第17章.量子力学基础

第十七章
量子力学基础
§17-1 微观粒子的波粒二象性
1.德布罗意波 法国物理学家德布罗意仔细分析了光的波动说和 粒子说的发展过程，他看到：整个世纪以来，人们对 光的本性的认识，注重了它的波动性,而忽视了它的 粒子性。而在实物粒子的研究上,我们是否犯了相反 错误：即只考虑了实物粒子的粒子性,而忽略了它的 波动性呢？ 1924年，德布罗意提出了一个大胆而具有深远意 义的的假设：
于是就得
( x, y, z, t ) 2 ( x, y, z, t ) U ( x, y, z, t ) i 2m t
2
这是薛定谔方程的一般形式。
2 2 2 2 2 2 2 —拉普拉斯算符 x y z 2 ˆ 2 U —哈密顿算符 H 2m
在量子力学中微观粒子的运动状态是用波函数 (x,y,z,t)来描述的。 但描述微观粒子运动状态的波函数(x,y,z,t)又 到那里去寻找呢？ 答案是：求解薛定谔方程。
§17-4 薛定谔方程
1.自由粒子的波函数和薛定谔方程 根据德布罗意关系式,能量为E和动量为p的自由粒 子与一单色平面波相联系,波长和频率为 =h/p, v=E/h 由波动理论可知, 频率为v 、波长为 、沿x方向传 播的单色平面波的波动方程为
图17-2
x p x h
还可写为
(17-8)
xpx xp x 2
(17-9)
(17-5)
实际上上述公式只用于数量级的估计,所以这 些公式所反映的物理内涵是相同的。 式(17-8)[(17-9),(17-5)]称为不确定关系，又称 测不准关系。
x px h
( x, y, z, t ) ( x, y, z ) f (t )
得
ˆ 2 U H 2m ˆ H ( x, y, z ) 1 df (t ) i =E ( x, y , z ) f (t ) dt
2
1 df (t ) i E , 其解 f (t ) e 2 2 f (t ) dt ˆ H U 2m ˆ ( x, y, z ) E ( x, y, z ) 另一方程: H 2 2 ( x, y, z ) U ( x, y, z ) E ( x, y, z ) 2m

2
dxdydz 1
(17-21)
上式一般称为波函数 的归一化条件。波函数都应当 是归一化的。
(2)波函数的标准条件 由于一定时刻在空间给定点粒子出现的概率是唯 一的, 并且应该是有限的(具体说应该小于1), 在空间 不同点处,概率分布应该是连续的,不能逐点跃变或在 任何点处发生突变。 因此，波函数 的标准条件应该是：单值、有 限、连续 。 应当指出，物质波与经典物理中的波动是不同。 对机械波,y表示位移;对电磁波,y表示电场E或磁场B， 波强与振幅A的平方成正比。 在量子力学中,物质波不代表任何实在的物理量的 波动, 波的振幅的平方(x,y,z,t)2表示粒子在t 时刻 在(x,y,z)处的单位体积中出现的概率。
可见, 子弹的速度和坐标能同时准确测定。 这表示，不确定关系施加的限制可以忽略，像子 弹这样的宏观物体可以用经典理论来研究它的运动。
例题17-5 波长=5000Å的光沿x轴正方向传播， 波长的不确定量为=10-3Å，求光子坐标的不确定量。
解 光子的动量
px
h

p x
h

2

例题17-4 估算氢原子中电子速度的不确定量。 解 电子被束缚在原子球内, 坐标的不确定量是 x=10-10m(原子的大小), 按不确定关系: xpx h,则 电子速度的不确定量为 h x mx
6.63 1034 7.3 106 (m / s) 9.111031 1010 电子速度的不确定量是如此之大！ 可见,微观粒子的速度和坐标不能同时准确测定。 这也表明，不确定关系施加的限制不允许我们用 经典理论来研究氢原子的问题，像氢原子这样的微观 粒子只能用量子力学理论来处理。
自由粒子势能为零，在非相对论情况下有
p2 E Ek 2m 在以上式子中消去p, E，就得
2 2 i 2 2m x t
(17-29)
2.定态薛定谔方程 若粒子在某势场U中运动, 则粒子的总能量应为
p2 E Ek U U 2m p2 U E , ( x, y, z, t ) 2m 2 2 2 2 2 2 p p p 设 2 , 2 , 2 2 2 2 z x y i E t
一切实物粒子也具有波粒二象性。
实物粒子—静质量不为零的粒子。
能量为E、动量为p的粒子与频率为v、波长为的 波相联系，并遵从以下关系： E=mc2=hv (17-1) (17-2)
h p m
m mo
1 2 c
2
这种和实物粒子相联系的波称为德布罗意波(物 质波或概率波),其波长称为德布罗意波长。
K=1
s1
2a s2
x
...
r2
D
o
K=0
K=1 K=2
图17-1
1926年,玻恩(M.Born)首先提出了波函数的统计解 释： 波函数模的平方(x,y,z,t)2 表示粒子在t 时刻 在(x,y,z)处的单位体积中出现的概率，即概率密度。 而(x,y,z,t)2 dxdydz 表示粒子在t 时刻在 (x,y,z)处的体积元dxdydz中出现的概率。 玻恩对波函数的这种统计解释，把微观粒子的波 粒二象性作出了完美的描述。 (1)因为在整个空间内粒子出现的概率是1, 所以有
2.为什么微观粒子的坐标和动量不能同时测准呢?
这是因为微观粒子的坐标和动量本来就不同时具 有确定量。 这本质上是微观粒子具有波粒二象性的必然反映。 由上讨论可知，不确定关系是自然界的一条客观 规律,不是测量技术和主观能力的问题。 3.不确定关系提供了一个判据： 当不确定关系施加的限制可以忽略时，则可以用 经典理论来研究粒子的运动。 当不确定关系施加的限制不可以忽略时，那只能 用量子力学理论来处理问题。
2.波函数的统计解释 波 动 观 点 粒 子 观 点 明纹处: 电子波强(x,y,z,t)2大, 电子出现的概率大; 暗纹处: 电子波强(x,y,z,t)2小, 电子出现的概率小 。 可见，波函数模的平方(x,y,z,t)2与粒子在该处 附近出现的概率成正比。
r1
电子束
x p
K=2
p m 2mEk 5.4 1024 h h =1.23Å h= 6.63×10-34 m p h (2)子弹: = 1.0×10-40m p
可见，只有微观粒子的波动性较显著；而宏观 粒子(如子弹)的波动性根本测不出来。
1 2 p Ek17-2
即电子在x方向上动量的不确定量为 px= psin 对第一级衍射暗纹，有 xsin= , 其中x—缝宽
h h 于是 p x p sin x x
x
单能电子束
p

...
p
就得 xpx= h 若计及更高级 次的衍射, 应有 y x px h 对y和z分量,也 有类似的关系。
h =0.0535Å m
mo=9.11×10-31 (kg)
例题17-3 为使电子波长为1Å，需多大的加速电 压？ 解 因电子波长较长，速度较小，可用非相对论 公式求解。
h2 1 2 p2 eV Ek m 2 2 2m 2m h2 V =150V 2 2me
m=9.11×10-31
2
例题17-2 用5×104V的电压加速电子，求电子的 速度、质量和德布罗意波长。 解 因加速电压大，应考虑相对论效应。
Ek mc moc moc (
=1.24×108(m/s)
2
2
2
1 1 2 / c2
1 ) 5 10 eV
4
m
mo
2 1 2 c
=10×10-31 (kg)
y ( x, t ) A cos( 2vt
写为复数形式就是
2x

)
i ( Et px )
y ( x, t ) Ae
i 2 ( vt x / )
Ae
这就是自由粒子的波函数。
y ( x , t ) Ae
通常写成如下形式:
i ( Et px )
(x,t)=o e
2
i ( Et px )
(17-20)
粒子在空间某处出现的概率密度为
( x, t ) o
2
由此可见,概率密度不随时间而改变,是一种稳定状 态,简称定态。
现在研究自由粒子的波函数满足什么方程。
(x,t)=o e
i ( Et px )
2 p2 2 2 x i E t
按不确定关系: xpx h, 则光子坐标的不确定 量为
h x 2.5m p x
2
§17-3 波 函 数
1.波函数 对微观粒子，由于不确定关系施加的限制不可以 忽略，它的速度和坐标不能同时确定，因此微观粒子 的运动状态,不能用坐标、速度、加速度等物理量来描 述。 由于微观粒子具有波粒二象性，这就要求在描述 微观粒子的运动时，要有创新的概念和思想来统一波 和粒子这样两个在经典物理中截然不同的物理图像。 波函数就是作为量子力学基本假设之一引入的一个新 的概念。 量子力学认为：微观粒子的运动状态可用一个复 函数(x,y,z,t)来描述，函数(x,y,z,t) —称为波函数。
(17-8)
1.不确定关系式(17-8)表明： 微观粒子的坐标测得愈准确( x0) ，动量就愈 不准确(px) ； 微观粒子的动量测得愈准确(px0) ，坐标就愈 不准确( x) 。 但这里要注意，不确定关系 不是说微观粒子的坐标测不准； 也不是说微观粒子的动量测不准； 更不是说微观粒子的坐标和动量都测不准； 而是说微观粒子的坐标和动量不能同时测准。