#2012年北京市西城区高三一模文科数学含答案纯word版

北京市西城区2012年高三一模文科数学试卷
2012.4
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项.
1．已知集合{|1}A x x =>，2
{|4}B x x =<，那么A B =（ ）
（A ）(2,2)-
（B ）(1,2)-
（C ）(1,2)
（D ）(1,4)
2．执行如图所示的程序框图，若输入3x =，则输出y 的 值为（ ） （A ）5 （B ）7 （C ）15 （D ）31
3．若2log 3a =，3log 2b =，41
log 3
c =，则下列结论正确的是（ ） （A ）a c b << （B ）c a b << （C ）b c a <<
（D ）c b a <<
4．如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是
OA ，OB ，则复数
1
2
z z 对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限
（D ）第四象限
5．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2cm ，其三视图 中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（ ）
（A
）2
（B
）2
（C ）2
8cm
（D ）2
4cm
6．若实数x ，y 满足条件0,10,01,x y x y x +≥⎧⎪
-+≥⎨⎪≤≤⎩
则|3|x y -的最大值为（ ）
（A ）6
（B ）5
（C ）4
（D ）3
7．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．则“10a >”是“32S S >”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件
（D ）既不充分又不必要条件
8．已知集合23
0123{|222}A x x a a a a ==+⨯+⨯+⨯，其中{0,1}k a ∈(0,1,2,3)k =，且
30a ≠.则A 中所有元素之和是（ ）
（A ）120
（B ）112
（C ）92
（D ）84
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.
9. 已知向量(1,2)=a ，(,2)λ=-b .若,90︒
〈-〉=a b a ，则实数λ=_____. 10. 某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒
与18秒之间．将测试结果分成5组：[1314),，[1415),，
[1516),，[1617),，[1718],，得到如图所示的频率分
布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为
1:3:7:6:3，那么成绩在[16,18]的学生人数是_____．
11. 函数22
sin 3cos y x x =+的最小正周期为_____．
12. 圆22
430x y x +-+=
的圆心到直线0x =的距离是_____.
13. 已知函数122,
09,(),20.
x x f x x x x ⎧≤≤⎪=⎨+-≤<⎪⎩ 则()f x 的零点是_____；()f x 的值域是_____．
14. 如图，已知抛物线2
y x =及两点11(0,)A y 和22(0,)A y ，其中120y y >>.过1A ，2A 分别作
y 轴的垂线，
交抛物线于1B ，2B 两点，直线12B B 与y 轴交于点33(0,)A y ，此时就称1A ， 2A 确定了3A .依此类推，可由2A ，3A 确定4A ，.记(0,)n n A y ，1,2,3,
n =
.
给出下列三个结论： ① 数列{}n y 是递减数列；
② 对*
n ∀∈N ，0n y >；
③ 若14y =，23y =，则523
y =
. 其中，所有正确结论的序号是_____．
三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）
在△ABC 中，已知2sin cos sin()B A A C =+． （Ⅰ）求角A ；
（Ⅱ）若2BC =，△ABC
，求AB ． 16.（本小题满分13分）
某校高一年级开设研究性学习课程，（1）班和（2）班报名参加的人数分别是18和
27．现用分层抽样的方法，从中抽取若干名学生组成研究性学习小组，已知从（2）班
抽取了3名同学．
（Ⅰ）求研究性学习小组的人数；
（Ⅱ）规划在研究性学习的中、后期各安排1次交流活动，每次随机抽取小组中1名同学发言．求2次发言的学生恰好来自不同班级的概率． 17．（本小题满分14分）
如图，矩形ABCD 中，3AB =，4=BC ．E ，F 分别在线段BC 和AD 上，EF ∥
AB ，将矩形ABEF 沿EF 折起．记折起后的矩形为MNEF ，且平面⊥MNEF 平面ECDF ．
（Ⅰ）求证：NC ∥平面MFD ； （Ⅱ）若3EC =，求证：FC ND ⊥； （Ⅲ）求四面体NFEC 体积的最大值． 18.（本小题满分14
分）
已知
椭圆
A B
C
D
E
F
:C 22
221(0)x y a b a b
+=>>F ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设直线5
:2
l y kx =-交椭圆C 于A ，B 两点，若点A ，B 都在以点(0,3)M 为圆心
的圆上，求k 的值．
19.（本小题满分13分）
如图，抛物线2
9y x =-+与x 轴交于两点,A B ，点,C D 在抛物线上（点C 在第一象限），CD ∥AB ．记||2CD x =，梯形ABCD 面积为S ．
（Ⅰ）求面积S 以x 为自变量的函数式； （Ⅱ）若
||
||
CD k AB ≤，其中k 为常数，且01k <<，求S 的最大值．
20.（本小题满分13分）
对于数列123:,,(,1,2,3)i A a a a a i ∈=N ，定义“T 变换”：T 将数列A 变换成数列123:,,B b b b ，其中
1||(1,2)i i i b a a i +=-=，且
331||b a a =-.这种“T 变换”记作()B T A =.继续对数列B 进行“T 变换”，得到数列123:,,C c c c ，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．
（Ⅰ）试问:2,6,4A 经过不断的“T 变换”能否结束？若能，请依次写出经过“T 变
换”得到的各数列；若不能，说明理由；
（Ⅱ）设123:,,A a a a ，()B T A =．若:,2,()B b a a b ≥，且B 的各项之和为2012．
（ⅰ）求a ，b ；
（ⅱ）若数列B 再经过k 次“T 变换”得到的数列各项之和最小，求k 的最小值，并
说明理由．
北京市西城区2012年高三一模试卷
数学（文科）参考答案及评分标准
2012.4
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1. C ；
2. D ；
3. D ；
4. B ；
5. A ；
6. B ；
7. C ；
8. C . 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9. 9； 10. 54； 11. π； 12. 1； 13. 1-和0，1
[,3]4
-
； 14. ① ② ③. 注：13题第一问2分，第二问3分; 14题少选1个序号给2分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.
15.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：由πA B C ++=，得s i n ()s i n (π)s i n A C B B +=-=． ………………
3分
所以原式化为B A B sin cos sin 2=． ………………4分
因为(0,π)B ∈，所以 0sin >B ， 所以 2
1
cos =A ． ………………6分
因为(0,π)A ∈， 所以 π
3
A =
． ………………7分 （Ⅱ）解：由余弦定理，
得 2
2
2
2
2
2cos BC AB AC AB AC A AB AC AB AC =+-⋅⋅=+-⋅． ………………9分
因为 2BC =，
1π
sin 23
AB AC ⋅⋅= 所以 22
8AB AC +=． ………………11分
因为 4AB AC ⋅=， 所以 2AB =. ………………13分 16.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：设从（1）班抽取的人数为m ，
依题意得 27
318=m ，所以2m =， 研
究性学习小组的
人
数
为
35m +=． ………………5分
（Ⅱ）设研究性学习小组中（1）班的2人为12,a a ，（2）班的3人为123,,b b b ．
2次交流活动中，每次随机抽取1名同学发言的基本事件为：
11(,)a a ，),(21a a ，),(11b a ，),(21b a ，),(31b a ，
),(12a a ，22(,)a a ，),(12b a ，),(22b a ，),(32b a ， ),(11a b ，),(21a b ，11(,)b b ，),(21b b ，),(31b b ， ),(12a b ，),(22a b ，21(,)b b ，22(,)b b ，),(32b b ，
),(13a b ，),(23a b ，31(,)b b ，),(23b b ，33(,)b b ，共25种． ………………
9分
2次发言的学生恰好来自不同班级的基本事件为：
),(11b a ，),(21b a ，),(31b a ，),(12b a ，),(22b a ，),(32b a ，),(11a b ，),(21a b ，),(12a b ， ),(22a b ，),(13a b ，),(23a b ，共12种． ………………
12分
所以2次发言的学生恰好来自不同班级的概率为12
25
P =． ………………13分
17.（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：因为四边形MNEF ，EFDC 都是矩形，
所以 MN ∥EF ∥CD ，MN EF CD ==． 所以 四边形MNCD 是平行四边形，……………2分 所以 NC ∥MD ， ………………3分 因为 NC ⊄平面MFD ，
所以 NC ∥平面MFD ． ………………4分 （Ⅱ）证明：连接ED ，设ED
FC O =．
因为平面⊥MNEF 平面ECDF ，且EF NE ⊥，
所以 ⊥NE 平面ECDF ， ………………5分
所以 FC NE ⊥． ………………6分
又 EC CD =， 所以四边形ECDF 为正方形，所以 FC ED ⊥． ………………7分
所以 ⊥FC 平面NED ， ………………8分
所以 FC ND ⊥． ………………9分
（Ⅲ）解：设x NE =，则x EC -=4，其中04x <<．
由（Ⅰ）得⊥NE 平面FEC ， 所以四面体NFEC 的体积为11
(4)32
NFEC EFC V S NE x x ∆=⋅=-． ………………11分
所以 2
1(4)[]222
NFEC x x V +-≤=． ………………13分
当且仅当x x -=4，即2=x 时，四面体NFEC 的体积最大． ………………14分
18.（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为c ，则c = ………………1分
由c e a ==， 得 a = 从而222
4b a c =-=． ………………4分
所以，椭圆C 的方程为14
122
2=+y x ． ………………5分
（Ⅱ）解：设),(),,(2211y x B y x A ．
将直线l 的方程代入椭圆C 的方程，
消去y 得 2
2
4(13)60270k x kx +-+=． ………………7分
由2
2
360016(13)270k k ∆=-+⨯>，得2
316k >
，且1221513k x x k
+=+． …………9分
设线段AB 的中点为D ，则21526D k x k =+，2
55226D D
y kx k -=-=+． (10)
分由点
A ，
B 都在以点(0,3为
圆心的圆上，得1MD k k ⋅=-， ………………11分
即
22
5
32611526k k k k +
+⋅=--+， 解得 229k =，符合题意． ………………13分
所以
k =± ………………14分
19.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：依题意，点C 的横坐标为x ，点C 的纵坐标为2
9C y x =-+． ………………
1分
点B 的横坐标B x 满足方程2
90B x -+=，解得3B x =，舍去3B x =-． ……………
2分
所以2211
(||||)(223)(9)(3)(9)22
C S C
D AB y x x x x =
+⋅=+⨯-+=+-+．
………4分
由点C 在第一象限，得03x <<．
所以S 关于x 的函数式为 2
(3)(9)S x x =+-+，03x <<． ………………5分
（Ⅱ）解：由 03,,3
x x k <<⎧⎪
⎨≤⎪⎩ 及01k <<，得03x k <≤． ………………
6分
记2
()(3)(9),03f x x x x k =+-+<≤，
则2
()3693(1)(3)f x x x x x '=--+=--+． ………………8分
令()0f x '=，得1x =． ………………9分
① 若13k <，即
1
13
k <<时，()f x '与()f x 的变化情况如下： x
(0,1) 1 (1,3)k
()f x ' +
-
()f x
↗ 极大值 ↘
所以，当1x =时，()f x 取得最大值，且最大值为(1)32f =． ………………11分
② 若13k ≥，即1
03
k <≤
时，()0f x '>恒成立， 所以，()f x 的最大值为2
(3)27(1)(1)f k k k =+-． ………………13分
综上，1
13k ≤<时，S 的最大值为32；103
k <<时，S 的最大值为227(1)(1)k k +-． 20.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：数列:2,6,4A 不能结束，各数列依次为4,2,2；2,0,2；2,2,0；0,2,2；2,0,2；…． 以下重复出现，所以不会出现所有项均为0的情形． ………………
3分
（Ⅱ）解：（ⅰ）因为B 的各项之和为2012，且a b ≥， 所以a 为B 的最大项， 所以13||a a -最大，即123a a a ≥≥，或321a a a ≥≥． ………………5分
当123a a a ≥≥时，可得122313,2,.
b a a a a a a a =-⎧⎪
=-⎨⎪=-⎩
由22012a b ++=，得132()2012a a -=，即1006a =，故1004b =．……………7分
当321a a a ≥≥时，同理可得 1006a =，1004b =． ………………8分
（ⅱ）方法一：由:B ,2,2b b +，则B 经过6次“T 变换”得到的数列分别为：
2,,2b b -；2,2,4b b --；4,2,6b b --；6,8,2b b --；2,10,8b b --；12,2,10b b --．
由此可见，经过6次“T 变换”后得到的数列也是形如“,2,2b b +”的数列，与数列B
“结构”完全相同，但最大项减少12．
因为1006128310=⨯+，
所以，数列B 经过683498⨯=次“T 变换”后得到的数列为8,2,10．
接下来经过“T 变换”后得到的数列分别为：6,8,2；2,6,4；4,2,2；2,0,2；2,2,0；
0,2,2；2,0,2，……
从以上分析可知，以后重复出现，所以数列各项和不会更小．
所以经过4984502+=次“T 变换”得到的数列各项和最小，k 的最小值为502． ………………13分
方法二：若一个数列有三项，且最小项为2，较大两项相差2，则称此数列与数列B “结 构相同”．
若数列B 的三项为2,,2(2)x x x +≥，则无论其顺序如何，经过“T 变换”得到的数列的
三项为,2,2x x -(不考虑顺序) ．
所以与B 结构相同的数列经过“T 变换”得到的数列也与B 结构相同，除2外其余各项
减少2，各项和减少4．
因此，数列:1004,2,1006B 经过502次“T 变换”一定得到各项为2,0,2 (不考虑顺序) 的数列．
通过列举，不难发现各项为0,2,2的数列，无论顺序如何，经过“T 变换”得到的数列会
重复出现，各项和不再减少．
所以，至少通过502次“T 变换”，得到的数列各项和最小，故k 的最小值为502． ………………13分。