第一讲线性规划及其对偶问题运筹学讲解

(0,0)， (10,-8) 20
C点： X1+2X2 =30
3X1+2X2 =60
A
10
可行解
Z=0
0
等值线
最优解：
X* = (15,7.5) Zmax =975
最优解
B
Z=975
C
10
2D0
wenku.baidu.com30
X1
例2、 Max Z=40X1+ 80X2
X1+2X2 30
s.t
3X1+2X2 60
2X2 24
s.t
x11 + x21+ x31 = 40
x12 + x22+ x32 = 15
x13 + x23+ x33 = 35
xij 0
(2) 线性规划问题的特点
决策变量： (x1… xn)T 代表某一方案， 决策者要考虑和
控制的因素非负；
目标函数：Z=ƒ(x1 … xn) 为线性函数，求Z极大或极小;
A, B 各生产多少, 可获最大利润?
解: 设产品A, B产量分别为变量x1， x2 可以建立如下的数学模型：
目标函数 约束条件
Max s.t
Z= 40x1 +50x2
x1 + 2x2 30 3x1 + 2x2 60
2x2 24 x1，x2 0
例2、合理下料问题
2.9m 钢筋架子100个，每个需用 2.1m 各1，原料长7.4m
xi为大于零的整数，i 1,2,3,4,5,6,7,8
例3、运输问题
运输 单价 仓1
2 库3 需求
工厂 123 213 224 342 40 15 35
库存 50 30 10
求：运输费用最小的运输方案。
解：设xij为i 仓库运到j工厂的原棉数量 其中：i ＝1，2，3
j ＝1，2，3
Min Z= 2x11 + x12+3x13+2x21 +2x22 +4x23 +3x31 +4x32 +2x33 x11 + x12+ x13 = 50 x21 + x22+ x23 = 30 x31 + x32+ x33 = 10
2 线性规划问题的图解法
MaxMin Z CX
1
AX , b
s.t
X
0
2
定义1：满足约束(2)的X=(X1 …Xn)T称为线性规划问题 的可行解，全部可行解的集合称为可行域。
定义2：满足(1)的可行解称为线性规划问题的最优解。
例1
Max Z=40X1+ 50X2
X1+2X2 30 s.t 3X1+2X2 60
X1 , X2 0
解：(1)、确定可行域与上例完全相同。 (2)、求最优解
30
最优解：BC线段
20
最优解
A
B
Z=1200
10
C
0
10
2D0
30
最优解：BC线段 Max Z=1200
B点：X(1)=(6,12) C点：X(2)=(15,7.5)
X=X(1)+(1-)X(2) (0 1)
X=
X1 =
1.5m 合计 料长 料头
10130234 7.3m 7.1m 6.5m 7.4m 6.3m 7.2m 6.6m 6.0m 7.4m 7.4m 7.4m 7.4m 7.4m 7.4m 7.4m 7.4m 0.1m 0.3m 0.9m 0.0m 1.1m 0.2m 0.8m 1.4m
设按第i种方案下料的原材料为xi根
1.5m 求：如何下料，使得残余料头最少。 解：首先列出各种可能的下料方案；
计算出每个方案可得到的不同长度钢筋的数量及残余料 头长度；
确定决策变量； 根据下料目标确定目标函数； 根据不同长度钢筋的需要量确定约束方程。
组合方案 1 2 3 4 5 6 7 8
2.9m 2 1 1 1 0 0 0 0
2.1m 0 2 1 0 3 2 1 0
am1x1 am2 x2 amnxn , bm
x1, x2 ,, xn 0
隐含的假设
比例性：决策变量变化引起目标的改变量与决策变量改 变量成正比
可加性：每个决策变量对目标和约束的影响独立于其它 变量
连续性：每个决策变量取连续值
确定性：线性规划中的参数aij , bi , cj为确定值
运筹学
主要内容
第一讲 线性规划及其对偶问题 第二讲 线性规划建模 第三讲 非线性规划:无约束问题 第四讲 非线性规划:约束极值问题 第五讲 原始对偶算法与拉格朗日松弛算法 第五讲 对策论（博弈论） 第六讲 信息经济学（机制设计）
第六讲 决策论 第七讲 整数规划扩展 第八讲 智能算法
第一讲 线性规划及其对偶问题
1 线性规划问题及其数学模型 2 线性规划问题的图解法 3 单纯形法 4 对偶问题 5 EXCEL求解线性规划 6 灵敏度分析
1 线性规划问题及其数学模型
(1) 线性规划问题
例1、生产组织与计划问题
煤 劳动力 仓库 单位利润
AB 12 32 02 40 50
可用资源
30 60 24
可行域 无上界
可行域
无界 无有限最优解
0
4
Z=0
2X1+X2 8
X1 X20
约束条件：可用线性等式或不等式表示.
具备以上三个要素的问题就称为 线性规划问题。
(3) 线性规划模型一般形式
目标函数
MaxMin
Z c1x1 c2 x2 cn xn
s.t
约束条件
a11x1 a12 x2 a1n xn , b1
a21x1
a22 x2
a2n xn
, b2
6
15
+(1- )
X2
12
7.5
X1 =6 +(1- )·15
X2=12+(1- )·7.5
X1 =15-9 X2 =7.5+4.5 (0 1)
例3、 Max Z=2X1+ 4X2 X2
2X1+X2 8 8
s.t -2X1+X2 2
6
X1 , X2 0
4
无有限最优解
2
X1 0
-2X1+X2 2
Min Z 0.1x1 0.3x2 0.9x3 0x4 1.1x5 0.2x6 0.8x7 1.4x8
2x1 x2 x3 x4 0x5 0x6 0x7 0x8 100
s.t.
0xx1102xx22xx3330xx4403xx5522xx6630xx7740xx88110000
2X2 24
X1 , X2 0
解：(1)、确定可行域 X2
X1+2X2 30
3X1+2X2 60
30
2X2 24
X1 0
20
X2 0
A
X1 0
10
3X1+2X2 60
X1+2X2 30
2X2 24
B C
可行域
0
10
2D0
30
X2 0
(2)、求最优解
X2
Z=40X1+50X2
30
0=40X1+50X2