1.3 1.3.2 空间向量运算的坐标表示

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2022-2023学年人教A版选择性必修第一册 1-3-2 空间向量运算的坐标表示课件(48张)

第一章空间向量与立体几何
1．3 空间向量运算的坐标表示/
新课程标准
新学法解读 1.会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算
问题． 1.掌握空间向量的线性
2．掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两运算的坐标表示．
个向量是否共线或垂直． 2．掌握空间向量的数量
数量积
a·b
a·b＝_____a_1_b_1＋__a_2_b_2_＋__a_3b_3___________
知识点二空间向量的平行、垂直及模、夹角设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有
当 b≠0 时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
|a|＝ a·a＝ a12＋a22＋a32； cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝ a21＋a1ba122＋＋aa232b2b＋21＋a3bb223＋b23.
知识点三空间两点间的距离公式设 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则 P1P2＝|P→1P2|＝
_____x_2－__x_1__2＋___y_2_－__y1__2＋___z_2_－__z1__2 ____.
2．已知向量 a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝ 29，且 λ>0，则 λ 等于( C ) A．5 B．4 C．3 D．2
解析：λa＋b＝λ(0，－1,1)＋(4,1,0)＝(4,1－λ，λ)，由已知得|λa＋b|＝ 42＋1－λ2＋λ2 ＝ 29，且 λ>0，解得 λ＝3.
研习 1 空间向量的坐标运算 [典例 1] (1)已知 a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)，求 a＋b，a－b，a·b，(2a)·(－b)， (a＋b)·(a－b)．

【高中数学】1.3.1空间直角坐标系 1.3.2 空间向量运算的坐标表示

1.3 空间向量及其运算的坐标表示1.3.1 空间直角坐标系 1.3.2 空间向量运算的坐标表示基础过关练题组一空间向量的坐标表示1.在空间直角坐标系中,点P(1,2,3)关于平面Oyz 对称的点的坐标为( ) A.(1,-2,-3) B.(-1,-2,3) C.(-1,2,3) D.(-1,2,-3)2.空间直角坐标系中,已知A(1,-2,3),B(3,2,-5),则线段AB 的中点坐标为( ) A.(-1,-2,4) B.(-2,0,1) C.(2,0,-2) D.(2,0,-1)3.在直三棱柱ABO-A 1B 1O 1中,∠AOB=π2,AO=4,BO=2,AA 1=4,D 为A 1B 1的中点,则在空间直角坐标系中(O 为坐标原点),DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标是 ,A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标是 . 题组二空间向量线性运算的坐标表示4.(2020黑龙江牡丹江第一高级中学高二上期中)已知O 为原点,a=(1,-2,1),a-b=(-1,2,-1),则b 等于( ) A.(2,-4,2) B.(-2,4,-2) C.(-2,0,-2) D.(2,1,-3)5.已知向量a=(1,2,3),b=(-1,0,1),则a+2b=( ) A.(-1,2,5) B.(-1,4,5) C.(1,2,5)D.(1,4,5)6.(2020湖南长沙明德中学高二上月考)若a =(1,λ,2),b=(2,-1,2),c=(1,4,4),且a,b,c 共面,则λ= .7.(2020湖南师范大学附属中学高二上期中)已知a=(x,1,3),b=(-1,3,9),若a 与b 共线,则x 的值是 .8.已知O 是坐标原点,且A,B,C 三点的坐标分别是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3),求适合下列条件的点P 的坐标:(1)OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ );(2)AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC⃗⃗⃗⃗⃗ ).题组三空间向量数量积的坐标表示9.已知a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,0,1),p=a-b,q=a+2b-c,则p ·q=( ) A.-1 B.1 C.0 D.-210.直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面是边长为2的正三角形,侧棱为3,M,N 分别为A 1C 1,BC 的中点,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.2 B.-2 C.√10D.-√1011.(2020重庆高二上期中)如图,建立空间直角坐标系Oxyz.单位正方体ABCD-A'B'C'D'的顶点A 位于坐标原点,其中B(1,0,0),D(0,1,0),A'(0,0,1).(1)若E 是棱B'C'的中点,F 是棱B'B 的中点,G 是侧面CDD'C'的中心,分别求出向量OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,FG⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标; (2)在(1)的条件下,分别求出(OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +OG ⃗⃗⃗⃗⃗ )·FG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,|EG⃗⃗⃗⃗⃗ |的值.12.已知向量a=(2,1,-2),c=(-1,0,1),向量b同时满足下列三个条件:①a·b=-1;②|b|=3;③b⊥c.(1)求a+2c的模;(2)求向量b的坐标.题组四利用空间向量的坐标运算解决平行和垂直问题13.设x,y ∈R,向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(2,-4,2),且a ⊥c,b ∥c,则x+y 的值为( ) A.-1 B.1 C.2 D.314.(2020山西大同第一中学高二上期中)如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M,N 分别是BC 1,CD 1的中点,则下列说法错误的是( )A.MN 与CC 1垂直B.MN 与AC 垂直C.MN 与BD 平行D.MN 与A 1B 1平行15.已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,5,-2),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1,z),若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-1,y,-3),且BP ⊥平面ABC,则BP⃗⃗⃗⃗⃗ = . 题组五利用空间向量求夹角和距离(长度)16.在空间直角坐标系中,已知M(-1,0,2),N(3,2,-4),则MN 的中点P 到坐标原点O 的距离为( ) A.√3 B.√2C.2D.317.(2020四川绵阳中学高二上期中)空间直角坐标系中的点A(3,3,1)关于平面Oxy 的对称点A'与点B(-1,1,5)间的距离为( ) A.6 B.2√6C.4√3D.2√1418.(2020北京十二中高二上期中)已知点A(0,1,2),B(1,-1,3),C(1,5,-1). (1)若D 为线段BC 的中点,求线段AD 的长;(2)若AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,a,1),且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =1,求a 的值,并求此时向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角的余弦值.19.(2020山西太原第五中学高二上月考)如图,以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系Oxyz,点P在线段AB上,点Q在线段DC上.(1)当PB=2AP,且点P关于y轴的对称点为M时,求|PM|的长度;(2)当点P是面对角线AB的中点,点Q在面对角线DC上运动时,探究|PQ|的最小值.深度解析能力提升练题组一空间向量运算的坐标表示1.(2020山东泰安第一中学高二上期末,)已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若{a,b,c}不能构成空间的一个基底,则实数λ的值为()A.0B.357C.9 D.6572.(2020北京东直门中学高二上期中,)已知O 为原点,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,3),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,2),OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,2),点Q 在直线OP 上运动,则QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QB ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值时,点Q 的坐标为( ) A.(12,34,13) B.(12,23,34)C.(43,43,83) D.(43,43,73) 3.(多选)(2020陕西西北大学附属中学高二上期中,)设几何体ABCD-A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体,A 1C 与B 1D 相交于点O,则( ) A.A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a 2 B.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√2a 2C.CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-a 2D.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12a4.(多选)()已知向量a ·b=b ·c=a ·c,b=(3,0,-1),c=(-1,5,-3),下列等式中正确的是( )A.(a ·b)·c=b ·cB.(a+b)·c=a ·(b+c)C.(a+b+c)2=a 2+b 2+c 2D.|a+b+c|=|a-b-c|5.()已知点P 是棱长为1的正方体A 1B 1C 1D 1-ABCD 的底面A 1B 1C 1D 1上一点(包括边界),则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 . 题组二利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题 6.(2020江苏启东中学高二上期中,)已知两个向量a=(2,-1,3),b=(4,m,n),且a ∥b,则m+n 的值为 (深度解析) A.1 B.2 C.4 D.8 7.()在三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中,侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1,∠BAC=90°,AB=AC=AA 1=1,D 是棱CC 1的中点,P 是AD 的延长线与A 1C 1的延长线的交点.若点Q 在直线B 1P 上,则下列结论正确的是( ) A.当点Q 为线段B 1P 的中点时,DQ ⊥平面A 1BD B.当点Q 为线段B 1P 的三等分点时,DQ ⊥平面A 1BDC.在线段B1P的延长线上,存在一点Q,使得DQ⊥平面A1BDD.不存在点Q,使DQ与平面A1BD垂直8.()已知a=(3,2λ-1,1),b=(μ+1,0,2μ).若a⊥b,则μ=;若a∥b,则λ+μ=.9.(2020浙江绍兴高二上期末阶段测试,)如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1,AA1⊥平面ABCD,四边形ABCD是正方形,点E在线段A1D上,且A1E=2ED.(1)证明:BD1⊥AC;(2)证明:BD1∥平面ACE.题组三利用空间向量的坐标运算解决长度和夹角问题10.(2020安徽芜湖高二上期末,)如图,在三棱锥P-ABC中,△ABC为等边三角形,△PAC为等腰直角三角形,PA=PC=4,平面PAC⊥平面ABC,D为AB的中点,则异面直线AC与PD所成角的余弦值为(深度解析)A.14B.√24C.√34D.1211.(2020湖北武汉高二期末联考,)在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,P 是底面ABCD(含边界)上一动点,满足A 1P ⊥AC 1,则线段A 1P 长度的取值范围是( ) A.[√62,√2] B.[√62,√3]C.[1,√2]D.[√2,√3]12.(多选)(2020山东莱州第一中学高二上期末,)正方体A 1B 1C 1D 1-ABCD 的棱长为2,M 为B 1C 1的中点,下列命题中正确的是( ) A.AB 1与BC 1成60°角B.若CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =13NC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,面A 1MN 交CD 于点E,则CE=13C.P 点在正方形ABB 1A 1边界及内部运动,且MP ⊥DB 1,则P 点的轨迹长等于√2D.E,F 分别在DB 1,A 1C 1上,且DE EB 1=A 1FFC 1=2,直线EF 与AD 1,A 1D 所成角分别是α,β,则α+β=π2答案全解全析基础过关练1.C 点P 关于平面Oyz 对称的点的坐标与点P 的横坐标相反,故选C.2.D 设中点坐标为(x,y,z),根据中点坐标公式得x=1+32=2,y=-2+22=0,z=3−52=-1.3.答案 (-2,-1,-4);(-4,2,-4)解析如图建系,则O(0,0,0),A 1(4,0,4),B 1(0,2,4),B(0,2,0),∴A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,2,-4).∵D 为A 1B 1的中点,∴D(2,1,4),∴DO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-1,-4).4.A ∵a-b=(-1,2,-1),∴b=a-(-1,2,-1)=(1,-2,1)-(-1,2,-1)=(2,-4,2),故选A.5.A a+2b=(1,2,3)+2(-1,0,1)=(1,2,3)+(-2,0,2)=(-1,2,5),故选A.6.答案 1解析 ∵a,b,c 共面,∴存在实数m,n,使得c=ma+nb, ∴{1=m +2n,4=λm -n,4=2m +2n,解得λ=1. 7.答案 -13解析 ∵a 与b 共线,∴∃λ∈R,使b =λa, ∴{-1=λx,3=λ,9=3λ,解得{λ=3,x =−13.8.解析由题得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,6,-3),AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,3,1). (1)∵OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(2+4,6-3,-3-1)=12(6,3,-4)=(3,32,-2), ∴P (3,32,-2).(2)∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12(2+4,6-3,-3-1)=12(6,3,-4)=(3,32,-2), ∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,2)+(3,32,-2) =(5,12,0),∴P (5,12,0).9.A p=a-b=(1,0,-1),q=a+2b-c=(1,1,0)+(0,2,2)-(1,0,1)=(0,3,1), ∴p ·q=1×0+0×3+(-1)×1=-1,故选A. 10.B 如图,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),M (12,√32,3),N (32,√32,0),∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0),NM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,3), ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×(-1)+0+0=-2,故选B.11.解析 (1)由题图知,O(0,0,0),E (1,12,1),G (12,1,12),F (1,0,12),∴OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,12,1),OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,1,12),OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,12),∴FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =OG ⃗⃗⃗⃗⃗ -OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,1,12)-1,0,12=(-12,1,0).(2)(OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +OG ⃗⃗⃗⃗⃗ )·FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,32,32)·(-12,1,0)=34,EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =OG ⃗⃗⃗⃗⃗ -OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-12,12,-12),∴|EG ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√EG⃗⃗⃗⃗⃗ 2=√32. 12.解析 (1)∵a=(2,1,-2),c=(-1,0,1),∴a+2c=(2,1,-2)+(-2,0,2)=(0,1,0), ∴|a+2c|=√0+1+0=1.(2)设b=(x,y,z),则a ·b=2x+y-2z=-1①,|b|=√x 2+y 2+z 2=3②,b ·c=-x+z=0③, 由①②③得{x =2,y =−1,z =2或{x =−2,y =−1,z =−2,∴b=(2,-1,2)或b=(-2,-1,-2).13.A ∵a ⊥c,∴a ·c=2x-4+2=0,解得x=1,又b ∥c,∴12=y-4=12,解得y=-2,则x+y=-1,故选A.14.D 设正方体的棱长为1,如图,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A 1(1,0,1),B 1(1,1,1),C 1(0,1,1),M (12,1,12),N (0,12,12),∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-12,-12,0),CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,0),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,0),A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0),∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴MN ⊥CC 1,A 说法正确;MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12-12=0,∴MN ⊥AC,B 说法正确;易知BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,且M,N ∉BD,∴MN ∥BD,C 说法正确;设MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λA 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,得{-12=0×λ,-12=λ,0=0×λ,无解,所以MN 与A 1B 1不平行,D 说法错误.故选D.15.答案 (337,-157,-3)解析因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即1×3+5×1+(-2)z=0,所以z=4.因为BP ⊥平面ABC, 所以BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC⃗⃗⃗⃗⃗ , 即{1×(x -1)+5y +(−2)×(−3)=0,3(x -1)+y +4×(−3)=0, 解得{x =407,y =−157,所以BP⃗⃗⃗⃗⃗ =(337,-157,-3). 16.A 由中点坐标公式,得P(1,1,-1),所以OP⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,-1),|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+1+1=√3.故选A. 17.D 由题意得,A'(3,3,-1),所以A'B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,-2,6),所以|A'B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√16+4+36=2√14,故选D.18.解析 (1)由题意得,D(1,2,1),∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,-1),|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+1+1=√3,即线段AD 的长为√3.(2)易知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2,1),∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2-2a+1=1,解得a=1,∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,1).∴cos<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗ ||AD ⃗⃗⃗⃗ |=√6×√6=16,即向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角的余弦值为16.19.解析由题意知A(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,0),D(1,1,1). (1)由PB=2PA 得P (1,13,23),所以M (-1,13,-23),所以|PM|=2√133.(2)当点P 是面对角线AB 的中点时,P (1,12,12),点Q 在面对角线DC 上运动,设点Q(a,1,a),a ∈[0,1], 则|PQ|=√(a -1)2+(1−12)2+(a -12)2=√2a 2-3a+32=√2(a -34)2+38,所以当a=34时,|PQ|取得最小值√64,此时点Q (34,1,34). 方法归纳利用向量坐标求空间中线段长度的一般步骤:(1)建立适当的空间直角坐标系;(2)求出线段端点的坐标(或线段对应向量的坐标);(3)利用两点间的距离公式求出线段的长(或利用向量模的坐标公式求出对应向量的模).能力提升练1.D ∵{a,b,c}不能构成空间的一个基底,∴a,b,c 共面,则c=xa+yb,其中x,y ∈R,则(7,5,λ)=(2x,-x,3x)+(-y,4y,-2y)=(2x-y,-x+4y,3x-2y), ∴{7=2x -y,5=−x +4y,λ=3x -2y,解得{x =337,y =177,λ=657.故选D.2.C 点Q 在直线OP 上运动,设OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ,λ,2λ)(λ∈R),则QA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-λ,2-λ,3-2λ),QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-λ,1-λ,2-2λ), ∴QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =6(λ-43)2-23,当λ=43时,QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QB ⃗⃗⃗⃗⃗ 最小,此时,Q (43,43,83),故选C.3.AC 如图,建立空间直角坐标系,则A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),D(0,0,0),A 1(a,0,a),B 1(a,a,a),O (a 2,a 2,a2),∴A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,a,0),AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a,a,0),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,a,0),A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a,a,-a),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-a,0),AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,a,a),A 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a 2,a 2,-a2). ∴A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a 2,A 对;AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a 2,B 错;CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-a 2,C 对;AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12a 2,D 错.故选AC.4.BCD 易得a ·b=a ·c=b ·c=-3+0+3=0.(a ·b)·c=0,b ·c=0,所以A 选项错误;(a+b)·c-a ·(b+c)=a ·c+b ·c-a ·b-a ·c=0,所以(a+b)·c=a ·(b+c),所以B 选项正确; (a+b+c)2=a 2+b 2+c 2+2a ·b+2b ·c+2a ·c=a 2+b 2+c 2,所以C 选项正确; (a-b-c)2=a 2+b 2+c 2-2a ·b+2b ·c-2a ·c=a 2+b 2+c 2,即(a+b+c)2=(a-b-c)2,|a+b+c|=|a-b-c|,所以D 选项正确. 故选BCD. 5.答案 [12,1]解析如图所示,建立空间直角坐标系,则A 1(0,0,0),A(0,0,1),C(1,1,1). 设P(x,y,0)(x,y ∈[0,1]).则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x,-y,1),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-x,1-y,1), ∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-x(1-x)-y(1-y)+1 =(x -12)2+(y -12)2+12. ∵x,y ∈[0,1],∴当x=12,y=12时,PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC⃗⃗⃗⃗⃗ 有最小值12.当点P 取(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0)时,PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 有最大值1. ∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[12,1]. 6.C 因为a ∥b,所以∃λ∈R,使得b =λa,得{4=2λ,m =−λ,n =3λ,解得{λ=2,m =−2,n =6,所以m+n=4,故选C.解题反思在解决有关平行的问题时,通常需要引入参数,如本题中已知a ∥b,引入参数λ,使b =λa,转化为方程组求解;本题也可以利用坐标成比例求解,即由a ∥b,得42=m-1=n3,求出m,n.7.D 如图,建立空间直角坐标系,则A 1(0,0,0),B 1(1,0,0),B(1,0,1),D (0,1,12),P(0,2,0),所以B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,0),B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,12),A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1),A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,12). 设存在点Q,使DQ 与平面A 1BD 垂直,设B 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λB 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1),则DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λB 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-λ,2λ,0)--1,1,12=(1−λ,2λ-1,-12).由{DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,得{1−λ-12=0,2λ-1-14=0,无解,故选D.8.答案 -35;710解析由a ⊥b,得a ·b =3(μ+1)+2μ=0,解得μ=-35.由a ∥b,得μ+13=2μ1,且2λ-1=0,解得μ=15,λ=12,所以λ+μ=710.9.证明 (1)设AC 与BD 交于点O,A 1C 1与B 1D 1交于点O 1,连接OO 1,设AB=a,AA 1=b.如图,建立空间直角坐标系,则O(0,0,0),A (0,−√22a,0),B (√22a,0,0),C (0,√22a,0),D (-√22a,0,0),A 1(0,−√22a,b),D 1(-√22a,0,b),∴BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√2a,0,b),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2a,0), ∴BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴BD 1⊥AC.(2)设E(x,y,z),∵A 1E=2ED,∴A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即x,y+√22a,z-b =2(-√22a -x,-y,-z),解得x=-√23a,y=-√26a,z=b3,即E (-√23a,-√26a,13b),∴AE⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√23a,√23a,13b). 设BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAE ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R),则(-√2a,0,b)=λ(0,√2a,0)+μ(-√23a,√23a,13b), 即{-√2a =0−√23μa,0=√2λa +√23μa,b =0+13μb,解得{λ=−1,μ=3,即BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +3AE ⃗⃗⃗⃗⃗ .∴BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 共面,又BD 1⊄平面ACE,∴BD 1∥平面ACE.10.B 取AC 的中点O,连接OP,OB, ∵PA=PC,∴AC ⊥OP,∵平面PAC ⊥平面ABC,平面PAC ∩平面ABC=AC, ∴OP ⊥平面ABC,又∵AB=BC,∴AC ⊥OB,以O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,∵△PAC 是等腰直角三角形,PA=PC=4,△ABC 为等边三角形, ∴A(2√2,0,0),C(-2√2,0,0),P(0,0,2√2),D(√2,√6,0), ∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4√2,0,0),PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,√6,-2√2), ∴cos<AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PD ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AC ⃗⃗⃗⃗ ·PD⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗ ||PD ⃗⃗⃗⃗ |=√=-√24.∴异面直线AC 与PD 所成角的余弦值为√24.故选B.解题反思用坐标法求解立体几何问题,关键是建立适当的空间直角坐标系.建系时,关键是寻找线面垂直的条件,将垂线所在直线作为z 轴,利用底面的图形特点建立x 轴和y 轴.11.A 如图,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),A 1(0,0,1),C 1(1,1,1), ∵P 是底面ABCD(含边界)上一动点, ∴设P(x,y,0)(0≤x ≤1,0≤y ≤1), 则A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y,-1),AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1), ∵A 1P ⊥AC 1,∴A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x+y-1=0,∴A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=x 2+y 2+1=x 2+(1-x)2+1=2x 2-2x+2=2(x -12)2+32, ∴当x=12时,A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2取最小值32,此时线段A 1P 的长度为√62;当x=0或x=1时,A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2取最大值2,此时线段A 1P 的长度为√2,∴线段A 1P 长度的取值范围是[√62,√2].故选A.12.ACD 如图,建立空间直角坐标系,则A(2,0,2),B(2,2,2),C(0,2,2),D(0,0,2),A 1(2,0,0),B 1(2,2,0),C 1(0,2,0),D 1(0,0,0),M(1,2,0).对于A,AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-2),BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,-2),cos<AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√√=12,∴AB 1与BC 1成60°角,A 对;对于B,∵CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =13NC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴N (0,2,32),设E(0,m,2),则A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,0),A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2,32),A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,m,2),由已知得A 1,M,N,E 四点共面, ∴∃λ,μ∈R,使得A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λA 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μA 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 得{-1=-2λ-2μ,2=2λ+mμ,0=32λ+2μ,解得{λ=2,μ=−32,m =43,∴E (0,43,2),∴CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−23,0),|CE⃗⃗⃗⃗⃗ |=23,B 错; 对于C,设P(2,y,z)(0≤y ≤2,0≤z ≤2),则MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,y-2,z),DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,-2), 由MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2+2y-4-2z=0,得y-z=1.∴点P 的轨迹长为线段y-z=1(1≤y ≤2)的长度,为√2,C 对; 对于D,∵E,F 分别在DB 1,A 1C 1上,且DE EB 1=A 1FFC 1=2,∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23(2,2,-2)=(43,43,-43),A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23(-2,2,0)=(-43,43,0),则E (43,43,23),F (23,43,0),则EF⃗⃗⃗⃗⃗ =(-23,0,-23), 则cos α=|cos<EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,D 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|-43-43√(-3)2+(-3)2×√4+4|=832√23×2√2=1,故α=0,cos β=|cos<EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|-43+43√(-3)+(-3)×√4+4=0,故β=π2,即α+β=π2,故D 正确.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

数学人教A版选择性必修第一册13.2空间向量运算的坐标表示课件

(1)空间向量加减、数乘、数量积运算的坐标表示 (2)平行向量、垂直向量的坐标表示， (3)空间向量长度、夹角公式及空间两点间距离公式
2、用向量法解决立体几何问题的一般步骤
①建系，读取点坐标 ②构造向量并坐标化 ③进行向量的坐标运算，获得几何结论
且 a ⊥b .求x的值且a //b. 求x+y的值且a与b的夹角
例题分析
如图，在正方体ABCD-A₁BC₁D₁中，点E,F 分别是AB,CD 的一个四等分点，求BE 与 DF₁ 所成角的余弦值.
法一：几何法(定义) 法二：向量法
பைடு நூலகம்题分折
如图，在正方体ABCD-A₁BC₁D₁ 中，点E,F 分别是AB,CD 的一个四等分点，求BE 与 DF₁ 所成角的余弦值.
法一：几何法(定义) 法二：向量法
【方法提炼】①建系、读取点坐标 ②构造向量并坐标化 ⑤进行向量的坐标运算，获得几何结论
变式1:若点E,F 分别是BB,D₁B₁的中点，求证EF⊥DA.
变式2:G 是 BB₁ 的一个靠近点B 的四等分点，H 为DD₁ 上的一点，若GH⊥DF, 试确定H点的位置.
演练反馈
减法： a-b=(a₁-a₂,b₁-b₂,c₁c₂)
你能对这些运
算的生标表示
加以证明吗?
数乘： λa=(λa,λb,2c₁)
O
数量积：抓a.住b=根aa₂本+b：₁b₂空+c₁间C₂向量的坐标表示!
探究新知
2、空间向量平行与垂直的坐标表示
平行：a lIb(b≠0)→a=λb⇔a=λa₂,b₁=λb₂,c₁=λc₂ (λ∈R)
探究新知
在空间直角坐标系中，已知点 A(a,b,c₁),B(a₂,b₂,C₂),

第一章 §1.3 1.3.2 空间向量运算的坐标表示

1.3.2 空间向量运算的坐标表示学习目标 1.掌握空间向量运算的坐标表示.2.掌握空间两点间的距离公式.3.会用向量的坐标解决一些简单的几何问题．导语前面我们通过引入空间直角坐标系，将空间向量的坐标与空间点的坐标一一对应起来．那么有了空间向量的坐标表示，类比平面向量的坐标运算，同学们是否可以探究出空间向量运算的坐标表示并给出证明？一、空间向量运算的坐标表示知识梳理设向量a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，λ∈R ，那么向量运算向量表示坐标表示加法 a ＋b (a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3) 减法 a －b (a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)数乘 λa (λa 1，λa 2，λa 3) 数量积a ·ba 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3注意点：(1)空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致．(2)设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)．即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．(3)运用公式可以简化运算：(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2；(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2. (4)向量线性运算的结果仍是向量，用坐标表示；数量积的结果为数量．例1 (1)已知a ＝(－1,2,1)，b ＝(2,0,1)，则(2a ＋3b )·(a －b )＝________. 答案－4解析易得2a ＋3b ＝(4,4,5)，a －b ＝(－3,2,0)，则(2a ＋3b )·(a －b )＝4×(－3)＋4×2＋5×0＝－4.(2)在△ABC 中，A (2，－5,3)，AB →＝(4,1,2)，BC →＝(3，－2,5)． ①求顶点B ，C 的坐标； ②求CA →·BC →；③若点P 在AC 上，且AP →＝12PC →，求点P 的坐标．解 ①设B (x ，y ，z )，C (x 1，y 1，z 1)，所以AB →＝(x －2，y ＋5，z －3)， BC →＝(x 1－x ，y 1－y ，z 1－z )．因为AB →＝(4,1,2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝4，y ＋5＝1，z －3＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝－4，z ＝5，所以点B 的坐标为(6，－4,5)．因为BC →＝(3，－2,5)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1－6＝3，y 1＋4＝－2，z 1－5＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝9，y 1＝－6，z 1＝10，所以点C 的坐标为(9，－6,10)．②因为CA →＝(－7,1，－7)，BC →＝(3，－2,5)，所以CA →·BC →＝－21－2－35＝－58. ③设P (x 2，y 2，z 2)，则AP →＝(x 2－2，y 2＋5，z 2－3)， PC →＝(9－x 2，－6－y 2,10－z 2)，于是有(x 2－2，y 2＋5，z 2－3)＝12(9－x 2，－6－y 2,10－z 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2＝12(9－x 2)，y 2＋5＝12(－6－y 2)，z 2－3＝12(10－z 2)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝133，y 2＝－163，z 2＝163，故点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫133，－163，163. 反思感悟空间向量坐标运算的规律及注意点(1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定． (2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算．(3)由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标．跟踪训练1 已知a ＋b ＝(2，2，23)，a －b ＝(0，2，0)，则a ＝________，b ＝________，a ·b ＝________.答案 (1，2，3) (1,0，3) 4解析 a ＋b ＝(2，2，23)，a －b ＝(0，2，0)， ∴a ＝(1，2，3)，b ＝(1,0，3)， ∴a ·b ＝1＋0＋3＝4.二、空间向量平行、垂直的坐标表示及应用知识梳理设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则有平行关系：当b ≠0时，a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R )；垂直关系：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0. 注意点：(1)要证明a ⊥b ，就是证明a ·b ＝0；要证明a ∥b ，就是证明a ＝λb (b ≠0)． (2)a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，若a ∥b ，则x 1x 2＝y 1y 2＝z 1z 2成立的条件是x 2y 2z 2≠0.例2 (1)已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设AB →＝a ，AC →＝b . ①设向量c ＝⎝⎛⎭⎫－32，－1，1，试判断2a －b 与c 是否平行？ ②若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k .解 ①因为a ＝AB →＝(1,1,0)，b ＝AC →＝(－1,0,2)，所以2a －b ＝(3,2，－2)，又c ＝⎝⎛⎭⎫－32，－1，1，所以2a －b ＝－2c ，所以(2a －b )∥c .②因为a ＝AB →＝(1,1,0)，b ＝AC →＝(－1,0,2)，所以k a ＋b ＝(k －1，k ,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)．又因为(k a ＋b )⊥(k a －2b )，所以(k a ＋b )·(k a －2b )＝0，即(k －1，k ,2)·(k ＋2，k ，－4)＝2k 2＋k －10＝0. 解得k ＝2或－52.(2)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱D 1D 的中点，点P ，Q 分别为线段B 1D 1，BD 上的点，且3B 1P →＝PD 1→，若PQ ⊥AE ，BD →＝λDQ →，求λ的值．解如图所示，以点D 为原点，分别以DA →，DC →，DD 1→的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫0，0，12，B (1,1,0)，B 1(1,1,1)，D 1(0,0,1)，由题意，可设点P 的坐标为(a ，a ,1)，因为3B 1P —→＝PD 1→，所以3(a －1，a －1,0)＝(－a ，－a ,0)，所以3a －3＝－a ，解得a ＝34，所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫34，34，1.由题意可设点Q 的坐标为(b ，b ,0)，因为PQ ⊥AE ，所以PQ →·AE →＝0，所以⎝⎛⎭⎫b －34，b －34，－1·⎝⎛⎭⎫－1，0，12＝0，即－⎝⎛⎭⎫b －34－12＝0，解得b ＝14，所以点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫14，14，0，因为BD →＝λDQ →，所以(－1，－1,0)＝λ⎝⎛⎭⎫14，14，0，所以λ4＝－1，故λ＝－4.延伸探究1．若本例中的PQ ⊥AE 改为B 1Q ⊥EQ ，其他条件不变，结果如何？解以点D 为原点，DA →，DC →，DD 1→的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)设正方体棱长为1，点Q 的坐标为(c ，c ,0)，因为B 1Q ⊥EQ ，所以B 1Q →·EQ →＝0，所以(c －1，c －1，－1)·⎝⎛⎭⎫c ，c ，－12＝0，即c (c －1)＋c (c －1)＋12＝0,4c 2－4c ＋1＝0，解得c ＝12，所以点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，12，0，所以点Q 是线段BD 的中点，所以BD →＝－2DQ →，故λ＝－2.2．本例中若点G 是A 1D 的中点，点H 在平面Dxy 上，且GH ∥BD 1，试判断点H 的位置．解以点D 为原点，DA →，DC →，DD 1→的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，因为点G 是A 1D 的中点，所以点G 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，12，因为点H 在平面Dxy 上，设点H 的坐标为(m ，n ,0)，因为GH →＝⎝⎛⎭⎫m －12，n ，－12，BD 1→＝(－1，－1,1)，且GH ∥BD 1，所以m －12－1＝n －1＝－121，解得m ＝1，n ＝12.所以点H 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，12，0，所以点H 为线段AB 的中点．反思感悟 (1)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解．(2)利用向量证明直线、平面平行或垂直，则要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明．跟踪训练2 如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，CE ⊥AC ，EF ∥AC ，AB ＝2，CE ＝EF ＝1.(1)求证：AF ∥平面BDE ； (2)求证：CF ⊥平面BDE .证明 (1)设AC 与BD 交于点G ，连接EG . 因为EF ∥AC ，且EF ＝1，AG ＝12AC ＝1，所以四边形AGEF 为平行四边形，所以AF ∥EG .因为EG ⊂平面BDE ，AF ⊄平面BDE ，所以AF ∥平面BDE .(2)因为正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面相互垂直，且CE ⊥AC ，所以CE ⊥平面ABCD . 如图，以C 为原点，建立空间直角坐标系Cxyz .则C (0,0,0)，A (2，2，0)，B (0，2，0)，D (2，0,0)，E (0,0,1)，F ⎝⎛⎭⎫22，22，1.所以CF →＝⎝⎛⎭⎫22，22，1，BE →＝(0，－2，1)，DE →＝(－2，0,1)．所以CF →·BE →＝0－1＋1＝0，CF →·DE →＝－1＋0＋1＝0，所以CF →⊥BE →，CF →⊥DE →，即CF ⊥BE ，CF ⊥DE .又BE ∩DE ＝E ，且BE ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，所以CF ⊥平面BDE . 三、夹角和距离的计算问题你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗？提示如图，建立空间直角坐标系Oxyz ，设P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)是空间中任意两点，P 1P 2—→＝OP 2→－OP 1→＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)，于是|P 1P 2—→|＝P 1P 2—→·P 1P 2—→＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＋(z 2－z 1)2所以P 1P 2＝|P 1P 2—→|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＋(z 2－z 1)2，因此，空间中已知两点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB ＝|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＋(z 2－z 1)2. 知识梳理设P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)，P 1P 2＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＋(z 2－z 1)2. 注意点：(1)空间两点间的距离公式类似于平面中的两点之间的距离公式，可以类比记忆． (2)若O (0,0,0)，P (x ，y ，z )，则|OP →|＝x 2＋y 2＋z 2.例3 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别是AA 1，CB 1的中点．(1)求BM ，BN 的长． (2)求△BMN 的面积．解以C 为原点，以CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图．则B (0,1,0)，M (1,0,1)， N ⎝⎛⎭⎫0，12，1. (1)∵BM →＝(1，－1,1)， BN →＝⎝⎛⎭⎫0，－12，1， ∴|BM →|＝12＋(－1)2＋12＝3， |BN →|＝02＋⎝⎛⎭⎫－122＋12＝52. 故BM 的长为3，BN 的长为52. (2)S △BMN ＝12·BM ·BN ·sin ∠MBN .∵cos ∠MBN ＝cos 〈BM →，BN →〉＝BM →·BN →|BM →||BN →|＝323×52＝155，∴sin ∠MBN ＝1－⎝⎛⎭⎫1552＝105，故S △BMN ＝12×3×52×105＝64.即△BMN 的面积为64. 反思感悟利用空间向量的坐标运算的一般步骤(1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系． (2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标． (3)论证、计算：结合公式进行论证、计算． (4)转化：转化为平行与垂直、夹角与距离问题．跟踪训练3 如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1D ，BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，H 为C 1G 的中点．(1)求证：EF ⊥B 1C ； (2)求FH 的长；(3)求EF 与C 1G 所成角的余弦值．(1)证明如图，建立空间直角坐标系Dxyz ，D 为坐标原点，则有E ⎝⎛⎭⎫0，0，12，F ⎝⎛⎭⎫12，12，0，C (0,1,0)，B 1(1,1,1)，EF →＝⎝⎛⎭⎫12，12，0－⎝⎛⎭⎫0，0，12＝⎝⎛⎭⎫12，12，－12，B 1C —→＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1,0，－1)．∴EF →·B 1C —→＝12×(－1)＋12×0＋⎝⎛⎭⎫－12×(－1)＝0， ∴EF →⊥B 1C —→，即EF ⊥B 1C .(2)解 ∵F ⎝⎛⎭⎫12，12，0，H ⎝⎛⎭⎫0，78，12， ∴FH →＝⎝⎛⎭⎫－12，38，12， ∴|FH →|＝⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫382＋⎝⎛⎭⎫122＝418. ∴FH 的长为418. (3)解 ∵C 1(0,1,1)，G 1⎝⎛⎭⎫0，34，0， ∴C 1G —→＝⎝⎛⎭⎫0，34，0－(0,1,1)＝⎝⎛⎭⎫0，－14，－1. ∴|C 1G —→|＝174.又EF →·C 1G —→＝12×0＋12×⎝⎛⎭⎫－14＋⎝⎛⎭⎫－12×(－1)＝38，|EF →|＝32， ∴|cos 〈EF →，C 1G —→〉|＝|EF →·C 1G —→||EF →|·|C 1G —→|＝5117.即异面直线EF 与C 1G 所成角的余弦值为5117.1．知识清单： (1)向量的坐标的运算． (2)向量的坐标表示的应用． 2．方法归纳：类比、转化． 3．常见误区：(1)由两向量共线直接得到两向量对应坐标的比相等．(2)求异面直线所成的角时易忽略范围；讨论向量夹角忽略向量共线的情况．1．已知M (5，－1,2)，A (4,2，－1)，O 为坐标原点，若OM →＝AB →，则点B 的坐标应为( ) A ．(－1,3，－3) B ．(9,1,1)C ．(1，－3,3)D ．(－9，－1，－1)答案 B解析 OM →＝AB →＝OB →－OA →，OB →＝OM →＋OA →＝(9,1,1)．2．已知向量a ＝(0，－1,1)，b ＝(4,1,0)，|λa ＋b |＝29，且λ>0，则λ等于( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 答案 C解析 λa ＋b ＝λ(0，－1,1)＋(4,1,0)＝(4,1－λ，λ)，由已知得|λa ＋b |＝42＋(1－λ)2＋λ2＝29，且λ>0，解得λ＝3.3．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是( ) A ．1 B.15 C.35 D.75答案 D解析依题意得(k a ＋b )·(2a －b )＝0，所以2k |a |2－k a ·b ＋2a ·b －|b |2＝0，而|a |2＝2，|b |2＝5，a ·b ＝－1，所以4k ＋k －2－5＝0，解得k ＝75.4．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量AB →与AC →的夹角为________．答案 π3解析 ∵AB →＝(0,3,3)，AC →＝(－1,1,0)， ∴|AB →|＝32，|AC →|＝2，AB →·AC →＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3， ∴cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12，又∵〈AB →，AC →〉∈[0，π]，∴〈AB →，AC →〉＝π3.课时对点练1．已知a ＝(1，－2,1)，a －b ＝(－1,2，－1)，则b 等于( ) A ．(2，－4,2) B ．(－2,4，－2) C ．(－2,0，－2) D ．(2,1，－3)答案 A解析 b ＝a －(－1,2，－1)＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)． 2．已知A (3,4,5)，B (0,2,1)，O (0,0,0)，若OC →＝25AB →，则C 的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－65，－45，－85 B.⎝⎛⎭⎫65，－45，－85 C.⎝⎛⎭⎫－65，－45，85 D.⎝⎛⎭⎫65，45，85 答案 A解析设点C 的坐标为(x ，y ，z )，则OC →＝(x ，y ，z )，又AB →＝(－3，－2，－4)，OC →＝25AB →，所以x ＝－65，y ＝－45，z ＝－85，所以C ⎝⎛⎭⎫－65，－45，－85. 3．已知a ＝(1,0,1)，b ＝(－2，－1,1)，c ＝(3,1,0)，则|a －b ＋2c |等于( ) A ．310 B ．210 C.10 D ．5 答案 A解析 ∵a －b ＋2c ＝(9,3,0)， ∴|a －b ＋2c |＝92＋32＋02＝310.4．已知A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形答案 C解析因为AB →＝(3,4，－8)，BC →＝(2，－3,1)，AC →＝(5,1，－7)， BC →·AC →＝10－3－7＝0，∴BC ⊥AC ，而|BC →|＝14，|AC →|＝53，所以△ABC 是直角三角形．5．空间中点A (3,3,1)关于平面Oxy 的对称点A ′与B (－1，1,5)的长度为( ) A ．6 B ．2 6 C ．4 3 D ．214 答案 D解析点A (3,3,1)关于平面Oxy 的对称点A ′的坐标为(3,3，－1)，所以A ′与B (－1,1,5)的长度为 A ′B ＝(3＋1)2＋(3－1)2＋(－1－5)2＝214.6．已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(－2，－4，－6)，|c |＝14，若(a ＋b )·c ＝7，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 答案 C解析 a ＋b ＝(－1，－2，－3)＝－a ，故(a ＋b )·c ＝－a ·c ＝7，得a ·c ＝－7，而|a |＝12＋22＋32＝14，所以cos 〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c |＝－12，所以〈a ，c 〉＝120°.7．如图，将边长为1的正方形AA 1O 1O (及其内部)绕OO 1旋转一周形成圆柱，AC ︵的长为2π3，11A B 的长为π3，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧．则异面直线B 1C 与AA 1所成的角的大小为________．答案 π4解析以O 为坐标原点，OA ，OO 1所在直线分别为y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ，则A (0,1,0)，A 1(0,1,1)，B 1⎝⎛⎭⎫32，12，1，C⎝⎛⎭⎫32，－12，0. 所以AA 1→＝(0,0,1)，B 1C —→＝(0，－1，－1)，则AA 1→·B 1C —→＝02＋0×(－1)＋1×(－1)＝－1，所以cos 〈AA 1→，B 1C —→〉＝AA 1→·B 1C —→|AA 1→|·|B 1C —→|＝－11×2＝－22.因此，异面直线B 1C 与AA 1所成的角为π4.8．已知点A (－1,3,1)，B (－1,3,4)，若AP →＝2PB →，则点P 的坐标是________．答案 (－1,3,3)解析设点P (x ，y ，z )，则由AP →＝2PB →，得(x ＋1，y －3，z －1)＝2(－1－x ，3－y ，4－z )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝－2－2x ，y －3＝6－2y ，z －1＝8－2z ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3，z ＝3，即P (－1,3,3)．9．已知A (x ，5－x ，2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，求|AB →|取最小值时，A ，B 两点的坐标，并求此时的|AB →|.解由空间两点间的距离公式得 |AB →|＝(1－x )2＋[(x ＋2)－(5－x )]2＋[(2－x )－(2x －1)]2＝14x 2－32x ＋19＝14⎝⎛⎭⎫x －872＋57，当x ＝87时，|AB →|有最小值为357.此时A ⎝⎛⎭⎫87，277，97，B ⎝⎛⎭⎫1，227，67. 10．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧棱P A ⊥底面ABCD ，AB ＝3，BC ＝1，P A ＝2，E 为PD 的中点．(1)求AC 与PB 所成角的余弦值；(2)在侧面P AB 内找一点N ，使NE ⊥平面P AC ，求N 点的坐标．解 (1)由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (3，0,0)，C (3，1,0)，D (0,1,0)，P (0,0，2)，E ⎝⎛⎭⎫0，12，1，从而AC →＝(3，1,0)，PB →＝(3，0，－2)．设AC 与PB 的夹角为θ，则cos θ＝|AC →·PB →||AC →|·|PB →|＝327＝3714.∴AC 与PB 所成角的余弦值为3714.(2)由于N 点在侧面P AB 内，故可设N 点坐标为(x ,0，z )，则NE →＝⎝⎛⎭⎫－x ，12，1－z ，由NE ⊥平面P AC 可得， ⎩⎪⎨⎪⎧NE →·AP →＝0，NE →·AC →＝0，即⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫－x ，12，1－z ·(0，0，2)＝0，⎝⎛⎭⎫－x ，12，1－z ·(3，1，0)＝0，化简得⎩⎪⎨⎪⎧z －1＝0，－3x ＋12＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝36，z ＝1，即N 点的坐标为⎝⎛⎭⎫36，0，1时，NE ⊥平面P AC .11．已知点A (1－t ,1－t ，t )，B (2，t ，t )，则A ，B 两点的距离的最小值为( ) A.31010 B.55 C.355 D.35答案 C解析因为点A (1－t ,1－t ，t )，B (2，t ，t )，所以|AB |2＝(1＋t )2＋(2t －1)2＋(t －t )2＝5t 2－2t ＋2，由二次函数易知，当t ＝15时，取得最小值为95 ，所以|AB |的最小值为355.12．(多选)从点P (1,2,3)出发，沿着向量v ＝(－4，－1,8)方向取点Q ，使|PQ |＝18，则Q 点的坐标为( ) A ．(－1，－2,3) B ．(9,4，－13) C ．(－7,0,19) D ．(1，－2，－3)答案 BC解析设Q (x 0，y 0，z 0)，则PQ →＝λv ，即(x 0－1，y 0－2，z 0－3)＝λ(－4，－1,8)．由|PQ |＝18，得(－4λ)2＋(－λ)2＋(8λ)2＝18，所以λ＝±2，所以(x 0－1，y 0－2，z 0－3)＝±2(－4，－1,8)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－7，y 0＝0，z 0＝19，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝9，y 0＝4，z 0＝－13.13．已知向量a ＝(5,3,1)，b ＝⎝⎛⎭⎫－2，t ，－25，若a 与b 的夹角为钝角，则实数t 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－65∪⎝⎛⎭⎫－65，5215 解析由已知得a ·b ＝5×(－2)＋3t ＋1×⎝⎛⎭⎫－25＝3t －525，因为a 与b 的夹角为钝角，所以a ·b <0，即3t －525<0，所以t <5215.若a 与b 的夹角为180°，则存在λ<0，使a ＝λb (λ<0)，即(5,3,1)＝λ⎝⎛⎭⎫－2，t ，－25，所以⎩⎪⎨⎪⎧5＝－2λ，3＝tλ，1＝－25λ，所以t ＝－65，故t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－65∪⎝⎛⎭⎫－65，5215. 14．已知棱长为a 的正四面体ABCD ，如图，建立空间直角坐标系，O 为A 在底面上的射影，M ，N 分别为线段AB ，AD 的中点，则M 的坐标是________，CN 与DM 所成角的余弦值为________．答案 ⎝⎛⎭⎫－14a ，－312a ，66a 16解析由正四面体的棱长为a ，知△BCD 的外接圆半径为33a . ∴B ⎝⎛⎭⎫－12a ，－36a ，0，又正四面体的高为a 2－⎝⎛⎭⎫33a 2＝63a ， ∴A ⎝⎛⎭⎫0，0，63a ，D ⎝⎛⎭⎫0，33a ，0， ∴AD 的中点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，36a ，66a ， AB 的中点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫－14a ，－312a ，66a .∴DM →＝⎝⎛⎭⎫－14a ，－5312a ，66a ，又C ⎝⎛⎭⎫a 2，－36a ，0，∴CN →＝⎝⎛⎭⎫－12a ，33a ，66a .∴|cos 〈DM →，CN →〉|＝|DM →·CN →||DM →||CN →|＝16，∴异面直线CN 与DM 所成角的余弦值为16.15.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 在棱AB 上移动，则直线D 1E 与A 1D 所成角的大小是________，若D 1E ⊥EC ，则AE ＝________.答案 90° 1解析在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．又AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 在棱AB 上移动.则D (0,0,0)，D 1(0,0,1)，A (1,0,0)，A 1(1,0,1)，C (0,2,0)，设E (1，m ,0)，0≤m ≤2，则D 1E —→＝(1，m ，－1)，A 1D —→＝(－1,0，－1)， ∴D 1E —→·A 1D —→＝－1＋0＋1＝0，∴直线D 1E 与A 1D 所成角的大小是90°.∵D 1E —→＝(1，m ，－1)，EC →＝(－1,2－m ,0)，D 1E ⊥EC ， ∴D 1E —→·EC →＝－1＋m (2－m )＋0＝0，解得m ＝1，∴AE ＝1.16．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 和△A 1B 1C 1为正三角形，所有的棱长都是2，M 是BC 边的中点，则在棱CC 1上是否存在点N ，使得异面直线AB 1和MN 所成的角等于45°？解以A 点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz .由题意知A (0,0,0)，B 1(3，1,2)，C (0,2,0)，B (3，1,0)，M ⎝⎛⎭⎫32，32，0.又点N 在棱CC 1上，可设N (0,2，m )(0≤m ≤2)，则AB 1→＝(3，1,2)，MN →＝⎝⎛⎭⎫－32，12，m ，所以|AB 1→|＝22，|MN →|＝m 2＋1，AB 1→·MN →＝2m －1.若异面直线AB 1和MN 所成的角等于45°，则cos 45°＝|cos 〈AB 1→，MN →〉|＝|AB 1→·MN →||AB 1→||MN →|＝|2m －1|22×m 2＋1.即|2m －1|22×m 2＋1＝22，解得m ＝－34，这与0≤m ≤2矛盾．所以在棱CC 1上不存在点N ，使得异面直线AB 1和MN 所成的角等于45°.。

1.3.2空间向量运算的坐标表示

坐标表示
2.空间向量的坐标与其端点坐标的关系:
设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则
=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).
即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减
去起点坐标.
3.空间向量平行与垂直条件的坐标表示
若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
一、空间向量运算的坐标表示
1.空间向量运算法则设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么
向量运算
向量表示
加法
a+b
(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
减法
a-b
(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
数乘
λa
(λa1,λa2,λa3)
数量积
a·b
a1b1+a2b2+a3b3
若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
21 + 22
(1)|a|= ·=
(2)cos<a,b>=
·
||||
+ 23
z
P1
k
;
1 1 + 2 2 + 3 3
=
;
12 + 22 + 32 12 + 22 + 32
(3)若 P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则 P1,P2 两点间的距离为
1
3
1，－，－
1，1)，c＝
2
2 ，则它们之间的关系是( A )
A．a⊥b 且 a∥c
B．a⊥b 且 a⊥c
C．a∥b 且 a⊥c

1.3.2空间向量运算的坐标表示课件

空间向量运算的坐标表示并给出证明
平面向量坐标运算1
---加减、数乘运算
空间向量坐标运算1
---加减、数乘运算
已知 a x1 , y1 , b x2 , y2
则
已知 a x1 , y1 , z1 , b x2 , y2 , z2 ,则
a b x1 x2 , y1 y2
第一章空间向量与立体几何
1.3.2 空间向量运算的坐标表示
学习目标
掌握空间向量运算的坐标表示.（数学运算）
掌握空间向量垂直与平行的条件及其应用.
（数学抽象、数学运算）
掌握空间向量的模、夹角以及两点间的距离公式，能运用
公式解决问题.（逻辑推理、数学运算）
2
新课导入
类比平面向量的坐标运算，同学们是否可以探究出
（1）建系
（2）标点
（3）求向量
（4）算值
代公式：
10
1
1
点A的坐标为（1,0,0),点M的坐标为 2 ,1, 2

2
z
D1
F1
C1
E1
A1
B1
2
所以 AM 1 1 1 0 2 1 0 6
2
2

2
M
D
x A
C
O
B
8
y
例题精讲
3
1
E
1,
,1
,
D
0,
0,
0
,
F
1 0, ,1
---数量积
已知 a ( x1 , y1 , z1 )，b ( x2 , y2 , z2 ),则
a b x1 x2 y1 y2 z1 z2

1.3.2 空间向量运算的坐标表示

【答案】
【解析】如图所示，
＝
故|
＋
|2＝|
＝
＋
＝42＋32＋52＋2
＋
＋
＋
，
|2＝
2＋
2＋
2 ＋2(
＝85，故|
· ＋
·
|＝
.
＋
·
)
7.如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，M，E，F 分
别为 PQ，AB，BC 的中点，则异面直线 EM 与 AF 所成角的余弦值是________．
角为(
，若(a＋b)·c＝7，则 a 与 c 的夹
)
A． 30°
B． 60
°C． 120°
D． 150°
【答案】C
【解析】a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，故(a＋b)·c＝－a·c＝7，得 a·c＝－7，
而|a|＝
＝
所以〈a，c〉＝120°.
，所以 cos〈a，c〉＝
＝－，
3.一束光线自点 P(1,1,1)出发，被 xOy 平面反射到达点 Q(3,3,6)被吸收，那么光线所经
【答案】
【解析】由正四面体的棱长为 a，知△BCD 的外接圆半径为
∴B，又正四面体的高为
＝
a，
∴A，D，∴AD 的中点 N 的坐标为
AB 的中点 M 的坐标为
∴
＝
，
.
，
又 C，∴
＝
∴|cos〈
，
.
〉|＝
＝，
∴异面直线 CN 与 DM 所成角的余弦值为 .
a.
总结提升
利用空间向量的坐标运算的一般步骤
C． 14
【答案】A
【解析】∵l1∥l2，∴a∥b，

高中数学选择性必修一课件：1.3.2空间向量运算的坐标表示

1.3.2+空间向量运算的坐标表示+课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

求证： ⊥ 1 .
z
如图示,以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz,
证明：
设正方体的棱长为 2 ,则有
D1
F
A1
B1
E (2,2,1), F (1,1,2), D(0,0,0), A1 (2,0,2).
∴ EF ( 1, 1,1)，
DA1 (2,0,2).
∴ EF DA1 ( 1, 1,1) (2,0,2) 1 2 ( 1) 0 1 2 0,
3
3
3 3
C'
B'
A'
M
C
O
1
1 2
2 2 2
5
2
∴MN ( a a ) (a a ) ( a 0)
a.
3
3
3
3
3
A
x
N
B
y
思
练习巩固
5. 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若 AB 2 BB1，则AB1与BC1所成角的大
小为( B ).
(A) 60°
(B) 90°
平面向量坐标运算
空间向量坐标运算
a b a b = 0 a1b1 a2b2 0
a b a b=0 a1b1 a2b2 a3b3 0
a a a a a2
a a a a12 a2 2 a32
2
1
ab
cos a, b

| a || b |
解得z 3,∴M (0,0, 3).
思
思
课本P21
练习巩固
4. 如图, 正方体OABC-D'A'B'C'的棱长为a, 点N, M分别在AC, BC'上, AN=2CN，

1.3.2空间向量运算的坐标表示教案—高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

1.3.2 空间向量运算的坐标表示教学设计一、内容和内容解析1.内容：空间向量的坐标运算；根据向量坐标判断两向量平行或垂直；向量长度公式；两向量夹角公式、空间两点间距离公式。

2.内容解析本节课是人教A版高中数学选择性必修第一册第一章第三节的第二课时。

引入空间直角坐标系，为学生学习立体几何提供了新的方法，为培养学生思维提供了更广阔的空间。

本节课是在学生学习了空间向量及其运算和基本定理的基础上进一步学习空间向量运算的坐标表示，是平面向量运算的坐标表示在空间的推广，是运用向量坐标运算解决几何问题的基础.二、目标和目标解析1.目标（1）掌握空间向量运算的坐标表示（2）通过向量坐标判断两向量特殊位置关系（3）掌握向量长度公式、两向量夹角公式、空间两点间距离公式（4）培养学生类比思想、转化思想，提升学生“数学运算”和“逻辑推理”学科素养2.目标解析（1）掌握空间向量加减、数乘、数量积的坐标运算（2）会根据向量的坐标，判断两个向量平行或垂直（3）能根据向量的坐标计算出向量的模长，两向量夹角和空间两点距离，并能解决简单的立体几何问题三、教学问题诊断分析1.教学问题诊断：（1）空间向量运算的坐标表示同平面向量运算的坐标表示类似，可以类比平面向量运算的坐标表示进行推广，但怎样推广是学生的困难所在（2）学生难将向量坐标运算的代数结果与几何问题进行转化，利用空间向量运算的坐标表示解决一些立体几何问题是教学中的难点2.教学重点：空间向量的坐标运算，空间向量平行和垂直的条件，距离公式，夹角公式3.教学难点：运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题四、教学支持条件：多媒体辅助教学五、教学过程设计(一）知识回顾平面直角坐标系空间直角坐标系空间点和空间向量的坐标表示【设计意图】回顾上节课所学内容，为本节课的学习作铺垫。

(二）类比得到空间向量运算的坐标表示【探究一】有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得到空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？平面向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示{}123123123123111213212223313233,,,,()()10设为空间的一个单位正交基底，则所以因为，所以a a a b b b a a a b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b =++=++=++++=++++++++======i j k a i j k b i j k a b i j k i j k i i i j i k j i j j j k k i k j k k i i j j k k i j j k k i a b 112233.a b a b a b =++其他运算的坐标表示可以类似证明。

高中数学选择性必修一(人教版)《1.3.2空间向量运算的坐标表示》课件

对空间向量坐标运算的两点说明 (1)类比平面向量坐标运算：空间向量的加法、减法、数乘和数量积与平面向量的类似，学习中可以类比推广．推广时注意利用向量的坐标表示，即向量在平面上是用唯一确定的有序实数对
表示，即 a＝(x，y)．而在空间中则表示为 a＝(x，y，z)．
(2)运算结果：空间向量的加法、减法、数乘坐标运算结果依然是一个向量；空间向量的数量积坐标运算的结果是一个实数．
∴―BA→1 ＝(1，－1,2), ―CB→1 ＝(0,1,2)，
∴―BA→1 ·―CB→1 ＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.
又|―BA→1 |＝ 6，|―CB→1 |＝ 5，
∴cos〈―BA→1 ，―CB→1 〉＝
―→ ―→ BA1 ·CB1 ―→ ―→
＝
30 10 .
| BA1 || CB1 |
[对点练清] 1．[变条件]将本例(2)中“若 ka＋b 与 ka－2b 互相垂直”改为
“若 ka＋b 与 a＋kb 互相平行”，其他条件不变，求 k 的值．
解：因为 a＝(－1＋2,1－0,2－2)＝(1,1,0)，
b＝(－3＋2,0－0,4－2)＝(－1,0,2)，
所以 ka＋b＝(k，k,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)．
故
A1B
与
B1C
所成角的余弦值为
30 10 .
[方法技巧] 1．利用向量坐标求异面直线所成角的步骤 (1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系； (2)利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标； (3)利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角． 2．利用向量坐标求空间中线段的长度的步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系； (2)求出线段端点的坐标； (3)利用两点间的距离公式求出线段的长．

高中数学第1章 1.31.3.2空间向量运算的坐标表示课件新人教A版选择性必修第一册

2.已知 a＝(1,0,1)，b＝(2，－2,0)，则〈a，b〉＝_______.
60° [因为 a·b＝1×2＋0×(－2)＋1×0＝2，
|a|＝ 12＋02＋12＝ 2，
|b|＝ 22＋－22＋02＝2 2，
所以 cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝
2 2×2
2＝12，
因此〈a，b〉＝60°.]
[解] 建立如图所示空间直角坐标系 Oxyz，则有 E0，0，12， F12，12，0，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，G0，34，0，H0，78，12.
(1)E→F＝12，21，0－0，0，12＝12，21，－12， C→1G＝0，34，0－(0,1,1)＝0，－14，－1， ∴|C→1G|＝ 417.
知识点 2 空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示
设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
平行(a∥b)
a1＝λb1， a2＝λb2，λ∈R
a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔____a_3＝__λ_b_3___________
垂直(a⊥b)
a⊥b⇔a·b＝0⇔ a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 (a，b 均为非零向量)
∴FH＝|F→H|＝
－212＋382＋122＝
41 8.
用空间向量的坐标运算解决夹角和距离问题的基本思路是什么？
[提示] 1根据条件建立适当的空间直角坐标系； 2写出相关点的坐标，用向量表示相关元素； 3通过向量的坐标运算求夹角和距离.
[跟进训练] 3．在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AC＝BC＝1，∠BCA＝90°，AA1 ＝2，Q 为 A1A 的中点． (1)求B→Q的长； (2)求 cos〈B→Q，C→B1〉，cos〈B→A1，C→B1〉，并比较〈B→Q，C→B1〉，〈B→A1，C→B1〉的大小．

人教版高中数学选择性必修第一册1.3.2空间向量运算的坐标表示

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1．3.2 空间向量运算的坐标表示
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[学习目标] 1.掌握空间向量运算的坐标表示.2.掌握空间两向量平行、垂直条件的坐标表示，掌握空间向量的模和夹角坐标计算公式.3.掌握空间两点间距离公式．
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(8,0,4)．
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2．已知向量a＝(1,2，－1)，则下列向量与a垂直的是( B ) A．(0,0,1) B．(－2,1,0) C．(1,1,2) D．(4，－1,1) 解析：a·(－2,1,0)＝－2＋2＋0＝0，∴a⊥(－2,1,0)．
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(1)求 AM 的长； (2)求 BE1 与 DF1 所成角的余弦值．分析：(1)利用条件建立适当的空间直角坐标系，写出点 A，M 的坐标，利用空间两点间的距离公式求出 AM 的长．(2)BE1 与 DF1 所成的角就是B→E1，D→F1所成的角或它的补角．因此，可以通过B→E1，D→F1的坐标运算得到结果．
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[例 1] (1)已知 a＝(－1,2,1)，b＝(2,0,1)，则(2a＋3b)·(a－b)＝__－__4____.
(2)已知点 A(2，－5,3)，B(6，－4,5)，B→C＝(3，－2,5)．
求①点 C 的坐标；
②求C→A·B→C的值；
③若点 P 在线段 AC 上，且A→P＝12P→C，求点 P 的坐标． [答案] 见解析
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数学人教A版高中选择性必修一(2019新编)1-3-2 空间向量运算的坐标表示(课件)

课后作业
对应课后练习
a21＋a22＋a23
cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|
cos〈a，b〉＝
a1b1＋a2b2＋a3b3 a12＋a22＋a23 b21＋b22＋b32
自主学习
思考：已知点A(x，y，z)，则点A到原点的距离是多少？ OA＝|O→A|＝ x2＋y2＋z2．
小试牛刀
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(2)由(1)知A→B1＝( 3，1， 2)，B→C＝(－ 3，1，0)，因为|A→B1|＝（ 3）2＋12＋（ 2）2＝ 6，|B→C|＝（－ 3）2＋12＋02
＝2，A→B1·B→C＝( 3，1， 2)·(－ 3，1，0)＝－( 3)2＋1×1＝－2，
所以
cos〈A→B1，B→C〉＝||AA→→BB11|·|BB→→CC||＝
自主学习
二．空间向量的平行、垂直及模、夹角
设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
名称
向量表示形式
满足条件坐标表示形式
a∥b a⊥b
模
夹角
a＝λb(λ∈R)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)
a·b＝0
a·b＝ a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
|a|＝ a·a
|a|＝
解(1)设侧棱长为 b,则 A(0，－1，0)，B1( 3，0，b)，B( 3，0，0)，C1(0，1，b)，
所以A→B1＝( 3，1，b)，B→C1＝(－ 3，1，b).因为 AB1⊥BC1，所以A→B1·B→C1＝( 3，1，b)·(－ 3，1，b)＝－( 3)2＋12＋b2
＝0，解得 b＝ 2.故侧棱长为 2.
∴线段 BN 的长为 3 .