新人教版九年级数学上册导学案：实际问题与二次函数

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九年级数学上册22.3.3实际问题与二次函数导学案新人教版

22.3.3实际问题与二次函数预习案一、预习目标及范围：1.会用二次函数知识解决实物中的抛物线形问题.2.建立恰当的直角坐标系将实际问题转化为数学问题预习范围：P51二、预习要点1. 如何建立直角坐标系，怎么建立才能解题简便？举例说明一下。

2. 对于拱形的和运动抛物型的应该如何建立直角坐标系？三、预习检测1.足球被从地面上踢起，它距地面的高度h (m)可用公式h =-4.9t 2+19.6t 来表示，其中t (s)表示足球被踢出后经过的时间，则球在 s 后落地.2.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y (米）关于水平距离x (米）的函数解析式为2113822y x x =-++，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为米.探究案一、合作探究活动内容1：活动1：小组合作探究3：如果要使运动员坐着船从圣火的拱形桥下面穿过入场，现已知拱形底座顶部离水面 2 m,水面宽 4 m,为了船能顺利通过，需要把水面下降 1 m,问此时水面宽度增加多少?探究4：如果要使运动员坐着船从圣火的拱形底座下穿过入场，现已知拱形底座顶部离水面 2 m,水面宽 4 m,为了船能顺利通过，需要把水面下降 1 m,问此时水面宽度增加多少?活动2：探究归纳解决抛物线型实际问题的一般步骤（1）（2）（3）（4）（5）活动内容2：典例精析在篮球赛中，姚小鸣跳起投篮，已知球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米，他能把球投中吗？二、随堂检测1、如图所示，抛物线顶点坐标是P（1，3），则函数y随自变量x的增大而减小的x 的取值范围是（）A、x＞3B、x＜3C、x＞1D、x＜12、某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物，如图，大门地面宽AB ＝4米，顶部C 离地面的高度为4.4米，现在一辆装满货物的汽车欲通过大门，货物顶部离地面的高度为2.8米，装货宽度为2.4米，请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门？3.公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA ，O 点恰在水面中心，OA =1.25米，由柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下.为使水流较为漂亮，要求设计成水流在离OA 距离为1米处达到距水面最大高度2.25米.如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流落不到池外？参考答案预习检测：1.4；2.2随堂检测1.C ；2.解：如图，以AB 所在的直线为X 轴，以AB 的垂直平分线为Y 轴，建立平面直角坐标系∵AB=4 ∴A(-2，0) B(2，0)∵OC=4.4 ∴C(0，4.4)设抛物线所表示的二次函数为y=ax²+4.4 ∵抛物线过A(-2,0)∴4a+4.4=0 ∴a=-1.1∴抛物线所表示的二次函数为 y=1.1x²+4.4 当x=1.2时，y=-1.1×1.2²+4.4=2.816＞2.8 ∴汽车能顺利经过大门3.解：如图建立坐标系，设抛物线顶点为B，水流落水与x轴交于C点.由题意可知A（ 0，1.25）、B（ 1，2.25 ）、C（x0，0）.设抛物线为y=a(x－1)2+2.25 (a≠0),点A坐标代入，得a= － 1；∴抛物线为y=-(x-1)2+2.25.当y= 0时，x１= － 0.5（舍去），x２=2.5 ∴水池的半径至少要2.5米.。

人教版-数学-九年级上册22.3 实际问题与二次函数导学案

一、基础知识（一）二次函数解实际问题的步骤列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。

(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．(6)写出答案．（二）建立二次函数模型求解实际问题的一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．二、重难点分析本课教学重点：建立直角坐标系解决实际问题用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：①首先必须了解二次函数的基本性质；②学会从实际问题中建立二次函数的模型；③借助二次函数的性质来解决实际问题.本题教学难点：二次函数解决极值问题常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等，解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.根据函数顶点坐标或实际范围求解极值。

典例精析：例1．如图所示是永州八景之一的愚溪桥，桥身横跨愚溪，面临潇水，桥下冬暖夏凉，常有渔船停泊桥下避晒纳凉．已知主桥拱为抛物线型，在正常水位下测得主拱宽24m，最高点离水面8m，以水平线AB为x轴，AB的中点为原点建立坐标系．①求此桥拱线所在抛物线的解析式．②桥边有一船浮在水面部分高4m，最宽处122m的河鱼餐船，试探索此船能否开到桥下?说明理由．【考点】人教新课标九年级上册•22章二次函数•22.3实际问题与二次函数三、感悟中考1.（2013年衢州）某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子．根据经验估计，每多种一颗树，平均每棵树就会少结5个橘子．设果园增种x棵橘子树，果园橘子总个数为y个，则果园里增种10 棵橘子树，橘子总个数最多．【考点】人教新课标九年级上册•22章二次函数•22.3实际问题与二次函数2. （2013年鞍山）某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系．（1）试求y与x之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？【解析】四、专项训练。

九年级数学上册-实际问题与二次函数第2课时导学案新版新人教版

22.3实际问题与二次函数第2课时实际问题与二次函数（2）一、导学1.导入课题:某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.市场调查反映:如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件；每降价1元,每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大？2.学习目标:（1）能用二次函数表示实际问题中的数量关系（包括写出解析式、自变量的取值范围、画图象草图）.（2）会用二次函数求销售问题中的最大利润.3.学习重、难点:重点:建立销售问题中的二次函数模型.难点:建立二次函数模型.4.自学指导:（1）自学内容:教材第50页的“探究2”.（2）自学时间:10分钟.（3）自学方法:完成下面的探究提纲.（4）探究提纲:①调价包括涨价和降价两种情况.②若涨价,如果设商品的单价涨了x元,总利润为y元,则此时的售价为（60+x）元,每一件的利润为（20+x）元,实际卖出（300-10x)件,总利润y=(20+x)(300-10x).化简后为:y=-10x2+100x+6000；自变量的取值范围0≤x≤30.顶点坐标为(5,6250),所以商品的单价上涨5元时,利润最大为6250元.即定价65元时,利润最大,最大利润为6250元.③若降价,设商品的单价下降x元,总利润为y元,此时的售价为60-x元,每一件的利润为20-x元,实际卖出300+20x件,总利润y=（20-x）(300+20x).化简后为:y=-20x2+100x+6000；自变量的取值范围0≤x≤20.顶点坐标为（2.5,6125）,所以商品的单价下降2.5元时,利润最大为6125元.即定价57.5元时,利润最大,最大利润为6125元.④由②、③的讨论可知,当商品定价65元时,利润最大为6250元.二、自学学生可参考自学指导进行自学.三、助学1.师助生:(1)明了学情:看学生能否顺利完成探究提纲的第②题和第③题.(2)差异指导:根据学情进行指导.2.生助生:生生互动,交流研讨,修正错误.四、强化利用二次函数解决利润问题的一般步骤:（1）审清题意,理解问题；（2）分析问题中的变量和常量以及数量之间的关系；（3）列出函数关系式；（4）求解数学问题；（5）求解实际问题.五、评价1. 学生的自我评价（围绕三维目标）:在这节课学习中你有何收获？还存在哪些问题？2.教师对学生的评价:（1）表现性评价:点评学生学习的态度,小组交流协作情况、学习效果和存在的问题等.（2）纸笔评价:课堂评价检测；3. 教师的自我评价（教学反思）:本课时探究二次函数在商品销售利润问题中的应用,教学时,让学生自行分析,找出问题中的数量关系并列函数关系式,教师适时予以引导,需要注意的是,自变量的取值要满足问题的实际意义.(时间:12分钟满分:100分)一、基础巩固（60分）1.（40分）下列抛物线有最高点或最低点吗？如果有,写出这些点的坐标（用公式）.（1）y=－4x2+3x; (2)y=3x2+x+6.解:（）b a -=-=⨯-332248, 解:b a -=-=-⨯112236, （）ac b ,a --==⨯-2243944416，ac b a -⨯⨯-==⨯22443617144312 ∴最高点为，⎛⎫⎪⎝⎭39816. 最低点为，⎛⎫- ⎪⎝⎭171612. 2.(20分）某种商品每件的进价为30元,在某段时间内若以每件x 元出售,可卖出（200-x ）件,应如何定价才能使利润最大？解:设所得利润为y 元,由题意,得y=x (200-x )-30(200-x )=-x 2+230x -6000=-(x -115)2+7225（0<x <200）.当x =115时,y 有最大值.即当这件商品定价为115元时,利润最大.二、综合应用（20分）3.(20分)某种文化衫,平均每天销售40件,每件盈利20元,若每件降价1元,则每天可多售10件,如果每天要盈利最多,每件应降价多少元？解:设每件应降价x 元,每天的利润为y 元,由题意得:y ＝（20-x ）（40+10x ）＝-10x 2+160x +800＝-10（x -8）2+1440（0≤x ＜20）. 当x ＝8时,y 有最大值1440.即当每件降价8元时,每天的盈利最多.三、拓展延伸（20分）4.求函数y=-x 2+6x +5的最大值和最小值.（1)0≤x ≤6；（2) -2≤x ≤2.解:y=-x 2+6x +5=-（x -3）2+14（1）当0≤x ≤6时,当x =3时,y 有最大值14,当x =0或6时,y 有最小值5.（2）当-2≤x ≤2时,当x =2时,y 有最大值13,当x =-2时,y 有最小值-11.。

九年级数学上册 22.3.2 实际问题与二次函数导学案 (新版)新人教版

22.3.2 实际问题与二次函数预习案一、预习目标及范围：1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.二、预习要点1.利润与价格之间的关系式：2.二次函数最值公式：三、预习检测1.某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20 ≤x≤30)出售，可卖出（300－20x）件，使利润最大，则每件售价应定为元.2.进价为80元的某件定价100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件）与衬衣售价x（元）之间的函数关系式为 .每月利润w（元）与衬衣售价x（元）之间的函数关系式为 .(以上关系式只列式不化简）.探究案一、合作探究活动内容1：活动1：小组合作问题1：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是元，销售利润元.数量关系：（1）销售额=（2）利润=（3）单件利润=问题2：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？①每件降价x 元，则每星期售出商品的利润y 元，填空建立函数关系式：即：②自变量x 的取值范围如何确定？③涨价多少元时，利润最大，是多少？由(1)(2)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗?活动2：探究归纳求解最大利润问题的一般步骤活动内容2：典例精析某种商品每天的销售利润y （元）与销售单价x (元）之间满足关系：y=ax 2+bx -75.其图象如图.（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？解：二、随堂检测1、某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x 元出售，可卖出（100-x ）件，应如何定价才能使利润最大？2、一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克.调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克.（1）要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得实惠，那么每千克应涨价多少元？（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多，是多少？参考答案预习检测： 1.252. y =2000-5(x -100) ，w =[2000-5(x -100)](x -80) 随堂检测1. 解：设最大利润为y 元，根据题意得 y=（x-30）×（100-x ）= 2(65)1225x --+∴当x=65时，二次函数有最大值1225， ∴定价是65元时，利润最大．2. 解：（1）设市场某天销售这种水果盈利了6000元，同时顾客又得到了实惠时，每千克这种水果涨了x 元，由题意得（10+x ）（500﹣20x ）=6000，整理，得215500x x -+=解得 125,10x x ==因为顾客得到了实惠，应取x=5.。

【最新】人教版九年级数学上册22.3.1实际问题与二次函数(1)导学案

新人教版九年级数学上册22.3.1实际问题与二次函数(1)导学案【教学目标】会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.发展学生解决问题的能力. 【教学重点】会根据不同的条件，利用二次函数解决生活中的实际问题．【教学难点】从现实问题中建立二次函数模型．【教学过程】旧知回顾：1、二次函数的顶点式是什么？说出其顶点坐标、对称轴、开口方向及最值。

2、抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标、对称轴、开口方向及最值各是什么？目标,会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.问题1：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （米）与小球的运动时间t （时）之间的关系式是2305h t t =-（0≤t ≤6）.小球的运动时间时多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？问题2、用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形的一边长x 的变化而变化，当x 是何值时，矩形场地的面积S 最大？分析：在问题中，矩形的周长为 m ，若一边长为x ，则另一边长为．所以矩形的面积s= ．这个函数是的一部分，这条开口向，有最值，即．解：归纳：一般地，当0(0)a a 〉〈或时，抛物线y=ax 2+bx+c ，的顶点是最点（或最点），所以当ab x 2-=时，二次函数y=ax 2+bx+c ，有最值（或最值），是．问题3、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？分析：调整价格包括涨价和降价两种情况先来看涨价的情况．1、在涨价的情况下，最大利润是多少？设每件涨价x元，则每星期少卖_________件，实际卖出_____件，每件商品的利润为元，因此所得利润是元.解：设每件涨价x元时，所获得利润为y元，则有y=∴在涨价情下，涨价元，即定价元时，所获利润最大，最大利润元.2、在降价的情况下，最大利润又是多少呢？请你参考1的讨论自己得出答案．解：课堂检测1、用配方法将二次函数y=3x2-4x-2写成形如y=a(x+m)2+n的形式，2、则m= ，n= ．2、二次函数y=2x2-8x+1的图象顶点坐标是（2，-7），x= 时y的值最小．3、旅行社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出．若每床每晚每次收费提高2元时，则减小10张床位租出；以每次提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高多少元？4、某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件.经试销调查，发现销售量y（件）与销售单价x（元/件）可近似地看作一次函数y=kx+b的关系（如图26-3-1所示）．（1）根据图象，求出一次函数y=kx+b的表达式；（2）设公司获得的毛利润（毛利润=销售总价-成本总价）为S元．①试用销售单价x表示毛利润S；②试问：销售单价定为多少时，该公司可获得最大利润，最大利润是多少？此时的销售量是多少？。

22.3实际问题与二次函数--新人教版初中数学导学案九年级上册《二次函数》【一流精品】

课题：22.3 实际问题与二次函数【学习目标】1.经历探索物体运动中的最大高度等问题的过程，体会二次函数是一类最优化的数学模型，并感受数学的应用价值。

2.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的顶点坐标求出实际问题的最大值（或最小值），发展解决问题的能力。

【学习重点】1、探究运动中的最大高度和面积的最大值等问题。

2、能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数学关系，并运用二次函数的知识求出实际问题中的最大（小）值，发展解决问题的能力。

【学习难点】运用二次函数解决实际问题【课前预习案】1.二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条，它的对称轴是，顶点坐标是 .当x= ______时，y的最值是______.2 .二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条，它的对称轴是，顶点坐标是 . 当a>0时，抛物线开口向，有最点，函数有最值，是；当 a<0时，抛物线开口向，有最点，函数有最值，是。

根据上述性质你能尝试解决下面的问题吗？3. 二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是，顶点坐标是。

当x= 时，y的最值是。

4. 二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是，顶点坐标是。

当x= 时，函数有最值，是。

5.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是，顶点坐标是 .当x= 时，函数有最值，是【课中探究案】探究一：利用二次函数解决抛物线型问题从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是h= 30t -5t 2 （0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？探究二：利用二次函数解决图像面积问题例2：用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化．当l 是多少米时，场地的面积S 最大？探究三：利用二次函数解决最大利润问题例3：已知某商品的售价是每件60元，每星期可卖出300件。

九年级数学上册 22.3 实际问题与二次函数导学案2(新版)新人教版

实际问题与二次函数学习目标：[知识与技能]：进一步利用二次函数解决实际问题，理解“销售利润”等实际问题的建模。

[过程与方法]：经历利用二次函数解决实际问题的过程，体会利用二次函数解决实际问题的方法和步骤，体验数学建模的思想方法。

[情感、态度与价值观]：体会数学的应用价值，激发数学学习的兴趣,明确商品经济等问题中的相等关系的寻找方法。

重点与难点：重点：用二次函数解的性质决实际问题。

难点：建立函数模型。

学习过程：一、预习检测：1、回顾：（1）二次函数y=a(x–h)2+k的图象是一条_____,它的对称轴是__________，顶点坐标是_______。

（2）二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条________。

它的对称轴是 ,顶点坐标是。

当a>0时，抛物线开口向____的—条_______，图象有最点，函数有最值，是；当a<0时，抛物线开口向____的一条_______，图象有最点，函数有最值，是。

（3）二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是________，顶点坐标是；当x= 时，y的最值是。

（4）二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是_________，顶点坐标是_________。

当x= 时，函数有最值是。

2、阅读课本P.50“探究2”解决下列问题：（1）设每件涨价x元，则每星期少卖_________件，实际卖出_________件，设商品的利润为y元，y与x的函数关系式为______________________________________，x的取值范围是________________；当x=_________（即涨价_____元）时，定价为______元时，利润最大为____________元。

（2）设每件降价x元，则每星期多卖_________件，实际卖出__________件；设商品的利润为y元，y与x的函数关系式为____________________________________，x的取值范围是0≤x≤20；当x=_________（即降价_____元）时，定价为______元时，利润最大为____________元。

九年级数学二次函数-实际问题与二次函数(导学案)

实际问题与二次函数—知识讲解(复习)【学习目标】1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题，培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识．2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型．【要点梳理】要点、列二次函数解应用题列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。

(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．(6)写出答案．常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式. 类型一、利用二次函数求实际问题中的最大（小）值1．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数：m＝162-3x．(1)写出商场卖出这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系；(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适?最大销售利润为多少? 【思路点拨】(1)根据总利润＝售出件数×(每件商品售价-进价)列函数关系式；(2)利用配方法求售价及最大销售利润.举一反三：2 某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看做一次函数：y＝－10x＋500.（1）设李明每月获得利润为w(元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（6分）（2）如果李明想要每月获得2 000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3分）类型二、利用二次函数求图形面积问题123．在一边靠墙的空地上，用砖墙围成三格矩形场地，如图所示．已知砖墙在地面上占地总长度160 m ，问分隔墙在地面上的长度x 为多少时所围场地总面积最大?并求最大面积?【思路点拨】利用矩形的面积公式建立所围场地总面积与分隔墙在地面上的长度x 的函数关系式，写成顶点式即可求出面积的最大值．举一反三：4.如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。

九年级数学上册 22.3 实际问题与二次函数导学案2(新版)新人教版(3)

实际问题与二次函数【学习目标】 1.通过实际问题与二次函数关系的探究,让学生掌握利用顶点坐标解决最大值（或最小值）问题的方法.2.通过对生活中实际问题的探究,体会数学建模思想.一、【自主学习】1、利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是： (1)列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围。

(2)在自变量取值范围内，运用公式或配方法求出二次函数的最大值和最小值2、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？（1）题目中有几种调整价格的方法？（2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？分析: 调整价格包括涨价和降价两种情况设每件涨价x 元，则每星期售出的商品利润Y随之变化。

我们先来确定y随x变化的函数式。

涨价x元时，每星期少卖 10x 件，销售量可表示为 : 销售额可表示为:买进商品需付: 所获利润可表示为:∴当销售单价为元时,可以获得最大利润, 最大利润是元.解题过程：二、【合作探究】思考：1、在上题中怎样确定x的取值范围？2、在降价的情况下，最大利润是多少？（写出解题过程）总结归纳：列二次函数解应用题列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤： (1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。

九年级数学上册22.3.1实际问题与二次函数导学案新版新人教版

22.3.1 实际问题与二次函数预习案一、预习目标及范围：1.掌握图形面积问题中的相等关系的寻找方法，并会应用函数关系式求图形面积的最值；2.会应用二次函数的性质解决实际问题.二、预习要点1.当a ＞0时，抛物线 2y ax bx c =++ (a ≠0)的顶点是最低点，也就是说，当x=（）时，y 有最小值是。

2. 当a<0时，抛物线2y ax bx c =++ (a ≠0)的顶点是最高点，也就是说，当x=（）时，y 有最大（）值是。

三、预习检测1.二次函数y=2(x-3)²+5，当x= 时,y 有最值是。

2.二次函数y=x²-4x+9，当x= 时,y 有最值是。

3.已知当x ＝1时，二次函数有最大值为5，且图象过点(0，－3)，此函数关系式是。

4.抛物线（a≠0）的顶点是，所以当x ＝时，二次函数有最小（大）值 .5.利用二次函数解决实际问题要注意的取值范围.探究案一、合作探究活动内容1：活动1：小组合作从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：m ）与小球的运动时间t （单位：s ）之间的关系式是：2305h t t =-（06t ≤≤）.小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？小组内探究分析：分析：画出()230506h t t t =-≤≤的图象，借助函数图象解决实际问题：从函数的图象看是一条抛物线的一部分可以看出，抛物线的顶点是这个函数的图象的点，也就是说，当t 取顶点的横坐标时，这个函数有最值解：当 = = 时，h 有最大值244ac b a- = . ∴小球运动的时间是时，小球运动到最大高度是 .活动2：探究归纳一般地，当a ＞0（a ）时，抛物线 (a ≠0)的顶点是最低( )点，也就是说，当x=（）时，y 有最小（）值是。

活动内容2：典例精析问题：用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化.当l 是多少时，场地的面积S 最大？归纳：一般地，因为抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点是最低（高）点，所以当时，二次函数y=ax 2+bx+c 有最小（大）值。

人教课标初中数学九年级上册第二十二章22.3 实际问题与二次函数(面积问题)导学案

1 / 2第22章《实际问题与二次函数--面积问题》导学案学习目标：1.在一定范围内求二次函数c bx ax y ++=2的最值.2.从实际问题中抽象出二次函数关系并运用二次函数的最值解决问题. 学习过程：一、复习巩固填空：3)1(3)1(2+--=x y 顶点坐标，对称轴图象开口，当x_______时，函数有最______值为．)2()2(-=x x y 顶点坐标，对称轴图象开口，当x_______时，函数有最______值为．小结：如何求二次函数c bx ax y ++=2的最值二、学习探究问题：如图，菜农张大爷准备用30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18米.他的两个孩子分别给出以下方案（如表）.请帮张大爷选择一个合适的方案，并说明理由.引申：你能帮张大爷设计一个最优的方案吗？变式：张大爷量错了，墙长为13米，请再帮他设计一个最优的方案.三、运用新知如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18米，其中在BC 边上开一扇0.8米的门（不用篱笆）。

这个矩形的长、宽各为多少时菜园的面积最大，最大面积是多少？方案长（BC) 宽(AB) 面积张玲 10 10 100张杰205100 方案长（BC) 宽(AB) 面积最优方案长（BC) 宽(AB) 面积最优A B C D ED ABCE2 / 2四、总结提升课后练习（请自选3题完成） A 组（巩固基础）1.用总长为40厘米的铁丝围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边x 的变化，当x 是（）时，有最大面积（).A. 9厘米，279平方厘米B. 9厘米，99平方厘米C. 10厘米，100平方厘米D. 10厘米，300平方厘米2.一直角三角形两直角边之和为12厘米,若其中一直角边长为x 厘米,当x （）时,三角形有最大面积（).A. 12厘米，6平方厘米B. 10厘米，5平方厘米C. 8厘米，32平方厘米D. 6厘米，18平方厘米 B 组（变式训练）3.某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告，广告设计费为每平方米800元，设矩形一边长为x 米.请设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.4.如图，用一段长30米的篱笆围成一个一边靠墙，墙长为18米,中间隔有一道篱笆的矩形菜园.这个矩形菜园的长、宽各为多少时菜园的面积最大，最大面积是多少？5.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长20米）的空地上修建一个矩形绿化带，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40米的栅栏围住.若绿化带的BC 长为x 米，请求当x 为何值时，绿化带的面积最大？ C 组（拓展提升）6.如图,在ΔABC 中,AB=8cm ，BC=6cm ，∠B ＝90°,点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以2厘米／秒的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以1厘米／秒的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，几秒后ΔPBQ 的面积最大？最大面积是多少？D ABCAPE F。

人教版-数学-九年级上册- 实际问题与二次函数(2) 导学案

《实际问题与二次函数（2）》导学案学习目标：1．会建立直角坐标系解决实际问题；2．会解决桥洞水面宽度问题．重难点：应用二次函数的性质解决桥洞水面宽度问题活动1：旧知回顾一般地，因为抛物线2y ax bx c =++的顶点是最低（高）点，二次函数2y ax bx c =++可化为()2by a x a=++ ，所以当 x= 时，有最小（大）值为。

活动2：探究新知第51页探究3如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2m,水面宽4m ，水面下降1m ，水面宽度增加多少？分析：此类问题首先是选择适当的位置建立平面直角坐标系，然后求出这条抛物线所表示的二次函数，再由解析式求出问题答案。

解：以为原点，以为y 轴建立平面直角坐标系，可设此抛物线为（2y ax =、2y ax k =+、2()y a x h =-、2()y a x h k =-+、2y ax bx c =++（a≠0）五种中的）。

由题意可知，此抛物线经过点（2，）故可得：故：此抛物线表示的二次函数为当水面下降1m 时，水面宽度为，故水面下降1m 时，水面宽度增加 m. 提示：选择适当的位置建立平面直角坐标系，可使问题简单化。

同学们可试一试本题选择其它位置建立平面直角坐标系，如何求出这条抛物线所表示的二次函数，再比较两种解法的难易程度。

活动3：课堂展示有一抛物线拱桥，已知水位线在AB位置时，水面的宽为4 6 米，水位上升4米，就达到警戒线CD，这时水面宽为4 3 米．若洪水到来时，水位以每小时0.5米的速度上升，则水过警戒线后几小时淹没到拱桥顶端M处？活动4课堂练习1、拱桥的轮廓是抛物线（如图①所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图②所示），其关系式y＝ax2＋c的形式，请根据所给的数据求出a、c的值；（2）求支柱MN的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m，高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．2、如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m．（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式．图①46 B43AC D4M（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km （桥长忽略不计）．货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1h时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行）．试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由．若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？3、如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为米.4、如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B．有人在直线AB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB＝4米，AC＝3米，网球飞行最大高度OM=5米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．（1）如果竖直摆放5个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？（2）当竖直摆放圆柱形桶多少个时，网球可以落入桶内？5、某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC ，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为c x y +-=2201且过顶点C （0，5）（长度单位：m ）（1）直接写出c 的值；（2）现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为1.5 m 的地毯，地毯的价格为20元 / 2m ,求购买地毯需多少元？AMBC0.5OD AMBC0.5OxyD P Q。

人教版数学九年级上册《二次函数》导学案

九年级数学上册课题： 22.3实质问题与二次函数 3 课时：12九年级 ____ __ 班姓名：知学习目标：会成立直角坐标系解决桥洞水面宽度等实质问题识一、自主研究（课前导学）链1．以抛物线的极点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴成立直角坐标接系时，可设这条抛物线的关系式为___________________________________．：1 x22．拱桥呈抛物线形，其函数关系式为y，当拱桥下水位线C y4Eh 是在 AB地点时，水面宽为12m ，这时水面离桥拱顶端的高度x（）A O F BA ．3m B．2 6m C ．4 3m D．9m三、议论沟通（展现评论）3．下列图是抛物线拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m ，水面宽4m，用二次函数的知识解决拱桥类问题要注意①成立适合的平面水面降落 1m ，水面宽度增添多少？直角坐标系 .②抛物线的分析式假定适合会给解决问题带来方便 .③擅长依据已知条件看抛物线上某些特别点的坐标，求出分析式 .四、讲堂检测（当堂训练）1 、如图，有一个抛物线形的水泥门洞．门洞的地面宽度为8m ，拓展延长（课外练习）：1.如图，有一座抛物线型拱桥，已知桥下在正常水位AB 时，水面宽8水位上升 3m ，就达到戒备水位 CD ，这时水面宽 4m ，若洪水到来时，水位以每小时 0.2m 的速度上升，求水过戒备水位后几小时淹到桥拱顶．2.某学校九年级的一场篮球竞赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高20 米，与篮圈中心的水平距离为7 米，当9球出手后水平距离为 4 米时抵达最大高度 4 米，设篮球运转轨迹为抛物线，篮圈距地面 3 米．（1 ）成立如图 2 的平面直角坐标系，问此球可否正确投中？（2 ）此时，若对方队员乙在甲眼前 1 米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1 米，那么他可否获取成功？y双侧距地面 4m 高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6m ．求学二、合作研究（讲堂导学）这个门洞的高度．（精准到0.1m ）实验研究：一个涵洞成抛物线形，它的法截面如图，现测得，当水面宽指AB 1.6m时，涵洞极点与水面的距导离为 2.4m ．这时，走开水面 1.5m 处，：涵洞宽 ED 是多少？能否会超出(第 13 题)AB 的宽是1m ？ 2 、如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面分析依据已知条件，要求 ED 宽，图20m，假如水位上升 3m 时，水面 CD 的宽为10m，只需求出 FD 的长度．在图示的直角坐标系中，即只需求出点）成立如下图的直角坐标系，求此抛物线的分析式；D 的横坐标．由于点 D 在涵洞所成的抛物线上，又由已知条件可获取点D（2）现有一辆载有营救物质的货车从甲地出发，要经过此桥开的纵坐标，因此利用抛物线的函数关系式能够进一步算出点 D 的横坐往乙地，已知甲标．你会求吗？地到此桥 280km ，（桥长忽视不计）货车以 40km/ h 的速度开往乙地，当行驶到 1 小不时，突然接到紧迫通知，前面连降大雨，4m3mO4m3m x3 、一男生在校运会的竞赛中推铅球，铅球的前进高度y（m）与水平距离x（ m ）之间的关系用如图 2 所示的二次函数图象表示．（铅球从A 点被推出，实线部分表示铅球所经过的路线）⑴由已知图象上的三点，求 y 与 x 之间的函数关系式．⑵求出铅球被推出的距离．⑶若铅球抵达的最大高度的地点为点B，落地址为 C ，求四边形 OABC 的面积．做一做：连结着汉口集家咀的江汉三桥 ( 晴川桥 )，是一座下承式钢管混凝土系杆拱桥 .它如同一道漂亮的彩虹超越汉江，是江城武汉的一道靓丽景观 . 桥的拱肋 ACB 视为抛物线的一部分，桥面 (视为水平的 )与拱肋用垂直于桥面的系杆连结，相邻系杆之间的间距均为 5m (不考虑系杆的粗细 )，拱肋的跨度 AB 为280m，距离拱肋的右端70m处的系杆 EF 的长度为42m.以 AB 所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴成立如图（2）所示的平面直角坐标系.（1）求抛物线的分析式；（2）正中间系杆 OC 的长度是多少米？能否存在一根系杆的长度恰巧是 OC 长度的一半？请说明原因 .造成水位以 0.25m / h 的速度连续上升，（货车接到通知时水位在CD处），当水位达、到桥拱最高点O时，严禁车辆通行。

人教版数学九年级上册26.3.2《实际问题与二次函数》教学设计2

人教版数学九年级上册26.3.2《实际问题与二次函数》教学设计2一. 教材分析人教版数学九年级上册26.3.2《实际问题与二次函数》是本节课的教学内容。

这部分教材主要让学生了解二次函数在实际问题中的应用，培养学生的实际问题解决能力。

教材通过引入实际问题，让学生探讨问题背后的二次函数模型，进而掌握二次函数的性质和图象特征。

教材内容安排合理，由浅入深，有利于学生掌握二次函数在实际问题中的应用。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图象和性质有一定的了解。

但学生在应用二次函数解决实际问题方面可能存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习需求，引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生的实际问题解决能力。

三. 教学目标1.让学生了解二次函数在实际问题中的应用，培养学生的实际问题解决能力。

2.使学生掌握二次函数的性质和图象特征，提高学生的数学素养。

3.培养学生的合作交流能力，提高学生的逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.重点：二次函数在实际问题中的应用，二次函数的性质和图象特征。

2.难点：如何将实际问题转化为二次函数模型，以及如何利用二次函数解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探讨问题背后的二次函数模型。

2.案例教学法：分析典型实际问题，让学生了解二次函数在实际问题中的应用。

3.小组讨论法：培养学生合作交流的能力，提高学生的逻辑思维能力。

4.引导发现法：教师引导学生发现二次函数的性质和图象特征，培养学生自主学习的能力。

六. 教学准备1.准备相关实际问题，用于引入和巩固教学内容。

2.准备二次函数的图象和性质资料，用于讲解和展示。

3.准备小组讨论的任务，引导学生进行合作交流。

4.准备课堂练习题，检验学生对教学内容的掌握程度。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探讨问题背后的二次函数模型。