第九讲(信号与系统)

在均匀间隔Ts (Ts 2 1 f (nTs )确定，其恢复公式为 f m )上的样点值
f (t )
n
f (nT )Sa
s

m
(t nTs )
通常称：Tsmax
1 ，这一最大允许抽样周 期（间隔）为 2 f m m
奈奎斯特间隔。
f smin
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算子方程
A(p)y(t) B(p)f(t)
按定义，y x (t )应满足
A( p ) y x (t ) 0 y ( 0 ) 已知 x （3 ）
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求解步骤 第一步，将A（p）进行因式分解，即
A( p) ( p i ) ri
i 1 l
第二步，求出第i个根
一般信号f(t)的频域分解
f (t )
1 2
F ( j)e d
jt
F ( j ) d 2
抽样周期 抽样频率 抽样角频率
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(3) 抽样数学模型
模拟信号 f (t ) f s (t ) 样值信号 s (t ) 开关序列信号
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f s (t ) f (t ) S (t )
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时域抽样定理
内容：在频率fm以上频域信号为零的低通信号f(t)可唯一由其
Step2：假分式变为有理多项式与真分式之和；
Step3：有理多项式部分的逆变换由冲激函数组成； 真分式部分采用部分分式展开法； Step4：部分分式展开法(特征方程A(p)=0求解) 判断特征根的重数，单根、重根
H ( p) 1 h(t) et (t ) p 1 1 t r 1et (t ) H ( p) h ( t ) (r 1)! ( p ) r
i 1
t0
( j) 第四步，由给定的零输入响应初始条件 yx (0 )( j 0,1,, n 1)
-系统的初始条件，确定常数 或者 0 ci 0 , ci1,1, ci ( r 1) (i 1,2, , l ). 2015-6-8 19
i
系统法： 零状态响应
(1) 冲激响应h(t)
n
Fe
n


jnt
T 2 1 2 , , Fn T T f (t )e jnt dt 2 T
F fT (t )
n
F
n
F (e
jnt
) 2
n
F

n
( n)
说明：fT(t)的傅立叶变换由无穷多个冲激函数组成，它位于信 号各谐波角频率nΩ处，其强度为各谐波分量幅度Fn的 2π倍 。
傅里叶系数 Fn 与傅里叶变换 Fa ( j) 的关系为：
2 2Fn Fa ( jn) Fa ( jn) T
1 1 Fn T Fa ( jn) T Fa ( j) n
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9.0.4 连续信号的抽样定理
(1) 低通信号 (带限信号)
m



F ( j )d
7
(9) 帕塞瓦尔定理
若 f (t ) F ( j) 则 w

f (t )dt
2
1 2



F ( j) d
2
对于周期信号的帕塞瓦尔定理有：
1 T

T 2
T 2
f (t )dt
2
n
F

2
n
表明周期信号的功率＝该信号在完备正交函数集中各
设初始化观察时刻t0 0基本信号 (t ) 激励下系 统的零状态响应
(2) 系统响应yf(t)
f (t ) f (t ) * (t )
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y f (t ) f (t ) * h(t )
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一般系统h(t)的计算 Step1：判断H(p)是真分式还是假分式； m>n假分式，m<n真分式
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方案二：单位冲激序列的傅立叶变换
第一个周期的信号
fT (t ) f a (t ) *T (t )
F fT (t ) Fa ( j ) ( ) Fa ( j ) ( n)
n
Fa ( jn) ( n)
说明：f(t)右移t0，F(jω)幅度不变，谐频率分量相位 滞后ωt0
(3) 频移性
若：f (t ) F ( j ) 则：f (t )e j0t F j ( 0 ) 且0 为实常数
说明：频域中频谱右移ω0，反映在时域中对应f(t) 乘 以虚指数函数
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e
j0t
分量功率之和。
非周期信号的能量=该信号在每一个频点的能量之和。
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傅里叶变换性质小结
运算类：线性、尺度变换、时(频)域微积分、 时(频)域卷积 平移类：时移、频移
能量类：帕塞瓦尔定理
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9
9.0.3 周期信号的傅立叶变换 方案一：傅立叶级数->傅立叶变换
fT (t )
m
F ( j) F f (t )集中在低频范围，
m fm 2
m
为信号f(t)的最高频率
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(2) 样值信号fs(t)
信号f (t)加在抽样器的输入端，抽样器相当于一 个定时开关，它每隔Ts秒闭合一次，闭合时间为τ， 输出端输出fs(t)
1 fs Ts s 2f s Ts
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5
(5) 对称性
若 f (t ) F ( j)
则 F ( jt ) 2f ()
F ( jt ) 2f ( )
推论：若f(t)为t的偶函数，则
(6) 卷积定理
若： f1 (t ),
则：
1 f ( t ) f ( t ) F ( j ) * F ( j ) 1 2 1 2 2
6
f1 (t ) * f 2 (t ) F1 ( j ) F2 ( j )
f 2 (t ) F1 ( j) , F2 ( j)
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(7) 时域微分、积分
若 f (t ) F ( j)
则：f (1) (t ) jF ( j)
f
( 1)
f ( n) (t ) ( j)n F ( j)
i
对应的零输入响应yxi(t)
i 1,2,....,l
yxi (t ) [ci 0 + ci1t + ci 2t 2 + + ci (ri 1)tir 1 ]eit
第三步，将所有的yxi(t)(i=1,2,…,l)相加，得到系统的零 输入响应，即 l
y x (t ) y xi (t )
F ( j)e d
F ( j) f (t )
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2
9.0.2
傅里叶变换的性质
(1) 线性
若 f1 (t ) F1 ( j ) f 2 (t ) F2 ( j ) a1 、a2为常数
则 a1 f1 (t ) + a2 f 2 (t ) a1F1 ( j ) + a2 F2 ( j )
n

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傅里叶系数Fn与傅里叶变换Fa(jw)间的关系
2 Fn ( n) n F fT (t ) F ( j ) a Fa ( jn) ( n) 2 ( n) T n n
y f (t)=F
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1
F y (t )
f
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9.1.3 基本信号ejwt激励下的零状态响应
1 f (t ) 2



F ( j )e
j t
d
F ( j )d j t e 2
*非周期信号的 e jt (虚指数函数)分解。
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初始条件
零输入响应0-初始条件 齐次通解 (自由响应)0+初始条件 2015-6-8
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9.1.2 连续系统时域分析与频域分析的联系
LTI系统时域分析的 零状态响应
y f (t) h(t)* f (t)
F y ( t ) f F h(t ) F f (t )
LTI系统频域分析的 零状态响应
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经典法： 齐次通解+特解
LTI连续系统算子方程A( p) y(t ) B( p) f (t )
按 微 分 方 程 经 典 解 法其 ，完 全 解 ＝ 齐 次 解 + 特解， 即 y(t) y h (t) + y p (t)
+ y ( t ) 是 齐 次 方 程 A ( p ) y ( t ) 0 满 足 0 初始条件 齐次解 h h
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f (t ) e
jt
(t ) h(t )
y f (t ) e
卷积运算
ejwt激励下的零状态响应
jt
* h(t )
jt
y f (t ) e
jt
* h(t ) h(t ) * e
j ( t )
h( )e

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d d
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e
jt
y ( i ) (0 + )(i 0,1, , n 1)的 解 。 特解 y p ( t )的 函 数 形 式 与微分方程的自由项 (或 激 励 )有 关 。
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不同响应之间的区别与联系
系统法：零输入响应和零状态响应 (激励因素)
经典法：齐次解=>自由响应 特解=>强迫响应 (系统与激励) 稳态响应与暂态响应: 完全响应中的分量的稳定性
傅立叶计算是一种线性运算，它包含两种意义： 1. 齐次性：时域信号数乘 a，频谱函数也数乘a。 2. 可加性：几个信号之和的频谱函数＝各信号频谱
函数之和。
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(2) 时移性
若 f (t ) F ( j ) 则f (t t0 ) F ( j )e jt0 F ( )e j ( ) t0



h( )e
j
y f (t ) e
系统函数
jt



h( )e
j
d
j
H ( j ) h( )e


d
用系统函数表示ejwt激励下的零状态响应
y f (t ) H ( j) e
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jt
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9.1.4 一般信号f(t)激励下的零状态响应
f (t)
H(p)
y(t)
用H(p)表示的系统输入输出模型
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系统法： 零输入响应
时域分析法
连续系统 系统法：完全响应 y(t) 零输入响应 yx (t ) + 零状态响应 y f (t )
经典法：全响应 y (t ) 齐次解 yh (t ) + 特解 y p (t )
m 2 fm 最低抽样频率为奈奎斯 特速率。
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9.1 连续系统的频域分析
9.1.1 连续系统时域分析回顾
A( p) y(t ) B( p) f (t )
B( p) bm p m + bm1 p m1 + bm2 p m2 + + b1 p + b0 H ( p) A( p) p n + an1 p n1 + an2 p n2 + + a1 p + a0
信号与系统
第九讲 连续—— 频域分析
主讲人： 王安琪 邮箱：wanganqi0006@163.com
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9.0 课程回顾
9.0.1 傅里叶变换
F ( j) F f (t ) f (t )e

jt
dt
jt
f (t ) F
1
F ( j)
1 2
(2)
(1)
(t )
t

F ( j ) f ( x)dx + F (0) ( ) j
(8) 频域微分、积分 频域微分 频域积分
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若
f (t ) F ( j)
则 ( jt )n f (t ) F ( n) ( j)
f (t ) 则f (0) (t ) + jt
4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(4) 尺度变换
若f (t ) F ( j)
1 且a为常实数（a不等于零）。则： f (at) F ( j a) a
1 f (at) F ( j a) a
1 F( j a) a
含义: f (at):表示将 f (t) 波 形沿时间轴压缩a倍.
表示将F(jω)波形沿ω轴扩展a倍，幅度 减小|a|倍。