华北电力大学信号与系统课件-第2章

f (t )
f (n )
0
t
0
t n
t

绿色脉冲可表示为：f (n ) p(t n )
0
f (t ) lim f (n ) p(t n ) lim [ f (n ) / ] p(t n ) lim f (n ) (t n ) f (t )
求f(t)=(t)时的零状态响应h(t)。
答：
t 2t h(t ) ( A e + A e )U (t ) 1 2
2
h (t ) + 3h (t ) + 2h(t ) 0.5 (t ) + 2 (t )
'' ' '
+ h'' (t )含有0.5 ' (t ) h' (t )含有0.5 (t ) h(t )含有0.5单位跳变 h(0 ) h(0 ) 0.5
(1)
p2 2
t 2t h(t ) ( A e + A e )U (t ) 1 2 ' t 2 t t 2 t 方法一： h (t ) ( A e + A e ) ( t ) + ( A e 2 A e )U (t ) 1 2 1 2
t 2 t (A + A ) ( t ) ( A e + 2 A e )U (t ) 1 2 1 2
2. h(t) 解的形式 由于δ(t) 及其导数在 t>0+ 时都为零，因而方程式右端的自由项恒 等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。 设特征根为简单根（无重根的单根）
n h(t ) i 1
由初始状态为零h( n-1) (0 ) h '(0 ) h(0 ) 0 i t 采用奇异函数平衡法 A e u (t )
经典解法存在的两个问题：
1.经典解法求出的是0+<t<∞.如果已知的是 ( n) y (0 ) ，将需要涉及到由 y( n) (0 )求y( n) (0+ ) 比较困难。 2.特解形式受限，求解困难
2.1.2 零输入响应和零状态响应
经典法中：全响应=（齐次解）自由响应+（特解）强迫响应 全响应的另一种分解，全响应=零输入响应+零状态响应
i

可以确定初始条件h( n-1) (0+ ),
, h '(0+ ), h(0+ )
2 例2-3： 求h(t)。d y(t ) + 3 dy(t ) + 2 y(t ) 2 f (t )
dt 2
dt
解：
d 2 h(t ) dh(t ) +3 + 2h(t ) 2 (t ) 2 dt dt p1 1 系统特征根为
3）将f() 与h(t )相乘；对乘积后的图形积分。
卷积是一种反褶、平移、相乘、积分的混合运算。
h(0 + ) h(0 ) 2 h (0 + ) h (0 ) 0
h(0 + ) 2 h (0 + ) 0
h(t ) (2e t 2e 2t )U (t )
练习1：已知描述某系统的微分方程为
d y (t ) d y (t ) 1 d f (t ) +3 + 2 y(t ) + 2 f (t ) 2 dt dt 2 dt
第二章. LTI系统时域分析方法
连 续 • • • • • • • • • 齐次通解+非齐次特解（经典解法） 零输入响应+零状态响应 单位冲激响应和单位阶跃响应 卷积法求零状态响应 递推法 齐次通解+非齐次特解（经典解法） 零输入响应+零状态响应 单位冲激响应和单位阶跃响应 卷积法求零状态响应
离 散
1. 如何求解h(t) 把f(t)改为δ(t)，令初始状态全部为零，此时y(t)可改写为h(t)
d n h (t ) d n 1h (t ) + an 1 n dt dt n 1 d m (t ) + a0 h(t ) bm + m dt + b0 (t )
d n y (t ) d n 1 y (t ) d m f (t ) + an 1 + a0 y (t ) bm + + b0 f (t ) n n 1 m dt dt dt
完全解：
y(t ) yc (t ) + y p (t )
代入初始条件（初始值），确定齐次解的待定系数。
E(常数）例如U (t )
B
eat，a i
e ，a i
at
Beat
i 为r重根
Ek 为常数
j B t j j 0 L
B t
j 0 j
r
j
eat
Ek t k
k 0
L
经典法基本步骤 1）求系统数学模型； 2）求齐次方程通解yc(t)；（两种情况，系数未定） 3）求非齐次方程特解yp(t) ；代入原方程定系数 4）写出非齐次方程通解 y(t)= yc(t) + yp(t) ：
2.2.2单位阶跃响应
求解方法： 1.设系统输入为U(t)时，求零状态响应 2.单位冲激响应的积分
dU (t ) (t ) dt
U (t ) ( )d
0 t
h(t ) s '(t )
s(t ) h( )d
0 t
2.3.1卷积法原理
p(t) 1
• 求任何信号f(t)通过LTI系统的零状态响应
i 1 i 1
例2-1 y(t ) + 3 y(t ) 3U (t ) 解： 先用经典解法
3
y(0 ) 3/ 2 求系统全响应。
3t 齐次方程通解为 y Ae c
f (t ) U (t ), 可以设特解为B，代入原方程得B 1, 所以y p 1
y yc + y p Ae3t +1
(t )
-
f( ) (t - )d
f(t)
-
f( )h(t - )d
yf(t)
y f f (t )* h(t ) f( )h(t- )d
-
结论：信号f(t)作用于连续LTI系统后的零状态响应yf (t)等于 该信号与系统的单位冲激响应的卷积。
例2-4： 已知某LTI系统的动态方程式为 y’(t)+3y(t)=2f(t)，f(t)=3 u(t), 试求系统的零状态响应yf(t)。 解： 先求系统的单位冲激响应h(t)=2e3t u(t)
y(t ) yx (t ) + y f (t )
一、零输入响应
零输入响应形式上与微分方程齐次解完全相同，待定系数不同。
yx (t ) Cxi ei t
i 1
N
初始条件的确定：
y x (t ) + 3 y x (t ) + 2 y x (t ) 0
y(0 ), y '(0 )代入求系数
t 0 t0
t 0 t0
=2(1 e3t )u(t )
17
2.3.2 卷积的图解
•卷积的计算步骤： 1）将f(t)和h(t)中的自变量由t改为，成为函数 的自变量；
2）把其中一个信号翻转、平移；
t h( ) 翻转 h( ) 平移 h(( t )) h(t )
2）含重根：
yc (t ) Ai t
i 1
r
r i
e
i 1 r t
+
p1=p2…=pr，其余单根
i r +1

n
Ai ei t
特解：
特解的形式与激励形式有关。由激励形式设出特解，代入 微分方程求特解的待定系数。 将特解代入微分方程，使方程式两边系数匹配， 确定特解中的待定系数
y(t ) yc (t ) + y p (t )
齐次解：d n y (t ) + a d n1 y (t ) n 1 n n 1
dt dt + a0 y (t ) 0
t 0+
特征方程：
n + an 1 n 1
+ a0 0
n
t 1）特征方程有n个互不相同的单根： yc (t ) Ai e i

1
2；2 1
齐次方程通解为yc A1e2t + A2e t
f (t ) U (t ), 可以设特解为B，代入原方程得B 3/ 2
2t t y yc + y p Ae + A e + 3/ 2 1 2
(*)
y(0+ ) 2,
ຫໍສະໝຸດ Baidu
y(0+ ) 3
A1 + A2 + 3/ 2 2 A1 7 / 2 由(*)式可得 2 A1 A2 3 A2 4 7 2t 所以全解为y e + 4e t + 3 / 2 t0 2
y f (t ) f (t ) * h(t )
+

+

f ( ) h(t )d
= 3u( ) 2e3(t )u(t )d
t 3 2e-3( t - ) d = 0 0 2(1 e 3t ) = 0
(*)
t 0
原方程右边没有函数及其各阶导数,故y(0 + ) y(0 ) 3/ 2
由(*)式可得A 1/ 2, 所以全解为y 0.5e3t + 1
求零输入响应 求零状态响应
3

3 3t yx Ae ,由y (0 ) 3 / 2得yx e 2
3t

yf (t ) + 3 y f (t ) 3U (t ) , y f (0 ) 0
2-1 经典时域分析方法
yc(t) 自由响应 强迫响应 齐次解 特 解
稳定系统 瞬态响应 稳态响应
一、微分方程经典解
yp(t)
d n y (t ) d n 1 y (t ) d m f (t ) + an 1 + a0 y (t ) bm + + b0 f (t ) (m n) n n 1 m dt dt dt
使用经典解法（初始条件为0），得到y f e3t +1
3 3t 3t y yx + y f e e + 1 2
2.2连续时不变系统冲激响应和阶跃响应 —两个重要的响应
单位冲激响应
激励为单位冲激信号时系统的零状态响应。
单位阶跃响应
激励为单位阶跃信号时系统的零状态响应.
冲激响应
' t 2t h'' (t ) ( A + A ) ( t ) ( A + 2 A ) ( t ) + ( A e + 4 A e )U (t ) 1 2 1 2 1 2
代入方程（1）得到
方法二：
A 1 2
A2 2
h(t ) 含冲激(强度为2)， h(t ) 发生跃变(跳变高度为2)， h(t ) 在t=0处连续。
则： 0.5 ' (t ) + 1.5 (t ) + 2u(t )
h(0+ ) 0.5 h' (0+ ) 0.5
?
0.5 ' (t ) + 2 (t )
两边不平衡 h'' (t )还含有0.5 (t ) h' (t )还含有0.5单位跳变 h' (0+ ) h' (0 ) 0.5 所以可解A1,A2
0

0



f ( ) (t )d
连续LTI系统零状态响应
(t) h(t)

-
f( ) (t - )d f (t )
f
(t-)
f()(t-)


h(t-)

f()h(t-)

-
f( )h(t - )d y

2.1.2 零输入响应和零状态响应
二、零状态响应 系统初始状态为零时的全响应，可以用经典法求全响应。
N
y f (t ) C fi ei t + y p (t )
i 1
y (t ) yc (t ) + y p (t ) Ci e
i 1 N
N
i t
+ y p (t )
N
yx (t ) + y f (t ) Cxi ei t + C fi e i t + y p (t )
5）根据初始条件求待定系数；（初始状态求初始条件）
6）写出给定条件下非齐次方程解。
4
d2y dy d2 f 经典解法完整例子 : 2 + 3 + 2 y 2 + 3 f dt dt dt
f (t ) U (t ),
y (0+ ) 2,
y(0+ ) 3
解： 2 + 3 + 2 0