三年高考两年模拟(浙江版)2017届高考数学一轮复习第一章解读

0,解得m=-1,或m=2.故选A.
4.已知实数集R,集合A={x|log2x<1},B={x∈Z|x2+4≤5x},则(∁RA)∩B= ( ) B.{2,3,4} D.[1,4]
A.[2,4] C.{1,2,3,4} 答案
B 由log2x<1,解得0<x<2,所以A={x|0<x<2},∁RA={x|x≤0,或x≥
名ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 非负整数集
(自然数集) 符号 N ①
2 2
正整数集
整数集
有理数集
实数集
N*或N+
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
名称 子集 自然语言描述 如果集合A中所有元素都是集合B 中的元素,则称集合A为集合B的 子集 符号语言表示 A⊆B(或B⊇A) Venn图表示
真子集
如果集合A⊆B,但存在元素a∈B, 且a∉A,则称集合A是集合B的真子 ② 集
互 集合中的元素必须是互异的.对于一个给定的集合,它的任何两
异 个元素都是不同的.这个特性通常被用来判断集合的表示是否 性 正确,或用来求集合中的未知元素 无 集合与其中元素的排列顺序无关,如a,b,c组成的集合与b,c,a组 序 成的集合是相同的集合.这个特性通常被用来判断两个集合的 性 关系
(3)集合的分类:无限集、有限集.特别地,我们把不含有任何元素的集 合叫做空集,记作⌀.要注意空集表现形式的多样性,如A={x∈R|x +2x+3 =0}是空集,B={x∈R|ax +2x+3=0}有可能为空集. (4)常用数集及其表示符号
3-1 (2015温州二模,9,6分)集合A={0,|x|},B={1,0,-1},若A⊆B,则A∩B= ,A∪B= ,∁BA= .
答案 {0,1};{-1,0,1};{-1}
解析 由A⊆B得|x|=1,则A∩B={0,1},A∪B={-1,0,1},∁BA={-1}.
c
以集合为背景的创新题
典例4 (2015青岛检测)若X是一个集合,τ是一个以X的某些子集为元素 的集合,且满足:①X∈τ;②τ中任意多个元素的并集属于τ;③τ中任意多个 元素的交集属于τ.则称τ是集合X上的一个拓扑.已知集合X={a,b,c},对于 下面给出的四个集合τ:(1)τ={⌀,{a},{c},{a,b,c}};(2)τ={⌀,{b},{c},{b,c}, {a,b,c}};(3)τ={⌀,{a},{a,b},{a,c}};(4)τ={⌀,{a,c},{b,c},{a,b,c},{c}}.其中 是集合X上的一个拓扑的集合τ的所有序号是 .
3.已知集合A= ,B={ 1, x|mx-1=0,m∈R},若A∩B=B,则所有符合条件的 实数m组成的集合为 ( A.{-1,0,2}
1 2 1 D. 1,0, 2
c

1 2
)
B. ,0,1
C.{-1,2}
1 答案 A 由A∩B=B知B⊆A.若B=⌀,则m=0;若B≠⌀,则-m-1=0或 m-1= 2
2
研究一个集合,首先看集合中的代表元素,然后看元素满足的属性(限制条 件).用描述法表示的常见集合的类型有:
集合
集合 的含
{x|f(x)=0}
{x|f(x)>0}
{x|y=f(x)}
函数y=f(x)的 定义域
{y|y=f(x)}
函数y=f(x)的 值域
{(x,y)|y=f(x)}
函数y=f(x)图象上 的点集或方程f(x)-y
C.{x|-3<x≤-2}
D.{x|x≤-3}
答案 (1)B (2)A 解析 (1)因为集合M中的元素x=a+b,a∈A,b∈B, 所以当b=4,a=1,2,3时,此时x=5,6,7.
当b=5,a=1,2,3时,此时x=6,7,8.
由集合元素的互异性,可知x=5,6,7,8. 即M={5,6,7,8},共有4个元素. (2)A={x|x +x-2≤0}={x|-2≤x≤1},当x∈A时,y=log2(x+3)∈[0,2],所以∁UB ={x|x<0,或x>2},则A∩(∁UB)={x|-2≤x<0},故选A.
A⫋B (或B⫌A)
集合相等
如果集合A与集合B中元素相同,
那么就说集合A与集合B相等
A=B
3.集合间的基本运算
名称 并集 自然语言描述 对于两个给定集合A、B,由所有属于 集合A或属于集合B的元素组成的集合 符号语言表示 A∪B={x|x∈A,或x∈B} Venn图表示
交集
对于两个给定集合A、B,由所有属于 集合A且属于集合B的元素组成的集合
c
集合间的基本关系
5< 典例2 (2013课标全国Ⅰ,1,5分)已知集合A={x|x2-2x>0},B={x|- <x
},则 ( 5
) B.A∪B=R D.A⊆B
A.A∩B=⌀ C.B⊆A
答案 B
解析 化简A={x|x>2或x<0},而B={x|- < x< },所以 A∩B={x|- <x<0 5 5 5 或2<x< 5 },A项错误;A∪B=R,B项正确 c ;A与B没有包含关系,C项与D项均
方程f(x)=0的 不等式f(x)>0 解集 的解集
义
=0的解集
1-1 (2013江西文改编,2,5分)集合A={x|ax2+(a-1)x+1=0},若A中至多有一个 元素,求实数a的取值范围. 解析 (1)当a=0时,解得x=1,满足条件;(2)当a≠0时,则有Δ=(a-1)2-4a≤0,解 得3-2 2 ≤a≤3+2 2 ,所以a的取值范围是[3-2 2 ,3+2 2 ]∪{0}.
(1)当A=B={0,-4}时,0,-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两个根,有
a 2 1 0, 故a=1. 2 16 8( a 1) a 1 0,
(2)当B⫋A时,有两种情况: ①当B=⌀时,Δ<0,即4(a+1)2-4(a2-1)<0,得a<-1. ②当B≠⌀时,B={0}或B={-4},都应有Δ=0,即4(a+1)2-4(a2-1)=0,故a=-1,经检
答案 (2)(4) 解析 对(1),因为{a}∪{c}={a,c}∉τ,所以(1)不是集合X上的一个拓扑;对 (3),因为{a,b}∪{a,c}={a,b,c}∉τ,所以(3)不是集合X上的一个拓扑;而(2) (4)均满足定义. 4-1 (2015浙江,6,5分)设A,B是有限集,定义:d(A,B)=card(A∪B)-card(A∩
3.集合中因含有参数而使元素不能确定时,或出现A⊆B,A∩B=A,A∪B=B 等条件时,要优先考虑空集的情况.
2-1 设全集U=R,A={x|3m-1<x<2m},B={x|-1<x<3},若A⫋∁UB,求实数m的 取值范围. 解析 B={x|-1<x<3},∁UB={x|x≤-1,或x≥3}.(1)当2m≤3m-1,即m≥1时,A =⌀,满足A⫋∁UB;(2)当m<1时,A≠⌀,要使 c A⫋∁UB,应满足2m≤-1,或3m-1
c
2},由x2-5x+4≤0,解得1≤x≤4,所以B={1,2,3,4},则(∁RA)∩B={2,3,4},故 选B.
5.已知集合A={x|2x2+ax+2=0,a∈R},B={x|x2+3x+2a=0,a∈R},A∩B={2},A
∪B=I,则(∁IA)∪(∁IB)= (
1 B. 1 A. 5, 5, , 2 2 2 1 D. , 2 2
错误.故选B.
1.判断两集合间的关系常用两种方法:一是化简集合,从表达式中寻找两 集合间的关系;二是用列举法表示各集合,从元素中寻找两集合间的关系. 2.已知两集合间的关系求参数时,关键是将两集合间的关系转化为元素 间的关系,进而转化为参数满足的关系,解决这类问题常常运用数轴、 Venn图帮助分析.
验,只有B={0}满足条件.
由(1)(2)得,实数a的取值范围是{a|a≤-1或a=1}.
集合的基本运算
典例3 (1)(2015浙江,1,5分)已知集合P={x|x2-2x≥0},Q={x|1<x≤2},则(∁
R
P)∩Q= (
) B.(0,2] C.(1,2) D.[1,2] )
A.[0,1)
(2)(2015陕西,1,5分)设集合M={x|x2=x},N={x|lg x≤0},则M∪N= (
A∩B={x|x∈A,且x∈B}
补集
对于一个集合A,由全集U中所有属于 集合U但不属于集合A的元素组 成的集合称为集合A在全集U中的补 集,记作∁UA
∁UA={x|x∈U,且x∉A}
4.集合间的逻辑关系
交集 并集 补集 A∩B⊆A A∪B⊇A ∁U(∁UA)=A A∩B⊆B A∪B⊇B ∁UU=⌀ A∩A=A A∪A=A ∁U⌀=U A∩⌀=⌀ A∪⌀=A (∁UA)∩A=⌀ A∩B=B∩A A∪B=B∪A (∁UA)∪A=U
5.若有限集合A中的元素个数为n(n∈N*),则 (1)A的子集个数是2n; (2)A的真子集个数是③ 2 -1
n n
;
n
(3)A的非空子集个数是④ 2 -1 ; (4)A的非空真子集个数是⑤ 2 -2 .
1.已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={2,3,5},集合B={1,3,4,6},则集合A∩ (∁UB)= ( A.{3} ) B.{2,5} C.{1,4,6} D.{2,3,5}
)
C.{-5,2}
答案 A 由A∩B={2}知2∈A,且2∈B,解得a=-5,所以A={x|2x2-5x+2=0}=
1 1 ,B (∁ B)= ={ x | x +3 x -10=0}={-5,2}, 所以 I = , 则 ( ∁ A ) ∪ , 2 5, , 2
1 1 ∪ ≥3,解得m≤- .所以m的取值范围是 [1,+ ∞). , 2
2
2-2 (2015浙江源清中学月考)设集合A={x|x2+4x=0,x∈R},B={x|x2+2(a+1)x +a2-1=0,a∈R,x∈R},若B⊆A,求实数a的取值范围.
解析 B⊆A有两种可能:B⫋A或B=A,易知A={0,-4}.
A.[0,1]
B.(0,1]
C.[0,1)
D.(-∞,1]
答案 (1)C (2)A 解析 (1)∵P={x|x≥2或x≤0},∴∁RP={x|0<x<2},
∴(∁RP)∩Q=(1,2).
c
(2)由已知得,M={0,1},N={x|0<x≤1},则M∪N=[0,1].
有关数集的运算问题,一般先化简所给集合,确定集合的元素,然后依据两 集合的交集、并集或补集的定义进行求解.必要时可结合数轴或韦恩 (Venn)图求解. (1)与不等式有关的问题,通常利用数轴求解; (2)与数字有关的问题,常利用Venn图求解.用Venn图解题时,要注意以下 图形的应用:
2
2

1 .选 A. 5, 2
c

2
I

I
x(∁ R 1 R | 1 6.已知M= ,N={y|y= +1},则N∪ M)=( x

2 x

)
A.(0,+∞) 答案
B.[1,+∞)
C.[1,2]
D.[0,+∞)
D M={x|x<0,或x>2},∁RM={x|0≤x≤2}=[0,2],N={y|y≥1}=[1,+
c
∞),所以N∪(∁RM)=[0,+∞),故选D.
集合的基本概念
典例1 (1)(2013大纲全国,1,5分)设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b, a∈A,b∈B},则M中的元素个数为 ( A.3 B.4 C.5 D.6 )
(2)(2015浙江六校联考,1,5分)若全集U=R,集合A={x|x2+x-2≤0},B={y|y= log2(x+3),x∈A},则集合A∩(∁UB)=( A.{x|-2≤x<0} B.{x|0≤x≤2} )
§ 1.1
集合的概念与运算
1.元素与集合 (1)元素a与集合A的关系
属于, 记为a A, 不属于, 记为a A.
(2)集合中元素的特征
确 一个集合中的元素必须是确定的,即一个集合一旦确定,某一个
定 元素要么是该集合中的元素,要么不是,二者必居其一.这个特性
性 通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合
答案 B A={2,3,5},∁UB={2,5},则A∩ c (∁UB)={2,5},故选B. 2.设集合A={0,1,2,3},B={x|-x∈A,1-x∉A},则集合B中元素个数为 ( A.1 B.2 C.3 D.4 )
答案 A -x∈A,则x取-3,-2,-1,0,又1-c x∉A,所以x只能取-3.故选A.