高中数学北师大版必修四：第一章§时函数y=sin(ωx+φ)的图像的画法8
北师大版高中数学必修4第一章正弦函数的性质与图像课件8
sinx y＝ －sinx
其图像如下图：
探究 2
画 y＝|sinx|的图像可分两步完成，第一步先画出图
像， 第二步将得到的图像向左、 右平移， 即可得到完整的曲线． 也 可先作出函数 y＝ sinx 的图像，然后将其在 x 轴下方的部分翻折 到 x 轴上方，便得到函数 y＝|sinx|的图像．
π 1 1 作 x 轴的平行线，在[0，2π]上直线 y＝2与正弦曲线交于( 6 ，2)， 5π 1 1 ( ， )两点．结合图形(下图)可知，在[0，2π]内，满足 y≥ 时 x 6 2 2 π 5π 的集合为{x| ≤x≤ }． 6 6
π 1 因此，当 x∈R 时，若 y≥ ，则 x 的集合为Байду номын сангаасx| ＋2kπ≤x 2 6 5π ≤ 6 ＋2kπ，k∈Z}．
(2)五点法 利用正弦线画出正弦函数图像的方法比较麻烦 ，了解即 可．从正弦曲线可以看出，在函数 y＝ sinx， x∈ [0，2π]的图像 π 3 上起关键作用的点主要有五个：(0，0)，( 2 ，1)，(π，0)，(2π， －1)，(2π，0)．事实上，描出这五个点后，函数 y＝ sinx，x∈[0， 2π]的图像的形状就基本确定了． 因此， 在精确度要求不太高时， 我们应该找出这五个关键的点，然后用光滑曲线将它们连接起 来，就得到函数的简图．这种作图方法，就叫五点(画图)法．
答案 B
4．函数 y＝ 1－2sinx 的定义域为________．
7π π {x|2kπ－ ≤x≤2kπ＋ ，k∈Z} 6 6
答案
1＋ cosx 2 1
描点作图，如下图：
探究 1 五点法作图要抓住要害，即抓住五个关键点，使函 π 3π 数中 x 取 0， 2 ，π， 2 ，2π，然后相应地求出 y 的值，然后 作出图像．
高中数学 第一章 三角函数 8 函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质(一) 北师大版必修4
12345
解析 答案
5.将函数 f(x)＝ 3cos 2x 的图像纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)， 再向左平移π6个单位长度后得到函数 g(x)的图像，则 gπ3＝－2 3 . 解析 将函数 f(x)＝ 3cos 2x 的图像纵坐标伸长到原来的 2 倍， 所得图像对应的解析式为 y＝2 3cos 2x，
跟踪训练 1 要得到 y＝cos2x－π4的图像，只要将 y＝sin 2x 的图像
√A.向左平移π8个单位长度
B.向右平移π8个单位长度
C.向左平移π4个单位长度
D.向右平移π4个单位长度
解析 y＝sin 2x＝cosπ2－2x＝cos2x－π2＝cos2x－π4＝cos2x－π8－4π.
若设 f(x)＝sin 2x＝cos2x－π8－4π，则 f x＋π8＝cos2x－π4， 所以向左平移π8个单位长度.
第一章 三角函数
§8 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质(一)
学习目标
1.理解y＝Asin(ωx＋φ)中ω，φ，A对图像的影响. 2.掌握y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图像间的变换关系，并能正确地 指出其变换步骤.
内容索引
问题导学 题型探究 达标检测
问题导学
知识点一 φ(φ≠0)对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图像的影响
梳理 如图所示，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像，可以看作是把y＝sin(ωx ＋φ)图像上所有点的纵伸坐长标 (当A>1时缩)短或 (当0<A<1时)到原来A 的 倍(横坐标不变)而得到.
知识点四 函数y＝sin x的图像与y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图像关系
高中数学 第一章 三角函数 8 函数y=Asin(ωx+φ)的图像 第1课时课件 北师大版必修4
法二： y＝sin x―图―像―上―各―点―的―横―纵坐―坐―标标―不伸―变长―到―原―来――的―2倍→ y＝2sin x图―像―上――各―纵点―的坐―横标―坐不―标变―缩―短――为―原―来―的―12―→
π y＝2sin 2x图―像―上――各―点―向―右―平―移―1―2个――单―位―长→度 y＝2sin2x－π6 ―图―像―上―各―点――向―上―平―移―1―个―单―位―长―度→ y＝2sin2x－π6 ＋1.
π 解析：向左平移 4 个单位长度得
y＝sinx＋π4 ，再向上平移
2
个单位长度得 y＝sinx＋π4 ＋2，故选 D.
探究点二 三角函数图像的伸缩变换
说明 y＝2sin2x－π6 ＋1 的图像是由 y＝sin x 的图像经 过怎样的变换得到的．
(链接教材 P50 例 4)
[解] 法一：
y＝sin
(2)错误．要得到函数 y＝sin ωx(ω>0)的图像，只需将函数 y＝
sin x 上所有点的横坐标变为原来的ω1 倍，而不是 ω 倍，故此说 法是错误的．
(3)正确．由函数图像的振幅变换知此说法是正确的． (4)正确．函数 y＝sin x 的图像向左平移π2 个单位，得到函数 y ＝sinx＋π2 的图像，因为 y＝sinx＋π2 ＝cos x，故正确．
π C．向左平移 3 个单位 D．向右平移π3 个单位
[解析] 由 y＝sin4x－π3 ＝sin 4x－π 12得，只需将 y＝sin 4x π
的图像向右平移12个单位即可，故选 B.
平移变换的方法 (1)确定平移方向和平移的量是解决平移变换的关键． (2)当 x 的系数是 1 时，若 φ＞0，则左移 φ 个单位； 若 φ＜0，则右移|φ|个单位.
北师大版高中数学必修四§8 函数y=Asin(ωx+φ)的图像(一) .docx
§8函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像(一)课时目标1．了解φ、ω、A对函数f(x)＝A sin(ωx ＋φ)的图像的影响．2．掌握y＝sin x与f(x)＝A sin(ωx＋φ)图像间的变换关系．用“图像变换法”作y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图像 1．φ对y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图像的影响y ＝sin(x ＋φ) (φ≠0)的图像可以看作是把正弦曲线y ＝sin x 上所有的点______(当φ>0时)或______(当φ<0时)平行移动______个单位长度而得到．2．ω(ω>0)对y ＝sin(ωx ＋φ)的图像的影响函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图像，可以看作是把y ＝sin(x ＋φ)的图像上所有点的横坐标______(当ω>1时)或______(当0<ω<1时)到原来的______倍(纵坐标________)而得到．3．A (A >0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像的影响 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像，可以看作是把y ＝sin(ωx ＋φ)图像上所有点的纵坐标______(当A >1时)或______(当0<A <1时)到原来的______(横坐标不变)而得到，函数y ＝A sin x 的值域为________，最大值为____，最小值为____．4．函数y ＝sin x 的图像到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像的变换过程．y ＝sin x 的图像――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位______________的图像10ωω>−−−−−−−−−→横坐标变为原来的（）倍纵坐标不变__________的图像――→纵坐标变为原来的A (A >0)倍横坐标不变______________的图像．一、选择题1．要得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图像，只要将y ＝sin x 的图像( ) A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度2．为得到函数y ＝cos(x ＋π3)的图像，只需将函数y ＝sin x 的图像( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移5π6个单位长度D ．向右平移5π6个单位长度3．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的图像向右平移π8个单位，所得图像对应的函数是( ) A ．非奇非偶函数 B ．既是奇函数又是偶函数 C ．奇函数 D ．偶函数4．将函数y ＝sin 2x 的图像向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是( )A ．y ＝cos 2xB ．y ＝1＋cos 2xC ．y ＝1＋sin(2x ＋π4) D ．y ＝cos 2x －15．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图像，只需把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像( ) A ．向左平移π4个长度单位B ．向右平移π4个长度单位C ．向左平移π2个长度单位D ．向右平移π2个长度单位6．把函数y ＝sin x (x ∈R )的图像上所有的点向左平行移动π3个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到的图像所表示的函数是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈R B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6，x ∈R C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈R D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，x-Ray 二、填空题7．函数y ＝sin 2x 图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图像的函数解析式为f (x )＝____________．8．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像向左平移π6个单位，所得函数的解析式为____________．9．为得到函数y ＝cos x 的图像，可以把y ＝sin x 的图像向右平移φ个单位得到，那么φ的最小正值是____．10．某同学给出了以下论断：①将y ＝cos x 的图像向右平移π2个单位，得到y ＝sin x 的图像；②将y ＝sin x 的图像向右平移2个单位，可得到y ＝sin(x ＋2)的图像； ③将y ＝sin(－x )的图像向左平移2个单位，得到y ＝sin(－x －2)的图像；④函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像是由y ＝sin 2x 的图像向左平移π3个单位而得到的．其中正确的结论是______(将所有正确结论的序号都填上)． 三、解答题11．怎样由函数y ＝sin x 的图像变换得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图像，试叙述这一过程． 12．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x (x ∈R )． (1)求f (x )的单调减区间；(2)经过怎样的图像变换使f (x )的图像关于y 轴对称？(仅叙述一种方案即可)．能力提升13．要得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的图像，只要将y ＝sin 2x 的图像( ) A ．向左平移π8个单位 B ．向右平移π8个单位C ．向左平移π4个单位D ．向右平移π4个单位14．使函数y ＝f (x )图像上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的12倍，然后再将其图像沿x 轴向左平移π6个单位得到的曲线与y ＝sin 2x 的图像相同，则f (x )的表达式为( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π31．由y ＝sin x 的图像，通过变换可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像，其变化途径有两条：(1)y ＝sin x ――→相位变换y ＝sin(x ＋φ)――→周期变换y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)．(2)y ＝sin x ――→周期变换y ＝sin ωx ――→相位变换y ＝sin[ω(x ＋φω)]＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)．注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．(2)是先周期变换后相位变换，平移|φ|ω个单位，这是很易出错的地方，应特别注意．2．类似地y ＝A cos(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图像也可由y ＝cos x 的图像变换得到．§8 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像(一) 答案知识梳理1．向左 向右 |φ| 2．缩短 伸长1ω不变 3．伸长 缩短 A 倍 [－A ，A ]A －A 4．y ＝sin(x ＋φ) y ＝sin(ωx ＋φ)y ＝A sin(ωx ＋φ)作业设计1．B 2．C 3．D4．B [将函数y ＝sin 2x 的图像向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin2(x ＋π4)，即y＝sin(2x ＋π2)＝cos 2x 的图像，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式为y ＝1＋cos2x ．]5．B [y ＝sin(2x ＋π6) 4π−−−−−−−→向右平移个长度单位y ＝sin[2(x －π4)＋π6]＝sin(2x －π3)．]6．C [把函数y ＝sin x 的图像上所有的点向左平行移动π3个单位长度后得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图像，再把所得图像上所有的点的横坐标缩短到原来的12倍，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像．] 7．sin x 8．y ＝cos 2x 9．32π 解析 y ＝sin x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2向右平移φ个单位后得y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －φ－π2， ∴φ＋π2＝2k π，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π2，k ∈Z ．∴φ的最小正值是32π．10．①③11．解 由y ＝sin x 的图像通过变换得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图像有两种变化途径： ①y ＝sin x ――→向右平移π3个单位y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3――→纵坐标不变横坐标缩短为12y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3②y ＝sin x ――→纵坐标不变横坐标缩短为12y ＝sin 2x ――→向右平移π6个单位y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3．12．解 (1)由已知函数化为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3．欲求函数的单调递减区间，只需求 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2 (k ∈Z )，解得k π－π12≤x ≤k π＋512π (k ∈Z )，∴原函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋512π (k ∈Z )． (2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12． ∵y ＝cos 2x 是偶函数，图像关于y 轴对称，∴只需把y ＝f (x )的图像向右平移π12个单位即可．13．A [y ＝sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π8－π4――→向左平移π8个单位y ＝cos[2(x －π8＋π8)－π4]＝cos(2x －π4)．]14．D [方法一 正向变换y ＝f (x )――→横坐标缩小到原来的12y ＝f (2x )――→沿x 轴向左平移π6个单位y ＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，即y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin 2x ． 令2x ＋π3＝t ，则2x ＝t －π3，∴f (t )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π3，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3．方法二 逆向变换据题意，y ＝sin 2x 6π−−−−−−→向右平移个单位y ＝sin2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3．]。
高中数学第一章三角函数1.8.1函数y=asin(ωxφ)的图像
1
2
【做一做 1】 函数 y= 5 sin 3������- 3 , ������ ∈R 的值域 是 初相是 ,周期是 .
1 1 2π 3 1 5
1
π
,振幅是
,
答案: - 5 , 5
−3
π
1
2
2.四种变换画图方法
1
2
【做一做 2】 填空: (1)函数 y=sin ������ + 4 的图像是由������ = sin ������的图像向 平移
π π
个单位长度得到的;
(2)函数 y=sin 2������- 4 的图像是由������ = sin 2������的图像向 平移 个单位长度得到的; 1 (3)函数 y=sin x− 5 的图像是由������ = sin ������的图像向 平移 个单位长度得到的; (4)函数 y=sin x 的图像上每个点的纵坐标不变,横坐标伸 长为原来的 5 倍,可得函数 的图像;再将所得 图像上的各点的横坐标不变,纵坐标伸长为原来的 5 倍,可得 函数 的图像.
(������∈R, ω>0)的最小正周期 平移
π
个单位长
度可得到函数 g(x)=cos ωx 的图像. (填写一个正确答案即可)
解析:由 T=π, 得 ω=2, 因此 f (x)=sin 2������ + 4 . 因为g(x)=cos 2x=sin 2������ + 2 , 而f (x+φ)=sin 2(������ + ������) + 4 = sin 2������ + 2������ + 4 , 故������ = , 所以只要将函数y=f (x)的图像上所有点向左平移 个单位长度可得到函数g(x)=cos ωx 的图像.
高一数学北师大版必修4课件1.8 函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质
1 5
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究一 图像变换
图像变换有两个途径 :途径一 :先相位变换,再周期变换;途径二 :先周期 变换,再相位变换. 【典型例题 1】 写出函数 y=2sin 3������ +
π 4
+1 的振幅、周期和初相,并
说明函数的图像可以由正弦曲线 y=sin x 经过怎样的变换得到. 思路分析:由 y=sin x 的图像变换到 y=Asin(ωx+φ)+k 的图像有两种变换 方法,即先进行相位变换,再进行周期变换,或先进行周期变换,再进行相位 变换.
π 4
+1.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
(2)先进行周期变换,再进行相位变换 : y=sin x y=sin 3������ +
π 4
y=sin 3x
y=2sin 3������ + y=2sin 3������ +
π 4
π 4
+ 1.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
点评在三角函数的图像变换中,先平移变换后伸缩变换与
探究四
探究五
解:∵ y=3sin
π ������ 3 2
=-3sin
������ π 2 3
,
������ π 2 3
∴ 求原函数的递增区间,即求函数 y=sin 由 2kπ+ ≤ − ≤2kπ+ (k∈ Z), 得 4kπ+ ≤x≤4kπ+ ∴ y=3sin
π ������ 3 2 5π 3 11π (k∈Z). 3 π 2 ������ 2 π 3 3π 2
高中数学第一章三角函数1.8函数y=Asin(ωx+φ)的图像例题与探究(含解析)北师大版必修4
1.8 函数y=Asin （ωx+φ）的图像典题精讲1.由函数y ＝sinx 的图像经过怎样的变换得到函数y ＝sin(ωx＋φ)（ω＞0）的图像？ 剖析：由y ＝sinx 的图像变换出y ＝sin(ωx＋φ)的图像一般有两个途径. 途径一：先相位变换，再周期变换先将y ＝sinx 的图像向左(φ＞0)或向右（φ＜0）平移｜φ｜个单位；再将得到的图像上各点的横坐标变为原来的ω1倍（纵坐标不变），得y ＝sin(ωx＋φ)的图像. 途径二：先周期变换，再相位变换先将y ＝sinx 的图像上各点的横坐标变为原来的ω1倍（纵坐标不变）；再将得到的图像沿x 轴向左(φ＞0)或向右（φ＜0）平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin(ωx＋φ)的图像.疑点是这两种途径在平移变换中，为什么沿x 轴平移的单位长度不同？其突破口是化归到由函数y=f(x)的图像经过怎样的变换得到函数y=f(ωx+φ)的图像.只有区别开这两个途径，才能灵活进行图像变换.若按途径一有：先将y=f(x)的图像向左(φ＞0)或向右（φ＜0）平移｜φ｜个单位，得函数y=f(x+φ)的图像；再将函数y=f(ωx)的图像上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的ω1倍，得y=f(ωx+φ）的图像. 若按途径二有：先将y=f(x)的图像上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的ω1倍，得函数y=f(ωx)的图像；再将函数y=f(ωx)的图像上各点沿x 轴向左(φ＞0)或向右（φ＜0）平移ωϕ||个单位，得y=f(ωx+φ）的图像.若将y=f(x)的图像上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，得函数y=f(ωx)的图像；再将函数y=f(ωx)的图像上各点沿x 轴向左(φ＞0)或向右（φ＜0）平移|φ|个单位，得到y=f ［ω(x+φ)］的图像，即函数y=f(ωx+ωφ)的图像，而不是函数y=f(ωx+φ)的图像.例如：由函数y ＝sinx 的图像经过怎样的变换得到函数y ＝sin(2x ＋3π)的图像？ 方法1：（先相位变换，再周期变换）先将y ＝sinx 的图像向左平移3π个单位得函数y ＝sin(x ＋3π)；再将函数y ＝sin(x ＋3π)图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的21倍，得y＝sin(2x ＋3π)的图像.方法2：（先周期变换，再相位变换）先将f(x)=sinx 的图像上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的21倍，得函数f(x)=sin2x 的图像；再将函数f(2x)=sin2x 的图像上各点沿x 轴向左平移6π个单位，得f ［2(x+6π)］=sin2(x+6π)的图像，即函数y=sin(2x+3π)的图像.在方法2中，得到函数f(2x)=sin2x 的图像后，如果把f(2x)=sin2x 图像沿x 轴向左平移3π个单位，得f ［2（x+3π)］=sin2(x+3π)的图像，即函数y=sin(2x+32π)的图像，而不是函数y ＝sin(2x ＋3π)的图像. 由以上可见，利用变换法作y ＝Asin(ωx＋φ)的图像时，通常先进行相位变换，后进行周期变换，这样可避免出错.由于容易出错，因此是高考题和模拟题的热点之一. 例如：(2006江苏高考卷，4)为了得到函数y=2sin(3x +6π),x∈R 的图像，只需把函数y=2sinx,x∈R 的图像上所有的点（ ）A.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）B.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）C.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）D.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）思路解析：先将y=2sinx,x∈R 的图像向左平移6π个单位长度，得到函数y=2sin(x+6π),x∈R的图像，再把所得图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到函数y=2sin(3x +6π),x∈R 的图像. 答案：C2.如何求型如y=Asin(ωx+φ)+b(ω＜0)函数的单调递增区间?以y=2sin(3π-2x)+1为例说明.剖析：复合函数的单调性的复合规律为：若函数y=f(u)与u=g(x)的增减性相同(相反)，则y=f\[g(x)\]是增(减)函数，可概括为“同增异减”.函数y=2sin(3π-2x)+1的定义域是R. 函数y=2sin(3π-2x)+1是复合函数，y=f(u)＝2u+1，u=sin(3π-2x).则要求函数y=2sin(3π-2x)+1的单调递增区间，需求u=sin(3π-2x)的单调递增区间.函数u=sin(3π-2x)又是复合函数，u=sint ，t=3π-2x.则要求函数u=sin(3π-2x)的单调递增区间，需求函数u=sint 的单调递减区间.则正确的解法是：令2kπ+2π≤3π-2x≤2kπ+23π(k∈Z )，∴2kπ+2π-3π≤-2x≤2kπ+23π-3π (k∈Z ).∴2672262-+≥≥-+ππππk x k .∴2672-+ππk ≤x≤2672-+ππk , 即-kπ-127π≤x≤-kπ-12π.∴函数的单调递增区间是［-kπ-127π,-k π-12π］（k∈Z ）. 由此可见原解法求出的区间是函数的单调递减区间.原解法的错误是求复合函数的单调区间时，错误地判断了构成复合函数的内层函数的单调性.综上所得,在求函数y=Asin(ωx+φ)+b 的单调区间时，一定注意其中的参数A 和ω的符号，特别是当A 和ω是负数时，容易出错，其突破口是化归到如何求复合函数的单调区间，这样才不会出错，进而避免：看起来题会，做起来不对，出考场后悔. 典题精讲例1已知函数y=3sin （21x-4π）， （1）用“五点法”画函数的图像；（2）说出此图像是由y=sinx 的图像经过怎样的变换得到的； （3）求此函数的周期、振幅、初相；（4）求此函数的对称轴、对称中心、单调递增区间. 思路分析：五点法画函数y=3sin （21x-4π）的图像时，应先找出五个关键点，这五个点应该是使函数取得最大值、最小值以及曲线与x 轴相交的点，找出它们的方法是利用整体思想，由ωx+φ＝0，2π，π，23π，2π来确定对应x 的值.求函数的对称轴、对称中心、单调递增区间也是应用整体策略来解决.解：（1）列表21x-4π2π π23π 2πx 2π 23π 25π 27π 29π y3-3描点：在直角坐标系中描出下列各点（2π，0），（23π，3），（25π，0），（27π，-1），（29π，0）；连线：将所得五点用光滑的曲线连接起来，得到的所求函数的图像如图1-7-1所示.图1-7-1这样就得到了函数y=3sin （21x-4π）在一个周期内的图像，再将这部分向左或向右平移4kπ（k∈Z ），得到函数y=3sin （21x-4π）的图像.（2）方法一：（相位变换在周期变换的前面） ①把y=sinx 的图像上所有的点向右平移4π个单位，得到y=sin （x-21）的图像；②把y=sin （x-4π）的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin （2x -4π）的图像； ③将y=sin （21x-4π）的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），就得到y=3sin （21x-4π）的图像.方法二：（周期变换在平移变换的前面）①把y=sinx 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin （21x ）的图像； ②把y=sin （21x ）的图像上所有的点向右平移2π个单位，得到y=sin 21（x-2π）=sin （2x -4π）的图像；③将y=sin （21x-4π）的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），就得到y=3sin （21x-4π）的图像.（3）周期T=ωπ2=212π=4π，振幅A=3，初相是-4π.（4）令21x-4π=2π+kπ，解得x=23π+2kπ，k∈Z ，即函数的对称轴是直线x=23π+2kπ(k∈Z ).令21x-4π=kπ，解得x=2kπ+2π，k∈Z ， 即对称中心为（2π+2kπ，0）(k∈Z ).令-2π+2kπ≤21x-4π≤2π+2kπ，解得-2π+4kπ≤x≤23π+4kπ，k∈Z .即函数的单调递增区间为［-2π+4kπ，23π+4kπ］（k∈Z ）.绿色通道：（1）对于函数y=Asin （ωx+φ），应明确A 、ω决定“形变”，φ决定“位变”，A 影响值域，ω影响周期，A 、ω、φ影响单调性.当选用“伸缩在前，平移在后”的变换顺序时，一定注意针对x 的变化，向左或向右平移||ωϕ个单位； (2)画y=Asin （ωx+φ）的图像常用五点法和变换法；(3)求三角函数周期的一般方法是：先将函数转化为y=Asin(ωx+φ)的形式，再利用公式T=ωπ2进行求周期，有时还利用图像法求周期；④对于函数y=Asin （ωx+φ）+B 的单调性、对称性的研究，运用整体策略处理，把ωx+φ看作一个整体，化归为正弦函数y=sinx 来讨论，问题自然就迎刃而解. 变式训练1(2006福建高考卷，理9)已知函数f(x)=2sinωx(ω＞0)在区间［-3π,4π］上的最小值是-2，则ω的最小值等于（ ）A.32B.23C.2D.3 思路解析：方法一：根据函数f(x)=2sinωx(ω＞0)图像的大致位置,得4T ≤3π,又T=ωπ2，所以有2ω≥3，即ω≥23.方法二：（代入验证法）当ω＝32时，f(x)=2sin(32x)，画图像得在区间［-3π, 4π］上的最小值是f(-3π)=2sin(94π-)＞-2，故排除A ；当ω＝23时，f(x)=2sin(23x)，画图像得在区间［-3π, 4π］上的最小值是f(-3π)=-2，故排除C 、D.答案：B变式训练2(2005天津高考卷，文8)要得到函数y=2cosx 的图像，只需将函数y=2sin(2x+4π)的图像上所有的点的（ ） A.横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π个单位长度B.横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度C.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度D.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度思路解析：由于y=2cosx=2(x+2π)，则将函数y=2sin(2x+4π)的图像上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=2sin （x+4π)的图像；再将函数y=2sin （x+4π)的图像向左平行移动4π个单位长度得到函数y=2sin(x+2π),即函数y=2cosx 的图像.答案：C变式训练3(2005全国高考卷Ⅰ，理17)设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π＜φ＜0),y=f(x)图像的一条对称轴是直线x=8π. （1）求φ；（2）求函数y=f(x)的单调增区间；（3）画出函数y=f(x)在区间［0,π］上的图像.思路分析：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图像与其对称轴交点的纵坐标是函数的最值. 解：（1）∵x=8π是函数y=f(x)的图像的对称轴， ∴sin(2×8π+φ)=±1. ∴4π+φ=kπ+2π,k∈Z . ∴φ=kπ+4π,k∈Z .∵-π＜φ＜0，∴-π＜kπ+4π＜0. ∴45-＜k ＜41-.∴k=-1. ∴φ=-43π. （2）由（1）知y=sin(2x-43π). 令2kπ-2π≤2x -43π≤2kπ+2π,k∈Z , ∴kπ+8π≤x≤kπ+85π,k∈Z ,即函数y=sin(2x-43π)的单调递增区间是［kπ+8π,kπ+85π］(k∈Z ). （3）由y=sin(2x-43π)知： x 08π83π 85π 87π πy22--1 0 1 022-故函数y=f(x)在区间［0,π］上的图像如图1-7-2所示.图1-7-2例2(2005福建高考卷，理6)函数y=sin(ωx+φ)(x∈R ,ω＞0,0≤φ＜2π)的部分图像如图1-7-3，则（ ）图1-7-3A.ω=2π,φ=4π B.ω=3π,φ=6π C.ω=4π,φ=4π D.ω=4π,φ=45π思路解析：由图像得T=4(3-1)，∴T=8.∴ω=T π2=4π.点(1,1)在函数图像上，则有1=sin(4π+φ)，0≤φ＜2π.∴4π+φ＝2π.∴φ=4π. 答案：C绿色通道：已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的一段图像,求其表达式，其步骤： (1)求A ：图像最上方的点的纵坐标为A 的值，或图像最下方的点的纵坐标的相反数为A 的值.(2)求ω：一般由图像可知周期T,如相邻两个对称中心（或对称轴）的距离为半个周期.再由T=ωπ2求出ω.(3)求φ：确定φ时,若能求出离原点最近的右侧图像上升(或下降)的零点的横坐标x 0,则令ωx+φ=0(或ωx+φ=π)即可求出φ.有时还可利用已知点(例如最高点或最低点)确定ω与φ.若对A 、ω的符号或对的范围有所要求,则可利用诱导公式通过变换使其符合要求. 变式训练已知函数y=Asin(ωx+φ）（A ＞0,ω＞0,|φ|＜2π)的图像的一个最高点为(2,22)，由这个最高点到相邻最低点的图像与x 轴的交点为(6,0)，试求这个函数的解析式.思路分析：抓住函数y=Asin(ωx+φ）的图像的特征是解本题的关键.解：已知图像最高点为（2，22），∴A=22.又根据题意知从最高点到相邻最低点的图像与x 轴的交点为(6,0)，∴4T =6-2=4，即T=16.∴ω=T π2=8π.将y=22sin(8πx+φ)代入最高点坐标，得22=22sin(8π×2+φ).∴sin(4π+φ)=1.∵|φ|＜2π,∴φ=4π.∴函数的解析式为y=22sin(8πx+4π). 问题探究问题试探讨如何求三角函数的周期？导思：思路1：从定义上分析；思路2：从周期函数的图像上分析；思路3：利用常见的结论.探究：确定三角函数的周期有如下方法：（1）定义法：根据周期函数的定义求周期.关键是找到一个实数T ，使得对任意实数x ，总有f(x+T)=f(x)成立. 例如：求函数y=2sin(2x -6π）的周期. 解：f(x+4π)=2sin［21(x+4π)-6π］=2sin(2x +2π-6π)=2sin(2x -6π)=f(x),∴y=2sin(2x -6π)的周期是4π.定义法是求周期的通性通法，带有一定的普遍性.（2）图像法：画出三角函数的图像，如果图像每隔“一段”就重复出现，则这一段就是一个周期.这种求函数周期的方法称为图像法. 例如：求函数y=|sin2x|的周期.解：画函数y=|sin2x|的图像，如图1-7-4所示.图1-7-4函数y=|sin2x|的图像每隔2π就重复出现，则函数y=|sin2x|的周期是2π. 利用图像法可得如下结论：(A ＞0,ω＞0)①函数y=|Asin(ωx+φ）|的周期是ωπ； ②函数y=|Acos(ωx+φ）|的周期是ωπ；③函数y=|Atan(ωx+φ）|的周期是ωπ.（3）公式法：利用常见的公式（结论），求得三角函数的周期.这种求三角函数周期的方法称为公式法.常见的结论：①一般地，函数y=Asin(ωx+φ)（其中A 、ω、φ为常数，A≠0，ω＞0）的周期T=ωπ.如y=2sin(2x+65π)的周期T=2π=π. ②一般地，函数y=Acos(ωx+φ)（其中A 、ω、φ为常数，A≠0，ω＞0）的周期T=ωπ2.如y=-2cos(3x+6π)周期T=3π.③一般地，函数y=Atan(ωx+φ)（其中A 、ω、φ为常数，A≠0，ω＞0）的周期T=ωπ2.如y=-2tan(4x+6π)周期T=4π. 这三种求周期的方法在高考试题中都经常出现，应引起我们的重视.。
2019-2020高中北师版数学必修4第1章 §8 第1课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图像课件PPT
＜ω＜1 时)到原来的__ω__倍(纵坐标不变)而得到的．
栏目导航
思考 3：对于同一个 x，函数 y＝2sin x，y＝sin x 和 y＝12sin x 的函 数值有何关系？
[提示] 对于同一个 x，y＝2sin x 的函数值是 y＝sin x 的函数值的 2 倍，而 y＝12sin x 的函数值是 y＝sin x 的函数值的12.
栏目导航
1．函数 y＝2sin2x＋π5的周期、振幅依次是(
)
A．4π，－2
B．4π，2
C．π，2
D．π，－2
[答案] B
栏目导航
2．(2019·全国卷Ⅰ)关于函数 f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四个结论：
①f(x)是偶函数；②f(x)在区间π2，π单调递增；③f(x)在[ －π，π] 有 4 个零点；④f(x)的最大值为 2.
如图所示，由图可知函数 f(x)在[－π， π]只有 3 个零点，故③不正确；∵y＝sin|x| 与 y＝|sin x|的最大值都为 1 且可以同时取到， ∴f(x)可以取到最大值 2，故④正确．综上， 正确结论的序号是①④.故选 C.
栏目导航
法二：∵f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x) 为偶函数，故①正确，排除 B；当π2＜x＜π 时，f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x，∴f(x)在π2，π单调递减，故②不正确，排除 A；∵y＝sin |x|与 y＝ |sin x|的最大值都为 1 且可以同时取到，∴f(x)的最大值为 2，故④正 确．故选 C.]
参数
作用
2017-2018学年高中数学北师大版必修四课件：第一章 §8 第1课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图像的画法
从而56π＋φ＝π，即 φ＝π6. 又点(0,1)在函数图像上，所以 Asin π6＝1，得 A＝2. 故函数 f(x)的解析式为 f(x)＝2sin2x＋π6.
由函数图像求解析式的一般解题方法是： (1)先根据图像的最高点和最低点，找到振幅，即求 A 的值；
(2)根据所给关键点确定函数周期，再利用周期公式 T＝求出ω的值；
答案：56π
6．已知 f(x)＝1＋ 2sin(2x－π4)，画出 f(x)在 x∈－π2，π2 上的图像．
解 ∵－π2≤x≤π2，∴－π≤2x≤π∴－54π≤2x－π4≤34π (1)列表如下：
x
－π2 －38π －π8
π 8
3π 8
π 2
2x－π4 －54 －π －π2 0
π 2
y＝sin x 的图像 各点的纵坐标伸长为原来的 2 倍 y＝2sin x 横坐标不变
向右平移 的图象
π 6
个单位长度 y＝2sin
x－π 6
的图像
各点的
1 横坐标缩短为原来的 2
y＝2sin 2x－π6 的图像 向上平移 1 个
纵坐标不变
单位长度 y＝2sin 2x－π6 ＋1 的图像．
1．利用图像变换的方法画函数的图像，注意左右平移 变换：一是平移的方向，可用“左加右减”来总结；二是平移 量的确定．找自变量本身的变换量是关键．
解析：选 A 变换后的三角函数为 y＝cos(x＋1)，结合 四个选项可得 A 选项正确．
3.(湖南高考改编)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ) x∈R，ω＞0，0＜φ＜π2的部分图像如图所示．求函数 f(x) 的解析式．
[尝试解答] 由题设图像知， 周期 T＝21112π－51π2＝π，所以 ω＝2Tπ＝2， 因为点51π2，0在函数图像上， 所以 Asin2×51π2＋φ＝0，即 sin56π＋φ＝0. 又因为 0<φ<π2，所以56π<56π＋φ<43π.
北师大版数学高一必修4作业1.8.1函数y=Asin(ωxφ)的图像的画法
课下能力提升(十) 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像的画法一、选择题1．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的相位和初相分别是( )A ．－2x ＋π3，π3B ．2x －π3，－π3C ．2x ＋2π3，2π3D ．2x ＋2π3，π32．(山东高考)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4 C ．0 D ．－π43．要想得到函数y ＝sin x 的图像，只需将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的图像( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向左平移π6个单位长度4．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的一部分图像如图所示，如果A >0，ω>0，|φ|<π2，则( )A ．A ＝4B ．ω＝1C ．φ＝π6 D ．B ＝4二、填空题5．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图像向左平移π3个单位长度，得到的图像对应的函数解析式是________．6．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图像向右平移π6个单位长度，再向上平移2个单位长度所得图像对应的函数解析式是________．7．(天津高考)将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图像向右平移π4个单位长度，所得图像经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是________．8．为得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像，只需将函数y ＝sin 2x 的图像向________平移________个单位长度．三、解答题 9.图中曲线是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图像． (1)确定该图像对应的f (x )的表达式；(2)若f (x )＝a ，在[0，7π12]上有解，求a 的取值范围．10．把函数y ＝f (x )的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向左平移π2个单位长度，得到函数y ＝12sin x 的图像，试求函数y ＝f (x )的解析式．答案1．解析：选C ∵y ＝2sin(－2x ＋π3)＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2x ＋π3＝2sin(2x ＋2π3)，∴相位和初相分别为2x ＋2π3，2π3.2．解析：选B 把函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像向左平移π8个单位后，得到的图像的解析式是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ，该函数是偶函数的充要条件是π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，根据选项检验可知φ的一个可能取值为π4.3．解析：选A 函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3可化为y ＝sin[π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3]＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.要想得到函数y ＝sin x 的图像，只需将函数y ＝sin (x ＋π6)的图像向右平移π6个单位长度．4．解析：选C 由图像易求得A ＝2，B ＝2，周期T ＝4⎝⎛⎭⎪⎫5π12－π6＝π，即得y ＝2sin(2x＋φ)＋2，又x ＝π6时，y ＝4，即得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，对比各选项知C 正确．5．解析：先伸缩后平移，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图像→y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的图像→y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π3的图像，即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的图像．答案：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6.6．解析：将函数y ＝sin(x ＋π3)的图像向右平移π6个单位长度后变为函数y ＝sin(x －π6＋π3)＝sin(x ＋π6)，再向上平移2个单位长度，即函数解析式为y ＝sin(x ＋π6)＋2.答案：y ＝sin(x ＋π6)＋27．解析：将函数f (x )＝sin ωx 的图像向右平移π4个单位长度，得到的图像对应的函数解析式为f (x )＝sin ω(x －π4)＝sin(ωx －ωπ4)．又因为函数图像过点(3π4，0)，所以sin(3ωπ4－ωπ4)＝sinωπ2＝0，所以ωπ2＝k π，即ω＝2k (k ∈Z )，因为ω>0，所以ω的最小值为2. 答案：28．解析：y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π2＝sin 2(x ＋5π12)，故将y ＝sin 2x 的图像向左平移512π个单位长度． 答案：左512π 9．解：(1)A ＝1，T ＝1112π－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝π，∴ω＝2πT ＝2.可得y ＝sin(2x ＋φ)，由2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋φ＝0，得φ＝π6.∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)由(1)可知当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π12时，f (x )∈⎣⎡⎦⎤－32，1故a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－32，1 10．解：法一：设f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，把它的横坐标缩短到原来的12，得到y ＝A sin(2ωx＋φ)，再向左平移π2个单位长度，得到y ＝A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋φ，即y ＝A sin(2ωx ＋ωπ＋φ)＝12sin x .由两个代数式恒等，得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝12，2ω＝1，ωπ＋φ＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧A ＝12，ω＝12，φ＝－π2，∴f (x )＝12sin(12x －π2)＝－12cos x 2.法二：将y ＝12sin x 的图像向右平移π2个单位长度，得到y ＝12sin(x －π2)的图像，再把y ＝12sin(x －π2)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y ＝12sin(12x －π2)，即y ＝－12cos 12x 的图像，故所求函数解析式为f (x )＝－12cos x 2.。
北师版高中数学高一必修4课件1.8函数y=Asin(ωxφ)图像(二)
明目标、知重点
探究点一 “五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0,ω>0) 的图像
π 2
π
3π 2
2π
x
π 2
2π
7π 2
5π
13π 2
y
0
2
0
－2
0
明目标、知重点
描点画图(如图所示)：
反思与感悟 “五点法”作图时,五点的确定,应先令 ωx＋φ 分别为 0、2π、π、32π、2π,解出 x,从而确定这五点.
明目标、知重点
跟踪训练1 如图是某简谐运动的图像,试根据图像回答下列问题：
明目标、知重点
(3)写出这个简谐运动的函数表达式. 解 设这个简谐运动的函数表达式为 y＝Asin(ωx＋φ),x∈[0,＋∞),那么,A＝2； 由2ωπ＝0.8,得 ω＝52π；
由图像知初相φ＝0. 于是所求函数表达式是
y＝2sin 52πx,x∈[0,＋∞).
明目标、知重点
探究点二 由函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图像求三角函数 的解析式
明目标、知重点
(3)从寻找“五点法”中的第一个零点－ωφ ，0(也叫初始点)作为突 破口.以 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0,ω>0)为例,位于单调递增区间上离 y 轴 最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点. 2.在研究 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0,ω>0)的性质时,注意采用整体代换的 思想.例如,它在 ωx＋φ＝π2＋2kπ (k∈Z)时取得最大值,在 ωx＋φ＝32π ＋2kπ (k∈Z)时取得最小值.
高中数学第一章三角函数8第一课时函数y=Asinωx+φ的图像课件北师大版必修4
2x＋π4
0
y
0
π 3
8
π 2
π
3π 2
2π
2 0 －2 0
描点，连线，如图所示．
考点二 三角函数的图像变换
[典例] 说明 y＝2sin2x＋π3的图像可由 y＝sin x 的
图像经过怎样的变换而得到．
[解] 把 y＝sin x 的图像上所有的点向左平移π3个单位长度，
得到 y＝sinx＋π3的图像，再把 y＝sinx＋π3的图像上所有
()
A．y＝cos 2x
B．y＝2cos 2x
C．y＝1＋sin2x＋π4
D．y＝1＋cos 2x
解析：选 D 将函数 y＝sin 2x 的图像向左平移π4个单位长度，
得到函数 y＝sin 2x＋π4，即 y＝sin2x＋π2＝cos 2x 的图像， 再向上平移 1 个单位长度，所得图像的函数解析式为 y＝1 ＋cos 2x.
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动 对身体不好哦~
[针对训练]
1．把函数 y＝f(x)的图像向左平移π4个单位长度，向下平移 1 个
单位长度，然后再把所得图像上每个点的横坐标伸长到原来
的 2 倍(纵坐标保持不变)，得到函数 y＝sin x 的图像，则 y＝
f(x)的解析式为
()
A．y＝sin2x－π4＋1 C．y＝sin12x＋π4－1
曲线 y＝sin x，x∈R 怎样变换得到？
2．将 y＝sin(x＋φ)(其中 φ≠0)的图像怎样变换，能得到 y＝sin x 的图像？
3. 函数 y＝sin ωx, x∈R（ω＞0 且 ω≠1）的图像，可由正 弦曲线 y=sin x, x∈R 怎样变换得到？
二、归纳总结·核心必记 1．振幅变换 (1)在函数 y＝Asin x(A>0)中，A 决定了函数的值域以及函数的 最大值和最小值，通常称 A 为 振幅 ． (2)对于函数 y＝Asin x(A>0，A≠1)的图像可以看作是把 y＝sin x 的图像上所有点的纵坐标伸长(当 A>1 时)或缩短(当 0<A<1 时)到原 来的 A 倍(横坐标不变)而得到的． [点睛] 对于函数 y＝sin(ωx＋φ)与 y＝Asin(ωx＋φ)之间的图像 变换称为振幅变换，它实质上是纵向的伸缩，只改变振幅，不改变 周期及相位．
高中数学北师大版必修4学案1.8.1 函数y=Asin(ωx+φ)的图像 Word版含解析
§函数＝(ω＋φ)的图像与性质第课时函数＝(ω＋φ)的图像．了解振幅、初相、相位、频率等有关概念，会用“五点法”画出函数＝(ω＋φ)的图像.．理解并掌握函数＝(ω＋φ)图像的平移与伸缩变换．(重点)．掌握，ω，φ对图像形状的影响．(难点)[基础·初探]教材整理函数＝ (ω＋φ)＋(>，ω>)的图像阅读教材～“思考交流”以上部分，完成下列问题．．参数，φ，ω，的作用()左右平移(相位变换)：对于函数＝(＋φ)(φ≠)的图像，可以看作是把＝的图像上所有的点向左(当φ＞时)或向右(当φ＜时)平行移动φ个单位长度得到的．()上下平移：对于函数＝＋的图像，可以看作是把＝的图像上所有点向上(当＞时)或向下(当＜时)平行移动个单位长度得到的．．伸缩变换()振幅变换：对于函数＝(＞，≠)的图像可以看作是把＝的图像上所有点的纵坐标伸长(当＞时)或缩短(当＜＜时)到原来的倍(横坐标不变)而得到的．()周期变换：对于函数＝ω(ω＞，ω≠)的图像，可以看作是把＝的图像上所有点的横坐标缩短(当ω＞时)或伸长(当＜ω＜时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()的大小决定了函数的振幅．( )()ω的大小与函数的周期有关．( )()φ的大小决定了函数与＝的相对位置．( )()的大小决定了函数图像偏离平衡位置的幅度．( )【解析】由，ω，φ，的几何意义知全对．【答案】()√()√()√()√[小组合作型]作出函数＝在一个周期内的图像．【精彩点拨】列表时用整体代换的思想，把ω＋φ看作一个整体，再用五点列表．【自主解答】用“五点法”作图．列表：。
北师版数学高一-必修4课件 1.8 函数y=Asin(ωxφ)的图像(二)
跟踪演练 1 作出函数 y＝32sin13x－π3在长度为一个周期的
闭区间上的图像.
解 列表：
X＝ 13x－π3 x
π 02 π
3π
2
2π
π
5π 2
4π
11π 2
7π
y＝32sin13x－π3 0
3 2
0
－3 2
0
描点画图(如图所示)：
要点二 求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 例 2 函数 y＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<2π的图像的一 部分如图所示，求此函数的解析式.
1234
∵图像在x＝1处取得最高点，
∴π4＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，∴φ＝2kπ＋π4(k∈Z)，
∵0≤φ≤2π，，∴φ＝π4.
答案 C
Hale Waihona Puke 4.作出 y＝3sin12x－π4一个周期的图像.
解 (1)列表：
12x－π4 x
0
π 2
π 2
3 2π
3sin12x－π4
03
1234
π
3 2π
2π
5 2π
§8 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像(二)
33
79 2π 2π
0 －3 0
描点、连线，如图所示：
1234
课堂小结
1.由函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图像确定解析式关键在于确
定参数A，ω，φ的值.
(1)一般可由图像上的最大值、最小值来确定|A|. (2)因为T＝2π，所以往往通过求周期T来确定ω，可通过已知
ω 曲线与x轴的交点，从而确定T，即相邻的最高点与最低点 之间的距离为 T ；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离
北师大版高中数学必修四8 函数y=Asin(ωx+φ)的图像.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作8 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像时间：45分钟 满分：80分班级________ 姓名________ 分数________一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)1．函数y ＝3sin(12x －π8)的振幅、周期、初相分别为( ) A ．－3,4π，π8 B ．3,4π，－π8C ．3，π，－π8D ．－3，π，π8答案：B解析：振幅为3，周期为2π12＝4π，初相为－π8. 2．把函数y ＝sin x 的图像上所有点向左平移π3个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到的图像所对应的函数是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3 答案：C解析：把函数y ＝sin x 的图像上所有点向左平行移动π3个单位长度后得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图像，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的12，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像．3．函数y ＝2sin(x ＋π3)的一条对称轴为( ) A ．x ＝－π2B ．x ＝0 C.π6 D ．－π6答案：C解析：因为y ＝2sin(x ＋π3)，其对称轴可由x ＋π3＝k π＋π2，(k ∈Z )求得，解得x ＝k π＋π6，k ∈Z ，选项中只有C 符合．4．函数y ＝1－2cos π2x (x ∈[0，43])的最小值、最大值分别是( )A ．－1,3B ．－1,2C ．0,3D ．0,2答案：B解析：因为0≤π2x ≤2π3，所以－12≤cos π2x ≤1，所以得函数y ＝1－2cos π2x 的最小值、最大值分别是－1,2.5．函数y ＝sin(2x ＋π4)的一个增区间是( ) A ．(－π4，π4) B ．(－3π8，π8) C ．[－π2，0) D ．(－π8，3π8) 答案：B解析：由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )，选项中只有B 符合．6．如果函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像关于点(π3，0)中心对称，那么φ的值可以是( ) A ．－π3 B ．－π6C.π6D.π3答案：D解析：由题意得sin(2×π3＋φ)＝0，φ的值可以是π3. 二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)7．用五点法画函数y ＝2sin(3x －π6)的图像，这五个点可以分别是(π18，0)(2π9，2)，(7π18，0)，__________，(13π18，0)． 答案：(5π9，－2) 解析：由3x －π6＝3π2，x ＝5π9知，应填(5π9，－2)． 8．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)在一个周期内的图像如下，此函数的解析式为__________________________．答案：y ＝2sin(2x ＋2π3) 解析：A ＝2，T ＝2(5π12－(－π12))＝π，∴ω＝2.由最高点的坐标可知，2×(－π12)＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，所以y ＝2sin(2x ＋23π)． 9．将函数y ＝2sin x 的图像向左平移π6个单位，再将得到的图像上各点的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝f (x )的图像，若x ∈[0，π2]，则函数y ＝f (x )的值域为________．答案：[－1,2]解析：由y ＝sin x →y ＝2sin(x －π6)→y ＝2sin(2x －π6)知，f (x )＝2sin(2x －π6)．由x ∈[0，π2]得2x －π6∈[－π6，5π6]，所以函数y ＝f (x )的值域为[－1,2]． 三、解答题：(共35分，11＋12＋12)10．把函数y ＝f (x )的图像上各点向右平移π6个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的23倍，所得到图像的解析式是y ＝2sin(12x ＋π3)，求f (x )的解析式． 解：y ＝2sin(12x ＋π3)的图像纵坐标伸长到原来的32倍，得y ＝3sin(12x ＋π3)的图像，横坐标缩短到原来的12倍得到y ＝3sin(x ＋π3)的图像，再向左平移π6个单位得到y ＝3sin[(x ＋π6)＋π3]＝3cos x 的图像．故f (x )＝3cos x .11．已知函数y ＝2sin(2x ＋π4)，借助“五点作图法”画出函数f (x )在[0，7π8]上的简图，并且依图写出函数f (x )在[0，7π8]上的递增区间．解：可先画出区间[－π8，7π8]的图像，再截取所需． 列表μ＝2x ＋π4 0 π2 π 3π22π x －π8 π8 3π8 5π8 7π8y 0 2 0 －20 图像略，注意f (0)＝1，由图像可知函数在区间[0，7π8]上的单调递增区间是[0，π8]，[5π8，7π8]． 12．已知函数f (x )＝sin(2x －π6)－1. (1)写出函数f (x )的单调递增区间；(2)若不等式－1<f (x )－m <1在x ∈[π4，π2]恒成立，求实数m 的取值范围 . 解：(1)因为f (x )＝sin(2x －π6)－1 由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π(k ∈Z )得：－π6＋k π ≤x ≤π3＋k π(k ∈Z )． 所以f (x )的单调递增区间是[－π6＋k π，π3＋k π](k ∈Z )． (2)由－1<f (x )－m <1⇔－1＋f (x )<m <1＋f (x )对x ∈[π4，π2]恒成立．即－1<f (x )－m <1⇔－1＋f (x )max <m <1＋f (x )min (x ∈[π4，π2])． 当x ∈[π4，π2]时，π3≤2x －π6≤5π6. 故当2x －π6＝π2时，即x ＝π3时，f (x )取得最大值0； 当2x －π6＝5π6时，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－12. 故m 的取值范围为(－1，12)．。