陈伟露3140102402——从Monty Hall problem引出的思考

从Monty Hall problem引出的思考
——On "Let's Make a Deal", you pick Door 1. Monty
opens Door 2 — no prize. Do you stay with Door 1
or switch to Door 3?
陈伟露3140102402
Monty Hall problem
Alice is a contestant in an old quiz show run by Monty Hall. She must choose from three boxes, only one of which contains a prize. Monty knows
which box contains the prize, but Alice doesn’t. After she chooses Box 2,
Monty opens one of the other boxes that he knows to be empty. Alice then has the opportunity to change her mind about her choice of box. What should she do?
(引自173 Game Theory )这一问题起初源于一封写给《Parade》杂志的专栏作家、智商高达228的玛丽琳·莎凡Marilyn Vos Savant的询问信，信里是这样描述的：
Suppose you're on a game show, and you're given the choice of three doors.
Behind one door is a car, behind the others, goats. You pick a door, say number 1, and the host, who knows what's behind the doors, opens another door, say number 3, which has a goat. He says to you, "Do you want to pick door number 2?" Is it to your advantage to switch your choice of doors?
Marilyn认为，问题的答案是肯定的，即:换门获奖的概率是没换门的概率的两倍。

她举例道：“我们可以这样看，假设是共有一百万扇门，你选了门N0.1，然后这位知晓车子所在的主持人打开了除NO.777777外的所有剩余的门，被打开的门里都是羊。

这种情况下，你一定会换门，不是么？”
这篇专栏刊出后，玛丽琳收到了大约一万封邮件，讨论这一问题，而其中大约92%的读者认为玛丽琳错了，这些读者中包括很多数学系研究生和教授，他们义正言辞的要求玛丽琳认错，停止在数学方面误导美国民众。

“to switch or not to switch，that’s a question.”
在此我不想赘述双方的方法和可能存在的相应问题，也不想搬运173 Game Theory中画图（枚举）的方法。

仅提供我的一种简单证明
由于这是一个条件概率事件，所以利用贝叶斯公式计算可以很清楚。

定义
事件A：原本选择的门有奖
事件B：被主持人排除的门没奖
则在主持人排除一扇门之后仍然坚持选择的获奖概率是：
P(A|B)= (P(A)*P(B|A))/P(B)=(1/3*1)/1=1/3
然而当我们算错这一概率时，实际上我们在计算
P(A|B)=(P(A)*P(B|A))/P(B)=(1/3*1)/(2/3)=1/2
Other questions
几个延伸的问题，来自这段时间对于Monty hall problem的思考。

双参与者游戏佯谬：
佯谬一：三位参与者甲乙丙，他们各选择了一个门（两两不同，完全随机），丙在主持人说话前把自己的门打开了，发现自己没有中奖，此时甲乙都没有打开自己对应的门。

问：甲在知道丙没中奖的情况下是否愿意和乙交换？乙在知道丙没中奖的情况下是否愿意和甲交换？
佯谬二：两个参与者甲乙他们各选择了一个门（两两不同，完全随机）主持人可以排除剩下两扇门中不中奖的一扇门（至少有一扇门是不中奖的）。

然后甲乙是否愿意互换选择？
事实上以上两种情况与Monty hall problem的情况有所不同。

佯谬一的不同在于每个人（只要不是主持人）打开的门都是有几率中奖的。

利用前文提及的条件概率证明就是：
P(B)=2/3的情况下，P(A)=1/2。

佯谬二的不同在于当主持人排除门后，被排除的门的获奖可能性并非平均地加到不是自己的另两扇门中，而是加到了没有被选择的最后一扇门中。

同样利用贝叶斯公式可以很快解决。

选择题中排除法策略的佯谬
“考试碰到做不来的选择题可以这么做，先随便选一个选项，再排除一个错误的选项，然后在剩下的两个选项中选一个作为答案。

”
正确率从原本的1/(4-1)=33..3%上升到了(1-1/4)/2=37.5%吗?
这个错误比较明显。

首先，这一策略存在风险。

即对于同一情况，若先随机选择的选项不同可能使得策略中的“排除一个错误的选项”不可行。

其次，在策略可行的情况下，起初的正确率并不一定33.3%。

因为并未考虑到先随机选择的选
项是否也是可以排除的可能性。

那么这样的排除法相比原本的排除法到底孰优孰劣？以下为我的计算过程。

Strategy: 1 .先随便选一个选项；
2 .在剩下的选项中尽可能多地排除选项；
3 .把选择更换到排除后剩下的选项中，如果没有剩余选项则保持原选项。

Prime strategy: 1 .尽可能多地排除选项；
2 .在剩余选项中选择一个选项。

使用概率期望计算答对的概率E(strategy)和E(prime-strategy)。

Case0：所有选项能够排除零个。

E(S)=1/4
E(PS)=1/4
策略相当。

Case1：所有选项中能排除一个。

E(S)=37.5%*(3/4)+25%*(1/4)=11/32
E(PS)=1/3
策略占优。

Case2：所有选项能够排除两个。

E(S)=75%*(1/2)+37.5%*(1/2)=9/16
E(PS)=1/2
策略占优。

Case3：所有选项能够排除三个。

E(S)=100%*(1/4)+100%*(3/4)=1
E(S)=1
策略相当。

令我感到无比诧异的是，这种排除法的正确概率期望竟然会高于平时的排除法！
原本看来，173 Game Theory书中多是些经典而较为简单的mathematical puzzles，而Optimization Modeling A Practical Approach更适合于概括来写一篇长作业。

然而出于对《决胜21点》的记忆还是查阅了Monty hall problem的介绍，在讨论中逐渐发现思维未曾触及过的地方。

这让我想到历史上的Monty hall problem反应出当时人们在尚未熟悉的地方直觉的不可靠，而以此为题也可很好地写写现今遇到的相关“直觉性错误”。

现在看来这一问题并不违反直觉，但是在相类似的情况下，直觉常常也会和计算（推理）相矛盾。

上文中的排除法优化方法就是我遇到的疑问之一（到底是计算错误还是直觉错误）。

也许应该早点把电脑里面的失败的模拟程序调整调整，当然，这样的问题还需要更多的讨论。

查阅文献
1、173 Game Theory
2、Wikipedia（中、英）
3、来源不详
/hall.shtml【1】
https://www.math.uni-bielefeld.de/~sillke/PUZZLES/monty-hall【2】
/~jdp/Monty_Hall/Monty_Hall.html【3】
/~crypto/Monty/montybg.html【4】
/columns/read/916/on-lets-make-a-deal-you-pick-door-1 -Monty-opens-door-2-no-prize-do-you-stay-with-door-1-or-switch-to-3【5】。