数学培优竞赛新方法(九年级)-第7讲 转化与化归

第七讲 转化与化归

可化为一元二次方程的方程及方程组

数学(家)特有的思维方式是什么?若从量的方面考虑，通常运用符号进行形式化抽象，在一个概念和公理体系内实施推理计算，若从“转化”这个侧面又该如何回答?匈牙利女数学家路莎•彼得在《无穷的玩艺》一书中写道：“作为数学家的思维来说是很典型的，他们往往不对问题进行正面攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化为已经能够解决的问题．” 转化与化归是解分式方程和高次方程(次数高于二次的整式方程)的基本思想．解分式方程，通过去分母和换元；解高次方程，利用因式分解和换元，转化为一元二次方程或一元一次方程去求解．

【例题求解】

【例1】 已知关于x 的方程4322(3)(2)20x x k x k x k ++++++=有实数根，若所有的实数根的积为－2，则所有实数根的平方和为 。

思路点拨：将方程左边因式分解，化高次方程为低次方程。

【例2】1的解的情形是（ ）

A 、无解

B 、恰有一个解

C 、恰有两个解

D 、有无穷多个解

思路点拨1=，即

231=，通过讨论去掉绝对值符号。

【例3】解下列方程：

（1）222234112283912

x x x x x x x x ++-+=+-+ （河南省竞赛题） （2）33(1999)(1998)1x x -+-=； （山东省竞赛题）

（3）21313()4211

x x x x x x --+=++； （“祖冲之杯”邀请赛试题） （4）2(1)(35)1444524

x x x y x x y ++=⎧⎨++=⎩ （西安市竞赛题） 思路点拨：

按照常规思路求解繁难，应恰当转化，对于（1），利用倒数关系换元；对于（2），从

(1999)(1998)1x x -+-=受到启示；对于（3），设131x y x -=+，则可导出x y +、xy 的结果；对于（4），视2x x +，35x y +为整体，

可得到2()(35)x x x y +++、2()(35)x x x y ++的值。

【例4】解下列方程（组）：

（1）

、25x x += （克罗地亚奥林匹克试题）

（2

）520511

x y x y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩ （2011年《数学周报》杯全国初数学竞赛题）

非等价转化

【例5】若关于x 的方程

2211k x kx x x x x

+-=--只有一个解（相等的解也算作一个），试求k 的值与方程的解。

分析：先将分式方程转化为整式方程，把分式方程解的讨论转化为整式方程的解的讨论，“只有一个解”内涵丰富，在全面分析的基础上求出k 的值。

学力训练

1、方程

542332x x x

+=--的解是 。 （威海市中考题） 2、方程2()65()11

x x x x +=--的整数解是 。 （天津市中考题） 3、用换元法解方程63521x x x x -+=-时，如果设2x x y +=，那么原方程可变形为（ ）

A 、220y y ++=

B 、220y y --=

C 、220y y -+=

D 、220y y +-=

5、关于x 的方程11

a x =+的解是负数，则a 的取值范围是（ ）。 A 、1a B 、1a 且0a ≠ C 、1a ≤ D 、1a ≤且0a ≠

（山西省中考题）

6、下列方程有实数解的是（ ）

A 1=-

B 、120x ++=

C 、111

x x x =++ D 、2230x x -+= （潍坊市中考题）

7、解方程组222

230x y x xy y -=⎧⎨--=⎩

（2011年上海市中考题）

8、解下列方程：

（1）2654111

x x x x x ++=--+ （上海市中考题） （2）222(1)160x x x x

+++-= （苏州市中考题） （3）2261x x x x

=+++ （天津市中考题） （4）(1)(2)(3)(4)120x x x x ++++=

9、（1

）求方程22552x x ++=

（日本数学奥林匹克试题）

（2

）解方程组2()2345

x y z x y z ⎧++-=⎪⎨==⎪⎩

（太原市竞赛题） 能力拓展：

10、解方程222211114325671221

x x x x x x x x +++=+++++++得 。 （“祖冲之杯”邀请赛试题）

11、方程18272938

x x x x x x x x +++++=+++++的解是 。 （第16届江苏省竞赛题） 12、若实数x 、y 满足703392xy x y x y xy

+++=⎧⎨+=+⎩，则22x y xy +＝ 。 （第20届江苏省竞赛题）

13、若实数x 、y 、z 满足方程组1

22232xy x y yz y z

zx z x

⎧=⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩，则（ ）

A 、230x y z ++=

B 、7520x y z ++=

C 、9630x y z ++=

D 、1070x y z ++=

14、如果方程3254(4)0x x k x k -++-=的三个根可以作为一个三角形的三边长，则实数k 的值为（ ）

A 、3

B 、4

C 、5

D 、6

（四川省竞赛题）

15、关于x 的方程2

1

x a x =-仅有两个不同的实根，则实数a 的取值范围是（ ）。 A 、0a B 、4a ≥ C 、24a D 、04a

（全国初中数学联赛）

16、解下列方程（组）：

（1）2221(1)(24)x x x x x x -+=++++

（2011年青少年数学国际城市邀请赛）

（2）22()31

x x x +=+ （3）3223221010x xy y y x y x ⎧+--=⎪⎨+--=⎪⎩

（德国数学奥林匹克试题） （4）229410(9)(4)24x y x y x y xy ⎧+++=⎪⎨⎪++=⎩

（太原市竞赛题）