抽象函数专题讲解

初步
• 抽象函数：没有给出具体解析式的函数。 • 在高考中，常以抽象函数为载体，考查函数的定义域、值域、单 调性、奇偶性、周期性及图象问题。
一、抽象函数定义域
1．已知 f ( x ) 的定义域，求 f g ( x) 的定义域 其解法是：若 f ( x ) 的定义域为 a ≤ x ≤ b ，则在 f g ( x) 中，a ≤ g ( x) ≤ b ，从中解得 x 的取值范围即为 f g ( x) 的定义域． 例 1.已知函数 f ( x ) 的定义域为 15 ， ，求 f (3x 5) 的定义域．
2
故 f ( x) 的定义域为 15 ， ．
二、抽象函数解析式与函数值
1.换元法. 例 3. 已知 f(1+ x2)=2+ x2+x4, 求 f(x)
2 解:令 t=1+ x2 t 1 x =t -1
原式即为： f (t)=2+t-1+(t-1)2 =t 2 -t +2
f (x)=x2 -x+2 x 1
解： f ( x) 的定义域为 15 ， ，1≤ 3x 5 ≤ 5 ， 故函数 f (3x 5) 的定义域为 ， ． 3 3
4 10 ≤ x≤ ． 3 3
4 10
2、已知 f g ( x) 的定义域，求 f ( x ) 的定义域 其解法是： 若 f g ( x) 的定义域为 m ≤ x ≤ n ， 则由 m ≤ x ≤ n 确定的 g ( x) 的范围即为
3.赋值法：有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。 例 5.对任意实数 x,y，均满足 f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2 且 f(1)≠0,则 f(2017)=_______.
解:令 x=y=0,得：f(0)=0,令 x=0,y=1,得 f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2,
f ( x) 的定义域．
2 例 2 已知函数 f ( x 2 x 2) 的定义域为 0， 3 ，求函数 f ( x) 的定义域．
解：由 0 ≤ x ≤ 3 ，得 1≤ x 2 x 2 ≤ 5 ．
2
令 u x 2 x 2 ，则 f ( x2 2x 2) f (u) ，1 ≤ u ≤ 5 ．
2.待定系数法：如果抽象函数的类型是确定的，可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。
例 4.已知 f(x)是多项式函数，且 f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求 f(x).
解:由已知得 f(x)是二次多项式，设 f(x)=ax2+bx+c (a ≠0) 代入比较系数得:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x2-2x-1.
1 1 2 f (1) 0,f (1) .令x n, y 1, 得f (n 1) f (n) 2[f (1)] f (n) , 2 2
1 n 2017 即 f(n 1) - f(n) ,故f(n ) , f(2001) . 2 2 2
三、抽象函数常见模型