8第八讲二维随机变量函数的分布与数学期望(22)

 dxdy

1 1 2  [4  ( 2  u ) ]  1  ( 2  u ) 2 4 4 0, u0   1 F ( u)  1  ( 2  u)2 , 0  u  2  4 1, u2  1  ( u)   2 ( 2  u), 0  u  2 f ( u)  F  0, 其它 
由同分布： X ( x)  FY ( x)  F ( x) F

例8-2-3（2001数学三，8分）

第八讲 二维变量函数分布与数学期望

设随机变量X和Y的联合分布为正方形 G  {( x , y ) / 1  x  3,1  y  3},上的均匀分布，试求 : 随机变量U  X  Y 的概率密度p( u)
第八讲 二维变量函数分布与数学期望
本次课讲授2.9—3.1

下次课讲授第三章的3.1.4—3.3。
下次上课时交作业P31—P32，P37—P38 重点：数学期望。 难点：连续变量的数学期望。

第八讲 二维变量函数分布与数学期望
复习：二维随机变量函 ，离散函数值在先； 函数对应自变量，联合 概率和来算。 连续和函密度积，一个 z 样本变； 代 z定区间卷积分，另一变 量上下限。
求离散随机变量 X , Y ) ( 的函数Z  g( X , Y )的 概率分布，需要先确定 Z的值z1 , z 2 ,  , z k ,。
P ( Z  z k )等于对应的z k  g ( x i , y j ), i , j  1,2, 的所有的 x i , y j )联合 ( 概率P ( x i , y j )的和
设随机变量 , Y独立且同分布， 的分布函数为 ( x ), 则 X X F Z  max{ X , Y }的分布函数为： ( A)F 2 ( x ); (C )1  [1  F ( x )]2 ; ( B )F ( x )F ( y ); ( D)[1  F ( x )][1  F ( y )]

 1  P( X  z,Y  z)  1  P( X  z)  P(Y  z)

第八讲 二维变量函数分布与数学期望
推广到有限多个独立随机变量的情形, 有

Fmax ( z )   Fi ( z )
i 1

n

Fmin ( z )  1  [1  Fi ( z )]
i 1

n

(1  e 3 z ) 2 , z  0 FZ ( z )   0, z0  6e 3z (1  e 3z ), z0 Z 的概率密度为 f Z ( z )   0, z0  概括：串联最小都大于 ，并联最大都小于。

第八讲 二维变量函数分布与数学期望
例题8-2-2（2008数学一，4分）
一、随机变量函数分布3——1.商的分布
y  0, x  zY

对D1 , 取y定限x变限，则：

y  0, x  zY

注意：对x积分时，y是常量

第八讲 二维变量函数分布与数学期望

第八讲 二维变量函数分布与数学期望

例题8 - 1 - 1 设X与Y相互独立，它们的概率 密度分别为： e  x x  0 f X ( x)   其它 0 X 求Z  的概率密度 Y 2e 2 y y  0 fY ( y)   其它  0
(1) 最大值的分布 (最大小于号，小于都小于）

Fmax ( z )  P ( max ( X , Y )  z )  P[( X  Y  z )  ( Y  X  z )]  P( X  z,Y  z)  P( X  z)  P(Y  z)  F X ( z )FY ( z )
0 u 2

y x  u
( 3, 3  u )

(1， u) 1

4 x y u

4

x y u 0 u 2

(1  u,1)

y  x  u
3
XLeabharlann Baidu

O

1

2

第八讲 二维变量函数分布与数学期望
1 F ( u)   f ( x , y )dxdy 4 ( x , y )D
x y u 0 u 2

第八讲 二维变量函数分布与数学期望
1  e 3 y , y  0 即：FYi ( y )   y0  0, 再求仪器使用寿命Z 的分布函数 仪器是Y1 , Y2的并联，并联组的最大 寿命的一个就是仪器
的寿命，即Z  max( Y1 , Y2 ), 且因为Yi  0, 所以Z  0 FZ ( z )  P( Z  z )  P[max( Y1 ,Y2 )  z]  P(Y1  z,Y2  z )  P (Y1  z ) P (Y2  z )  FY1 ( z )FY2 ( z )  [FY1 ( z )]2

FY1 ( y )  1  P ( X 11  y, X 12  y, X 13  y )

由最小大于号： Y1 ( y )  1  P[min( X 11, X 12 , X 13 )  y ] F

 1  P( X 11  y ) P( X 12  y ) P ( X 13  y )  1  [1  P( X11  y)][1  P( X12  y)][1  P( X13  y)]  1  [1  FX11 ( y )][1  FX12 ( y )][1  FX13 ( y )]  1  [1  FX11 ( y )]3
FZ z   PZ  z   P X 2  Y 2  z  当 z  0时, 显然有 F Z ( z )  0, 从而有 f Z ( z )  0.

考虑 Z 的分布函数：

当 z  0时,

FZ ( z ) 

x2  y2  z

 f ( x , y )dxdy

f z z   F Z (z )

0,
f Z (z ) 
3 , 3 ( z  1)

当 z  0 时.
当z  0 时,
当z  0 时.

0,

第八讲 二维变量函数分布与数学期望
二. 二维变量的最大值与最小值的分布 设随机变量X与Y 独立，它们的分布函数分别为F X ( x ) 及 FY ( y ),

求 max( X , Y ) 及 min( X , Y ) 的分布.

联接方式如图所示。设各部件的使用寿命 X ij 服从相同的指数 分布 e( ), 求仪器使用寿命的概率密度。 L 11 解 各部件的使用寿命 X ij , i  1,2, j  1,2,3 的分布函数 L21
L12 L22

L13 L23

第八讲 二维变量函数分布与数学期望
e  x , f X ij ( x )    0 , 1  e  x , x0 FX ij ( x )   x0  0 , x0 x0
 P[( X , Y )  D] 
( x , y )D

（例如  f ( x, y)dxdy u  1.5画图，如图）
(3  u)  1  2 u
( 3  u,3 )

y F ( u)   f ( x , y )dxdy 3  (1  u) 3 ( x , y )D 2 u 2 1 1 1   dxdy   dxdy

分析：设Z的分布函数为 Z ( x ), 则：由定义： F FZ ( x )  P ( Z  x )  P{max( X , Y )  x }  P{ X  x , Y  x }

因为X与Y独立同分布，所以： FZ ( x )  P{ X  x , Y  x }  PX ( X  x ) PY (Y  x )  FX ( x )FY ( x )  F 2 ( x )
分析：为求密度f (u ), 可求分布F (u )并求导解之。为求F (u ), 根据定义 F (u )  P (U  u )  P ( X  Y  u )  P (u  Y  X  u )  P[( x, y )  D ] 通过F (u )  P[( X , Y )  D ]   f ( x, y )dxdy求解结果，f ( x, y )是均匀的

当 z  0 时,

从而有 f Z ( z )  0. 8 z  0时，FZ ( z )   f ( x , y )dxdy   dxdy 2 2 3  ( x  y  1) x 2  y2 z x 2  y 2 z 显然有 FZ ( z )  0,

做极坐标变量代换

第八讲 二维变量函数分布与数学期望
D

解：由条件知 与Y的联合密度为： X 1  ; 1  x  3,1  y  3 f ( x, y )   4  0, 其它 

第八讲 二维变量函数分布与数学期望
若u  0, 则P (U  X  Y  u  0)  0

若u  2, 则P (U  X  Y  u  2)  0, x  y  3  1  2  u的定义区间即样本)为0  u  2，在样本内积分求 (u) ( F F (u)  P (U  u)  P ( X  Y  u)  P{ u  Y  X  u}
求f Z ( z )的卷积分公式是联合密 度 不代z的另一变量x的无穷积分。 因此，在 x , z )空间内，z确定相应 (

连续变量和函数  X  Y的 Z 密度f Z ( z )则需要先用  z  x y 把( x, y )样本变成 x , z )样本 (

的区间，而x确定卷积分的上下限。

第八讲 二维变量函数分布与数学期望

特别地, 若 X 1 , X 2 ,  , X n 独立同分布,设它们的分布函数为 F z , 则

Fmax ( z)  F ( z)

n

Fmin ( z)  1  1  F ( z)

n

例8-2-1 某仪器由六个相互独立的部件

Lij , i  1,2, j  1,2,3 组成,

变样本：因为是对 y积分，所以由 ( x, y )变为( z , y )样本。 即由 x  0, y  0, 变为 x  yz  0, y  0。即 z  0, y  0

第八讲 二维变量函数分布与数学期望
因此，（ Z , Y）的样本为（ z, y）平面的第一象限

2. 平方和的分布 设二维连续随机变量 (X ,Y ) 的概率密度为 f (x, y), 寻求 Z  X 2  Y 2 的分布。
(2) 最小值的分布 （最小大于号，大于都大于） Fmin ( z )  P ( min ( X , Y )  z )  1  P( min ( X ,Y )  z )

 1  P[( X  Y  z )  (Y  X  z )]

 1  1  P ( X  z )  1  P (Y  z )  1  1  F X ( z )  1  FY ( z )

第八讲 二维变量函数分布与数学期望
例8-1-2 设二维连续随机变量 (X ,Y ) 的概率密度为 y

,  3 2 2 f ( x, y)    x  y  1  0,
求Z  X 2  Y 2的分布。

8

x  0 ,y  0; 其 它.
O

z

x

解

考虑 Z 的分布函数

FZ z   PZ  z   PX 2  Y 2  z 

串联：最小寿命的一个 就是串联组的寿命，所 以： Y1  min( X 1 1 , X 1 2 , X 1 3 ),Y2  min( X 2 1 , X 2 2 , X 2 3 ).

先求两个串联组的寿命 Y i i  1,2  的分布函数

FY1 ( y )  P (Y1  y )  P[min( X 11, X 12 , X 13 )  y ]
 x  r cos 8 , 则f ( x , y )  .  2 3  ( r  1)  y  r sin 

则：FZ ( z ) 



8



2 0

d 

z

0

r 1 dr  1  2 3 ( z  1) 2 ( r  1)

FZ (z ) 

1 1 , 当 z  0时, 2 ( z  1)