北邮矩阵论 4. 第四讲线性变换之二

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线性变换考研知识点总结

线性变换考研知识点总结一、线性变换的基本概念1.1 线性空间线性空间是指一个集合V，其上有两种运算：向量的加法和数乘，满足一定的性质，即：（1）对于任意u，v∈V，有u+v∈V；（2）对于任意k∈F（其中F是一个字段），有ku∈V；（3）满足加法交换律、结合律、分配律和单位元存在。

1.2 线性变换的定义设V和W是两个线性空间，若存在一个映射T: V→W，满足以下条件：（1）对于任意u，v∈V，有T(u+v) = T(u) + T(v)；（2）对于任意k∈F和任意u∈V，有T(ku) = kT(u)。

则称T为从V到W的线性变换。

1.3 线性变换的矩阵表示设V是n维线性空间，B = {v1, v2, ..., vn}是V的一组基，W是m维线性空间，C = {w1, w2, ..., wm}是W的一组基。

若T: V→W是一个线性变换，则存在一个m×n的矩阵A，使得对于任意u∈V，都有T(u)在基C下的坐标向量等于A乘以u在基B下的坐标向量。

1.4 线性变换的性质（1）零变换：对于任意线性空间V，零变换T：V→V定义为T(u) = 0，对于任意u∈V都有T(u) = 0。

（2）恒等变换：对于任意线性空间V和其基B，存在一个单位矩阵I使得对于任意u∈V 都有I(u) = u。

二、线性变换的基本定理2.1 线性变换的核与值域（1）核：对于线性变换T: V→W，其核Ker(T)定义为Ker(T) = {u∈V | T(u) = 0}，即T的所有零空间。

（2）值域：对于线性变换T: V→W，其值域Im(T)定义为Im(T) = {T(u) | u∈V}，即T所有可能的输出向量。

2.2 线性变换的满射与单射（1）满射：若线性变换T: V→W的值域等于W，即Im(T) = W，则称T是满射的。

（2）单射：若对于任意非零向量u，若T(u)≠0，则称T是单射的。

2.3 线性变换的秩和零度若线性变换T: V→W，则其秩rank(T)等于T的值域Im(T)的维数；零度nullity(T)等于T 的核Ker(T)的维数。

第讲线性变换

第2讲线性变换内容：1. 线性变换2. 线性变换的矩阵表示，特征值与特征向量3. 线性变换的值域、核及不变子空间线性空间是某类客观事物从量的方面的一个抽象，线性空间V 中自身到自身的一种线性映射称为V 的一个线性变换，线性变换研究线性空间中元素之间的最基本联系．介绍线性变换的基本概念并讨论它与矩阵之间的联系．§1 线性变换 1 线性变换定义1.1 设V 是数域P 上的线性空间，T 是V 到自身V 的一个映射，即对于V 中的任意元素x 均存在唯一的V y ∈与之对应，则称T 为V 的一个变换或算子，记为y x T =)(,称y 为x 在变换T 下的象，x 为y 的原象．若映射T 还满足:)()()(y lT x kT ly kx T +=+，P l k V y x ∈∈∀,,,,称T 为V 的线性变换．例1.1 二维实向量空间⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2,1,212i R R i ξξξ，将其绕原点旋转θ角的操作就是一个线性变换．证明： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21ξξx ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡==21)(ηηx T y , ⎩⎨⎧+=-=θξθξηθξθξηcos sin sin cos 212211 ， 22121cos sin sin cos R ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ξξθθθθηη。

可见该操作T 为变换，下面证明其为线性变换．22121,R z z z x x x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∀,R l k ∈,,⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+22112121lz kx lz kx lz lz kx kx lz kx ， )()(cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos )(21212211z lT x kT z z l x x k lz kx lz kx ly kx T +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+θθθθθθθθθθθθ，所以, T 是线性变换． 2 几种常用的线性变换1）单位变换把线性空间V 的任一向量都变为其自身的变换称为单位变换或恒等变换，记为 e T ，即：V x x x T e ∈∀=,)(．2）零变换把线性空间V 中的任一向量都变为零向量的变换称为零变换，记为 0T ，即V x x T ∈∀=,0)(0．3）变换相等如果1T ,2T 是V 的两个变换，V x ∈∀，均有)()(21x T x T =，则称变换1T 与2T 相等，记为21T T =．4）满秩（线性）变换若（线性）变换T 将所有的线性无关元素组仍变换为线性无关的元素组，则称之为满秩（线性）变换．5）变换的和21T T +，V x ∈∀，)()())((2121x T x T x T T +=+，则21T T T +=．6）变换的数乘kT ：V x ∈∀，)())((x kT x kT =． 7）负变换：)())((x T x T -=-．8）变换的乘积21T T ：V x ∈∀，))(())((2121x T T x T T =． 9）逆变换1-T ：V x ∈∀，若存在变换S 使得x x ST ≡))((，则称S 为T 的逆变换1-=T S ．10）变换的多项式：nn T TT T =，并规定e T T =0; ∑==Nn nn ta t f 0)( → ∑==Nn nn T a T f 0)( →)())((0∑==Nn n n x T a x T f ．说明：变换的乘积不满足交换律；只有满秩变换才有逆变换，e T ST =． 3 线性变换的性质1）线性变换把零元素仍变为零元素 2）负元素的象为原来元素的象的负元素3）线性变换把线性相关的元素组仍变为线性相关的元素组．注意，线性无关的元素组经过线性变换不一定是线性无关的，变换后的情况与元素组和线性变换有关． §2 线性变换的矩阵表示、特征值与特征向量有限维线性空间的任一元素（向量）都可由基元素（向量）唯一线性表示，元素（向量）可以用坐标表示出来，通过坐标把线性变换用矩阵表示出来，从而可把比较抽象的线性变换转化为具体的矩阵来处理． 1 线性变换的矩阵表示设T 是线性空间n V 的一个线性变换，且},,,{21n x x x 是n V 的一个基，nV x ∈∀，则存在唯一的坐标表示⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==∑=n n ni i i x x x x x ξξξξ 21211][,有)()(2211n n x x x T x T ξξξ+++=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n x T x T x T ξξξ 2121)]()()([⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n x x x T ξξξ 2121)(,要确定线性变换T ，只需确定基元素在该变换下的象就可以了．定义2.1 设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=ni i i n i a a a x x x x T 2121][)(，A x x x a a a a a a a a a x x x x x x T n nn n n n n n n ][][),,,(212122221112112121 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=，对于任意元素x ，在该基下，变换后)(x T 的坐标表示为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n x x x x T ηηη 2121][)(，即[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n A x x x x x x T x T ξξξξξξ 21212121,,,),,,()(,可知：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n A ξξξηηη 2121,即： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡↔n x ξξξ 21，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡↔n A x T ξξξ 21)(,把A 称为T 在基},,,{21n x x x 下的矩阵表示．定理2.1 设},,,{21n x x x 是n V 的一个基，1T 、2T 在该基下的矩阵分别为A 、B ．则有（1）)]([])[(212121B A x x x x x x T T n n +=+（2）)]([])[(21211kA x x x x x x kT n n =（3）)]([])[(212121AB x x x x x x T T n n =（4）121211][][--=A x x x x x x T n n推论 2.1 设i mi i t a t f ∑==0)(为纯量t 的m 次多项式，T 为线性空间n V 的一个线性变换，且在n V 的基},,,{21n x x x 下的矩阵表示为A ，则)(][])[(2121A f x x x x x x T f n n =，其中i mi i A a A f ∑==0)(，I A =0.推论 2.2 设线性变换T 在n V 的基},,,{21n x x x 下的矩阵表示为A ，元素x 在该基下的坐标为),,,(21n ξξξ ，则)(x T 在该基下的坐标),,,(21n ηηη 满足 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n A ξξξηηη 2121 ．定理2.2 设T 在n V 的两个基},,,{21n x x x 及},,,{21n y y y 的矩阵分别为A 和B ，且C x x x y y y n n ][][2121=，则AC C B 1-=.即A 和B 相似，记为B A ~．线性变换在不同基下的矩阵是相似的；反之，如果两个矩阵相似，那么它们可以看成同一个线性变换在两组不同基下的矩阵．定理 2.3 n 阶方阵A 和B 相似的充要条件是A 和B 为同一线性变换在不同基下的矩阵表示． 2 特征值与特征向量定义2.2 设T 是数域P 上线性空间V 中的线性变换．如果对于数域P 中某一数λ,存在非零向量α，使得λαα=)(T . （1）则称λ为T 的一个特征值，而α称为T 的对应于特征值λ的一个特征向量．式(1)表明，在几何上，特征向量α的方位，经过线性变换后保持不变．特征向量不是被特征值惟一确定；但是，特征值却被特征向量惟一确定．设n x x x ,,,21 是线性空间n V 的基，线性变换T 在该基下的矩阵表示是)(ij a A =．令0λ是T 的特征值，属于0λ的特征向量nn x x x x ξξξ+++= 2211,则由式(1)知)(x T 及x 0λ的坐标分别是⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n A ξξξ 21,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n ξξξλ 210，有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n A ξξξ 21=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n ξξξλ 210，即 ()0210=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-n A E ξξξλ , （2）由于0≠x ，因此，n ξξξ,,,21 不全为零，从而就有()0det 0212220211121100=---------=-nnn n n n a a a a a a a a a A E λλλλ定义2.3 设)(ij a A =是数域P 上的n 阶矩阵，λ是参数，称A的特征矩阵AE -λ的行列式())(det 212222111211λϕλλλλ=---------=-nnn n nna a a a a a a a a A E为矩阵A的特征多项式．它是P 上的一个n 次多项式．()λϕ的根(或零点) 0λ，即()0=λϕ，称为A 的特征值(根)；而相应于方程组（2）的非零解向量()T n ξξξ,,,21 称为A 的属于特征值0λ的特征向量．说明：如果0λ是线性变换的特征值，那么0λ必定是矩阵A 的特征多项式()()A E -=λλϕdet 的一个根；反之，如果0λ是()λϕ在数域P 中的一个根，即有()()0det 00=-=A E λλϕ,那么齐次线性方程组（2）就有非零解．于是非零向量n n x x x x ξξξ+++= 2211就满足式(1)，从而0λ是T 的特征值，x 是T 的属于0λ的特征向量．所以，欲求线性变换T 的特征值和特征向量，只要求出T 的矩阵A 的特征值和特征向量就行了．换言之，T 的特征值与A 的特征值相一致，而T 的特征向量在n V 的基下的坐标(列向量)与A 的特征向量相一致．因此，计算特征值和特征向量的步骤如下：第一步：取定数域P 上的线性空间n V 的一个基，写出线性变换T 在该基下的矩阵A ；第二步：求出A 的特征多项式()λϕ在数域P 上的全部根，它们就是T 的全部特征值；第三步：把求得的特征值逐个代入方程组(2)，解出矩阵A 属于每个特征值的全部线性无关的特征向量．第四步：以A 的属于每个特征值的特征向量为n V 中取定基下的坐标，即得T 的相应特征向量．例 2.1 设线性变换T 在3V 的基321,,x x x 下的矩阵是⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=122212221A ，求T 的特征值和特征向量．解容易算出A 的特征多项式是()()=-=A E λλϕdet ()()511222122212-+=---------λλλλλ.因此，T 的特征值是1λ=一1(二重特征值)和2λ=5．特征方程()01=-x A E λ的一个基础解系为:T )1,0,1(-，T )1,1,0(- ,T 的属于1λ的两个线性无关的特征向量为311x x y -=，322x x y -=，T 的属于1λ的全体特征向量为:2211y k y k + ,(P k k ∈21,不同时为零)；特征方程()02=-x A E λ的一个基础解系为T )1,1,1(，记3213x x x y ++=，则T 的属于2λ的全体特征向量为：33y k ，(P k ∈3不等于零)．定理 2.4 对于线性空间n V 的线性变换T 的任一特征值0λ，T 的属于0λ的全部特征向量，再添上零向量所构成的集合{}n V x x x T x V ∈==,)(00λλ是n V 的一个线性子空间．事实上，设0,λV y x ∈，则有x x T 0)(λ=，y y T 0)(λ=；于是：()()y x y x y T x T y x T +=+=+=+000)()(λλλ，()()()()kx x k Tx k kx T 00λλ===，这就是说明y x +与kx 均属于0λV ．§3 线性变换的值域、核及不变子空间 1 线性变换的值域和核定义3.1 设数域P 上的线性空间n V 和m V ，T 是 n V 到mV 的一个线性映射，T 的全体像组成的集合称为T 的值域，用)(T R 表示，也称为T 的像空间，记为n TV ，即(){}m n n V V T TV T R ⊂∈==αα)(；所有被T 变成零元素（零向量）的元素（向量）构成的集合称为T 的核，记为)ker(T 或)0(1-T ，有时也称)ker(T 为T 的零空间，记为)(T N ，即(){}n n V V T T T N ⊂∈===ααα,0)()ker(．当T 是线性变换时，称)(T R 和)(T N 分别为线性变换T 的值域和核．可以证明，)(T R 和)(T N 分别是m V 和n V 的线性子空间．定义3.2 称)(T R 的维数)(dim T R 为线性变换T 的秩，记为)(T r ；称)(T N 的维数)(dim T N 称为线性变换T 的零度，记为)(T null ．例3.1 设Ax x T =)(,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100011011A ，求T 的值域和核．解令 {}Tx x x x A A A A ),,(,,,321321==，(){}()31332211,A A span A x A x A x T R =++=，其中()()TTA A 1,0,0;0,1,131==．满足0=Ax 的()αk x T=-=0,1,1，故}{)(αspan T N =.2 线性变换的不变子空间定义3.3 如果T 是线性空间V 的线性变换，1V 是V 的子空间，并且对于任意一个1V x ∈，都有1)(V x T ∈，则称1V 是T 的不变子空间．定义3.4 以m C 表示全体m 维复向量在复数域C 上构成的线性空间，A 为n m ⨯复矩阵，其列(向量)为n ααα,,,21 ．显然，m i C ∈α，n i ,,2,1 =．子空间),,,(21n span ααα 称为矩阵A 的列空间(值域)，记作)(A R ，即),,,()(21n span A R ααα =．记),,,(21n A ααα =，()nTn C y y y y ∈=,,,21 .则)(A R 可表成{}nC y Ay A R ∈=)(．显然，A 的秩等于A 的值域的维数，即)(dim )(A R A rank =．定义 3.5 设A 为n m ⨯复矩阵，称线性方程组0=Ax 在复数域上的解空间为A的化零空间(核)，记作)(A N ，即}0{)(==Ax x A N .显然，)(A N 是n C 的一个子空间，称)(A N 的维数为A 的零度，即)(dim )(A N A null =.定理3.1 （1）n V T N T R dim )(dim )(dim =+ （2）)()(dim A rank A R =（3）n A N A R =+)(dim )(dim ，n 为A 的列数．例3.2 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=311211A ,求)(A null ．解由0=Ax 解得()T k x 2,1,5-=，故1)(=A null ．定理3.2 设A 为n m ⨯矩阵，则n A null A rank =+)()(．证明因为齐次线性方程组0=Ax 的解空间的维数(基础解系包含的线性无关向量的个数)为)(A rank n -，故上式成立．下面给出怎样利用不变子空间的概念将线性变换的矩阵简化为简单的准对角矩阵或对角矩阵．假设{}k S ααα,,,21~=是T 的不变子空间W 的一个基，可以将~S 扩充为V 的一个基{}n k k S ααααα,,,,,,121 +=．T 是V 上的一个线性变换．对S 中的每个基向量()W T j j ∈αα,，可以表示成()()()()nnn k n k k kn n n nnk k k k k kk k k kkk k k kk a a a a T a a a a T a k a T a a T αααααααααααααααα+++++=+++++=++=++=+++++++++11111111111111111111线性变换T 在基S 下的矩阵是⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=++++++nn nk n k k k kn kk kkk n k k a a a a a a a a a a a a A1111111111110000， A 可以分块写成⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=221211A A A A . 定理 3.3 如果V V V =⊕21，并且1V ，2V 是T 的两个不变子空间，即()11V V T ⊆，()22V V T ⊆．则线性变换T 的矩阵为准对角形⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22110A A A . 特别地，若所有i V 都是一维子空间时，则矩阵A 简化为对角矩阵()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==n n a a a a a a diag A 2121,,,. 定理 3.4 设T 是线性空间n V 的线性变换,n λλλ,,,21 是T 的全部不同的特征值,则T 在某一基下的矩阵为对角矩阵的充分必要条件是n V V V n =+++λλλdim dim dim 21 .可知，线性变换T 的矩阵简化为一个准对角矩阵(或对角矩阵)与线性空间n V 可分解为若干个不变子空间的直和是相当的．。

4.2线性变换的矩阵

矩阵A称为线性变换下的矩阵. 矩阵称为线性变换 σ 在基 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 下的矩阵称为
注： ① A的第列是 σ (ε i ) 在基 ε 1 , ε 2 ,L , ε n下的坐标，的第i列是下的坐标，的第
它是唯一的. 在取定一组基下的矩阵是唯一的. 它是唯一的. 故 σ 在取定一组基下的矩阵是唯一的. 单位变换在任意一组基下的矩阵皆为单位矩阵； ② 单位变换在任意一组基下的矩阵皆为单位矩阵；零变换在任意一组基下的矩阵皆为零矩阵；零变换在任意一组基下的矩阵皆为零矩阵；数乘变换在任意一组基下的矩阵皆为数量矩阵；数乘变换在任意一组基下的矩阵皆为数量矩阵；
高等代数
命题4.2.1设 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 是线性空间的一组基， ,τ 是线性空间V的一组基 σ 的一组基，命题
的线性变换，为V的线性变换，若 σ (ε i ) = τ (ε i ), i = 1, 2,L , n . 的线性变换则 σ =τ. 证：对 ∀ξ ∈ V , ξ = x1ε 1 + x2ε 2 + L + xnε n
σ (ε 1 ) = α11ε 1 + α 21ε 2 + L + α n1ε n σ (ε 2 ) = α12ε 1 + α 22ε 2 + L + α n 2ε n LLLLLLLLLLLLL σ (ε ) = α ε + α ε + L + α ε n nn n 1n 1 2n 2
从而， (ξ ) = x1σ (ε 1 ) + x2σ (ε 2 ) + L + xnσ (ε n ). 从而， σ
σ 由此知，完全确定. 由此知， (ξ ) 由 σ (ε 1 ),σ (ε 2 ),L ,σ (ε n ) 完全确定

矩阵分析第四讲

设 x1 , x2 ,
, xn 是线性空间V的一组基，T1,T2 为 , n.
V的线性变换，若 T1 ( xi ) = T2 ( xi ), i = 1, 2, 则 T1 = T2 证：对 ∀x ∈V , x = k1 x1 + k2 x2 +
T1 ( x )＝k1T1 ( x1 ) + k2T1 ( x2 ) +
则有 T ( kr +1 xr +1 +
∴ y = k r +1 xr +1 +
即 y 可被 x1 , x2 ,
, xr 线性表出.
设
y = k1 x1 + k2 x2 +
+ k r xr
于是有 k1 x1 + k2 x2 + 由于
x1 , x2 , , xn = kn = 0
+ k r xr , − k r +1 xr +1 −
, xn
1）T 的值域 R(T ) 是由基象组生成的子空间，即
R(T ) = L ( T ( x1 ), T ( x2 ),
, T ( xn ) )
2） T 的秩＝A的秩.
证：1） ∀y ∈ V , 设 y = k1 x1 + k2 x2 + 于是
T ( y ) = k1T ( x1 ) + k2T ( x2 ) + ∈ L ( T ( x1 ), T ( x2 ),
, xn下的矩阵.
注： ① 给定Vn的基 x1 , x2 , , xn 和线性变换T，
矩阵A是唯一的. ② 单位变换在任意一组基下的矩阵皆为单位矩阵；零变换在任意一组基下的矩阵皆为零矩阵；数乘变换在任意一组基下的矩阵皆为数量矩阵；

第五章线性变换 S2 线性变换的矩阵

§5.2.2 线性变换在不同基底下矩阵的关系
设线性空间V中线性变换T在两组基底[1, 2,…, n] 和[1, 2,…, n]下的矩阵为A和B，且由基底[1, 2,…, n] 到[1, 2,…, n]的过渡矩阵为M，即
[T1,T2, ,Tn] 1,2, ,n A
T1,T2, ,Tn 1,2, ,n B
0 1
0 1
=E21+E22
(T+S)(E22)=T(E22)+S(E22)=E22N+ME22
0 1
01 =E21–E22
23 23
(T S )( E11 ) 2E11 E12 2E21
即
(T (T
S S
)( )(
E12 E21
) )
E11
2E22 E21 E22
(T S )( E22 )
唯一. 且
x11 x2 2 xn n
又T是线性变换，（保持线性组合不变）必有
2
2
T T ( x11 x2 2 xn n )
x1T1 x2T 2 xnT n
(1)
这说明当已知 T1,T 2 , ,T n 时，每个向量的象由(1)确定，即线性变换被完全确定.
定理1 设[1, 2,…, n]是线性空间V的一个基底，T是V 上的线性变换. 则线性变换T被该基底的象T1, T2,…, Tn所确定.
由定理1知道T是唯一的，因此我们找到了所求
的线性变换T——其在基底[1, 2,…, n]下的矩阵恰为
任意的n阶矩阵A.
定理2 对于每个n阶矩阵A，在n维线性空间V中必存
在唯一的线性变换T，使得T在V中给定的基底
下的矩阵为A.
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线性变换、二阶矩阵及其乘法

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线性变换、二阶矩阵及其乘法
1.了解二阶矩阵的概念． 2.二阶矩阵与平面向量的乘法、平面图形的变换． (1)了解矩阵与向量的乘法的意义，会用映射与变换的观点看待二阶矩阵与平面向量的乘法． (2)理解矩阵变换把平面上的直线变成直线(或点)，即A(λ1α＋λ2β)＝λ1Aα＋λ2Aβ. (3)了解几种常见的平面变换：恒等变换、伸缩变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换． 3.变换的复合——二阶矩阵的乘法 (1)了解矩阵与矩阵的乘法的意义． (2)理解矩阵乘法不满足交换律． (3)会验证二阶矩阵乘法满足结合律. (4)理解矩阵乘法不满足消去律.
因为矩阵M表示反射变换，矩阵N表示旋转变换，所以变换后所得图形与原图形全等.
解：在矩阵N＝的作用下，一个图形变换为其绕原点逆时针旋转90°得到的图形，在矩阵M＝的作用下，一个图形变换为与之关于直线y＝x对称的图形．因此△ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形与△ABC全等，从而其面积等于△ABC的面积，即为1.
几种特殊线性变换
旋转变换直线坐标系xOy内的每个点绕原点O按逆时针方向旋转α角的旋转变换的坐标变换公式是对应的二阶矩阵为．
平面上任意一点P对应到它关于直线l的对称点P′的线性变换叫做关于直线l的反射．
在直角坐标系xOy内将每个点的横坐标变为原来的k1 倍，纵坐标变为原来的k2倍，其中k1，k2为非零常数，这样的几何变换为伸缩变换．
03
点A′(4,5)，点B(3，－1)变成了点B′(5,1)．求矩阵M；若在矩阵M的变换作用下，点C(x,0)变成了点C′(4，

矩阵论第四讲

第四讲主要内容：线性变换，线性变换的矩阵表示，同一线性变换在不同基下的表示矩阵的相互关系‐‐‐矩阵的相似理论第三章线性变换3.1 线性变换及其矩阵表示定义3.1 设是数域上的线性空间，映射满足(1) 则称是从线性空间到线性空间的线性变换。

称的零空间或核，称的值域。

例1练习取定的基，的基，是一个线性变换，则可用一个矩阵表示。

事实上，，有坐标，使得称是线性变换在选定基下的表示矩阵。

记(2) 现在考察坐标的变换，对，有坐标使得从而即的坐标为。

也就是说，在选定基下，线性变换转换为表示矩阵对坐标的乘法运算。

例2 求在基下的表示矩阵，问3.2 线性变换在不同基下的表示矩阵之间的关系为简单计，只考虑同一个空间之间的线性变换。

设是线性空间到自身的一个线性变换。

是的两组基。

设基变换公式为(3)在这两个基下的表示矩阵分别为，则从而所以(4)可见在这两个基下的表示矩阵是相似的，即满足(4)，记为。

相似矩阵的性质：（i）反身性；（ii）对称性；（iii）传递性；（iv），这里是一个多项式。

例3 设数域上的线性空间有两组基，满足线性变换在基下的表示为矩阵为求在基下的表示矩阵，计算。

3.3 矩阵的相似理论空间上的线性变换在不同的基下的表示矩阵是相似的，反过来任何两个相似矩阵都是某一线性变换在不同基下的表示矩阵。

求矩阵的相似最简形和找一个适当的基使得某一线性变换在该基下的矩阵表示是最简的就是同一个问题，它是矩阵的相似理论要研究的问题。

定义3.2 设是一个线性变换，若存在非零向量使得，则称是线性变换的一个特征值，非零向量称为相应于特征值的特征向量。

线性变换的特征值和特征向量的求法：任取的一组基，设在该基下的表示矩阵为，设特征向量在该基下的坐标为，即，则所以(5)(5)是一个通常矩阵的特征值问题。

解(5)可得特征值，和矩阵的特征向量，从而可得线性变换的特征值和相应的特征向量。

练习求的特征值和特征向量。

如果线性变换有一组特征向量构成空间的基，则可见线性变换在其特征向量构成的基下的表示矩阵数对角阵。

矩阵论课件

P 是数域，若 n是正整数，则系数属于 P 而未知元为 x 的
所有次数不超过 n 的多项式的集合，此集合连同零多项式在内按通常多项式的加法及数与多项式的乘法，构成数域 P 上的一个线性空间全体记作： Pn [ x ].
4 December 2014 河北科技大学
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, t 可以由1 , 2 ,
, s 线性表
, t 线性相关.
推论1 若 1 , 2 ,
, t 可以由 1 , 2 ,
, s 线性表示，且
1 , 2 , , t 线性无关，则 t s .
推论2 若 1 , 2 ,
, t 与 1 , 2 , , s 等价，且均线性无
实数域 R 上的线性空间简称为实线性空间；复数域 C 上的线性空间简称为复线性空间.
下面看几个线性空间的例子.
4 December 2014
河北科技大学
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矩阵论
例1 若 P= 是数域，V 是分量属于 P= 的 n元有序数组的集合
V a1 , a2 ,
, an | ai P，i 1, 2,
矩阵论
例4 所有定义在区间 a , b a t b 上的实值连续
函数全体构成的集合，按照函数的加法及数与函数的数量乘法，构成实数域 R 上的一个线性空间，记作： R a , b .
例5 实（复）系数齐次线性方程组 Ax 0（ A R mn
或 C mn ； x R n 或 C n ；行向量和列向量不做区别）的解空间 S 构成 R 或C 上的一个线性空间.
才成立，称 x1 , x2 ,

线性变换的运算

则 i cij j ,
j 1
n
i 1,2, , r
就是属于这个特征值 0 的全部线性无关的特征向量. 而 k11 k22 krr , （其中， k1 , k2 , , kr P 不全为零）就是的属于 0 的全部特征向量.
§7.4 特征值与特征向量
§7.4 特征值与特征向量
2. 求特征值与特征向量的一般步骤
i) 在V中任取一组基 1 , 2 , , n ,写出在这组基下
的矩阵A .
ii) 求A的特征多项式 E A 在P上的全部根它们就是的全部特征值. iii) 把所求得的特征值逐个代入方程组
( E A) X 0
§7.4 特征值与特征向量
二、特征值与特征向量的求法
分析：设 dimV n, 1 , 2 ,, n 是V的一组基，
线性变换在这组基下的矩阵为A.
设 0是的特征值，它的一个特征向量在基
x01 1 , 2 , , n 下的坐标记为 , x 0n
§7.4 特征值与特征向量
把 5 代入齐次方程组 ( E A) X 0, 得
4 x1 2 x2 2 x3 0 2 x1 4 x2 2 x3 0 2 x1 2 x2 4 x3 0
解得它的一个基础解系为： (1,1,1) 因此，属于5的一个线性无关的特征向量为
并求出它的一组基础解系.(它们就是属于这个特征值的全部线性无关的特征向量在基 1 , 2 , , 下的坐标.) n
§7.4 特征值与特征向量
如果特征值 0 对应方程组的基础解系为：
(c11 , c12 , , c1n ),(c21 , c22 ,, c2 n ),,(cr 1 , cr 2 ,, crn )

线性变换

EA A E A .
其次，对于线性变换还可以定义加法。
设A，B是线性空间V的两个线性变换，
定义它们的和A+B为
(A B )( ) A ( ) B ( ) ( V ).
容易证明，线性变换的和还是线性变换。事实上，
(A B )( ) A ( ) B ( ) (A ( ) A ( ) B ( ) B ( ))
(A )( ) A ( ) ( V ).
容易看出，负变换(-A)也是线性的，且
A (A ) O .
线性变换的乘法对加法有左右分配律，即
A (B C ) A B A C , (B C )A B A CA .
事实上，
(A (B C )( ) A ((B C )( )) A (B ( ) C ( )) A (B ( )) A (C ( )) (A B )( ) (A C )( ) (A B A C )( ).
第七章
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7

线性变换
线性变换的定义线性变换的运算线性变换的矩阵特征值与特征向量对角矩阵线性变换的值域与核不变子空间
表示符号

A N A N A N
B C D E F G H I J K LM O P Q R S T UV WX YZ B C D E F G H I J K L M O P Q R S T U V W X Y Z B C D E F G H I J K LM O P Q R S T UV WX YZ
f ( x) am x m am1 x m1 a0
是P[x]中一多项式，A 是V的一线性变换，我们定义 f (A ) a A m a A m1 a E

矩阵论线线性映射与性变换PPT下载

自然基底
（2）求在 1,2 ,3 下的矩阵.
解：（1）由已知，有
1
(1,2 ,3 ) (1, 2, 3 )
0 2
0 1 1
3 1 0
(
1
,
2
,
3
)
X
,
即：(X1
,2
1
,0 3
2
)
0
1
1
3
(10,12
为, 3过)渡021矩110阵031
(
1
,
2
,
3
)
X
,
5 0 5
(1,2 ,3 )
(1, 2 , 3 )
0 3
1 6
1 9
,
设在标准基 1,2,3 下的矩阵为A，即
(1, 2 , 3 ) (1, 2 , 3 )A (1,2,3 ) ((1, 2, 3 )X ) (1, 2, 3 ) X
(1, 2 , 3 )AX
5 0 5
因而，
AX
0 3
1 6
1 9
,
5 0 5
例设线性变换A 在基 1,2下,的3 矩阵是
2 2 例 1 定义了标准内积的是一酉空间。
这时像(x2,y2) 与原像 (x1,y1)之间的关系为定理5 设是酉空间上的一个线性变换，则下列命题是等价的：
教学目的
掌握线性映射的定义熟练掌握特征值、特征向量的定义和性质，掌握矩阵可对角化的条件理解酉空间的概念掌握酉空间与实内积空间的异同。
在讨论线性空间的同构时，我们考虑的是一种保持向量的加法和数量乘法的一一对应. 我们常称两线性空间之间保持加法和数量乘法的映射为线性映射(比同构映射少了一一对应的条件)

【总结】线性变换总结篇高等代数

【关键字】总结第7章线性变换7.1知识点归纳与要点解析一．线性变换的概念与判别1.线性变换的定义数域上的线性空间的一个变换称为线性变换，如果对中任意的元素和数域中的任意数，都有：，。

注：的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。

2.线性变换的判别设为数域上线性空间的一个变换，那么：为的线性变换3.线性变换的性质设是数域上的线性空间，为的线性变换，。

性质1. ;性质2. 若线性相关，那么也线性相关。

性质3. 设线性变换为单射，如果线性无关，那么也线性无关。

注：设是数域上的线性空间，，是中的两个向量组，如果：记：于是，若，是的一组基，是的线性变换，是中任意一组向量，如果：记：那么：设，是矩阵的列向量组，如果是的一个极大线性无关组，那么就是的一个极大线性无关组，因此向量组的秩等于秩。

4. 线性变换举例（1）设是数域上的任一线性空间。

零变换：；恒等变换：。

幂零线性变换：设是数域上的线性空间的线性变换，如果存在正整数，使得，就称为幂零变换。

幂等变换：设是数域上的线性空间的线性变换，如果，就称为幂等变换。

（2）,任意取定数域上的一个级方阵，令：。

（3），。

（4），是中一固定矩阵，。

二．线性变换的运算、矩阵1. 加法、乘法、数量乘法（1）定义：设是数域上的线性空间，是的两个线性变换，定义它们的和、乘积分别为：对任意的，任取，定义数量乘积为：对任意的的负变换为：对任意的则、、与都是的线性变换。

（2）={为的线性变换}，按线性变换的加法和数乘运算做成数域上的维线性空间。

2. 线性变换的矩阵（1）定义：设是数域上的维线性空间，是的线性变换，是的一组基，如果：那么称矩阵为线性变换在基下的矩阵。

此时：（2）线性变换的和、乘积、数量乘积、逆变换、负变换及线性变换多项式的矩阵：设是数域上的维线性空间的一组基，，设它们在下的矩阵分别为。

1），是数域上的线性空间到数域上的线性空间的同构映射，因此。

2）可逆可逆3）①、与在基下的矩阵分别为与； ② 任取，在基下的矩阵为；③ 若为可逆线性变换，则在基下的矩阵为；④ 设()1110mm m m f x a x a xa x a --=++++为数域P 上的任一多项式，那么()1110m m m m f a a a a σσσσε--=++++（ε为V 的恒等变换）在基12,,,n ααα下的矩阵为：()1110m m m m n f A a A a A a A a E --=++++。

第 4 讲线性变换

��，(��1+��2)�� = ��1�� +��2 ��。
CQU
11
线性变换的定义
(5) 线性变换的数乘��: ∀�� ∈ ��, ��)�� = ��(�� 。 (6) 线性变换的乘积��1��2: ∀�� ∈ ��, ��1��2)�� = ��1(��2�� (7) 逆变换��−1: ∀�� ∈ ��,若存在线性变换S使得(��)�� ≡ ��，则称S为T的逆变换�� = ��−1。 (8) 线性变换的多项式:
下面讨论线性变换的一些运算。
CQU
10
线性变换的定义
二、线性变换的运算
(1) 恒等变换�� :∀�� ∈ ��, �� = ��。
(2) 零变换��0：∀�� ∈ ��, ��0�� = 0。
CQU
6
线性变换的定义
① ��(��) = ��(0��) = 0(��) = �� ② ��(−��) = (−1)(��) = −(��) ③ 元素组��1, ��2, ⋯ , ��线性相关，即存在一组不全为零的
=

线性代数的本质（3）——矩阵与线性变换

线性代数的本质（3）——矩阵与线性变换Unfortunately, no one can be told what the Matrix is. You have to see it for yourself ---Morpheus正如墨菲斯所说：没⼈能够清楚地告诉你矩阵是什么，你必须⾃⼰亲⾃看看。

3.1 线性变换（Linear transformation）变换实际上是“函数”的⼀种，为啥不采⽤“函数”来命名。

使⽤“变换”就暗⽰可以按照某种特定的⽅式“可视化”输⼊与输出的关系，变换作为动词，我们⽤⼀种运动的⽅式来思考问题。

运动的⽅式看变换（⼀）什么是线性变换如果将变换做如下限制：直线变换后依然是直线，不能有弯曲原点保持不点我们将这样的变换称为“线性变换”。

严格定义：如果变换是线性的，则需要满⾜如下性质则称为线性变换（与上⾯的两条限制是等价的）：eg：关于原点的旋转就是线性变换。

（⼆）⾮线性变换的特例：1）变换后不能保持直线2）变换后原点位置发⽣了变化如：仿射变换3）变化后原来的直线变弯曲了3.2 线性变换的数值表达那么如何⽤数值的⽅法来表达这种变换？我们来看⼀个变换：在此变换过程中，我们记录基向量终点在变换后坐标的落脚点运动的⽅式看变换，注意基坐标位置的改变那么我们来看该变换后的向量利⽤变换后的基坐标来表⽰：变换后的结果那么该变换下，任意向量变换后的向量可以表⽰为：可以看出，⼆维线性变换仅由四个数字完全确定，⽽这四个数字对应于基向量变换后的坐标因为线性变换可以视为”⽹格线平⾏且等距分布“，所以变换前后的向量关于基向量的线性组合保持不变！3.2 变换⽤矩阵来表达如果将这个变换组成⼀个矩阵 ,那么矩阵的列向量对应变换后基向量的坐标：那么将向量进⾏该变换，实际上就是这与缩放基向量的思想保持⼀致。

（⼀）矩阵乘法⼀般化，任意向量经过变换，实际上就是这个过程就可以定义为“矩阵乘法”。

但当我们把矩阵的列看做变换后的基向量，把矩阵乘法看做变换后向量的线性组合，这样想是不是更有意思？注意黄线（⼆）特殊变换坐标系逆时针旋转90度，对应的变换矩阵为剪切变换（错切）（x坐标保持不变，y坐标变化为对⾓线），对应的变换矩阵为3.3 总结1. 线性变换是操作空间的⼀种⼿段，它能够保持⽹格线平⾏且等距，并保持原点不动；2. 矩阵乘法可以视为⼀种基向量的线性组合3.矩阵乘法为计算线性变换作⽤于特定向量提供了⼀种途径，以⼆维空间中的变换为例：经过⼀定的线性变换，我们关注基坐标变换后的位置，将其新的位置坐标构成矩阵，特别地，矩阵的列向量为描述线性变换提供了可能。

矩阵分析-线性变换

因为可逆，由(2)，为单射，又 (0) 0,
k1 1 k2 2 kn n 0
而 1 , 2 , , n 线性无关，所以 ki 0, i 1,2, , n. 故 ( 1 ), ( 2 ), , ( n ) 线性无关.
§2.2 线性变换的运算
一、线性变换的乘积二、线性变换的和三、线性变换的数量乘法四、线性变换的逆五、线性变换的多项式
一、线性变换的乘积
1．定义
设 , 为线性空间V的两个线性变换，定义它们的乘积为： , V 则也是V的线性变换.
h x f x g x , p x f x g x
则有， h f g ,
p f g
② 对 f ( x ), g( x ) P[ x ], 有
f g g f f g g f
即线性变换的多项式满足加法和乘法交换律.
练习：设 , 为线性变换，若 E ,
证明： k k k k 1 ,
k 1.
证：对k作数学归纳法.
当k=2时，若 E , 对①两端左乘，得对①两端右乘，得上两式相加，即得
3．负变换
设为线性空间V的线性变换，定义变换为：
,
V
则也为V的线性变换，称之为的负变换.
注： ( ) 0
三、线性变换的数量乘法
1．定义
设为线性空间V的线性变换，k P , 定义 k与的数量乘积 k 为：
2．基本性质
（1）满足交换律：（2）满足结合律：（3） 0 0 , 0为零变换. （4）乘法对加法满足左、右分配律：

04 线性变换及其矩阵

T 是正交变换 T 保持向量的长度不变 T 把 V（F）的标准正交基变成标准正交基 T 在标准正交基下的矩阵是正交（酉）矩阵 3 正交矩阵和酉矩阵的性质正交矩阵 C：CTC=I
酉矩阵 U： UHU=I 正交矩阵 C 和酉矩阵 U 有如下性质 1）det C= ±1; |det U|=1. 2） C−1 = CT ;U −1 = U H 3）正交（酉）矩阵的逆，乘积仍为正交（酉）矩阵
3, 线性变换相关的空间 ★象空间
R(T ) = {β | ∃α ∈Vn (F ), s.t.β = T (α)}
dimR(T)为线性变换 T 的秩 ★零空间
N (T ) = {α | T (α) = 0}
dimN(T)为线性变换 T 的零度。 [例] 求线性变换TA 的象空间和零空间。
4. 线性变换的运算
a2n
an1 an2
ann
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤⎦
=
[α1,
α 2
,
,
α n
]
A
1.
定义：把
A
称为 T
在基
{α 1
,
α 2
,
,
α n
}
下的矩阵。
对
P4
[X]上的线性变换
D
=
d dx
，
i) 求 D 在基{1，X，X2，X3}下的变换矩阵。
ii)求向量 p(x) = 10− 2x + 2x2 + 3x3 在变换 D 下的象。
四，正交变换和酉变换讨论内积空间[V；（α，β）] 中最重要的一类变换。
1 定义
如果变换 T 保持内积： (T α,T β) = (α, β) ，称为内积空间上的正交变换。
空间为欧氏空间，称为正交变换；空间为酉空间，称为酉变换。

1-2 线性变换及其矩阵表示

(c) 线性变换的运算设T1,T2是线性空间V的两个线性变换，定义它们的和为：T1 T2 x T1 x T2 x , x V . T1+T2仍然是线性空间V上的线性变换。设T是线性空间V的线性变换，定义它的负变换为： (-T)(x)=-T(x)。这也是一个线性变换。设T是线性空间V的线性变换，k∈K，定义数乘变换为：(kT)(x)=kT(x)。这也是一个线性变换。注：线性空间V上的全体线性变换所构成的集合对于线性变换的加法与数量乘法构成数域K上的一个线性空间。
设T为线性空间V的线性变换，若有V上的变换S 使得：TS=ST=Te，则称T为可逆变换，并称S为T 的逆变换，记为S=T-1。 1. 可逆变换的逆变换仍然是线性变换。 2. 线性变换T可逆当且仅当T是一一对应。 3. 可逆线性变换把线性无关的向量组变成线性无关的向量组。 4. 设x1,x2,…,xn是线性空间V的一组基，T是V上的线性变换，则T可逆当且仅当T(x1),T(x2),…,T(xn)也是V的一组基。 (T1T2 )1 T21T11 . 5. 若T1,T2都是可逆变换，则
求T在标准基e1,e2,e3下的矩阵。
例7 设Pn[x]中的线性变换T为：T(f (x))=f ’(x)， x2 xn 基I： f 0 1, f1 x , f 2 2! ,, f n n! , g0 1, g1 x , g2 x 2 ,, gn x n , 基II：求T在两组基下的矩阵。
1.2 线性变换及其矩阵表示
1. 线性变换及其运算
2. 线性变换的矩阵表示 3. 特征值和特征向量
1. 线性变换及其运算
(a) 映射设S、S´是给定的两个非空集合，如果有一个对应法则σ，通过这个法则σ对于S中的每一个元素a，都有S´中一个唯一确定的元素a´与它对应, 则称σ : S S' 为S到S´的一个映射，记作 : S S '。称 a´为 a 在映射σ下的象，而 a称或为a ´在映射σ下的原象，记作σ(a)＝a´，或 : a a. 若 a b, 都有 (a ) (b), 则称为单射；若 a ' S ', 都存在a∈S，(a)=a’，则称为满射；既是单射又是满射的称为双射，或一一对应。

线性变换复习

线性变换复习1、线性变换线性变换是研究线性空间和矩阵的重要几何工具，我们可以借助线性变换来探讨空间的元素之间关系，可以利用线性变换和矩阵关系来研究矩阵的结构。

这就是线性变换的意义。

所谓线性变换是指数域P 上线性空间（不一定有限维）V 上的变换σ，它满足： 1）()()()σαβσασβ+=+上 2）()()k k σασα=其中,,V k P αβ∈∈。

如果假设12,,,n εεε 为V 的基，则有矩阵A 使得：121212[,,,][(),(),,()][,,,]n n n A σεεεσεσεσεεεε=这个矩阵称为σ在此基下矩阵。

如果1,niii k k P αε==∈∑，则有：11221212()[(),(),,()][,,,]n n n n k k k k A k k σασεσεσεεεε⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦V 上线性变换的全体组成一个线性空间，由此线性变换和矩阵关系可以描述为：●线性变换的和对应矩阵的和● 线性变换的的乘积对应矩阵的乘积● 线性变换和数的乘积对应矩阵的和数的乘积● 如果线性变换可逆，则对应的矩阵可逆，而且可逆变换对应可逆矩阵因为这样的关系，我们可以利用线性变换的方法去解决矩阵的问题---这就是矩阵的几何化方法，同样线性变换的问题有时候可以通过矩阵来解决，这就是线性变换数值化方法。

关于线性变换的有关结论可以总结如下：●有限维线性空间上线性变换可逆的充分必要条件是其为单射，充分必要条件是其为满射，充分必要条件是其对应的矩阵可逆，充分必要条件是其核为零子空间，充分必要条件是其值域为线性空间自己。

● 有限维线性空间上线性变换在不同基下矩阵相似，矩阵相似关系是一个等价关系。

● 有限维线性空间上线性变换的值域的维数和核的维数之和等于线性空间维数，但要注意：有限维线性空间上线性变换的值域与核的和不等于线性空间自己。

●线性变换的特征子空间和是直和。