2015年杭州师范大学数学分析2015考研真题／研究生入学考试试题
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)答案
y
z
2 sin cos ,
,
从
2
到
2
I ( y z)dx (z 2 x 2 y)dy (x 2 y 2)dz L
2
(
2 sin cos )sin
2 sin
2 cos (cos 2 2sin 2 ) sin d
2
2
2
2
sin 2
1 2
sin
2
sin
sin3
W
W
02
0
4
13、【答案】 2n1 2
【考点】行列式的计算 【难易度】★★★ 【详解】按第一行展开得
2n1 2 14、【答案】 1
2
【考点】 【难易度】★★
【详解】(X ,Y ) ~ N(1, 0,1,1, 0) ， X ~ N (1,1),Y ~ N (0,1), 且 X ,Y 独立
X 1 ~ N(0,1) ， PXY Y 0 P(X 1)Y 0
1 0
0 1 2k
k
1 k
k
0 ，得 k
0 ，并解得
x
c
0 1
,
c
为任意常数。
从而 c1 c3, c 为任意常数。
21、【考点】相似矩阵，相似对角化
【难易度】★★★
0 2 3
1 2 0
【详解】由
A
1 1
3 2
3 a
相似于
B
0 0
b 3
0 1
0 3 a 1 b 1
0 2 3 1 2
P(AB) P(A) P(B) 故选（C） 2
8、【答案】(D) 【考点】 【难易度】★★★ 【详解】
E X X Y 2 E X 2 XY 2X E X 2 E XY 2E X
2015年杭州师范大学考研初试真题826计算机基础
A．18 B．19 C．20 D．21
8.以下选项中不属于自含时钟编码的是（）。
A.差分曼彻斯特编码B．曼彻斯特编码
B．非归零码D．都不是
9.一台交换机具有24个10/100Mbps端口和两个1Gbps端口，如果所有端口都工作在全双工状态，那么交换机的总带宽最大是（）。
给定个二叉树的数组存储方式如下图1011写出该二叉树的前序遍历preorderorder结果写出该二叉树的中序遍历inorderorder结果写出该二叉树的后序遍历postorderorder结果写出该二叉树的层序遍历levelorder结果20依次将603020507885插入一棵二叉搜索树binarysearchtree画出将30删除后的二查搜索树10连接用户计算机身边10m之内计算机等数字终端设备的网络称为wsn覆盖i0mi0km的网络称为lan覆盖i0i00km的网络称为man覆盖i00i000km的网络称为wanip数据报域名wwws0hucom
6 scanf("%d%d", a, b);
7 x = maxCommonFactor(a,b);
8 printf("MaxCommonFactor=%d\n", x);
9 }
10 int maxCommonFactor(int a, int b) {
11 int r;
12 do {
13 r = a % b;
A.视操作系统而定B. then C.视编辑器而定D. else
5.下列（）循环保证至少执行一次。
A. for B. do while C. while D.以上皆是
6.以下代码段的输出为（）。
2015考研数学(一二三)真题(含答案)
由 4xy 1得， 4r2 cos sin 1, r 1
2sin 2
o
x
故
D
4
1
3
r
2sin
1
1
f (x, y)dxdy
3
而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故 nan (x 1)n 的收敛区间还是 (0, 2) . n1
因而 x 3 与 x 3 依次为幂级数 nan (x 1)n 的收敛点，发散点.故选（B）. n1
【解析二】注意条件级数 an 条件收敛等价于幂级数 an xn 在 x 1处条件收敛，
2
3
(A) a 3,b 2,c 1
(B) a 3,b 2, c 1
(C) a 3,b 2,c 1
(D) a 3,b 2, c 1
【答案】（A）
【解析一】由特解 y 1 e2x (x 1)ex 1 e2x 1 ex xex 可知,
2015 年全国硕士研究生入学 统一考试
数学（一、二、三） 试题及解析
山东考研辅导专家 苏老师
2015 年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试题
一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.
(1)设函数 f (x) 在 , 内连续，其中二阶导数 f (x) 的图形如图所示，则曲线 y f (x) 的拐点的个
数为 ( )
2015考研数学真题完整版
2015考研数学真题完整版对于众多考研学子来说，考研数学真题具有极其重要的意义。
它不仅是检验学习成果的试金石，更是了解考试趋势、把握命题规律的关键依据。
2015 年的考研数学真题，整体呈现出了一定的特点和难度水平。
从题型分布来看，选择题、填空题和解答题的比例合理，涵盖了数学的各个重要知识点。
在选择题中，对于基本概念和定理的考查较为细致，需要考生对定义有清晰准确的理解。
例如，在高等数学部分，对于函数极限的概念、导数的定义等知识点进行了巧妙的设计，要求考生能够迅速准确地运用所学知识进行判断和计算。
填空题则更侧重于考查考生的计算能力和对公式的熟练运用。
像线性代数中的矩阵运算、概率论中的概率密度函数计算等，都需要考生在短时间内准确无误地得出答案。
这不仅考验了考生的基础知识掌握程度，还对其计算速度和准确性提出了较高的要求。
解答题的难度分布较为均匀，既有对基础知识的巩固考查，也有对综合运用能力和创新思维的挑战。
比如，在高等数学的解答题中，经常会出现与函数单调性、极值、曲线积分等相关的问题，需要考生熟练运用求导、积分等方法，结合几何意义进行深入分析。
在知识覆盖面上，2015 年考研数学真题涵盖了高等数学、线性代数和概率论与数理统计三大板块。
高等数学部分依旧是重点，占据了较大的比重。
函数、极限、连续、一元函数微积分学、多元函数微积分学等知识点均有涉及，且考查方式灵活多变。
线性代数部分，重点考查了矩阵、向量、线性方程组等核心内容。
要求考生能够熟练掌握矩阵的运算、向量组的线性相关性以及线性方程组的求解方法。
概率论与数理统计部分，对于随机变量及其分布、数字特征、大数定律和中心极限定理等内容进行了考查。
考生需要具备运用概率统计知识解决实际问题的能力。
从难度层次上来看，2015 年的考研数学真题具有一定的区分度。
基础题目主要考查考生对基本概念、定理和公式的掌握程度，确保大部分考生能够拿到一定的分数。
而中高难度的题目则需要考生具备较强的综合分析能力和解题技巧，能够将多个知识点融会贯通，灵活运用。
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析
一、选择题
（1）设函数 在 连续，其2阶导函数 的图形如下图所示，则曲线 的拐点个数为（）
（A）0（B）1 (C) 2 ( D) 3
（4）设D是第一象限中曲线 与直线 围成的平面区域，函数 在D上连续，则
（A） （B）
(C) ( D)
（5）设矩阵 ， ，若集合 ，则线性方程组 有无穷多个解的充分必要条件为
其中 为未知参数， 为来自该总体的简单随机样本.
（Ⅰ）求 的矩估计.
（Ⅱ）求 的最大似然估计.
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题解析
一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1)【答案】（C）
（13）n阶行列式
（14）设二维随机变量服从正态分布，则.
三、解答题
（15）设函数 ， ，若 与 在 是等价无穷小，求 ， ， 值。
（16）设函数 在定义域 上的导数大于零，若对任意的 ，曲线 在点 处的切线与直线 及 轴所围成的区域的面积为4，且 求 的表达式。
（17）已知函数 ，曲线 ，求 在曲线 上的最大方向导数.
【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此，由 的图形可得，曲线 存在两个拐点.故选（C）.
(2)【答案】（A）
【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.
2015真题及解析
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)试题解析一、选择题:18小题,每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中 ，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸..指定位置上.⑴设：■是数列，下列命题中不正确的是 ()(A) 若 lim x n: -a,则 lim X=lim X=n _i :n L :n _ac(B)若 lim x 2n二lim X 2n 1 二 a ,贝U lim X n二 an ；:n t: n _sc (C) 若 lim x n= 二a ,则lim X 3n =lim X 3nan ;:n L :n _sc1(D) 若 lim X 3n =limX3n 1=a ,则 lim x n= an _$ : n :【答案】(D)【解析】答案为D,本题考查数列极限与子列极限的关系•数列Xn —• a n 、：：：= 对任意的子列：Xn k "匀有Xn k —• a k —• ■■' ；■,所以A 、B 、C 正确；D 错(D 选项缺少X 3n 2的敛散性)，故选D(2)设函数f X 在-:：，V 内连续，其2阶导函数「X 的图形如 右图所示则曲线y = f X 的拐点个数为()(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3【答案】(C)【解析】根据拐点的必要条件，拐点可能是「(x)不存在的点或f (X ^Q 的点处产生.所以y = f (x)有三个点可能是拐点，根据拐点的定义，即凹凸性改变的点；二阶导函数 「(X)符号发生改变的点即为拐点•所以从图可知，拐点个数为2,故选 C.(3)设D・；［X , y x 2• y 2咗2x,x 2• y 2乞2yf ，函数f X,y 在D 上连续,则f x,y dxdy =()D2cos2sin •二(A)/dA 。
f r cos’r si" rdr 亠！2dj f r cos’r sin^ rdr42sin 2cos T 1(B) 04犷 0 f rcosdrsin^ rdr 亠 引二。
2015年考研数学真题(数二)
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)下列反常积分中收敛的是（）（A ）2dx x+∞⎰（B ）2ln xdx x+∞⎰(C)21ln dx x x+∞⎰(D)2x x dx e+∞⎰(2)函数20sin ()lim(1)x tt t f x x→=+在(,)-∞+∞内（） （A ）连续 （B ）有可去间断点 （C ）有跳跃间断点 (D)有无穷间断点(3)设函数1cos ,0()0,0x x f x xx αβ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩(0,0)αβ>>，若()f x '在0x =处连续，则（）（A ）1αβ-> (B)01αβ<-≤ (C)2αβ-> (D)02αβ<-≤ (4) 设函数()f x 在(,)-∞+∞连续，其二阶导函数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =的拐点个数为（）（A ）0 (B)1 (C)2 (D)3(5).设函数(u v)f ，满足22(,)y f x y x y x+=-，则11u v fu ==∂∂与11u v f v==∂∂依次是（）（A ）12,0 (B)0，12（C ）-12,0 (D)0 ,-12(6). 设D 是第一象限中曲线21,41xy xy ==与直线,y x y ==围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则(,)Df x y dxdy ⎰⎰=（）（A ）12sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰（B）24(cos ,sin )d f r r dr ππθθθ⎰（C ）13sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰（D）34(cos ,sin )d f r r dr ππθθθ⎰(7)．设矩阵A=211112a 14a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，b=21d d ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,若集合Ω=}{1,2，则线性方程组Ax b=有无穷多个解的充分必要条件为（）（A ）,a d ∉Ω∉Ω (B),a d ∉Ω∈Ω (C),a d ∈Ω∉Ω (D),a d ∈Ω∈Ω(8)设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2221232,y y y +-其中123P=(e ,e ,e )，若132(,,)Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为（ ）(A):2221232y y y -+ (B) 2221232y y y +- (C) 2221232y y y -- (D) 2221232y y y ++二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.(9) 设2231arctan ,3t x t d y dx y t t==⎧=⎨=+⎩则 （10）函数2()2xf x x =在0x =处的n 阶导数()(0)n f =（11）设函数()f x 连续，2()(),x x xf t dt ϕ=⎰若(1)ϕ1=，'(1)5ϕ=，则(1)f = （12）设函数()y y x =是微分方程'''20y y y +-=的解，且在0x =处()y x 取值3，则()y x =（13）若函数(,)z z x y =由方程231x y zexyz +++=确定，则(0,0)dz =（14）设3阶矩阵A 的特征值为2，-2,1，2B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵，则行列式B =三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、（本题满分10分）设函数()ln(1)sin f x x x bx x α=+++，2()g x kx =，若()f x 与()g x 在0x →是等价无穷小，求,,a b k 的值。
2015年考研数学真题答案(数二 )
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、下列反常积分中收敛的是（）（A）2+∞⎰（B ）2ln xdx x+∞⎰(C)21ln dx x x+∞⎰(D)2xx dx e +∞⎰【答案】(D)【考点】反常积分的收敛性 【难易度】★★ 【详解】（A）2+∞==+∞⎰，发散，（B ）222ln 1(ln )2x dx x x +∞+∞==+∞⎰，发散（C ）221ln ln ln dx x x x +∞+∞==+∞⎰，发散 （D ）当x 足够大时，21x x e x <，221dx x +∞⎰收敛，2x x dx e+∞⎰收敛 2、函数20sin ()lim(1)x tt tf x x→=+在(,)-∞+∞内（）（A ）连续 （B ）有可去间断点 （C ）有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】(B)【考点】极限的计算 【难易度】★★【详解】当0x ≠时，22sin sin 0sin sin ()=lim(1)lim(1)x x t x x tt x tt t ttf x e xx→→+=+=3、设函数1cos ,0()0,0x x f x xx αβ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩(0,0)αβ>>，若()f x '在0x =处连续，则（） （A ）1αβ-> (B)01αβ<-≤ (C)2αβ-> (D)02αβ<-≤ 【答案】(A)【考点】导数的定义、连续的定义 【难易度】★★★【详解】100()(0)1(0)=limlim cos x x f x f f x x xαβ-→→-'=存在 所以10α->，且(0)=0f '1111()=cossin f x x x x x ααβββαβ---'+ 由0lim ()(0)0x f x f →''==，得10αβ-->，1αβ->4、设函数()f x 在(,)-∞+∞连续，其二阶导函数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =的拐点个数为（）（A ）0 (B)1 (C)2 (D)3 【答案】C【考点】拐点的定义 【难易度】★★★【详解】由图易知，拐点为原点和与x 正半轴的交点，所以拐点数为2 5、设函数(u v)f ，满足22(,)y f x y x y x+=-，则11u v f u ==∂∂与11u v fv ==∂∂依次是（） （A ）12,0 (B)0，12（C ）-12,0 (D)0 ,-12【答案】(C)【考点】链式求导法则 【难易度】★★【详解】法一：,y u x y v x =+=，所以,11u uvx y v v ==++所以222222(1)(,)(1)(1)1u u v u v f u v v v v -=-=+++ 2(1)1f u v u v ∂-=∂+，222(1)fu v v ∂-=∂+ 110u v f u ==∂=∂，1112u v fv==∂=-∂ 法二：22(,)x f x y x y y+=-（1）（1）式对x 求导得，22f y f x u x v ∂∂-=∂∂（2） （1）式对y 求导得，12f f y u x v∂∂+=-∂∂（3） 由1,1u v ==，得12x y ==，代入（2）（3）解得110u v f u ==∂=∂，1112u v fv==∂=-∂ 6、设D 是第一象限中曲线21,41xy xy ==与直线,y x y =围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则(,)Df x y dxdy ⎰⎰=（）（A ）12sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰（B）24(cos ,sin )d f r r dr ππθθθ⎰（C ）13sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰（D）34(cos ,sin )d f r r dr ππθθθ⎰【答案】(D)【考点】二重积分的极坐标变换 【难易度】★★★ 【详解】由y x =得，4πθ=由y =得，3πθ=由21xy =得，22cos sin 1,r r θθ==由41xy =得，24cos sin 1,r r θθ==所以34(,)(cos ,sin )Df x y dxdy d f r r rdr ππθθθ=⎰⎰⎰7、设矩阵A=211112a 14a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，b=21d d ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,若集合Ω=}{1,2，则线性方程组Ax b =有无穷多个解的充分必要条件为（）（A ）,a d ∉Ω∉Ω (B),a d ∉Ω∈Ω (C),a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答案】(D)【考点】线性方程组 【难易度】★★【详解】[]()()()()2211111111,12011114001212A b a d a d a d a a d d ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦Ax b =有无穷多解⇔R(A)=R(A,b)<31212a a d d ⇔====或且或.8、设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2221232,y y y +-其中123P=(e ,e ,e )，若132(,,)Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为（ ）(A)2221232y y y -+ (B) 2221232y y y +- (C) 2221232y y y -- (D) 2221232y y y ++ 【答案】(A) 【考点】二次型 【难易度】★★★【详解】由x Py =，故222123()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-且：200010001T P AP ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦100200001,()010010001T T T Q P PC Q AQ C P AP C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥====-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦所以222123()2T T T f x Ax y Q AA y y y y ===-+，故选(A)二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 9、设2231arctan ,3t x t d y dx y t t==⎧=⎨=+⎩则 【答案】48【考点】复合函数的求导法则 【难易度】★★【详解】2222333(1)11dy dy dt t t dx dx dtt +===++， 22222212(1)12(1)11d dy d y t t dt dx t t dx dx t ⎛⎫⎪+⎝⎭===++， 因此，212121448t d y dx==⋅⋅=.10、函数2()2xf x x =在0x =处的n 阶导数()(0)n f =【答案】2(1)(ln 2)n n n --【考点】高阶导数；莱布尼兹公式：()()0()()nn kn k k n k uv C u v -==∑ 【难易度】★★ 【详解】()()()2()2n n x fx x =⋅()(0)n f ⇒()()(2)222(1)222(ln 2)2n x x n n x x n n C x --==-''==⋅⋅⋅2(1)(ln2)n n n -=-.11、设函数()f x 连续，2()(),x x xf t dt ϕ=⎰若(1)ϕ1=，'(1)5ϕ=，则(1)f =【答案】2【考点】变限积分求导 【难易度】★★ 【详解】2220()()()()2()x x x xf t dt x f t dt x x f x ϕϕ'=⇒=+⋅⋅⎰⎰1(1)()2(1)(1)2(1)5(1)2f t dt f f f ϕϕ'=+=+=⇒=⎰.12、设函数()y y x =是微分方程'''20y y y +-=的解，且在0x =处()y x 取值3，则()y x = 【答案】【考点】【难易度】★★【详解】微分方程的通解是212x x y c e c e -=+则12(0)33y c c ==+=，12(0)020y c c '==-+=，121,2c c ⇒==22x x y e e -⇒=+.13、若函数(,)z z x y =由方程231x y ze xyz +++=确定，则(0,0)dz =【答案】1233dx dy --【考点】隐函数求导法则 【难易度】★★★ 【详解】,0z zdz dx dy x x y∂∂=+=∂∂0y =0z = 两边对x 求导23(31)0x y zz zeyz xy x x++∂∂⋅+++=∂∂ 代入0,0x y ==01|3x z x =∂=-∂ 两边对y 求导23(32)0x y zz zexz xy y y++∂∂⋅+++=∂∂ 代入0,0x y ==02|3y z y =∂⇒=-∂(0,0)12|33dz dx dy ⇒=--.14、设3阶矩阵A 的特征值为2，-2,1，2B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵，则行列式B =【答案】21【考点】矩阵的特征值 【难易度】★★【详解】A 的特征值为2，-2,1，又由于2B A A E =-+，因此矩阵B 的特征值为3,7,1，因此矩阵B 的行列式的值为21三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分）设函数()ln(1)sin f x x x bx x α=+++，2()g x kx =，若()f x 与()g x 在0x →是等价无穷小，求,,a b k 的值。
2015年考研数学一真题及答案详细解析-2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题及答案
(17)(本题满分 10 分) 已知函数 f
( x, y ) = x + y + xy ，曲线 C： x 2 + y 2 + xy = 3 ，求 f ( x, y )
在曲线 C 上的最大方向导数.
(18)(本题满分 10 分) （I）设函数 u ( x) , v( x) 可导，利用导数定义证明[u(= x)v( x)]′
∫∫ f ( x, y ) dxdy =
D
1
(A)
π
∫π
3 4
π
3
4
dθ ∫ sin12θ f ( r cos θ , r sin θ )rdr
2sin 2θ
1
(B)
∫π dθ ∫
π
3 4
1 sin 2θ 1 2sin 2θ
1 sin 2θ 1 2sin 2θ
f ( r cos θ , r sin θ )rdr
3
( x) 与
g ( x ) 在 x → 0 是等价无穷小，求 a, b, k 的值.
3
(16)(本题满分 10 分) 设函数 f ( x ) 在定义域 I 上的导数大于零，若对任意的 x0 ∈ I ，由线
y =f ( x ) 在点 ( x0 , f ( x0 ) ) 处的切线与直线 x = x0 及 x 轴所围成区域的面积恒为 4，且 f ( 0 ) = 2 ，求 f ( x ) 的表达式.
∑a
n =1
∞
n
条件收敛，则 x =
3 与 x = 3 依次为幂级数 ∑ nan ( x − 1) n 的
n =1
∞
收敛点，收敛点 收敛点，发散点 发散点，收敛点 发散点，发散点
(4)
2015年杭州师范大学考研初试真题 817高等代数
0 1 2 cos 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 cos n 。
0 1 2 cos
4．设向量组 {1 , 2 ,..., s }(s 2) 线性无关，讨论下面向量组
1 1 2 , 2 2 3 ,..., s1 s1 s , s s 1
x1 x2 (1 a ) x3 a 6．线性方程组 x1 (1 a ) x2 x3 3 ，当 a 为何值时，方程组： （1）有唯一解，并求其解； (1 a ) x x x 0 1 2 3
（2）有无穷个解，并求其解。
7 ． 已知二次型 p( x1, x2 , x3 ) 2x12 3x22 3x32 2ax2 x3 , a 0, 通过正交变换化为标准形
p( y1, y2 , y3 ) y12 2 y22 5 y32 ，求参数 a 及所用的正交变换。
8. 证 明 ： 设 V 是 数 域 F 上 的 一 个 n 维 向 量 空 间 , 则 V 中 存 在 一 个 无 穷 序 列
W wi | i 使得 W 中任 n 个元素构成的向量组都线性无关。
杭 州 师 范 大 学 硕 士 研 究 生 入 学 考 试 命 题 纸
杭
州
师
范
大
学
2015 年招收攻读硕士研究生入学考试题
考试科目代码： 考试科目名称： 817 高等代数
说明：考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负。
（共 10 题，每题 15 分） 1. 设 f ( x) x4 2x3 x2 4x 2, g ( x) x4 x3 x2 2 x 2, 求 ( f ( x), g ( x)), 并 求
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2)设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则 ( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c(3) 若级数1∞=∑nn a条件收敛，则 3=x 3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑n n n na x 的 ( )(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点(4) 设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，y =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰ ( )(A)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(B)()34cos ,sin d f r r rdr ππθθθ⎰(C)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰(D)()34cos ,sin d f r r dr ππθθθ⎰(5) 设矩阵21111214A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若集合{}1,2Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件为 ( )(A),a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ω (D),a d ∈Ω∈Ω(6)设二次型()123,,f x x x 在正交变换为=x Py 下的标准形为2221232+-y y y ，其中()123,,=P e e e ，若()132,,=-Q e e e ，则()123,,f x x x 在正交变换=x Qy 下的标准形为 ( )(A) 2221232-+y y y (B) 2221232+-y y y (C) 2221232--y y y (D) 2221232++y y y(7) 若A,B 为任意两个随机事件，则 ( )(A) ()()()≤P AB P A P B (B) ()()()≥P AB P A P B (C) ()()()2≤P A P B P AB (D) ()()()2≥P A P B P AB(8)设随机变量,X Y 不相关，且2,1,3===EX EY DX ，则()2+-=⎡⎤⎣⎦E X X Y ( )(A) 3- (B) 3 (C) 5- (D) 5二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.(9) 20ln cos lim_________.x xx→= (10)22sin ()d ________.1cos x x x x ππ-+=+⎰(11)若函数(,)=z z x y 由方程cos 2+++=xe xyz x x 确定，则(0,1)d ________.z=(12)设Ω是由平面1++=x y z 与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则(23)__________.x y z dxdydz Ω++=⎰⎰⎰(13) n 阶行列式20021202___________.00220012-=-(14)设二维随机变量(,)x y 服从正态分布(1,0;1,1,0)N ，则{0}________.P XY Y -<= 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)设函数()ln(1)sin =+++f x x a x bx x ，3()=g x kx ，若()fx 与()g x 在0→x 是等价无穷小，求,,a b k 的值.(16)(本题满分10分)设函数()f x 在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，由线()=y f x 在点()()0,x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且()02f =，求()f x 的表达式.(17)(本题满分10分)已知函数(),=++fx y x y xy ，曲线C ：223++=x y xy ，求(),f x y 在曲线C 上的最大方向导数.(18)(本题满分 10 分)（I ）设函数()()u x ,v x 可导，利用导数定义证明u x v x u x v x u x v x '''=+[()()]()()()() （II ）设函数()()()12n u x ,u x ,,u x 可导，n f x u x u x u x =12()()()()，写出()f x 的求导公式.(19)(本题满分 10 分)已知曲线L的方程为,z z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩起点为()A，终点为()0,B ，计算曲线积分()()2222d d ()d LI y z x z x y y x y z =++-+++⎰.(20) (本题满11分)设向量组1,23,ααα内3R 的一个基，113=2+2k βαα，22=2βα，()313=++1k βαα.（I ）证明向量组1β2β3β为3R 的一个基;（II ）当k 为何值时，存在非0向量ξ在基1,23,ααα与基1β2β3β下的坐标相同，并求所有的ξ.(21) (本题满分11 分)设矩阵02313312a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A 相似于矩阵12000031b -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭B =.(I) 求,a b 的值；（II ）求可逆矩阵P ，使1-P AP 为对角矩阵..(22) (本题满分11 分)设随机变量X 的概率密度为()2ln 2,0,0,0.x x f x x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩对X 进行独立重复的观测,直到2个大于3的观测值出现的停止.记Y 为观测次数.(I)求Y 的概率分布; (II)求EY(23) (本题满分 11 分) 设总体X 的概率密度为：x f x θθθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩1,1,(,)10,其他. 其中θ为未知参数，12n x ,x ,,x 为来自该总体的简单随机样本.(I)求θ的矩估计量.(II)求θ的最大似然估计量.。
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题解析
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题解析戴又发一、选择题 共8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选选项前的字母填在答题纸指定位置上． （1） 下列反常积分收敛的是（ ）（A ）dx x⎰+∞21（B ）dx x x ⎰+∞2ln （C ）dx x x ⎰+∞2ln 1 （D ）dx e x x ⎰+∞2 【解析】22222331lim 3)1(lim lim --+∞→--+∞→+∞→+∞=+-=++-==⎰⎰e e e e t e dx e x dx ex t t t t t x t x ． 故选D ．（2）函数tx t x t x f 2sin 1lim )(⎪⎭⎫⎝⎛+=+∞→ 在),(+∞-∞内 （ ） （A ）连续 （B ）有可去间断点 （C ）有跳跃间断点 （D ）有无穷间断点【解析】ttx t x t tx t x t x t x f sin sin sin 1lim sin 1lim )(2⨯+∞→+∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+=，当0≠x 时，由e x t tx t =⎪⎭⎫⎝⎛++∞→sin sin 1lim ，x ttx t =+∞→sin lim，得x e x f =)(， 故函数在),(+∞-∞内有可去间断点，故选B ．（3）设函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0,00,1cos )(x x xx x f α)0,0(>>βα，若)(x f '在0=x 处连续，则（ ） （A ）1>-βα （B ）10≤-<βα （C ）2>-βα （D ）20≤-<βα 【解析】显然0<x 时0)(='x f ，当0>x 时111sin 1cos)(---⋅+='ββαβαβαx xx x x x f ββαβαβαxx x x 1sin 1cos11---+=，由0,0>>βα，)(x f '在0=x 处连续，有01,01>-->-βαα， 所以1>-βα，故选A ．（4）设函数)(x f 在),(+∞-∞内连续，其2阶导数)(x f ''的图形如右图所示，则曲线)(x f y =的拐点个数为（ ）（A ） 0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【解析】若函数)(x f 的2阶导数存在，那么使函数2的阶导数)(x f ''为零，且三阶导数不为零的点是函数)(x f 的拐点，当2阶导数不存在时，只要在某点处的2阶导数改变符号，该点就是拐点，显然)(x f y =的拐点个数为2，故选C ． （5）设函数),(v u f 满足22),(y x xy y x f -=+，则11==∂∂v u uf 与11==∂∂v u vf 依次是（ ）（A ）21，0 （B ）0，21 （C ）21-，0 （D ）0，21-【解析】记 x y v y x u =+=, ，得v uvy v u x +=+=1,1，于是22)1()1(),(),(v uv v u v u f x y y x f +-+==+，所以222)1(2)1(2v uv v u u f +-+=∂∂，011=∂∂==v u uf ；3222232)1(2)1(2)1(2v v u v vu v u v f +++-+-=∂∂，2141214111-=+--=∂∂==v u uf，故选Ｄ．（6）设D 是第一象限中的曲线14,12==xy xy 与直线x y x y 3,==围成的平面区域，函数),(y x f 在D 上连续，则⎰⎰=Ddxdy y x f ),(（ ）（A ）⎰⎰θθππθθθ2sin 12sin 2134)sin ,cos (rdr r r f d（B ）⎰⎰θθππθθθ2sin 12sin 2134)sin ,cos (rdr r r f d（C ）⎰⎰θθππθθθ2sin 12sin 2134)sin ,cos (dr r r f d（D ）⎰⎰θθππθθθ2sin 12sin 2134)sin ,cos (dr r r f d【解析】记 θθsin ,cos r y r x ==，区域D 可表示为，θθ2sin 212sin 1≤≤r ，34πθπ≤≤，θrdrd dxdy =，于是 ⎰⎰=Ddxdy y x f ),(⎰⎰θθππθθθ2sin 12sin 2134)sin ,cos (rdr r r f d ，故选Ｂ．(7)设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛24121111a a ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21d d b ，若集合{}2,1=Ω，则线性方程组b Ax =有无穷多解的充分必要条件为（ ）（A ）Ω∉Ω∉d a , （B ）Ω∈Ω∉d a , （C ）Ω∉Ω∈d a , （D ）Ω∈Ω∈d a ,【解析】由方程组b Ax =有无穷多解，得3)()(<=A r A r ， 而当0)12)(2)(1(=---=a a A 时，2,1==a a ，当1=a 时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23000101011111030101011111411211111222d d d d d d d A 3)(<A r ，所以1=d 或2=d ．当2=a 时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23000111011111330111011114412211111222d d d d d d d A 3)(<r ，所以1=d 或2=d ．故选Ｄ．（8）设二次型),,(321x x x f 在正交变换PY X =下的标准型为2322212y y y -+，其中),,(321e e e P =，若),,(231e e e Q -=，则),,(321x x x f 在正交变换QY X =下的标准型为（ ）（A ）2322212y y y +- （B ）2322212y y y -+ （C ）2322212y y y -- （D ）2322212y y y ++ 【解析】设二次型对应的矩阵为A ，由),,(321x x x f 经正交变换PY X =化为标准型2322212y y y -+，得 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-1121AP P ，其中),,(321e e e P =，又因为),,(231e e e Q -=，于是有 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-1121AQ Q ， 所以),,(321x x x f 在正交变换QY X =下的标准型为2322212y y y +-．故选Ａ．二、填空题：9~14每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上．（9）设⎩⎨⎧+==33arctan t t y t x ，则==122t dx y d ．【解析】233t dt dy += ，211t dt dx +=， 363)1)(33(2422++=++=t t t t dx dy ，22232322)1(12)1)((12111212)(t t t t t t t t dt dx dt dx dy d dxy d +=++=++==． 所以==122t dx y d 48．（10）函数x x x f 2)(2⋅=在0=x 处的n 阶导数为=)0()(n f .【解析】因为)2ln 2(22ln 222)(22x x x x x f x x x +=⋅+⋅='，0)0(='f ；))2(ln 2ln 42(22ln )2ln 2(2)2ln 22(2)(222x x x x x x f x x x ++=+++=''，222)0(0=⋅=''=x x f ；2ln ))2(ln 2ln 42(2))2(ln 22ln 4(2)(222x x x x f x x ++++='''))2(l n )2(l n 62ln 6(2322x x x ++=，2ln 62ln 62)0(0=⋅='''=x xf ； 2ln ))2(ln )2(ln 62ln 6(2))2(ln 2)2(ln 6(2)(32232)4(x x x x f x x ++++=))2(ln ))2(ln 8)2(ln 12(24232x x x ++=，202)4()2(ln 12)2(ln 122)0(=⋅==x x f ；202)()2)(ln 1()2)(ln 1(2)0(-=--=-⋅=n x n x n n n n n f ．（11）设函数)(x f 连续，由方程⎰=2)()(x dt t xf x ϕ，若5)1(,1)1(='=ϕϕ，则=)1(f ． 【解析】由⎰⎰==22)()()(x x dt t f x dt t xf x ϕ，得)(2)()(202x f x x dt t f x x ⋅⋅+='⎰ϕ，又5)1(2)()1(1=+='⎰f dt t f ϕ，1)()1(10==⎰dt t f ϕ，所以2)1(=f ．（12）设函数)(x y y =是微分方程02=-'+''y y y 的解，且在0=x 处)(x y 取得极值3，则=)(x y ．【解析】由022=-+λλ，得2,1-==λλ，于是微分方程的特解为x x e C e C y 221-+=，由022)0(21221=-=-='-C C eC e C y xx，3)0(21=+=C C y ，得1,221==C C ，所以x x e e x y 22)(-+=．(13)若函数),(y x z z =由方程132=+++xyz e z y x 确定，则=)0,0(dz．【解析】由dy yzdx x z dz ∂∂+∂∂=， 方程132=+++xyz e z y x 两边对x 求导，0)31(32=+∂∂+∂∂+++yz xzxy x z e z y x ， 代入0,0==y 得310-=∂∂=x xz；方程132=+++xyz e z y x 两边对y 求导，0)32(32=+∂∂+∂∂+++xz yzxy y z e z y x ， 代入0,0==y 得32-=∂∂=y yz；所以dy dx dz3231)0,0(--=．(14)设三阶矩阵A 的特征值为1,2,2-，E A A B +-=2,其中E 为3阶单位矩阵，则行列式=B ．【解析】由矩阵A 的特征值为1,2,2-， 且E A A B +-=2,可知矩阵B 的特征值为1,7,3，所以21=B ．三、解答题：15～23小题，共94分。
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案一、选择题:1〜8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸..指定位置上•1、 设函数f(X )在(-：：,+ ：：)连续，其2阶导函数f (x)的图形如下图所示，则曲线 y =f(x)的 拐点个数为() (A ) 0 ( B ) 1 (C ) 2 ( D ) 3【答案】(C) 【考点】拐点的定义 【难易度】★★【详解】拐点出现在二阶导数等于0,或二阶导数不存在的点上，并且在这点的左右两侧二阶导数异号，因此，由 「(X )的图形可知，曲线 y 二f (x)存在两个拐点，故选(C).1 f 1、”2、 设y = —e 2x 十I x -一 ©x 是二阶常系数非齐次线性微分方程y +ay" + by = ce x 的一个特解，2 I 3丿则()【答案】(A)【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法 【难易度】★★—2 x — x ..2 【详解】 e , e 为齐次方程的解，所以 2、1为特征方程 '+^ b = 0的根，从而a - - 1 • 2 - -3,b =1 2=2,再将特解 y =xe x 代入方程 y ：3y ，2y =ce x 得：c = -1.3、若级数送a n 条件收敛，则x = J 3与x = 3依次为幕级数送na n (x T 『的:n :—(A )收敛点，收敛点 (B )收敛点，发散点 (C )发散点，收敛点 (D )发散点，发散点【答案】(B)【考点】级数的敛散性a — -3,b = ——,c =-—(B ) a=3,b=2,c--1. (C ) a --3,b = 2, c = 1.(D ) a=3,b=2,c=1.n :—【难易度】★★★【详解】因为瓦a n 条件收敛，故x = 2为幕级数送a n (x -1 $的条件收敛点，进而得 n 4n 卫Q Q\」a n x -1 n 的收敛半径为1,收敛区间为 0,2，又由于幕级数逐项求导不改变收敛区间，故n 40C1、na nx -1 n的收敛区间仍为n a_ °°0,2，因而x = -、3与x=3依次为幕级数7 na nx_1的收敛n 4点、发散点4、设D 是第一象限中曲线 2xy =1,4xy =1与直线y 二x, y —、.3x 围成的平面区域，函数f (x, y) 在D 上连续，则11 f (x, y)dxdy 二D【难易度】★★★JI/【详解】由"X 得，"4 ； 由 y 「3x 得，"3 由 2xy =1 得，2r 2cos = sin ^-1,r2由 4xy =1 得，4r cos^sin )-1,r二 ?.所以 JJ f (x,y)dxdy = J ；d 日广晋日 f (rcos8,rsin 日)rdrq 1 1、「1 )5、设矩阵A=1 2 a ，b = d，若集合0 ={1,2}，则线性方程组<14 2a丿<d2>Ax = b 有无穷多个解的充分必要条件为H1(A )2.dv sin i 2r f (r COST , rsin "rdr4 2sin2 71 H1(C )3出「in 严 f (rcosv,rsinRdr42sin 2 -71【答案】(D)【考点】二重积分的极坐标变换(B ) (D)_1 .即利祠严 f (r cos8,rsin8)rdr4:2si n2.^TL[第d&f (rcos^,r sin&)dr42sin2 =1 2sin 2^(A )1 1, d 1 1(B )1 1, d 1 1(C ) a",d(D , d -1【答案】(D)【考点】非齐次线性方程组的解法 【难易度】★★1 1 1【详解】lA,b 】=12 a 1 4 a 2Ax =b 有无穷多解二R(A)二R (代b) ：：3 =a =1 或 a = 2 且 d = 1 或 d = 22 2 26、设二次型 仁为必压)在正交变换x =Py 下的标准形为2力• y 2 -y 3，其中PNet ，包)，若Q=(e,-QG)，则f(x 1,X 2,X 3)在正交变换x=Qy 下的标准形为222222(A )2y 1 - y 2 y 3( B ) 2% y ? -y ?222222(C )2y 1 -y 2 -y 3 ( D ) 2^ y ? y 3【答案】(A) 【考点】二次型 【难易度】★★2 0 0【详解】由 x = Py ，故 f =x T Ax = y T (P T AP)y =2y ：+y ；-y ：且：P T AP= 0 1■0 0 -1 _jT T T 2 2 2所以 f =x Ax =y (Q AA)y = 2y 1 f g ，故选(A)7、若A, B 为任意两个随机事件，则1 1 1 1 1a -1d —1 0 (a -1 丫 a -2 )(d -1 X d -2(A )P(AB)岂 P(A)P(B)(C )P(AB) ’恥貝2【答案】(C) 【考点】 【难易度】★★(B )P(AB) - P(A)P(B)(D )P(AB)-P(A) P(B)21 1d ——;0.2I丄d」V(C) a",d (D , d -1【详解】P(A) - P(AB), P(B) - P(AB)P(AB)乞 P (A )2P(B )故选(C )8、设随机变量 X, Y 不相关，且EX =2,EY=1,DX =3,则E X X ・丫一2二 (A ) -3 ( B ) 3(C ) -5( D ) 5【答案】(D) 【考点】 【难易度】★★★ 【详解】二、填空题：9〜14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸 指定位置上•In cosx9、 lim2—二XX 2 1 【答案】-丄 2【考点】极限的计算【难易度】★★H 2【答案】 一4【考点】积分的计算【难易度】★★11、若函数 z=z(x,y)由方程 e z + xyz+x + cosx = 2 确定，则 dz (叩)= _______________【答案】【考点】隐函数求导 【难易度】★★【详解】lim^^T x 2=lim x —.0 ln(1 cosx -1)x 2cosx -12 x1 2-x =lim 22 x 10 x 210、和严-+ 1 cosx x )dx 二sin x 1 cosx Tt+|x)dx = 2『xdx = IT【详兀2【详解】令 F (x, y, z) = e z xyz x cosx -2，贝y F x = yz 1 -sin x , F y = xz , F z二 xy ,又当 x=0,y=1 时，z=0，所以—=_E =_1，竺C F/-h,"(0,1)F zCyy (0,1)12、设i ］是由平面x 亠y 亠z =1与二个坐标平面所围成的空间区域，贝U1【答案】-4【考点】三重积分的计算 【难易度】★★★【详解】由轮换对称性，得其中D z 为平面z = z 截空间区域 W 所得的截面，其面积为 -(1- z )2.所以2 -10 2 ■I ■1 III III Fi0 0 1i22rHI0 ■10 AIII q2 r2 13、n 阶行列式0 0 III -1 2【答案】2n1-2 【考点】行列式的计算 【难易度】★★★【详解】按第一行展开得14、设二维随机变量(X,Y)服从正态分布 N (1,0,1,1,0)，贝U P(XY -Y :：: 0)=1【答案】12【考点】 【难易度】★★【详解】；(X,Y)~N(1,0,1,1,0), • X~N(1,1)Y~ N(0,1),且 X,Y 独立:、X -1~ N(0,1),卩仪丫-Y "} = p{(X -1)Y <01三、解答题：15〜23小题,共94分.请将解答写在答题纸.指定位置上.解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤. 15、(本题满分10分)设函数 f(x)=x al n(1 x) bx si nx , g(x) = kx 3，若 f (x)与 g(x)在 x —； 0 是等价无穷小, 求a , b , k 值。
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、设函数()f x 在∞∞（-,+）连续，其2阶导函数()f x ''的图形如下图所示，则曲线()y f x =的拐点个数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）32、设21123x x y e x e ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce "+'+=的一个特解，则（）（A ）3,1, 1.a b c =-=-=- （B ）3,2, 1.a b c ===- （C ）3,2, 1.a b c =-== （D ）3,2, 1.a b c ===3、若级数1n n a ∞=∑条件收敛，则x =3x =依次为幂级数()11nn n na x ∞=-∑的：（A ）收敛点，收敛点 （B ）收敛点，发散点（C ）发散点，收敛点 （D ）发散点，发散点4、设D 是第一象限中曲线21,41xy xy ==与直线,y x y ==围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则(,)Df x y dxdy =⎰⎰（A ）12sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰（B ）24(cos ,sin )d f r r rdr ππθθθ⎰（C ）13sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰（D ）34(cos ,sin )d f r r dr ππθθθ⎰5、设矩阵21111214A a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若集合{1,2}Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多个解的充分必要条件为（A ）,a d ∉Ω∉Ω （B ）,a d ∉Ω∈Ω （C ）,a d ∈Ω∉Ω （D ）,a d ∈Ω∈Ω6、设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2221232y y y +-，其中123(,,)P e e e =，若132(,,)Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在正交变换x Qy =下的标准形为（A ）2221232y y y -+ （B ）2221232y y y +- （C ）2221232y y y -- （D ）2221232y y y ++ 7、若,A B 为任意两个随机事件，则（A ）()()()P AB P A P B ≤ （B ）()()()P AB P A P B ≥（C ）()()()2P A P B P AB +≤（D ）()()()2P A P B P AB +≥8、设随机变量X,Y 不相关，且2,1,3,EX EY DX ===则()2E X X Y +-=⎡⎤⎣⎦ （A ）-3 （B ）3 （C ）-5 （D ）5二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 9、20ln cos limx xx →=10、2-2sin ()1cos xx dx xππ+=+⎰11、若函数(,)z z x y =由方程+cos 2ze xyz x x ++=确定，则(0,1)dz=.12、设Ω是由平面1x y z ++=与三个坐标平面所围成的空间区域，则(23)x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰=13、n 阶行列式2002-1202002200-12=14、设二维随机变量(,)X Y 服从正态分布(1,0;1,1;0)N ，则(0)P XY Y -<=.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分）设函数()ln(1)sin f x x a x bx x =+++⋅，3()g x kx =，若()f x 与()g x 在0x →是等价无穷小，求a ，b ，k 值。
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、设函数()f x 在∞∞（-,+）连续，其2阶导函数()f x ''的图形如下图所示，则曲线()y f x =的拐点个数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）32、设21123x x y e x e ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce "+'+=的一个特解，则（）（A ）3,1, 1.a b c =-=-=- （B ）3,2, 1.a b c ===- （C ）3,2, 1.a b c =-== （D ）3,2, 1.a b c ===3、若级数1n n a ∞=∑条件收敛，则x =3x =依次为幂级数()11nn n na x ∞=-∑的：（A ）收敛点，收敛点 （B ）收敛点，发散点（C ）发散点，收敛点 （D ）发散点，发散点4、设D 是第一象限中曲线21,41xy xy ==与直线,y x y ==围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则(,)Df x y dxdy =⎰⎰（A ）12sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰（B ）24(cos ,sin )d f r r rdr ππθθθ⎰（C ）13sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r dr ππθθθθ⎰⎰（D ）34(cos ,sin )d f r r dr ππθθθ⎰5、设矩阵21111214A a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若集合{1,2}Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多个解的充分必要条件为（A ）,a d ∉Ω∉Ω （B ）,a d ∉Ω∈Ω （C ）,a d ∈Ω∉Ω （D ）,a d ∈Ω∈Ω6、设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2221232y y y +-，其中123(,,)P e e e =，若132(,,)Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在正交变换x Qy =下的标准形为（A ）2221232y y y -+ （B ）2221232y y y +- （C ）2221232y y y -- （D ）2221232y y y ++ 7、若,A B 为任意两个随机事件，则（A ）()()()P AB P A P B ≤ （B ）()()()P AB P A P B ≥（C ）()()()2P A P B P AB +≤（D ）()()()2P A P B P AB +≥8、设随机变量X,Y 不相关，且2,1,3,EX EY DX ===则()2E X X Y +-=⎡⎤⎣⎦ （A ）-3 （B ）3 （C ）-5 （D ）5二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 9、20ln cos limx xx →=10、2-2sin ()1cos xx dx xππ+=+⎰11、若函数(,)z z x y =由方程+cos 2ze xyz x x ++=确定，则(0,1)dz=.12、设Ω是由平面1x y z ++=与三个坐标平面所围成的空间区域，则(23)x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰=2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一13、n 阶行列式2002-1202002200-12=14、设二维随机变量(,)X Y 服从正态分布(1,0;1,1;0)N ，则(0)P XY Y -<=.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分）设函数()ln(1)sin f x x a x bx x =+++⋅，3()g x kx =，若()f x 与()g x 在0x →是等价无穷小，求a ，b ，k 值。
2015考研数学一真题带详细答案解析【网络版本】
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2)设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c(3) 若级数1∞=∑nn a条件收敛，则=x 3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑nnn na x 的( )(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点(4) 设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，y =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰()(A)()13sin2142sin2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(B)()34cos ,sin d f r r rdr ππθθθ⎰ (C)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰(D) ()34cos ,sin d f r r dr ππθθθ⎰(5) 设矩阵21111214A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若集合{}1,2Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件为( )(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω(6)设二次型()123,,f x x x 在正交变换为=x Py 下的标准形为2221232+-y y y ，其中()123,,=P e e e ，若()132,,=-Q e e e ，则()123,,f x x x 在正交变换=x Qy 下的标准形为 ( )(A) 2221232-+y y y (B) 2221232+-y y y (C) 2221232--y y y (D) 2221232++y y y(7) 若A,B 为任意两个随机事件，则 ( )(A) ()()()≤P AB P A P B (B) ()()()≥P AB P A P B(C) ()()()2≤P A P B P AB (D) ()()()2≥P A P B P AB(8)设随机变量,X Y 不相关，且2,1,3===EX EY DX ，则()2+-=⎡⎤⎣⎦E X X Y ( )(A) 3- (B) 3 (C) 5- (D) 5二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 20ln cos lim _________.x xx →=(10) 22sin ()d ________.1cos xx x x ππ-+=+⎰(11)若函数(,)=z z x y 由方程cos 2+++=x e xyz x x 确定，则(0,1)d ________.z =(12)设Ω是由平面1++=x y z 与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则(23)__________.x y z dxdydz Ω++=⎰⎰⎰(13)n 阶行列式2002122___________.0022012-=-(14)设二维随机变量(,)x y 服从正态分布(1,0;1,1,0)N ，则{0}________.P XY Y -<=三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分) 设函数()ln(1)sin =+++f x x a x bx x ，3()=g x kx ，若()fx 与()g x 在0→x 是等价无穷小，求,,a b k 的值.(16)(本题满分10分) 设函数()f x 在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，由线()=y f x 在点()()00,x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且()02f =，求()f x 的表达式.(17)(本题满分10分)已知函数(),=++fx y x y xy ，曲线C ：223++=x y xy ，求(),f x y 在曲线C 上的最大方向导数.(18)(本题满分 10 分)（I ）设函数()()u x ,v x 可导，利用导数定义证明u x v x u x v x u x v x '''=+[()()]()()()() （II ）设函数()()()12n u x ,u x ,,u x 可导，n f x u x u x u x =12()()()()，写出()f x 的求导公式.(19)(本题满分 10 分)已知曲线L的方程为,z z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩起点为()A，终点为()0,B ，计算曲线积分()()2222d d ()d LI y z x zx y y x y z =++-+++⎰.(20) (本题满11分)设向量组1,23,ααα内3R 的一个基，113=2+2k βαα，22=2βα，()313=++1k βαα.（I ）证明向量组1β2β3β为3R 的一个基;（II ）当k 为何值时，存在非0向量ξ在基1,23,ααα与基1β2β3β下的坐标相同，并求所有的ξ.(21) (本题满分11 分)设矩阵02313312a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A 相似于矩阵12000031b -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭B =.(I)求,a b 的值；（II ）求可逆矩阵P ，使1-P AP 为对角矩阵..(22) (本题满分11 分) 设随机变量X 的概率密度为()2ln 2,0,0,0.x x f x x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩对X 进行独立重复的观测,直到2个大于3的观测值出现的停止.记Y 为观测次数.(I)求Y 的概率分布; (II)求EY(23) (本题满分 11 分)设总体X 的概率密度为：x f x θθθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩1,1,(,)10,其他. 其中θ为未知参数，12n x ,x ,,x 为来自该总体的简单随机样本.(I)求θ的矩估计量.(II)求θ的最大似然估计量.2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题及答案一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】（C ）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。
完整word版,2015年浙江师范大学数分考研真题
2015浙师大681数学分析真题一、判断，正确说明原因，错误请举例。
（1）()f x 、()g x 在I 上一致收敛，则()()f x g x 在I 上一致收敛。
（2）无界数列必为无穷大量。
（3）()f x 在(,)a b 上任意闭区间连续，则()f x 在(,)a b 上连续。
二、概念（1）lim ()x f x →∞存在的柯西准则。
（2）举一个例子，使()f x 在[0,1]上不连续。
三、计算（1）L xds ⎰ 2222:L x y z a ++= 0x y z ++= （2）22sgn(3)D xy dxdy -+⎰⎰ 22:5D x y +≤（3）22(,)z f x y xy =-，求dz（41214arcsin (1)x dx x x -⎰） （5）极限类型题（6）含参量计算题 四、求2122n n n x n +∞=⋅∑的和。
五、含参量积分0y e dy αα+∞-⎰，证明在0a b α<≤≤上一致收敛，在0b α≤≤上非一致收敛。
六、求yzdxdy xzdydz xydxdz ++∑⎰⎰ ∑: 222x y R +=、z h =与三个坐标面形成的第一象限的图形。
七、讨论(1)ln(1)npn -+∑的敛散性（0p >） ， 说明是条件收敛还是绝对收敛。
八、()f x 在[0,1]上连续，在()0,1上可微，(0)0f =且(1)1f =，证明∃不同,ξη使235()()f f ξη+=。
九、数列{}n a ，1111ln 23n a n n =++++-K ，证明（1）证明lim n n a →∞存在（2）求111lim()122n n n n →∞+++++K。
2015考研数学(一)真题
lim
为1，即 n
an1 an
1
nan ( x 1)n
R lim n
，所以 n1
的收敛半径
nan (n 1)an1
1
，绝对收
敛域为 (0, 2) ，显然 x 3, x 3 依次为收敛点、发散点。
4． 【答案】B 【解析】积分区域如下图所示，化成极坐标方程：
2 xy
1
2r 2 sin
cos
12．设 是由平面 x y z 1 与三个坐标平面所围成的空间区域，则
(x 2y 3z)dxdydz __________。
2 0 0 2 1 2 0 2 13． n 阶行列式 __________。 0 0 2 2 0 0 1 2 14．设二维随机变量 ( X ,Y ) 服从正态分布 N (1, 0;1,1;0) ，则 P{XY Y 0} __________。
2015 年全国硕士研究生招生考试数学（一）答案及解析
一、选择题 1． 【答案】C 【解析】拐点出现在二阶导数等于 0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶
导函数异号。因此，由 f (x) 的图形可得，曲线 y f (x) 存在 2 个拐点。
2． 【答案】A
【解析】由题意可知，
1 2
e2
设函数 f x 在定义域 I 上的导数大于零，若对任意的 x0 I ，由线 y=f x 在点 x0, f x0
处的切线与直线 x x0 及 x 轴所围成区域的面积恒为 4，且 f 0 2 ，求 f x 的表达式。
17．（本题满分 10 分）。
已知函数 f x , y x y xy ，曲线 C ： x 2 y 2 x y 3 ，求 f x , y 在
6． 【答案】A
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杭 州 师 范 大 学 2015 年招收攻读硕士研究生入学考试题
考试科目代码： 720
考试科目名称： 数学分析
说明：考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负。
一、求极限（每题15分，共30分）
n akn 其中 ai 0, i 1, 2, , k 1 lim n a1n a2 n
2n 1 2 n x 的和函数。 n 3 n 1
六、求椭球面 x 2 2 y 2 4 z 2 1 到平面 x y z 7 0 的最短距离。 七、
z
（15分） 与抛物面
计算积分 zdxdydz ，其中积分区域 V 是由球面 x 2 y 2 z 2 4
n2 n 1
九、已知函数 f x 在区间 0, 2 上二次连续可微，且 f 1 0 ， 证明 ：
1 f x f x dx 3 M ，其中 M max
2 0
x 0,2
（15分）
2015 年 考试科目代码 720 考试科目名称数学分析（本考试科目共 2页，第2 页）
V
1 2 x y 2 所围的立体。 3
（15分）
2015 年 考试科目代码 720 考试科目名称数学分析（本考试科目共 2页，第1 页）
杭州师范大学硕士研究生入学考试命题纸 八、已知数列 nan 收敛，级数 n an an 1 收敛，求证级数 an 收敛。（15分）
2 lim
x 0
1 t sin t dt 4! x
x 2 3 x 2 cos
n
x 2 n ，求 f 2 16
（15分）
三、设 x 0 ，问 n 为何值时， x n 与3x-4sinx+sinxcosx是同阶无穷小量。（15分） 四、比较 e 和 e 的大小。 五、求幂级数 （15分） （15分）