二次方程(1)

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(完整版)一元二次方程归纳总结

一元二次方程归纳总结1、一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。

2、一元二次方程的解法（1）直接开平方法（也可以使用因式分解法） ①2(0)xa a =≥解为：x = ②2()(0)x a b b +=≥解为：x a += ③2()(0)ax b c c +=≥解为：ax b += ④22()()()ax b cx d a c +=+≠ 解为：()ax b cx d +=±+（2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法（3）公式法：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+= ①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：1,22b x a-=② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a=-③ 当240bac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根。

注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。

备注：公式法解方程的步骤：①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，并确定出a 、b 、c②求出24bac ∆=-，并判断方程解的情况。

③代公式：1,2x =3、一元二次方程的根与系数的关系法1：一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠的两个根为：1222b b x x a a-+-==所以：12bx x a+=+=-，221222()422(2)4b b b ac cx x a a a a a-+----⋅=⋅===定理：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ，那么：1212,b cx x x x a a+=-=法2：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么2120()()0ax bx c a x x x x ++=⇔--= 两边同时除于a ，展开后可得：2212120()0b c x x x x x x x x a a++=⇔-++= 12b x x a ⇒+=-；12cx x a •=法3：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么21122200ax bx c ax bx c ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩①-②得：12bx x a+=-（余下略）常用变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，22111212121222212()4x x x x x x x x x x x x x x ++-+==等练习：【练习1】若12,x x 是方程2220070xx +-=的两个根，试求下列各式的值：(1)2212x x +；(2)1211x x +；(3)12(5)(5)x x --；(4)12||x x -．【练习2】已知关于x 的方程221(1)104xk x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．【练习3】已知12,x x 是一元二次方程24410kxkx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 4、应用题（1）平均增长率的问题：(1)n a x b += 其中：a 为基数，x 为增长率，n 表示连续增长的次数，①②b 表示增长后的数量。

1元二次方程的解法

1元二次方程的解法1元二次方程的一般形式为 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 为实数且 a 不为 0。

求解 1 元二次方程的方法主要有以下几种：一、因式分解法当二次项系数 a 为 1 时，若二次方程 ax^2 + bx + c = 0 能够分解成 (x + m)(x + n) = 0 的形式，则方程的解为 x = -m 和x = -n。

二、公式法对于一般形式的二次方程 ax^2 + bx + c = 0，其解为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a其中√(b^2 - 4ac) 称为判别式，它决定了方程的解的个数和性质：若判别式大于 0，则方程有两个不相等的实数解。

若判别式等于 0，则方程有两个相等的实数解。

若判别式小于 0，则方程无实数解，但有 2 个共轭复数解。

三、配方法配方法适用于二次项系数 a 为 1 的情况。

将 x^2 + bx + c = 0 变形为 (x + b/2)^2 = (b^2 - 4c)/4，然后求出 x 的值：x = -b/2 ± √((b^2 - 4c)/4)四、韦达定理法韦达定理适用于二次项系数 a 为 1 的情况。

若方程 x^2 + bx + c = 0 的两个解为 x1 和 x2，则：x1 + x2 = -bx1 x2 = c利用这两个关系式可以求出 x1 和 x2。

举例：求解二次方程 x^2 - 5x + 6 = 0。

使用公式法：x = (-(-5) ±√((-5)^2 - 4(1)(6))) / 2(1)= (5 ± √(25 - 24)) / 2= (5 ± 1) / 2因此，方程的解为 x = 2 和 x = 3。

拓展：除了上述方法外，求解 1 元二次方程还有其他一些方法，例如：图形法：将二次方程转化为抛物线方程，然后通过抛物线的图象求解方程的解。

数值法：使用二分法或牛顿法等数值方法求解方程的近似解。

二次方程的解法

二次方程的解法二次方程是数学中常见的一类方程，它的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c为已知数，且a≠0。

解二次方程是数学学习中的基本内容之一，本文将介绍二次方程的解法。

1. 求解二次方程的基本方法解二次方程的常用方法有因式分解法、配方法、求根公式（也称韦达定理）和图像法等。

以下将逐一介绍。

2. 因式分解法当二次方程的形式简单、易于因式分解时，可以尝试使用这种方法。

例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，我们可以将其因式分解为(x +2)(x + 3) = 0，进而得到x = -2和x = -3两个解。

3. 配方法配方法也是解二次方程的一种常见方法。

当二次方程不易因式分解时，可以使用配方法将方程转化为一个完全平方。

具体步骤如下：a. 将二次方程的一项系数化为1，即若方程为ax^2 + bx + c = 0（其中a≠0），则将其除以a，得到x^2 + (b/a)x + c/a = 0。

b. 将方程中的二次项和常数项系数分别除以2，并将结果的平方添加到方程中，即将方程转化为(x + b/2a)^2 - (b^2/4a^2) + c/a = 0。

c. 将方程中出现两个平方项之差的部分写成一个完全平方，即(x + b/2a)^2 = (b^2 - 4ac)/4a^2。

d. 对方程两边同时开方，即得到x + b/2a = ±√((b^2 - 4ac)/4a^2)。

e. 最后化简得到x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)，即二次方程的两个解。

4. 求根公式（韦达定理）求根公式是解二次方程的一种常用方法，其给出了一般二次方程ax^2 + bx + c = 0的解的表达式。

根据求根公式，二次方程的两个解可以通过下式得到：x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)。

5. 图像法对于较为复杂的二次方程，我们可以通过绘制方程的图像来求解。

一元二次方程公式大全

一元二次方程公式大全
1. 一元二次方程的一般式：ax²+bx+c=0（a≠0）。

2. 一元二次方程的根公式：x=[-b±√(b²-4ac)]/2a。

3.一元二次方程的顶点公式：x=-b/2a，y=c-b²/4a。

4.一元二次方程的轴对称式：y=a(x-h)²+k，其中(h,k)为顶点坐标。

5. 一元二次方程的判别式公式：Δ=b²-4ac；当Δ>0时，有两个不
相等的实根；当Δ=0时，有一个重根；当Δ<0时，无实根。

6.一元二次方程的解的性质公式：两根之和=-b/a，两根之积=c/a。

7. 一元二次方程的因式分解公式：ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂)，其中x₁、x₂为方程的两个实根。

8. 一元二次方程的求导公式：y'=2ax+b，其中a、b为方程系数。

9. 一元二次方程的求和差公式：(x+y)²=x²+2xy+y²，(x-y)²=x²-
2xy+y²。

10. 一元二次方程的配方法公式：根据(a±b)²=a²±2ab+b²，将一元
二次方程化为完全平方形式。

一元二次方程的解法

一元二次方程的解法一元二次方程（Quadratic Equation）是指只含有一个未知量的二次方程，通常具有如下一般形式：ax^2 + bx + c = 0其中，a、b、c为实数且a不等于0，x为未知数。

解一元二次方程的过程被称为解方程或求根，下面将介绍三种常见的解法。

一、因式分解法如果一元二次方程可被因式分解为两个一次因式的乘积形式，即方程左边可以被写成两个因式的乘积，那么可以通过令每个因式等于零并求解来得到方程的解。

具体步骤如下：1. 将方程写成标准形式：ax^2 + bx + c = 0。

2. 对方程左侧进行因式分解：(px + q)(rx + s) = 0，其中p、q、r、s 为实数。

3. 令每个因式等于零进行求解：px + q = 0 以及 rx + s = 0。

4. 求解得到每个因式的解：x = -q/p 以及 x = -s/r。

通过以上步骤，我们可以得到方程的解。

二、配方法有些一元二次方程无法直接进行因式分解，但可通过配方法（Completing the Square）将其转化为完全平方形式来求解。

具体步骤如下：1. 将方程写成标准形式：ax^2 + bx + c = 0。

2. 将方程左侧组成一个完全平方形式：(x + d)^2 = e，其中d为实数，e为某个表达式。

3. 展开完全平方形式，得到新的方程形式：x^2 + 2dx + d^2 = e。

4. 对比原方程与新方程，列出两边的对应系数，解出d和e。

5. 将新方程移到原方程中，得到ax^2 + bx + c = 0形式的新方程。

6. 利用一次项系数可配出的完全平方形式，将新方程化简为(a'(x +d')^2 = e')形式。

7. 可得到方程的解：x = (-d' ± √e') / a'，其中±表示两个解。

通过配方法，我们可以将一元二次方程转化为完全平方形式，进而求得方程的解。

一元二次方程及答案

22.1 一元二次方程(1)班级姓名座号月日主要内容:一元二次方程有关概念及一元二次方程一般式一、课堂练习:1.在下列方程中,一元二次方程的个数是( )①2370x +=, ②20ax bx c ++=, ③2(2)(5)1x x x -+=-, ④2530x x-=. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.(课本32页)将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项:(1)2514x x -= (2)2481x =(3)4(2)25x x += (4)(32)(1)83x x x -+=-3.(课本32页)根据下列问题,列出关于x 的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式:(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x ； (2)一个矩形的长比宽多2,面积是100,求矩形的长x ；(3)把长为1的木条分成两段,使较短一段的长与全长的积,等于较长一段的长的平方,求较短一段的长x ；(4)一个直角三角形的斜边长10,两条直角边相差2,求较长的直角边长x .二、课后作业:1.2230px x p q -+-=是关于x 的一元二次方程,则( )A.p =1B.p ＞0C.p ≠0D.p 为任意实数2.(课本34页)将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出它们的二次项系数、一次项系数及常数项:(1)2316x x += (2)24581x x +=(3)(5)0x x += (4)(22)(1)0x x --=(5)(5)510x x x +=- (6)(32)(1)(21)x x x x -+=-3.(课本34页)根据下列问题列方程,并将其化成一元二次方程的一般形式:(1)一个圆的面积是6.282m ,求半径.( 3.14π≈) (2)一个直角三角形的两条直角边相差3cm ,面积是92cm ,求较长的直角边的长.(3)一个矩形的长比宽多1cm ,对角线长5 cm ,矩形的长和宽各是多少？ (4)有一根1m 长的铁丝,怎样用它围成一个面积为0.062m 的矩形？(5)参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手10次,有多少人参加聚会？三、新课预习:1.下列各数中,是方程(1)2x x -=根的有 .-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.2.写一个以-2为根的一元二次方程: .3.方程2810x -=的两个根是1x = ,2x = ．参考答案一、课堂练习:1.在下列方程中,一元二次方程的个数是( A )①2370x +=, ②20ax bx c ++=, ③2(2)(5)1x x x -+=-, ④2530x x-=. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.(课本32页)将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项:(1)2514x x -= (2)2481x =解:移项,得一元二次方程的一般形式 25410x x --= 其中二次项系数为5,一次项系数为-4, 常数项为-1 解:移项,得一元二次方程的一般形式24810x -=其中二次项系数为4,一次项系数为0, 常数项为-81(3)4(2)25x x += (4)(32)(1)83x x x -+=-解:去括号,得24825x x += 移项,得一元二次方程的一般形式 248250x x +-= 其中二次项系数为4,一次项系数为8, 常数项为-25 解:去括号,得2332283x x x x +--=-. 移项,合并同类项,得一元二次方程的一般形式 23710x x -+=其中二次项系数为3,一次项系数为-7, 常数项为13.(课本32页)根据下列问题,列出关于x 的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式:(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x ； (2)一个矩形的长比宽多2,面积是100,求矩形的长x ；解:列方程,得2425x =移项,得一元二次方程的一般形式 24250x -= 解:列方程,得(2)100x x -= 去括号,得22100x x -=移项,得一元二次方程的一般形式221000x x --=(3)把长为1的木条分成两段,使较短一段的长与全长的积,等于较长一段的长的平方,求较短一段的长x ；解:列方程,得21(1)x x ⨯=- 去括号,得212x x x =-+ 移项,合并同类项,得一元二次方程的一般形式2310x x -+= (4)一个直角三角形的斜边长10,两条直角边相差2,求较长的直角边长x .解:列方程,得22(2)100x x +-=去括号,得2244100x x x +-+= 移项,合并同类项,得224960x x --= 化简,得一元二次方程的一般形式22480x x --=二、课后作业:1.2230px x p q -+-=是关于x 的一元二次方程,则( C )A.p =1B.p ＞0C.p ≠0D.p 为任意实数2.(课本34页)将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出它们的二次项系数、一次项系数及常数项:(1)2316x x += (2)24581x x +=解:移项,得一元二次方程的一般形式 23610x x -+= 其中二次项系数为3,一次项系数为-6, 常数项为1 解:移项,得一元二次方程的一般形式 245810x x +-=其中二次项系数为4,一次项系数为5, 常数项为-81(3)(5)0x x += (4)(22)(1)0x x --=解:去括号,得一元二次方程的一般形式 250x x += 其中二次项系数为1,一次项系数为5, 常数项为0 解:化简,得一元二次方程的一般形式 2210x x -+=其中二次项系数为1,一次项系数为-2, 常数项为1(5)(5)510x x x +=- (6)(32)(1)(21)x x x x -+=-解:去括号,得25510x x x +=- 移项,合并同类项,得一元二次方程的一般形式2100x += 其中二次项系数为1,一次项系数为0, 常数项为10 解:去括号,得2233222x x x x x +--=- 移项,合并同类项,得一元二次方程的一般形式2220x x +-=其中二次项系数为1,一次项系数为2, 常数项为-23.(课本34页)根据下列问题列方程,并将其化成一元二次方程的一般形式:(1)一个圆的面积是6.282m ,求半径.( 3.14π≈) (2)一个直角三角形的两条直角边相差3cm ,面积是92cm ,求较长的直角边的长. 解:设圆的半径为x m ,由题意,得 23.14 6.28x = 化简,得一元二次方程的一般形式220x -=解:设较长的直角边的长为xcm ,由题意,得 1(3)92x x -= 化简,得一元二次方程的一般形式 23180x x --=(3)一个矩形的长比宽多1cm ,对角线长5 cm ,矩形的长和宽各是多少？ (4)有一根1m 长的铁丝,怎样用它围成一个面积为0.062m 的矩形？解:设矩形的宽为x cm ,由题意,得 222(1)5x x ++=化简,得一元二次方程的一般形式2120x x +-=解:设矩形的长为x m ,由题意,得(0.5)0.06x x -= 化简,得一元二次方程的一般形式 20.50.060x x -+= (5)参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手10次,有多少人参加聚会？解:设有x 人参加聚会,由题意,得1(1)102x x -= 化简,得一元二次方程的一般形式2200x x --=三、新课预习:1.下列各数中,是方程(1)2x x -=根的有 -1,2 .-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.2.写一个以-2为根的一元二次方程:220x x +-= (答案不唯一).3.方程2810x -=的两个根是1x = 9 ,2x = -9 ．。

数学二次方程

数学二次方程在数学中，二次方程是一种形式为ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是已知的实数，而x是未知数。

二次方程在数学中具有广泛的应用，被广泛应用于物理学、工程学等领域。

下面将为您介绍二次方程的定义、求解方法以及应用。

一、二次方程的定义二次方程由三个系数a、b、c决定。

其中a不可以为0，否则方程不再是二次方程。

二次方程一般可以分为三种情况：当b^2 - 4ac > 0时，方程有两个不同的实数根；当b^2 - 4ac = 0时，方程有且仅有一个实数根；当b^2 - 4ac < 0时，方程没有实数根，但可以有复数根。

二、二次方程的求解方法1. 直接法：对于一般形如ax^2 + bx + c = 0的二次方程，可以直接使用求根公式来求解。

求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)其中，±表示两个可能的解，√表示平方根。

根据求根公式，我们可以根据a、b、c的具体数值计算出方程的解。

2. 完全平方式：对于某些特殊的二次方程，我们可以通过完全平方式进行求解。

完全平方式是指将二次方程进行配方，在配方后可以更加简洁地求解方程。

三、二次方程的应用二次方程在数学实践中有着重要的应用，下面介绍几个例子。

1. 物理学中的抛体运动：抛体运动的轨迹可以通过二次方程进行描述。

在物理学中，通过解二次方程可以确定抛体的运动轨迹、最高点和最远点等参数。

2. 工程学中的振动系统：二次方程在振动系统的研究中起到了关键作用。

例如，在建筑物的抗震设计中，可以通过解二次方程来确定合适的阻尼参数，以提高建筑物的抗震性能。

3. 经济学中的消费函数：消费函数是经济学中的重要概念，描述了消费与收入之间的关系。

很多消费函数可以通过二次方程来进行建模，从而更准确地预测消费行为。

总结：二次方程是数学中的重要内容，具有广泛的应用领域。

通过本文的介绍，您对二次方程的定义、求解方法以及应用有了更深入的了解。

一元二次方程100道计算题练习(附答案)

一元二次方程100道计算题练习(附答案)(1)x^2+17x+72=0答案：x1=-8x2=-9(2)x^2+6x-27=0答案：x1=3x2=-9(3)x^2-2x-80=0答案：x1=-8x2=10(4)x^2+10x-200=0答案：x1=-20x2=10(5)x^2-20x+96=0答案：x1=12x2=8(6)x^2+23x+76=0答案：x1=-19x2=-4(7)x^2-25x+154=0答案：x1=14x2=11(8)x^2-12x-108=0答案：x1=-6x2=18(9)x^2+4x-252=0答案：x1=14x2=-18(10)x^2-11x-102=0答案：x1=17x2=-6(11)x^2+15x-54=0答案：x1=-18x2=3(12)x^2+11x+18=0答案：x1=-2x2=-9(13)x^2-9x+20=0答案：x1=4x2=5(14)x^2+19x+90=0答案：x1=-10x2=-9(15)x^2-25x+156=0答案：x1=13x2=12(16)x^2-22x+57=0答案：x1=3x2=19(17)x^2-5x-176=0答案：x1=16x2=-11(18)x^2-26x+133=0答案：x1=7x2=19(19)x^2+10x-11=0答案：x1=-11x2=1(20)x^2-3x-304=0答案：x1=-16x2=19(21)x^2+13x-140=0答案：x1=7x2=-20(23)x^2+5x-176=0答案：x1=-16x2=11(24)x^2+28x+171=0答案：x1=-9x2=-19(25)x^2+14x+45=0答案：x1=-9x2=-5(26)x^2-9x-136=0答案：x1=-8x2=17(27)x^2-15x-76=0答案：x1=19x2=-4(28)x^2+23x+126=0答案：x1=-9x2=-14(29)x^2+9x-70=0答案：x1=-14x2=5(30)x^2-1x-56=0答案：x1=8x2=-7(31)x^2+7x-60=0答案：x1=5x2=-12(32)x^2+10x-39=0答案：x1=-13x2=3(33)x^2+19x+34=0答案：x1=-17x2=-2(34)x^2-6x-160=0答案：x1=16x2=-10(35)x^2-6x-55=0答案：x1=11x2=-5(36)x^2-7x-144=0答案：x1=-9x2=16(37)x^2+20x+51=0答案：x1=-3x2=-17(38)x^2-9x+14=0答案：x1=2x2=7(39)x^2-29x+208=0答案：x1=16x2=13(40)x^2+19x-20=0答案：x1=-20x2=1(41)x^2-13x-48=0答案：x1=16x2=-3(42)x^2+10x+24=0答案：x1=-6x2=-4(43)x^2+28x+180=0答案：x1=-10x2=-18(45)x^2+23x+90=0答案：x1=-18x2=-5(46)x^2+7x+6=0答案：x1=-6x2=-1(47)x^2+16x+28=0答案：x1=-14x2=-2(48)x^2+5x-50=0答案：x1=-10x2=5(49)x^2+13x-14=0答案：x1=1x2=-14(50)x^2-23x+102=0答案：x1=17x2=6(51)x^2+5x-176=0答案：x1=-16x2=11(52)x^2-8x-20=0答案：x1=-2x2=10(53)x^2-16x+39=0答案：x1=3x2=13(54)x^2+32x+240=0答案：x1=-20x2=-12(55)x^2+34x+288=0答案：x1=-18x2=-16(56)x^2+22x+105=0答案：x1=-7x2=-15(57)x^2+19x-20=0答案：x1=-20x2=1(58)x^2-7x+6=0答案：x1=6x2=1(59)x^2+4x-221=0答案：x1=13x2=-17(60)x^2+6x-91=0答案：x1=-13x2=7(61)x^2+8x+12=0答案：x1=-2x2=-6(62)x^2+7x-120=0答案：x1=-15x2=8(63)x^2-18x+17=0答案：x1=17x2=1(64)x^2+7x-170=0答案：x1=-17x2=10(65)x^2+6x+8=0答案：x1=-4x2=-2(67)x^2+24x+119=0答案：x1=-7x2=-17(68)x^2+11x-42=0答案：x1=3x2=-14(69)x^20x-289=0答案：x1=17x2=-17(70)x^2+13x+30=0答案：x1=-3x2=-10(71)x^2-24x+140=0答案：x1=14x2=10(72)x^2+4x-60=0答案：x1=-10x2=6(73)x^2+27x+170=0答案：x1=-10x2=-17(74)x^2+27x+152=0答案：x1=-19x2=-8(75)x^2-2x-99=0答案：x1=11x2=-9(76)x^2+12x+11=0答案：x1=-11x2=-1(77)x^2+17x+70=0答案：x1=-10x2=-7(78)x^2+20x+19=0答案：x1=-19x2=-1(79)x^2-2x-168=0答案：x1=-12x2=14(80)x^2-13x+30=0答案：x1=3x2=10(81)x^2-10x-119=0答案：x1=17x2=-7(82)x^2+16x-17=0答案：x1=1x2=-17(83)x^2-1x-20=0答案：x1=5x2=-4(84)x^2-2x-288=0答案：x1=18x2=-16(85)x^2-20x+64=0答案：x1=16x2=4(86)x^2+22x+105=0答案：x1=-7x2=-15(87)x^2+13x+12=0答案：x1=-1x2=-12(89)x^2+26x+133=0答案：x1=-19x2=-7(90)x^2-17x+16=0答案：x1=1x2=16(91)x^2+3x-4=0答案：x1=1x2=-4(92)x^2-14x+48=0答案：x1=6x2=8(93)x^2-12x-133=0答案：x1=19x2=-7(94)x^2+5x+4=0答案：x1=-1x2=-4(95)x^2+6x-91=0答案：x1=7x2=-13(96)x^2+3x-4=0答案：x1=-4x2=1(97)x^2-13x+12=0答案：x1=12x2=1(98)x^2+7x-44=0答案：x1=-11x2=4(99)x^2-6x-7=0答案：x1=-1x2=7 (100)x^2-9x-90=0答案：x1=15x2=-6。

一元二次方程的解法

一元二次方程的解法汇总1．直接开方法解一元二次方程(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：（点击图片可放大阅览）要点诠释：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.2.因式分解法解一元二次方程（1）用因式分解法解一元二次方程的步骤:①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次式的积；③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.（2）常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、用直接开平方法解一元二次方程（点击图片可放大阅览）【总结升华】应当注意，如果把x+m看作一个整体，那么形如(x+m)2=n(n≥0)的方程就可看作形如x2=k的方程，也就是可用直接开平方法求解的方程；这就是说，一个方程如果可以变形为这个形式，就可用直接开平方法求出这个方程的根．所以，(x+m)2=n可成为任何一元二次方程变形的目标．举一反三：（点击图片可放大阅览）类型二、因式分解法解一元二次方程（点击图片可放大阅览）【总结升华】若把各项展开，整理为一元二次方程的一般形式，过程太烦琐．观察题目结构，可将x+1看作m，将(2-x)看作n，则原方程左端恰好为完全平方式，于是此方程利用分解因式法可解．举一反三：【变式】方程(x-1)(x+2)＝2(x+2)的根是________．【答案】将(x+2)看作一个整体，右边的2(x+2)移到方程的左边也可用提取公因式法因式分解．即(x-1)(x+2)-2(x+2)＝0，(x+2)[(x-1)-2]＝0．∴ (x+2)(x-3)＝0，∴ x+2＝0或x-3＝0．∴ x1＝-2 x2＝3．（点击图片可放大阅览）【总结升华】如果把视为一个整体，则已知条件可以转化成一个一元二次方程的形式，用因式分解法可以解这个一元二次方程．此题看似求x、y 的值，然后计算，但实际上如果把看成一个整体，那么原方程便可化简求解。

二次方程的定义和求根公式

复数根的求解步骤包括计算判别式和求解方程
求解复数根时需要注意虚部和实部的计算
根号内必须大于0
限制条件
判别式必须大于等于0
不能用于分数系数方程
不能用于无理数系数方程
特殊情况的处理
判别式小于0的情况根为复数的情况根为无穷大或无穷小的情况根为分数的情况
解法比较
公式法：通过求根公式求解二次方程
,a click to unlimited possibilities
汇报人：目录Fra bibliotek 二次方程的一般形式
二次方程的一般形式为 ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数且a≠0
二次方程的系数a、 b、c分别代表二次项、一次项和常数项的系数
二次方程的解为 x=[-b±√(b^24ac)]/2a，其中 b^2-4ac≥0
配方法
定义：将二次方程化为完全平方的形式
推导过程：通过移项、配方、整理等步骤，得到完全平方的二次方程
适用范围：适用于所有形式为 ax^2+bx+c=0 的二次方程
注意事项：在配方过程中，需要注意符号和系数的处理
公式法
公式法是解二次方程的一种方法，通过将二次方程化为标准形式，利用求根公式求解。求根公式是解二次方程的通用方法，适用于所有二次方程。公式法具有简单、快速、准确的优点，是解决二次方程问题的常用方法。在使用公式法时，需要注意判别式的非负性，以确保二次方程有实数解。
二次方程的解也可以表示为x1,2=[b±√(b^24ac)]/2a
二次方程的特例
完全平方：当二次项系数为1，一次项系数为偶数时，方程可化为完全平方的形式，便于求解。

一元二次方程的基本解法

一元二次方程的基本解法嘿，小伙伴们，今天咱们聊聊一元二次方程。

别一听这个名词就头大，其实它就是个数学小怪兽，但说白了，也就是我们经常见到的那种“x的平方加上x再加上常数等于零”的方程。

我们一步步来，把它拆解开，搞清楚怎么解这个方程，让它不再那么神秘。

1. 一元二次方程是什么？一元二次方程，其实就是含有一个未知数的二次方程，形如：ax² + bx + c = 0。

听起来有点拗口，对吧？别担心，咱们举个例子，帮大家更好地理解。

1.1 方程的组成部分ax²：这里的a是二次项的系数，它决定了方程的开口方向和大小。

bx：b是一次项的系数，它决定了方程的斜率。

c：c是常数项，也就是方程的“常驻”部分。

拿一个具体的方程来看，比如：2x² + 3x 5 = 0。

这就是个一元二次方程，我们的目标就是找到x的值，让这个方程成立。

1.2 方程的几何意义如果把方程画在坐标系上，你会发现它的图像是一条抛物线。

找方程的解，就是找这条抛物线和x轴交点的位置。

说白了，就是找那些“x”值，让方程的值变成零。

2. 解一元二次方程的常见方法好了，了解了方程的基本概念，我们来看看具体的解法吧。

一般来说，有几种常用的办法。

2.1 配方法这方法有点像玩魔术，咱们把方程变得简单易解。

首先，把方程改写成一个完全平方的形式。

举个例子，我们来看方程：x² + 6x + 8 = 0。

1. 把方程左边调整为完全平方：我们可以把x² + 6x变成(x + 3)² 1，然后得到(x + 3)² 1 + 8 = 0。

2. 化简方程：变成(x + 3)² + 7 = 0。

3. 解方程：我们把(x + 3)² = 7，开方得到x + 3 = ±√(7)，但因为√(7)是虚数，这表明方程没有实数解。

配方法虽然有点复杂，但它特别适合用来解决某些特殊类型的方程。

2.2 求根公式这个方法就像是数学界的万能钥匙。

一元二次方程的基本概念与常见求解方法

一元二次方程的基本概念与常见求解方法知识点睛一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，最高次数的项系数不为 0 的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式2(0)0ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项．（1）要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下四个标准：一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式．一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数．一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．一元二次方程最高次数的项系数不为0．（2）任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式2(0)0ax bx c a ++=≠．要特别注意对于关于 x 的方程2(0)0ax bx c a ++=≠．当0a ≠时，方程是一元二次方程；当00a b =≠且时，方程是一元一次方程．（3）关于x 的一元二次方程2(0)0ax bx c a ++=≠的项与各项的系数．ax 2 为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项．一元二次方程的解法（1）直接开平方法：适用于解形如 (ax +b )2 = ()00a c ≠，的一元二次方程．（2）配方法：解形如2 )00(ax bx c a ++=≠的一元二次方程，运用配方法解一元二次方程的一般步骤是：① 二次项系数化为1．② 常数项右移．③ 配方 (两边同时加上一次项系数一半的平方)．④ 化成 (x +m )2 = n 的形式．⑤ 若0n ≥，直接开平方得出方程的解。

（3）公式法：设一元二次方程为2 )00(ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：2124b ac x x ∆=-，，是方程的两根，则：1. ∆ > 0 ⇔ 方程 2)00(ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根 x = 2. ∆ = 0 ⇔ 方程 2 )00(ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根 122b x x a==-； 3. ∆ < 0 ⇔ 方程2 )00(ax bx c a ++=≠ 没有实数根．运用公式法解一元二次方程的一般步骤是：① 把方程化为一般形式．② 确定 a 、b 、c 的值．③ 计算24b ac -的值．④ 若 240b ac -≥，则代入公式求方程的根．⑤ 若240b ac -<，则方程无实数根．（4）因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式．因式分解法的一般步骤：① 将方程化为一元二次方程的一般形式；② 把方程的左边分解为两个一次因式的积；③ 令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④ 解出这两个一元一次方程得到原方程的解．一元二次方程解法的灵活运用直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法．在具体解题时，应当根据题目的特点选择适当的解法．（1）直接开平方法：用于缺少一次项以及形如 ax 2 = b 或 (x +a )2 = b (0)b ≥ 或 (ax +b )2 =(cx +d )2 的方程，能利用平方根的意义得到方程的解．（2）配方法：配方法是解一元二次方程的基本方法，而公式是由配方法演绎得到的．把一元二次方程的一般形式 ax 2 +bx +c = 0(a 、b 、c 为常数，0a ≠) 转化为它的简单形式 Ax 2 = B ，这种转化方法就是配方，之后再用直接开平方法就可得到方程的解．（3）公式法：适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算 24b ac -的值．（4）因式分解法：适用于右边为 0(或可化为 0)，而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法．【例 1】（1）若 x 2a +b -3x a-b +1 = 0 是关于 x 的一元二次方程，求 a 、b 的值．（2）若 n (n ≠0) 是关于 x 的方程 x 2 +mx +2n = 0 的根，则 m +n 的值为 ( )A. 1B. 2C. -1D. -2（3）已知 43x =，则2421x x x ++的值是 .（4）当 111552n n x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭时，(.n x = （ n 为自然数）【例 2】（1）用直接开平方法解方程：2269(5) 2x x x -+=-．（2）用配方法解方程：22310x x ++=．（3）用分解因式法解方程：2()2136x x -=-．（4）用公式法解方程：161432)2(2x x x x ⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭例 3】（1）解关于 x 的方程： 21 213()()0m x m x m -+-+-=．（2）解关于 x 的方程22656223200x xy y x y --++-=．【例 4】（1）如果方程 22()2020x px q x qx p p q -+=-+=≠和有公共根，则该公共根为．（2）若方程2222100ax ax x ax a +-=--=和有公共根，求a 的值例 5】（1）解方程：22132(10)|2|x x ---+=．（2）解方程：221|4|x x +-=．练习2 高次方程和无理方程知识点睛1.特殊高次方程的解法:一般的高次方程没有统一的求解方法. 对于一些特殊的高次方程, 可通过降次, 转化为一元二次方程或一元一次方程求解，转化的方法有因式分解法（因式定理）、换元法、变换主元法等.2. 特殊分式方程的解法:求解分式方程总的原则是通过去分母或换元, 使其转化为整式方程, 然后再求解. 在这个过程中离不开分式的恒等变形, 如通分、约分及降低分子的次数等等, 这就有可能使方程产生增根（或遗根）.3. 特殊无理方程的解法:解无理方程的基本思路是把根式转化为有理方程求解. 转化过程中常用的方法有: 乘方、配方、因式分解、等价变换、换元、增元、对偶、利用比例性质等. 如果变形过程是非等价变形（如方程两边平方）, 可能产生增根, 因此应注意验根.精讲精练【例 6】（1）解方程：43225122560x x x x --++=．（2）解关于 x 的方程 ()()322212 0x t x tx t t +--+-=．（3）解方程 321010x x ++++=【例 7】（1）解方程：(8x + 7)2 (4x + 3)(x + 1)= 29 ；（2）解方程： x x x x x x +-=------2221120102910451069．（3）解方程：222234112283912x x x x x x x x ++-+=+-+．【例 8】（1）解方程：()()222323322x x x x x =+-++--．（2）解方程：22252x x x ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭．（3）方程()()3232232?47615180x x x x x x x x -+---++-+=全部实根是．【例 9】（12=．（2）解方程 266 0x x --+=．【例 10】（1）已知 2x =，求．（2）无理方程 221518x x -=-的解是。

一元二次方程练习题含答案

经典解法20题(1)(3x+1F2=7(2)9x A2-24x+16=11(3)(x+3)(x-6)=-8⑷ 2xA2+3x=0⑸ 6xA2+5x-50=0 ( 选学)⑹ xA2-4x+4=0 (选学)(7)(x-2 ) A2=4 (2x+3)入2(8)yA2+2V2y-4=0(9)( x+1) A2-3 (x+1)+2=0(10)xA2+2ax-3aA2=0 (a 为常数)(11)2xA2 + 7x= 4.(12)xA2 — 1= 2 x(13)xA2 + 6x+5=0(14)x A2 — 4x+ 3=0(15)7xA2 — 4x— 3 =0(16)x A2 — 6x+9 =0(17)x 2+8x+16=9(18)(x 2-5) 2=16(19)x(x+2)=x(3-x)+1(20)6xA2+x-2=0海量111题1)xA2-9x+8=0 ⑵ xA2+6x-27=0 ⑶ xA2-2x-80=0(4)xA2+10x-200=0(5)xA2-20x+96=0 ⑹ xA2+23x+76=0(7)xA2-25x+154=0(8)xA2-12x-108=0(9)xA2+4x-252=0(10)xA2-11x-102=0(11)xA2+15x-54=0(12)xA2+11x+18=0(13)xA2-9x+20=0(14)xA2+19x+90=0(15)xA2-25x+156=0(16)xA2-22x+57=0(17)xA2-5x-176=0(18)xA2-26x+133=0(19)xA2+10x-11=0(20)xA2-3x-304=0(21)xA2+13x-140=0(22)xT+13x-48=0(23)xT+5x-176=0(24)x A2+28x+171=0(25)x A2+14x+45=0(26)xA2-9x-136=0(27)xA2-15x-76=0(28)xA2+23x+126=0(29)xA2+9x-70=0(30)xA2-1x-56=0(31)xA2+7x-60=0(32)xA2+10x-39=0(33)xA2+19x+34=0(34)xA2-6x-160=0(35)xA2-6x-55=0(36)xA2-7x-144=0(37)xA2+20x+5 仁0(38)xA2-9x+14=0(39)xA2-29x+208=0(40)xA2+19x-20=0(41)xA2-13x-48=0(42)xA2+10x+24=0(43)xA2+28x+180=0(44)xA2-8x-209=0(45)xA2+23x+90=0(46)xA2+7x+6=0(47)xA2+16x+28=0(48)xA2+5x-50=0(49)xA2+13x-14=0(50)xA2-23x+102=0(51)xA2+5x-176=0(52)xA2-8x-20=0(53)xA2-16x+39=0(54)xA2+32x+240=0(55)xA2+34x+288=0(56)xT+22x+105=0(57)xT+19x-20=0(58)x A2-7x+6=0(59)x A2+4x-221=0(60)xA2+6x-9 仁0(61)xA2+8x+12=0(62)xA2+7x-120=0(63)xA2-18x+17=0(64)xA2+7x-170=0(65)xA2+6x+8=0(66)xA2+13x+12=0(67)xA2+24x+119=0(68)xA2+11x-42=0(69)xA20x-289=0(70)xA2+13x+30=0(71)xA2-24x+140=0(72)xA2+4x-60=0(73)xA2+27x+170=0(74)xA2+27x+152=0(75)xA2-2x-99=0(76)xA2+12x+1仁0(77)xA2+17x+70=0(78)xA2+20x+19=0(79)xA2-2x-168=0(80)xA2-13x+30=0(81)xA2-10x-119=0(82)xA2+16x-17=0(83)xA2-1x-20=0(84)xA2-2x-288=0(85)xA2-20x+64=0(86)xA2+22x+105=0(87)xA2+13x+12=0(88)xA2-4x-285=0(89)xA2+26x+133=0(90)x A2-17x+16=0(91)x A2+3x-4=0(92)xA2-14x+48=0(93)xA2-12x-133=0(94)xA2+5x+4=0(95)xA2+6x-9 仁0(96)xA2+3x-4=0(97)xA2-13x+12=0(98)xA2+7x-44=0(99)xA2-6x-7=0 (100)xA2-9x-90=0 (101)xA2+17x+72=0 (102)xA2+13x-14=0 (103)xA2+9x-36=0 (104)xA2-9x-90=0 (105)xA2+14x+13=0 (106)xA2-16x+63=0 (107)xA2-15x+44=0 (108)xA2+2x-168=0 (109)xA2-6x-216=0 (110)xA2-6x-55=0 (111)xA2+18x+32=0答案(1)(3x+1F2=7解：(3x+1F2=7 /• (3x+1)A2=7 二 3x+1=±V7(注意不要丢解) 二 x= ( ±V 7-1)/3(2)9xA2-24x+16=11解：9xA2-24x+16=11 •••(3x-4)A2=11 二 3x-4= ±V 11 二x= ( ±V11+4)/3 •••原方程的解为 x1=(V 11+4)/3 x2=(- V 11+4)/3(3)(x+3)(x-6)=-8解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得 xA2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零)(x-5)(x+2)=0 ( 方程左边分解因式) 二x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)••• x1=5,x2=-2是原方程的解。

一元二次方程(知识点+考点+题型总结)

一元二次方程(知识点+考点+题型总结)类型三、配方法()002≠=++a c bx ax 222442a acb a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇒※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。

典型例题：例1、试用配方法说明322+-x x 的值恒大于0。

例2、已知x 、y 为实数，求代数式74222+-++y x y x 的最小值。

例3、已知，x、y y x y x 0136422=+-++为实数，求y x 的值。

例4、分解因式：31242++x x针对练习：★★1、试用配方法说明47102-+-x x 的值恒小于0。

★★2、已知041122=---+x x x x ，则=+x x 1.★★★3、若912322-+--=x x t ，则t 的最大值为，最小值为。

★★★4、如果4122411-++-=--++b a c b a ,那么c b a 32-+的值为。

类型四、公式法⑴条件：()04,02≥-≠ac b a 且⑵公式： a acb b x 242-±-=,()04,02≥-≠ac b a 且典型例题：例1、选择适当方法解下列方程：⑴().6132=+x ⑵()().863-=++x x ⑶0142=+-x x⑷01432=--x x ⑸()()()()5211313+-=+-x x x x例2、在实数范围内分解因式：（1）3222--x x ；（2）1842-+-x x . ⑶22542y xy x --说明：①对于二次三项式c bx ax ++2的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这种方法首先令c bx ax ++2=0，求出两根，再写成c bx ax ++2=))((21x x x x a --.②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.类型五、 “降次思想”的应用⑴求代数式的值； ⑵解二元二次方程组。

一元二次方程的概念(1)

一元一次方程与一元二次方程有什么联系与区别？
一元一次方程一元二次方程
一般式
相同点不同点
ax2+bx+c=0 (a≠0）整式方程，只含有一个未知数未知数最高次数是1 未知数最高次数是2
ax+b=0 (a≠0）
1.本节学习的数学知识是：
（1） 2、学习的数学思想方法是转化、建模思想。
一元二次方程的概念一元二次方程的一般形式（2）
是关于x的一元二次方程？
4.若关于x的方程2mx（x-1）-nx（x+1）=1，化成一般形式后为4x2-2x-1=0，求m、n的值。
例2.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次
项系数、一次项系数和常数项：
一般形式二次项系数一次项系数常数项
方
2
程
3x =5x-1 (x+2)(x -1)=6
上述三个方程有什么共同特点？与我们以前学过的一元一次方程和分式方程有什么区别？ 1、上面三个方程整理后含有一个 ___未知数,它们的最高次数是 2 ___ ,等号两边是整 __ 式。 2、和以前所学的方程比较它们叫什么方程？请定义。
特点: ①只含一个未知数; ②未知数的最高次数是2. ③都是整式方程;
(m-3)x -(m-1)x-m=0(m≠3)
2
2 -4 3 4 m-3 3
1 2 -1
4 0 -1
2
2
2
0
1-m -8
-5
-m -10
3x(x-1)=5(x+2)
例3.从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不
去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．解：设竹竿的长为x尺,则门的宽度为(x－4) 尺,长为 (x－2) 尺,依题意得方程：

二次一方程

二次一方程
一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

解析：A、B项都有两个未知数x、y，不符合一元的条件；C项只有一个未知数x，且x的最高次幂是2，符合条件。

这里提醒大家一下，别看着有分母就认为不是整式方程，当分母是数字时分母是能够去掉的（比如等式两边同时乘以6），或者是直接将分母作为系数的一部分。

比如x2的系数就变成了2/3；D项的分母含有未知数，不是整式方程。

（总结一下：可以含有纯数字的分母，但是分母中不能出现分子分母不能约掉的字母。

）。

一元二次方程(1)

温故知新
1、方程3x2－x－2=0的实数根为、方程的实数根为___________；－的实数根为； 2、函数f(x)=x2－x－2的零点为、函数的零点为___________；－的零点为； 3、方程3x2－mx+1=0的只有一个实数根，则m=____；、方程的只有一个实数根，；的只有一个实数根
a 4、方程2x2－ax+a－3=0， ∈ R 的实数根个数为（、方程的实数根个数为（－，
A.只有一个实数根只有一个实数根 B.没有实数根没有实数根 C.有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根 D.不能确定不能确定
）
一元二次不等式的解法( 一元二次不等式的解法(一)
一元二次不等式定义：一元二次不等式定义：定义只含有一个未知数，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式称为一元二次不等式. 的不等式，次数是的不等式，称为一元二次不等式其一般形式为ax2+bx+c>0与ax2+bx+c<0 其一般形式为与
变式6、不等式－的解集为___________；变式、不等式－ x2－x+2≤0的解集为的解集为；变式7、不等式－的解集为__________；变式、不等式(x－2)(3－x)≥0的解集为－的解集为；
x2 > 0 的解集为变式8、的解集为___________；变式、不等式； 2x +1
y x
0
x2 x
0
x
有两个不相等的有两个相等的实数根x 实数根 1、x2 实数根x 实数根 1=x2 (x1<x2) {x|x<x1或x&g{x|x1<x<x2}