讲义1有理数的基本概念及分类

第一讲 有理数1_有理数、数轴
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知识点
对应训练
知识点1：正数、负数的概念
像3、2、0.5、1.8％这样比0大的数叫 ，根据需要，有时在正数前面加上“+”，如+5， ， ， ，…。

正数前面的“+”，一般省略不写：而像-3、-2、-3.5％这样在正数前面加上“—”号的数叫 。

如-6， ，…。

“-6”读作 。

【例1】 下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？ -10，1，-0.5，0，36，52
-，15％，-60，531
-，22.8
解：
1、下列各数 -11 ，0.2，81
-，74
+，1， -1，
-a ， -30％中，
（ ）一定是正数，（ ）一定是负数。

知识点2：对“0”的理解。

0既不是 数，也不是 数，它是正数与负数的分水岭。

它的意义很特殊，它既可以表示“没有”，也可以表示特定的意义。

【例2】对于“0”的说法正确的有 （ ）
①0是正数与负数的分界； ②0℃是一个确定的温度；
③0是正数；④0是自然数；⑤不存在既不是正数也不是负数的数。

解：
2下列说法正确的有（ ）。

①0是最小的自然数； ②0是整数也是偶数； ③0既非正数也非负数；
④一个数不是正数就是负数； ⑤负数也叫非正数。

⑥一个数，如果不是正数，必定就是负数．
知识点3;用正数和负数表示具有相反意义的量。

相反意义的量必须具有两个要素：一是它们的意义 ；二是它们都具有数量，而且一定是 量。

【例3】下面问题中：
（1） 将水位上升3m 时水位变化记作+3m ；则水位下降3m 时水位变化
记作-3m 。

（2） 在一个月内，小明的身高增加2.5cm ，记作+2.5cm ；体重下降3kg ，
记作-3kg
（3） 某人存进银行1900元，记作+1900元；取出500元，记作-500
元。

（4） 向东走500m 记作+500m ；向西走120m ，记作-120m. （5） 小张往前走10m,记作+10m,那么他往左走5m 记作-5m. 表述有错误的是（ ）。

3、用正数和负数表示同一问题中具有相反意义的量。

①某校七年级举行足球比赛，一班胜两局，记作+2；则三班输一局，记作 。

②如果浪费8度电，记作-8度；那么节约15度电记作 。

③如果高于海平面100m 记作+100m ，那么低于海平面36m 记作 。

④我校的入学检测中，以60分为标准，若王飞得了85分记作+25分，那么，张生得了45分记作 。

二、当堂检测
1、味精袋上标有“300±5克”字样，+5表示__________________,—5表示_____________ 还说明这袋味精的质量应该是____～____
2、若上升10m 记作10m ，那么－3m 表示 。

3、比海平面低20m 的地方，它的高度记作海拔 。

4、在－3，－1
21，0，－7
3
，2002各数中，是正数的有（ ）。

A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个
5、下列既不是正数又不是负数的是（ ）。

A 、－1
B 、＋3
C 、0.12
D 、0 6、飞机上升－30米，实际上就是（ ）。

A 、上升30米
B 、下降30米
C 、下降－30米
D 、先上升30米，再下降30米。

7、A 地海拔高度是－40m ，B 地比A 地高20m ，C 地又比B 地高30m ，试用正数或 负数表示B 、C 两地的海拔高度。

三、针对练习
1、气温下降－40C ,
改成使用正数的说法是 。

2、如果自行车车条的长度比标准长度长2毫米记作 +2毫米，那么比标准短2毫米记 作 。

3、下列说法正确的是（ ） A 、“向东5米”与“向西10米”不是相反意义的量。

B 、如果气球上升25米记作+25米，那么－15米的意义就是下降－15米。

C 、如果气温下降60C ，记作－60C 那么+80C 的意义就是下降零上80
C
D 、若将高1米设为标准0，高.1.20米记作+.20，那么－0.05米所表示的高是0.95米。

4、指出下列语句的实际意义： （1）向西走-35m 。

(2)温度下降-3℃ 。

（3）李老师7月份工资上升了-789.5元。

【1.1 有理数】
知识点
对应训练
知识点1：有理数的概念
、 、 统称为整数， 和 统称为分数， 和 统称为有理数。

注意： 1、如 能约分成整数的数_____(填“能”或“不能”)
算做分数；
2、两个整数的比（如 等）、有限小数（如0.2，－3.14等）、 无限循环小数（如 等）都是分数；但无限不循环小数（如
等）不是分数； 3、无限不循环小数不是有理数；(无理数) 4、整数中除了正整数和负整数，还有_____.
【例4】下列说法正确的是（ ）
A ．0既不是正数也不是负数，也不是自然数;
B ．任意有限小数可以化为分数，但无限循环小数不能化为分数;
1．在-22
7，π，0，0．33四个数中，有理
数的个数为（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 2．在有理数中，最小的自然数是______，最小的正整数是________．
3．下列各数：-6，-3.14，-π，1
3，0.307，
0.2中，有理数有________个．
396%,200,315
-21,32-
74.1,3
.0 -π
16 C ．圆周率π是无限不循环小数，故不是有理数; D ．0表示没有，它是正数和负数的分界点
知识点2：有理数的分类
正数和正有理数有什么区别呢？
注意：正数和正有理数是不同的，例如：就是正数，但不是正有理数；
正数和0统称为 ；0和负数统称为 。

0和正整数统称为 ；0和负整数统称为 。

1．下列说法中正确的是（ ）
A ．一个有理数不是正数就是负数;
B ．一个有理数不是整数就是分数;
C ．有理数是指整数、分数、正数、负
数和0;
D ．有理数是指正数和负数
2．在有理数中，不存在这样的数（ ）
A ．既是整数，又是负数;
B ．既不是正数，也不是负数
C ．既是正数，又是负数;
D ．既是分数，又是负数
3．小于5.5的正整数有_______．
4．比负数大的所有有理数中，最小的数是______
知识点3：数集
把一些数放在一起，就组成了一个数的集合，简称数集。

如：所有有理数组成的集合叫有理数集。

所有整数组成的集合叫整数集。

所有正数组成的集合叫正数集。

所有负数组成的集合叫负数集。

所有正整数和零组成的集合叫自然数集。

等等。

【例5】把下列各数中的正数和负数分别填在表示正数集合和负数集合里：
正整数集合： 负分数集合： 正有理数集合： 非正数集合：
把下列各数填入它所属的集合内：
32，212-，0，—3，+8，—0.1，+43
3，2005，1.7，25%，722
-
，—2008。

正整数集合：｛ …｝
负整数集合：｛ …｝
正分数集合：｛ …｝
负分数集合：｛ …｝
整数集合：｛ …｝
分数集合：｛ …｝
非负整数集合：｛ …｝
有理数集合：｛ …｝
二、当堂检测 一、填空题
1、把下列各数填入相应的大括号里：
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0⎪⎪⎪⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数
正有理数有理数0%;
10,1,2,31
2,0,,14.3,342,21,12---+-π
，3
.0,0, π 正分数集合｛ …｝；
整数集合｛ …｝； 非正数集合｛ …｝； 有理数集合｛ …｝ 无理数集合｛ …｝ 2、把下列各数分别填入相应的大括号内：
2
4,32.0,10,213,03.0,1713,
0,,1415.3,5.3,7----- π 自然数集合｛ …｝； 整数集合｛ …｝； 正分数集合｛ …｝； 非正数集合｛ …｝； 有理数集合｛ …｝；
3、＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿和＿＿＿＿统称为整数；＿＿＿＿和＿＿＿＿统称为分数；
＿＿＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿＿＿统称为有理数；
＿＿＿＿和＿＿＿＿统称为非负数；＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿统称为非正数；
＿＿＿＿和＿＿＿＿统称为非正整数；＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿统称为非负整数； 有限小数和无限循环小数可看作＿＿＿＿＿；无限不循环小数称为＿＿＿＿＿＿。

二、选择题
1、既是分数又是正数的是（ ）
A 、+2
B 、 －3
14 C 、0 D 、2.3 2、在0，1，-2，-3.5这四个数中，是负整数的是（ ）
A 、0
B 、1
C 、-2
D 、-3.5 3、下列不是有理数的是（ ）
A 、-3.14
B 、0
C 、
3
7
D 、π 4、下列说法正确的是（ ）
A 、正数、0、负数统称为有理数
B 、分数和整数统称为有理数
C 、正有理数、负有理数统称为有理数
D 、以上都不对
5、下列说法中，错误的有（ ） ①7
4
2
-是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0；④整数和分数统称为 有理数；⑤0是最小的有理数；⑥-1是最小的负整数。

A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个
【1.2 数轴】
知识点
对应训练
知识点1：画数轴与数轴概念 第一步：画直线定原点
原点表示0。

取一个适中的位置。

第二步：规定从原点向右（向上）的为正方向
那么从原
点向左（向下）则为负方向。

比如说温度计就是向上为正，向下为负。

第三步：选择适当的长度为单位长度。

根据题意而定。

步骤用九个字代替为 原点 正方向 单位长度 有了以上基础，我们可以来试着定义数轴：
规定了 、 和 的直线叫数轴． 任何有理数都可以用数轴上＿＿＿的＿＿＿来表示。

思考：
（1）原点表示什么数？
（2）原点右方表示什么数？原点左方表示什么数？
（3）原点向右0.5个单位长度的A 点表示什么数？原点向左21
1
个单
位长度的B 点表示什么数？
归纳：一般地，设a 是一个正数，则数轴上表示数a 的点在原点的右边，与原点距离是a 个单位，表示数-a 的点在原点的左边，与原点的距离是a 个单位长度。

1、 下列所画数轴对不对？
如果不对，指出错在哪里．
2、如果a 是一个正数，则数轴上表示数a 的点在原点的什么位置上？•表示－a 的点在原点的什么位置上呢？
②
-10
23
1③
-1
-202
1
①
4
5
231
④
0⑤
-10
1⑦
-1-20
2
1⑥
-1-20-32
1
知识点2：数轴上的点与到原点的距离
【例7】（1）与原点的距离为2.5个单位的点有个，它们分别表示有理数•和
（2）一个蜗牛从原点开始，先向左爬了4个单位，再向右爬了7•
单位到达终点，那么终点表示的数是1、填空：
(1)数轴上在原点右边距原点3.7个单位长度的点表示数＿＿＿
(2)数轴上在原点左边距原点
8
5
个单位长度
的点表示数＿＿＿。

(3) 数轴上距原点2个单位长度的点有＿＿个，它们分别表示数＿＿＿。

2、从数轴上观察，大于-3小于3的整数有＿＿＿个，分别是＿＿＿。

3、下列说法中错误的是（）
A.所有的有理数都可以用数轴上的点表示
B.在数轴上表示-1的点和表示1的点的距离是1
C.数轴上的原点表示的数是0
D.最大的负整数是-1
二、当堂检测
1．把数轴上表示2的点移动5个单位后，所得的对应点表示的数是（）
A．7 B．-3 C．7或-3 D．不能确定
2．在数轴上，原点及原点左边的点所表示的数是（）
A．正数 B．负数 C．不是负数 D．不是正数
3．数轴上表示5和-5的点离开原点的距离都是，但它们分别
4．在数轴上与-1相距3个单位长度的点有个，为或；长为3个单位长度的木条放在数轴上，最多能覆盖个整数点．
5．画一条数轴，并把下列数表示在数轴上：+2，-3，0.5，0，-4.5，4，31 3
例6。