单调减区间为. 1a >()f x 1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭18. 从7名男生和5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法有多少种?（1）其中的，必须当选；A B （2），恰有一人当选；A B （3）选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同职务，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任.【答案】（1）120；（2）420；（3）12600.【解析】【分析】（1）先选出，，再从剩下的人中选人即可.A B 103（2），之中选1人，再从剩下的人中选人即可.A B 104（3）根据题意分步，第一步计算选出一名男生担任体育委员的情况，第二步计算选出一名女生担任班3长的情况，第三步再从剩下名男生再选人，名女生再选人，担任其它个班委的情况，最后利用62413分步计数原理计数即可.【详解】（1）根据题意，先选出，，再从剩下的人中选人，共有种选法；A B 10323210120C C =（2）根据题意，先选出，中1人，再从剩下的人中选人，共有种选法；A B 10414210420C C =（3）选出一名男生担任体育委员共有种情况，选出一名女生担任班长共有种情况.17C 15C 剩下名男生再选人，名女生再选人，担任其它个班委，共有种情况，62413642133C C A 所以共有种选法. 112641375312600C C C C A =【点睛】本题主要考查排列，组合的应用，同时考查了分类，分步计数原理，属于中档题.19. 端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．（1）求三种粽子各取到1个的概率；（2）设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与均值．【答案】（1） 14（2）分布列见解析；期望为35【解析】【分析】（1）根据古典概型公式，结合组合数公式，即可求解;（2）首先确定随机变量的取值，，再根据古典概型计算公式，列出分布列，求解数学期望.0,1,2X =【小问1详解】设事件A =“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有． ()111231053C C C 1C 4P A ==【小问2详解】X 的所有可能值为0，1，2，且，，． ()38310C 70C 15P X ===()1228310C C 71C 15P X ===()2128310C C 12C 15P X ===所以X 的分布列为 X 01 2 P 715 715 115故． ()77130121515155E X =⨯+⨯+⨯=20. 在二项式的展开式中，已知第2项与第8项的二项式系数相等.(21)n x -（1）求展开式中二项式系数最大的项.（2）求的展开式中的常数项. ()1121n x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】（1）；41120x （2）.17【解析】【分析】（1）由二项式系数关系及组合数性质得，进而写出二项系数最大项即可；8n =（2）由（1）知二项式为，分别求出前后两个二项式的常数项，即可得结果. 88(21)(21)x x x ---【小问1详解】依题意，由组合数的性质得.17C C n n =8n =所以二项式的展开式中二项式系数最大的项为. 8(21)x -444458C (2)(1)1120T x x =-=【小问2详解】由（1）知，， 8881(21)1(21)(21)x x x x x -⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭因为二项式的展开式的通项为，8(21)x -818C (2)(1)k k k k T x -+=-所以的常数项为，的常数项为， 8(21)x -89(1)1T =-=8(21)x x -778C 2(1)16x x -=-所以的展开式中的常数项为. 811(21)x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭()11617--=21. 已知函数． ln(1)()()1ax f x a x x =++∈+R （1）当时，求函数的图象在点（0，f （0））处的切线方程；1a =f x （）（2）讨论函数的极值；f x （）【答案】（1）（2）答案不唯一，具体见解析2y x =【解析】【分析】（1）求得，即可求得切线斜率，结合及导数的几何意22()(1)x f x x +'=+02k f ='=（）00f =（）义即可求得切线方程．（2）求得，，对与的大小分类讨论即可求得函数的单调性，21(1)x a f x x ++'=+（）1x -（（（1a --1-()f x 从而求得其极值．【详解】解：（1）当时，， 1a =()ln(1)1x f x x x =+++所以， 22112()1(1)(1)x x x f x x x x '+-+=+=+++所以．又， 02f '=（）00f =（）所以函数的图象在点（0，f （0））处的切线方程为f x （）2y x =（2）， 221(1)11(1)(1)a x ax x a f x x x x +-++'=+=+++（（1x -（（（令，得10x a ++=1x a =--若，即时，恒成立，此时无极值11a --≤-0a ≥0f x '（（（f x （）若，即时，11a ---（0a ＜则当时，，11x a ---（（0f x '（（（当时，，1x a --（0f x '（（（此时在处取得极小值，极小值为f x （）1x a =--11n a a -++（（【点睛】本题主要考查了函数的导数的应用，切线方程的求法，极值的判断，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，属于难题．22. 已知函数 ()()32R f x x ax x a =++∈（1）若函数存在两个极值点，求的取值范围；()f x a （2）若在恒成立，求的最小值.()ln f x x x x ≥+()0,∞+a【答案】（1）或 a <a >（2）1-【解析】【分析】（1）函数存在两个极值点，等价于有两个不同的解，利用判别式大于零()f x 23210x ax ++=求解即可；（2）在恒成立，即，转化为求()ln f x x x x ≥+()0,∞+2ln ln x x ax x a x x+≥⇒≥-()ln x g x x x =-的最大值，利用导数即可得答案.【小问1详解】因为， ()()32R f x x ax x a =++∈所以()'2321f x x ax =++因为函数存在两个极值点，()f x 所以有两个不同的解，23210x ax ++=所以，解得24120a ->a <a >【小问2详解】在恒成立，即恒成立， ()ln f x x x x ≥+()0,∞+2ln ln x x ax x a x x +≥⇒≥-令，则 ()ln x g x x x=-()max a g x ≥因为， ()221ln x x g x x --'=设， ()()21ln 10h x x x h =--=⇒在上都递减，2ln ,1y x y x =-=-()0,∞+所以在上递减， ()21ln h x x x =--()0,∞+所以，当时，，此时，在上递增， 01x <<()0h x >()'0g x >()g x ()0,1当时，，此时，在上递减， 1x >()0h x <()'0g x <()g x ()1,+∞所以，()max ()11g x g ==-所以，即1a ≥-min 1a =-。

高二下学期期中考试数学试卷含答案

高二下学期期中考试数学试卷含答案下学期期中考试数学试题一、选择题1.已知i是虚数单位，z是z的共轭复数，若z(1+i)=3+2i，则z的虚部为（）。

A。

-1B。

iC。

-iD。

12.把4个不同的小球全部放入3个不同的盒子中，使每个盒子都不空的放法总数为（）。

A。

2B。

3C。

4D。

53.曲线y=xex+1在点(0,1)处的切线方程是（）。

A。

2x-y+1=0B。

x-y+1=0C。

x-y-1=0D。

x-2y+2=04.函数f(x)=xlnx的单调递减区间是（）。

A。

(0,1/e)B。

(1/e,0)C。

(e,+∞)D。

(-∞,0)5.二项式1+x+x2(1-x)展开式中x4的系数为（）。

A。

120B。

135C。

140D。

1006.设随机变量的分布列为P(X=k)=C(6,k)/2^6，则P(X≥3)的值为（）。

A。

1B。

7/8C。

5/8D。

3/87.将2名教师、4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）种。

A。

10B。

12C。

9D。

88.设函数f(x)在R上可导，其导函数f'(x)，且函数f(x)在x=-2处取得极小值，则函数y=xf'(x)的图像可能是（）。

A.B.C.D.9.若z∈C且z+2-2i=1，则z-1-2i的最小值是（）。

A。

3B。

2C。

4D。

510.在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品任取3件，取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率是（）。

A。

37/120B。

3/10C。

4/9D。

1/211.已知(1-x)^10=a+a1x+a2x^2+。

+a10x^10，则a8的值为（）。

A。

-180B。

45C。

180D。

-4812.定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f'(x)>1，f(0)=4，则不等式exf(x)>ex+3的解集为（）。

A。

(0,+∞)B。

2022-2023高二下学期期中数学试题(解析版)

2022-2023学年第二学期期中考试高二数学试卷命题人：张梦涛审题人：欧钟湖一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合，，则（）{}1,0,1M =-{}2|1N y y x x M ==-∈,M N ⋂=A. B.C.D.{}1,0,1-{}1,0-{}0,1{}1,1-【答案】B 【解析】【分析】将中的元素代入即可得出，然后根据交集的运算，即可得出答案. M N 【详解】当或时，； 1x ==1x -0y =当时，. 0x =1y =-所以，， {}1,0N =-所以，. {}1,0M N ⋂=-故选：B.2. 设的实部与虚部相等，其中为实数，则 ()()12i a i ++a a =A. −3 B. −2C. 2D. 3【答案】A 【解析】【详解】试题分析：，由已知，得，解得，选A.(12)()2(12)i a i a a i ++=-++【考点】复数的概念及复数的乘法运算【名师点睛】复数题也是每年高考的必考内容,一般以客观题的形式出现,属得分题.高考中考查频率较高的内容有：复数相等、复数的几何意义、共轭复数、复数的模及复数的乘除运算.这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是中的负号易忽略,所以做复数题时要注意运算的准确性. 2i 1=-3. 已知两条直线，，则是的（） ()1:210l ax a y +--=2:320l x ay ++=12l l ⊥1a =-A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】当时，根据斜率的乘积等于可得；当时，根据1a =-1-12l l ⊥12l l ⊥求出，再根据必要不充分条件的概念可得答案.()()3210a a a a a ⨯+-=+=a 【详解】当时，，，，所以； 1a =-2:32l y x =+111:33l y x =--121313k k ⋅=-⨯=-12l l ⊥当时，可得，解得或， 12l l ⊥()()3210a a a a a ⨯+-=+=1a =-0a =所以“”是“”的必要不充分条件． 12l l ⊥1a =-故选：A.4. 《九章算术》是我国数学史上堪与欧几里得《几何原本》相媲美的数学名著．其第五卷《商功》中有如下问题：“今有圆堡，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？”这里所说的圆堡就是圆柱体，其底面周长是4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少?若取3，估算该圆堡的体积为（1丈=10尺） A. 1998立方尺 B. 2012立方尺 C. 2112立方尺 D. 2324立方尺【答案】A 【解析】【详解】试题分析：由底面半径为，则，又，所以，所以该圆堡的体积为立方尺，故选A ．考点：1．数学文化；2．旋转体的表面积与体积．5. 的展开式中的系数是（） 821x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭12x y -A. 160 B. 240C. 280D. 320【答案】C 【解析】【分析】首先把看作为一个整体，进而利用二项展开式求得的系数，再求的展开式中的系1x x +2y 71x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭1x -数，二者相乘即可求解.【详解】由二项展开式的通项公式可得的第项为，令，821x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭1r +82181rr r r T C x y x -+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1r =则，又的第为，令，则，712281T C x y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭71x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭1r +7271771rr r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭3r =3735C =所以的系数是. 12x y -358280⨯=故选：C【点睛】本题考查二项展开式指定项的系数，掌握二项展开式的通项是解题的关键，属于基础题. 6. 已知直线与曲线相切，则实数a 的值为（） 1y x =-e x a y +=A. B.C. 0D. 22-1-【答案】A 【解析】【分析】设切点，利用导数的几何意义计算即可.【详解】设切点为，易知，则，解之得， ()00,x y e x ay +'=00001e 1ex a x ay x ++⎧=-=⎨=⎩022x a =⎧⎨=-⎩故选：A7. 楼道里有9盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，为了行走安全，第一盏和最后一盏不关，则关灯方案的种数为 A. 10 B. 15 C. 20 D. 24【答案】A 【解析】【分析】将问题等价转化为将盏关着的灯插入盏亮着的灯所形成的除最左端和最右端的空挡以外的个空档之365内，进而求得结果.【详解】问题等价于将盏关着的灯插入盏亮着的灯所形成的除最左端和最右端的空挡以外的个空档365之内关灯方案共有：种∴3510C =故选：A 【点睛】本题考查组合数的应用，关键是能够将问题进行等价转化为符合插空法的形式.8. 如图，在底面半径为1，高为5的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切．一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆．则该椭圆的离心率为( )A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】作出轴截面图形，根据几何关系即可求解．【详解】如图所示，，，， 1BF =32BO =2sin 3BOF ∠=则， 21sin 3OM DOM OD OD∠===∴，即， 32OD =32a =而，即， 22b =1b =∴， c ==∴ c e a ==故选：C ．二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 已知双曲线的方程为，则（）2216416y x -=A. 渐近线方程为B. 焦距为12y x =±C. D. 焦点到渐近线的距离为8【答案】BC 【解析】【分析】A 选项，先判断出双曲线焦点在轴上，利用公式求出渐近线方程； yB 选项，求出，得到焦距； c =C 选项，根据离心率公式求出答案；D 选项，利用点到直线距离公式进行求解.【详解】焦点在轴上，故渐近线方程为，A 错误；2216416y x -=y 2a y x x b =±=±，故，故焦距为，B 正确；2641680c=+=c =离心率为C 正确；c a ==焦点坐标为，故焦点到渐近线，D 错误.(0,±2y x =±4故选：BC10. 的展开式中第项和第项的二项式系数相等，则以下判断正2012(12)n nn x a a x a x a x -=++++ 311确的是（）A. 第项的二项式系数最大7B. 所有奇数项的系数和为12132-C.1221222n n a a a +++=- D. 131233n a a a a +++= 【答案】AC 【解析】【分析】由已知可推得.根据二项式系数的性质，即可得出A 项；赋值令以及，即可12n =1x ==1x -判断B 项；令以及，即可得出C 项；判断各项的符号，去掉绝对值，即可求出结果，判断12x =0x =D 项.【详解】由已知可得，，所以.210C C n n =12n =对于A 项，根据二项式定理的性质可知，A 项正确；对于B 项，令可得，； 1x =10121221(12)a a a a ++++-== 令可得，.=1x -121212012(12)3a a a a =-++=++ 两式相加可得，，()210122123a a a =++++ 所以，故B 项错误；102221312a a a +=+++ 对于C 项，令可得，； 12x =()121202110222n na a a a ++++=-= 令可得，， 0x =01a =所以，故C 项正确； 1221222n n a a a +++=-对于D 项，易知均为负数，均为正数. 1311,,,a a a 0212,,,a a a 所以，.1123123122a a a a a a a a +++=-+-++ 又，， 20112123a a a a -++=+ 01a =所以，，121231231a a a a -+-++=- 所以，，故D 项错误. 112123231a a a a +++=- 故选：AC.11. 一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件A 1：第一次取出的是红球；事件A 2：第一次取出的是白球；事件B ：取出的两球同色；事件C ：取出的两球中至少有一个红球，则（） A. 事件，为互斥事件 B. 事件B ，C 为独立事件 1A 2A C. D. ()25P B =()234P C A =【答案】ACD 【解析】【分析】根据互斥事件、独立事件的定义判断AB ，由组合知识求得判断C ，根据条件概率的定义()P B 求得判断D ．2(|)P C A 【详解】第一次取出的球是红球还是白球两个事件不可能同时发生，它们是互斥的，A 正确；由于是红球有3个，白球有2个，事件发生时，两球同为白色或同为红色，B ，事件不发生，则两球一白一红，，不独立，B 错；2325223225C C ()3()C C ()4C P BC P C P B ===+B ()1P C =,B C ，C 正确； 223225C C 2()C 5P B +==事件发生后，口袋中有3个红球1个白球，只有从中取出一个红球，事件才发生，所以2A C ，D 正确． 23(|)4P C A =故选：ACD ．12. 已知正四棱台的所有顶点都在球的球面上，，，1111ABCD A B C D -O1122AB A B ==1AA =E为内部（含边界）的动点，则（） 1BDC A. ∥平面 1AA 1BDC B. 球的表面积为 O8πC. 的最小值为1EA EA +D. 若与平面，则AE 1BDC E 【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，由条件先证线线平行，进而证得线面平行；对于B ，先假设球心的位置，利用勾股定理与半径相等建立方程组进而确定的位置，可求得球的O O O 表面积；对于C ，先判断落在上，再进一步判断与重合时，取得最小值；E 1C O E O 1EA EA +对于D ，利用面面垂直的性质作出面，故为与平面所成角，再利用AF ⊥1BDC AEF ∠AE 1BDC 得出长，继而判断点轨迹为圆弧.sin AEF ∠EF E 【详解】对于A ，如图1，设底面对角线交于点ABCD 2O 由棱台的结构特征易知与的延长线必交于一点，故共面， 1AA 1CC 11,,,A A C C 又面面，而面面， 1111//A B C D ABCD 11AA C C 111111A B C D AC =面面，故，即； 11AA C C ABCD AC =11//AC AC 112//A C AO由平面几何易得，即； 1121122AC AO AC ===⨯=112AC AO =所以四边形是平行四边形，故，112AAC O 112//AA C O 而面，面，所以平面，故A 正确；1AA ⊄1BDC 12⊂C O 1BDC 1//AA 1BDC.对于B ，如图2，设为的中点，为正四棱台外接球的球心，则， 1O 11AC O 1AO AO R ==在等腰梯形中，易得，即11AAC C ()22222121111322O O AA AC A C ⎡⎤=--=-=⎢⎥⎣⎦12O O =，为方便计算，不妨设，则由，12,O O a O O b ==2222221112A O a A O AO AO b +===+即，即， 2222a b +=+2232a b -=又，解得，即与重合，故， 12a b O O +==0a b ==O 2O R AO ==故球的表面积为，故B 正确；O 224π4π8πR =⨯=.对于C ，由图2易得，，，面，故12BD O O ⊥BD AC ⊥122O O AC O ⋂=12O O AC ⊂、11AAC C BD ⊥面，11AAC C 不妨设落在图3处，过作，则面，故，E E 'E '1//E E BD '1E E '⊥11AAC C 11E E E A '⊥故在中，（直角边小于斜边）；同理，，1Rt AE E ' 1E A E A '<111E A E A '<所以，故动点只有落在上，才有可能取得最小值； 1111E A E A E A E A ''+<+E 1C O 1EA EA +再看图4，由可知， 11A C O C 关于对称点为故C 错误；1EA EA AC +≥= .对于D ，由选项C 可知，面，面，故面面， BD ⊥11AAC C BD ⊂1BDC 11AA C C ⊥1BDC 在面内过作交于，如图5，11AAC C A 1AF C O ⊥1C O F 则面，面面，故面，故为与平面AF ⊂11AAC C 11AA C C 11BDC C O =AF ⊥1BDC AEF ∠AE 所成角，1BDC在中，，为正三角形，即1C OC △11C O AA ==11CC AA ==12OC AC ==1C OC △，故，160C OC ∠=︒sin 60,AF AF AO =︒=在中，，即E 点在以F 为Rt AEF sin tan ,AFAEF AEF EF EF∠=∴∠===半径的圆与所交的圆弧， 1BDC而,故圆弧所对圆心角为（如图6所示平面图），故D 正确. 12FO r ==2π3故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于确定的位置，先假设在外（记为），由勾股边小于斜E E 1C O E '边推得，进而得到只有落在上，再利用为定值及基本不1111E A E A E A E A ''+<+1EA EA +E 1C O 1AA E S 等式，推得与重合时，取得最小值；对于动点，我们一般要考虑特殊位置，可提高我们做E O 1EA EA +题速度.三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量，，，若，则实数______． ()2,1a =-r()11b =- ,(),3c λ= ()a b c +⊥ λ=【答案】2 【解析】【分析】由题可得，再利用数量积的坐标公式即求.()3,2a b +=-【详解】因为，， ()2,1a =-r()11b =- ,所以．又，，()3,2a b +=-()a b c +⊥ (),3c λ= 所以，解得． 360λ-+=2λ=故答案为：2.14. 的值为__________.015666660156C C C C 2222-+-+ 【答案】164【解析】【分析】利用二项式定理计算即可.【详解】原式 015666660156C C C C 2222-+-+0615243342160666666665C 2C 2C 2C 2C 2C 2C 22⋅-⋅+⋅-⋅+⋅-⋅+⋅==()66211264-=故答案为：16415. 某校为参加某比赛，计划组建三支集训队．现共有备赛教师名、学生名．每支集训队由名教师361和名学生组成．根据需要，教师甲和学生乙要分配在一个队，学生丙和学生丁不在同一个队，则这三2支队伍分组方法共__________种．【答案】 24【解析】【分析】分为两种情况，学生丙或丁，与甲乙同队，以及学生丙或丁，不与甲乙同队，分别计算得出，相加即可得出答案.【详解】若学生丙或丁，与甲乙同队，此时的分组方法有种； 11222422C C C 12A =若学生丙或丁，不与甲乙同队，先选出1名学生，与甲乙同队，有种方法；13C 3=然后剩余2名教师，4名学生分为2组，此时的分组方法有种方法， 122422C C 6A =其中丙丁在同一组的情况，只需选出1名教师即可，有种， 12C 2=所以，丙丁不在同一小组的有.624-=根据分步乘法计数原理可知，此时的分组方法有.3412⨯=综上，根据分类加法计数原理可知，这三支队伍分组方法共种. 121224+=故答案为：24.16. 被称为欧拉公式.我们运用欧拉公式，可以推导出倍角公式.如：i e cos isin x x x =+.类比方法，我们可以()()22i 2i cos 2isin 2eecos isin xxx x x x ⋅+===+22cos sin i 2sin cos x x x x =-+⋅得到____（用含有的式子表示） sin 5x =sin x 【答案】 5316sin 20sin 5sin x x x -+【解析】【分析】根据已知可推得，根据二项式定理展开，结合复数相等的条()5cos5isin 5cos isin x x x x +=+件以及，整理即可得出答案. 22cos 1sin x x =-【详解】由题意可知，.()()55i 5i cos5isin 5e e cos isin x x x x x x ⋅+===+根据二项式定理展开可得，()5cos isin x x +()()()()()23455432cos 5cos isin 10cos isin 10cos isin 5cos isin isin x x x x x x x x x x =+++++.()53244235cos 10cos sin 5cos sin i 5cos sin 10cos sin sin x x x x x x x x x x =-++-+根据复数相等的条件可知，. 4235sin 55cos sin 10cos sin sin x x x x x x =-+因为， 22cos 1sin x x =-所以.()()22235sin 551sin sin 101sin sin sin x xx x x x =---+5316sin 20sin 5sin x x x =-+故答案为： .5316sin 20sin 5sin x x x -+【点睛】关键点睛：根据已知可推得.()5cos5isin 5cos isin x x x x +=+四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 如图，是直角三角形斜边上一点，.D ABC BC AC =（1）若，求角的大小； 30DAC ∠= ADC ∠（2）若，且，求的长. 2BD DC =1DC =AD 【答案】（1）120（2 【解析】【分析】（1）先由正弦定理求出，从而得到sin ADC ∠=6060ADC B ∠=+>；（2）求出，进而得到角C 的余弦值，再使用余弦定理求出的长.120ADC ∠= 3,BC AC ==AD 【小问1详解】在中，由正弦定理得，ADC △sin sin AC DCADC DAC=∠∠所以， sin 1sin 2AC DAC ADC DC ⋅∠∠===又(90)6060ADC B BAD B DAC B ∠=+∠=+-∠=+>所以，. 120ADC ∠= 【小问2详解】由，且知：2BD DC =1DC =3,BC AC ==所以，直角三角形中， ABC cos AC C BC ==在中，由余弦定理得ADC △22222cos 112AD AC DC AC DC C =+-⋅=+-=所以，AD =18. 如图，在三棱柱中，底面，，，，点111ABC A B C -1AA ⊥111A B C AC AB ⊥4AC AB ==16AA =，分别为与的中点E F 1CA AB（1）证明：平面． //EF 11BCC B （2）求与平面所成角的正弦值． 1B F AEF 【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】（1）要证明线面平行，转化为证明线线平行，即证明；1//EF BC （2）首先以点为原点，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用公式1A AEF n，即可求解.1sin cos ,B F n θ=<>【小问1详解】证明：如图，连接，．1AC 1BC 因为三棱柱为直三棱柱，所以为的中点， 111ABC A B C -E 1AC 又因为为的中点，所以． F AB 1//EF BC 又平面，平面． EF ⊄11BCC B 1BC ⊂11BCC B 所以平面． //EF 11BCC B 【小问2详解】以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，1A 1A xyz -则，，，． ()006A ，，()1040B ，，()203E ，，()026F ，，所以，，， ()1026B F =- ，，()203AE =- ，，()020AF =，，设平面的法向量为，AEF ()n x y z，，=则 23020n AE x z n AF y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩，令，得 3x =()302.n =，，记与平面所成角为，1B F AEF θ则111sin |cos ,|B F n B F n B F nθ⋅=<>==⋅ 19. 某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析．球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示．场上位置边锋前卫中场出场率 0.5 0.3 0.2球队胜率0.60.80.7（1）当甲出场比赛时，求球队获胜的概率；（2）当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当前卫的概率. 【答案】（1） 0.68（2）617【解析】【分析】（1）设表示“甲球员担当边锋”，表示“甲球员担当前卫”，表示“甲球员担当中场”，，1A 2A 3A 1A ，两两互斥，设表示“球队赢了某场比赛”，利用全概率公式求解即可. 2A 3A B （2）由（1）知，然后利用条件概率公式求解即可.()0.68P B =【小问1详解】设表示“甲球员担当边锋”，1A 表示“甲球员担当前卫”，2A 表示“甲球员担当中场”，3A ，，两两互斥，1A 2A 3A 设表示“球队赢了某场比赛”，B 则()()()()()()()112233P B P A P B A P A P B A P A P B A =++，0.50.60.30.80.20.70.68=⨯+⨯+⨯=该球队某场比赛获胜的概率为. 0.68【小问2详解】由知：， ()1()0.68P B =则，()()()220.30.860.6817P A B P A B P B ⨯===所以球员甲担当前卫的概率为. 61720. 设为等差数列的前n 项和，已知，． n S {}n a 322a S =+342S a =+（1）求；n a （2）若成等比数列，求的前n 项和．1212,,,,,,n k k k a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅{}n k n T 【答案】（1）；（2）32n a n =-246169n n ++-【解析】【分析】(1)由题可设等差数列的公差为d ,根据题目条件利用基本量法求解即可.{}n a (2)由题可先根据成等比数列求得的通项公式,再分析通项公式与的关系求1212,,,,,,n k k k a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅n k a n k 得的通项公式,最后再求前n 项和即可.n k n T 【详解】（1）设等差数列的公差为d ,由,得{}n a 322a S =+342S a =+解得,． 11112223332a d a d a d a d +=++⎧⎨+=++⎩11a =3d =所以．1(1)32n a a n d n =+-=-（2）由（1）知,,,所以数列的首项为1,公比为4,11a =24a =1212,,,,,,n k k k a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是该等比数列的第项,所以,n k a 2n +14n n k a +=又,所以,,32n k n a k =-1324n n k +-=1423n n k ++=所以． ()()222314141224616444333(14)39n n n n n T n n ++-+-=++++=+=- 【点睛】(1)已知数列为等差数列,可利用基本量法进行通项公式求解. (2)考查等比等差综合运用时,注意分析通项公式与项数的关系.21. 已知椭圆的焦点在轴上，它的离心率为，且经过点. 2222:1x yC a b +=x 12P （1）求椭圆的方程；C （2）若椭圆的左焦点为，过点的直线与椭圆交于，两点，且过点，和点C F F l C A B A B 的圆的圆心在轴上，求直线的方程及此圆的圆心坐标.Q ⎛ ⎝x l 【答案】（1）22143x y +=（2）直线的方程为，圆心坐标为l y x =+y =1,010⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）依题意得到关于、、的方程组，解得即可. a b c （2）设圆心，，，设，由点在圆上得到()0,0M x ()11,A x y ()22,B x y ():1l yk x =+，即可得到，同理可得，从而得到222MA MB MQ ==2101112042x x x --=2202112042x x x --=，再联立直线与椭圆，消元、列出韦达定理，即可求出，从而求出直线的方程，再求出122x x =-k l 0x ，即可求出圆心坐标.【小问1详解】依题意可得，且，解得，，， 12c e a ==224213a b+=222a b c =+24a =23b =21c =所以椭圆方程为.22143x y +=【小问2详解】设圆心，，，显然直线的斜率存在，设，()0,0M x ()11,A x y ()22,B x y l ():1l y k x =+因为，则，又，代入得到222MA MB MQ ==()222011072x x y x -+=+2211334y x =-， 2101112042x x x --=同理可得，所以、是方程的两根， 2202112042x x x --=1x 2x 20112042x x x --=所以，122x x =-由，消去整理得，()221143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩y ()22224384120k x k x k +++-=所以，解得，2122412243k x x k -==-+k =所以直线的方程为，l y x =+y x =此时的中点横坐标为，所以，AB 212024242435x x k x k +-==-=+0110x =-所以，即此时圆心坐标为. 1,010M ⎛⎫-⎪⎝⎭1,010⎛⎫- ⎪⎝⎭22.已知函数.()e (ln 1)()xf x x a ax x a =--+∈R （1）若，证明：；1a =-()()e 2xf x x ≥+（2）若对任意的恒成立，求a 的取值范围. ()0f x >()0,x ∈+∞【答案】（1）证明见解析（2）11e,e -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】(1)证明不等式成立，即证明，建立新的函数，求导判断函数()()e 2xf x x ≥+1ln 10x x+-≥的单调性，求出最值即可判断.(2)对的正负分类讨论，当时，可以直接去绝对值.当时，转化为分段函数求导，求函数的最a 0a <0a >值即可解决. 【小问1详解】证明：因为的定义域为，所以若，.()f x ()0,∞+1a =-()e 1(ln 1)xf x x x x =+++要证，即证，即证. ()()e 2xf x x ≥+1(ln 1)2x x x ++≥1ln 10x x+-≥令，所以，令，解得，令，解得1()ln 1h x x x =+-'22111()x h x x x x-=-=()'0h x >1x >()'0h x <，所以在上单调递减，在上单调递增，01x <<()h x ()0,1()1,+∞所以，所以. ()(1)0h x h ≥=()()e 2xf x x ≥+【小问2详解】若对任意的恒成立， ()0f x >()0,x ∈+∞即对任意的恒成立. e (ln 1)0x x a a x x--+>()0,x ∈+∞令.e ()(ln 1)x x a g x a x x-=-+若，则. 0a ≤1()e ln 1xg x a x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭由（1）知，所以，又，所以， 1ln 10x x +-≥1ln 12x x ++≥0a ≤1ln 10a x x ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭又，所以，符合题意； e 0x >1()e ln 10xg x a x x ⎛⎫=-++>⎪⎝⎭若，令，在上恒成立， 0a >()e (0)xu x x a x =->'()(1)e 0xu x x =+>()0,x ∈+∞所以在上单调递增，又，，()u x ()0,∞+(0)0u a =-<()()e 10au a a =->所以存在唯一的，使得，且，()00,x a ∈()00u x =00e x a x =所以，当时，，()00e ln ,0e ln ,xx a a x a x x xg x a a x a x xx ⎧---<≤⎪⎪=⎨⎪--->⎪⎩00x x <≤()e ln x a g x a x a x =---所以，所以在上单调递减. '2()e 0xa a g x x x=---<()g x (]00,x 当时，，所以， 0x x >()e ln xa g x a x a x =---'2()e x a ag x x x=-+当时，在上单调递增，所以， 0x x >e xa y x =-()0,x +∞000000e e e e 0x x x xx a a x x x ->-=-=所以当时，，所以在上单调递增， 0x x >'2()e 0xa ag x x x=-+>()g x ()0,x +∞所以，解得. ()()min 00()ln 10g x g x a x ==-+>010ex <<设，，所以在上恒成立， e xy x =10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x '(1)e 0x y x =+>10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以在上单调递增，所以，即. e x y x =10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭01e 01e 0,e e x a x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭11e 0,e a -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭综上所述，a 的取值范围为.11e ,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【点睛】不等式的恒成立问题通常都转化为函数最值问题，通过求导，判断单调性，即可求得函数的最值.当参数范围不确定时，需要进行分类讨论，求导求函数的最值.。

山东省枣庄市2023-2024学年高二下学期期中质量检测数学试题(含简单答案)

枣庄市2023-2024学年高二下学期期中质量检测数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知函数，则（）A. 2B. C. 4D. 2. 下列函数求导正确的是（）A B. C D. 3. 从4名男生与3名女生中选两人去参加一场数学竞赛，则男女各一人的不同的选派方法数为（）A. 7B. 12C. 18D. 244. 已知，，则（）A.B.C.D.5. 的展开式中，项的系数为（）A. 10B. C. 60D. 6. 随机变量的概率分布为1240.40.3则等于（）的..()2f x x=-()()22limh f h f h →+-=2-4-211x x'⎛⎫= ⎪⎝⎭()sin cos x x'=-()1ln22x x'=()()e 1e x xx x '=+()13P B A =()25P A =()P AB =5691021513()522x x y +-52x y 30-60-X XPa()54E X +A. 5B. 15C. 45D. 与有关7. 已知函数，是的唯一极小值点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D. 8. 已知实数分别满足，，且，则（）A B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列函数在定义域上为增函数的有（）A. B. C. D. 10. 下列排列组合数中，正确的是（）A. B. C. D. 11. 已知直线分别与函数和的图象交于点，则下列结论正确的是（）A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 某班联欢会原定3个节目已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目不相邻，那么不同的插法种数为_____________.13. 若能被64整除，则正整数的最小值为_____________.14 已知实数满足，则_____________...a ()()221()4442xf x e xx k x x =--++2x =-()f x k )2,e ⎡-+∞⎣)3,e ⎡-+∞⎣)2,e ⎡+∞⎣)3,e ⎡+∞⎣,a b e 1.02a =()ln 10.02b +=151c =a b c<<b a c <<b<c<ac<a<b()e xf x x=+()exf x x =()sin f x x x=-()2ln f x x x=-12344444A A A A 84+++=3333434520232024C C C C C ++++= 11A A A mm m n nn m -++=11C C mm n n m n --=2y x =-+e x y =ln y x =()()1122,,,A x y B x y 122x x +=12e e 2e x x +>1221ln ln 0x x x x +>12x x >()2024*381011a a -⨯+∈N a 12x x ，()136122e e ln 3e xx x x =-=，12x x =四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 在三个地区爆发了流感，这三个地区分别有的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为3：5：2，现从这三个地区中任意选取一个人（1）求这个人患流感的概率；（2）如果此人患流感，求此人选自A 地区的概率.16. 一台笔记本电脑共有10台，其中A 品牌3台，B 品牌7台，如果从中随机挑选2台，其中A 品牌台数．（1）求的分布列；（2）求和．17. 已知展开式中，第三项的系数与第四项的系数比为．（1）求的值；（2）求展开式中有理项的系数之和．（用数字作答）18. 已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求的极值.19. 已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.,,A B C 6%5%4%，，X X ()E X ()X σ2(n x +65n ()23ln f x x x x =+-()y f x =()()1,1f ()f x ()()()2e12e R xx f x a ax a =+--∈()f x ()f x a枣庄市2023-2024学年高二下学期期中质量检测数学简要答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】D二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】AC【10题答案】【答案】BCD【11题答案】【答案】AB三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】12【13题答案】【答案】55【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）（2）【16题答案】【答案】（1）分布列略（2）【17题答案】【答案】（1）7；（2）702.【18题答案】【答案】（1）（2）极小值为，无极大值【19题答案】【答案】（1）当时，在上单调递增;当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）6e 0.051617352y =20a ≤()f x R 0a >()f x (,ln )a -∞(ln ,)a +∞(1,)+∞。

高二第二学期期中考试数学试卷

高二年级第二学期期中检测数学试题（满分:150分，考试时间:120分钟）一、选择题:本题共8小题，每小腿5分，共40分.只有一项符合题目要求.1.函数y = f （x ）位点（x 0，y o ）处的切线方形为y = 2x + 1.则x x x f x f x ∆∆--→2)2()(lim 000 等于（）A.4B. - 2C.2D.4 2.函数 f （x ）= 的图象大致形状是（）3.（x + 2y ）×（x - y ）5的展开式中x 2y 4的系数为（）A. - 15B.5C. - 20D.254.甲、乙、丙等6人排成一排，则甲和乙相邻且他们和和两不相邻的排法共有（）A.36种B.72种C.144种D.246种 5.函数f （x ）= k x- lnx 在[1，e ]上单调递增，则k 的收值范围是（）A. [1， +∞）B.（e 1， +∞）C.[e 1， +∞）D.（1， +∞） 6.若函数f （x ）=31x 3 - 2+x 2 在（a - 4.a + 1）上有最大值，则实数a 的取值范围为（） A.（- 3.2] B.（- 3，2） C.（- 3.0） D.（- 3.0]7.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰.短道速滑和冰壶3个项目进行集训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）种.A.30B60 C.90 D150 8.设a =24l 24e n ）（- ，b = e 1，c =44ln ，则a ，b ，c 的大小顺序为（） A.a < c < b B. c < a < b C .a < b < cD.b < a < c二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分，有多项符合题目要求.全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.以下求导运算正确的是（） A.)1(2x ʹ = 32x B.(ln 2x)ʹ = x 1 C .（l gx ）ʹ =10l 1n x D .（cos 2）' =-sin 210.由0.1，2，3，5，组成的无重复数字的五位数的四数，则（）A.若五位数的个位数是0，则可组成24个无重复数字的五位数的偶数B.若五位数的个位数是2，则可组成18个无重复数字的五位数的偶数C.若五位数的个位数是2，则可组成24个无重复数字的五位数的偶数D.总共可组成48个无重复数字的五位数的偶数11.甲箱中有3个白球和3个黑球，乙箱中有2个白球和4个黑球.先从甲箱中随机抽出一球放入乙箱中，分别以A 1，A 2表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示从乙箱中取出的球是黑球的事件，则下列结论正确的是A.A 1，A 2两两互斥B.P （B|A 2） =75 C.事件B 与事件A 2相互独立 D.P （B ） = 149 12.已知函数f （x ） = e x - ax 2（a 为常数），则下列结论正确的有（）A.若f （x ）有3个零点，则a 的取值范围为（42e ，+ ）B.a = 2e 时，x = 1是f （x ）的极值点 C.a =21 时，f （x ）有唯一零点x 0且 - 1 < x 0 <- 21 D.a = 1时，f （x ）≥0恒成立三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数f （x ）= 2ln x - x 2 + 1，则f （x ）的单调递增区间是 _________4.将3封不同的信随机放入2个不同的信箱中，共有n 种不同的放法，则在（x -x1）n 的展开式中，含x 2项的系数为 _________ .15.若直线y = kx + b 是曲线y = 1nx + 1的切线，也是曲线y = ln （x + 2）的切线.则b = _________16.给图中六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色且相邻的区域不同色.若有4种不同的颜色可供选择，则共有_________ 种不同的染色方案.四、解答题:本题共6小圆，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算.17.（本小题满分12分）已知数列{a n}的前n项和为S n且S n底2a n- 2（n∈N）（1）求数列{a n}的通项公式:（2）若b n =n naa 2log1+.求数列{b n}的前n项和T n18.（本小M满分12分）如图所示，在四棱锥P - ABCD中，PA⊥面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD，且PA = AB = BC = 0.5AD = 1. （1）求PB与CD所成的角:（2）求直线PD与面PAC所成的角的余弦值:（3）求点B到平面PCD的距离.从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试.（1）求选出的3名同学中至少有1名女生的概率；（2）设∑表示选出的3名同学中男生的人数，求∑的分布列.20.（本小题满分12分）甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为4331，.（1）求第三次由乙投篮的概率:（2）在前3次投篮中，乙投篮的次数为∑求∑的分布列:（3）求∑的期望及标准差.已知函数f （x ）= x ln x +2 x（1）求曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程:（2）当x > 1时，mx - m < f （x ）恒成立，求整数m 的最大值.22.（本小题满分12分）已知函数f （x ） = axlnx 2 - 2x .若f （x ）在x = 1处取得极值，求f （x ）的单调区间:（2）若a = 2，求f （x ）在区同[0.5，2]上的最值:（3）若函数h （x ） =xx f )( - x 2 + 2有1个零点，求a 的取值范围.（修考做据:1 m2 = 0.693）。

高二第二学期期中考试数学试卷含答案

高二年级第二学期期中检测数学本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分为150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．选择题分为单选题和多选题，多选题有2个或多个答案。

2．请在规定答题区域内作答，超出区域或答错题号不得分。

第Ⅰ卷选择题（共60分）一、单选题（本大题8题，每小题5分，共40分） 1．复数113i-的虚部是（） A ．310-B ．110-C ．110D ．3102．若复数z 满足()1i 12i z -=+，则z =（）A ．52B ．32C ．102D ．623．已知随机变量X 的分布列是X1 2 3P13ab则1=P X >（）（） A ．23B ．32C ．1D ．344．现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同的选法的种数是（） A ．56B ．65C ．30D ．115．用5种不同颜色给图中A 、B 、C 、D 四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同,则不同的涂色方法种数为（） A ．120B ．160C ．180D ．2406．函数4cos e x y x =-（e 为自然对数的底数）的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．7．定义域为R 的可导函数()y f x =的导函数为()f x '，满足()()0f x f x '-<，且()01f =，则不等式()1xf x e <的解集为（） A ．()0,∞+B ．()2,+∞ C ．(),0-∞ D ．(),2-∞8. 已知()21ln (0)2f x a x x a =+>，若对任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有()()12122f x f x x x ->-恒成立，则a 的取值范围是（） A ．(]0,1 B ．()1,+∞C ．()0,1D ．[)1,+∞二、多选题（本大题4题，每小题5分，共20分.其中全部选对得5分，漏选得2分，错选、多选得0分） 9. 设z 为复数，则下列命题中正确的是（） A ．2z zz =B ．22z z =C ．若1z =，则z i +的最大值为2D ．若11z -=，则02z ≤≤10. 对于623x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式，下列说法正确的是（）A ．所有项的二项式系数和为64B ．所有项的系数和为64C ．常数项为1215D ．二项式系数最大的项为第3项11. 现安排高二年级A ，B ，C 三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，下列说法正确的是（） A ．所有可能的方法有43种B ．若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种C ．若同学A 必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种D ．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种12. 对于函数2ln ()xf x x =，下列说法正确的是（）A ．函数在x =12eB ．函数的值域为1,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．()f x 有两个不同的零点D ．(2)f f f <<第Ⅱ卷非选择题（共60分）三、填空题（本大题4题，每小题5分，共20分） 13．已知()f x 的导数为()f x ',且()()21ln f x xf x '=+，则()1f '＝______．14．已知()626012613x a a x a x a x +=++++，则246a a a ++=______．15．为响应国家脱贫攻坚的号召，某县抽调甲、乙、丙等六名大学生村官到A 、B 、C 三个村子进行扶贫，每个村子去两人，且甲不去A 村，乙和丙不能去同一个村，则不同的安排种数为________.16．已知函数()2ln f x x =，()()2102g x ax x a =-->，若直线2y x b =-与函数()y f x =，()y g x =的图象均相切，则a 的值为________；若总存在直线与函数()y f x =，()y g x =图象均相切，则a 的取值范围是________三、解答题（本大题6题，共70分）17．（10分）某校高三年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X 表示其中男生的人数．（1）请列出X 的分布列并求数学期望；（2）根据所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率．18．（12分）函数()ln 1f x x x ax =-+在点(1,(1))A f 处的切线斜率为2-．（1）求实数a 的值；（2）求()f x 的单调区间和极值．19. （12分）已知函数()ln xf x x=．（1）求曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）求函数()f x 在区间21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值，并指出取得最值时x 的值．20．（12分）在一次招聘中，主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题。