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全国卷历年高考立体几何小题真题归类分析2019(含答案)
全国卷历年高考立体几何小题真题归类分析（含答案）（2015年-2019年，共27题）一、视图问题、位置关系问题、棱长问题等（6题）1. （2018年3卷3）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）【解析】观擦图形图可知，俯视图为，故答案为A.2.（2016年2卷14）α，β是两个平面，m ，n 是两条线，有下列四个命题：①如果m n ⊥，m α⊥，n β∥，那么αβ⊥． ②如果m α⊥，n α∥，那么m n ⊥． ③如果a β∥，m α⊂，那么m β∥．④如果m n ∥，αβ∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等． 其中正确的是： .【解析】根据平行、垂直有关定理可以判断②③④正确，①中条件不能确定α，β的关系.3．（2019年2卷7）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面 【解析】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件，由面面平行性质定理知，若αβ∥，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的必要条件，故选B ．4.（2018年1卷7） 某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为 A. B.C. D. 2【解析】根据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确定点M 和点N 分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为，故选B.5．（2019年3卷8）如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则（ ） A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线 B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线 C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线【解析】如图所示，作EO CD ⊥于O ，连接ON ，BD ，易得直线BM ，EN 是三角形EBD 的中线，是相交直线.过M 作MF OD ⊥于F ，连接BF ，平面CDE ⊥平面ABCD ，,EO CD EO ⊥⊂平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，MF ⊥平面ABCD ，MFB ∴△与EON △均为直角三角形．设正方形边长为2，易知3,12EO ON EN ===,，35,,722MF BF BM ==∴=，BM EN ∴≠，故选B ．6．（2019年2卷16）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．【解析】由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有18826+=个面． 如图，设该半正多面体的棱长为x ，则AB BE x ==，延长BC 与FE 交于点G ，延长BC 交正方体棱于H ，由半正多面体对称性可知，BGE ∆为等腰直角三角形，22,2(21)122BG GE CH x GH x x x ∴===∴=⨯+=+=，12121x ∴==-+，即该半正多面体棱长为21-．【小结】这类题主要考查空间想象能力、空间线与线、线与面、面与面的位置关系，从2019年的三套全国卷来看，立体几何小题考查更加灵活，但万变不离其中，只要基础扎实，把握解决立体小题的基本方法，问题迎刃而解。
高考数学全国卷分类汇编(解析几何)
2010-2017新课标全国卷分类汇编（解读几何）1．（2017课标全国Ⅰ，理10）已知F 为抛物线C ：24y x =的交点，过F 作两条互相垂直1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，AB DE +的最小值为（）A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A【解析】设AB 倾斜角为θ．作1AK 垂直准线，2AK 垂直x 轴易知11cos 22⎧⎪⋅+=⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪=--= ⎪⎪⎝⎭⎩AF GF AK AK AF P P GP Pθ（几何关系）（抛物线特性）cos AF P AF θ⋅+=∴同理1cos PAF θ=-，1cos P BF θ=+，∴22221cos sin P PAB θθ==-又DE 与AB 垂直，即DE 的倾斜角为π2θ+2222πcos sin 2P PDE θθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，而24y x =，即2P =．∴22112sin cos AB DE P θθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭2222sin cos 4sin cos θθθθ+=224sin cos θθ=241sin 24=θ21616sin 2θ=≥，当π4θ=取等号，即AB DE +最小值为16，故选A2．（2017课标全国Ⅰ，理15）已知双曲线2222:x y C a b-，（0a >，0b >）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若60MAN ∠=︒，则C 的离心率为_______．【解析】如图，OA a =，AN AM b ==∵60MAN ∠=︒，∴AP =，OP =∴tan AP OP θ==又∵tan b aθ=b a =，解得223a b =∴e ==3．（2017课标全国Ⅰ，理20）（12分）已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>，四点()111P ，，()201P ，，31P ⎛- ⎝⎭，41P ⎛ ⎝⎭中恰有三点在椭圆C 上．（1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A 、B 两点，若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点．【解析】（1）根据椭圆对称性，必过3P 、4P 又4P 横坐标为1，椭圆必不过1P ，所以过234P P P ，，三点 将()23011P P ⎛- ⎝⎭，，代入椭圆方程得222113141b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =，21b = ∴椭圆C 的方程为：2214x y +=．（2）①当斜率不存在时，设()():A A l x m A m y B m y =-，，，，221121A A P A P B y y k k m m m----+=+==- 得2m =，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设()1l y kx b b =+≠∶，()()1122A x y B x y ，，，联立22440y kx bx y =+⎧⎨+-=⎩，整理得()222148440k x kbx b +++-=122814kb x x k -+=+，21224414b x x k -⋅=+，则22121211P A P By y k k x x --+=+()()21212112x kx b x x kx b x x x +-++-=222228888144414kb k kb kbk b k --++=-+()()()811411k b b b -==-+-，又1b ≠21b k ⇒=--，此时64k ∆=-，存在k 使得0∆>成立．∴直线l 的方程为21y kx k =--当2x =时，1y =-，所以l 过定点()21-，．4．（2017课标全国Ⅱ，理9）若双曲线)00(1:2222>>=-b a by a x C ，的一条渐近线被圆4)2(22=+-y x 所截得的弦长为2，则C 的离心率为A ．2B ．3C ．2D ．332 【答案】A【解读】由几何关系可得，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线距离为d =，则点()2,0到直线0b x a y +=的距离为2bd c=== 即2224()3c a c -=，整理可得224c a =，双曲线的离心率2e ===．故选A ． 【考点】 双曲线的离心率；直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．5．（2017课标全国Ⅱ，理16）已知F 是抛物线x y C 8:2=的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则=FN . 【答案】6 【解读】试卷分析：如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点F'，作MB l ⊥与点B ，NA l ⊥与点A ，由抛物线的解读式可得准线方程为2x =-，则2,4A N F F '==，在直角梯形ANFF'中，中位线'32AN FF BM +==，由抛物线的定义有：3MF MB ==，结合题意，有3MN MF ==，故336FN FM NM =+=+=．【考点】抛物线的定义、梯形中位线在解读几何中的应用．【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．6．（2017课标全国Ⅱ，理20）（12分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆12:22=+y x C 上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足= (1)求点P 的轨迹方程； (2)设点Q 在直线3-=x 上，且1=⋅. 证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .解：（1）设)(y x P ，，则)22(y x M ，，将点M 代入C 中得12222=+y x ，所以点P 的轨迹方程为222=+y x .（2）由题可知)01(，-F ，设)()3(n m P t Q ，，，-，则)1( )3(n m t ---=-=，，，， )3( )(n t m n m ---==，，，.由1=⋅得1322=-+--n tn m m ，由（1）有222=+n m ，则有033=-+tn m ，所以033 =-+=⋅tn m ，即过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .7．（2017课标全国Ⅲ，理1）已知集合A={}22(,)1x y x y +=│，B={}(,)x y y x =│，则A ⋂B 中元素的个数为A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解读】A 表示圆221x y +=上所有点的集合，B 表示直线y x =上所有点的集合，故AB 表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即AB 元素的个数为2，故选B.8．（2017课标全国Ⅲ，理5）已知双曲线C 22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为A. 221810x y -=B. 22145x y -=C. 22154x y -=D. 22143x y -=【答案】B【解读】∵双曲线的一条渐近线方程为y，则b a =① 又∵椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，易知3c =，则2229a b c +==②由①②解得2,a b =C 的方程为22145x y -=，故选B. 9．（2017课标全国Ⅲ，理10）已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为D.13【答案】A【解读】∵以12A A 为直径为圆与直线20bx ay ab -+=相切，∴圆心到直线距离d 等于半径，∴d a ==又∵0,0a b >>，则上式可化简为223a b = ∵222b ac =-，可得()2223a a c=-，即2223c a =∴c e a == A10．（2017课标全国Ⅲ，理12）在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（） A ．3B．D ．2【答案】A【解读】由题意，画出右图．设BD 与C 切于点E ，连接CE ． 以A 为原点，AD 为x 轴正半轴， AB 为y 轴正半轴建立直角坐标系， 则C 点坐标为(2,1)． ∵||1CD =，||2BC =．∴BD = ∵BD 切C 于点E ． ∴CE ⊥BD ．∴CE 是Rt BCD △中斜边BD 上的高．()A O Dxy BP gCE12||||22||||||BCDBC CDSECBD BD⋅⋅⋅====△即C．∵P在C上．∴P点的轨迹方程为224(2)(1)5x y-+-=．设P点坐标00(,)x y，可以设出P点坐标满足的参数方程如下：21xyθθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩而00(,)AP x y=，(0,1)AB =，(2,0)AD =．∵(0,1)(2,0)(2,)AP AB ADλμλμμλ=+=+=∴112xμθ==+，1yλθ==+．两式相加得：112)2sin()3λμθθθϕθϕ+=+++=++=++≤(其中sinϕcosϕ=)当且仅当π2π2kθϕ=+-，k∈Z时，λμ+取得最大值3．11．（2017课标全国Ⅲ，理20）（12分）已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B 两点，圆M是以线段AB为直径的圆.（1）证明：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程.解：（1）设()()11222A x,y,B x,y,l:x my=+由222x myy x=+⎧⎨=⎩可得212240则4y my,y y--==-又()22212121212==故=224y yy yx,x,x x=4因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为1212-4==-14y y x x 所以OA ⊥OB故坐标原点O 在圆M 上.（2）由（1）可得()2121212+=2+=++4=24y y m,x x m y y m + 故圆心M 的坐标为()2+2，m m ，圆M 的半径r =由于圆M 过点P （4，-2），因此0AP BP =,故()()()()121244220x x y y --+++= 即()()121212124+2200x x x x y y y y -++++= 由（1）可得1212=-4，=4y y x x ，所以2210m m --=，解得11或2m m ==-.当m=1时，直线l 的方程为x-y-2=0，圆心M 的坐标为（3,1），圆M ，圆M 的方程为()()223110x y -+-=当12m =-时，直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91，-42⎛⎫ ⎪⎝⎭，圆M 的半径为4，圆M 的方程为229185++4216x y ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12.（2016课标全国Ⅰ，理5）已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（A ）)3,1(-（B ）)3,1(-（C ）)3,0(（D ）)3,0(【解读】：222213x y m n m n-=+-表示双曲线，则()()2230m n m n +->，∴223m n m -<<由双曲线性质知：()()222234c m n m n m =++-=，其中c 是半焦距，∴焦距2224c m =⋅=，解得1m =∴13n -<<，故选A ．13.（2016课标全国Ⅰ，理10）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于ED ,两点，已知24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为|||M N MN y y =- （A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8【解读】：以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为22y px =()0p >，设圆的方程为222x y r +=，如图：设(0A x ，2pD ⎛- ⎝，点(0A x 在抛物线22y px =上，∴082px =……①；点2pD ⎛- ⎝在圆222x y r +=上，∴2252p r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭……②；点(0A x 在圆222x y r +=上，∴2208x r +=……③；联立①②③解得：4p =， 焦点到准线的距离为4p =．故选B ．14.（2016课标全国Ⅰ，理20）（本小题满分12分）设圆015222=-++x y x 的圆心为A ，直线l 过点)0,1(B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于D C ,两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ．（Ⅰ）证明EB EA +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线两点，求四边形MPNQ【解读】：⑴圆A 整理为(x BE AC Q ∥，则C =∠EBD D ∴=∠∠，则EB ⑵221:143x yC +=；设:l x 联立1l C 与椭圆：24x x =⎧⎪⎨⎪⎩圆心A 到PQ 距离d ==F所以||PQ==，()2212111||||2234MPNQmS MN PQm+⎡∴=⋅=⋅==⎣+15.（2016课标全国Ⅱ，理4）圆2228130x y x y+--+=的圆心到直线10ax y+-=的距离为1，则a=（）（A）43-（B）34-（C（D）216.（2016课标全国Ⅱ，理11）已知12,F F是双曲线2222:1x yEa b-=的左，右焦点，点M在E上，1MF与x轴垂直，211sin3MF F∠=,则E的离心率为（）（A（B）32（C（D）217.（2016课标全国Ⅱ，理20）（本小题满分12分）已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥．（Ⅰ）当4,||||t AM AN ==时，求AMN ∆的面积；（Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解读】试卷分析：（Ⅰ）先求直线的方程，再求点的纵坐标，最后求的面积；（Ⅱ）设，，将直线的方程与椭圆方程组成方程组，消去，用表示，从而表示，同理用表示，再由求.试卷解读：（I ）设，则由题意知，当时，的方程为，.由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为.因此直线的方程为. 将代入得.解得或，所以.因此的面积.（II ）由题意，，.将直线的方程代入得. 由得，故.由题设，直线的方程为，故同理可得，由得，即.当时上式不成立，因此.等价于，即.由此得，或，解得.因此的取值范围是.考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.18.（2016课标全国Ⅲ，理11）已知O为坐标原点，F是椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点，,A B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF x⊥轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）（A）13（B）12（C）23（D）34【答案】A考点：椭圆方程与几何性质．【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得,a c 的值，进而求得e 的值；（2）建立,,a b c 的齐次等式，求得ba 或转化为关于e 的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出e ．19.（2016课标全国Ⅲ，理16）已知直线l ：30mx y m ++=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别做l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，若AB =||CD =__________________.【答案】4考点：直线与圆的位置关系．【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解读几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．20.（2016课标全国Ⅲ，理20）（本小题满分12分）已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点．（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.【答案】（Ⅰ）见解读；（Ⅱ）21y x =-．试卷解读：由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且)2,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22b a R b Q a P b b B a A +---.记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . .....3分（Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b a aba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=，所以AR FQ . ......5分（Ⅱ）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ，则2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=∆∆. 由题设可得221211b a x a b -=--，所以01=x （舍去），11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时，由DE ABk k =可得)1(12≠-=+x x yb a .而y ba =+2，所以)1(12≠-=x x y .当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为12-=x y . ....12分考点：1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法．【方法归纳】（1）解读几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明；（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法（相关点法），利用代入法求解时必须找准主动点与从动点．21.(2015课标全国Ⅰ，理5)已知00(,)M x y 是双曲线22:12x C y -=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120MF MF ⋅<,则0y 的取值范围是（A)((B)( (C)((D)( 答案：A解读：由条件知F1(－，0)，F2(，0)，＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)，－3＜0.①又＝1，＝2+2.代入①得，∴－＜y0＜22.(2015课标全国Ⅰ，理14)一个圆经过椭圆221164x y+=的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的规范方程为答案：+y2＝解读：由条件知圆经过椭圆的三个顶点分别为(4，0)，(0，2)，(0，－2)，设圆心为(a，0)(a＞0)，所以＝4－a，解得a＝，故圆心为，此时半径r＝4－，因此该圆的规范方程是+y2＝23.(2015课标全国Ⅰ，理20)在直角坐标系xOy中，曲线2:4xC y=与直线:(0)l y kx a a=+>交于,M N两点。
(完整)十年真题_解析几何_全国高考理科数学.doc
十年真题 _解析几何 _全国高考理科数学真题2008-21 ．（12 分）双曲线的中心为原点O ，焦点在 x 轴上，两条渐近线分别为 l 1， l 2 ，经过右焦点 F 垂直于 l 1uuur uuur uuur uuur uuur的直线分别交 l 1， l 2 于 A ， B 两点．已知 OA 、 、 成等差数列，且 BF 与 FA 同向．AB OB（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设 AB 被双曲线所截得的线段的长为4 ，求双曲线的方程．2009-21 ．（12 分）如图，已知抛物线 E : y 2x 与圆 M : ( x 4)2y 2 r 2 (r ＞ 0）相交于 A 、B 、C 、D 四个点。
（I ）求 r 的取值范围：(II)当四边形 ABCD 的面积最大时，求对角线A 、B 、C 、D 的交点 p 的坐标。
2010-21 (12分 )已知抛物线 C : y 24x 的焦点为 F ，过点 K ( 1,0) 的直线 l 与 C 相交于 A 、 B 两点，点 A 关于 x 轴的对称点为 D .（Ⅰ）证明：点 F 在直线 BD 上；uuur uuur8（Ⅱ）设 FAgFBBDK 的内切圆 M 的方程 .，求91 / 132011-20 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,-1) ， B 点在直线 y = -3 上， M 点满足 MB//OA ， MA?AB = MB?BA ， M 点的轨迹为曲线 C 。
（Ⅰ）求 C 的方程；（Ⅱ） P 为 C 上的动点， l 为 C 在 P 点处得切线，求 O 点到 l 距离的最小值。
2012-20 （12 分）设抛物线 C : x 2 2 py( p 0) 的焦点为 F ，准 线为 l ， AC ， 已知以 F 为圆心，FA 为半径的圆 F 交 l 于 B, D 两点；（1）若BFD90 0 ， ABD 的面积为 4 2 ；求 p 的值及圆 F 的方程；（2）若 A, B, F 三点在同一直线m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个公共点，求坐标原点到 m, n 距离的比值。
历年全国高中数学联赛《解析几何》专题真题汇编
历年全国高中数学联赛《解析几何》专题真题汇编1、已知点A 为双曲线x 2-y 2=1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是 （ C ）(A) 33 (B) 233 (C) 33 (D) 633、若实数x, y 满足(x+5)2+(y12)2=142，则x 2+y 2的最小值为( )(A) 2 (B) 1 (C) 3 (D)2 【答案】B【解析】利用圆的知识结合数形结合分析解答，22x y +表示圆上的点（x,y ）到原点的距离。
4、直线134=+yx 椭圆191622=+y x 相交于A ，B 两点，该圆上点P ，使得⊿PAB 面积等于3，这样的点P 共有( )(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个【答案】B5、设a ，b ∈R ，ab ≠0，那么直线ax －y +b=0和曲线bx 2+ay 2=ab 的图形是（ ）【答案】B6、过抛物线y 2=8(x +2)的焦点F 作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A 、B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于点P ，则线段PF 的长等于（ ） (A)163 (B) 83 (C) 1633 (D) 8 3 【答案】A【解析】抛物线的焦点为原点(0，0)，弦AB 所在直线方程为y=3x ，弦的中点yxO Ox yO xyyx O A. B. C.D.在y=pk =43上，即AB中点为(43，43)，中垂线方程为y=－33(x－43)+43，令y=0，得点P的坐标为163．∴PF=163．选A．7、已知M={(x，y)|x2+2y2=3}，N={(x，y)|y=mx+b}．若对于所有的m∈R，均有M∩N≠∅，则b的取值范围是( )A．[－62，62] B．(－62，62) C．(－233，233] D．[－233，233] 【答案】A【解析】点(0，b)在椭圆内或椭圆上，⇒2b2≤3，⇒b∈[－62，62]．选A．8、方程13cos2cos3sin2sin22=-+-yx表示的曲线是（）A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在y轴上的双曲线【答案】C9、设圆O1和圆O2是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是（）【答案】A【解析】设圆O1和圆O2的半径分别是r1、r2，|O1O2|=2c，则一般地，圆P的圆心轨迹是焦点为O1、O2，且离心率分别是212rrc+和||221rrc-的圆锥曲线（当r1=r2时，O1O2的中垂线是轨迹的一部份，当c=0时，轨迹是两个同心圆）。
解析几何历年高考真题试卷--带详细答案
解析几何高考真题一、单选题（共11题；共22分）1.（2020·新课标Ⅲ·理）设双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1 （a>0，b>0）的左、右焦点分别为F 1 ， F 2 ， 离心率为 √5 ．P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a=（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 82.（2020·新课标Ⅲ·理）设O 为坐标原点，直线x=2与抛物线C ：y 2=2px(p>0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为（ ）A. （ 14 ，0）B. （ 12 ，0） C. （1，0） D. （2，0） 3.（2020·新课标Ⅱ·理）设O 为坐标原点，直线 x =a 与双曲线 C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的两条渐近线分别交于 D,E 两点，若 △ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 4.（2020·天津）设双曲线 C 的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) ，过抛物线 y 2=4x 的焦点和点 (0,b) 的直线为l ．若C 的一条渐近线与 l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（ ） A.x 24−y 24=1 B. x 2−y 24=1 C.x 24−y 2=1 D. x 2−y 2=15.（2019·天津）已知抛物线 的焦点为F ，准线为l.若与双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的两条渐近线分别交于点A 和点B ， 且 |AB|=4|OF| （O 为原点），则双曲线的离心率为（ ） A. √2 B. √3 C. 2 D. √56.（2020·北京）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作 PQ ⊥l 于Q ，则线段 FQ 的垂直平分线（ ）．A. 经过点OB. 经过点PC. 平行于直线 OPD. 垂直于直线 OP7.（2019·天津）已知抛物线 y 2=4x 的焦点为 F ，准线为 l ，若 l 与双曲线 x 2a 2−y 2b 2=1 (a >0,b >0) 的两条渐近线分别交于点 A 和点 B ，且 |AB|=4|OF| （ O 为原点），则双曲线的离心率为（ ）A. √2B. √3C. 2D. √5 8.（2019·全国Ⅲ卷理）双曲线 C:x 24−y 22=1 的右焦点为F,点P 在C 的一条渐近线上,O 为坐标原点,若|PO|=|PF|,则△PFO 的面积为（ ）A. 3√24B. 3√22C. 2√2D. 3√29.已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线l:3x-4y=0交椭圆E 于A,B两点．若|AF+BF|=4，点M 到直线l 的距离不小于45 ， 则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）A. (0,√32] B. (0,34] C. [√32.1) D. [34,1)10.将离心率为e 1的双曲线c 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线c 2 ， 则（ ）A. 对任意的a,b ， e 1>e 2B. 当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 2C. 对任意的a,b ， e 1<e 2D. 当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 211.将离心率为e 1的双曲线c 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加(m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线c 2 ， 则（ ）A. 对任意的a,b,e 1>e 2B. 当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 2C. 对任意的a,b,e 1<e 2D. 当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2二、填空题（共5题；共6分）12.（2020·新课标Ⅰ·理）已知F 为双曲线 C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为________.13.（2019·江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，P 是曲线 y =x +4x (x >0) 上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是________. 14.（2019·浙江）已知椭圆x 29+y 25=1 的左焦点为F ，点P 在椭圆且在x 轴上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF 的斜率是________ 15.（2018·北京）已知椭圆 M:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) ,双曲线 N:x 2m 2−y 2n 2=1 . 若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________16.（2017·江苏）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23﹣y 2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1 ， F 2 ， 则四边形F 1PF 2Q 的面积是________．三、解答题（共9题；共85分）17.（2020·新课标Ⅲ·理）已知椭圆 C:x 225+y 2m 2=1(0<m <5) 的离心率为√154，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线 x =6 上，且 |BP|=|BQ| ， BP ⊥BQ ，求 △APQ 的面积．18.（2020·新课标Ⅱ·文）已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1 (a>b>0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴重直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD|= 43 |AB|． （1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．19.（2020·新课标Ⅰ·理）已知A 、B 分别为椭圆E ：x 2a 2+y 2=1 （a>1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =8 ，P 为直线x=6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程； （2）证明：直线CD 过定点.20.（2020·新高考Ⅱ）已知椭圆C ： x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为 12 ， （1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.21.（2019·天津）设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，左顶点为A，顶点为B.已知√3|OA|=2|OB|（O为原点）.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F且斜率为34的直线l与椭圆在x轴上方的交点为p，圆C同时与x轴和直线l 相切，圆心C在直线x=4上，且OC∥AP，求椭圆的方程.22.（2019·全国Ⅲ卷文）已知曲线C：y= x22，D为直线y= −12上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点：（2）若以E(0，52)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程.23.（2019·全国Ⅲ卷理）已知曲线C: y=x22，D为直线y=- 12的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点；（2）若以E（0，52）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.24.（2019·全国Ⅱ卷文）已知F1,F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点。
2023年全国卷解析几何解答题解法荟萃
2023年全国卷解析几何解答题解法荟萃上两点，0FM FN ⋅=，求2102y px −+==可得，，因为0FM FN ⋅=，所以)()(★方法2：焦半径表示面积设直线()11:,,MN x my n M x y =+,()22,N x y ,则1||2MFN S FM FN ∆=‖ ()()121112x x =++()()121112my n my n =++++()2212121(1)(1)2m y y m n y y n ⎡⎤=+++++⎣⎦2(1).n =− ，因为0FM FN ⋅=，所以)()(★方法2.斜率转化与齐次化.如图，设线段AB 垂直于x 轴，D 为AB 中点，P 为线外任意一点，则有：PD PB PA k k k 2=+.设直线PQ 的方程为(2)1m x ny ++=.因为直线PQ 过点(2,3)−.,代入得13n =.因为点,P Q 在椭圆22:9436C x y +=上，变形得229[(2)2]436x y +−+=，整理可得：229(2)36(2)40x x y +−++=.齐次化得229(2)36(2)[(2)]40, x x m x ny y +−++++=化简得22436(2)(936)(2)0.y ny x m x −++−+=等式两边同除以2(2)x +，构造斜率式得 24369360,22y y n m x x ⎛⎫−⋅+−= ⎪++⎝⎭把13n =代入得 24129360,22y y m x x ⎛⎫−⋅+−= ⎪++⎝⎭由根与系数的关系得32AQ AP AE k k k +==，其中E 为椭圆上顶点，故所以线段MN 的中点是定点()0,3. ★方法3.同构双割线设直线AP 方程为(2)y k x =+,联立22194(2)y x y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得:()2222491616360k x k x k +++−=，当0∆>时,由22163649A P k x x k −⋅=+及2A x =−得2281849P k x k −+=+ 所以22281836,4949k k P k k ⎛⎫−+ ⎪++⎝⎭，设直线PQ 为:(2)3y m x =++,代入点P 化简 得:2123636270k k m −++=同理，设直线AQ 的斜率为k '，同理得到2123636270k k m −'++=k 和k '是二次方程2123636270x x m −++=的两个根,所以3k k +'=.直线,AP AQ 的方程分别为(2),(2)y k x y k x =+='+，当0x =时,2,2M N y k y k =='，即有32M Ny y k k +=+'=，综上,MN 的中点为定点(0,3).则1,0AB BC k k a b ⋅=−+<<同理令0BC k b c n =+=>，且设矩形周长为C ,由对称性不妨设1依题意可设21,4A a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，易知直线的斜率分别为k 和1k −，由对称性，不妨设则联立2214()y x y k x a a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=−++⎪⎩直线1MA 的方程为(112y y x x =+与直线2NA 的方程可得：22x x +−★方法4.消y 留x 之后的非对称处理记过点(4,0)−的直线为l .当l 与x 轴垂直时,易知点(4,(4,M N −−−,(1,P −−.当直线l 与x 轴不垂直时,设点(1M x ,)()()12200,,,,y N x y P x y ,直线:(4)l y k x =+.将(4)y k x =+代人221416x y −=,得)()2222(4816160k x k x k −−−+=.依题意,得()221212221618,. 44k k x x x x k k −++==−−设1212()x x x x λμ=++，即()22221618. 44k k k kλμ−++=−−即12x x =()12542x x −+−①. 直线1MA 的方程为()1122y y x x =++，直线2NA 的方程为()2222yy x x =−−，联立直线1MA 与直线2NA 的方程可得：()()()()()()12120021212422,2242y x x x x x y x x x −+−−==++++即01212012122248. 2428x x x x x x x x x x −−+−=++++将①代入式得0022x x −=+()1212338338x x x x −−+=−−+,即1x =−，据此可得点P 在定直线=1x −上运动.已知B A ,分别为椭圆1:222=+y ax E )1(>a 的左右顶点，G 为E 的上顶点，8=⋅→→GB AG ，点P 为直线6=x 上的动点，PA 与E 的另一个交点为C ，PB 与E 的另一个交点为D . （1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.解析：（1）E 的方程为1922=+y x . （2）假设),(),,(),,6(2211y x D y x C t P .则由P C A ,,及P D B ,,三点共线可得：33;392211−=+=x y t x y t 将上面两式相除，再平方可得：91)3()3(21222221=+−⋅x x y y ....① 由于),(),,(2211y x D y x C 均在椭圆E 上，故满足：91;9122222121x y x y −=−=...② 将②代入①可得：91)3)(3()3)(3(2121=++−−x x x x ，整理可得：0364)(152121=−−+x x x x ...③假设直线CD 的方程为m kx y +=代入椭圆方程1922=+y x 可得： 09918)19(222=−+++m kmx x k将1999,19182221221+−=+−=+k m x x k km x x 代入③中，可得：023=+m k ，于是，直线CD 的方程为k kx y 23−=，故其过定点)0,23(.解法2.设()06,P y ，则直线AP 的方程为：()()00363y y x −=+−−，即：()039y y x =+联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++−=，解得：3x =−或20203279y x y −+=+，将20203279y x y −+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+，所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫−+ ⎪++⎝⎭. 同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫−− ⎪++⎝⎭∴直线CD 的方程为：0022********2000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫−− ⎪++⎛⎫⎛⎫−−⎝⎭−=−⎪ ⎪−+−++⎝⎭⎝⎭−++， 整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫−−+=−=− ⎪ ⎪+++−−⎝⎭⎝⎭整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=− ⎪−−−⎝⎭，故直线CD 过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭解法3.不禁思考，为何此题使用三点共线就可成功地实现了设而不求，整体代入的思想呢？关键在于对椭圆方程的理解，即所谓的第三定义：))(()1(222222x a x a ab a x b y +−=−=这样的话，在遇到与椭圆左右顶点有关的三点共线结构时，我们就可以通过斜率关系再利用点在椭圆上将))(()1(222222x a x a ab a x b y +−=−=代入斜率式，从而构造出含21x x +与21x x 的方程，整体代入完成求解.而上面这个问题有着明显的极点极线背景：从直线t x =上任意一点P 向椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右顶点引两条割线21,PA PA 与椭圆交于N M ,两点，则直线MN 恒过定点)0,(2ta .2024届九省联考解析几何的深度探究的交点，求GMN面积的最小值．，由直线AB与直线1、x m=S=GMNS=MNG例2.过椭圆22221x y a b+=的长轴上任意一点(,0)()S s a s a −<<作两条互相垂直的弦,AB CD ，若弦,AB CD 的中点分别为,M N ，那么直线MN 恒过定点222,0a s a b ⎛⎫⎪+⎝⎭．证明：如图，设AB 的直线方程为x my s =+，则CD 的直线方程为1x y s m=−+ 联立方程组22221x my s x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()()2222222220m b a y b msy b s a +++−=则()()22222222221212222222240,,b s a msb a b m b a s y y y y m b a m b a−−∆=+−>+=⋅=++ 由中点坐标公式得22222222,a s msb M m b a m b a ⎛⎫− ⎪++⎝⎭ 将m 用1m −代换得到222222222,a sm msb N m a b m a b ⎛⎫ ⎪++⎝⎭所以MN 的直线方程为()()2222222222221a b m b sm a s y x b m a b m a a m +⎛⎫+=− ⎪++−⎝⎭令0y =，得222a sx a b =+．所以直线MN 恒过定点222,0a s a b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭． 二．对点训练的斜率均存在，求FMN面积的最大值解析：（1）由题意得1c =，2c a =（2）证明：①当直线AB ，CD 有一条斜率不存在时，直线2,03P ⎛⎫⎪⎝⎭. 12FMNFPMFPNSSS=+=⨯S=FMN[2,∞+S取得最大值FMN。
(完整)十年真题_解析几何_全国高考理科数学
真题2008-21．（12分）双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA 同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．2009-21．（12分）如图，已知抛物线2:E y x =与圆222:(4)M x y r -+=(r ＞0）相交于A B C D 、、、四个点。
（I ）求r 的取值范围：(II)当四边形ABCD 的面积最大时，求对角线A B C D 、、、的交点p 的坐标。
2010-21 (12分)已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(1,0)K -的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D . （Ⅰ）证明：点F 在直线BD 上； （Ⅱ）设89FA FB =，求BDK ∆的内切圆M 的方程 .2011-20（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点满足MB//OA ， MA •AB = MB •BA ，M 点的轨迹为曲线C 。
（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值。
2012-20（12分）设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A C ∈，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点；（1）若090=∠BFD ，ABD ∆的面积为24；求p 的值及圆F 的方程；（2）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点， 求坐标原点到,m n 距离的比值。
2013-21 (12分)已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为3，直线y＝2与C 6.(1)求a ，b ；(2)设过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，证明：|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等比数列．2014-20已知点A (0，－2)，椭圆E ：2222=1x y a b+ (a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 23，O 为坐标原点.(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当OPQ △的面积最大时，求l 的方程.2015-20.( 12分)在直角坐标系xoy 中，曲线4:2x y C =与直线()0>+=a a kx y 交于N M ,两点， (Ⅰ)当0=k 时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(Ⅱ)y 轴上是否存在点p ，使得当k 变动时，总有OPN OPM =∠？说明理由.2016-20.（12分）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .（I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.2017-20．（12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，四点P 1(1,1)，P 2(0,1)，P 31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，P 41,2⎛⎫ ⎪⎝⎭中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点．答案2008-21（Ⅰ）设OA m d =-，AB m =，OB m d =+ 由勾股定理可得：222()()m d m m d -+=+ 得：14d m =，tan b AOF a ∠=，4tan tan 23AB AOB AOF OA ∠=∠== 由倍角公式∴22431ba b a =⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得12b a =,则离心率2e =． （Ⅱ）过F 直线方程为()ay x c b=--,与双曲线方程22221x y a b -=联立将2a b =，c =代入，化简有22152104x x b -+=124x =-=将数值代入，有4=解得3b = 故所求的双曲线方程为221369x y -=。
高考数学全国卷分类汇编解析几何
-高考数学全国卷分类汇编(解析几何）————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期:20１0－2017新课标全国卷分类汇编（解析几何)1.（２0１7课标全国Ⅰ，理10）已知F 为抛物线C ：24y x =的交点,过F 作两条互相垂直1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点,AB DE +的最小值为（）A ．16B ．14 Ｃ．12ﻩＤ．10【答案】A 【解析】设AB 倾斜角为θ．作1AK 垂直准线，2AK 垂直x 轴ﻫ易知11cos 22⎧⎪⋅+=⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪=--= ⎪⎪⎝⎭⎩AF GF AK AK AF P P GP Pθ（几何关系）（抛物线特性）ﻫcos AF P AF θ⋅+=∴ 同理1cos P AF θ=-,1cos P BF θ=+，∴22221cos sin P PAB θθ==-又DE 与AB 垂直，即DE 的倾斜角为π2θ+2222πcos sin 2P PDE θθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，而24y x =，即2P =.ﻫ∴22112sin cos AB DE P θθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭2222sin cos 4sin cos θθθθ+=224sin cos θθ=241sin 24=θﻫ21616sin 2θ=≥,当π4θ=取等号，即AB DE +最小值为16，故选A2．（2017课标全国Ⅰ,理15)已知双曲线2222:x y C a b-，(0a >，0b >)的右顶点为A ,以A 为圆心,b 为半径作圆A ,圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ,N 两点,若60MAN ∠=︒，则C 的离心率为＿___＿__．【答案】233【解析】如图，OA a =，AN AM b ==ﻫ∵60MAN ∠=︒，∴32AP b =，222234OP OA PA a b =-=-∴2232tan 34b AP OP a b θ==-又∵tan b aθ=，∴223234bb a a b =-,解得223a b = ∴221231133b e a =+=+=3.(2017课标全国Ⅰ,理20）（１２分)已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>，四点()111P ，,()201P ，，3312P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，,4312P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，中恰有三点在椭圆C 上. (１)求C 的方程；（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A 、B 两点,若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-,证明：l 过定点．【解析】（1）根据椭圆对称性,必过3P 、4P 又4P 横坐标为1，椭圆必不过1P ，所以过234P P P ，，三点ﻫ将()2330112P P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，代入椭圆方程得 222113141b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =,21b =ﻫ∴椭圆C 的方程为：2214x y +=．ﻫ(2)①当斜率不存在时，设()():A A l x m A m y B m y =-，，，，221121A A P A P B y y k k m m m----+=+==- 得2m =,此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点,故不满足． ②当斜率存在时,设()1l y kx b b =+≠∶,()()1122A x y B x y ，，，ﻫ联立22440y kx bx y =+⎧⎨+-=⎩，整理得()222148440k x kbx b +++-=ﻫ122814kb x x k -+=+,21224414b x x k -⋅=+,ﻫ则22121211P A P By y k k x x --+=+()()21212112x kx b x x kx b x x x +-++-=222228888144414kb k kb kbk b k --++=-+ﻫ()()()811411k b b b -==-+-，又1b ≠21b k ⇒=--，此时64k ∆=-,存在k 使得0∆>成立．∴直线l 的方程为21y kx k =--当2x =时,1y =-，所以l 过定点()21-，.4．(２017课标全国Ⅱ，理９)若双曲线)00(1:2222>>=-b a by a x C ，的一条渐近线被圆4)2(22=+-y x 所截得的弦长为2，则C 的离心率为 Ａ．2 Ｂ．3 C.2Ｄ.332【答案】A【解析】由几何关系可得,双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线距离为22213d =-=，则点()2,0到直线0bx ay +=的距离为222023b a bd ca b +⨯===+， 即2224()3c a c -=,整理可得224c a =，双曲线的离心率2242c e a ===.故选A. 【考点】 双曲线的离心率；直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质,求双曲线的离心率（或离心率的取值范围)，常见有两种方法:①求出a ,c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ,b ，c 的齐次式，结合ｂ2=c 2－a ２转化为a ，c 的齐次式,然后等式(不等式）两边分别除以ａ或ａ2转化为关于e 的方程(不等式),解方程(不等式）即可得e (e 的取值范围）.5.(2017课标全国Ⅱ，理１6)已知F 是抛物线x y C 8:2=的焦点,M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点,则=FN ．【答案】6 【解析】试题分析：如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点F',作MB l ⊥与点B ,NA l ⊥与点A ，由抛物线的解析式可得准线方程为2x =-,则2,4AN FF'==，在直角梯形ANFF'中，中位线'32AN FF BM +==,由抛物线的定义有：3MF MB ==，结合题意，有3MN MF ==，故336FN FM NM =+=+=.【考点】抛物线的定义、梯形中位线在解析几何中的应用．【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础,它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化.如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题,可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化.6．(20１7课标全国Ⅱ,理2０)（１2分)设O 为坐标原点,动点M 在椭圆12:22=+y x C 上,过M作x 轴的垂线,垂足为N ,点P 满足NM NP 2=.（１）求点P 的轨迹方程;（2）设点Q 在直线3-=x 上,且1=⋅PQ OP ． 证明:过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .解:(1)设)(y x P ，，则)22(y x M ，,将点M 代入C 中得12222=+y x ，所以点P 的轨迹方程为222=+y x ．（2)由题可知)01(，-F ,设)()3(n m P t Q ，，，-，则)1( )3(n m PF t OQ ---=-=，，，， )3( )(n t m PQ n m OP ---==，，，．由1=⋅OQ OP 得1322=-+--n tn m m ,由(1)有222=+n m ,则有033=-+tn m ，所以033 =-+=⋅tn m PF OQ ，即过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .7.（201７课标全国Ⅲ，理１)已知集合Ａ={}22(,)1x y x y +=│ ，B ＝{}(,)x y y x =│,则A ⋂B 中元素的个数为A.3B.2 Ｃ．1 D ．０【答案】Ｂ【解析】A 表示圆221x y +=上所有点的集合,B 表示直线y x =上所有点的集合，故AB 表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2,即A B 元素的个数为2，故选B.8．(2017课标全国Ⅲ，理5）已知双曲线C 22221x y a b -= (a >0，ｂ>0)的一条渐近线方程为52y x =,且与椭圆221123x y += 有公共焦点，则Ｃ的方程为A. 221810x y -= Ｂ. 22145x y -= Ｃ. 22154x y -= D. 22143x y -=【答案】B【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为52y x =,则52b a =① 又∵椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，易知3c =,则2229a b c +==②由①②解得2,5a b ==,则双曲线C 的方程为22145x y -=,故选B. ９．（20１7课标全国Ⅲ,理10）已知椭圆C ：22221x y a b+=，(ａ>b >0)的左、右顶点分别为A 1，Ａ2，且以线段Ａ1Ａ２为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为 Ａ．63 B.33 Ｃ．23Ｄ.13【答案】A【解析】∵以12A A 为直径为圆与直线20bx ay ab -+=相切，∴圆心到直线距离d 等于半径，∴222abd a a b==+又∵0,0a b >>，则上式可化简为223a b = ∵222b ac =-，可得()2223a a c=-，即2223c a =∴63c e a ==，故选A10．(201７课标全国Ⅲ，理12）在矩形ABCD 中,1AB =,2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+,则λμ+的最大值为（） A ．３ﻩﻩB.22ﻩC.5ﻩ ﻩD ．２【答案】Ａ【解析】由题意，画出右图．设BD 与C 切于点E ,连接CE .以A 为原点，AD 为x 轴正半轴,AB 为y 轴正半轴建立直角坐标系， 则C 点坐标为(2,1)． ∵||1CD =，||2BC =. ∴22125BD =+=. ∵BD 切C 于点E ． ∴CE ⊥BD .∴CE 是Rt BCD △中斜边BD 上的高．12||||2222||5||||55BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅====△即C 的半径为255． ∵P 在C 上.∴P 点的轨迹方程为224(2)(1)5x y -+-=. 设P 点坐标00(,)x y ，可以设出P 点坐标满足的参数方程如下:00225cos 5215sin 5x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩而00(,)AP x y =,(0,1)AB =，(2,0)AD =. ∵(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+= ∴0151cos 25x μθ==+,0215sin 5y λθ==+． 两式相加得:222515sin 1cos 552552()()sin()552sin()3λμθθθϕθϕ+=+++=+++=++≤ (其中5sin 5ϕ=，25cos 5ϕ=) 当且仅当π2π2k θϕ=+-，k ∈Z 时，λμ+取得最大值3.１１.（2017课标全国Ⅲ，理2０)(１2分)已知抛物线C ：ｙ2=２x ，过点(2,0)的直线l 交C 与A ，B 两点,圆Ｍ是以线段ＡＢ为直径的圆．()A O DxyB PCE(1）证明：坐标原点Ｏ在圆M 上;(２)设圆M 过点P （４，-2）,求直线l 与圆Ｍ的方程． 解：（1）设()()11222A x ,y ,B x ,y ,l :x my =+由222x my y x =+⎧⎨=⎩可得212240则4y my ,y y --==- 又()22212121212==故=224y y y y x ,x ,x x =4因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为1212-4==-14y y x x 所以OA ⊥O Ｂ故坐标原点Ｏ在圆M 上.(2)由（1)可得()2121212+=2+=++4=24y y m,x x m y y m + 故圆心M 的坐标为()2+2，m m ,圆Ｍ的半径()2222r m m =++由于圆Ｍ过点P （4,-2）,因此0AP BP =,故()()()()121244220x x y y --+++= 即()()121212124+2200x x x x y y y y -++++= 由(１）可得1212=-4，=4y y x x ，所以2210m m --=，解得11或2m m ==-.当m=1时,直线l 的方程为x-y-2=0,圆心M 的坐标为(3,1)，圆Ｍ的半径为10,圆Ｍ的方程为()()223110x y -+-=当12m =-时,直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91，-42⎛⎫⎪⎝⎭，圆M 的半径为854，圆M 的方程为229185++4216x y ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12.(2016课标全国Ⅰ,理5)已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是(A ）)3,1(-ﻩﻩ（B ）)3,1(-(C ）)3,0( ﻩ(D))3,0(432112344224xEDABC【解析】：222213x y m n m n-=+-表示双曲线，则()()2230m n m n +->,∴223m n m -<<由双曲线性质知:()()222234c m n m n m =++-=,其中c 是半焦距,∴焦距2224c m =⋅=，解得1m =∴13n -<<，故选Ａ.13.（２０16课标全国Ⅰ，理１0）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于E D ,两点,已知24=AB ，52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（A ）2 ﻩ(B ）4 ﻩ(Ｃ）６ﻩﻩ （Ｄ）8【解析】：以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为22y px =()0p >，设圆的方程为222x y r +=，如图：设()0,22A x ，,52pD ⎛⎫- ⎪⎝⎭,点()0,22A x 在抛物线22y px =上，∴082px =……①；点,52pD ⎛⎫- ⎪⎝⎭在圆222x y r +=上,∴2252p r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭……②;点()0,22A x 在圆222x y r +=上，∴2208x r +=……③;联立①②③解得:4p =， 焦点到准线的距离为4p =.故选Ｂ.14.(2０1６课标全国Ⅰ,理２0)（本小题满分1２分)设圆015222=-++x y x 的圆心为A ，直线l 过点)0,1(B 且与x 轴不重合,l 交圆A 于D C ,两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(Ⅰ）证明EB EA +为定值，并写出点E 的轨迹方程; ﻩ(Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线1C ,直线l 交1C 于N M ,两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于Q P ,两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.【解析】：⑴圆A 整理为()22116x y ++=,A 坐标()1,0-，如图,BE AC ∥，则C EBD =∠∠,由,AC AD D C ==则∠∠， EBD D ∴=∠∠，则EB ED=，4||AE EB AE ED AD AB ∴+=+==>根据椭圆定义为一个椭圆,方程为22143x y +=，(0y ≠);F4 32112344224xQPNMAB()()2222222363634121||1||13434M Nm m mMN m y y mm m+++=+-=+=++⑵221:143x yC+=ﻩ；设:1l x my=+，因为PQ l⊥，设():1PQ y m x=--,联立1l C与椭圆:221143x myx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩()2234690m y my++-=，则圆心A到PQ距离()22|11||2|11m mdm m---==++，所以2222224434||2||21611m mPQ AQ dm m+=-=-=++,())2222222121114342411||||2412,831223413431MPNQm m mS MN PQm m mm+++⎡∴=⋅=⋅⋅==∈⎣+++++15.（2０1６课标全国Ⅱ,理4)圆2228130x y x y+--+=的圆心到直线10ax y+-=的距离为1，则a=（）（A）43-（B）34-(C）3(D）２16.(２01６课标全国Ⅱ,理１１）已知12,F F是双曲线2222:1x yEa b-=的左,右焦点,点M在E上,1MF与x轴垂直,211sin3MF F∠=,则E的离心率为( )(A）2（B）32(C）3(Ｄ)２１７.（20１６课标全国Ⅱ，理20）(本小题满分１2分）已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点,斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点,点N 在E 上，MA NA ⊥．(Ⅰ）当4,||||t AM AN ==时,求AMN ∆的面积;(Ⅱ)当2AM AN =时，求k 的取值范围．【答案】（Ⅰ)；（Ⅱ).【解析】试题分析:（Ⅰ)先求直线的方程，再求点的纵坐标,最后求的面积;(Ⅱ）设，，将直线的方程与椭圆方程组成方程组,消去，用表示，从而表示,同理用表示，再由求.试题解析：(I)设，则由题意知，当时,的方程为,.由已知及椭圆的对称性知,直线的倾斜角为.因此直线的方程为.将代入得.解得或，所以.因此的面积．(ＩI)由题意，，.将直线的方程代入得.由得，故.由题设,直线的方程为,故同理可得，由得，即.当时上式不成立，因此.等价于,即.由此得，或，解得.因此的取值范围是．考点：椭圆的性质,直线与椭圆的位置关系.18.(2016课标全国Ⅲ，理11)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点,,A B分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为（ )（A ）13 ﻩﻩ（B ）12 ﻩ（C ）23 ﻩ（D)34【答案】A考点:椭圆方程与几何性质.【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法:（1)直接求得,a c 的值，进而求得e 的值;(２)建立,,a b c 的齐次等式,求得ba 或转化为关于e 的等式求解；（3)通过特殊值或特殊位置，求出e .1９.(２０１6课标全国Ⅲ，理1６)已知直线l :330mx y m ++-=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别做l 的垂线与x 轴交于,C D 两点,若23AB =,则||CD =_＿＿_＿_＿____＿____＿_.【答案】4考点:直线与圆的位置关系．【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面,要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化),把它转化为代数问题；另一方面,由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密,因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件,利用几何知识使问题较为简捷地得到解决.２0.(20１6课标全国Ⅲ，理20)(本小题满分12分）已知抛物线C :22y x =的焦点为F ,平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点,交C 的准线于P Q ，两点．（Ｉ)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ ；（ＩI ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程.【答案】(Ⅰ)见解析；（Ⅱ)21y x =-.试题解析:由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且)2,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22b a R b Q a P b b B a A +---.记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x ． .....3分 （Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab .记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ,则222111k b a ab a ab a b a a b a k =-=-==--=+-=，所以AR FQ . ．.．.．.5分（Ⅱ)设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ，则2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=∆∆. 由题设可得221211b a x a b -=--，所以01=x （舍去)，11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E ． 当AB 与x 轴不垂直时，由DE ABk k =可得)1(12≠-=+x x yb a .而y ba =+2,所以)1(12≠-=x x y .当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为12-=x y . ...．１2分 考点:1、抛物线定义与几何性质;2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法.【方法归纳】(１)解析几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明;（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法(相关点法）,利用代入法求解时必须找准主动点与从动点.2１.(2015课标全国Ⅰ,理5) 已知00(,)M x y 是双曲线22:12x C y -=上的一点,12,F F 是C 的两个焦点,若120MF MF ⋅<,则0y 的取值范围是（Ａ)33(,)33-(B) 33(,)66- (C) 2222(,)33- （D)2323(,)33-答案：A解析：由条件知F１(－，０),Ｆ2（，0),＝（－-x0,－y０)，＝（-x0,－y０)，－3<０．ﻩ①又＝1，＝2＋2.代入①得，∴-<y0<２2.(2015课标全国Ⅰ,理１4)一个圆经过椭圆221164x y+=的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为答案:+y2＝解析:由条件知圆经过椭圆的三个顶点分别为（4,0),（0，2),(0，－2),设圆心为(ａ，0)（ａ>0)，所以=４－a，解得a=，故圆心为,此时半径ｒ＝4－,因此该圆的标准方程是+ｙ2=23.(2015课标全国Ⅰ,理20）在直角坐标系xOy中,曲线2:4xC y=与直线:(0)l y kx a a=+>交于,M N两点。
解析几何全国卷高考真题精编版
2015-2017解析几何全国卷高考真题1、（2015年1卷5题）已知M （00,x y ）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF •<，则0y 的取值范围是（ ）（A ）（-3，3） （B ）（-6，6（C ）（3-，3） （D ）（） 【答案】A【解析】由题知12(F F ，220012x y -=，所以12MF MF •=0000(,),)x y x y -•- =2220003310x y y +-=-<，解得033y -<<，故选A.考点：双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法.2、（2015年1卷14题）一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 . 【答案】22325()24x y -+=【解析】设圆心为（a ，0），则半径为4a -，则222(4)2a a -=+，解得32a =，故圆的方程为22325()24x y -+=. 考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程3、（2015年1卷20题）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=24x 与直线y kx a =+（a ＞0）交与M,N 两点，（Ⅰ）当k=0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM=∠OPN ？说明理由.【答案】0y a --=0y a ++=（Ⅱ）存在【解析】 试题分析：（Ⅰ）先求出M,N 的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将y kx a =+代入曲线C 的方程整理成关于x 的一元二次方程，设出M,N 的坐标和P 点坐标，利用设而不求思想，将直线PM ，PN 的斜率之和用a 表示出来，利用直线PM ，PN 的斜率为0,即可求出,a b 关系，从而找出适合条件的P 点坐标.试题解析：（Ⅰ）由题设可得)M a，()N a -，或()M a -，)N a .∵12y x '=，故24x y =在x=，C在,)a 处的切线方程为y a x -=-0y a --=.故24x y =在x=-处的到数值为C在(,)a -处的切线方程为y a x -=+0y a ++=.0y a --=0y a ++=. （Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：设P （0，b ）为复合题意得点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为12,k k . 将y kx a =+代入C 得方程整理得2440x kx a --=. ∴12124,4x x k x x a +==-. ∴121212y b y b k k x x --+=+=1212122()()kx x a b x x x x +-+=()k a b a+. 当b a =-时，有12k k +=0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM=∠OPN ，所以(0,)P a -符合题意.考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力4、（2015年2卷7题）过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =（ ）A ．26B ．8C ．46D ．10 【解析】由已知得321143AB k -==--，27341CB k +==--，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC ∆为直角三角形，其外接圆圆心为(1,2)-，半径为5，所以外接圆方程为22(1)(2)25x y -++=，令0x =，得2y =±，所以MN =C ．考点：圆的方程． 5、（2015年2卷11题）．已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ） A ．5 B ．2 C ．3 D ．2【解析】设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，如图所示，AB BM =，0120ABM ∠=，过点M 作MN x ⊥轴，垂足为N ，在Rt BMN ∆中，BN a =，3MN a =，故点M 的坐标为(2,3)M a a ，代入双曲线方程得2222a b a c ==-，即222c a =，所以2e =，故选D ．考点：双曲线的标准方程和简单几何性质．6、（2015年2卷20题）（本题满分12分）已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．【解析】（Ⅰ）设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ． 将y kx b =+代入2229x y m +=得2222(9)20k x kbx b m +++-=，故12229M x x kbx k +==-+， 299M M by kx b k =+=+．于是直线OM 的斜率9M OMM y k x k ==-，即9OM k k ⋅=-．所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． （Ⅱ）四边形OAPB 能为平行四边形． 因为直线l 过点(,)3mm ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠． 由（Ⅰ）得OM 的方程为9y x k =-．设点P 的横坐标为P x ．由2229,9,y x kx y m ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩得2222981Pk m x k =+，即P x =．将点(,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)3m k b -=，因此2(3)3(9)M mk k x k -=+．四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x ==2(3)23(9)mk k k -⨯+．解得14k =24k =0,3i i k k >≠，1i =，2，所以当l的斜率为44OAPB 为平行四边形．考点：1、弦的中点问题；2、直线和椭圆的位置关系．7、（2016年1卷5题）（5）已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是（A ）()1,3- （B）(- （C ）()0,3 （D）( 【答案】A考点：双曲线的性质【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题学生出现,主要考查双曲线几何性质,属于基础题.注意双曲线的焦距是2c 不是c,这一点易出错.8、（2016年1卷10题）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=DE|=则C 的焦点到准线的距离为 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【答案】B考点：抛物线的性质.【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因.9、（2016年1卷20题）（本小题满分12分）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.【答案】（Ⅰ）13422=+y x （0≠y ）（II ）)38,12[ 试题解析：（Ⅰ）因为||||AC AD =,AC EB //,故ADC ACD EBD ∠=∠=∠, 所以||||ED EB =,故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+.又圆A 的标准方程为16)1(22=++y x ,从而4||=AD ,所以4||||=+EB EA . 由题设得)0,1(-A ,)0,1(B ,2||=AB ,由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：13422=+y x （0≠y ）. （Ⅱ）当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ,),(11y x M ,),(22y x N .由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 得01248)34(2222=-+-+k x k x k . 则3482221+=+k k x x ,341242221+-=k k x x .所以34)1(12||1||22212++=-+=k k x x k MN . 过点)0,1(B 且与l 垂直的直线m ：)1(1--=x k y ,A 到m 的距离为122+k ,所以 1344)12(42||22222++=+-=k k k PQ .故四边形MPNQ 的面积 341112||||212++==k PQ MN S . 可得当l 与x 轴不垂直时,四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[.当l 与x 轴垂直时,其方程为1=x ,3||=MN ,8||=PQ ,四边形MPNQ 的面积为12. 综上,四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[. 考点：圆锥曲线综合问题【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成, .其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.10、（2016年2卷4题）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-= 的距离为1，则a=（A ）43- （B ）34- （C（D ）2【解析】A圆化为标准方程为：，故圆心为，，解得，故选A ．11、（2016年2卷11题）已知1F ，2F 是双曲线E ：22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E上，1MF 与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠= ,则E 的离心率为（B ）32（C（D ）2 【解析】A离心率，由正弦定理得． 12、（2016年2卷20题）（本小题满分12分）已知椭圆E :2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA.（I ）当4t =，AM AN =时，求△AMN 的面积； （II ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.2228130x y x y +--+=()()22144x y -+-=()14，1d ==43a =-1221F F e MF MF =-122112sin 31sin sin 13F F Me MF MF F F ====---【解析】 ⑴当时，椭圆E 的方程为，A 点坐标为， 则直线AM 的方程为．联立并整理得， 解得或，则因为，所以 因为，，，整理得， 无实根，所以．所以的面积为． ⑵直线AM的方程为，联立并整理得，解得或所以 所以因为所以，整理得，． 4t =22143x y +=()20-，()2y kx =+()221432x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()2222341616120k x k x k +++-=2x =-228634k x k -=-+222861223434k AMk k -=+=++AM AN ⊥21212413341AN k kk =⎛⎫++⋅- ⎪⎝⎭AM AN =0k >212124343k k k=++()()21440k k k --+=2440k k -+=1k =AMN △221112144223449AM⎫==⎪+⎭(y k x =(2213x y t y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()222223230tk x x t k t +++-=x =x =AM =+=3AN k k+2AM AN =23k k+23632k k t k -=-因为椭圆E 的焦点在x 轴，所以，即，整理得．13、（2016年3卷11题）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）（A ）13（B ）12 （C ）23 （D ）34【答案】A考点：椭圆方程与几何性质．【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得,a c 的值，进而求得e的值；（2）建立,,a b c 的齐次等式，求得b a 或转化为关于e 的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出e ．14、（2016年3卷16题）已知直线l ：30mx y m ++=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别做l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，若AB =，则||CD =__________________.【答案】43t >236332k k k ->-()()231202k k k +-<-2k <考点：直线与圆的位置关系． 【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．15、（2016年3卷20题）已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点． （I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明ARFQ ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）21y x =-． 试题解析：由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且 )2,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22ba Rb Q a P b b B a A +---.记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . .....3分 （Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab .记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b a aba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=，所以ARFQ . ......5分（Ⅱ）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ，则2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=∆∆.由题设可得221211b a x a b -=--，所以01=x （舍去），11=x .设满足条件的AB 的中点为),(y x E .当AB 与x 轴不垂直时，由DE ABk k =可得)1(12≠-=+x x yb a .而y ba =+2，所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为12-=x y . ....12分 考点：1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法．【方法归纳】（1）解析几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明；（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法（相关点法），利用代入法求解时必须找准主动点与从动点．16、（2017年1卷15题）已知双曲线2222:x y C a b-，（0a >，0b >）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若60MAN ∠=︒，则C 的离心率为_______．【解析】如图，OA a =，AN AM b ==∵60MAN ∠=︒，∴AP =，OP =∴tan AP OP θ==又∵tan b aθ=b a =，解得223a b =∴e ==17、（2017年1卷20题）已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>，四点()111P ，，()201P ，，31P ⎛- ⎝⎭，41P ⎛ ⎝⎭中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A 、B 两点，若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点．【解析】（1）根据椭圆对称性，必过3P 、4P又4P 横坐标为1，椭圆必不过1P ，所以过234P P P ，，三点 将()23011P P ⎛- ⎝⎭，，代入椭圆方程得 222113141b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =，21b = ∴椭圆C 的方程为：2214x y +=．（2）①当斜率不存在时，设()():A A l x m A m y B m y =-，，，， 221121A A P A P B y y k k m m m----+=+==- 得2m =，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设()1l y kx b b =+≠∶ ()()1122A x y B x y ，，，联立22440y kx b x y =+⎧⎨+-=⎩，整理得()222148440k x kbx b +++-= 122814kb x x k -+=+，21224414b x x k -⋅=+则22121211P A P B y y k k x x --+=+()()21212112x kx b x x kx b x x x +-++-=222228888144414kb k kb kbk b k --++=-+()()()811411k b b b -==-+-，又1b ≠21b k ⇒=--，此时64k ∆=-，存在k 使得0∆>成立． ∴直线l 的方程为21y kx k =--当2x =时，1y =- 所以l 过定点()21-，．18、（2017年2卷9题）若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．233【命题意图】主要考查双曲线的性质及直线与圆的位置关系，意在考查考生的转化与化归思想. 【解析】解法一：常规解法根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为by x a=±，根据直线与圆的位置关系可求得圆心到渐进线的距离为3，∴ 圆心到渐近线的距离为221b ab a ⋅⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即2231b ab a ⋅=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，解得2e =.解法二：待定系数法设渐进线的方程为y kx =，根据直线与圆的位置关系可求得圆心到渐进线的距离为3，∴ 圆心到渐近线的距离为221k k +，即2231k k =+，解得23k =；由于渐近线的斜率与离心率关系为221k e =-，解得2e =.19、（2017年2卷16题）已知F 是抛物线C:28y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为F N 的中点，则F N = ．【命题意图】本题主要考查抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系，意在考查考生的转化与 化归思想运算求解的能力 【解析】解法一：几何法【知识拓展】本题从抛物线定义入手，定比分点求坐标，这是基础概念题，习. 20、（2017年2卷20题）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.(1) 求点P 的轨迹方程；(2) 设点Q 在直线x =-3上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .【命题意图】椭圆，定值问题的探索；运算求解能力【基本解法】（Ⅰ）解法一：相关点法求轨迹：设()00,M x y ，()0,0N x ,(),P x y ，则：()0,NP x x y =-,()00,NM y =. 又2NP NM =,所以：())00,0,x x y y -=，则：00,x x y =.又()00,M x y 在椭圆C 上，所以：220012x y +=。
解析几何真题专题
解析几何真题专题1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设B 是椭圆22:15x C y +=的上顶点，点P 在C 上，则PB 的最大值为（ ）A ．52B C D ．22．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦3．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）点()3,0到双曲线221169x y -=的一条渐近线的距离为（ ） A ．95B ．85C ．65D ．454．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13 B ．12 C ．9 D ．6二、多选题5．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（ ）A ．点P 到直线AB 的距离小于10 B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当PBA ∠最小时，PB =．当PBA ∠最大时，PB =三、填空题6．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________．7．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）已知双曲线22:1(0)x C y m m-=>0my +=，则C 的焦距为_________．8．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知12,F F 为椭圆C ：221164x y+=的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12PQ F F =，则四边形12PFQF 的面积为________． 9．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______.四、解答题10．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2． （1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值.11．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4．（1）求p ；（2）若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB △面积的最大值．12．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）抛物线C 的顶点为坐标原点O ．焦点在x 轴上，直线l ：1x =交C 于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥．已知点()2,0M ，且M 与l 相切．（1）求C ，M 的方程；（2）设123,,A A A 是C 上的三个点，直线12A A ，13A A 均与M 相切．判断直线23A A 与M 的位置关系，并说明理由．13．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1F 、)2122F MF MF -=，，点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程； （2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.回顾1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为（ ） A ．72B ．3C ．52D ．23．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ） A ．2B ．3C ．6D ．94．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ） A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=5．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A B C D 6．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A ．4B ．8C ．16D ．327．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若=1AC BC ⋅，则点C 的轨迹为（ ） A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线8．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（ ）A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0)9．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））若直线l 与曲线y x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1 D ．y =12x +1210．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2．P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =（ ） A ．1B ．2C ．4D ．811．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的 一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为 A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒12．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为13．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p = A ．2 B ．3 C ．4D ．814．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为A B ．2 D 15．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））已知F 是双曲线22:145x y C 的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为 A ．32B ．52C ．72D ．9216．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为A ．4B ．2C ．D ．17．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷））已知椭圆C ：2221(0)4x y a a +=>的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为A ．13B ．12C ．2D ．318．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷））设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅= A ．5B ．6C ．7D ．819．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷））已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若OMN 为直角三角形，则|MN |=A ．32B ．3C ．D ．420．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ））双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心A ．y =B ．y =C ．2y x =±D ．y x = 21．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文数（全国卷II ））已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为A ．1B ．2C D 122．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ））已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为A ．23B ．12C ．13D ．1423．（2018年全国卷Ⅲ理数高考试题）直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣24．（2018年全国卷Ⅲ文数高考试题）已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为AB ．2C ．2D ．25．（2018年全国卷Ⅲ理数高考试题）设1F ,2F 是双曲线2222:1x y C a b-=（）的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF OP =，则C 的离心率为A B C ．2D 26．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））已知F 是双曲线C ：2213y x -=的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则APF 的面积为A ．13B ．1 2C ．2 3D ．3 227．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））（2017新课标全国卷Ⅰ文科）设A ，B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是A ．(0,1][9,)+∞B ．[9,)+∞C ．(0,1][4,)+∞D ．[4,)+∞28．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．1029．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是A ．)+∞B ．2)C ．D ．(1,2)30．（2017年全国普通高等学校招生统一考试）过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 的直线交C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为（ ）A B ．C ．D ．31．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为A ．2B CD ．332．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A BC ．3D ．1333．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学新课标Ⅱ卷））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点.则C 的方程为（ ）A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -= 34．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是A ．(–1,3)B ．(–C ．(0,3)D ．35．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=，|DE |=C 的焦点到准线的距离为 A ．8B ．6C ．4D ．236．（）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，曲线()0ky k x=>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，则k = A ．12B ．1C ．32D ．237．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）圆2228130+--+=x y x y 的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =A ．43- B ．34-CD ．238．（（2016新课标全国Ⅱ理科）已知F 1，F 2是双曲线E ：22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F 1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠= ,则E 的离心率为A B ．32C D ．239．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为A ．13B ．12C ．23D ．3440．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB = A ．3 B ．6C ．9D ．1241．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））已知00(,)M x y 是双曲线C ：2212x y -=上的一点，1F ，2F 是C 的两个焦点，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是A ．(B ．(C ．(D ．(42．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ））已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为A B ．2 CD43．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ）已知双曲线的离心率为2，则A ．2B ．C ．D ．144．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知抛物线C ：的焦点为,是C 上一点，，则A ．1B ．2C ．4D ．845．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））已知抛物线C ：的焦点为F ，准线为，P 是上一点，Q 是直线PF 与C 得一个交点，若4FP FQ =，则A ．B ．C ．D ．46．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国Ⅱ卷））设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 且倾斜角为30的直线交C 于A ，B 两点，则AB =A ．3B ．6C ．12D ．47．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国Ⅱ卷））设点()0,1M x ，若在圆22:+1O x y =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是（ ）A ．[]1,1- B ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．⎡⎣D ．,22⎡-⎢⎣⎦48．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷））设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则 △OAB 的面积为A B C．6332D．9449．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为A．B．C．D．50．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷）已知椭圆22xa＋22yb＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为A．245x＋236y＝1 B．236x＋227y＝1C．227x＋227x＝1 D．218y＋218x＝151．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）设1F、2F是椭圆E：22221(0)x ya ba b+=>>的左、右焦点，P为直线32ax=上一点，21F PF∆是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为A．12B．23C．34D．45二、填空题52．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知F为双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为______________.53．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））设双曲线C：22221x ya b-= (a>0，b>0)的一条渐近线为y x，则C的离心率为_________．54．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知双曲线C：22221(0,0)x ya ba b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．55．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））设12F F ，为椭圆22:+13620x y C =的两个焦点，M为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.56．（2018年全国卷Ⅲ理数高考试题）已知点()11M ，-和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB ∠=︒，则k =________．57．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线于交M 、N 两点，若60MAN ∠=，则C 的离心率为__________．58．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））已知F 是抛物线C:28y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为F N 的中点，则F N =____________．59．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷））（2017新课标全国III 文科）双曲线22219x y a -=（a >0）的一条渐近线方程为35y x =，则a =______________．60．（2016年全国普通高等学校招生统一考试））设直线2y x a =+与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ，B 两点，若AB =，则圆C 的面积为________61．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷））已知直线l ：60x +=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点.则CD =_________.62．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国3卷））已知直线l ：30mx y m ++=与圆2212x y +=交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若||AB =，则||CD =__________．63．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，(A ，当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为 ．64．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为___________.65．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷带解析））设点M （0x ,1），若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得∠OMN=45°，则0x 的取值范围是________.三、解答题66．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.67．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |． （1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．68．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |. （1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.69．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积．70．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │ =4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2=0相切．（1）若A 在直线x +y =0上，求⊙M 的半径．（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │－│MP │为定值？并说明理由．71．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |．72．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点．（1）若2POF 为等边三角形，求C 的离心率；（2)如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围.73．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C . （1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG 是直角三角形； （ii ）求PQG 面积的最大值.74．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B . （1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.75．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷））设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN ∠=∠．76．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷））设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0). （1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.77．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ））设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．78．（2018年全国卷Ⅲ文数高考试题）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >． （1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=．证明：2FP FA FB =+．79．（2018年全国卷Ⅲ理数高考试题）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，． （1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且0FP FA FB ++=．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．80．（2017年全国卷文数高考试题）设A ，B 为曲线C ：24x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．81．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））已知椭圆C ：2222=1x y a b+（a>b>0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，P 4（1C 上. （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.82．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =. （1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .83．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷））在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.84．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷））已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 于A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆. （1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点()4,2P -，求直线l 与圆M 的方程.85．（2016新课标全国卷Ⅰ文科）在直角坐标系xOy 中，直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H .（Ⅰ）求OH ON；（Ⅱ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.86．（2016新课标全国卷Ⅰ）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .（I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.87．（2016新课标全国卷）已知A 是椭圆E ：22143x y +=的左顶点，斜率为()0k k >的直线交E 于A ，M两点，点N 在E 上，MA NA ⊥.（Ⅰ）当AM AN =时，求AMN 的面积（Ⅱ） 当2AM AN =2k <<.88．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））已知椭圆E:2213x y t +=的焦点在x轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （k > 0）的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ． （Ⅰ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.89．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A B ，两点，交C 的准线于P Q ，两点． （Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明//AR FQ ；（Ⅱ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.90．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若OM ON ⋅＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.91．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=24x与直线(),0y kx a a =+>交与M,N 两点，（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由.92．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的，点在C 上 （1）求C 的方程（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.93．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ））已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ． （Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．94．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知点，圆:，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.(1)求的轨迹方程；(2)当时，求的方程及的面积95．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b+=(a >b >0)的离心率为2，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为3，O 为坐标原点.(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.96．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国Ⅱ卷））设12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N ． （1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求,a b ．97．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））(本小题满分12分)已知圆()22:11M x y ++=，圆()22:19N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求AB ． 98．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2=1，圆N ：(x －1)2＋y 2=9，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线 C （1）求C 的方程；（2）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.99．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（课标卷））设抛物线C ：22x py =（p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ,D 两点.(Ⅰ)若090BFD ∠=,ABD ∆的面积为，求p 的值及圆F 的方程；(Ⅱ)若A ，B ，F 三点在同一条直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值.100．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（课标卷））设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为,l AC ，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,BD 两点；（1）若90,BFD ABD ∠=︒△的面积为；求p 的值及圆F 的方程；（2）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到,m n 距离的比值.解析几何真题专题答案1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设B 是椭圆22:15x C y +=的上顶点，点P 在C 上，则PB 的最大值为（ ）A ．52B C D ．2【答案】A【分析】设点()00,P x y ，因为()0,1B ，220015x y +=，所以()()()222222200000001251511426444PB x y y y y y y ⎛⎫=+-=-+-=--+=-++ ⎪⎝⎭，而011y -≤≤，所以当014y =-时，PB 的最大值为52． 故选：A ．2．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．2⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．0,2⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C【分析】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b -≤≤，当32bb c-≤-，即22b c ≥时，22max 4PB b =，即max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即02e <≤； 当32b b c ->-，即22b c <时，42222max b PB a b c=++，即422224b a b b c ++≤，化简得，()2220c b-≤，显然该不等式不成立． 故选：C ．3．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）点()3,0到双曲线221169x y -=的一条渐近线的距离为（ ） A ．95B ．85C ．65D ．45【答案】A【分析】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：220169x y -=，即340±=x y ，结合对称性，不妨考虑点()3,0到直线340x y +=的距离：95d ==.故选：A.4．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13 B ．12 C ．9 D ．6【答案】C【分析】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）． 故选：C ．二、多选题5．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（ ）A ．点P 到直线AB 的距离小于10 B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当PBA ∠最小时，PB =D ．当PBA ∠最大时，PB =【答案】ACD【分析】圆()()225516x y -+-=的圆心为()5,5M ，半径为4，直线AB 的方程为142x y+=，即240x y +-=， 圆心M 到直线AB的距离为45==>，所以，点P 到直线AB42<410+<，A 选项正确，B 选项错误； 如下图所示：当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，连接MP 、BM ，可知PM PB ⊥，BM ==4MP =，由勾股定理可得BP ==CD 选项正确.故选：ACD.三、填空题6．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________．【分析】由已知，3c ===，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以右焦点(3,0)到直线280x y +-===7．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）已知双曲线22:1(0)x C y m m-=>0my +=，则C 的焦距为_________． 【答案】40my +=化简得y =，即b a =，同时平方得2223b a m =，又双曲线中22,1a m b ==，故231m m=，解得3,0m m ==（舍去），2223142c a b c =+=+=⇒=，故焦距24c = 故答案为：48．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知12,F F 为椭圆C ：221164x y+=的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12PQ F F =，则四边形12PFQF 的面积为________． 【答案】8【分析】因为,P Q 为C 上关于坐标原点对称的两点， 且12||||PQ F F =，所以四边形12PFQF 为矩形， 设12||,||PF m PF n ==，则228,48m n m n +=+=， 所以22264()2482m n m mn n mn =+=++=+，8mn =，即四边形12PFQF 面积等于8.故答案为：8.9．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______. 【答案】32x =-【分析】抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直， 所以P 的横坐标为2p，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±, 不妨设(,)2pP p , 因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧，又||6FQ =，(6,0),(6,)2pQ PQ p ∴+∴=- 因为PQ OP ⊥，所以PQ OP ⋅=2602pp ⨯-=, 0,3p p >∴=，所以C 的准线方程为32x =- 故答案为：32x =-.四、解答题10．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2． （1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值. 【答案】（1）24y x =；（2）最大值为13. 【分析】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为222p p p ⎛⎫--== ⎪⎝⎭， 所以该抛物线的方程为24y x =；（2）设()00,Q x y ，则()00999,9PQ QF x y ==--， 所以()00109,10P x y -， 由P 在抛物线上可得()()200104109y x =-，即20025910y x +=，。
全国卷历年高考解析几何真题归类分析
全国卷历年高考解析几何真题归类分析2018(总15页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--全国卷历年高考解析几何真题归类分析（含答案）（2015年-2018年共11套） 解析几何小题（共23小题）一、直线与圆（4题）1.（2016年2卷4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-= 的距离为1，则a=（ ）（A ）43- （B ）34- （C ）3 （D ）2【解析】圆2228130x y x y +--+=化为标准方程为：()()22144x y -+-=， 故圆心为()14，，24111a d a +-==+，解得43a =-，故选A ．2.（2015年2卷7）过三点A （1,3），B （4,2），C （1,-7）的圆交于y 轴于M 、N 两点，则MN =（ ）（A ）26 （B ）8 （C ）46 （D ）10【解析】选C.由已知得314123-=--=AB k k CB ==3,所以k AB ·k CB =-1,所以AB⊥CB,即△ABC 为直角三角形,其外接圆圆心为(1,-2),半径r=5,所以外接圆方程为(x-1)2+(y+2)2=25,令x=0得y=±2-2,所以|MN|=4.3.（2016年3卷16）已知直线l ：330mx y m ++-=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别做l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，若23AB =，则||CD =__________________.【解析】取AB 的中点E,连接OE,过点C 作BD 的垂线,垂足为F,圆心到直线的距离d=23m 3m 1-+,所以在Rt△OBE 中,BE 2=OB 2-d 2=3,所以d=23m 3m 1-+=3,得m=-3,又在△CDF 中,∠FCD=30°,所以CD=CF cos30︒=4.4.（2018年3卷6）直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是A. B. C. D.【解析】A ，直线分别与轴，轴交于，两点,则点P 在圆上圆心为（2，0），则圆心到直线距离故点P 到直线的距离的范围为则二、椭圆（4题）1.（2015年1卷14）一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 .【解析】设圆心为（a ，0），则半径为4a -，则222(4)2a a -=+，解得32a =，故圆的方程为22325()24x y -+=. 2.（2107年3卷10）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）. A ．63B ．33C ．23D ．13【解析】因为以12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，所以圆心到直线的距离d 等于半径，即222ab d a a b==+，又因为0,0a b >>，则上式可化简为223a b =.因为222b ac =-，可得()2223a a c =-，即2223c a =，所以6c e a ==故选A.3.（2016年3卷11）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34【解析】选A.由题意可知直线AE 的斜率存在,设为k,直线AE 的方程为y=k ()x a +,令x=0可得点E 坐标为()0,ka ,所以OE 的中点H 坐标为ka 0,2⎛⎫⎪⎝⎭,又右顶点B(a,0),所以可得直线BM 的斜率为-k 2,可设其方程为y=-k 2x+k 2a,联立()y k x a ,k k y x a,22⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩可得点M 横坐标为-a3,又点M 的横坐标和左焦点相同,所以-a 3=-c,所以e=13.4.（2018年2卷12）已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为A. B. C. D.【解析】D ，因为为等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,由斜率为得，，由正弦定理得,所以，三、双曲线（10题）1.（2015年1卷5）已知M （00,x y ）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF •<，则0y 的取值范围是（ ） （A ）（-33，33 （B ）（-36，36） （C ）（2222） （D ）（2323【解析】由题知12(3,0),(3,0)F F -，220012x y -=，所以12MF MF •= 0000(3,)(3,)x y x y --•- =2220003310x y y +-=-<，解得033y <<故选A.2.（2016年1卷5）已知方程222213x y m n m n -=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是（A ）()1,3- （B ）()1,3- （C ）()0,3 （D ）()0,3【解析】选A.2222x y 1m n 3m n-=+-表示双曲线,则(m 2+n)(3m 2-n)>0,所以-m 2<n<3m 2,由双曲线性质知:c 2=(m 2+n)+(3m 2-n)=4m 2,其中c 是半焦距,所以焦距2c=2·2|m|=4,解得|m|=1,所以-1<n<3.3.（2107年3卷5）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为5y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为（ ） A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=【解析】 因为双曲线的一条渐近线方程为5y x =，则5b a =①又因为椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，易知3c =，则2229a b c +==②由①,②，解得2,5a b ==，则双曲线C 的方程为22145x y -=.故选B.4.（2018年2卷5）双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A.B.C.D.【解析】A ，因为渐近线方程为，所以渐近线方程为.5.（2107年2卷9）若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）.A ．2B ．3C ．2D ．233【解析】取渐近线b y x a=，化成一般式0bx ay -=，圆心()20，到直线的距离为2223b a b =+，得224c a =，24e =，2e =．6.（2017年1卷15）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点.若60MAN ∠=，则C 的离心率为________. 【解析】如图所示，OA a =，AN AM b ==.因为60MAN ∠=，所以32AP b =， 222234OP OA PA a b =-=-，从而2232tan 34b AP OP a b θ==-.又因为tan b a θ=，所以 223234b b a a b=-，解得223a b =，则221231133b e a =+=+=.7.（2015年2卷11）已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ） （A ）√5 （B ）2 （C ）√3 （D ）√2 【解析】选D.设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),如图所示,|AB|=|BM|,∠ABM=120°,过点M 作MN⊥x 轴,垂足为N,在Rt△BMN 中,|BN|=a,|MN|=a,故点M 的坐标为M(2a,a),代入双曲线方程得a 2=b 2=c 2-a 2,即c 2=2a 2,所以e=.8.（2016年2卷11）已知1F ，2F 是双曲线E ：22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠= ,则E 的离心率为（ ）θy=b aM P N A O yx（A ）2 （B ）32（C ）3 （D ）2 【解析】 离心率1221F F e MF MF =-，由正弦定理得12211222sin 321sin sin 13F F M e MF MF F F ====---．9.（2018年1卷11）已知双曲线C ：，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N.若OMN 为直角三角形，则|MN|=A. B. 3 C.D. 4【解析】B ，根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，从而得到，所以直线的倾斜角为或，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，可以得出直线的方程为，分别与两条渐近线和联立，求得，所以.10.（2018年3卷11）设是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为A. B. 2 C. D.【解析】C ，由题可知，，在中，在中,，四、抛物线（5题）1.（2108年1卷8）设抛物线C ：y2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为的直线与C 交于M ，N 两点，则=( )A. 5B. 6C. 7D. 8【解析】D ，根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立，消元整理得：，解得，又，所以，从而可以求得.2.（2016年1卷10）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=42,|DE|=25,则C 的焦点到准线的距离为（ ）(A)2 (B)4 (C)6 (D)8【解析】选B.以开口向右的抛物线为例来解答,其他开口同理可得. 设抛物线为y 2=2px(p>0),设圆的方程为x 2+y 2=r 2,题目条件翻译如图:设A(x 0,22),D p ,52⎛⎫- ⎪⎝,点A(x 0,22)在抛物线y 2=2px 上,所以8=2px 0. ① 点D p ,52⎛⎫- ⎪⎝在圆x 2+y 2=r 2上,所以5+2p 2⎛⎫- ⎪⎝⎭=r 2.②点A(x 0,22)在圆x 2+y 2=r 2上,所以20x +8=r 2. ③ 联立①②③解得:p=4,焦点到准线的距离为p=4.3.（2017年1卷10）已知F 为抛物线24C y x =：的焦点，过点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，则AB DE +的最小值为（ ）.A ．16B ．14C ．12D ．10【解析】设直线1l 的斜率为k ，则直线2l 的斜率为1k-，设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,D x y ，()44,E x y ，直线()11l k x =-，直线()21:1l y x k=--.联立 ()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，消去y 整理得()2222240k x k x k -++=，所以2122224424k AB x x p k k+=++=+=+，同理22342124441k DE x x p k k+=++==+，从而22184+16AB DE k k ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，当且仅当1k =±时等号成立.4.（2107年2卷16）已知F 是抛物线2:8C y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则FN = ． 【解析】由28y x =，得4p =，焦点为()20F ，，准线:2l x =-.如图所示，由M 为FN的中点，故易知线段BM 为梯形AFNC 的中位线.因为2CN =，4AF =，所以3MB =.又由抛物线的定义知MB MF =，且MN MF =，所以6NF NM MF =+=.5.（2108年3卷16）已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．【解析】2，设，则，所以，所以取AB 中点,分别过点A,B 作准线的垂线，垂足分别为，因为,，因为M’为AB 中点，所以MM’平行于x轴，因为M(-1,1)，所以，则即.解析几何解答题（共11小题）一、椭圆（7题）1.（2015年2卷）已知椭圆C:9x 2+y 2=m 2(m>0),直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A,B,线段AB 的中点为M. (1)证明:直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值.lFN M C BAOyx(2)若l 过点(,m),延长线段OM 与C 交于点P,四边形OAPB 能否为平行四边形?若能,求此时l 的斜率,若不能,说明理由.解：(1)设直线l :y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x M ,y M ).将y=kx+b 代入9x 2+y 2=m 2得(k 2+9)x 2+2kbx+b 2-m 2=0,故92221+-=+=k kbx x x M ， 992+=+=k b b k y M M .于是直线OM 的斜率kx y k M M OM9-== 即k OM ·k=-9,所以直线OM 的斜率与l 的斜率的积是定值.(2)四边形OAPB 能为平行四边形，因为直线l 过点(,m),所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k>0,k≠3，由(1)得OM 的方程为y=-x. 设点P 的横坐标为x p .由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=22299m y x x ky ，得8192222+=k m k x p ，即932+±=k km x p . 将点),3(m m 的坐标代入l 的方程得3)3(k m b -=，因此)9(3)3(2+-=k k k x M 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相评分，即P M x x =2. 于是k k 22=2⨯3+93+9，解得,k k 12=4-7=4+7.因为k i >0,k i ≠3,i=1,2,所以当l 的斜率为4-或4+时,四边形OAPB 为平行四边形.2.（2016年1卷）设圆x 2+y 2+2x-15=0的圆心为A,直线l 过点B(1,0)且与x 轴不重合, l 交圆A 于C,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E. (1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C1,直线l 交C1于M,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.【解析】(1)圆A 整理为(x+1)2+y 2=16,点A 坐标为(-1,0),如图,∵BE∥AC,则∠ACB=∠EBD,由|AC|=|AD|,则∠ADC=∠ACD,∴∠EBD=∠EDB,则|EB|=|ED|, ∴|AE|+|EB|=|AE|+|ED|=|AD|=4.所以E的轨迹为一个椭圆,方程为2x 4+2y 3=1(y≠0);(2)C1:2x 4+2y 3=1;设l :x=my+1,因为PQ⊥l ,设PQ:y=-m(x-1),联立l 与椭圆C1,22x my 1,x y 1,43⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得(3m2+4)y2+6my-9=0;则21m + ()222236m 363m 41m3m 4++++=()2212m13m 4++;圆心A 到PQ 距离()2m 111m---+22m1m +,所以22|AQ |d -224m 161m -+2243m 41m ++,∴SMPNQ=12|MN|·|PQ|=12·()222212m 143m 43m 41m++⋅++2224m 13m 4++=24 2113m 1++3).3.（2016年2卷）已知椭圆E:2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA⊥NA.（I ）当4t =，AM AN =时，求△A MN 的面积； （II ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.【解析】 ⑴当4t =时，椭圆E 的方程为22143x y +=，A 点坐标为()20-，，则直线AM 的方程为()2y k x =+．联立()221432x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩并整理得，()2222341616120k xk x k +++-=解得2x =-或228634k x k -=-+，则2222286121213434k AM k k k k -=+-+=+++ 因为AM AN ⊥，所以2221121211413341AN k k k kk ⎛⎫=+-=+⋅⎪⎝⎭⎛⎫++⋅- ⎪⎝⎭因为AM AN =，0k >212124343k k k=++， 整理得()()21440k k k --+=，2440k k -+=无实根，所以1k =．所以AMN △的面积为221112144223449AM⎫==⎪+⎭． ⑵直线AM的方程为(y k x =+，联立(2213x y t y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩并整理得， ()222223230tk x x t k t +++-=，解得x =或x =所以AM =+因为2AM AN =，所以2=，整理得，23632k k t k -=-． 因为椭圆E 的焦点在x 轴，所以3t >，即236332k k k ->-，整理得()()231202k k k +-<-2k <<．4.（2017年1卷）已知椭圆()2222:=10x y C a b a b+>>，四点()111P ，，()201P ，，3–12P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，412P ⎛ ⎝⎭，中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过点2P 且与C 相交于A ，B 两点.若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为–1，求证：l 过定点.解析：（1）根据椭圆对称性，必过3P ，4P ，又4P 横坐标为1，椭圆必不过1P ，所以过234P P P ，，三点.将()23011P P ⎛- ⎝⎭，，代入椭圆方程得222113141b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =， 21b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=． （2）①当斜率不存在时，设()():A A l x m A m y B m y =-，，，，，221121A A P A P B y y k k m m m----+=+==-，得2m =，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设()1l y kx b b =+≠∶，()()1122A x y B x y ，，，，联立22440y kx bx y =+⎧⎨+-=⎩， 消去y 整理得()222148440k x kbx b +++-=，122814kb x x k -+=+，21224414b x x k-⋅=+， 则22121211P A P By y k k x x --+=+()()21212112x kx b x x kx b x x x +-++-=222228888144414kb k kb kbk b k --++==-+ ()()()811411k b b b -=-+-，又1b ≠21b k ⇒=--，此时64k ∆=-，存在k 使得0∆>成立．所以直线l 的方程为21y kx k =--.当2x =时，1y =-，所以l 过定点()21-，．5.（2017年2卷）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆22:12x C y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.求证：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .解析：（1）设点()P x y ，，易知(0)N x ，，(0)NP y =，，又1022NM NP ⎛== ⎪⎝⎭，，所以点12M x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.又M 在椭圆C 上，所以22122x += ⎪⎝⎭，即222x y +=． （2）由题知()1,0F -，设()3,Q t -，(),P m n ，则()3,OQ t =-，()1,PF m n =---，33OQ PF m tn ⋅=+-，(),OP m n =，()3,PQ m t n =---，由1OP PQ ⋅=，得2231m m tn n --+-=.又由（1）知222m n +=，所以330m tn +-=，从而0OQ PF ⋅=，即OQ PF ⊥.又过点P存在唯一直线的垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过曲线C 的左焦点()1,0F -.6.（2018年1卷）设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）设为坐标原点，证明：.【解析】（1）由已知得，l的方程为x=1.由已知可得，点A的坐标为或.所以AM的方程为或.（2）当l与x轴重合时，.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为，，则，直线MA，MB的斜率之和为.由得,.将代入得，.所以，.则.从而，故MA，MB的倾斜角互补，所以.综上，.7.（2018年3卷）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．【解析】（1）设，则.两式相减，并由得.由题设知，于是.①由题设得，故.（2）由题意得，设，则.由（1）及题设得.又点P在C上，所以，从而，.于是.同理.所以.故，即成等差数列.设该数列的公差为d ，则.②将代入①得.所以l 的方程为，代入C 的方程，并整理得.故，代入②解得.所以该数列的公差为或.二、抛物线（4题）1.（2015年1卷）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=24x与直线y kx a =+（a ＞0）交与M,N 两点，（Ⅰ）当k=0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.解析：（Ⅰ）由题设可得(2,)M a a ，(22,)N a -，或(22,)M a -，(2,)N a a .∵12y x '=，故24xy =在x =22a a C 在(22,)a a 处的切线方程为(2)y a a x a --0ax y a --=.故24x y =在x =-22a 处的到数值为-a C 在(22,)a a -处的切线方程为(2)y a a x a -=-+，即0ax y a ++=.0ax y a --=0ax y a ++=. （Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：设P （0，b ）为复合题意得点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为12,k k .将y kx a =+代入C 得方程整理得2440x kx a --=.∴12124,4x x k x x a +==-.∴121212y b y b k k x x --+=+=1212122()()kx x a b x x x x +-+=()k a b a+. 当b a =-时，有12k k +=0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM=∠OPN，所以(0,)P a -符合题意.2.（2016年3卷）已知抛物线C:y2=2x 的焦点为F,平行于x 轴的两条直线l1,l2分别交C 于A,B 两点,交C 的准线于P,Q 两点. (1)若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明:AR∥FQ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程. 【解析】(1)由题意可知F 1,02⎛⎫⎪⎝⎭,设l1:y=a,l2:y=b 且ab≠0,A 2a ,a 2⎛⎫ ⎪⎝⎭,B 2b ,b 2⎛⎫⎪⎝⎭P 1,a 2⎛⎫- ⎪⎝⎭,Q 1,b 2⎛⎫- ⎪⎝⎭,R 1a b ,22⎛⎫+- ⎪⎝⎭,记过A,B 两点的直线方程为l,由点A,B 可得直线方程为2x-(a+b)y+ab=0,因为点F 在线段AB 上,所以ab+1=0,记直线AR 的斜率为k1,直线FQ 的斜率为k2,所以k1=2a b 1a -+,k2=b1122--=-b,又因为ab+1=0,所以k1=22a b a b 1aba a 1a a abb ---====-+-,所以k1=k2,即AR∥FQ.(2)设直线AB 与x 轴的交点为D ()1x ,0,所以S△ABF=1111a b FD a b x 222-=--,又S△PQF=a b 2-,所以由题意可得S△PQF=2S△ABF 即:a b 2-=2×12·11x 2a b ⋅--,解得x1=0(舍)或x1=1.设满足条件的AB 的中点为E(x,y).当AB 与x 轴不垂直时,由kAB=kDE 可得2ya b x 1=+-(x≠1).而21a b y =+,所以y2=x-1(x≠1).当AB 与x 轴垂直时,E 与D 重合,所以,所求轨迹方程为y2=x-1.3.（2017年3卷）已知抛物线22C y x =：，过点()20，的直线l 交C 与A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．（1）求证：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点()42P -，，求直线l 与圆M 的方程．解析：（1）显然当直线斜率为0时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．设:2l x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立222y xx my ⎧=⎨=+⎩，得2240y my --=，2416m ∆=+恒大于0，122y y m +=，124y y =-．OBOA ⋅1212OA OB x x y y ⋅=+1212(2)(2)my my y y =+++21212(1)2()4m y y m y y =++++= 24(1)2240m m m -++⋅+=，所以⊥，即点O 在圆M 上．（2）若圆M 过点P ，则⋅，即1212(4)(4)(2)(2)0x x y y --+++=，即1212(2)(2)(2)(2)0my my y y --+++=，即21212(1)(22)()80m y y m y y +--++=，化简得2210m m --=，解得12m =-或1.①当12m =-时，:240l x y +-=，设圆心为00(,)Q x y ，则120122y y y +==-，0019224x y =-+=，半径||r OQ ==，则圆229185:4216M x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.②当1m =时，:20l x y --=，设圆心为00(,)Q x y ，12012y y y +==，0023x y =+=，半径2231=10r OQ ==+，则圆22:(3)(1)10M x y -+-=.4.（2018年2卷）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，． （1）求的方程；（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．【解析】（1）由题意得F （1，0），l 的方程为y=k （x –1）（k>0）．设A （x1，y1），B （x2，y2）．由得．，故．所以．由题设知，解得k=–1（舍去），k=1．因此l 的方程为y=x –1．（2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），所以AB 的垂直平分线方程为，即．设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则解得或因此所求圆的方程为或．。
全国卷历年高考立体几何真题归类分析(含答案)
全国卷历年高考立体几何真题归类分析（含答案）类型一：直建系——条件中已经有线面垂直条件，该直线可以作为z轴或与z轴平行，底面垂直关系直接给出或容易得出（如等腰三角形的三线合一）。
这类题入手比较容易，第（Ⅰ）小问的证明就可以用向量法，第（Ⅱ）小问往往有未知量，如平行坐标轴的某边长未知，或线上动点等问题，以增加难度。
该类问题的突破点是通过条件建立方程求解，对于向上动点问题这主意共线向量的应用。
1.（2014年全国Ⅱ卷）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD 的中点.(Ⅰ)证明:PB∥平面AEC；(Ⅱ)设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=3，求三棱锥E-ACD的体积.2.（2015年全国Ⅰ卷）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.(Ⅰ)证明:平面AEC⊥平面AFC；(Ⅱ)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.3.（2015年全国Ⅱ卷）如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形. (Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由)；(Ⅱ)求直线AF与平面α所成角的正弦值.4.（2016年全国Ⅲ卷）如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥底面面ABCD ，AD ∥BC ，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．（I ）证明MN 平面PAB ；（II ）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.5.（2017全国Ⅱ卷）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，o 90BAD ABC ∠=∠=， E 是PD 的中点. （1）求证：直线//CE 平面PAB ； （2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成的锐角为45，求二面角M AB D --的余弦值.EM DCBAP类型二：证建系（1）——条件中已经有线面垂直条件，该直线可以作为z 轴或与z 轴平行，但底面垂直关系需要证明才可以建系（如勾股定理逆定理等证明平面线线垂直定理）。
压轴题06 解析几何压轴题(原卷版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用)
压轴题06解析几何压轴题题型/考向一：直线与圆、直线与圆锥曲线题型/考向二：圆锥曲线的性质综合题型/考向三：圆锥曲线的综合应用一、直线与圆、直线与圆锥曲线热点一直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：相交、相切和相离.判断方法：(1)点线距离法(几何法).(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，＋By＋C＝0，x－a）2＋（y－b）2＝r2，消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2.圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离.热点二中点弦问题已知A(x1，y1)，B(x2，y2)为圆锥曲线E上两点，AB的中点C(x0，y0)，直线AB 的斜率为k.(1)若椭圆E的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，则k＝－b2a2·x0y0；(2)若双曲线E的方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，则k＝b2a2·x0y0；(3)若抛物线E的方程为y2＝2px(p>0)，则k＝py0.热点三弦长问题已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，则|AB|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2（x1＋x2）2－4x1x2或|AB|＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2（y1＋y2）2－4y1y2.热点四圆锥曲线的切线问题1.直线与圆锥曲线相切时，它们的方程组成的方程组消元后所得方程(二次项系数不为零)的判别式为零.2.椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)在(x0，y0)处的切线方程为x0xa2＋y0yb2＝1；双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)在(x0，y0)处的切线方程为x0xa2－y0yb2＝1；抛物线y2＝2px(p＞0)在(x0，y0)处的切线方程为y0y＝p(x＋x0).热点五直线与圆锥曲线位置关系的应用直线与圆锥曲线位置关系的判定方法(1)联立直线的方程与圆锥曲线的方程.(2)消元得到关于x或y的一元二次方程.(3)利用判别式Δ，判断直线与圆锥曲线的位置关系.二、圆锥曲线的性质综合热点一圆锥曲线的定义与标准方程1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|).(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0＜2a＜|F1F2|).(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.2.求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值.热点二椭圆、双曲线的几何性质1.求离心率通常有两种方法(1)椭圆的离心率e ＝ca＝1－b 2a 2(0<e <1)，双曲线的离心率e ＝c a＝1＋b 2a2(e >1).(2)根据条件建立关于a ，b ，c 的齐次式，消去b 后，转化为关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或取值范围.2.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)共渐近线的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0).热点三抛物线的几何性质抛物线的焦点弦的几个常见结论：设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，α是弦AB 的倾斜角，则(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α.(3)1|FA |＋1|FB |＝2p.(4)以线段AB 为直径的圆与准线x ＝－p2相切.三、圆锥曲线的综合应用求解范围、最值问题的常见方法(1)利用判别式来构造不等关系.(2)利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系.(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式.(4)利用基本不等式.○热○点○题○型一直线与圆、直线与圆锥曲线一、单选题1．过圆224x y +=上的动点作圆221x y +=的两条切线，则连接两切点线段的长为（）A ．2B ．1C ．32D 2．过抛物线C ：()220y px p =>的焦点F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点，若2AF BF AB ⋅=，则抛物线C 的标准方程是（）A ．28y x=B ．26y x=C ．24y x=D ．22y x=3．若直线0x y a +-=与曲线2y =a 的取值范围是（）A ．[1B ．(1C ．[2,1D ．(14．已知抛物线22y px =的焦点为(2,0)，直线4x =与该抛物线交于A ，B 两点，则||AB =（）A ．4B ．C ．8D ．5．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过F C 交于A ，B 两点，D 为AB 的中点，且DM l ⊥于点M ，AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，四边形DMFN 的面积为，则p =（）A ．B ．4C ．D ．6．已知圆22:4C x y +=，直线l 经过点3,02P ⎛⎫⎪⎝⎭与圆C 相交于A ，B 两点，且满足关系22OM =+ （O 为坐标原点）的点M 也在圆C 上，则直线l 的斜率为（）A ．1B ．1±C ．D ．±7．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的上顶点为B ，斜率为32的直线l 交椭圆于M ，N 两点，若△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，则椭圆的离心率为（）A B C ．12D8．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线y =与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，若四边形12AF BF 为矩形，则C 的离心率为（）A．12B ．3C 1D 1+二、多选题9．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()()()222:210C x y r r -+-=>，过原点O 的直线l与圆C 交于A ，B 两点，则（）A ．当圆C 与y 轴相切，且直线l 的斜率为1时，2AB =B ．当3r =时，存在l ，使得CA CB⊥C ．若存在l ，使得ABC 的面积为4，则r 的最小值为D ．若存在两条不同l ，使得2AB =，则r 的取值范围为()1,310．已知0mn ≠，曲线22122:1x y E m n +=，曲线22222:1x y E m n-=，直线:1x y l m n +=，则下列说法正确的是（）A ．当3n m =时，曲线1E 离心率为223B ．当3n m =时，曲线2EC ．直线l 与曲线2E 有且只有一个公共点D ．存在正数m ，n ，使得曲线1E 截直线l 11．已知抛物线2:4C x y =，过焦点F 的直线l 与C 交于()()1122,,,A x y B x y 两点，12,x E >与F 关于原点对称，直线AB 和直线AE 的倾斜角分别是,αβ，则（）A ．cos tan 1αβ⋅>B ．AEF BEF ∠=∠C ．90AEB ∠>︒D ．π22βα-<12．已知双曲线22:145x y C -=的左､右焦点分别为12,F F ，过点2F 的直线与双曲线C 的右支交于,A B 两点，且1AF AB ⊥，则下列结论正确的是（）A ．双曲线C 的渐近线方程为y =B ．若P 是双曲线C 上的动点，则满足25PF =的点P 共有两个C ．12AF =D ．1ABF -2○热○点○题○型二圆锥曲线的性质综合一、单选题1．设1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，过2F 的直线交双曲线右支于A ，B 两点，若1123AF BF =，且223AF BF =，则该双曲线的离心率为（）A B ．2CD ．32．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，12F F =P 为C上一点，1PF 的中点为Q ，2PF Q △为等边三角形，则双曲线C 的方程为（）．A ．2212y x -=B ．2212x y -=C ．2222133x y -=D ．223318y x -=3．若椭圆22:12x y C m +=，则椭圆C 的长轴长为（）A ．6BC ．D ．4．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的实轴为4，抛物线22(0)y px p =>的准线过双曲线的左顶点，抛物线与双曲线的一个交点为(4,)P m ，则双曲线的渐近线方程为（）A ．y x =B ．y =C ．23y x=±D ．y =5．2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似伯努利双纽线.在平面直角坐标系xOy 中，把到定点()1,0F a -，()2,0F a 距离之积等于()20a a >的点的轨迹称为双纽线.已知点00(,)P x y 是双纽线C 上一点，有如下说法：①双纽线C 关于原点O 中心对称；②022a a y -≤≤；③双纽线C 上满足12PF PF =的点P 有两个；④PO.其中所有正确的说法为（）A ．①②B ．①③C ．①②③D ．①②④6．如图所示，1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，双曲线C 的右支上存在一点B 满足12BF BF ⊥，1BF 与双曲线C 的左支的交点A 平分线段1BF ，则双曲线C 的离心率为（）A ．3B ．23C 13D 157．已知椭圆1C 和双曲线2C 的焦点相同，记左、右焦点分别为1F ，2F ，椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，设点P 为1C 与2C 在第一象限内的公共点，且满足12PF k PF =，若1211e e k =-，则k 的值为（）A ．3B ．4C ．5D ．68．古希腊数学家阿波罗尼奧斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若从椭圆右焦点2F 发出的光线经过椭圆上的点A 和点B 反射后，满足AB AD ⊥，且3cos 5ABC ∠=，则该椭圆的离心率为（）．A ．12B ．22C 3D 5二、多选题9．已知曲线E ：221mx ny -=，则（）A ．当0mn >时，E 是双曲线，其渐近线方程为m y x n=B ．当0n m ->>时，E 是椭圆，其离心率为1n e m=+C ．当0m n =->时，E 是圆，其圆心为()0,01n-D ．当0m ≠，0n =时，E 是两条直线1x m=±10．2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）的正视图可以近似看成双纽线，在平面直角坐标系中，把到定点()1,0F a -和()2,0F a 距离之积等于()20a a >的点的轨迹称为双纽线，已知点()00,P x y 是双纽线C 上一点，则下列说法正确的是（）A ．若12F PF θ∠=，则12F PF △的面积为sin 2aθB ．022a a y -≤≤C ．双纽线C 关于原点O 对称D ．双纽线上C 满足12PF PF =的点P 有三个11．已知椭圆()222:1039x y C b b+=<<的左、右焦点分别为1F 、2F ，点)3,2M在椭圆内部，点N 在椭圆上，椭圆C 的离心率为e ，则以下说法正确的是（）A ．离心率e的取值范围为0,3⎛ ⎝⎭B ．存在点N ，使得124NF NF =C．当e =1NF NM +的最大值为6D ．1211NF NF +的最小值为112．已知P ，Q 是双曲线22221x y a b-=上关于原点对称的两点，过点P 作PM x ⊥轴于点M ，MQ 交双曲线于点N ，设直线PQ 的斜率为k ，则下列说法正确的是（）A ．k 的取值范围是b bk a a-<<且0k ≠B ．直线MN 的斜率为2kC ．直线PN 的斜率为222b kaD ．直线PN 与直线QN 的斜率之和的最小值为b a○热○点○题○型三圆锥曲线的综合应用1．已知椭圆()2222:10xy C a b a b+=>>倍，且右焦点为()1,0F ．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线():2l y k x =+交椭圆C 于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为23-．求直线l 的方程．2．已知抛物线C ：y 2＝2px 的焦点为F (1，0)，过F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，直线AO ，BO 分别与直线m ：x ＝－2相交于M ，N 两点．(1)求抛物线C 的方程；(2)求证：△ABO 与△MNO 的面积之比为定值．3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，右焦点F 到其中一条渐近线的距离为3(1)求双曲线C 的标准方程；(2)过右焦点F 作直线AB 交双曲线于,A B 两点，过点A 作直线1:2l x =的垂线，垂足为M ，求证直线MB 过定点.4．如图，平面直角坐标系xOy 中，直线l 与y 轴的正半轴及x 轴的负半轴分别相交于,P Q 两点，与椭圆22:143x y E +=相交于,A M 两点（其中M 在第一象限），且,QP PM N = 与M 关于x 轴对称，延长NP 交㮋圆于点B.(1)设直线,AM BN 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k 为定值；(2)求直线AB 的斜率的最小值.5．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，一条渐近线的倾斜角为60°，且C 上的点到F 的距离的最小值为1．(1)求C 的方程；(2)设点()0,0O ，()0,2M ，动直线l ：y kx m =+与C 的右支相交于不同两点A ，B ，且AFM BFM ∠=∠，过点O 作OH l ⊥，H 为垂足，证明：动点H 在定圆上，并求该圆的方程．。
全国高考试卷解析几何部分汇编下
年全国高考试卷解析几何部分汇编（下）1. （山东理）已知0a b >>，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 与2C 的离，则2C 的渐近线方程为( )．0x ±=0y ±= ．20x y ±= ．20x y ±=【解析】2. （山东理）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有||||FA FD =．当点A 的横坐标为时，ADF △为正三角形．⑴求C 的方程；⑵若直线1l l ∥，且1l 和C 有且只有一个公共点E ，①证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；②ABE △的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．【解析】 ⑴ 当A 的横坐标为3时，过A 作AG x ⊥轴于G ，3pAF =+32pFD AF ∴==+AFD △为等边三角形13224p FG FD ∴==+ 又32pFG =-33242p p∴+=-，2p ∴=，2:4C y x ∴= ⑵ （ⅰ）设11()A x y ，，11FD AF x ==+ ()120D x ∴+，，12AB y k ∴=-1//AB l l ，1112l k y ∴=-又1l 与C 相切，设切点()E E E x y ，, 214x y =，12x y '=，1122E y y -∴=，14E y y ∴=-22111444E x y y ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，211211444y E A y y y ⎛⎫⎛⎫∴- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，， 1211121214:444AEy y y l y y x y y +⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭-即()121414y y x y =--恒过点()10，∴直线AE 过定点()10，．（ⅱ）2111:24AB y y l y y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即21122244y x y y y x ⎧=-++⎪⎨⎪=⎩，得()2211880y y y y +-+=1218y y y +=-，2118y y y ∴=--12118+AB y y y y =-= 点E 到AB的距离d =32311121111184222222162242y y S AB d y y y y ∴=⋅=+++=+⨯=≥，当且仅当12y =±时，“=”成立．3. （山东文）圆心在直线20x y -=上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x轴所得弦的长为，则圆C的标准方程为 ．【解析】 ()()22214x y -+-= 4. （山东文）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且||FA c =，则双曲线的渐近线方程为 ．【解析】 y x =±由已知得2p b ==，抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为2p c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，即()c b -，代入双曲线方程为22221c b a b -=得222c a=，1b a ∴=∴渐近线方程为y x =±．故答案为y x =±．5. （山东文）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，直线y x =被椭圆C⑴求椭圆C 的方程；⑵过原点的直线与椭圆C 交于A B ，两点（A B ，不是椭圆C 的顶点）． 点D 在椭圆C 上，且AD AB ⊥，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点．①设直线BD ，AM 的斜率分别为12,k k ，证明存在常数λ使得12k k λ=，并求出λ的值； ②求OMN ∆面积的最大值．【解析】 ⑴c e a ==2c a n ==，，则b n =，椭圆方程为2224x y n +=设y x =与椭圆在第一象限的交点为()00x y ，则00x y =000x y ⎧=⎪⎪=∴⎨⎪=⎪⎩将代入椭圆得1n =，2214x y ∴+=⑵ 方法一：（ⅰ）设AB l ：y kx =2244y kx A B x y =⎛⎫⎛⎫⎧⇒⎨+=⎩， AD l：2211k y x y x k k +⎛⎫=-⇒=- ⎝2222222442242482402114x y k k k k x k k k k y x k ⎧+=⎛⎫++ ⎪⎪+⎪⎝⎭⇒++-=+⎨+⎪=--⎪⎩222216164D D k x k +=⇒=+3D y =3124kk -∴==+BD l:4k y x ⎛⎫=- ⎝ 令0y=0m x M ⎛⎫⇒=⇒⎪⎭22k k ∴==-121122k k λ∴=-∴=-，（ⅱ）0⎛⎫⎪⎭，对BD l:4k y x ⎛⎫-= ⎝ 令0x =得3N k y319121224OMNkSkk ∴==⨯+△14kk+≥4当且仅当12k=±时取等号[]max919248OMNS∴=⨯=△方法二：(ⅰ)设()()1122B x y D x y，，，则()11A x y--，1212ADy ykx x+=+221122221414xyxy⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()()()()121212124x x x xy y y y+-++-=即1212121214y y y yx x x x-+⋅=--+114ADk k∴⋅=-又AB AD⊥1AB ADk k∴⋅=-14ABk k∴=()111:BDl y y k x x-=-令0y=，111yx xk=-+令0x=，111y y k x=-()11111100yM x N y k xk⎛⎫∴-+-⎪⎝⎭，，，111211111111211222ABAByy x kk ky ykxkk x k====--⋅--⋅1212k k∴=-12λ∴=-(ⅱ)()11111112OMNyS x y k xk⎛⎫=-+-⎪⎝⎭△1114ykx=11999888OMNS x y∴===△[]max98OMNS∴=△当且仅当1x=“=”成立．6.（陕西理）若圆C的半径为，其圆心与点（，）关于直线y x=对称，则圆C的标准方程为．【解析】22(1)1x y+-=根据题意得点(10)，关于直线y x=对称的点(01)，为圆心，又半径1r=，所以圆C的标准方程为22(1)1x y+-=．7.（陕西理）如图，曲线C由上半椭圆1C：()2222100y xa b ya b+=>>，≥和部分抛物线2C：()210y x y=-+≤连接而成，1C与2C的公共点为A B，其中1C．⑴求a b，的值；⑵过点B的直线l与12C C，别交于点P Q，（均异于点A B，），若AP AQ⊥，求直线l的方程．【解析】⑴在12C C，的方程中，令0y=，可得1b=，且(10)(10)A B-，，，是上半椭圆1C的左，右顶点．设1C的半焦距为c，由ca=及2221a c b-==得2a=．21a b∴==，．⑵解法一：由⑴知，上半椭圆1C的方程为221(0)4yx y+=≥．易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程(1)(0)y k x k=-≠，代入1C的方程，整理得2222(4)240k x k x k+-+-=*（）设点P的坐标为()p px y，，直线l过点B，1x∴=是方程*（）的一个根．由求根公式，得2244pkxk-=+，从而284pkyk-=+，∴点P的坐标为22248()44k kk k--++，．同理，由2(1)(0)1(0)y k x ky x y=-≠⎧⎨=-+⎩≤，，得点Q的坐标为2(12)k k k----，．22(4)(12)4kAP k AQ k kk∴=-=-++，，，．Ap AQ AP AQ∴⊥∴⋅=，，即222[4(2)]04kk kk--+=+，04(2)0k k k ∴≠∴-+=，解得83k =-．经检验，83k =-符合题意，故直线l 的方程为8(1)3y x =--．解法二：若设直线l 的方程为1(0)x my m =+≠，比照解法一给分．8. （陕西文）抛物线24y x =的准线方程为． 【解析】 1x =- 9. （陕西文）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过点(0，离心率为12，左右焦点分别为12(0)(0)F c F c -，，，． ⑴求椭圆的方程；⑵若直线1:2l x m =-+与椭圆交于点A B ，，与以12F F 为直径的圆交于C D ，两点，且满足AB CD =求直线l 的方程．【解析】 ⑴由题设知2221,2,b c a b a c ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎩解得2a =，b =1c =，∴椭圆的方程为22143x y +=．⑵ 由⑴知，以12F F 为直径的圆的方程为221x y +=， ∴圆心到直线l的距离d =，由1d <得5||2m <．（*）∴||CD ==．设()()1122A x y B x y ，，由2212143y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得22=0x mx m -+ 有212123x x m x x m +==-，AB =由||||AB CD =1=，解得m =，满足（*）∴直线l 的方程为12y x =-+或12y x =-．10. （上海理）在平面直角坐标系xoy 中，对于直线:0l ax by c ++=和点111(,)P x y ，222(,)P x y记1122()()ax by c ax by c η=++++,若0η<，则称点12,P P 被直线l 分隔。
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全国卷真题汇总：解析几何小题 姓名________班级____1.(2018·全国卷I 文)已知椭圆C :x 2a2+y 24=1的一个焦点为(2,0),则C 的离心率为( )A .13B .12C .√22D .2√232.(2018·全国卷II 高考理科·T12)已知F 1,F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左,右焦点,A 是C 的左顶点,点P 在过A 且斜率为√36的直线上,△PF 1F 2为等腰三角形,∠F 1F 2P =120°,则C 的离心率为 ( ) A .23B .12C .13D .143.(2018·全国卷II 高考文科·T11)已知F 1,F 2是椭圆C 的两个焦点,P 是C 上的一点,若PF 1⊥PF 2,且∠PF 2F 1=60°,则C 的离心率为 ( ) A .1-√32B .2-√3C .√3-12D .√3-14.(2018·全国卷II 高考理科·T5) 同(2018·全国卷II 高考文科·T6)双曲线x 2a2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为√3,则其渐近线方程为 ( ) A .y =±√2xB .y =±√3xC .y =±√22xD .y =±√32x5.(2018全国Ⅲ理科T11)设F 1,F 2是双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左,右焦点,O 是坐标原点.过F 2作C 的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF 1|=√6|OP |,则C 的离心率为 ( )A .√5B .2C .√3D .√26.(2018·全国Ⅲ高考文科·T10)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为√2,则点(4,0)到C 的渐近线的距离为 ( )A .√2B .2C .3√22D .2√27.(2018全国卷I 理科T11)已知双曲线C :x 23-y 2=1,O 为坐标原点,F 为C 的右焦点,过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ,N.若△OMN 为直角三角形,则|MN |= ( )A .32B .3C .2√3D .48.(2018·全国卷I 高考理科·T8)设抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,过点(-2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ,N 两点,则·= ( )A .5B .6C .7D .89.(2018·全国Ⅲ高考理科·T16)已知点M (-1,1)和抛物线C :y 2=4x ,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ,B 两点.若∠AMB =90°,则k = .10.(2017·全国乙卷文科·T12)设A,B是椭圆C:23x+2ym=1长轴的两个端点,若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是()A.(0,1]∪[9,+∞)B.(0∪[9,+∞) C.(0,1]∪[4,+∞) D.(0, ∪[4,+∞)11.(2017·全国丙卷·理科·T10)已知椭圆C:22xa+22yb=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A.B.D.1312.(2017·全国丙卷·文科·T11)同(2017·全国丙卷·理科·T10)已知椭圆C:22xa+22yb=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A.3B.3C.3D.1313.(2017全国丙卷理科T5)已知双曲线C:22xa-22yb=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=2x,且与椭圆212x+23y=1有公共焦点,则C的方程为()A.212x-210y=1 B.24x-25y=1 C.25x-24y=1 D.24x-23y=114.(2017·全国甲卷理科·T9)若双曲线C:22xa-22yb=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为()A.215.(2017·全国甲卷文·T5)若a>1,则双曲线22xa-y2=1的离心率的取值范围是()A.,+∞) B.,2) C.(1) D.(1,2)16.（2017·全国乙卷文科·T5)已知F是双曲线C:x2-23y=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3).则△APF的面积为()A.13B.12C.23D.3217.(2017·全国乙卷理科·T15)已知双曲线C:22xa -22yb=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为.18.(2017·全国丙卷·文科·T14)双曲线22xa-29y=1(a>0)的一条渐近线方程为y=35x,则a= .19.(2017·全国乙卷理科·T10)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A.16B.14C.12D.1020.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T5)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为()A.13B.12C.23D.3421.(2016·全国卷Ⅲ·文科·T12)与(2016·全国卷3·理科·T11)相同已知O为坐标原点,F是椭圆C:2222x ya b=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为()A.13B.12C.23D.3422.(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T5)已知方程2222x y 1m n 3m n-=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是 ( ) A.(-1,3) B.(-1C.(0,3)D.(023.(2016·全国卷Ⅱ理科·T11)已知F 1,F 2是双曲线E :2222x y -a b=1的左、右焦点,点M在E 上,MF 1与x 轴垂直,sin ∠MF 2F 1=13,则E 的离心率为 ( )B.32D.224.(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ,B 两点,交C 的准线于D ,E 两点.已知|AB|=4|DE|=2则C 的焦点到准线的距离为 ( ) A.2 B.4 C .6 D.825.(2016·全国卷Ⅱ文科·T5)设F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点,曲线y=k x (k>0)与C 交于点P ,PF ⊥x 轴,则k= ( ) A.12 B.1 C.32D.226.(2015·新课标全国卷Ⅰ理科·T5)已知M(x 0,y 0)是双曲线C:x 22-y 2=1上的一点,F 1,F 2是C 的两个焦点,若MF 1→·MF 2→<0,则y 0的取值范围是 ( ) A .（-，） B.（-，） C.（，） D.（，） 27.(2015·新课标全国卷Ⅱ理科·T11)已知A,B 为双曲线E 的左、右顶点,点M 在E 上,△ABM 为等腰三角形,且顶角为120°,则E 的离心率为 ( ) A.√5 B.2C.√3D.√228.(2015·新课标全国卷Ⅱ文科·T15)已知双曲线过点(4,√3),且渐近线方程为y=±12x,则该双曲线的标准方程为 .29.(2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T10)设F 为抛物线C:y 2=3x 的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( ) A.4 B. 8 C. 6332D.9433333636223-223233-233参考答案1.(2018·全国卷I 高考文科·T4)已知椭圆C :x 2a2+y 24=1的一个焦点为(2,0),则C 的离心率为( )A .13B .12C .√22D .2√23【解析】选C .因为椭圆的一个焦点为(2,0),则c =2, 所以a 2=b 2+c 2=8,a =2√2,所以离心率e =√22.2.(2018·全国卷II 高考理科·T12)已知F 1,F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左,右焦点,A 是C 的左顶点,点P 在过A 且斜率为√36的直线上,△PF 1F 2为等腰三角形,∠F 1F 2P =120°,则C 的离心率为 ( ) A .23B .12C .13D .14【命题意图】本题考查了椭圆的标准方程和椭圆的性质的应用以及数学运算能力. 【解析】选D .由题意直线AP 的方程为y =√36(x +a ),△PF 1F 2为等腰三角形,∠F 1F 2P =120°,所以PF 2=2c ,∠PF 2x =60°,故P (2c ,√3c ),代入y =√36(x +a )得,√36(2c +a )=√3c ,解得e =c a =14.3.(2018·全国卷II 高考文科·T11)已知F 1,F 2是椭圆C 的两个焦点,P 是C 上的一点,若PF 1⊥PF 2,且∠PF 2F 1=60°,则C 的离心率为 ( ) A .1-√32B .2-√3C .√3-12D .√3-1【命题意图】本题考查椭圆的定义和性质的应用,考查了学生的运算和转化能力.【解析】选D .在直角三角形PF 1F 2中,F 1F 2=2c ,∠PF 2F 1=60°, 所以PF 1=√3c ,PF 2=c ,又PF 1+PF 2=2a ,所以√3c +c =2a , 解得e =ca =3+1=√3-1.1.(2018·全国卷II 高考理科·T5) 同(2018·全国卷II 高考文科·T6)双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为√3,则其渐近线方程为 ( ) A .y =±√2x B .y =±√3x C .y =±√22xD .y =±√32x【命题意图】本题考查双曲线的简单几何性质. 【解析】选A .因为e =ca =√3,所以c 2a 2=a 2+b 2a 2=3,即b 2a 2=2,ba =±√2,所以渐近线方程为y =±√2x.2.(2018·全国Ⅲ高考理科·T11)设F 1,F 2是双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左,右焦点,O 是坐标原点.过F 2作C 的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF 1|=√6|OP |,则C 的离心率为 ( ) A .√5 B .2 C .√3 D .√2 【命题意图】本题以双曲线作为问题背景,考查直线的交点,双曲线的几何性质及离心率的求解,考查逻辑推理能力、运算求解能力,体现了逻辑推理和数学运算的核心素养.试题难度:中.【解析】选C .方法一:设渐近线的方程为bx -ay =0,则直线PF 2的方程为ax +by -ac =0,由{ax +by -ac =0,bx -ay =0,可得P (a 2c ,ab c ),由F 1(-c ,0)及|PF 1|=√6|OP |,得√(a 2c +c)2+(ab c )2=√6×√(a 2c )2+(ab c )2,化简可得3a 2=c 2,即e =√3.方法二:因为|PF 2|=b ,|OF 2|=c ,∴|PO |=a ,在Rt △POF 2中,设∠PF 2O =θ,则有cos θ=|PF 2||OF 2|=bc ;∵在△PF 1F 2中,cos θ=|PF 2|2+|F 1F 2|2-|PF 1|22·|PF 2|·|F 1F 2|=bc,∴b 2+4c 2-(√6a )22b ·2c=bc⇒b 2+4c 2-6a 2=4b 2⇒4c 2-6a 2=3c 2-3a 2⇒c 2=3a 2⇒e =√3.3.(2018·全国Ⅲ高考文科·T10)已知双曲线C :x 2a2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为√2,则点(4,0)到C 的渐近线的距离为 ( )A .√2B .2C .3√22D .2√2【命题意图】本小题主要考查圆锥曲线的应用,意在考查双曲线的离心率、渐近线,以及基本运算能力,培养学生的运算能力,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养.【解析】选D .方法一(直接法):由已知,双曲线C 的一条渐近线为y =ba x ,即bx -ay =0, 所以点(4,0)到C 的渐近线的距离为d =√b 2+a2=4bc, 因为a 2+b 2=c 2,离心率e =ca =√2,所以e 2=c 2a2=2,a 2=c 22,c 22+b 2=c 2,b 2=c 22,b 2c 2=12,b c =√22,所以d =2√2.方法二(数形结合):画图草图,记C 的递增的渐近线斜率为k ,倾斜角为α,点P (4,0)到C 的渐近线的距离为d ,则k =tan α=ba (借助以角α为内角的直角三角形,α对边为b ,邻边为a ,由勾股定理求得斜边c),所以sinα=√a2+b2=bc ,又离心率e=ca=√2, 记c=√2t,则a=t,所以b=t,sinα=bc =√2 2,在Rt△OPQ中,sinα=d4,所以d4=√22,所以d=2√2.6.(2018·全国卷I高考理科·T11)已知双曲线C:x 23-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|= ()A.32B.3C.2√3D.4【解析】选B.渐近线方程为:x 23-y2=0,即y=±√33x,所以∠MON=π3.因为△OMN为直角三角形,假设∠ONM=π2,如图,所以k MN=√3,直线MN方程为y=√3(x-2).联立{y=-√33x, y=√3(x-2),所以N(32,-√32),即ON=√3,因为∠MON=π3,所以|MN|=3.1.(2018·全国卷I高考理科·T8)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ,N 两点,则·= ( )A .5B .6C .7D .8【解题指南】在求解的过程中,首先需要根据题意确定直线的方程,之后需要联立方程组,消元化简求解,从而确定出M (1,2),N (4,4),之后借助于抛物线的方程求得F (1,0),最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标,之后应用向量数量积坐标公式求得结果,也可以不求点M ,N 的坐标,应用根与系数的关系得到结果.【解析】选D .由题意知直线MN 的方程为y =23(x +2),F (1,0). 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),与抛物线方程联立有{y =23(x +2),y 2=4x , 可得{x 1=1,y 1=2或{x 2=4,y 2=4,所以=(0,2),=(3,4),所以·=0×3+2×4=8.2.(2018·全国Ⅲ高考理科·T16)已知点M (-1,1)和抛物线C :y 2=4x ,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ,B 两点.若∠AMB =90°,则k = . 【命题意图】本题以直线与抛物线作为问题背景,考查直线与抛物线的位置关系,抛物线的几何性质,考查逻辑推理能力、运算求解能力,体现了逻辑推理和数学运算等核心素养.试题难度:难.【解析】由抛物线的方程y 2=4x 可知其焦点F 的坐标为(1,0),所以直线AB 的方程为y =k (x -1),由{y =k (x -1),y 2=4x ,得k 2x 2-2(k 2+2)x +k 2=0, 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 所以x 1+x 2=2(k 2+2)k 2,x 1x 2=1,因为∠AMB =90°,所以·=(x 1+1,y 1-1)·(x 2+1,y 2-1)=(x 1+1)(x 2+1)+(y 1-1)(y 2-1)=(x 1+1)(x 2+1)+[k (x 1-1)-1]·[k (x 2-1)-1]=(1-k -k 2)(x 1+x 2)+(1+k 2)x 1x 2+k 2+2k +2 =(1-k -k 2)2(k 2+2)k 2+(1+k 2)+k 2+2k +2=0,整理可解得k =2. 答案:21.(2017·全国乙卷文科·T12)设A ,B 是椭圆C :23x +2y m=1长轴的两个端点,若C 上存在点M 满足∠AMB=120°,则m 的取值范围是 ( )A.(0,1]∪[9,+∞)B.(0]∪[9,+∞)C.(0,1]∪[4,+∞)D.(0, ∪[4,+∞)【命题意图】本题主要考查椭圆的性质,利用椭圆的性质解决相关问题.【解析】选A.当0<m<3时,焦点在x轴上,要使C上存在点M满足∠AMB=120°,则ab≥tan60°得0<m≤1;当m>3时,焦点在y轴上,要使C上存在点M满足∠AMB=120°,则ab≥tan60°=得m≥9,故m的取值范围为(0,1]∪[9,+∞),故选A.3.(2017·全国丙卷·理科·T10)已知椭圆C:22xa+22yb=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A.B.D.13【命题意图】本题考查椭圆的性质及直线和圆的位置关系,考查学生的运算求解能力.【解析】选A.直线bx-ay+2ab=0与圆相切,所以圆心到直线的距离=a,整理得a2=3b2,即a2=3(a2-c2)⇒2a2=3c2,即22ca=23,e=ca4.(2017·全国丙卷·文科·T11)同(2017·全国丙卷·理科·T10)已知椭圆C:22xa+22yb=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()D.13【命题意图】本题考查椭圆的性质及直线和圆的位置关系,考查学生的运算求解能力.【解析】选A.直线bx-ay+2ab=0与圆相切,所以圆心到直线的距离,整理为a 2=3b 2,即a 2=3(a 2-c 2)⇒2a 2=3c 2,即22c a=23,e=c a =31.(2017·全国丙卷·理科·T5)已知双曲线C :22x a -22y b =1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=,且与椭圆212x +23y =1有公共焦点,则C 的方程为 ( ) A.212x -210y =1 B.24x -25y =1 C.25x -24y =1 D.24x -23y =1【命题意图】本题考查双曲线标准方程和性质,考查学生的运算求解能力.【解析】选B.由题意可得:b a= c=3,又a 2+b 2=c 2,解得a 2=4,b 2=5,则C 的方程为24x -25y =1.【光速解题】根据渐近线方程可判断a<b ,排除C ,D ,根据c=3,可直接选B.2.(2017·全国甲卷理科·T9)若双曲线C : 22x a -22y b=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y 2=4所截得的弦长为2,则C 的离心率为 ( )D.3【命题意图】双曲线的几何性质与圆的标准方程,弦长,通过距离的运算考查了学生的运算能力,通过求离心率考查了几何性质的应用.【解析】选A.圆心到渐近线bx ±ay=0,所以2bcc=2a ⇒e=2. 3.(2017·全国甲卷文·T5)若a>1,则双曲线22x a-y 2=1的离心率的取值范围是 ( )A.,+∞)B.,2)C.(1)D.(1,2)【命题意图】双曲线的几何性质,通过离心率的取值范围的运算考查了学生的几何性质的应用和运算能力.【解析】选C.由题意e2=22ca=221aa=1+21a,因为a>1,所以1<1+21a<2,则.6.（2017·全国乙卷文科·T5)已知F是双曲线C:x2-23y=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3).则△APF的面积为()A.13B.12C.23D.32【命题意图】本题主要考查双曲线的图象和性质.【解题指南】由双曲线方程求得F(2,0),结合PF与x轴垂直可得PF=3,最后由A的坐标是(1,3),求出△APF的面积.【解析】选D.由c2=a2+b2=4得c=2,所以F(2,0),将x=2代入x2-23y=1,得y=±3,所以|PF|=3,又A的坐标是(1,3),故△APF的面积为12×3×(2-1)=32,故选D二、填空题7.(211.(2017·全国乙卷理科·T15)已知双曲线C:22xa -22yb=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为.【命题意图】本题主要考查双曲线的性质,并与圆巧妙结合,利用点到直线距离公式求双曲线的离心率,考查考生解决问题的综合能力.【解析】如图,OA=a,AN=AM=b,因为∠MAN=60°,所以APb,OP=所以tanθ=APOP,又因为tanθ=ba,=ba,解得a2=3b2,.答案:3【反思总结】双曲线渐近线是其独有的性质,所以有关渐近线问题受到出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点:解渐近线,直接把双曲线后面的1换成0即可;②双曲线的焦点到渐近线的距离是b;③双曲线的顶点到渐近线的距离是ab c.9.(2017·全国丙卷·文科·T14)双曲线22xa-29y=1(a>0)的一条渐近线方程为y=35x,则a= .【命题意图】本题考查双曲线的定义,考查学生运算求解的能力.【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为:y=±3ax,结合题意可得:a=5.答案:51.(2017·全国乙卷理科·T10)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l 1,l 2,直线l 1与C 交于A ,B 两点,直线l 2与C 交于D ,E 两点,则|AB|+|DE|的最小值为 ( ) A.16B.14C.12D.10【命题意图】考查抛物线的相关性质,并以抛物线为载体考查直线与抛物线位置关系问题. 【解析】选A.方法一:设直线l 1方程为y=k 1(x-1),联立方程()2141x y x y k ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 得21kx 2-221kx-4x+21k=0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),D (x 3,y 3),E (x 4,y 4),所以x 1+x 2=-221122112424k k k k --+=, 同理直线l 2与抛物线的交点满足x 3+x 4=222224k k+,由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x 1+x 2+x 3+x 4+2p =222124k k++222224k k++4=214k +224k+8≥+8=16,当且仅当k 1=-k 2=1(或-1)时,取得等号. 方法二:不妨设AB 倾斜角为θ02πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭.作AK 1垂直于准线,垂足为K 1,AK 2垂直x 轴,垂足为K 2,准线交x 轴于点G ,易知()()11cos ==22AF GF AF p p GF pAK AK θ⎧⎪⋅+=⎪⎪⎨⎪⎛⎫⎪--= ⎪⎪⎝⎭⎩几何关系抛物线特性所以AF ·cos θ+p=AF , 同理AF =1cos P θ-,BF =1cos P θ+,所以AB =221cos P θ-=22sin Pθ,又DE 与AB 垂直,即DE 的倾斜角为2π+θ, DE =222sin P πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=22cos Pθ, 而y 2=4x ,即p=2.所以AB +DE =2p 2211sincos θθ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭=42222sin cos sin cos θθθθ+=224sin cos θθ=24124sin θ =2162sin θ≥16,当θ=4π取等号, 即AB +DE 最小值为16,故选A.1.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T5)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为 ( ) A.13B.12C.23D.34【解析】选B.设椭圆的标准方程为22x a +22y b=1(a>b>0),右焦点F (c ,0),则直线l 的方程为xc +y b =1,即bx+cy-bc=0,由题意可知12b ,又a 2=b 2+c 2,得b 2c 2=14b 2a 2, 所以e=c a =12.2.(2016·全国卷Ⅲ·文科·T12)与(2016·全国卷3·理科·T11)相同已知O 为坐标原点,F 是椭圆C :2222x y a b+ =1(a>b>0)的左焦点,A ,B 分别为C 的左,右顶点.P为C 上一点,且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E.若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为 ( ) A.13B.12C.23D.34【解题指南】点M是直线AE和直线BM的交点,点M的横坐标和左焦点相同,进而找到a,b,c的联系.【解析】选A.由题意可知直线AE的斜率存在,设为k,直线AE的方程为y=k()x a+,令x=0可得点E坐标为()0,ka,所以OE的中点H坐标为ka0,2⎛⎫⎪⎝⎭,又右顶点B(a,0),所以可得直线BM的斜率为-k2,可设其方程为y=-k2x+k2a,联立()y k x a,k ky x a,22⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩可得点M横坐标为-a3,又点M的横坐标和左焦点相同,所以-a3=-c,所以e=13.1.(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T5)已知方程2222x y1m n3m n-=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()A.(-1,3)B.(-1,) C.(0,3) D.(0)【解析】选A.2222x y1m n3m n-=+-表示双曲线,则(m2+n)(3m2-n)>0,所以-m2<n<3m2,由双曲线性质知:c2=(m2+n)+(3m2-n)=4m2,其中c是半焦距,所以焦距2c=2·2|m|=4,解得|m|=1,所以-1<n<3.2.(2016·全国卷Ⅱ理科·T11)已知F1,F2是双曲线E:2222x y-a b=1的左、右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=13,则E的离心率为()B.32D.2【解题指南】△MF1F2为焦点三角形,可联想到双曲线的定义.知道sin∠MF2F1=13,可想到正弦定理.利用正弦定理转化边的比为角的正弦的比.【解析】选A.离心率e=1221F F MF MF -,由正弦定理得e=1221F F MF MF -=12sinMsinF sinF -=3113-=.1.(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ,B 两点,交C 的准线于D ,E 两点.已知|AB|=4|DE|=2则C 的焦点到准线的距离为 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8【解析】选B.以开口向右的抛物线为例来解答,其他开口同理可得. 设抛物线为y 2=2px (p>0),设圆的方程为x 2+y 2=r 2,题目条件翻译如图:设A (x 0,2D p2⎛-⎝, 点A (x 0,2在抛物线y 2=2px 上,所以8=2px 0. ①点D p 2⎛- ⎝在圆x 2+y 2=r 2上,所以5+2p 2⎛⎫- ⎪⎝⎭=r 2. ②点A (x 0,2在圆x 2+y 2=r 2上,所以20x +8=r 2. ③ 联立①②③解得:p=4,焦点到准线的距离为p=4.2.(2016·全国卷Ⅱ文科·T5)设F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点,曲线y=k x(k>0)与C 交于点P ,PF ⊥x 轴,则k= ( ) A.12B.1C.32D.2【解题指南】P 是两条曲线的交点,先利用抛物线方程y 2=4x 求出交点坐标,再代入曲线方程y=k x.【解析】选D.因为抛物线方程是y 2=4x ,所以F (1,0).又因为PF ⊥x 轴,所以P (1,2),把P 点坐标代入曲线方程y=kx(k>0),即k1=2,所以k=2. (2015·新课标全国卷Ⅰ理科·T5)已知M(x 0,y 0)是双曲线C:x 22-y 2=1上的一点,F 1,F 2是C 的两个焦点,若MF 1→·MF 2→<0,则y 0的取值范围是 ( ) A .（-，） B.（-，） C.（） D.（，）【解题指南】将M(x 0,y 0)代入到双曲线x 22-y 2=1中,确定x 0,y 0之间的关系,利用M 1F u u r ·M 2F u u r<0,确定y 0的取值范围.【解析】选A.因为)0,3(1-F ,)0,3(2F ,122020=-y x ， 所以),3(0021y x MF ---=⋅),3(200y x --⋅032020<-+=y x ，即01320<-y ，解得33330<<-y 9.(2015·新课标全国卷Ⅱ理科·T11)已知A,B 为双曲线E 的左、右顶点,点M 在E 上,△ABM 为等腰三角形,且顶角为120°,则E 的离心率为 ( ) A.√5B.2C.√3D.√2【解题指南】求出点M 的坐标,代入到双曲线方程x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)中,得出a,b,c 之间的关系,然后确定离心率.【解析】选D.设双曲线方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0),如图所示,333336363-33-3|AB|=|BM|,∠ABM=120°,过点M 作MN ⊥x 轴,垂足为N, 在Rt △BMN 中,|BN|=a,|MN|=√3a,故点M 的坐标为M(2a,√3a), 代入双曲线方程得a 2=b 2=c 2-a 2,即c 2=2a 2,所以e=√2.18.(2015·新课标全国卷Ⅱ文科·T15)已知双曲线过点(4,√3),且渐近线方程为y=±12x,则该双曲线的标准方程为 .【解题指南】由双曲线渐近线方程为y=±12x,设出双曲线方程为x 24-y 2=m,将点(4,√3)代入双曲线方程求得m 的值.【解析】根据双曲线渐近线方程为，可设双曲线的方程为 ，把代入，得.答案： (2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T10)设F 为抛物线C:y 2=3x 的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( )A.B. C. 6332D.94【解题提示】将三角形OAB 的面积通过焦点“一分为二”,设出AF,BF,利用抛物线的定义求得面积.【解析】选D.设点A,B 分别在第一和第四象限,AF=2m,BF=2n,则由抛物线的定义和直角三角形知识可得,2m=2·34·34解得m=32),n=32),所以m+n=6.所以12y x =±224x y m -=(3224x y m -=1m =2214x y -=S △OAB =1324·(m+n)=94.故选D.。
全国高考试卷解析几何部分汇编上
年全国高考试卷解析几何部分汇编（上）1. （安徽理）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a b ， ，=1a b =，0a b ⋅=，点Q 满足()2OQ a b =+．曲线{}|cos sin 02πC P OP a b θθθ==+<，≤，区域{}|0P r PQ R r R Ω=<≤≤≤，．若C Ω∩为两段分离的曲线，则（ ）．13r R <<< ．13r R <<≤．13r R <<≤．13r R <<<【解析】根据题意不妨设(10)a =，，()01b =， ()2(2OQa b ∴=+=，，cos sin (cos sin )OP a b θθθθ=+=，，()2cos sin PQ θθ∴=2π)θ=< ⎝≤．13PQ ∴≤≤．易知曲线C 为单位圆，又区域||0|P r PQ R r R Ω=<<≤≤，，且C Ω∩为两段分离的曲线， 结合图形可知，[][13]r R ⊂≠，，且端点不重合，13r R ∴<<<．故选．2. （安徽理）设12F F ，分别是椭圆E ：2221(01)y x b b+=<<的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于A B，两点．若1123AF F B AF x =，⊥轴，则椭圆E 的方程为．【解析】 22312x y += 不妨设点A 在第一象限，2AF x ⊥轴，∴2()A c b ，（其中221010c b b c =-<<>，，）．又113AF F B =，∴由113AF F B =得2533c b B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，代入2221y x b +=得24225199c b b +=，又221c b =-，∴223b =． 故椭圆E 的方程为22312x y +=．3. （安徽理）如图，已知两条抛物线1E ：2112(0)y p x p =>，和2E ：2222(0)y p x p =>，过原点O 的两条直线1l 和2l ，1l 与12E E ，分别交于12A A ，两点，2l 与12E E ，分别交于12B B ，两点． ⑴证明：1122A B A B ∥；⑵过O 作直线l （异于12l l ，）与12E E ，分别交于12C C ，两点．记111A B C △与222A B C △的面积分别为1S 与2S ，求12S S 的值．第(19)题图【解析】 ⑴ 证明：设直线12l l ，的方程分别为1212(0)y k x y k x k k ==，，≠，则由1212y k x y p x =⎧⎪⎨=⎪⎩，，得11121122p p A k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．由1222y k x y p x =⎧⎪⎨=⎪⎩，，得22221122p p A k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．同理可得1122122222222222p p p p B B k k k k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，．所以1111111222221212121222211112p p p p A B p k k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，2222222222221212121222211112p p p p A B p k k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，故111222pA B A B p =，所以1122A B A B ∥．⑵ 由⑴知1122A B A B ∥，同理可得11221122B C B C C A C A ∥，∥． 所以111222A B C A B C △△∽． 因此2111222A B S S A B ⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭又由⑴中的111222p A B A B p =知111222A B pp A B =．故211222S p S p =． 4. （安徽文）抛物线214y x =的准线方程是（ ） ．1y =- ．2y =- ．1x =- ．2x =-【解析】由214y x =得24x y =，焦点在y 轴正半轴上，且24p =，即2p =，因此准线方程为12py =-=-．5. （安徽文）过点()1P -的直线l 与圆221x y +=有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ） ．π06⎛⎤ ⎥⎝⎦， ．π03⎛⎤ ⎥⎝⎦， ．π06⎡⎤⎢⎥⎣⎦，， ．π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】过P 点作圆的切线PA PB 、，连结OP ，如图所示．显然，直线PA 的倾斜角为0，又2OF==，PA ，1OA =，因此π6OPA ∠=，由对称性知，直线PB 的倾斜角为π3．若直线l 与圆有公共点，由图形知其倾斜角的取值范围是π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．故选．6. （安徽文）设1F ，2F 分别是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于A B ，两点，11||3||AF BF =⑴若2||4AB ABF =，△的周长为，求2||AF ； ⑵若23cos 5AF B ∠=，求椭圆E 的离心率． 【解析】 ⑴ 由1134AF F B AB ==，，得13AF =，11F B =．因为2ABF △的周长为，所以由椭圆定义可得416a =，1228AF AF a +==． 故212835AF a AF =-=-=．⑵ 设1F B k =，则0k ＞且13AF k =，4AB k =． 由椭圆定义可得223AF a k =-，22BF a k =-． 在2ABF △中，由余弦定理可得222222222cos AB AF BF AF BF AF B =+-⋅∠，即()()()()()222642322325k a k a k a k a k =-+----． 化简可得()()30a k a k +-=，而0a k +＞，故3a k =．于是有213AF k AF ==，25BF k =．因此22222BF F A AB =+，可得12F A F A ⊥， 12AF F △为等腰直角三角形．从而c =，所以椭圆E的离心率c e a ==． 评析 本题考查椭圆的定义，余弦定理解三角形等知识，同时考查方程的思想，解题时利用条件列出方程是关键，解方程是难点．7. （北京理）设双曲线C 经过点(22)，，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为；渐近线方程为．【解析】 221312x y -=；2y x =±双曲线2214y x -=的渐近线为2y x =±，故C 的渐近线为2y x =±设C ：224y x m -=并将点(22)，代入C 的方程，解得3m =-故C 的方程为2234y x -=-，即221312x y -=8. （北京理）已知椭圆22:24C x y +=,⑴求椭圆C 的离心率. ⑵设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，试判断直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论.【解析】 ⑴ 椭圆的标准方程为：22142x y +=，2a =，b =则cc e a ==； ⑵ 直线AB 与圆222x y +=相切．证明如下： 法一：设点A B ,的坐标分别为()()002x y t ,,,，其中00x ≠． 因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=，即0020tx y +=，解得02y t x =-． 当0x t =时，202t y =-，代入椭圆C的方程，得t =故直线AB的方程为x =O 到直线AB的距离d = 此时直线AB 与圆222x y +=相切． 当0x t ≠时，直线AB 的方程为()0022y y x t x t--=--， 即()()0000220y x x t y x ty ---+-=． 圆心O 到直线AB 的距离d =又220024x y +=，02y t x =-，故d ===此时直线AB 与圆222x y +=相切． 法二：由题意知，直线OA 的斜率存在，设为k ，则直线OA 的方程为y kx =，OA OB ⊥， ①当0k =时，()20A ±,，易知()02B ,，此时直线AB 的方程为2x y +=或2x y -+=，原点到直线ABAB 与圆222x y +=相切； ②当0k ≠时，直线OB 的方程为1y x k=-，联立2224y kx x y =⎧⎨+=⎩得点A的坐标⎛⎫,或⎛⎫⎝； 联立12y x k y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得点B 的坐标()22k -,，由点A 的坐标的对称性知，无妨取点A ⎛⎫,进行计算， 于是直线AB的方程为：))2222y x k x k k-=+=+，即((21220k x y k -+++=， 原点到直线AB 的距离d ==此时直线AB 与圆222x y +=相切． 综上知，直线AB 一定与圆222x y +=相切． 法三：①当0k =时，()20A ±,，易知()02B ,，此时22OA OB =,=，AB =AB的距离OA OB d AB⋅===，此时直线AB 与圆222x y +=相切； ②当0k ≠时，直线OB 的方程为1y x k=-，设()()1122A x yB x y ,,,，则1OA，2OB =联立2224y kx x y =⎧⎨+=⎩得点A的坐标⎛⎫,或⎛⎫, ⎝；于是A OA ==，OB =，21k AB +=所以OA OB d AB⋅===AB 与圆222x y +=相切；综上知，直线AB 一定与圆222x y +=相切9. （北京文）已知圆C ：22(3)(4)1x y -+-=和两点(0)(0)(0)A m m m ->，，，．若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ）．． ． ．【解析】10.（北京文）设双曲线C的两个焦点为(0)0)，一个顶点是(10)，，则C 的方程为．【解析】 221x y -=11. （北京文）已知椭圆C ：2224x y +=．⑴求椭圆C 的离心率；⑵设O 为原点．若点A 在直线2y =上，点B 在椭圆C 上，且OA OB ⊥，求线段AB 长度的最小值．【解析】 ⑴ 由题意，椭圆C 的标准方程为22142x y +=．所以24a =，22b =，从而2222c a b =-=．因此2a =，c =故椭圆C 的离心率c e a ==． ⑵ 设点A ，B 的坐标分别为()2t ，，()00x y ，，其中00x ≠． 因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=， 即0020tx y +=，解得02y t x =-． 又220024x y +=，所以()()222002AB x t y =-+-()22000022y x y x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭222002044y x y x =+++()220200224442x x x x --=+++()22002084042x x x =++<≤． 因为()22002084042x x x +<≥≤，且当204x =时等号成立，所以28AB ≥．故线段AB长度的最小值为12. （大纲理）已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的左、右焦点为1F 、2F．过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B △的周长为C 的方程为（ ）．22132x y += ．2213x y += ．221128x y += ．221124x y += 【解析】13. （大纲理）已知双曲线C 的离心率为，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若12||2||F A F A =，则21cos AF F ∠=（ ） ．14．13【解析】14. （大纲理文）直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为()13，，则1l 与2l 的夹角的正切值等于． 【解析】 4315. （大纲理文）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5||||4QF PQ =． ⑴求C 的方程；⑵过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相交于M 、N 两点，且A 、M 、B 、N 四点在同一圆上，求l 的方程【解析】 ⑴ 设()04Q x ，代入22y px =得08x p=所以088||||22p p PQ QF x p p==+=+，．由题设得85824p p p+=⨯，解得1p =- （舍）或2P =- 所以C 的方程为24y x =．⑵ 依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为()10x my m =+≠． 代入24y x =得2440y my --=．设()11A x y ，，()22B x y ，，则121244y y m y y +==-，．故AB 的中点为()22 1.2D m m +．()212|||41AB y y m -=+． 又l '的斜率为m - ，所以'l 的方程为123x y m m=-++将上式代入24y x =，并整理得()2244230y y m m+-+=． 设()()3344M x y N x y ，，，，则344y y m +=-，()234423y y m =-+．故MN 的中点 为222223E m mm ⎛⎫++- ⎪⎝⎭，，(234241|||m MN y y m +=-=．由于MN 垂直平分AB ，故A 、M 、B 、N 四点在同一圆上的等价于1||||||2AE BE MN ==，从而22211||||||44AB DE MN +=．即()()()2222222244121224122m m m m m m m ++⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简得210m -=，解得1m =或1m =-．所求直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=．16. （大纲文）已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的左、右焦点为1F 、2F．过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B △的周长为C 的方程为（ ）．22132x y += ．2213x y += ．221128x y += ．221124x y += 【解析】17. （大纲文）双曲线C ：()2222100x y a b a b-=>>，C 的焦距等于（ ）．． ．4．【解析】18. （福建理）直线1l y kx =+∶与圆221O x y +=∶相交于A B ，两点，则“1k =”是“OAB △的面积为12”的（ ）．充分而不必要条件 ．必要而不充分条件 ．充分必要条件 ．既不充分又不必要条件【解析】19. （福建理）设P Q ，分别为()2262x y +-=和椭圆22110x y +=上的点，则P Q ，两点间的最大距离是（ ）．．7．【解析】20. （福建理）已知双曲线2222:1(00)x y E a b a b-=>>，的两条渐近线分别为1222l y x l y x ==-∶，∶．⑴求双曲线E 的离心率； ⑵如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线12l l ，于A B ，两点（A B ，分别在第一，四象限），且OAB △的面积恒为，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由．【解析】 解法一：⑴ 因为双曲线E 的渐近线分别为22y x y x ==-，，所以2ba=2=，从而双曲线E 的离心率ce a=⑵ 由⑴知，双曲线E 的方程为222214x y a a-=．设直线l 与x 轴相交于点C ．当l x ⊥轴时，若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点，则4OC a AB a ==，， 又因为OAB △的面积为， 所以182OC AB ⋅=， 因此1482a a ⋅=，解得2a =，此时双曲线E 的方程为221416x y -=．若存在满足条件的双曲线E ，则E 的方程只能为221416x y -=． 以下证明：当直线l 不与x 轴垂直时，双曲线E ：221416x y -=也满足条件．设直线l 的方程为y kx m =+，依题意，得2k >或2k <-，则0m C k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．记1122()()A x y B x y ，，，．由2y kx m y x =+⎧⎨=⎩，得122m y k =-，同理得222m y k =+由1212OAB S OC y y =⋅-△得， 1228222m m m k k k-⋅-=-+，即222444(4)m k k =-=-． 由2y kx m y x =+⎧⎨=⎩得122m y k =-，同理得222m y k =+因为240k -<，所以2222244(4)(16)16(416)k m k m k m ∆=+-+=---， 又因为224(4)m k =-，所以0∆=，即l 与双曲线E 有且只有一个公共点．因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为221416x y -=．解法二：⑴同解法一．⑵ 由⑴知，双曲线E 的方程为222214x y a a-=．设直线l 的方程为x my t =+，1122()()A x y B x y ，，，． 依题意得1122m -<<，由2x my t y x=+⎧⎨=⎩，得1212t y m =-，同理得2212ty m -=+．设直线l 与x 轴相交于点C ，则(0)C t ，． 由12182OAB S OC y y =⋅-=△，得122821212t t t m m ⋅+=-+， 所以2224144(14)t m m =-=-．由222214x my t x y aa =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得，2222(41)84(4)0m y mty t a -++-=． 因为2410m -<，直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当 222226416(41)()0m t m t a ∆=---=，即222240m a t a +-=，即222244(14)0m a m a +--=，即22(14)(4)0m a --=， 所以24a =．因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为221416x y -=．解法三：⑴同解法一．⑵ 当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程为1122()()y kx m A x y B x y =+，，，，． 依题意得2k >或2k <-，由2240y kx m x y =+⎧⎨-=⎩，得，222(4)20k x kmx m ---=， 因为2400k -<∆>，，所以21224m x x k -=-，又因为OAB △的面积为，所以1sin 82OA OB AOB ⋅⋅=∠，又易知4sin 5AOB =∠，8，化简124x x = 所以2244m k-=-，即224(4)m k =-． 由⑴得双曲线E 的方程为222214x y a a-=，由222214x kx m x y aa =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得，2222(4)240k x kmx m a ----=， 因为240k -<，直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当 222244(4)(4)0k m k m a ∆=+-+=，即22(4)(4)0k a --=，所以24a =，所以双曲线E 的方程为221416x y -=．当l x ⊥轴时，由OAB △的面积等于可得l ：2x =，又易知l ：2x =与双曲线E ：221416x y -=有且只有一个公共点．综上所述，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为221416x y -=．21. （福建文）已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是 （ ）．20x y +-=．20x y -+=．30x y +-=．30x y -+=【解析】22. （福建文）已知曲线Γ上的点到点(01)F ，的距离比它到直线3y =-的距离小.⑴求曲线Γ的方程；⑵曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A ，直线3y =分别与直线l 及y 轴交于点M ， N ，以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B ，试探究：当点P 在曲线Γ上运动（点P 与原点不重合）时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论.【解析】 本小题主要考查抛物线的定义与性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想、化归与转化思想，满分分． 解法一：⑴ 设()S x y ，为曲线Γ上任意一点， 依题意，点S 到(01)F ，的距离与它到直线1y =-的距离相等， 所以曲线Γ是以点(01)F ，为焦点、直线1y =-为准线的抛物线，所以曲线Γ的方程为24x y =． 解法二：⑴ 设()S x y ，为曲线Γ上任意一点，则(3)2y --=依题意，点()S x y ，只能在直线3y =-的上方，所以3y >-，1y +． 化简得，曲线Γ的方程为24x y =．⑵ 当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变，证明如下： 由⑴知抛物线Γ的方程为214y x =，设000()(0)P x y x ，≠，则20014y x =， 由1'2y x =，得切线l 的斜率 001'|2x x k y x ===， 所以切线l 的方程为0001()2y y x x x -=-，即200124y x x x =-． 由20011240y x x x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得0102A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．由20011243y x x x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得001632M x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，．又(03)N ，，所以圆心001334C x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，半径0011324r MN x x==+．AB =．所以点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变．23. （广东理）若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的（）．焦距相等 ．实半轴长相等 ．虚半轴长相等 ．离心率相等 【解析】24. （广东理）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的一个焦点为0)．⑴求椭圆C 的标准方程；⑵若动点00(,)P x y 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程．【解析】⑴ 2222231294a b c a x y c b a c ⎧=+⎪=⎧⎪⇒⇒+==⎨⎨=⎩⎪⎪=⎩；⑵ 设切点为11(,)A x y ，22(,)B x y ，PA 方程：11111493694x x y yx x y y +=⇔+=，1149PA x k y =-，PB 方程：22221493694x x y yx x y y +=⇔+=，2249PB x k y =-，由PA 与PB 垂直得1212116810PA PB k k x x y y ⋅=-⇒+=……①AB 方程：00000441949x x y y x y x y y +=⇔=-+，椭圆方程：224936x y +=， 联立得到：22220000(94)72324810y x x x x y +-+-=，于是01222007294x x x y x +=+， ……②21222003248194y x x y x -=+ ……③①式⇒ 20102120120102000044441681()()0(9)(9)099x x x x x x y x x x x x x y y y y +-+-+=⇒+--= 220012012()9()810x y x x x x x ⇒+-++=，再代入②、③，得到：222000222200003248172()98109494y x x y x y x y x -+⋅-⋅+=++ 24222200000011799013y y x y x y ⇒--=⇒+=．25. （广东文）若实数k 满足05k <<，则曲线221165x y k -=-与曲线221165x y k -=-的（ ）．实半轴长相等 ．虚半轴长相等 ．离心率相等 ．焦距相等【解析】26. （广东文）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为0)，．⑴求椭圆C 的标准方程； ⑵若动点00()P x y ，为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．【解析】 ⑴由题意得c∵c e a ==， ∴3a =，∴2b ，∴椭圆C 的标准方程为22194x y +=．⑵ 当过P 点的两条切线的斜率均存在时，不妨设为1k 、2k ，则过P 点的切线方程可设为()0000y y k x x y kx y kx -=-⇒=+-，由0022194y kx y kx x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，有()()()22200004918940k x k y kx x y kx ⎡⎤++-+--=⎣⎦，()()()222000018449940k y kx k y kx ⎡⎤⎡⎤∆=--+⨯--=⎣⎦⎣⎦， 整理得()22200009240x k x y k y -+-+=， ∴()212020439y k k x x -=±-≠， 由已知得121k k =-，∴202419y x -=--， ∴220013x y +=，即此时点P 的轨迹方程为220013x y +=．当两条切线中有一条垂直于x 轴时，此时两条切线方程应分别为3x =，2y =或3x =-，2y =或3x =2y =-或3x =-，2y =-，P 点坐标为()32，或()32-，或()32-，或()32--，，均满足方程()22000133x y x +=±≠．综上所述，所求P 点的轨迹方程为220013x y +=．27. （湖北理）已知12F F ，是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且12π3F PF ∠=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）． ．2【解析】解法一：设椭圆方程为221122111(0)x y a b a b +=＞＞，离心率为1e ，双曲线的方程为 222222221(00)x y a b a b -=＞，＞，离心率为2e ，它们的焦距为2c ，不妨设P 为两曲线在第一象限的交点，12F F ，分别为左，右焦点，则易知12112222PF PF a PF PF a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，，解得112212PF a a PF a a ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，．在12F PF △中，由余弦定理得22212121212()()2()()cos604a a a a a a a a c ++--+⋅-，º= 整理得2221234a a c +=，所以22122234a a c c+=，即2212134e e +=．设a 121⎛= ⎝⎭e ，b 1⎛= ⎝⎭， 1211∴+=e e a ⋅b a b ⋅=≤=故1211+e e解法二：不妨设P 在第一象限，12PF m PF n ==，． 在12PF F △中，由余弦定理得2224m n mn c +-=．设椭圆的长轴长为12a ，离心率为1e ，双曲线的实轴长为22a ，离心离为2e ，它们的焦距为2c ，则12121122m n m n a a m e e c c c +-+++===．22222221211441m m e e c m n mn n n m m ⎛⎫∴+=== ⎪+-⎛⎫⎝⎭-+ ⎪⎝⎭， 易知21n n m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最小值为34．故12max11e e ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．故选．评析 本题考查了椭圆、双曲线的定义、方程和性质；考查了利用不等式和函数求最值的基本方法．本题对运算能力的要求较高．28. （湖北理）直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b +=． 【解析】 2由题意知直线1l 和2l 与单位圆C 所在的位置如图．因此1111==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩，或，a a b b 故22112a b +=+=．评析 本题考查了直线和圆的位置关系，考查了直线的斜率和截距，考查了数形结合的思想方法．正确画出图形求出a 和b 的值是解题的关键．29. （湖北理文）在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()10F ，的距离比它到y 轴的距离多，记点M 的轨迹为C ．⑴求轨迹为C 的方程⑵设斜率为k 的直线l 过定点()21P -，，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k 的相应取值范围．【解析】 ⑴ 设点()M x y ，，依题意得1MF x =+，1x +， 化简整理得22()y x x =+．故点M 的轨迹C 的方程为24000x x y x ⎧=⎨⎩，，，＜．≥⑵ 在点M 的轨迹C 中，记21240(0)C y x C y x ==，＜，∶∶ 依题意，可设直线l 的方程为1(2)y k x -=+．由方程组21(2)4y k x y x -=+⎧⎨=⎩，，可得244(21)0ky y k -++= ①（ⅰ）当0k =时，此时1y =．把1y =代入轨迹C 的方程，得14x =． 故此时直线l ∶1y =与轴迹C 恰好有一个公共点114⎛⎫⎪⎝⎭，．（ⅱ）当0k ≠时，方程①的判别式为216(21)k k ∆=-+-． ②设直线l 与x 轴的交点为0(0)x ，，则 由1(2)y k x -=+，令0y =，得021k x k+=-． ③ （）若000x ∆⎧⎨⎩＜，＜，则由②③解得1k -＜或12k ＞．即当1(1)2k ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭，，时，直线l 与1C 没有公共点，与2C 有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点．（）若000x ∆=⎧⎨⎩，＜或000x ∆⎧⎨⎩＞，，≥则由②③解得112k ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，或102k ＜-≤．即当112k ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，时，直线l 与1C 只有一个公共点，与2C 有一个公共点．当102k ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 没有公共点．故当110122k ⎡⎫⎧⎫∈--⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭，，时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点．（）若000x ∆⎧⎨⎩＞，＜，则由②③解得112k --＜＜或102k ＜＜．即当111022k ⎛⎫⎛⎫∈--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．综上可知，当{}1(1)02k ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭，，时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当110122k ⎡⎫⎧⎫∈--⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭，，时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当111022k ⎛⎫⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．评析 本题考查了直线和抛物线的位置关系，考查了数形结合的方法，灵活地利用差别式是求解的关键．盲目利用抛物线的定义而漏掉射线0(0)y x =＜就会造成错解而失分．30. （湖北文）设a b ，是关于t 的方程2cos sin 0t t θθ+=的两个不等实根，则过()2A a a ，，()2B b b ，两点的直线与双曲线22221cos sin x y θθ-=的公共点的个数为（ ） ． ． ．．【解析】31. （湖北文）已知圆22:1O x y +=和点()20A -，，若定点(0)B b ，(2)b ≠-和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有||||MB MA λ=，则⑴b = ； ⑵λ= ．【解析】 ⑴12-；⑵1232. （湖南理）如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b ()a b <，原点O 为AD 的中点，抛物线()220y px p =>经过C ，F 两点，则ba=．【解析】1由题可得22a a C a F b b ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，则2222a paab p b ⎧=⎪⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩1a b ⇒1．33. （湖南理）在平面直角坐标系中，O 为原点，()1,0A -，(0,B ，()3,0C ，动点D 满足||1CD =，则OA OB OD ++的最大值是．【解析】1动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆，则设为()[)()3cos sin 02πθθθ+∈，，， 则()(3OA OB OD ++==因为2cos θθ+，所以OA OB OD ++的最大值为1=+．34. （湖南理）如图，O 为坐标原点，椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为1e ；双曲线2C ：22221x y a b-=的左、右焦点分别为3F ，4F ，离心率为2e ．已知12e e =且24||1F F =．⑴求1C ，2C 的方程；⑵过1F 作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ，M为AB 的中点，当直线OM 与2C交于P ，Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．【解析】 ⑴由题可得12e e ==12F F=， 因为12e e =24F F=1=a ⇒且1b a =,=所以椭圆1C 方程为2212x y +=，双曲线2C 的方程为2212x y -=．⑵ 由⑴可得()110F -，，因为直线AB 不垂直于y 轴，所以设直线AB 的方程为1x my =-，联立直线与椭圆方程可得()222210m y my +--=，则222A B m y y m +=+，则22Mmy m =+， 因为()M M M x y ，在直线AB 上，所以2222122M mx m m -=-=++． 直线PQ 的方程为2M M y m y x x x ==-，代入双曲线方程，可得2242x m =-，2222m y m =-，且220m ->，从而PQ ==设点A 到直线PQ 的距离为d ，则点B 到直线PQ 的距离也为d ，所以2d =，因为A B ，在PQ的异侧，所以222A B m y y d +-=又A B y y -=，因此2d =．于是四边形APBQ 的面积为1222S PQ d =⋅==，当且仅当20m =即0m =时S 取得最小值2．35. （湖南文）若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则m =（ ）．21．19．9．11-【解析】36. （湖南文）在平面直角坐标系中，O 为原点，()10A -，，(0B ，()30C ，，动点D 满足 1CD =，则OA OB OD ++的取值范围是（ ）．[]46，．1⎤⎦．⎡⎣．1⎤-⎦【解析】37. （湖南文）平面上一机器人在行进中始终保持与点()10F ，的距离和到直线1x =-的距离相等．若机器人接触不到过点()10P -，且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是．【解析】 ()(),11,-∞-+∞38. （湖南文）如图，O 为坐标原点，双曲线221112211:1(00)x y C a b a b -=>>，和椭圆222222222:1(0)x y C a b a b +=>>均过点1)P ，，且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为的正方形． ⑴求12C C ，的方程；⑵是否存在直线l ，使得l 与1C 交于A B ，两点，与2C 只有一个公共点，且||||OA OB AB +=？证明你的结论．图5【解析】 ⑴ 设2C 的焦距为22c ，由题意知222c =，122a =，从而11a =，21c =．因为点,1P ⎫⎪⎪⎝⎭在双曲线22211y x b -=上，所以22111b -=⎝⎭，故213b =． 由椭圆的定义知22a ==于是2a =2222222b a c =-=，故12,C C 的方程分别为2213y x -=，22132y x +=⑵ 不存在符合题设条件的直线．（）若直线l 垂直于x 轴，因为l 与2C 只有一个公共点，所以直线l 的方程为x 或x =当x =A，B，所以22OA OB +=，23AB =， 此时，OA OB AB +≠．当x =OA OB AB +≠． （）若直线l 不垂直于x 轴，设l 的方程为y kx m =+，由22,13y kx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得()2223230k x kmx m ----=．当l 与1C 相交于,A B 两点时，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1x ，2x 是上述方程的两个实根，从而12223kmx x k +=-，212233m x x k +=-．于是，()22221212122333k m y y k x x km x x m k -=+++=-由22,132y kx m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222234260k x kmx m +++-=因为直线l 与2C 只有一个公共点，所以上述方程的判别式 ()()22221682330k m k m ∆=-+-=．化简，得2223k m =-，因此2222121222233330333m k m k OA OB x x y y k k k +---⋅=+=+=≠---，于是222222OA OB OA OB OA OB OA OB ++⋅≠+-⋅， 即222||||OA OB OA OB +≠-，故||||OA OB AB +≠． 综合（），（）可知，不存在符合题设条件的直线．39. （江苏理）在平面直角坐标系xOy 中，直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为． 【解析】∵圆心(2,1)-到直线230x y +-=的距离d =∴直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为 40. （江苏理）如图，在平面直角坐标系xOy 中，12F F 、分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，顶点B的坐标为()0b ，，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结1F C ．⑴若点C 的坐标为4133⎛⎫⎪⎝⎭，，且2BF =⑵若1FC AB ⊥，求椭圆离心率e 的值． 【解析】 ⑴ ∵41,33C ⎛⎫⎪⎝⎭，∴22161991a b +=，即221619a b +=∵22222BF b c a =+=，∴222a ==，∴21b =∴椭圆方程为2212x y +=⑵ 设焦点()1,0F c -，()2,0F c ，∵()0,B b ，∴直线:bAB y x b c=-+与椭圆方程联立得22221x y a b b y x bc ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，整理得2221120x x a c c ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭解得0x =或2222a cx a c =+∵22222222,a c a b A b a c a c ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，且A C 、关于x 轴对称 ∴22222222,a c a bC b a c a c ⎛⎫-⎪++⎝⎭(第17题)∴12222222322223F C a bb a b bc a c k a c a c c ca c --+==+++ ∵1AB CF ⊥∴222313a b bc b a c c c -⎛⎫⨯-=- ⎪+⎝⎭由222b ac =-得2215c a =，即e 41. （江西理）在平面直角坐标系中，A B ，分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（） ．4π5 ．3π4．(6π- ．5π4【解析】由题意得以AB 为直径的圆C 过原点O ，圆心C 为AB 的中点，设D 为切点，要使圆C 的面积最小，只需圆的半径最短，也只需OC CD +最小，其最小值为OE （过原点O 作直线240x y +-=的垂线，垂足为E ）的长度，由点到直线的距离公式得OE =∴圆C面积的最值为24ππ5=．故选．42. （江西理）过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于,A B ，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于．【解析】设()11A x y ，，()22,B x y ，则2211221x y a b +=①，2222221x y a b+=②①、②两式相减并整理得2121221212y y x x b x x a y y -+=-⋅-+ 把已知条件代入上式得，221222b a -=-⨯，∴2212b a =，故椭圆的离心率e =43. （江西理）如图，已知双曲线()222:10x C y a a-=>的右焦点F ，点A B ，分别在C 的两条渐近线上，AF x ⊥轴，AB OB ⊥，BF OA ∥(O 为坐标原点）． ⑴求双曲线C 的方程；⑵过C 上一点()()0000P x y y ≠，的直线l ：0021x xy y a -=与直线AF 相交于点M，与直线32x =相交于点N ．证明：当点P 在C 上移动时，MF NF 恒为定值，并求此定值．【解析】 ⑴ 设(),0F c ，因为1b =，所以c =直线OB 的方程为1y x a =-，直线BF 的方程为()1y x c a =-解得,22cc B a ⎛⎫- ⎪⎝⎭．又直线OA 的方程1y x a =，则,c A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，322ABc c a a k c a c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭==-．又因为AB OB ⊥，所以311a a ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，解得23a =，故双曲线C 的方程为2213x y -=．⑵ 由⑴知a =l 的方程为()000103x xy y y -=≠，即0033x x y y -=．因为直线AF 的方程为2x =，所以直线l 与AF 的交点为00232,3x M y ⎛⎫- ⎪⎝⎭．直线l 与直线32x =的交点为003332,23x N y ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭则()()()()()()()20222200022222200000202332323||49||39333223441243x y x x MF y NF y x x x y ---===⋅+-⎛⎫+-- ⎪⎝⎭+ 因为()00P x y ，是C 上一点，则220013x y -=代入上式得()()()22200222200002323||444||3341293332x x MF NF x x x x --=⋅=⋅=-+-+-所求定值为||||MF NF ==． 44. （江西文）过双曲线C ：22221x y a b-=的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于A ．若以C 的右焦点为圆心、半径为的圆经过A O 、两点（O 为坐标原点），则双曲线C 的方程为（ ）．221412x y -= ．22179x y -= ．22188x y -= ．221124x y -= 【解析】45. （江西文）设椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点为12F F ，，作2F 作x 轴的垂线与C 交于A B ，两点，1F B 与y 轴交于点D ，若1AD F B ⊥，则椭圆C 的离心率等于．【解析】3 46. （江西文）如图，已知抛物线C ：24x y =，过点(02)M ，任作一直线与C 相交于A B ，两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）． ⑴证明：动点D 在定直线上；⑵作C 的任意一条切线l （不含x 轴）与直线2y =相交于点1N ，与⑴中的定直线相交于点2N ，证明：2221||||MN MN -为定值，并求此定值．【解析】 ⑴ 证明：依题意可设直线AB 的方程为2y kx =+，代入24x y =，得()242x kx =+，即2480x kx --=．设()()1122A x y B x y ，，，，则有128x x =-， 直线AO 的方程为11y y x x =，直线BD 的方程为2x x =． 解得交点D 的坐标为1221y x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 注意到128x x =-及2114x y =，则有1121211824y x x y y y x -===-． 因此D 点在定直线2y =-上()0x ≠．⑵ 依题设知，切线l 的斜率存在且不等于，设切线l 的方程为()0y ax b a =+≠，代入24x y =得()24x ax b =+，即2440x ax b --=，由0=△得()24160a b +=，化简整理得2b a =-．故切线l 的方程可写为2y ax a =-． 分别令22y y ==-、得12N N 、的坐标为122222N a N a a a ⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，、 则22222212248MN MN a a a a ⎛⎫⎛⎫-=-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2221MN MN -为定值．47. （辽宁理）DM OBAxy已知点()23A -，在抛物线C ：22y px =的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（） ．12 ．23 ．34．43【解析】48. （辽宁理文）已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||______AN BN +=．【解析】 12 49. （辽宁理）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图），双曲线1C ：22221x y a b-=过点P⑴求1C 的方程；⑵椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆过点P ，求l 的方程．122)3x x mm⋅=+=因(2AP=．(2BP=．由题意知0AP BP⋅=．①，②，式整理得2m50.（辽宁文）已知点(2,3)-A在抛物线C：22=y px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（）．43-．．34-．12-【解析】51.（辽宁文）圆224+=x y的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图）．⑴求点P的坐标；⑵焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线:=l y x交于,A B两点，若∆PAB的面积为，求C的标准方程．【解析】⑴设切点坐标为()00,x y00(0,0)>>x y，则切线斜率为0-xy，切线方程为000()-=--xy y x xy．即004+=x x y y ，此时，两个坐标轴的正半轴与切线组成的三角形面积为000014482=⋅⋅=S x y x y ． 由22000042+=x y x y ≥知当且仅当00=x y 00x y 有最大值，即S 有最小值． 因此点P,．⑵ 设C 的标准方程为22221(0)+=>>x y a b a b．点11(,)A x y ，22(,)B x y ．由点P 在C 上知22221+=a b，并由22221⎧+=⎪⎨⎪=⎩x y a b y x得226202++-=b x b ，又12,x x是方程的根，因此12212262x x b x x b ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩由1122=+=y x y x，得12AB x =-=．由点P 到直线l及ΔPABS 1|22AB ==得429180-+=b b ，解得26=b 或，因此26=b ，23=a （舍）或223,6==b a ．从而所求C 的方程为22163+=x y ．。