【配套K12】高中数学第三章函数的应用3.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点优化练习

3.1.1 方程的根与函数的零点
[课时作业]
[A组基础巩固]
1．若y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是( ) A．若f(a)·f(b)<0，不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
B．若f(a)·f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
C．若f(a)·f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
D．若f(a)·f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
解析：由零点存在性定理可知选项A不正确；
对于选项B，可通过反例“f(x)＝x(x－1)(x＋1)在区间[－2,2]上满足f(－2)·f(2)<0，但其存在三个零点：－1,0,1”推翻；选项C可通过反例“f(x)＝(x－1)·(x＋1)在区间[－2,2]上满足
f(－2)·f(2)>0，但其存在两个零点：－1,1”推翻．
答案：D
2．函数f(x)＝e x＋x－2的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
解析：因为函数f(x)的图象是连续不断的一条曲线，又f(－2)＝e－2－4<0，f(－1)＝e－1－3<0，f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，所以f(0)f(1)<0.故函数的一个零点在(0,1)．
答案：C
3．若函数y＝f(x)在R上递增，则函数y＝f(x)的零点( )
A．至少有一个B．至多有一个
C．有且只有一个D．可能有无数个
解析：在R上单调的函数最多有一个零点．
答案：B
4．若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( ) A．(－1,1)
B．(－2,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：一元二次方程有两个不相等的实根，所以Δ＝m2－4>0，
解得m>2或m<－2.
答案：C
5．若函数f(x)在区间(0,2)内有零点，则( )
A ．f (0)＞0，f (2)＜0
B ．f (0)·f (2)＜0
C ．在区间(0,2)内，存在x 1，x 2使f (x 1)·f (x 2)＜0
D ．以上说法都不正确
解析：函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内存在零点，我们并不一定能找到x 1，
x 2∈(a ，b )，满足f (x 1)·f (x 2)＜0，故A 、B 、C 都是错误的，故选D.
答案：D
6．函数f (x )＝2－4－x 2
(x ∈[－1,1])的零点个数为________． 解析：令2－4－x 2
＝0解得x ＝0，所以函数仅有一个零点． 答案：1
7．函数y ＝x 2
＋2px ＋1的零点一个大于1，一个小于1，则p 的取值范围为________． 解析：解法一：由题设，令f (x )＝y ＝x 2
＋2px ＋1，则有f (1)<0， 即12
＋2p ＋1<0，∴p <－1， ∴p 的范围为(－∞，－1)
解法二：设y ＝x 2
＋2px ＋1的零点为x 1，x 2
则⎩⎪⎨⎪⎧
Δ＝4p 2
－4>0，x 1－x 2－，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
p 2
>1，
x 1x 2－
x 1＋x 2＋1<0，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
p 2
>1，1＋2p ＋1<0， 得p <－1.
∴p 的范围为(－∞，－1)． 答案：(－∞，－1)
8．函数f (x )＝e x
＋x －2的零点所在的一个区间是________(填序号)． ① (－2，－1)；②(－1,0)；③(0,1)；④(1,2)
解析：∵f (x )＝e x ＋x －2，∴f (0)＝－1＜0，f (1)＝e －1＞0. ∴函数f (x )的零点所在的一个区间是(0,1)． 答案：③
9．求函数f (x )＝2x ＋lg(x ＋1)－2的零点个数．
解析：解法一：∵f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f (2)＝4＋lg 3－2>0，由零点存在性定理，f (x )在(0,2)上存在实根
又f (x )＝2x
＋lg(x ＋1)－2在(0，＋∞)为增函数，故f (x )有且只有一个零点．
解法二：(数形结合)在同一坐标系中作出g (x )＝2－2x
和h (x )＝lg(x ＋1)的图象(如图所示)，由图象可知有且只有一个交点，即函数f (x )有且只有一个零点．
10．关于x 的方程2x 2
－3x ＋2m ＝0有两实根均在[－1,1]内，求m 的取值范围． 解析：方程有两实根，所以Δ≥0， 即9－2×2m ×4≥0， 所以m ≤9
16
.
因为两根均在[－1,1]内， 所以{ f
－1≥0，f 1≥0⇔⎩
⎨⎧
m ≥－5
2，
m ≥1
2
，
即m ≥12，
综上：12≤m ≤916
.
[B 组 能力提升]
1．已知函数f (x )为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1
D ．不能确定
解析：∵奇函数的图象关于原点对称，∴若f (x )有三个零点，则其和必为0. 答案：A
2．函数f (x )＝x 12
－⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
的零点个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：因为y ＝x 12
在x ∈[0，＋∞)上单调递增，y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
在x ∈R 上单调递减，所以f (x )＝
x 1
2
－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在x ∈[0，＋∞)上单调递增，又f (0)＝－1<0，f (1)＝12>0，所以f (x )＝x 1
2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
在定义域内有唯一零点．
答案：B 3．若函数f (x )＝x －1
x
，则g (x )＝f (4x )－x 的零点是________． 解析：∵f (x )＝
x －1x ，∴g (x )＝4x －1
4x
－x ，令g (x )＝0， 则有：4x －14x －x ＝0，解得x ＝1
2.
答案：1
2
4．下列说法正确的有________：
①对于函数f (x )＝x 2
＋mx ＋n ，若f (a )＞0，f (b )＞0，则函数f (x )在区间(a ，b )内一定没有零点．
②函数f (x )＝2x －x 2
有两个零点． ③若奇函数、偶函数有零点，其和为0.
④当a ＝1时，函数f (x )＝|x 2
－2x |－a 有三个零点． 解析：①错，如图．
②错，应有三个零点．
③对，奇、偶函数图象与x 轴的交点关于原点对称，其和为0.
④设u (x )＝|x 2
－2x |＝|(x －1)2
－1|，如图向下平移1个单位，顶点与x 轴相切，图象与x 轴有三个交点．∴a ＝1.
答案：③④
5．已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x
＋1仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出零点． 解析：令2x ＝t (t >0)，则在方程t 2
＋mt ＋1＝0中， (1)Δ＝0，即m 2
－4＝0，m ＝±2时，
t ＝1或t ＝－1(舍去)．
由2x
＝1，得x ＝0，满足题意，即m ＝－2时，有唯一的零点0.
(2)Δ>0，即m >2或m <－2时，要使函数有一零点，即须满足方程t 2
＋mt ＋1＝0有一正一负两根．
而t 1·t 2＝1>0，故这一情况不会存在． 综上所述，m ＝－2时，f (x )有唯一的零点0.
6．已知关于x 的函数y ＝(m ＋6)x 2
＋2(m －1)x ＋m ＋1恒有零点． (1)求m 的范围；
(2)若函数有两个不同零点，且其倒数之和为－4，求m 的值． 解析：(1)当m ＋6＝0时，函数为y ＝－14x －5显然有零点，
当m ＋6≠0时，由Δ＝4(m －1)2
－4(m ＋6)(m ＋1)＝－9m －5≥0，得m ≤－59
.
∴当m ≤－5
9且m ≠－6时，二次函数有零点．
综上，m ≤－5
9
.
(2)设x 1、x 2是函数的两个零点，则有
x 1＋x 2＝－
m －m ＋6
，x 1x 2＝
m ＋1
m ＋6
. ∵1x 1＋1x 2＝－4，即x 1＋x 2x 1x 2
＝－4，
∴－
m －
m ＋1
＝－4，解得m ＝－3.
且当m ＝－3时，m ＋6≠0，Δ>0符合题意， ∴m 的值为－3.。