【优化方案】2016高中数学 第三章 三角恒等变形 2.3两角和与差的正切函数 新人教A版必修4
高中数学第三章三角恒等变换3-1两角和与差的正弦余弦和正切公式3-1-1两角差的余弦公式3-1-2两角和与差的正
高中数学第三章三角恒等变换3-1两角和与差的正弦余弦和正切公式3-1-1两角差的余弦公式3-1-2两角和与差的正弦余弦正切公式自我检测新人教A 版必修43.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式自我小测1.的值为( )ππsin 1212-A ．0B ． C. D ．2 2．已知，，那么等于( )2tan()5αβ+=π1tan()44β-=πtan()4α+ A. B.C. D.131813223223183．在△ABC 中，若sin(B ＋C)＝2sin Bcos C ，那么这个三角形一定是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形 4．(2011浙江高考，理6)若，，，π02α<<π02β-<<π1cos()43α+=πcos()42β-=( )．cos()2βα+A ．B ．C ．D 5．若α，β均为锐角，且，，则cos β＝__________.1cos 7α=11cos()14αβ+=- 6．A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是__________三角形．7．已知α，β∈(0，π)，，，求2α－β的值．1tan()2αβ-=1tan 7β=- 8．若，，且，求cos(α＋β)的值．3π5sin()413α+=π3cos()45β-=π3π044αβ<<<<9已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，.13-=a b (1)求cos(α－β)的值；(2)若，且，求sin α的值．π02α<<π02β-<<4sin 5β=- 参考答案1答案：C 解析：，故选πππππππsin 2(cos cos sin sin )2cos 12126126124-=-==2答案：C解析：ππtan()tan ()()44ααββ⎡⎤+=+--⎢⎥⎣⎦21πtan()tan()3544π21221tan()tan()1454αββαββ-+--===++-+⨯. 3答案：D解析：∵sin(B ＋C)＝2sin Bcos C ，∴sin Bcos C ＋cos Bsin C ＝2sin Bcos C ， 移项整理得：sin Bcos C －cos Bsin C ＝0，。
[精品课件]高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.2 两角和与差的正弦
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(2)由(1)可知， sinπ4＋α＝45，cos34π＋β＝－1123， ∴sinπ4＋α－34π＋β ＝sinπ4＋αcos34π＋β－cosπ4＋αsin34π＋β ＝45×－1123－－35×153＝－3635. 又 sinπ4＋α－34π＋β＝sin（α－β）－π2＝－cos(α－β)，从而 cos(α－β)＝3635.
8° 8°.
解析： (1)sin(－15°)＝sin(30°－45°)
＝sin 30°cos 45°－cos 30°sin 45°
＝12× 22－
3 2×
22＝
2－ 4
6 .
sin 7°＋cos 15°sin 8° (2)cos 7°－sin 15°sin 8°
＝scions（（1155°°－－88°°））＋－csoins
s（601°－α）
＝
1
＋
1
12cos α－ 23sin α 12cos α＋ 23sin α
＝14cos2cαo－s α34sin2α＝cocso2αs－α 34.
由题设有cocso2αs－α 34＝－cos2B＝－2 2， 整理得：4 2cos2α＋2cos α－3 2＝0. (2cos α－ 2)(2 2cos α＋3)＝0. ∵2 2cos α＋3≠0，∴2cos α－ 2＝0. ∴cos α＝ 22.故 α＝45°，A＝60°＋45°＝105°.
＝－ 1－－352＝－45. ∴cos 2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)] ＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β) ＝－45×1123－－35×153＝－3635， cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)] ＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝－45×1123＋－35×153＝－6635.
[推荐学习]优化方案2016高中数学 第三章 三角恒等变形 3二倍角的三角函数 第1课时二倍角公式及
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§3 二倍角的三角函数 第1课时 二倍角公式及其应用, )1．问题导航(1)倍角公式对任意角都成立吗？ (2)能否由S 2α，C 2α推出T 2α？(3)已知角α的某个三角函数值，能唯一确定角2α的三角函数值吗？ 2．例题导读P 124例1，例2.通过此两例学习，学会正用倍角公式求值． 试一试：教材P 125练习1T 2、T 3你会吗？P 125例3.解答本例应注意，在三角形的背景下研究问题，会 带来一些隐含条件，如0<A <π，A ＋B ＋C ＝π等． 试一试：教材P 125练习1T 4你会吗？P 125例4.通过此例学习，学会利用二倍角公式解决平面图形 的面积最值问题．试一试：教材P 129习题3－3 B 组T 5你会吗？(1)因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以公式C 2α可以变形为cos 2α＝1－2sin 2α＝2cos 2α－1；①或cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.②其中公式①称为升幂公式，②称为降幂公式． (2)常用的两个变形：(sin α＋cos α)2＝sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2α＝1＋sin 2α，(sin α－cos α)2＝sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α＝1－sin 2α.1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( ) (2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．( )(3)对于任意的角α，cos 2α＝2cos α都不成立．( )解析：(1)错误．二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的正切公式，要求α≠π2＋k π(k ∈Z )且α≠π4＋k π(k ∈Z )，故此说法错误．(2)正确．当α＝k π(k ∈Z )时，sin 2α＝2sin α.(3)错误．当cos α＝1－32时，cos 2α＝2cos α.答案：(1)× (2)√ (3)× 2.sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为( ) A ．－12 B ．12C.32D ．－32解析：选B.原式＝cos 20°sin 20°cos 225°－sin 225°＝12sin 40°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12. 3.tan 15°1－tan 215°＝________． 解析：原式＝12×2tan 15°1－tan 215°＝12tan 30°＝36. 答案：364．若sin α＝55，则cos 4α－sin 4α＝________. 解析：cos 4α－sin 4α＝(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α－sin 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝35.答案：35对倍角公式的三点说明(1)前提：所含各三角函数有意义．(2)联系：公式S 2α，C 2α，T 2α是在公式S α＋β，C α＋β，T α＋β中，分别令β＝α时，得到的一组公式，即倍角公式是和角公式的特例．(3)倍角公式中的“倍角”的相对性：对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是3α2的2倍．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．化简求值求下列各式的值： (1)cos π5cos 2π5；(2)12－cos 2π8； (3)tan π12－1tanπ12.(链接教材P 128习题3－3 A 组T 1)[解] (1)原式＝2sin π5cos π5cos2π52sinπ5＝sin 2π5cos 2π52sin π5＝sin4π54sinπ5＝sinπ54sinπ5＝14.(2)原式＝1－2cos 2π82＝－2cos 2π8－12＝－12cos π4＝－24.(3)原式＝tan 2π12－1tan π12＝－2·1－tan2π122tan π12＝－2×1tanπ6＝－233＝－2 3.方法归纳解答本类题的关键是抓住公式的特征，如角的关系、次数的关系等．分析题设和结论中所具有的与公式相似的结构特征，并联想相应的公式，从而找到解题的切入点，正确运用公式，同时活用、逆用公式，把所给角的三角函数值转化为可求值的特殊角的三角函数值．1.(1)计算：cos 10°＋3sin 10°1－cos 80°＝________.(2)求下列各式的值：①cos π12cos 512π；②2cos 2π12－1；③2tan 150°1－tan 2150°. (3)求sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°的值．解：(1)原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°＋32sin 10°2sin 240°＝2sin 40°2sin 40°＝ 2.故填 2.(2)①原式＝cos π12sin π12＝12×2cos π12sin π12＝12sin π6 ＝14. ②原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＝cos π6＝32. ③原式＝tan 300°＝tan(360°－60°) ＝－tan 60° ＝－ 3.(3)原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12° ＝24sin 6°cos 6°cos 12°cos 24°cos 48°24cos 6°＝23sin 12°cos 12°cos 24°cos 48°16cos 6°＝22sin 24°cos 24°cos 48°16cos 6°＝2sin 48°cos 48°16cos 6°＝sin 96°16cos 6°＝cos 6°16cos 6° ＝116.给值求值(1)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，则sin 2α＝________，cos 2α＝________，tan 2α＝________.(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝16，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求tan 4α的值． (链接教材P 124例1，例2)[解] (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55， 所以cos α＝－255，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－45， cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝35，tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－43.故填－45，35，－43.(2)因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α，则已知条件可化为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝16，即12sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝16，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝13， 所以cos 2α＝13.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以2α∈(π，2π)， 从而sin 2α＝－1－cos 22α＝－223，所以tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－22，故tan 4α＝2tan 2α1－tan 22α＝－421－（－22）2＝427.把本例(1)中的条件“sin α＝55”改为“sin α＋cos α＝55”，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值．解：因为sin α＋cos α＝55，所以(sin α＋cos α)2＝15，即1＋2sin αcos α＝15，sin 2α＝2sin αcos α＝－45.因为α∈(π2，π)，所以cos α<0，所以sin α－cos α>0，所以sin α－cos α＝（sin α－cos α）2＝1－sin 2α＝355， 所以cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－355＝－35， 所以tan 2α＝sin 2αcos 2α＝43.方法归纳(1)从角的关系寻找突破口．这类三角函数求值问题常有两种解题途径：一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．(2)另外，注意几种诱导公式的应用，如：①sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －1＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ；②cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ； ③cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .2．(1)已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2α的值等于( )A.79B.13 C ．－79 D ．－13(2)已知cos α＝－34，sin β＝23，α是第三象限角，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. ①求sin 2α的值；②求cos(2α＋β)的值．解：(1)选C.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝13，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2α ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.(2)①因为α是第三象限角，cos α＝－34，所以sin α＝－1－cos 2α＝－74， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－74×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝378. ②因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin β＝23， 所以cos β＝－1－sin 2β＝－53， cos 2α＝2cos 2α－1＝2×916－1＝18，所以cos(2α＋β)＝cos 2αcos β－sin 2αsin β ＝18×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53－378×23＝－5＋6724.二倍角公式在实际中的应用焊接工王师傅遇到了一个难题：如图所示，有一块扇形钢板，半径为1米，圆心角θ＝π3，施工要求按图中所画的那样，在钢板OPQ 上裁下一块平行四边形钢板ABOC ，要求使裁下的钢板面积最大．试问王师傅如何确定A 的位置，才能使裁下的钢板符合要求？最大面积为多少？(链接教材P 125例4)[解] 连接OA ，设∠AOP ＝α，过A 作AH ⊥OP ，垂足为H ，在Rt △AOH中，OH ＝cos α，AH ＝sin α，所以BH ＝AH tan 60°＝33sin α，所以OB ＝OH －BH ＝cos α－33sin α，设平行四边形ABOC 的面积为S ，则S ＝OB ·AH ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos α－33sin α·sin α＝sin αcos α－33sin 2α＝12sin 2α－36(1－cos 2α)＝12sin 2α＋36cos 2α－36＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2α＋12cos 2α－36 ＝13sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6－36. 由于0<α<π3，所以π6<2α＋π6<56π，当2α＋π6＝π2，即α＝π6时，S max ＝13－36＝36，所以当A 是PQ ︵的中点时，所裁钢板的面积最大，最大面积为36平方米．方法归纳解决此类实际问题，应首先确定主变量角α以及相关的常量与变量，建立关于角α的三角函数式，再利用和(差)角公式或二倍角公式求解．对于求三角函数最值的问题，一般利用三角函数的有界性来解决．3．如图，在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为θ，由B 点到E 点的方向前进30 m 至点C 处，测得顶端A 的仰角为2θ，再沿刚才的方向继续前进10 3 m 到D 点，测得顶点A 的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE 的高．解：因为∠ACD ＝θ＋∠BAC ，所以∠BAC ＝θ，所以AC ＝BC ＝30 m.又因为∠ADE ＝2θ＋∠CAD ，所以∠CAD ＝2θ， 所以AD ＝CD ＝10 3 m.在Rt △ADE 中，AE ＝AD ·sin 4θ＝103sin 4θ， 在Rt △ACE 中，AE ＝AC ·sin 2θ＝30sin 2θ， 所以103sin 4θ＝30sin 2θ，即203sin 2θcos 2θ＝30sin 2θ，所以cos 2θ＝32. 又因为2θ∈(0，π2)，所以2θ＝π6，所以θ＝π12.所以AE ＝30sin π6＝15(m)．所以θ＝π12，建筑物AE 的高为15 m.(本题满分12分)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋4(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性．[解] (1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4 ＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋ 2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋ 2.4分 因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0，从而有2π2ω＝π，故ω＝1.6分(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋ 2. 若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.7分当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )是递增的；9分 当π2<2x ＋π4≤5π4，即π8<x ≤π2时，f (x )是递减的.11分 综上可知，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上是递增的，在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤π8，π2上是递减的.12分[规范与警示] (1)对于倍角公式、两角和与差的三角公式、辅助角公式，不仅要熟练正用，还要逆用，变形应用．如本例中两个关键步骤：即处由2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋2到2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋2的变化．在处，对2x ＋π4的范围进行判断．(2)在判定函数单调性和求单调区间时，应在给定区间内求解，如本例中⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.1．sin π12cos 5π12的值等于( )A ．－12＋34B.12－34C ．－12－34D ．12＋34解析：选B.sin π12cos 5π12＝sin π12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－5π12＝sin 2π12＝1－cos π62＝1－322＝12－34.2．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( ) A.518 B ．34 C.32 D ．78解析：选D.由题设易知，等腰三角形的腰长是底边长的2倍，如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 边的中点，设∠BAD ＝θ，因为AB ＝4BD ，所以sin θ＝14，故cos ∠BAC ＝cos 2θ＝1－2sin 2θ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝78.3．已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－43，则tan α＝________.解析：由tan(π＋2α)＝－43，得tan 2α＝－43，所以2tan α1－tan 2α＝－43. 因为α是第二象限的角，所以tan α<0，所以tan α＝－12.答案：－124．锐角三角形ABC 中，若B ＝2A ，则sin Bsin A 的取值范围是________．解析：因为B 为锐角，所以0<A <π4.又C 为锐角，且C ＝π－B －A ＝π－3A ，所以0<π－3A <π2.所以－π2<3A －π<0.所以π2<3A <π，π6<A <π4.所以2<2cos A < 3.所以sin B sin A ＝sin 2A sin A ＝2cos A ∈(2，3)．答案：(2，3), [学生用书单独成册])[A.基础达标]1．已知cos α＝13，则cos(π－2α)的值等于( )A ．－79 B.79C.23 D ．－23解析：选B.cos(π－2α)＝－cos 2α＝－2cos 2α＋1＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋1＝79，故选B.2．在△ABC 中，若sin B sin C ＝cos 2A2，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选B.由sin B sin C ＝1＋cos A2⇒2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )⇒2sin B sin C ＝1－cos B cos C ＋sin B sin C ⇒cos B cos C ＋sin B sin C ＝1⇒cos(B －C )＝1，又－180°<B －C <180°，所以B －C ＝0°⇒B ＝C ⇒△ABC 是等腰三角形．3．若tan α＝2，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α的值是( ) A.76 B ．32 C.16 D ．－16解析：选A.原式＝2sin αcos α－cos 2α＋sin 2αsin 2α＋2cos 2α＝2tan α－1＋tan 2αtan 2α＋2＝2×2－1＋2222＋2＝76. 4．tan 67°30′－1tan 67°30′的值为( )A ．1B ． 2C ．2D ．4解析：选C.tan 67°30′－1tan 67°30′＝tan 267°30′－1tan 67°30′＝－22tan 67°30′1－tan 267°30′＝－2tan 135°＝2.5．已知0<α<β<π4，sin α＋cos α＝m ，sin β＋cos β＝n ，则( )A ．m <nB ．m >nC ．mn <1D ．mn >1解析：选A.m 2＝(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α，n 2＝(sin β＋cos β)2＝1＋sin 2β，因为0<α<β<π4，所以0<2α<2β<π2，因为y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数，所以sin 2α<sin 2β，即m 2<n 2，又m >0，n >0，所以m <n ，故选A.6．化简：sin 2αcos α－sin αcos 2α＝________．解析：sin 2αcos α－sin αcos 2α＝2sin αcos 2α－sin α2cos 2α－1 ＝sin α（2cos 2α－1）2cos 2α－1＝sin α. 答案：sin α7．已知tan x ＝2，则tan 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝________．解析：因为tan x ＝2，所以tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝－43. tan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－cos 2x sin 2x ＝－1tan 2x ＝34. 答案：348．函数y ＝12sin 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是________．解析：y ＝12sin 2x ＋sin 2x ＝12sin 2x ＋1－cos 2x 2＝12sin 2x －12cos 2x ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋12，所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22＋12，22＋12. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22＋12，22＋129．已知函数f (x )＝cos x ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值．解：(1)f (x )＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋34＝14sin 2x －32cos 2x ＋34 ＝14sin 2x －32×1＋cos 2x 2＋34＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，故f (x )的最小正周期为π.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4， 所以2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，所以f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，14， 函数f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12. 10．如图，有一块以点O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 开辟为绿地，使其一边AD 落在半圆的直径上，另两点B ，C 落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m ，如何选择关于点O 对称的点A ，D 的位置，可以使矩形ABCD 的面积最大？解：连接OB ，设∠AOB ＝θ，则AB ＝OB sin θ＝20sin θ，OA ＝OB cos θ＝20cos θ，且θ∈(0，π2)．因为A ，D 关于点O 对称， 所以AD ＝2OA ＝40cos θ. 设矩形ABCD 的面积为S ，则S ＝AD ·AB ＝40cos θ·20sin θ＝400sin 2θ.因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以当sin 2θ＝1，即θ＝π4时，S max ＝400(m 2)．此时AO ＝DO ＝102(m)．故当A 、D 距离圆心O 为10 2 m 时，矩形ABCD 的面积最大，其最大面积是400 m 2.[B.能力提升]1．已知不等式32sin x 4cos x 4＋6cos 2x 4－62－m ≤0对于任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，π6恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥ 3B ．m ≤ 3C ．m ≤－ 3D ．－3≤m ≤ 3解析：选A.32sin x 4cos x 4＋6cos 2x 4－62＝322sin x 2＋62cos x 2＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，π6，所以x 2＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，所以6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6∈[－3，3]， 由题意可知m ≥ 3.2．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝( ) A.43 B ．34 C ．－34D ．－43解析：选C.把条件中的式子两边平方，得sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α＝52，即3cos2α＋4sin αcos α＝32，所以3cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝32，所以3＋4tan α1＋tan 2α＝32，即3tan 2α－8tan α－3＝0，解得tan α＝3或tan α＝－13，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34. 3．已知方程x 2－⎝⎛⎭⎪⎫tan α＋1tan αx ＋1＝0的一个根是2＋3，则sin 2α＝________. 解析：由题意可知(2＋3)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin αcos α＋cos αsin α(2＋3)＋1＝0， 即8＋43－sin 2α＋cos 2αsin αcos α(2＋3)＝0，所以(2＋3)112sin 2α＝4(2＋3)，所以sin 2α＝12.答案：124．已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4的值为__________．解析：由sin α＝12＋cos α得sin α－cos α＝12，所以()sin α－cos α2＝1－2sin αcos α＝14，所以2sin αcos α＝34.所以cos 2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22()sin α－cos α＝－2()sin α＋cos α，而()sin α＋cos α2＝1＋2sin αcos α＝74，又因为0<α<π2，所以sin α＋cos α＝72，所以原式＝－142. 答案：－1425．已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx ，23cos ωx )，设函数f (x )＝a ·b ＋λ(x ∈R )的图像关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图像经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，求函数f (x )在区间[0，3π5]上的取值范围． 解：(1)f (x )＝a ·b ＋λ＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx cos ωx ＋λ＝3sin 2ωx－cos 2ωx ＋λ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋λ， 且直线x ＝π是f (x )的图像的一条对称轴，所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，所以ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又因为ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所以ω＝56， 所以f (x )的最小正周期为6π5.(2)y ＝f (x )的图像经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0， 即λ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×56×π4－π6＝－2sin π4＝－2， 则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6－2，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5，则53x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5上的取值范围为[－1－2，2－2]．6．(选做题)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°；②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°；③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)请根据②式求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解：(1)计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：法一：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°·sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sinαcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.法二：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos （60°－2α）2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α)＝34.。
高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切(第2
要点 1 和角正切公式 tan(α＋β)＝1t－anαtan＋α ttaannββ ． 要点 2 差角正切公式 tan(α－β)＝1t＋anαtan－α ttaannββ ．
要点 3 公式的变形 tanα ＋tanβ ＝tan(α＋β)(1－tanα tanβ )； tanα －tanβ ＝tan(α－β)(1＋tanα tanβ )． 要点 4 公式 T(α±β)中的符号(±)规律可简记为“分子同，分母 反”
这两项．
解析 由题意，得
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ＝13，① cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝15，② ①＋②，得 2cosαcosβ＝185，∴cosαcosβ＝145. ①－②，得 2sinαsinβ＝－125，∴sinαsinβ＝－115. ∴tanαtanβ＝csoinsααscionsββ＝－4115＝－14.
＝tan 3 [1－tan( 6 －θ)tan( 6 ＋θ)]＋ 3tan( 6 －θ)tan( 6 ＋θ)
π
π
π
π
＝ 3－ 3tan( 6 －θ)tan( 6 ＋θ)＋ 3tan( 6 －θ)tan( 6 ＋θ)＝ 3.
②原式＝ 33(tan20°＋tan40°)＋tan40°·tan20°
＝ 33tan60°(1－tan20°tan40°)＋tan40°tan20°
1－ 3tan75° (5) 3＋tan75° .
【解析】 (1)原式＝tan(45°＋30°)＋tan(45°－30°)
＝11＋－ttaann3300°°＋11－＋ttaann3300°°
1＋ ＝
33＋1－
优化方案高中数学第三章三角恒等变形2.3两角和与差的正切函数新人教A版必修4
2．3 两角和与差的正切函数, )1．问题导航(1)公式T α±β中α，β的取值范围是什么？ (2)如何由公式T α－β推出公式T α＋β？ (3)公式T α－β和公式T α＋β有何不同？ 2．例题导读P 121例4.通过本例学习，学会直接运用公式T α±β求值． 试一试：教材P 123习题3－2 A 组T 6你会吗？P 122例5.通过本例学习，学会运用公式T α±β化简求值． 试一试：教材P 123习题3－2 A 组T 2(5)(6)你会吗？ P 122例6.通过本例学习，学会运用公式T α±β求值． 试一试：教材P 123习题3－2 A 组T 7你会吗？tan αtan β1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)存在α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．( )(2)对任意α，β∈R ，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β都成立．( )(3)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β等价于tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tanαtan β)．( )解析：(1)正确．当α＝0，β＝π3时，tan(α＋β)＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫0＋π3＝tan 0＋tan π3，但一般情况下不成立．(2)错误．两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z )．(3)正确．当α≠k π＋π2(k ∈Z )，β≠k π＋π2(k ∈Z )，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z )时，由前一个式子两边同乘以1－tan αtan β可得后一个式子，当tan αtan β＝1时，α＋β＝π2＋k π，k ∈Z ，tan(α＋β)无意义，所以后一个式子两边同除以1－tan αtan β可得前一个式子成立，两式等价．答案：(1)√ (2)× (3)√2．已知cos α＝－45，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α等于( ) A ．－17 B ．－7C.17D ．7 解析：选D.因为cos α＝－45，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以sin α＝35. 所以tan α＝sin αcos α＝－34，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α＝7.3．若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)＝________．解析：因为tan α＝3，tan β＝43，所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝13.答案：134.tan 82°－tan 22°1＋tan 82°tan 22°＝________． 解析：tan 82°－tan 22°1＋tan 82°tan 22°＝tan(82°－22°)＝tan 60°＝ 3.答案：31．公式T α±β的结构特征和符号规律(1)结构特征：公式T α±β的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．(2)符号规律：分子同，分母反．2．两角和与差的正切公式的变形与特例(1)变形公式：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)；tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan （α＋β）.(2)公式的特例： tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α； tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α.化简求值计算：(1)sin 15°－cos 15°sin 15°＋cos 15°； (2)tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°；(3)(3＋tan 30°tan 40°＋tan 40°tan 50°＋tan 50°tan 60°)·tan 10°. (链接教材P 122例5)[解] (1)因为tan 15°＝tan (45°－30°) ＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30° ＝1－331＋33＝2－ 3.所以sin 15°－cos 15°sin 15°＋cos 15°＝tan 15°－1tan 15°＋1＝2－3－12－3＋1＝1－33（3－1）＝－33. (2)tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°＝tan (10°＋50°)(1－tan 10°tan 50°)＋3tan 10°tan 50° ＝tan 60°－3tan 10°tan 50°＋3tan 10°tan 50° ＝tan 60°＝ 3.(3)原式＝(1＋tan 30°tan 40°＋1＋tan 40°tan 50°＋1＋tan 50°tan 60°)·tan 10°，因为tan 10°＝tan(40°－30°)＝tan 40°－tan 30°1＋tan 40°tan 30°，所以1＋tan 40°tan 30°＝tan 40°－tan 30°tan 10°，同理，1＋tan 40°tan 50°＝tan 50°－tan 40°tan 10°，1＋tan 50°tan 60°＝tan 60°－tan 50°tan 10°，所以原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫tan 40°－tan 30°tan 10°＋tan 50°－tan 40°tan 10°＋tan 60°－tan 50°tan 10°·tan 10°＝tan 40°－tan 30°＋tan 50°－tan 40°＋tan 60°－tan 50°＝－tan 30°＋tan 60°＝－33＋3＝233. 方法归纳解答此类问题应注意以下两点： (1)公式的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换，如tan 45°＝1，tan 30°＝33，tan 60°＝3等．特别要注意tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α.(2)公式的变形运用只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，就要有灵活变形应用公式T α±β的意识，从而不难获得解题思路．1．(1)1－3tan 75°3＋tan 75°＝________．(2)tan 19°＋tan 26°＋tan 19°tan 26°＝________． (3)求下列各式的值：①sin 7°＋cos 15°sin 8°cos 7°－sin 15°sin 8°； ②tan 20°·tan 30°＋tan 30°·tan 40°＋tan 40°·tan 20°.解：(1)1－3tan 75°3＋tan 75°＝1－tan 60°tan 75°tan 60°＋tan 75°＝1tan （60°＋75°）＝1tan 135°＝1－1＝－1.故填－1. (2)因为tan 45°＝tan(19°＋26°)＝tan 19°＋tan 26°1－tan 19°tan 26°＝1，所以tan 19°＋tan 26°＝1－tan 19°tan 26°， 则tan 19°＋tan 26°＋tan 19°tan 26°＝1.故填1.(3)①原式＝sin （15°－8°）＋cos 15°sin 8°cos （15°－8°）－sin 15°sin 8°＝sin 15°cos 8°co s 15°cos 8°＝tan 15°＝tan(45°－30°) ＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30° ＝1－331＋33＝2－ 3.②原式＝33(tan 20°＋tan 40°)＋tan 40°·tan 20°＝33·tan 60°(1－tan 20°·tan 40°)＋tan 40°·tan 20° ＝1－tan 20°·tan 40°＋tan 20°·tan 40°＝1.给值求值(角)(1)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝2，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝2 2.求：①tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β－π4；②tan(α＋β)．(2)设方程x 2＋33x ＋4＝0的两根为tan α，tan β，且0<|α|<π2，0<|β|<π2，求α＋β的值．(链接教材P 121例4，P 122练习T 4)[解] (1)①tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4＝tan ⎣⎢⎡⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＋⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫β－π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π31－tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝2＋221－2×22＝－ 2.②tan(α＋β)＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4＋π4 ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β－π4＋tan π41－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4tan π4＝－2＋11－（－2）×1＝22－3.(2)由已知，得tan α＋tan β＝－33，tan αtan β＝4. 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝3，且tan α<0，tan β <0，所以－π2<α<0，－π2<β<0，所以－π<α＋β <0，所以α＋β＝－23π.方法归纳解决给值求值(角)问题的常用策略(1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解． (2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小．提醒：在给值求角的问题中，根据角的范围确定角的大小．2．已知tan α＝13，tan β＝－2，且0<α<π2<β<π，求(1)tan(α－β)的值； (2)角α＋β的值．解：(1)因为tan α＝13，tan β＝－2，所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝13＋21－23＝7.(2)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝13－21＋23＝－1，因为0<α<π2<β<π，所以π2<α＋β<3π2，所以α＋β＝3π4.公式T α±β的综合应用(1)已知A ，B 是△ABC 的两个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2＋8x －1＝0的两个实根，则tan C ＝________．(2)在△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，3tan A ＋3tan B ＋1＝tan A tan B ，试判断△ABC 的形状．[解] (1)因为tan A ，tan B 是方程3x 2＋8x －1＝0的两个实根，所以tan A ＋tan B ＝－83，tan A tan B ＝－13，所以tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－831－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－2.又A ＋B ＋C ＝π，所以tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B )＝2.故填2. (2)由tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3， 得tan B ＋tan C ＝3(1－tan B tan C )，因为A ，B ，C 为△ABC 的内角，所以1－tan B tan C ≠0，所以tan B ＋tan C 1－tan B tan C＝3，即tan(B ＋C )＝3，因为0<B ＋C <π，所以B ＋C ＝π3.由3tan A ＋3tan B ＋1＝tan A tan B ， 得3(tan A ＋tan B )＝－(1－tan A tan B )，因为A ，B ，C 为△ABC 的内角，所以1－tan A tan B ≠0，所以tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－33，即tan(A ＋B )＝－33.因为0<A ＋B <π，所以A ＋B ＝5π6.又A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝2π3，B ＝C ＝π6，所以△ABC 为等腰三角形．本例(1)中的方程“3x 2＋8x －1＝0”改为“3x 2＋8x －m ＝0”，求tan C 的取值范围．解：由题意得Δ＝82＋12m ≥0，所以m ≥－163.因为tan A ，tan B 是方程3x 2＋8x －m ＝0的两个实根，所以tan A ＋tan B ＝－83，tan A tanB ＝－m3，则A ，B 中有一个为钝角，所以tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－831－⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 3＝－8m ＋3，因为A ＋B ＋C ＝π，所以tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝8m ＋3， 因为m ≥－163，所以tan C ≤－247或tan C >0.当tan C ≤－247时，C 为钝角，此时不能构成三角形，故tan C >0.方法归纳公式应用的常见问题类型及处理策略(1)方程中的应用：两角和与差的正切公式中由于同时出现了两正切的和差以及乘积，往往会与一元二次方程联系在一起，利用根与系数的关系解决有关问题．(2)判断三角形形状：利用公式及其变形形式，结合题中所给的条件找到角之间的关系．3．已知tan α，tan β是关于x 的方程x 2－4px －3＝0(p ∈R )的两个实数根，且α＋β≠k π＋π2(k ∈Z )，求cos 2(α＋β)＋p sin(α＋β)cos(α＋β)的值．解：因为tan α，tan β是方程x 2－4px －3＝0的两实根， 所以根据根与系数关系，得 tan α＋tan β＝4p ， tan αtan β＝－3，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝4p4＝p ，即sin(α＋β)＝p cos(α＋β)．原式＝(1＋p 2)cos 2(α＋β)＝1＋p 21＋tan 2（α＋β）＝1＋p 21＋p2＝1.已知tan(α－β)＝2，tan β＝－7，且α，β∈(0，π)，则2α－β＝________．[解析] 由于tan α＝tan [(α－β)＋β]＝tan （α－β）＋tan β1－tan （α－β）·tan β＝12－171＋12×17＝13，且α∈(0，π)，所以α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4又由tan β＝－17，且β∈(0，π)，得β∈(π2，π)，所以2α－β∈(－π，0)．而tan(2α－β)＝tan [(α－β)＋α]＝12＋131－12×13＝1，所以2α－β＝－34π.[答案] －3π4[错因与防范] (1)解答本题常会得到2α－β的值为π4，5π4这样错误的结果，原因在于没能依据题设条件进一步缩小角α、β的范围，导致计算角2α－β的范围扩大而出错．(2)为了防范类似的错误，应该 ①树立函数择优意识选择运算该角的哪个三角函数值，会直接影响角的解的个数，如本例选择公式T α±β较方便快捷，且不易产生增解．②注意题设隐含条件的挖掘个别条件所附带的信息有时较为隐蔽，常依据需要对题设条件进一步挖掘，如本例要依据“tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)”来进一步限定角α，β的范围．4．(1)在△ABC 中，若tan A ·tan B >1，则△ABC 必是( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形(2)已知tan α＝17，tan β＝13，且α，β均为锐角，求α＋2β的值．解：(1)选C.因为tan A ·tan B >1且A 、B 、C 为△ABC 的内角，所以tan A >0，tan B >0，又因为tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A ·tan B <0，所以A ＋B >π2，所以C 为锐角．所以△ABC 为锐角三角形．(2)由tan α＝17，tan β＝13知，0<α<π4，0<β<π4，则0<α＋2β<3π4，又tan 2β＝tan(β＋β)＝2tan β1－tan 2β＝34，所以tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan αtan 2β＝17＋341－17×34＝1，所以α＋2β＝π4.1.3－tan 18°1＋3tan 18°等于( )A ．tan 42°B ．tan 3°C ．1D ．tan 24°解析：选A.3－tan 18°1＋3tan 18°＝tan 60°－tan 18°1＋tan 60°tan 18°＝tan(60°－18°)＝tan 42°.2．已知tan α和tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，则a 、b 、c 的关系是( )A ．c ＝b ＋aB ．2b ＝a ＋cC ．b ＝a ＋cD ．c ＝ab解析：选A.⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－b a ，tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝c a，所以tan π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＋α＝－ba 1－c a＝1，所以－b a ＝1－ca，所以－b ＝a －c ，所以c ＝a ＋b .故选A.3．tan 27°＋tan 33°＋3tan 27°tan 33°＝________．解析：tan 27°＋tan 33°＝tan(27°＋33°)(1－tan 27°·tan 33°) ＝tan 60°(1－tan 27°tan 33°)＝3－3tan 27°·tan 33°， 所以tan 27°＋tan 33°＋3tan 27°tan 33°＝3－3tan 27°tan 33°＋3tan 27°tan 33°＝ 3. 答案： 3, [学生用书单独成册])[A.基础达标]1．若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝3，则tan α的值为( ) A ．－2 B ．－12C.12D ．2解析：选B.tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α1＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－31＋3＝－12.2．设α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝17，tan β＝43，则α－β等于( )A.π3 B ．π4C.34π D ．－π4解析：选D.tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝17－431＋17×43＝－1.因为tan α<tan β且α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α<β.所以α－β＝－π4.3．直线l 1：x －2y ＋1＝0，倾斜角为α，直线l 2：x ＋3y －1＝0，倾斜角为β，则β－α＝( )A.π4 B ．3π4 C ．－π4 D ．－3π4解析：选B.由题意可知，tan α＝12，tan β＝－13，所以0<α<π2，π2<β<π.所以0<β－α<π，所以tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan β tan α＝－13－121－13×12＝－1.所以β－α＝3π4.4．在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A tan B ＝( ) A.14 B ．13 C.12 D ．53 解析：选B.C ＝120°，则A ＋B ＝60°，又tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ，故2331－tan A tan B ＝3，所以tan A tan B ＝13.5．在△ABC 中，若sin A －3cos A ＝0，sin 2B －sin B cos B －2cos 2B ＝0，则角C 为( )A.π3 B ．π4 C.π6 D ．3π4解析：选B.由sin A －3cos A ＝0得tan A ＝3.由sin 2B －sin B cos B －2cos 2B ＝0得tan 2B －tan B －2＝0，解得tan B ＝2或tan B ＝－1，当tan B ＝2时，tan C ＝－tan(A ＋B )＝1，由C ∈(0，π)得C ＝π4；当tan B ＝－1时，tan C ＝－tan(A ＋B )＝－12，此时B 、C 均为钝角不合题意，舍去，综上所述C ＝π4.6．若A ＝18°，B ＝27°，则(1＋tan A )(1＋tan B )的值是________． 解析：原式＝tan A ＋tan B ＋tan A tan B ＋1＝tan (18°＋27°)·(1－tan 18°tan 27°)＋tan 18°·tan 27°＋1＝2.答案：27.tan 20°tan （－50°）－1tan 20°－tan 50°＝________．解析：原式＝－tan 20°tan 50°＋1tan 20°－tan 50°＝1tan 50°－tan 20°1＋tan 20°tan 50°＝1tan （50°－20°） ＝1tan 30°＝ 3. 答案： 38．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2，则12sin αcos α＋cos 2α＝________． 解析：因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2，所以1＋tan α1－tan α＝2， 解得tan α＝13，所以12sin α·cos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α2sin α·cos α＋cos 2α＝tan 2α＋12tan α＋1＝19＋123＋1＝23. 答案：239．已知cos(α＋β)＝13，cos(α－β)＝15，求tan α·tan β的值．解：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝13，①cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝15，②由①②整理得⎩⎪⎨⎪⎧cos αcos β＝415，sin αsin β＝－115，则tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝－115415＝－14.10．若tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0的两根，求sin 2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos 2(α＋β)的值．解：由根与系数的关系可得，tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝－3，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－（－3）＝34. sin 2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos 2(α＋β)＝sin 2（α＋β）－3sin （α＋β）cos （α＋β）－3cos 2（α＋β）sin 2（α＋β）＋cos 2（α＋β）＝tan 2（α＋β）－3tan （α＋β）－3tan 2（α＋β）＋1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫342－3×34－3⎝ ⎛⎭⎪⎫342＋1＝－3.[B.能力提升]1．化简tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于( ) A ．1 B ．2 C ．tan 10° D ．3tan 20°解析：选 A.原式＝tan 10°tan 20°＋3tan 20°＋3tan 10°＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫tan 10°＋tan 20°＋33tan 10°tan 20°，因为tan(10°＋20°)＝tan 10°＋tan 20°1－tan 10°·tan 20°＝33，故tan 10°＋tan 20°＋33tan 10°·tan 20°＝33， 所以原式＝3×33＝1. 2．已知α，β为锐角，cos α＝45，tan(α－β)＝－13，则cos β的值为( )A.91050B ．31010C ．－1010D ．131050解析：选A.因为α，β为锐角，且cos α＝45，所以sin α＝35，所以tan α＝34.又tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝34－tan β1＋34tan β＝－13，所以tan β＝139，即sin βcos β＝139，因为β为锐角，所以13cos β＝91－cos 2β， 整理得cos β＝91050.3．已知tan α＝13，cos β＝55且0<α<π2，3π2<β<2π则α＋β的值为________．解析：因为3π2<β<2π且cos β＝55，所以sin β＝－255，所以tan β＝sin βcos β＝－2，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝13－21＋23＝－1，又因为0<α<π2，所以3π2<α＋β<52π，所以α＋β＝74π.答案：74π4．设0<β<α<π2，且cos α＝17，cos(α－β)＝1314，则tan β的值为________．解析：由0<β<α<π2，可得0<α－β<π2，又cos α＝17，cos(α－β)＝1314，得sin α＝1－cos 2α＝437， sin(α－β)＝1－cos 2（α－β）＝3314，则tan α＝43，tan(α－β)＝3313，所以 tan β＝tan[α－(α－β)]＝tan α－tan （α－β）1＋tan αtan （α－β）＝43－33131＋43×3313＝ 3. 答案： 35．如图，在矩形ABCD中，AB ＝a ，BC ＝2a ，在BC 上取一点P ，使得AB ＋BP ＝PD ，求tan ∠APD 的值．解：由AB ＋BP ＝PD ，得a ＋BP ＝a 2＋（2a －BP ）2，解得BP ＝23a .设∠APB ＝α，∠DPC ＝β，则tan α＝AB BP ＝32，tan β＝CD PC ＝34，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－18，又∠APD ＋α＋β＝π，所以tan ∠APD ＝18.6．(选做题)是否存在锐角α和β，使(1)α＋2β＝23π；(2)tan α2·tan β＝2－3同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．解：若α＋2β＝23π，则α2＋β＝π3，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β＝tan α2＋tan β1－tan α2tan β＝ 3. 又因为tan α2tan β＝2－3，所以tan α2＋tan β＝3－3，所以tan α2，tan β是一元二次方程x 2－(3－3)x ＋2－3＝0的两根，所以x 1＝1，x 2＝2－ 3.由于α是锐角，所以0<α2<π4，故tan α2≠1，所以tan α2＝2－3，tan β＝1.因为0<β<π2，所以β＝π4，α＝2π3－2β＝π6，所以存在这样的锐角α＝π6，β＝π4.。
优化方案高中数学 第三章 三角恒等变形 2.2.3 两角和与差的正切函数应用案巩固提升 北师大版必修4
【优化方案】2017高中数学 第三章 三角恒等变形 2.2.3 两角和与差的正切函数应用案巩固提升 北师大版必修4[A 基础达标]1．若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝3，则tan α的值为( )A ．－2B ．－12C.12D ．2解析：选B.tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α1＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－31＋3＝－12. 2．设α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝17，tan β＝43，则α－β等于( )A.π3B.π4C.34π D ．－π4解析：选D.tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝17－431＋17×43＝－1.因为tan α<tan β且α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α<β.所以α－β＝－π4.3．直线l 1：x －2y ＋1＝0，倾斜角为α，直线l 2：x ＋3y －1＝0，倾斜角为β，则β－α＝( )A.π4B.3π4C ．－π4D ．－3π4解析：选B.由题意可知，tan α＝12，tan β＝－13，所以0<α<π2，π2<β<π.所以0<β－α<π，所以tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan β tan α＝－13－121－13×12＝－1.所以β－α＝3π4.4．在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A tan B ＝( )A.14B.13C.12D.53解析：选B.因为C ＝120°，则A ＋B ＝60°，又tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ，故2331－tan A tan B ＝3，所以tan A tan B ＝13.5．在△ABC 中，若sin A －3cos A ＝0，sin 2B －sin B cos B －2cos 2B ＝0，则角C 为( ) A.π3B.π4 C.π6D.3π4解析：选B.由sin A －3cos A ＝0得tan A ＝3.由sin 2B －sin B cos B －2cos 2B ＝0得tan 2B －tan B －2＝0，解得tan B ＝2或tan B ＝－1， 当tan B ＝2时，tanC ＝－tan(A ＋B )＝1，由C ∈(0，π)得C ＝π4；当tan B ＝－1时，tan C＝－tan(A ＋B )＝－12，此时B 、C 均为钝角不合题意，舍去，综上所述C ＝π4.6．若A ＝18°，B ＝27°，则(1＋tan A )(1＋tan B )的值是________．解析：原式＝tan A ＋tan B ＋tan A tan B ＋1＝tan(18°＋27°)·(1－tan18°tan27°)＋tan18°·tan27°＋1＝2.答案：2 7.tan 20°tan （－50°）－1tan 20°－tan 50°＝________．解析：原式＝－tan 20°tan 50°＋1tan 20°－tan 50°＝1tan 50°－tan 20°1＋tan 20°tan 50°＝1tan （50°－20°）＝1tan 30°＝ 3.答案： 38．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2，则12sin αcos α＋cos 2α＝________． 解析：因为tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2，所以1＋tan α1－tan α＝2， 解得tan α＝13，所以12sin α·cos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α2sin α·cos α＋cos 2α ＝tan 2α＋12tan α＋1＝19＋123＋1＝23. 答案：239．已知cos(α＋β)＝13，cos(α－β)＝15，求tan α·tan β的值．解：cos(α＋β)＝cos αco s β－sin αsin β＝13，①cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝15，②由①②整理得⎩⎪⎨⎪⎧cos αcos β＝415，sin αsin β＝－115，则tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝－115415＝－14.10．若tan α，t an β是方程x 2－3x －3＝0的两根，求sin 2(α＋β)－3s in(α＋β)cos(α＋β)－3cos 2(α＋β)的值．解：由根与系数的关系可得， tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝－3， 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－（－3）＝34.sin 2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos 2(α＋β)＝sin 2（α＋β）－3sin （α＋β）cos （α＋β）－3cos 2（α＋β）sin 2（α＋β）＋cos 2（α＋β） ＝tan 2（α＋β）－3tan （α＋β）－3tan 2（α＋β）＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫342－3×34－3⎝ ⎛⎭⎪⎫342＋1＝－3.[B 能力提升]1．(1＋tan21°)(1＋tan22°)(1＋tan23°)(1＋tan24°)的值为( ) A ．16 B ．8 C ．4D ．2解析：选C.由于21°＋24°＝45°，23°＋22°＝45°，利用两角和的正切公式及其变形可得(1＋tan21°)(1＋tan24°)＝2，(1＋tan22°)(1＋tan23°)＝2，故(1＋tan21°)(1＋tan22°)(1＋tan23°)(1＋tan24°)＝4.2．已知tan α＝13，cos β＝55且0<α<π2，3π2<β<2π则α＋β的值为________．解析：因为3π2<β<2π且cos β＝55，所以sin β＝－255，所以tan β＝sin βcos β＝－2，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝13－21＋23＝－1，又因为0<α<π2，所以3π2<α＋β<52π，所以α＋β＝74π.答案：74π3．已知tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2，tan β＝12，求sin （α＋β）－2sin αcos β2sin αsin β＋cos （α＋β）的值．解：由tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝2，解得tan α＝13.所以sin （α＋β）－2sin αcos β2sin αsin β＋cos （α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β－2sin αcos β2sin αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝cos αsin β－sin αcos βcos αcos β＋sin αsin β＝sin （β－α）cos （β－α）＝tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan βtan α＝12－131＋12×13＝17.4．(选做题)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边的两个锐角为α，β，它们的终边分别交单位圆于A ，B 两点，已知A ，B 两点的横坐标分别是210和255. (1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值．解：(1)由单位圆中三角函数的定义，可得cos α＝210，cos β＝255. 由于α，β为锐角，所以sin α＝1－cos 2α＝7210，sin β＝1－cos 2β＝55.从而tan α＝7，tan β＝12，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－72＝－3.(2)因为tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝tan （α＋β）＋tan β1－tan （α＋β）tan β＝－3＋121＋32＝－1，又0＜α＜π2，0＜β＜π2，所以0＜α＋2β＜3π2，从而α＋2β＝3π4.。
优化方案高中数学 第三章 三角恒等变形 2.2.12.2 两角差的余弦函数、两角和与差的正弦、余弦函
第三章 三角恒等变形 2.2.1-2.2 两角差的余弦函数、两角和与差的正弦、余弦函数应用案巩固提升 北师大版必修4[A 基础达标]1．化简cos(x ＋y )sin y －sin(x ＋y )cos y 等于( ) A ．sin(x ＋2y ) B ．－sin(x ＋2y ) C ．sin xD ．－sin x解析：选D.cos(x ＋y )sin y －sin(x ＋y )cos y ＝sin[y －(x ＋y )]＝－sin x . 2．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．－7210B.7210 C ．－210D.210解析：选A.因为cos α＝－45，α是第三象限的角，所以sin α＝－35，由两角和的正弦公式可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×22＝－7210.3．在△ABC 中，若sin(B ＋C )＝2sin B cos C ，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：选D.因为sin(B ＋C )＝2sin B cos C ， 所以sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ，即sin B cos C －cos B sin C ＝0，所以sin(B －C )＝0， 所以B ＝C .所以△ABC 是等腰三角形． 4．如果sin （α＋β）sin （α－β）＝m n ，那么tan βtan α等于( )A.m －n m ＋nB.m ＋n m －nC.n －m n ＋m D.n ＋mn －m解析：选A.sin （α＋β）sin （α－β）＝sin αcos β＋cos αsin βsin αcos β－cos αsin β＝mn ，所以n sin αcos β＋n cos αsin β ＝m sin αcos β－m cos αsin β，所以(m －n )sin αcos β＝(m ＋n )cos αsin β， 所以cos αsin βsin αcos β＝m －n m ＋n ，即tan βtan α＝m －n m ＋n.5．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值为( )A ．－235 B.235C ．－45D.45解析：选C.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435， 所以cos αcos π6＋sin αsin π6＋sin α＝435，所以32cos α＋32sin α＝435，即12cos α＋32sin α＝45. 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝45.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45.6．已知3sin x －3cos x ＝23sin(x ＋φ)，φ∈(－π，π)则φ的值是________． 解析：因为3sin x －3cos x ＝23⎝⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，又因为3sin x －3cos x ＝23sin(x ＋φ)且φ∈(－π，π)， 所以φ＝－π6.答案：－π67．函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________．解析：因为f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝cos φsin x －sin φcos x ＝sin(x －φ)， 又－1≤sin(x －φ)≤1，所以f (x )的最大值为1. 答案：18．若cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13，则cos(α－β)＝________．解析：由已知得cos α－cos β＝12，①sin α－sin β＝－13.②①2＋②2得(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝14＋19，即2－2cos αcos β－2sin αsin β＝1336，所以cos αcos β＋sin αsin β＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1336＝5972，所以cos(α－β)＝5972.答案：59729．已知α、β为锐角，且cos α＝45，cos(α＋β)＝－1665，求cos β的值．解：因为0<α<π2，0<β<π2，所以0<α＋β<π.由cos(α＋β)＝－1665，得sin(α＋β)＝6365.又因为cos α＝45，所以sin α＝35.所以cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－1665×45＋6365×35＝513.10．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6，x ∈R.(1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫13×5π4－π6＝2sin π4＝2×22＝ 2. (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13⎝ ⎛⎭⎪⎫3α＋π2－π6＝2sin α＝1013，所以sin α＝513. f (3β＋2π)＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13（3β＋2π）－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π2＝2cos β＝65，所以cos β＝35.因为α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos α＝1－sin 2α＝1213，sin β＝1－cos 2β＝45，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝1213×35－513×45＝1665. [B 能力提升]1．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－12，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝32，其中π4<α<π2，π4<β<π2，则角α＋β的值为( )A.π6B.5π6 C.π3D.23π 解析：选B.因为π4<α<π2，所以－π4<π4－α<0，因为π4<β<π2，所以π2<π4＋β<3π4，由已知可得cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝32，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝－12.则cos(α＋β)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋βcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋βsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×32＋32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32.因为π2<α＋β<π，所以α＋β＝5π6.2．形如⎝⎛⎭⎪⎫a b cd 的式子叫作行列式，其运算法则为⎝ ⎛⎭⎪⎫ab cd ＝ad －bc ，若行列式⎝⎛⎭⎪⎪⎫sin x cos x sin π6 cos π6＝12，则x ＝________．解析：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d ＝ad －bc ，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫sin x cos x sin π6 cos π6＝sin x cos π6－cos x sin π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝12，所以x －π6＝π6＋2k π或x －π6＝5π6＋2k π，k ∈Z ，所以x ＝π3＋2k π或x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z.答案：π3＋2k π或(2k ＋1)π，k ∈Z3．已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝322.(1)求A 的值；(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ.解：(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋π3＝A sin 3π4＝22A ＝322，所以A ＝3.(2)f (θ)－f (－θ)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－θ＋π3＝3⎣⎢⎡⎝⎛⎭⎪⎫sin θcos π3＋cos θsin π3⎦⎥⎤－⎝⎛⎭⎪⎫－sin θcos π3＋cos θsin π3 ＝6sin θcos π3＝3sin θ＝3，所以sin θ＝33.又因为θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos θ＝1－sin 2θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝63，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫π6－θ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝3cos θ＝ 6.4．(选做题)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，1，b ＝(4，4c os x －3)．(1)若a ⊥b ，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4π3的值；(2)设f (x )＝a ·b ，若α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝23，求cos α的值．解：(1)因为a ⊥b ⇔a ·b ＝0，则a ·b ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋4cos x － 3＝23sin x ＋6cos x － 3＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3＝0， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝14，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－14. (2)由(1)知f (x )＝43sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3，所以由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝23得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝34， 又α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以α＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3， 又因为22<34<32，所以α＋π6∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π3， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝74，所以cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝co s ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6＝74×32＋34×12＝3＋218.。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 两角和与差的三角
3.2.3 两角和与差的正切函数两角和与差的正切公式(1)两角和的正切：tan(α＋β)＝__________________(T α＋β) (2)两角差的正切：tan(α－β)＝__________________(T α－β)公式T α±β的记忆规律：公式的左侧是复角的正切即tan(α±β)，右侧是分式，分子是tan α与tan β的和或差，分母是1与tan αtan β的差或和，分式的运算符号可以简记为“分子从前，分母相反”．预习交流1在公式T α±β中，α，β的使用范围是什么？ 预习交流2两角和与差的正切公式的变形有哪些？ 预习交流3(1)若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于( )．A ．－3B ．－13C ．3D.13 (2)若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝3，则tan α＝( )． A ．－2 B ．－12 C.12D ．2(3)tan 41°＋tan 19°1－tan 41°tan 19°＝__________. (4)1－tan 75°1＋tan 75°＝__________.答案：(1)tan α＋tan β1－tan αtan β (2)tan α－tan β1＋tan αtan β预习交流1：提示：从公式的推导过程来看，要使公式成立，α，β以及α±β都不能等于k π＋π2(k ∈Z )，例如tan 3π4，tan π4都有意义，但tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π4无意义．预习交流2：提示：两角和与差的正切公式的常见变形： (1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；(2)1－tan αtan β＝tan α＋tan βtan(α＋β)；(3)tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)；(4)tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan(α＋β).这些变形是化简和求值中常用的形式，这些变形实质上是在提醒我们只要遇见tan α±tan β和tan αtan β时，就要有灵活运用公式T α±β的变形形式的意识．预习交流3：(1)D (2)B (3) 3 (4)－331．公式的直接应用已知sin(π＋θ)＝－35，tan φ＝12，并且θ是第二象限角，求tan(θ－φ)的值．思路分析：首先利用诱导公式求出sin θ，再求出cos θ，进而求出tan θ，最后利用T α－β求解．已知tan α＝－13，cos β＝55，α，β∈(0，π)．求tan(α－β)，tan(α＋β)的值．对于这类给值求值题，解答的关键在于先用公式T α±β分析一下待求的问题需要什么，然后利用化归的思想，把未知向已知进行转化．解题过程中需多加注意角的范围，必要时可拆分角．2．公式的逆用与变形用求值：(1)tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°； (2)3－tan 15°1＋3tan 15°；(3)已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4. 思路分析：注意到10°＋50°＝60°，而tan 60°＝3，故联想到tan(10°＋50°)的展开形式，并变形可解决(1)；在第(2)题中可将3替换为tan 60°，再解答；(3)注意到α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4，利用T α－β即可解决．求值：(1)tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°·tan 37°； (2)tan 105°－1tan 105°＋1.对两角和与差的正切公式的正用、逆用、变形用是恒等变换的基本要求，数学的特点是“多想点就少算点”，因此注意观察式子的结构特点并注意特殊值的代换、角的变换等技巧可使运算简捷．例如，“1＝tan 45°，3＝tan 60°”等．3．利用公式求角已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，α，β∈(0，π)，求2α－β的值．思路分析：先利用角的变换α＝(α－β)＋β可以直接利用公式求出tan α的值．再根据求出的tan α的值，再次变换角2α－β＝α＋(α－β)，然后求值，定范围找角．角α，β(0＜α＜β＜π)的终边与单位圆分别交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，－255.试求： (1)tan(α－β)； (2)α－2β.求角问题中应特别关注的问题：(1)角的变换前面学习S α±β，C α±β的过程中运用的角的变换技巧仍然适用于公式T α±β，如2α－β＝α＋(α－β)，在求值过程中要进一步掌握这些角的变换方法．(2)函数名称的选取在明确所求角是如何通过已知角变换之后，具体要根据题设条件去选择恰当的函数． (3)角的范围的界定根据求出的三角函数值确定所求的角时，角的范围会直接影响解的个数，因此，角的范围的确定是求角问题中最为关键的因素．4．公式的综合应用在△ABC 中，已知tan A 与tan B 是方程2x 2＋9x －13＝0的两个根，求tan C 的值． 思路分析：先利用三角形的内角和将角C 用角A 和角B 表示出来，tan C ＝tan(π－A －B )＝－tan(A ＋B )，然后用韦达定理求tan A ＋tan B ，tan A tan B ，最后求tan C .已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2且tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，求α＋β的值．公式T α＋β与一元二次方程的联系：在两角和的正切公式T α＋β中，有tan α＋tan β和tan αtan β这两项，对比一元二次方程中的根与系数的关系，为我们利用韦达定理解决问题找到了很好的结合点．因此tan α、tan β可以看作一元二次方程的根，这样tan α＋tan β、tan αtan β、tan α－tan β就可以互相表示，进而可以利用它们求tan(α±β)．答案：活动与探究1：解：∵sin(π＋θ)＝－sin θ＝－35，∴sin θ＝35.又θ是第二象限角，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－45.∴tan θ＝sin θcos θ＝－34.又tan φ＝12，∴tan(θ－φ)＝tan θ－tan φ1＋tan θtan φ＝－34－121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×12＝－2.迁移与应用：解：∵β∈(0，π)，cos β＝55， ∴sin β＝1－cos 2β＝255.∴tan β＝sin βcos β＝2.∴tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝－13－21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×2＝－7.tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×2＝1.活动与探究2：解：(1)∵tan(10°＋50°)＝tan 10°＋tan 50°1－tan 10°tan 50°＝3，∴tan 10°＋tan 50°＝3－3tan 10°tan 50°. ∴tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°＝ 3.(2)3－tan 15°1＋3tan 15°＝tan 60°－tan 15°1＋tan 60°tan 15° ＝tan(60°－15°)＝tan 45°＝1.(3)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝tan(α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π41＋tan(α＋β)tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝25－141＋25×14＝322.迁移与应用：解：(1)∵tan(23°＋37°)＝tan 23°＋tan 37°1－t an 23°tan 37°＝3，∴tan 23°＋tan 37°＝3－3tan 23°tan 37°. ∴tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°＝ 3.(2)原式＝tan 105°－tan 45°1＋tan 105°tan 45°＝tan(105°－45°)＝tan 60°＝ 3.活动与探究3：解：因为tan β＝－17，tan(α－β)＝12，所以tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan(α－β)＋tan β1－tan(α－β)tan β＝12－171－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－17＝13.tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝tan(α－β)＋tan α1－tan(α－β)tan α＝12＋131－12×13＝1.因为tan α＝13＞0，tan β＝－17＜0，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α－β∈(－π，0)．又tan(α－β)＝12＞0，所以α－β∈⎝⎛⎭⎪⎫－π，－π2， 2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)． 而tan(2α－β)＝1，所以2α－β＝－3π4.迁移与应用：解：(1)由已知条件及三角函数的定义可知，0＜α＜π2＜β＜π，cos α＝210，cos β＝－255. 因为α为锐角，故sin α＞0，从而sin α＝1－cos 2α＝7210，同理可得sin β＝55， 因此tan α＝7，tan β＝－12.所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3. (2)tan(α－2β)＝tan[(α－β)－β]＝－3＋121＋(－3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1.又0＜α＜π2，π2＜β＜π，∴－2π＜α－2β＜－π2，得α－2β＝－5π4.活动与探究4：解：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧tan A ＋tan B ＝－92，tan A ·tan B ＝－132，∴tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B ) ＝－tan A ＋tan B 1－tan A ·tan B ＝－－921＋132＝915＝35.迁移与应用：解：∵tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，∴⎩⎨⎧ tan α＋tan β＝－33，tan αtan β＝4.①②∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－33－3＝ 3.又由①②可知tan α＜0，tan β＜0.又α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， 故α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0. 从而α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－2π3.1．tan(－165°)的值是( )．A ．2＋ 3B ．2－ 3C ．－2＋ 3D ．－2－ 32．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( )． A.17B ．7C ．－17D ．－73．(2012·吉林实验中学高三模拟，3)sin 15°＋cos 15°sin 15°－cos 15°的值是( )．A.33B.2＋64C.2－64D ．－ 34．(2012·重庆高考，理5)设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )．A ．－3B ．－1C ．1D ．35．在△ABC 中，cos A ＝45，tan B ＝2，求tan C 的值．答案：1．B 解析：原式＝tan(－180°＋15°) ＝tan 15°＝tan(45°－30°) ＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝2－ 3. 2．A 解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35， ∴cos α＝－45，tan α＝－34.∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝1－341＋34＝17.3．D 解析：原式＝tan 15°＋1tan 15°－1＝－1＋tan 15°1－tan 15°＝－tan 45°＋tan 15°1－tan 45°·tan 15°＝－tan(15°＋45°)＝－tan 60°＝－ 3.4．A 解析：因为tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，所以tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，而tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝31－2＝－3，故选A.5．解：∵cos A ＝45，∴sin A ＝35.∴tan A ＝34.tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B 1－tan A ·tan B ＝－34＋21－34×2＝112.。
优化方案高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.2 两角和
第三章 三角恒等变换 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 第2课时 两角和与差的正切公式应用案巩固提升 新人教A 版必修4[A 基础达标]1．(2015·高考重庆卷)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝( )A.17 B ．16 C.57D.56解析：选A.tan β＝tan[(α＋β)－α] ＝tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）·tan α＝12－131＋12×13＝17.2．已知cos α＝－45且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α等于( ) A ．－17B ．－7 C.17D ．7解析：选D.因为cos α＝－45，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 所以sin α＝35，所以tan α＝sin αcos α＝－34，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α＝7.3．tan 15°＋tan 105°等于( ) A ．－2 3 B ．2＋ 3 C ．4D.433解析：选 A.tan 15°＋tan 105°＝tan (45°－30°)＋tan (45°＋60°)＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＋tan 45°＋tan 60°1－tan 45°tan 60°＝－23，故选A.4．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A ．－2B ．2C ．－12D.12解析：选C.因为sin α＋cos αsin α－cos α＝12，所以tan α＋1tan α－1＝12，因为tan α＋1tan α－1＝tan α＋tanπ4tan αtan π4－1＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－12. 5．在△ABC 中，若A 为钝角，则tan B tan C 的值为( ) A ．大于0且小于1 B ．等于1 C ．大于1D ．不能确定解析：选A.因为A 为钝角，所以B ＋C 为锐角，所以B 、C 均为锐角，所以tan B ＞0，tan C ＞0，tan(B ＋C )＞0，即tan B ＋tan C1－tan B tan C＞0，故0＜tan B tan C ＜1，故选A.6．(2015·高考江苏卷)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．解析：tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）tan α＝17－（－2）1＋17×（－2）＝3.答案：37．已知tan(α＋β)＝3，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2，那么tan β＝________． 解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝2，则tan α＝13，又tan(α＋β)＝tan β＋tan α1－tan αtan β＝3，所以tan β＝43.答案：438．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan α·tan β＝________． 解析：因为tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，所以1－tan αtan β＝tan α＋tan βtan （α＋β）＝24＝12，所以tan α·tan β＝1－12＝12.答案：129．已知直线l 1：x －2y ＋1＝0，倾斜角为α，直线l 2：x ＋3y －1＝0，倾斜角为β，求β－α.解：由题意可知，tan α＝12，tan β＝－13，所以0＜α＜π2，π2＜β＜π.所以0＜β－α＜π，所以tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan β tan α＝－13－121－13×12＝－1，所以β－α＝3π4.10．已知tan (π＋α)＝－13，tan(α＋β)＝sin α＋2cos α5cos α－sin α.(1)求tan(α＋β)的值； (2)求tan β的值．解：(1)因为tan (π＋α)＝－13，所以tan α＝－13，因为tan(α＋β)＝sin α＋2cos α5cos α－sin α＝tan α＋25－tan α，所以tan(α＋β)＝－13＋25＋13＝516.(2)因为tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）tan α，所以tan β＝516＋131－516×13＝3143.[B 能力提升]1．(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)的值为( ) A ．16 B ．8 C ．4D ．2解析：选C.由于21°＋24°＝45°，23°＋22°＝45°，利用两角和的正切公式及其变形可得(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝2，(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)＝2，故(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)＝4.2.tan 18°＋tan 42°＋tan 120°tan 18°tan 42°tan 60°＝________．解析：因为tan 18°＋tan 42°＋tan 120°＝tan 60°(1－tan 18°tan 42°)＋tan 120°＝－tan 60°tan 18°tan 42°，所以原式＝－1.答案：－13．已知tan⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2，tan β＝12，求sin（α＋β）－2sin αcos β2sin αsin β＋cos（α＋β）的值．解：由tan⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝2，解得ta n α＝13.所以sin（α＋β）－2sin αcos β2sin αsin β＋cos（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β－2sin αcos β2sin αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝cos αsin β－sin αcos βcos αcos β＋sin αsin β＝sin（β－α）cos（β－α）＝tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan βtan α＝12－131＋12×13＝17.4．(选做题)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边的两个锐角为α，β，它们的终边分别交单位圆于A，B两点，已知A，B两点的横坐标分别是210和255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．解：(1)由单位圆中三角函数的定义，可得cos α＝210，cos β＝255. 由于α，β为锐角，所以sin α＝1－cos 2α＝7210，sin β＝1－cos 2β＝55.从而tan α＝7，tan β＝12，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－72＝－3.(2)因为tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝tan （α＋β）＋tan β1－tan （α＋β）tan β＝－3＋121＋32＝－1，又0＜α＜π2，0＜β＜π2，所以0＜α＋2β＜3π2，从而α＋2β＝3π4.。
优化方案高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.2 两角和
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 第1课时 两角和与差的正弦、余弦公式应用案巩固提升 新人教A 版必修4[A 基础达标]1．化简cos(x ＋y )sin y －sin(x ＋y )cos y 等于( ) A ．sin(x ＋2y ) B ．－sin(x ＋2y ) C ．sin xD ．－sin x解析：选D.cos(x ＋y )sin y －sin (x ＋y )cos y ＝sin[y －(x ＋y )]＝－sin x . 2．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．－7210B ．7210C ．－210D.210解析：选A.因为cos α＝－45，α是第三象限的角，所以sin α＝－35，由两角和的正弦公式可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×22＝－7210. 3．在△ABC 中，若sin(B ＋C )＝2sin B cos C ，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：选D.因为sin(B ＋C )＝2sin B cos C ， 所以sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ， 即sin B cos C －cos B sin C ＝0，所以sin(B －C )＝0， 所以B ＝C .所以△ABC 是等腰三角形．4．函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为( )A ．[－2，2]B ．[－3，3]C ．[－1，1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 解析：选B ．因为f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin x －cos x cos π6＋sin x sin π6＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝3⎝⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6(x ∈R )，所以f (x )的值域为[－3，3]．5．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值为( )A ．－235B ．235C ．－45D.45解析：选C.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435， 所以cos αcos π6＋sin αsin π6＋sin α＝435，所以32cos α＋32sin α＝435，即12cos α＋32sin α＝45. 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝45.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45.6．sin 105°的值为__________．解析：sin 105°＝sin (45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝22×12＋22×32＝2＋64. 答案：2＋647．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3，则tan α＝________． 解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝cos αcos π3－sin αsin π3＝12cos α－32sin α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝sin αcos π3－cos αsin π3＝12sin α－32cos α，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32cosα，故tan α＝1.答案：18．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35，β是第三象限角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋5π4＝________．解析：sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α ＝sin[(α－β)－α]＝－sin β＝35，即sin β＝－35，又β是第三象限角，所以cos β＝－45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋5π4＝sin βcos 5π4＋cos βsin 5π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝7210. 答案：72109．化简下列各式：(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ； (2)sin （2α＋β）sin α－2cos(α＋β)．解：(1)原式＝sin x cosπ3＋cos x sin π3＋2sin x cos π3－2cos x sin π3－3cos 2π3·cos x －3sin 2π3sin x ＝12sin x ＋32cos x ＋sin x －3cos x ＋32cos x －32sin x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1－32sin x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－3＋32cos x ＝0.(2)原式 ＝sin[（α＋β）＋α]－2cos （α＋β）sin αsin α＝sin （α＋β）cos α－cos （α＋β）sin αsin α＝sin[（α＋β）－α]sin α＝sin βsin α. 10．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－12，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝32，其中π4＜α＜π2，π4＜β＜π2，求角α＋β的值．解：因为π4＜α＜π2，所以－π4＜π4－α＜0.因为π4＜β＜π2，所以π2＜π4＋β＜3π4.由已知可得cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝32，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝－12，则cos(α＋β)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋βcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋βsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×32＋32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32.因为π2＜α＋β＜π，所以α＋β＝5π6.[B 能力提升]1．在△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6，3cos A ＋4sin B ＝1，则C 的大小为( ) A.π6 B ．5π6C.π6或5π6D.π3或2π3解析：选A.由已知可得(3sin A ＋4cos B )2＋(3cos A ＋4sin B )2＝62＋12，即9＋16＋24sin(A ＋B )＝37.所以sin(A ＋B )＝12.所以在△ABC 中sin C ＝12，所以C ＝π6或C ＝5π6.又1－3cos A ＝4sinB ＞0，所以cos A ＜13.又13＜12，所以A ＞π3，所以C ＜2π3， 所以C ＝5π6不符合题意，所以C ＝π6.2．已知sin(α＋β)＝14，sin(α－β)＝110，则tan αtan β＝________．解析：因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝14，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝110，所以sin αcos β＝740，cos αsin β＝340.所以sin αcos βcos αsin β＝tan αtan β＝73.答案：733．已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝322.(1)求A 的值；(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ.解：(1)由f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋π3＝A sin 3π4＝2A 2＝322，可得A ＝3.(2)f (θ)－f (－θ)＝3，则3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝3，3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin θ＋32cos θ－3⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos θ－12sin θ＝3，sin θ＝33. 因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos θ＝63，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－θ＝3cos θ＝ 6.4．(选做题)已知cos α＝55，sin(α－β)＝1010，且α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.求：(1)cos(2α－β)的值； (2)β的值． 解：(1)因为cos α＝55，且α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＝255，因为α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以－π2＜α－β＜π2，所以cos(α－β)＝1－sin 2（α－β）＝31010，所以cos(2α－β)＝cos[(α－β)＋α] ＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β) ＝55×31010－255×1010＝210. (2)cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝55×31010＋255×1010＝22， 又因为β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以β＝π4.。
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2．3 两角和与差的正切函数, )1．问题导航(1)公式T α±β中α，β的取值范围是什么？ (2)如何由公式T α－β推出公式T α＋β？ (3)公式T α－β和公式T α＋β有何不同？ 2．例题导读P 121例4.通过本例学习，学会直接运用公式T α±β求值． 试一试：教材P 123习题3－2 A 组T 6你会吗？P 122例5.通过本例学习，学会运用公式T α±β化简求值． 试一试：教材P 123习题3－2 A 组T 2(5)(6)你会吗？ P 122例6.通过本例学习，学会运用公式T α±β求值． 试一试：教材P 123习题3－2 A 组T 7你会吗？tan αtan β1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“³”)(1)存在α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．( )(2)对任意α，β∈R ，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β都成立．( )(3)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β等价于tan α＋tan β＝tan(α＋β)²(1－tanαtan β)．( )解析：(1)正确．当α＝0，β＝π3时，tan(α＋β)＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫0＋π3＝tan 0＋tan π3，但一般情况下不成立．(2)错误．两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z )．(3)正确．当α≠k π＋π2(k ∈Z )，β≠k π＋π2(k ∈Z )，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z )时，由前一个式子两边同乘以1－tan αtan β可得后一个式子，当tan αtan β＝1时，α＋β＝π2＋k π，k ∈Z ，tan(α＋β)无意义，所以后一个式子两边同除以1－tan αtan β可得前一个式子成立，两式等价．答案：(1)√ (2)³ (3)√2．已知cos α＝－45，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α等于( ) A ．－17 B ．－7C.17D ．7 解析：选D.因为cos α＝－45，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以sin α＝35. 所以tan α＝sin αcos α＝－34，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α＝7.3．若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)＝________．解析：因为tan α＝3，tan β＝43，所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3³43＝13.答案：134.tan 82°－tan 22°1＋tan 82°tan 22°＝________． 解析：tan 82°－tan 22°1＋tan 82°tan 22°＝tan(82°－22°)＝tan 60°＝ 3.答案：31．公式T α±β的结构特征和符号规律(1)结构特征：公式T α±β的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．(2)符号规律：分子同，分母反．2．两角和与差的正切公式的变形与特例(1)变形公式：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)；tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan （α＋β）.(2)公式的特例： tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α； tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α.化简求值计算：(1)sin 15°－cos 15°sin 15°＋cos 15°； (2)tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°；(3)(3＋tan 30°tan 40°＋tan 40°tan 50°＋tan 50°tan 60°)²tan 10°. (链接教材P 122例5)[解] (1)因为tan 15°＝tan (45°－30°) ＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30° ＝1－331＋33＝2－ 3.所以sin 15°－cos 15°sin 15°＋cos 15°＝tan 15°－1tan 15°＋1＝2－3－12－3＋1＝1－33（3－1）＝－33. (2)tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°＝tan (10°＋50°)(1－tan 10°tan 50°)＋3tan 10°tan 50° ＝tan 60°－3tan 10°tan 50°＋3tan 10°tan 50° ＝tan 60°＝ 3.(3)原式＝(1＋tan 30°tan 40°＋1＋tan 40°tan 50°＋1＋tan 50°tan 60°)²tan 10°，因为tan 10°＝tan(40°－30°)＝tan 40°－tan 30°1＋tan 40°tan 30°，所以1＋tan 40°tan 30°＝tan 40°－tan 30°tan 10°，同理，1＋tan 40°tan 50°＝tan 50°－tan 40°tan 10°，1＋tan 50°tan 60°＝tan 60°－tan 50°tan 10°，所以原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫tan 40°－tan 30°tan 10°＋tan 50°－tan 40°tan 10°＋tan 60°－tan 50°tan 10°²tan 10°＝tan 40°－tan 30°＋tan 50°－tan 40°＋tan 60°－tan 50°＝－tan 30°＋tan 60°＝－33＋3＝233. 方法归纳解答此类问题应注意以下两点： (1)公式的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换，如tan 45°＝1，tan 30°＝33，tan 60°＝3等．特别要注意tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α.(2)公式的变形运用只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，就要有灵活变形应用公式T α±β的意识，从而不难获得解题思路．1．(1)1－3tan 75°3＋tan 75°＝________．(2)tan 19°＋tan 26°＋tan 19°tan 26°＝________． (3)求下列各式的值：①sin 7°＋cos 15°sin 8°cos 7°－sin 15°sin 8°； ②tan 20°²tan 30°＋tan 30°²tan 40°＋tan 40°²tan 20°.解：(1)1－3tan 75°3＋tan 75°＝1－tan 60°tan 75°tan 60°＋tan 75°＝1tan （60°＋75°）＝1tan 135°＝1－1＝－1.故填－1. (2)因为tan 45°＝tan(19°＋26°)＝tan 19°＋tan 26°1－tan 19°tan 26°＝1，所以tan 19°＋tan 26°＝1－tan 19°tan 26°， 则tan 19°＋tan 26°＋tan 19°tan 26°＝1.故填1.(3)①原式＝sin （15°－8°）＋cos 15°sin 8°cos （15°－8°）－sin 15°sin 8°＝sin 15°cos 8°co s 15°cos 8°＝tan 15°＝tan(45°－30°) ＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30° ＝1－331＋33＝2－ 3.②原式＝33(tan 20°＋tan 40°)＋tan 40°²tan 20°＝33²tan 60°(1－tan 20°²tan 40°)＋tan 40°²tan 20° ＝1－tan 20°²tan 40°＋tan 20°²tan 40°＝1.给值求值(角)(1)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝2，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝2 2.求：①tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β－π4；②tan(α＋β)．(2)设方程x 2＋33x ＋4＝0的两根为tan α，tan β，且0<|α|<π2，0<|β|<π2，求α＋β的值．(链接教材P 121例4，P 122练习T 4)[解] (1)①tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4＝tan ⎣⎢⎡⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＋⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫β－π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π31－tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝2＋221－2³22＝－ 2.②tan(α＋β)＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4＋π4 ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β－π4＋tan π41－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4tan π4＝－2＋11－（－2）³1＝22－3.(2)由已知，得tan α＋tan β＝－33，tan αtan β＝4. 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝3，且tan α<0，tan β <0，所以－π2<α<0，－π2<β<0，所以－π<α＋β <0，所以α＋β＝－23π.方法归纳解决给值求值(角)问题的常用策略(1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解． (2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小．提醒：在给值求角的问题中，根据角的范围确定角的大小．2．已知tan α＝13，tan β＝－2，且0<α<π2<β<π，求(1)tan(α－β)的值； (2)角α＋β的值．解：(1)因为tan α＝13，tan β＝－2，所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝13＋21－23＝7.(2)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝13－21＋23＝－1，因为0<α<π2<β<π，所以π2<α＋β<3π2，所以α＋β＝3π4.公式T α±β的综合应用(1)已知A ，B 是△ABC 的两个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2＋8x －1＝0的两个实根，则tan C ＝________．(2)在△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，3tan A ＋3tan B ＋1＝tan A tan B ，试判断△ABC 的形状．[解] (1)因为tan A ，tan B 是方程3x 2＋8x －1＝0的两个实根，所以tan A ＋tan B ＝－83，tan A tan B ＝－13，所以tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－831－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－2.又A ＋B ＋C ＝π，所以tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B )＝2.故填2. (2)由tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3， 得tan B ＋tan C ＝3(1－tan B tan C )，因为A ，B ，C 为△ABC 的内角，所以1－tan B tan C ≠0，所以tan B ＋tan C 1－tan B tan C＝3，即tan(B ＋C )＝3，因为0<B ＋C <π，所以B ＋C ＝π3.由3tan A ＋3tan B ＋1＝tan A tan B ， 得3(tan A ＋tan B )＝－(1－tan A tan B )，因为A ，B ，C 为△ABC 的内角，所以1－tan A tan B ≠0，所以tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－33，即tan(A ＋B )＝－33.因为0<A ＋B <π，所以A ＋B ＝5π6.又A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝2π3，B ＝C ＝π6，所以△ABC 为等腰三角形．本例(1)中的方程“3x 2＋8x －1＝0”改为“3x 2＋8x －m ＝0”，求tan C 的取值范围．解：由题意得Δ＝82＋12m ≥0，所以m ≥－163.因为tan A ，tan B 是方程3x 2＋8x －m ＝0的两个实根，所以tan A ＋tan B ＝－83，tan A tanB ＝－m3，则A ，B 中有一个为钝角，所以tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－831－⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 3＝－8m ＋3，因为A ＋B ＋C ＝π，所以tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝8m ＋3， 因为m ≥－163，所以tan C ≤－247或tan C >0.当tan C ≤－247时，C 为钝角，此时不能构成三角形，故tan C >0.方法归纳公式应用的常见问题类型及处理策略(1)方程中的应用：两角和与差的正切公式中由于同时出现了两正切的和差以及乘积，往往会与一元二次方程联系在一起，利用根与系数的关系解决有关问题．(2)判断三角形形状：利用公式及其变形形式，结合题中所给的条件找到角之间的关系．3．已知tan α，tan β是关于x 的方程x 2－4px －3＝0(p ∈R )的两个实数根，且α＋β≠k π＋π2(k ∈Z )，求cos 2(α＋β)＋p sin(α＋β)cos(α＋β)的值．解：因为tan α，tan β是方程x 2－4px －3＝0的两实根， 所以根据根与系数关系，得 tan α＋tan β＝4p ， tan αtan β＝－3，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝4p4＝p ，即sin(α＋β)＝p cos(α＋β)．原式＝(1＋p 2)cos 2(α＋β)＝1＋p 21＋tan 2（α＋β）＝1＋p 21＋p2＝1.已知tan(α－β)＝2，tan β＝－7，且α，β∈(0，π)，则2α－β＝________．[解析] 由于tan α＝tan [(α－β)＋β]＝tan （α－β）＋tan β1－tan （α－β）²tan β＝12－171＋12³17＝13，且α∈(0，π)，所以α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4又由tan β＝－17，且β∈(0，π)，得β∈(π2，π)，所以2α－β∈(－π，0)．而tan(2α－β)＝tan [(α－β)＋α]＝12＋131－12³13＝1，所以2α－β＝－34π.[答案] －3π4[错因与防范] (1)解答本题常会得到2α－β的值为π4，5π4这样错误的结果，原因在于没能依据题设条件进一步缩小角α、β的范围，导致计算角2α－β的范围扩大而出错．(2)为了防范类似的错误，应该 ①树立函数择优意识选择运算该角的哪个三角函数值，会直接影响角的解的个数，如本例选择公式T α±β较方便快捷，且不易产生增解．②注意题设隐含条件的挖掘个别条件所附带的信息有时较为隐蔽，常依据需要对题设条件进一步挖掘，如本例要依据“tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)”来进一步限定角α，β的范围．4．(1)在△ABC 中，若tan A ²tan B >1，则△ABC 必是( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形(2)已知tan α＝17，tan β＝13，且α，β均为锐角，求α＋2β的值．解：(1)选C.因为tan A ²tan B >1且A 、B 、C 为△ABC 的内角，所以tan A >0，tan B >0，又因为tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A ²tan B <0，所以A ＋B >π2，所以C 为锐角．所以△ABC 为锐角三角形．(2)由tan α＝17，tan β＝13知，0<α<π4，0<β<π4，则0<α＋2β<3π4，又tan 2β＝tan(β＋β)＝2tan β1－tan 2β＝34，所以tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan αtan 2β＝17＋341－17³34＝1，所以α＋2β＝π4.1.3－tan 18°1＋3tan 18°等于( )A ．tan 42°B ．tan 3°C ．1D ．tan 24°解析：选A.3－tan 18°1＋3tan 18°＝tan 60°－tan 18°1＋tan 60°tan 18°＝tan(60°－18°)＝tan 42°.2．已知tan α和tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，则a 、b 、c 的关系是( )A ．c ＝b ＋aB ．2b ＝a ＋cC ．b ＝a ＋cD ．c ＝ab解析：选A.⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－b a ，tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝c a，所以tan π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＋α＝－ba 1－c a＝1，所以－b a ＝1－ca，所以－b ＝a －c ，所以c ＝a ＋b .故选A.3．tan 27°＋tan 33°＋3tan 27°tan 33°＝________．解析：tan 27°＋tan 33°＝tan(27°＋33°)(1－tan 27°²tan 33°) ＝tan 60°(1－tan 27°tan 33°)＝3－3tan 27°²tan 33°， 所以tan 27°＋tan 33°＋3tan 27°tan 33°＝3－3tan 27°tan 33°＋3tan 27°tan 33°＝ 3. 答案： 3, [学生用书单独成册])[A.基础达标]1．若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝3，则tan α的值为( ) A ．－2 B ．－12C.12D ．2解析：选B.tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α1＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－31＋3＝－12.2．设α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝17，tan β＝43，则α－β等于( )A.π3 B ．π4C.34π D ．－π4解析：选D.tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝17－431＋17³43＝－1.因为tan α<tan β且α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α<β.所以α－β＝－π4.3．直线l 1：x －2y ＋1＝0，倾斜角为α，直线l 2：x ＋3y －1＝0，倾斜角为β，则β－α＝( )A.π4 B ．3π4 C ．－π4 D ．－3π4解析：选B.由题意可知，tan α＝12，tan β＝－13，所以0<α<π2，π2<β<π.所以0<β－α<π，所以tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan β tan α＝－13－121－13³12＝－1.所以β－α＝3π4.4．在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A tan B ＝( ) A.14 B ．13 C.12 D ．53 解析：选B.C ＝120°，则A ＋B ＝60°，又tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ，故2331－tan A tan B ＝3，所以tan A tan B ＝13.5．在△ABC 中，若sin A －3cos A ＝0，sin 2B －sin B cos B －2cos 2B ＝0，则角C 为( )A.π3 B ．π4 C.π6 D ．3π4解析：选B.由sin A －3cos A ＝0得tan A ＝3.由sin 2B －sin B cos B －2cos 2B ＝0得tan 2B －tan B －2＝0，解得tan B ＝2或tan B ＝－1，当tan B ＝2时，tan C ＝－tan(A ＋B )＝1，由C ∈(0，π)得C ＝π4；当tan B ＝－1时，tan C ＝－tan(A ＋B )＝－12，此时B 、C 均为钝角不合题意，舍去，综上所述C ＝π4.6．若A ＝18°，B ＝27°，则(1＋tan A )(1＋tan B )的值是________． 解析：原式＝tan A ＋tan B ＋tan A tan B ＋1＝tan (18°＋27°)²(1－tan 18°tan 27°)＋tan 18°²tan 27°＋1＝2.答案：27.tan 20°tan （－50°）－1tan 20°－tan 50°＝________．解析：原式＝－tan 20°tan 50°＋1tan 20°－tan 50°＝1tan 50°－tan 20°1＋tan 20°tan 50°＝1tan （50°－20°） ＝1tan 30°＝ 3. 答案： 38．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2，则12sin αcos α＋cos 2α＝________． 解析：因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2，所以1＋tan α1－tan α＝2， 解得tan α＝13，所以12sin α²cos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α2sin α²cos α＋cos 2α＝tan 2α＋12tan α＋1＝19＋123＋1＝23. 答案：239．已知cos(α＋β)＝13，cos(α－β)＝15，求tan α²tan β的值．解：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝13，①cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝15，②由①②整理得⎩⎪⎨⎪⎧cos αcos β＝415，sin αsin β＝－115，则tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝－115415＝－14.10．若tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0的两根，求sin 2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos 2(α＋β)的值．解：由根与系数的关系可得，tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝－3，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－（－3）＝34. sin 2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos 2(α＋β)＝sin 2（α＋β）－3sin （α＋β）cos （α＋β）－3cos 2（α＋β）sin 2（α＋β）＋cos 2（α＋β）＝tan 2（α＋β）－3tan （α＋β）－3tan 2（α＋β）＋1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫342－3³34－3⎝ ⎛⎭⎪⎫342＋1＝－3.[B.能力提升]1．化简tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于( ) A ．1 B ．2 C ．tan 10° D ．3tan 20°解析：选 A.原式＝tan 10°tan 20°＋3tan 20°＋3tan 10°＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫tan 10°＋tan 20°＋33tan 10°tan 20°，因为tan(10°＋20°)＝tan 10°＋tan 20°1－tan 10°²tan 20°＝33，故tan 10°＋tan 20°＋33tan 10°²tan 20°＝33， 所以原式＝3³33＝1. 2．已知α，β为锐角，cos α＝45，tan(α－β)＝－13，则cos β的值为( )A.91050B ．31010C ．－1010D ．131050解析：选A.因为α，β为锐角，且cos α＝45，所以sin α＝35，所以tan α＝34.又tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝34－tan β1＋34tan β＝－13，所以tan β＝139，即sin βcos β＝139，因为β为锐角，所以13cos β＝91－cos 2β， 整理得cos β＝91050.3．已知tan α＝13，cos β＝55且0<α<π2，3π2<β<2π则α＋β的值为________．解析：因为3π2<β<2π且cos β＝55，所以sin β＝－255，所以tan β＝sin βcos β＝－2，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝13－21＋23＝－1，又因为0<α<π2，所以3π2<α＋β<52π，所以α＋β＝74π.答案：74π4．设0<β<α<π2，且cos α＝17，cos(α－β)＝1314，则tan β的值为________．解析：由0<β<α<π2，可得0<α－β<π2，又cos α＝17，cos(α－β)＝1314，得sin α＝1－cos 2α＝437， sin(α－β)＝1－cos 2（α－β）＝3314，则tan α＝43，tan(α－β)＝3313，所以 tan β＝tan[α－(α－β)]＝tan α－tan （α－β）1＋tan αtan （α－β）＝43－33131＋43³3313＝ 3. 答案： 35．如图，在矩形ABCD中，AB ＝a ，BC ＝2a ，在BC 上取一点P ，使得AB ＋BP ＝PD ，求tan ∠APD 的值．解：由AB ＋BP ＝PD ，得a ＋BP ＝a 2＋（2a －BP ）2，解得BP ＝23a .设∠APB ＝α，∠DPC ＝β，则tan α＝AB BP ＝32，tan β＝CD PC ＝34，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－18，又∠APD ＋α＋β＝π，所以tan ∠APD ＝18.6．(选做题)是否存在锐角α和β，使(1)α＋2β＝23π；(2)tan α2²tan β＝2－3同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．解：若α＋2β＝23π，则α2＋β＝π3，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β＝tan α2＋tan β1－tan α2tan β＝ 3. 又因为tan α2tan β＝2－3，所以tan α2＋tan β＝3－3，所以tan α2，tan β是一元二次方程x 2－(3－3)x ＋2－3＝0的两根，所以x 1＝1，x 2＝2－ 3.由于α是锐角，所以0<α2<π4，故tan α2≠1，所以tan α2＝2－3，tan β＝1.因为0<β<π2，所以β＝π4，α＝2π3－2β＝π6，所以存在这样的锐角α＝π6，β＝π4.。