傅里叶变换的基本性质

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傅里叶变换性质证明

傅里叶变换性质证明性质一：线性性质F[a*f(t)+b*g(t)]=a*F[f(t)]+b*F[g(t)]其中F表示傅里叶变换。

这个性质的证明非常简单，我们只需将傅里叶变换的定义代入到等式中即可。

性质二：时移性质时移性质指的是时域上的移动会导致频域上的相位变化。

设F[f(t)]表示函数f(t)的傅里叶变换，则有：F[f(t - a)] = e^(-2πiaω) * F[f(t)]其中a是常数，ω是角频率。

这个性质的证明可以通过将f(t-a)展开成泰勒级数，并代入傅里叶变换的定义进行推导得到。

性质三：频移性质频移性质指的是频域上的移动会导致时域上的相位变化。

设F[f(t)]表示函数f(t)的傅里叶变换，则有：F[e^(2πiaω0) * f(t)] = F[f(t - a)]其中a是常数，ω0是角频率。

这个性质的证明可以利用傅里叶变换的定义以及欧拉公式进行推导。

性质四：尺度变换性质尺度变换性质指的是时域上的信号缩放会导致频域上的信号压缩。

设F[f(t)]表示函数f(t)的傅里叶变换，则有：F[f(a*t)]=，a，^(-1)*F[f(t/a)]其中a是常数。

这个性质的证明可以通过将f(a*t)展开成泰勒级数，并代入傅里叶变换的定义进行推导得到。

性质五：卷积定理卷积定理是傅里叶变换中最重要的性质之一、它指出卷积在频域上等于两个函数的傅里叶变换的乘积。

设f(t)和g(t)是两个函数，f(t)*g(t)表示它们的卷积，F[f(t)]和F[g(t)]表示它们的傅里叶变换，则有：F[f(t)*g(t)]=F[f(t)]*F[g(t)]其中*表示卷积，乘法表示两个函数的傅里叶变换的乘积。

这个性质的证明可以通过将卷积展开成积分形式，然后利用傅里叶变换的定义进行推导得到。

以上是傅里叶变换的几个重要性质及其证明。

这些性质使得傅里叶变换具有很强的分析和应用能力，在信号处理、图像处理、通信等领域得到广泛应用。

这些性质的正确性和证明对于理解和应用傅里叶变换非常重要。

傅里叶变换及其应用

傅里叶变换及其应用傅里叶变换（Fourier Transform）是一种重要的数学工具和数学分析方法，广泛应用于信号处理、图像处理、通信系统、量子力学等领域。

通过将一个函数表示成一组正弦和余弦函数的叠加，傅里叶变换能够将时域中的信号转化为频域中的信号，从而使得复杂的信号处理问题变得更加简单。

本文将介绍傅里叶变换的原理、性质以及其在实际应用中的几个重要方面。

一、傅里叶变换的原理和基本定义傅里叶变换是将一个函数f(x)表示成指数函数的叠加的过程。

设f(x)在时域上是以周期T为基本周期的连续函数，那么其傅里叶变换F(k)在频域上将成为以1/T为基本周期的连续函数。

傅里叶变换的基本定义如下：F(k) = ∫[f(x) * e^(-i2πkx/T)]dx其中，i是虚数单位，k是频率变量。

通过这样的变换，我们可以将时域上的函数转换为频域上的函数，从而可以更加清晰地分析信号的频谱特征。

二、傅里叶变换的性质傅里叶变换具有一些重要的性质，这些性质使得傅里叶变换成为一种强大的工具。

1. 线性性质：傅里叶变换具有线性性质，即若f(x)和g(x)的傅里叶变换分别为F(k)和G(k)，则对应线性组合的傅里叶变换为aF(k) +bG(k)，其中a和b为常数。

2. 时移性质：若f(x)的傅里叶变换为F(k)，则f(x - a)的傅里叶变换为e^(-i2πak/T)F(k)，即时域上的平移将对频域上的函数进行相位调制。

3. 频移性质：若f(x)的傅里叶变换为F(k)，则e^(i2πax/T)f(x)的傅里叶变换为F(k - a)，即频域上的平移将对时域上的函数进行相位调制。

4. 尺度变换性质：若f(x)的傅里叶变换为F(k)，则f(ax)的傅里叶变换为1/|a|F(k/a)，即函数在时域上的尺度变换会对频域上的函数进行缩放。

5. 卷积定理：若f(x)和g(x)的傅里叶变换分别为F(k)和G(k)，则f(x) * g(x)的傅里叶变换为F(k)G(k)，即在频域上的乘积等于时域上的卷积。

傅里叶变换的性质

பைடு நூலகம்
由于满足绝对可积条件，其傅里叶变换不含冲激函数，故
10）频谱如图 5.4-8(d)所示。
（5.4-
(a)
(b)
(c) 图 5.4-8 三角脉冲信号及其频谱若傅里叶变换式对求导，可得频域微分性质：
(d) （5.4-11）
例 5.4-6 利用频域微分性质求斜变函数解
的傅里叶变换。
根据频域微分性质，有
4 傅里叶变换的性质
傅里叶变换建立了信号的时域与频域间的一般关系。实际上，通过数学运算求解一个信号的傅里叶变换不是最终的目的，重要的是在信号分析的理论研究与实际设计中能够了解当信号在时域进行某种运算后在频域将发生何种变化，或反过来从频域的运算推测时域信号的变动。如果采用傅里叶变换的基本性质求解复杂信号变换，不仅计算过程简单，而且物理概念清楚。
一、线性傅里叶变换的线性性质包含齐次性与可加性，若
，
则
（5.4-1）
式中、为任意常数。
上面的结论可以容易地由傅里叶变换的定义式证明。即傅里叶变换是一种线性运算，相加信号的频谱等于各个信号的频谱之和。
二、对偶性若
则
如图 5.4-1 所示，其中
，
。
图 5.4-1 对偶性说明证明由逆傅里叶变换公式
（5.4-8）
图 5.4-7 符号函数及其频谱利用常数 1 和符号函数的傅里叶变换，可求得阶跃函数的变换。由于
故有
（5.4-9）
阶跃函数的傅里叶变换在处为
，在处为
。
例 5.4-5 利用时域微分性质求图 5.4-8(a)所示三角脉冲信号的傅里叶变换。
解三角脉冲信号可表示为
对求两次导数，波形如图 5.4-8(b)和(c)所示。根据微分性质得

信号分析与处理——傅里叶变换性质

1. 线性 2. 奇偶性 3. 对偶性 4. 尺度变换特性 5. 时移特性
6.
频移特性
7.
微分特性
8.
积分特性
9. 帕斯瓦尔定理
10. 卷积定理
1、线性（叠加性）
若:
x1 (t) X1 ()
x2 (t) X 2 ()
则: a1x1 (t) a2 x2 (t) a1 X 1 () a2 X 2 ()
Sa(t0
)e
j t0 2
2
由积分性质，可得的x频2 (谱t)为
X 2 ()
X1() j
X1(0) ()
又因为：所以得：
X1(0) 1
X 2 ()
1
Sa(
t0
)e
j
t0 2
j 2
()
9、帕斯瓦尔定理
若: x(t) X ()
则:
x(t) 2 dt 1 X () 2 d
2
式(2-100)为有限能量信号的帕斯瓦尔公式
2
)
由线性和时移特性，有:
X
2
()
3Sa(
3
2
)
X
()
1 2
e
j
5 2
X 1 ( )
e
j 5 2
X
2
()
e
j 5 2
1 2
Sa(
2
)
3Sa( 3
2
)
例：求三脉冲信号的频谱
g (t为)P36页的标准矩形脉冲信号
求如下三脉冲信号的频谱函数
x(t) g(t) g(t T ) g(t T )
解：
X () G()(1 e jT e jT ) G()(1 2 cosT ) E Sa( )(1 2 cosT )

信息光学傅里叶变换的基本性质和有关定理

1.7.3复振幅分布的空间频谱
任意的平面波可以用空间频率表示
(x, y)面上的平面波具有如下形式
在相干光照明下g(x,y)是xy面上复振幅分布
指数基元
表示传播方向余弦（cosα＝λξ，cosβ＝λη）
的单位振幅的单色平面波。而g(x,y)可看成无数基元函数代表的平面波叠加。
空间频谱可用方向余弦表示
exp(i*x)=cos(x)+i*sin(x)
a (P)和φ(P)是P点的振幅和初相位。
通常用指数函数表示一点的光振动
优点：可以将与位置有关的φ(P)和与时间有关的2πνt分开。定义复振幅为单色波场P点的复振幅。它与时间无关，仅是空间的函数。即描述了光振动的空间分布。而时间因子exp(2πνt）对各点均相同，可省略。
3. 4.实函数
即
由于输入余弦函数的频率是任意的，上式可写为
说明在线性不变系统中，在有实值脉冲的响应情况下，余弦函数将产生同频率的余弦输出。但有衰减和相移。其改变程度由传递函数的模和辐角决定。
1.7 二维光场分析
光波的数学描述。 1.7.1. 单色光波场的复振幅表示单色光波场中某点P在时刻t的振动为
1.5.2
傅里叶变换的基本定理
1. 卷积定理如果则
பைடு நூலகம்
2.相关定理（1）互相关定理如果则 ☆ ,
称F*(ξ,η)G(ξ,η)为函数f(x,y)和g(x,y)的互谱能量密度（互谱密度）
（2）自相关定理设则 ☆
（3)巴塞伐定理设且积分
存在,则表示能量守恒。
1.4.4.广义巴塞伐定理设
称ξ为沿x方向的空间频率。 y方向的周期为无穷。
同样对y方向，当cosβ≠0也可得到，空间频率在z方向空间频率

傅里叶变换的性质

1 0 1
21 31
即：
T
t
1 e jn1t T n
再求这个级数的傅氏变换
F
1 T n
e
j
n1t
2
T
n
n1
1 n1
n
T t 的频谱函数如图2-25b所示。 F
1
1
0 1
21 31
单位周期冲激序列的傅氏变换仍为周期冲激序列。
9、奇、偶、虚、实性
f t为实函数时， F 的模与幅角、实部与虚部表示形式
-1
0
0
0
/2
0
0
0
/2
例2-5 求如图2.-18所示
f t 的 F 并作图。
f t
A
t
2
2
-A
解令 f1t Ag t ， f t f1tcos0t 0 2 /
图 2 .
F1 ASa / 2
3
4
则
F
1 2
F1
0
F1
0
A
2
S
a
0 2
Sa
0 2
其中 0 2 /
F1以及 F 如图2-19所示。
a a
特别地，当 a 1 时，得到其频谱亦为原频谱的折叠，即
f t 的折叠函数 f t ，
f t F 。
尺度特性说明，信号在时域中压缩，频域中就扩展；反之，信号在时域中扩展，在频域中就一定压缩；即信号的脉宽与频宽成反比。一般来说时宽有限的信号，其频宽无限，反之亦然。
可以理解为信号波形压缩（扩展）
为
F f te jtdt
f
t co std t
j
f tsin tdt

傅里叶变换的性质解析

4
3.微分性质
如果f(t)在(-, +)上连续或只有有限个可去
间断点, 且当|t|+时, f(t)0, 则
F [f '(t)]=jwF [f(t)].
(1.17)
• 推论
• F [f(n)(t)]=(jw)nF [f(t)].
(1.18)
5
同样, 我们还能得到象函数的导数公式, 设
F [f(t)]=F(w), 则
d
dw
F (w ) F
[- jtf (t)].
一般地, 有
dn
dw n
F (w )
(-
j) n F
[t n f (t)]
jn
dn
dwn
F (w) F
[t n f (t)]
6
4. 积分性质
如果当t 时, g(t) t f (t )d t 0 -
则
F
t -
f
(t
)d
t
1
jw F
[ f (t)].
2j
2j
则g(t) e j2t
G(w
-
2)
1
1
j(w
-
2)
g (t) e- j2t
G(w
2)
1
1
j(w
2)
F (w)
1 2j
1
1
j(w
-
2)
-
1
1
j(w
2)
15
F (w)
1 2j
1
1
j(w
-
2)
-
1
1
j(w
2)
-
j 2
1 j(w (1 jw

傅里叶变换性质

四．尺度变换性质
第 9
页
若f
(t)
F (),则f
at
1 a
F a
, a为非零实常数
意义
(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。 (2) a>1 时域压缩，频域扩展a倍。
(3) a 1 f t f t, F F 。
X
第
(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。
10
页
f t
F
E
E
o t
2
0
F
0
通信中调制与解调，频分复用。
X
七．微分性质
第 16
页
时域微分性质
f (t) F()，则f (t) jF()
频域微分性质
若f (t) F( ), 则tf (t) jd F d
d F
jtf (t)
d
jt n
f
(t)
dn F
d n
或
t n f (t) jn F n
X
1．时域微分
1、f(t)是实函数
实函数傅里叶变换的幅度谱和相位谱分别为偶、奇函数
若f(t)是实偶函数，F(ω)必为ω的实偶函数
F f ( t )e j t d t
20 f ( t )cost d t
若f(t)是实奇函数，F(ω)必为ω的虚奇函数
F
f
(
t
)e
j
t
d
t
2 j f ( t )sint d t
0
X
第
2、 f(t)是虚函数
7 页
令 f t jgt
F jgt e jt dt
jgt cos( t )dt gt sin( t )dt

傅里叶变换的性质与应用

傅里叶变换的性质与应用傅里叶变换（Fourier Transform）是一种在信号和图像处理领域中广泛应用的数学工具。

它通过将一个函数表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合来描述时域和频域之间的关系。

在本文中，我们将探讨傅里叶变换的性质以及其在各个领域中的应用。

一、傅里叶变换的性质1. 线性性质傅里叶变换具有线性性质，即对于任意常数a和b以及函数f（t）和g（t），有以下等式成立：F（af（t） + bg（t））= aF（f（t））+ bF（g（t））其中F（f（t））表示对函数f（t）进行傅里叶变换后得到的频域函数。

2. 对称性质傅里叶变换具有一系列对称性质。

其中最为重要的对称性质为奇偶对称性。

当函数f（t）为实函数并满足奇偶对称时，其傅里叶变换具有如下关系：F（-t）= F（t）（偶对称函数）F（-t）= -F（t）（奇对称函数）3. 尺度变换性质傅里叶变换可以对函数的尺度进行变换。

对于函数f（a * t）的傅里叶变换后得到的频域函数为F（w / a），其中a为正数。

二、傅里叶变换的应用1. 信号处理傅里叶变换在信号处理中被广泛应用。

它可以将时域信号转换为频域信号，使得信号的频率成分更加明确。

通过傅里叶变换，我们可以分析和处理各种信号，例如音频信号、图像信号和视频信号等。

在音频领域中，傅里叶变换可以用于音乐频谱分析、滤波器设计和音频压缩等方面。

在图像处理领域中，傅里叶变换可以用于图像增强、图像去噪和图像压缩等方面。

2. 通信系统傅里叶变换在通信系统中具有重要的应用。

通过傅里叶变换，我们可以将信号转换为频域信号，并根据频域特性进行信号调制和解调。

傅里叶变换可以用于调制解调器的设计、信道估计和信号的频谱分析等方面。

在无线通信系统中，傅里叶变换也广泛应用于OFDM（正交频分复用）技术，以提高信号传输效率和抗干扰性能。

3. 图像处理傅里叶变换在图像处理中有广泛的应用。

通过将图像转换到频域，我们可以对图像进行滤波、增强和去噪等操作。

数学物理方法5傅里叶变换

图像压缩。
图像增强
通过改变图像的频率成分，傅里叶变换可以帮助增强图像的某些特征，如边缘和纹理。
图像去噪
傅里叶变换可以帮助识别和去除图像中的噪声，从而提高图像的质量。
量子力学
波函数分析
在量子力学中，波函数是一个描述粒子状态的函数。傅里叶变换可以用来分析波函数的性质和行为。
量子纠缠
傅里叶变换在量子纠缠的研究中也有应用，可以帮助我们更好地理解这种神秘的现象。
时间-频率分析
傅里叶变换将时间域的信号转换为频率域的信号，通过分析信号在不同频率下的强度和相位，可以揭示信号的频率结构和变化规
律。
周期信号分析
对于周期信号，傅里叶变换可以将其表示为一系列正弦波和余弦波的叠加，从而方便地分析其频
率成分和振幅。
非周期信号分析
对于非周期信号，傅里叶变换将其表示为无穷多个不同频率的正弦波和余弦波的叠加，可以揭示
振动系统分析
在振动系统的分析中，傅里叶变换可以用于将时间域的振动信号转换为角频率域的信号，从而方便地计算系统的固有频率、阻尼比等参数。
热传导分析
在热传导现象的分析中，傅里叶变换可以用于将时间域的温度分布转换为角频率域的温度分布，从而方便地分析热传导的频率特性和变化规律。
05结果具有共轭对称性，即F(-ω)=F*(ω)。
傅里叶变换的应用
01
02
03
信号处理
傅里叶变换在信号处理中应用广泛，如频谱分析、滤波、调制解调等。
图像处理
傅里叶变换在图像处理中用于图像的频域分析，如图像增强、去噪、特征提取等。
数值分析
傅里叶变换在数值分析中用于求解偏微分方程、积分方程等数学问题。

傅里叶变换的11个性质公式

傅里叶变换的11个性质公式傅里叶变换的11个性质公式是傅立叶变换的基本性质，由他们可以推出其它性质。

其中包括线性性质、有穷性质、周期性质、旋转性质、折叠性质、应变性质、平移性质、对称性质、频域算子性质、滤波性质、压缩性质等共11条。

1、线性性质：如果x(t)和y(t)是两个信号，则有：X(ω)=F[x(t)]，Y(ω)=F[y(t)]，则有：X(ω)+Y(ω)=F[x(t)+y(t)]；αX(ω)=F[αx(t)]；X(ω)*Y(ω)=F[x(t)*y(t)]。

2、有穷性质：如果x(t)是有穷的，则X(ω)也是有穷的。

3、周期性质：如果x(t)在周期T内无穷重复，则X(ω)也在周期2π/T内无穷重复。

4、旋转性质：X(ω-ω0) = F[x(t)e^(-jω0t)]，即信号x(t)经过相位旋转成x(t)e^(-jω0t)，其傅里叶变换也会经过相位旋转成X(ω-ω0)。

5、折叠性质：X(ω+nω0)=F[x(t)e^(-jnω0t)]，即信号x(t)经过频率折叠后变为x(t)e^(-jnω0t)，其傅里叶变换也会经过频率折叠成X(ω+nω0)。

6、应变性质：X(aω)=F[x(at)]，即信号x(t)经过时间应变成x(at)，其傅里叶变换也会经过频率应变成X(aω)。

7、平移性质：X(ω-ω0) = F[x(t-t0)]，即信号x(t)经过时间平移成x(t-t0)，其傅里叶变换也会经过频率平移成X(ω-ω0)。

8、对称性质：X(-ω) = X*(-ω)，即傅里叶变换的实部和虚部对称。

9、频域算子性质：X(ω)Y(ω)=F[h(t)*x(t)]，即傅里叶变换不仅可以表示信号，还可以表示系统的频域表示，即h(t)*x(t)，其傅里叶变换为X(ω)Y(ω)。

10、滤波性质：H(ω)X(ω)=F[h(t)*x(t)]，即傅里叶变换可以用来表示滤波器的频域表示，即h(t)*x(t)，其傅里叶变换为H(ω)X(ω)。

tf(t)的傅里叶变换

tf(t)的傅里叶变换摘要：一、引言二、傅里叶变换的定义与性质三、tf(t)的傅里叶变换四、结论正文：一、引言傅里叶变换是一种在信号处理、图像处理等领域中广泛应用的数学工具，可以将一个信号从时间域或空间域转换到频率域。

本文主要探讨tf(t)的傅里叶变换，帮助读者更好地理解和应用这一变换方法。

二、傅里叶变换的定义与性质1.傅里叶变换的定义傅里叶变换是一种将一个信号x(t)转换为频域表示的变换方法。

设x(t)是一个周期信号，其周期为2π，那么它的傅里叶变换X(f)可以表示为：X(f) = ∫x(t)e^(-jωt) dt其中，ω= 2πf，f为信号的频率，j为虚数单位。

2.傅里叶变换的性质傅里叶变换具有以下性质：(1) 线性性：若X1(f)和X2(f)分别为两个信号的傅里叶变换，则它们的线性组合Y(f) = A1X1(f) + A2X2(f)的傅里叶变换为：Y(f) = A1X1(f) + A2X2(f)(2) 时移性：若x(t)的傅里叶变换为X(f)，则对x(t)进行时移Δt，得到的新信号x(t-Δt)的傅里叶变换为：X(f) → X(f - Δf)(3) 尺度性：若x(t)的傅里叶变换为X(f)，则对x(t)进行尺度变换k，得到的新信号kx(t)的傅里叶变换为：X(f) → kX(f/k)(4) 逆傅里叶变换：傅里叶变换是一种可逆变换，可以通过逆傅里叶变换将频域表示还原回时间域表示。

逆傅里叶变换的公式为：x(t) = (1 / 2π) ∫X(f)e^(jωt) df三、tf(t)的傅里叶变换tf(t)表示时间延迟函数，其定义为：tf(t) = x(t - τ)其中，x(t)为原始信号，τ为时间延迟。

根据傅里叶变换的性质，可以得到tf(t)的傅里叶变换为：T(f) = ∫tf(t)e^(-jωt) dt由于tf(t)是x(t)的时移，根据傅里叶变换的时移性，我们可以得到：T(f) = X(f - ωτ)这里，X(f)为x(t)的傅里叶变换。

傅里叶变换的性质

∫−
jtx ( t ) e
− jΩ t
dt
dX ( j Ω ) tx ( t ) ←→ j dΩ
FT
例如：例如： du (t ) (t
dt
对应的傅里叶变换
= δ (t )
jΩ 1 = j 0 ⋅ πδ(Ω) + =1 δ(t ) ←→ jΩ[πδ(Ω) + ] jΩ jΩ
FT
再例如：再例如：
1 d [ πδ ( Ω ) + ] jΩ FT tu ( t ) ← → j dΩ
= j π δ ′( Ω ) −
1 Ω2
七、反褶与共轭特性设则
FT x(t ) ←→ X ( jΩ) FT x ( − t ) ← → X ( − j Ω ) FT x * ( t ) ← → X * ( − j Ω )
由傅里叶变换公式很容易证明。由傅里叶变换公式很容易证明。奇偶、八、奇偶、虚实性 1、实信号、
FT x(t ) = x* (t ) ←→ X ( jΩ) = X * (− jΩ)
设
X ( jΩ) = X ( jΩ) e jϕ( Ω ) = X R (Ω) + jX I (Ω)
X * ( jΩ) = X ( jΩ) e − jϕ( Ω ) = X R (Ω) − jX I (Ω)
六、微分特性设则
FT x(t ) ←→ X ( jΩ) FT x ′( t ) ← → j Ω X ( j Ω )
------时域微分性时域微分性 ------频域微分性 ------频域微分性
1 x (t ) = 2π
∞
dX ( j Ω ) − jtx ( t ) ← → dΩ
FT
因为，因为，由傅里叶反变换公式等号两边同时对时间t求导数等号两边同时对时间求导数

傅里叶变换的基本性质

其中，a1,a2为常数
3.奇偶虚实性
若f(t) F() F() ej() R()jX()
则：
（ 1 ）当 f ( t ) 为实函数时 : F () 共轭对称
即： F ( )偶对称， ( )奇对称；
R ( )偶对称， X ( )奇对称；
其中G(t)为矩形脉冲，脉幅为E，脉宽为，试求其频谱。
解：G(t)矩形脉冲的频谱为： G(w)ESa(w)
2 根据频移特性：f(t)的频谱F(w)为
F(w)12G(ww0)12G(ww0)
E
2
Sa(ww0)2E2Sa(ww0)2
f (t)
A
例1：（补充）
已知 F [u (t)]=1+ p d (w ), 求 d u (t)的傅里叶变换
jw
d t
解：直接套用性质
F[du(t)]= jwF[u(t)] dt
= jw[ 1 +pd(w)]=1 jw
逆向应用：
即：用微分后的傅氏变换来表示原函数的傅氏变换
例：已知 F [d u (t)]=1 ,求 u (t)的傅里叶变换。
第七节傅里叶变换的基本性质
主要内容：
1.对称性质 2.线性性质 3.奇偶虚实性 4.尺度变换性质 5.时移特性
时域卷积定理频域卷积定理
6.频移特性 7.时域积分性质 8.时域微分性质 9.频域微分性质 10.帕塞瓦尔定理
1.对称性(互易对偶性) (时频对称性)
若f(t) F()
则 F(t) 2f()
解：令f0(t)表示矩形单脉冲信号
f (t)
E
F0(w)ESa(w2)

傅里叶变换的基本性质

的
傅里叶变换
不同于傅里叶系数
谐频点)取得了无穷大的频谱值。
，它不是有限值，而是冲激函数，这表明在无穷小的频带范围(即
例 3-20 图 3-27(a)表示一周期为，脉冲宽度为，幅度为 1 的周期性矩形脉冲信号，记为
。
试求其频谱函数。
解由式(3-26)可知，图 3-27(a)所示周期性矩形脉冲信号
和积分性求
解: 因为
，又
的频谱函数。，根据时域积分性
例 3-14 求图 3-23 所示信号
的频谱函数
。
解:
对求两次微分后，得
且由时域积分性
十、频域积分性若
则例 3-15 已知解: 因为
，求
。
根据频域积分性
十一、时域卷积定理若则证明：
例 3-16 图 3-24(a)所示的三角形函数
对于一般周期为 T 的周期信号
，其指数型傅里叶级数展开式为
式中
,
.
对上式两边取傅里叶变换，并利用其线性和频移性，且考虑到与时间无关，可得
式(3-82)表明，一般周期信号的傅里叶变换(频谱函数)是由无穷多个冲激函数组成，这些冲激函数位
于信号的各谐波频率
处，其强度为相应傅里叶级数系数的倍。
可见，周期信号的频谱是离散的。但由于傅里叶变换是反映频谱密度的概念，因此周期信号
一、复指数信号的傅里叶变换
对于复指数信号
，
因为
，由频移性
复指数信号是表示一个单位长度的相量以固定的角频率ω0 随时间旋转，经傅里叶变换后，其频谱为集中于，强度为的冲激。这说明信号时间特性的相移对应于频域中的频率转移。
二、余弦、正弦信号的傅里叶变换

傅里叶变换的基本性质

其对应的频谱函数为
X ( j ) A Sa (
因为

2
)
x1 (t ) x(t T )
故，由延时特性可得
-jT
X1 ( j) X ( j)e
A Sa (

2
) e - j T
4. 频移特性（调制定理）若则
x(t ) X ( j)
x(t ) e j0t X [ j ( 0 )]
2 A

0

t
p 0 p

f (t ) F ( ) A

2

2
t
2p
0
2p

f (2t )
A
1 1 F( ) 2 2 1 A 2
t
4
4
4p
0
4p

6.互易对称特性
若x(t ) X ( j)
f (t )
A
则X (t ) 2px()
2.4傅里叶变换的基本性质
1. 2. 3. 4. 5. 6. 线性特性共轭对称特性对称互易特性展缩特性时移特性频移特性 7. 时域卷积特性

8. 频域卷积特性 9. 时域微分特性 10. 积分特性 11. 频域微分特性
能量定理
12.
1. 线性特性

8.积分特性
若x(t ) X ( j) t 1 则 x( )d X ( j ) pX (0) ( ) j
若信号不存在直流分量即X(0)=0
1 则 x( )d X ( j ) j
t
9.频域微分特性
( 0 ) ( 0 ) 1 { A Sa[ ] A Sa[ ]} 2 2 2