2012中考复习精品资料：第五期平面直角坐标系和一次函数

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平面直角坐标系及一次函数

平面直角坐标系和一次函数对于这一部分知识中考中主要以选择和填空的形式出现，主要考查不同坐标系中点的特点及函数的图象、性质与函数的解析式，在解答题中经常出现用函数知识解决实际问题，在中考中一般占到6-10分左右。

知识梳理知识点1：平面直角坐标系及函数图象例1：已知点P （a ＋1，2a －1）关于x 轴的对称点在第一象限，求a 的取值范围．解体思路：本题根据点的坐标特征建立起不等式组是解题的关键．对称点在第一象限，则点P 在第四象限．根据各象限内点的坐标特征，可以建立关于a 的不等式组，求出a 的取值范围．依题意P 点在第四象限，则有⎩⎨⎧<->+01201a a ，解得－1＜a ＜12．答案：a 的取值范围是－1＜a ＜12．例2：函数y=1x -中，自变量x 的取值范围是．解体思路：要使代数式1x -有意义，必须有21010x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得x≥－12 且x≠15．答案：x≥－12且x≠15．例3 ：三军受命，我解放军各部奋力抗战在救灾一线.现有甲、乙两支解放军小分队将救灾物资送往某重灾小镇，甲队先出发，从部队基地到该小镇只有唯一通道，且路程为24km ．如图是他们行走的路程关于时间的函数图象，四位同学观察此函数图象得出有关信息,其中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4解题思路：结合题意、图象看出，甲队出发2小时后乙队出发，他们同时到达目的地，路程都是24 km，甲队用了6小时，乙队用了4小时．可以求得，乙队行驶的平均速度是24÷4=6 km/h．所以，第二、第三个同学的叙述正确．又观察图象，甲、乙两队行走的路程、时间的函数图象相交，交点的横坐标是4.5，这说明两个队在行驶途中有一次相遇，是在乙队出发2.5小时后追上甲队，所以，第一个同学的叙述正确．在甲队行走的路程、时间的函数图象中，在3～4小时之间的一段是水平的，意味着这段时间甲队在途中停留，所以第四个同学的叙述是正确的．综上所述，四个同学的叙述都正确。

中考复习平面直角坐标系与一次函数、反比例函数讲义

中考复习：平面直角坐标系与一次函数、反比例函数【考纲要求】⒈结合实例，了解常量、变量和函数的概念，体会“变化与对应”的思想；⒉会确定函数自变量的取值范围，即能用三种方法表示函数，又能恰当地选择图象去描述两个变量之间的关系；⒊理解正比例函数、反比例函数和一次函数的概念，会画他们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决有关的实际问题.【知识网络】【考点梳理】考点一、平面直角坐标系1.平面直角坐标系平面内两条有公共原点且互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系，坐标平面内一点对应的有序实数对叫做这点的坐标.在平面内建立了直角坐标系，就可以把“形”（平面内的点）和“数”（有序实数对）紧密结合起来.2．各象限内点的坐标的特点、坐标轴上点的坐标的特点点P(x,y)在第一象限0,0>>⇔y x ；点P(x,y)在第二象限0,0><⇔y x ；点P(x,y)在第三象限0,0<<⇔y x ；点P(x,y)在第四象限0,0<>⇔y x ；点P(x,y)在x 轴上0=⇔y ，x 为任意实数；点P(x,y)在y 轴上0=⇔x ，y 为任意实数；点P(x,y)既在x 轴上，又在y 轴上⇔x ，y 同时为零，即点P 坐标为（0，0）. 3.两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上⇔x 与y 相等；点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上⇔x 与y 互为相反数. 4.和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同；位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同. 5.关于x 轴、y 轴或原点对称的点的坐标的特征点P 与点p ′关于x 轴对称⇔横坐标相等，纵坐标互为相反数；点P 与点p ′关于y 轴对称⇔纵坐标相等，横坐标互为相反数；点P 与点p ′关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数. 6.点P(x,y)到坐标轴及原点的距离（1）点P(x,y)到x 轴的距离等于y ；（2）点P(x,y)到y 轴的距离等于x ；（3）点P(x,y)到原点的距离等于22y x +. 7.在平面直角坐标系内两点之间的距离公式如果直角坐标平面内有两点()()2211,,y x B y x A 、，那么A 、B 两点的距离为：()()221221y y x x AB -+-=.两种特殊情况：（1）在直角坐标平面内，x 轴或平行于x 轴的直线上的两点()()y x B y x A ,,21、的距离为：()()()212212221x x x x y y x x AB -=-=-+-=（2）在直角坐标平面内，y 轴或平行于y 轴的直线上的两点()()21,,y x B y x A 、的距离为：()()()212212212y y y y y y x x AB -=-=-+-=要点诠释：（1）注意：x 轴和y 轴上的点，不属于任何象限；（2）平面内点的坐标是有序实数对，当b a ≠时，（a ，b ）和（b ，a ）是两个不同点的坐标. 考点二、函数 1.函数的概念设在某个变化过程中有两个变量x 、y,如果对于x 在某一范围内的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与它相对应，那么就说y 是x 的函数，x 叫做自变量. 2.自变量的取值范围对于实际问题，自变量取值必须使实际问题有意义.对于纯数学问题，自变量取值应保证数学式子有意义. 3．表示方法⑴解析法；⑵列表法；⑶图象法. 4．画函数图象（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.要点诠释：（1）在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量；（2）确定自变量取值范围的原则：①使代数式有意义；②使实际问题有意义.考点三、几种基本函数（定义→图象→性质）1.正比例函数及其图象性质（1）正比例函数：如果y=kx(k是常数，k≠0)，那么y叫做x的正比例函数．（2）正比例函数y=kx（ k≠0)的图象：过（0，0），（1，K）两点的一条直线．（3）正比例函数y=kx（k≠0)的性质①当k＞0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；②当k＜0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小 .2.一次函数及其图象性质（1）一次函数：如果y=kx+b(k,b是常数，k≠0),那么y叫做x的一次函数．（2）一次函数y=kx+b（k≠0)的图象（3）一次函数y=kx+b （k ≠0)的图象的性质一次函数y ＝kx ＋b 的图象是经过(0，b )点和)0,(kb-点的一条直线．①当k>0时，y 随x 的增大而增大； ②当k<0时，y 随x 的增大而减小． (4)用函数观点看方程(组)与不等式①任何一元一次方程都可以转化为ax ＋b ＝0(a ，b 为常数，a ≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：一次函数y ＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)，当y ＝0时，求相应的自变量的值，从图象上看，相当于已知直线y ＝kx ＋b ，确定它与x 轴交点的横坐标．②二元一次方程组⎩⎨⎧+=+=2211b x k y b x k y 对应两个一次函数，于是也对应两条直线，从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数值相等，以及这两个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线的交点的坐标．③任何一元一次不等式都可以转化ax ＋b ＞0或ax ＋b ＜0(a 、b 为常数，a ≠0)的形式，解一元一次不等式可以看做：当一次函数值大于0或小于0时，求自变量相应的取值范围．要点诠释：（1）当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例；（2）确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式kx y =（k ≠0）中的常数k.确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式b kx y +=（k ≠0）中的常数k 和b. 解这类问题的一般方法是待定系数法.（3）直线y 1=k 1x+b 1与直线y 2=k 2x+b 2（k 1≠0 ，k 2≠0）的位置关系．①k 1≠k 2⇔y 1与y 2相交；②⎩⎨⎧=≠2121b b k k ⇔y 1与y 2相交于y 轴上同一点（0，b 1）或（0，b 2）； ③⎩⎨⎧≠=2121,b b k k ⇔y 1与y 2平行；④⎩⎨⎧==2121,b b k k ⇔y 1与y 2重合.3.反比例函数及其图象性质（1）定义：一般地，形如xky =（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数. 三种形式：ky x=(k ≠0)或kx y =1-(k ≠0)或xy=k(k ≠0). （2）反比例函数解析式的特征：①等号左边是函数y ，等号右边是一个分式.分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为1； ②比例系数0≠k ；③自变量x 的取值为一切非零实数； ④函数y 的取值是一切非零实数. （3）反比例函数的图象①图象的画法：描点法列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数）；描点（由小到大的顺序）；连线（从左到右光滑的曲线）. ②反比例函数的图象是双曲线，xky =（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交.③反比例函数的图象是轴对称图形（对称轴是x y =和x y -=）和中心对称图形（对称中心是坐标原点）. ④反比例函数x k y =（0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线xky = （0≠k ）上任意点引x 轴、y 轴的垂线，所得矩形面积为k .（4）反比例函数性质：（5）反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图象上一个点的坐标即可求出k ）（6）“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数xky =中的两个变量必成反比例关系. （7）反比例函数的应用反比例函数中反比例系数的几何意义，如下图，过反比例函数)0(≠=k xky 图像上任一点),(y x P 作x 轴、y 轴的垂线PM ，PN ，垂足为M 、N ，则所得的矩形PMON 的面积S=PM ∙PN=xy x y =∙.,y xk=∴||k S k xy ==，.(8)正比例函数和反比例函数的交点问题若正比例函数1y k x =(1k ≠0)，反比例函数22(0)k y k x=≠，则当120k k <时，两函数图象无交点；当120k k >时，两函数图象有两个交点，坐标分别为，()．由此可知，正反比例函数的图象若有交点，两交点一定关于原点对称．要点诠释：（1）用待定系数法求解析式（列方程[组]求解）；（2）利用一次（正比例）函数、反比例函数的图象求不等式的解集.【典型例题】类型一、坐标平面有关的计算1．已知：如图所示，（1）写出△ABC三个顶点的坐标；（2）作出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′，并写出△A′B′C′三个顶点的坐标；（3）作出△ABC关于y轴对称的△A″B″C″，并写出△A″B″C″三个顶点的坐标．【思路点拨】（1）直接根据图形写出△ABC三个顶点的坐标；（2）找到△ABC的各顶点关于x轴对称的对称点并顺次连接成图形；（3）找到△ABC的各顶点关于y轴对称的对称点并顺次连接成图形．【答案与解析】（1）△ABC三个顶点的坐标分别为：A（4，3），B（3，1），C（1，2）；（2）所画图形如下所示，△A′B′C′即为所求，△A′B′C′三个顶点的坐标分别为：A′（4，-3），B′（3，-1），C′（1，-2）；（3）所画图形如下所示，△A″B″C″即为所求，△A″B″C″三个顶点的坐标分别为：A″（-4，3），B″（-3，1），C″（-1，2）．【总结升华】作轴对称图形找对称点是关键.举一反三：【变式】如图所示，△ABC的顶点坐标分别为A(-4，-3)，B(0，-3)，C(-2，1)，如将B点向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达B1点，若设△ABC的面积为S1，△AB1C的面积为S2，则S1，S2的大小关系为( )A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不能确定【答案】选B．（点B的平移是关键，平移后AB＝CB1，两个三角形等底等高）．2．(1)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，B1(0，1)，B2(0，3)，B3(0，6)，B4(0，10)，…，以B1B2为对角线作第一个正方形A1B1C1B2，以B2B3为对角线作第二个正方形A2B2C2B3，以B3B4为对角线作第三个正方形A 3B 3C 3B 4，……如果所作正方形的对角线1n n B B +都在y 轴上，且1n n B B +的长度依次增加1个单位，顶点n A 都在第一象限内(n ≥1，且n 为整数)，那么A 1的纵坐标为________，用n 的代数式表示n A 的纵坐标为_______；(2)若设n A 的坐标为(x ，y)，求y 关于x 的函数关系式．【答案与解析】(1)2，2(1)2n +；(2)A 1的横坐标等于12222B B =， A 2的横坐标等于23322B B =， A 3的横坐标等于34422B B =， A 4的横坐标等于45522B B =，……∴ n A 的横坐标等于1122n n B B n ++=，纵坐标等于2(1)2n +． ∵ 12n x +=，212n y +=，∴ 12n x +=，代入消去n+1，得22y x =．∴ y 关于x 的解析式为22y x =，说明点A 1，A 2，A 3，A 4，…，n A 都在抛物线22y x =上．如图所示．【总结升华】解决本题的关键是观察图形得到点的纵坐标的特点．类型二、一次函数3．已知点A(3，1)，B(0，0)，C(3，0)，AE 平分∠BAC ，交BC 于点E ，则直线AE 对应的函数解析式是( )．A. 3y x =-B. 2y x =-C. 1y =-D. 2y =- 【思路点拨】要求直线AE 对应的函数表达式，可以求出E 点的坐标即可．可以转化为求线段BE 的长，根据角平分线的性质解决．【答案】D ；【解析】解：如图所示，易证∠BAC ＝60°，∠ABC ＝30°． ∵ AE 平分∠BAC ，∴ ∠EAC ＝30°．∵ AC ＝1，∴ CE ．∴ BE 0)．可得直线AE 的解析式为2y =-．应选择D ．【总结升华】平面直角坐标系中的几何问题，解决关键往往在于将直线的条件转化为点的坐标及线段长，只需得到线段长，就可以解三角形、解四边形，反之亦然．举一反三：【变式】已知：如图所示，在直角坐标平面内，O 为原点，点A 的坐标为(1，0)，点C 的坐标为(0，4)，直线CM ∥x 轴．点B 与点A 关于原点对称，直线y ＝x+b(b 为常数)经过点B ，且与直线CM 相交于点D ，连接OD ．(1)求b的值和点D的坐标．(2)设点P在x轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，求点P的坐标．【答案】(1)因为点B与点A关于原点对称，点A的坐标为(1，0)，所以点B的坐标为(-1，0)．因为直线y＝x+b(b为常数)经过点B，所以0＝-1+b，解得b＝1，所以直线为y＝x+1．因为点C的坐标为(0，4)，直线CM∥x轴，所以点D的纵坐标为4．因为直线y＝x+1与直线CM交于点D，当y＝4时，4＝x+1，解得x＝3，所以点D的坐标为(3，4)．(2)因为O为原点，点D的坐标为(3，4)，点C的坐标为(0，4)，所以OC＝4，CD＝3，所以OD＝5．因为点P在x轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，则分三种情况：①当PD＝PO时，有12cosODDOPPO∠=，因为3 cos cos5CDDOP CDOOD∠=∠==，所以1325ODPO=，解得256PO=．所以点P的坐标为(256，0)．②当PD＝OD时，PO＝2CD＝6，所以点P的坐标为(6，0)．③当OD＝PO时，PO＝5，所以点P的坐标为(5，0)．类型三、反比例函数4．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数ky=x（k≠0）在第一象限内的图象经过点D、E，且tan∠BOA=．（1）求边AB的长；（2）求反比例函数的解析式和n的值；（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y 轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长．【思路点拨】（1）由点E的纵坐标得出OA=4，再根据tan∠BOA=12即可求出AB的长度；（2）根据（1）求出点B的坐标，再根据点D是OB的中点求出点D的坐标，然后利用待定系数法求函数解析式求出反比例函数解析式，再把点E的坐标代入进行计算即可求出n的值；（3）利用反比例函数解析式求出点F的坐标，从而得到CF的长度，连接FG，根据折叠的性质可得FG=OG，然后用OG表示出CG的长度，再利用勾股定理列式计算即可求出OG的长度.【答案与解析】解：（1）∵点E（4，n）在边AB上，∴OA=4，在Rt△AOB中，∵tan∠BOA=12，∴AB=OA×tan∠BOA=4×12=2.（2）由（1），可得点B 的坐标为（4，2），∵点D 为OB 的中点，∴点D （2，1）. ∵点D 在反比例函数k y=x （k≠0）的图象上，∴k2=1，解得k=2. ∴反比例函数解析式为2y=x. 又∵点E （4，n ）在反比例函数图象上，∴21n==42.（3）如图，设点F （a ，2），∵反比例函数的图象与矩形的边BC 交于点F ， ∴22=a，解得a=1.∴CF=1.连接FG ，设OG=t ，则OG=FG=t ，CG=2﹣t ，在Rt△CGF 中，GF 2=CF 2+CG 2，即t 2=（2﹣t ）2+12，解得t=54，∴OG=t=54. 【总结升华】本题综合考查了反比例函数的知识，包括待定系数法求函数解析式，点在函数图象上，锐角三角函数的定义，以及折叠的性质，求出点D 的坐标，然后求出反比例函数解析式是解题的关键．举一反三：【反比例函数关联的位置名称：例5】【变式1】已知：如图，正比例函数y ＝ax 的图象与反比例函数的图象交于点A(3，2)． (1)求上述正比例函数和反比例函数的表达式；xky(2)根据图象回答，在第一象限内，当x 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值；(3)M(m ，n)是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m ＜3，过点M 作直线MB ∥x 轴，交y 轴于点B ；过点A 作直线AC ∥y 轴交x 轴于点C ，交直线MB 于点D ．当四边形OADM 的面积为6时，请判断线段BM 与DM 的大小关系，并说明理由．【答案】解：（1）将()32A ，分别代入k y y ax x ==，中，得2323ka ==，， ∴ 263k a ==，． ∴ 反比例函数的表达式为：6y x=；正比例函数的表达式为23y x =．（2）观察图象得，在第一象限内，当03x <<时，反比例函数的值大于正比例函数的值．（3）BM DM =．理由：∵ 132OMB OAC S S k ==⨯=△△， ∴ 63312OMB OAC OBDC OADM S S S S =++=++=△△矩形四边形．即 12OC OB =． ∵ 3OC =，∴ 4OB =．即 4n =．∴ 632m n ==． ∴ 3333222MB MD ==-=，． ∴MB MD =．【变式2】已知双曲线xy 3=和直线2y kx =+相交于点11()A x y ，和点22()B x y ，，且102221=+x x . 求k 的值.【答案】由⎪⎩⎪⎨⎧=+=x y kx y 32得232230kx kx x x =++-=，．∴121223x x x x k k +=-=-，．故()222121212246210x x x x x x k k +=+-=+=． ∴25320k k --=．∴11k =或225k =-. 又24412b ac k -=+>0即13k >-，舍去225k =-，故所求k 的值为1.类型四、函数综合应用5．如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和轴、轴分别交于点A 和点B ，且OA ＝OB ＝1.这条曲线是函数的图像在第一象限的一个分支，点P 是这条曲线上任意一点，它的坐标是（、），由点P 向轴、轴所作的垂线PM 、PN ，垂足是M 、N ，直线AB 分别交PM 、PN 于点E 、F.（1）分别求出点E 、F 的坐标（用的代数式表示点E 的坐标，用的代数式表示点F 的坐标，只须写出结果，不要求写出计算过程）；（2）求△OEF 的面积（结果用含、的代数式表示）；（3）△AOF 与△BOE 是否一定相似，请予以证明.如果不一定相似或一定不相似，简要说明理由；x y xy 21=a b x y a b a b（4）当点P 在曲线上移动时，△OEF 随之变动，指出在△OEF 的三个内角中，大小始终保持不变的那个角的大小，并证明你的结论.【思路点拨】在证明三角形相似时，∠EBO ＝∠OAF 是较明显的，关键是证明两夹边对应成比例，这里用到了点P （，）在双曲线上这一重要条件，挖掘形的特征，并把形的因素转化为相应的代数式形式是解本题的关键.【答案与解析】（1）点E （，），点F （，）（2）＝＝（3）△AOF 与△BOE 一定相似，下面给出证明∵OA ＝OB ＝1 ∴∠FAO ＝∠EBO BE ＝xy 21=a b xy 21=a a -1b -1b EPF FNO EMO MONP EOF S S S S S ∆∆∆∆---=矩形2)1(21)1(21)1(21-+-----b a b b a a ab )1(21-+b a a a a 2)11(22=+-+问题图AF ＝∵点P （，）是曲线上一点 ∴，即AF ·BE ＝OB ·OA ＝1∴∴△AOF ∽△BOE（4）当点P 在曲线上移动时，△OEF 中∠EOF 一定等于45°，由（3）知，∠AFO ＝∠BOE ，于是由∠AFO ＝∠B ＋∠BOF 及∠BOE ＝∠BOF ＋∠EOF∴∠EOF ＝∠B ＝45°.【总结升华】此题第（3）（4）问均为探索性问题，（4）以（3）为基础，在肯定（3）的结论后，（4）的解决就不难了.举一反三：【平面直角坐标系与一次函数关联的位置名称：例4-例5】【变式1】如图所示，点A 的坐标为(1，0)，点B 在直线y ＝-x 上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为( )．A ．(0，0)B ．(12,-12) C ．(2，2-) D ．(12-，12)【答案】当AB 与直线y ＝-x 垂直时，AB 最短．(如图所示)b b b 2)11(22=++-a b xy 21=12=ab BEOAOB AF =xy 21=∵直线y ＝-x ，∴∠AOB ＝45°．∴△AOB 是等腰直角三角形．过B 作BC ⊥x 轴于C ． ∵ A(1，0)，∴OA ＝1，1122BC AO ==． ∴此题选B ．【变式2】在同一坐标系中，一次函数y ＝(1-k)x+2k+l 与反比例函数ky x=的图象没有交点，则常数k 的取值范围是________．【答案】由题意知(1)21,.y k x k ky x =-++⎧⎪⎨=⎪⎩∴(1)21kk x k x=-++． ∴ 两函数图象无交点，∴ 10,0,0.k k -≠⎧⎪≠⎨⎪<⎩△∴ 18k <-．6．如图所示，点A(m ，m+1)，B(m+3，m-1)都在反比例函数ky x=的图象上．(1)求m、k的值；(2)如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的解析式．【思路点拨】（1）直接把A、B两点的坐标代入解析式中就可以得到关于m的方程，解方程即可；（2）存在两种情况：当M点在x轴的正半轴上，N点在y轴的正半轴上时和当M点在x轴的负半轴上，N点在y轴的负半轴上时．无论哪种情况都可以利用平移知识求出M、N的坐标，然后利用待定系数法确定直线MN的解析式；【答案与解析】(1)由题意可知m(m+1)＝(m+3)(m-1)．解得m＝3．∴ A(3，4)，B(6，2)．∴ k＝4×3＝12．(2)存在两种情况，如图所示．①当M点在x轴的正半轴上，N点在y轴的正半轴上时，设M1点坐标为(x1，0)，N1点坐标为(0，y1)．∵四边形AN1M1B为平行四边形，∴点A对应点N1，点B对应点M1．∵点A的横坐标为3，点B的纵坐标为2．∴线段N1M1可看做由线段AB向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的．∴ N1点的坐标为(0，4-2)，即N1(0，2)；M1点的坐标为(6-3，0)，即M1(3，0)．设直线M1N1的函数表达式为y＝k1x+2，把x＝3，y＝0代入，解得12 3k=-．∴直线M1N1的函数表达式为223y x=-+．②当M点在x轴的负半轴上，N点在y轴的负半轴上时，设M2点坐标为(x2，0)，N2点坐标为(0，y2)．∵ AB∥N1M1，AB∥M2N2，AB＝N1M1，AB＝M2N2，∴ N1M1∥M2N2，N1M1＝M2N2．∴线段M2N2与线段N1M1关于原点O成中心对称．∴ M1点坐标为(-3，0)，N2点坐标为(0，-2)．设直线M2N2的函数表达式为22y k x=-，把x＝-3，y＝0代入，解得22 3k=-．∴直线M2N2的函数表达式为223y x=--．综上所述，直线MN的函数表达式为223y x=-+或223y x=--．【总结升华】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合应用.中考总复习：平面直角坐标系与一次函数、反比例函数—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. 无论m为何实数，直线y=x+2m与y=-x+4的交点不可能在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2．若直线y=3x-1与y=x-k 的交点在第四象限，则k 的取值范围是（）A.k<B. k>1C. <k<1D.k>1或k< 3．设b>a ，将一次函数y=bx+a 与y=ax+b 的图象画在同一平面直角坐标系内，•则有一组a ，b 的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（）4．如图，过x 轴正半轴任意一点P 作x 轴的垂线，分别与反比例函数y 1=2x 和y 2=4x的图像交于点A 和点B .若点C 是y 轴上任意一点，连结AC 、BC ，则△ABC 的面积为（） A ．1B ．2C ．3D ．4第4题图 5题图 5．如图，已知双曲线经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（，4），则△AOC 的面积为（） A ．12 B ．9 C ．6 D ．46．已知abc ≠0，而且=p ，那么直线y=px+p 一定通过（） A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三、四象限 D.第一、四象限131313(0)ky k x=<6-a b b c c ac a b+++==二、填空题7．如图，正比例函数y x =与反比例函数1y x=图象相交于A 、C 两点，过点A 做x 轴的垂线交x 轴于点B ，连接BC ，若ABC ∆的面积为S ，则S = .8．如图，已知梯形ABCO 的底边AO 在x 轴上，BC ∥AO ，AB ⊥AO ，过点C 的双曲线xky =交OB 于D ，且OD ：DB=1：2，若△OBC 的面积等于3，则k 的值是 .第7题图第8题图第11题图9．点A B ，为直线y x =上的两点，过A B ，两点分别作y 轴的平行线交双曲线1y x=（x ＞0）于C D，两点. 若2BD AC =，则224OC OD - 的值为 .10．函数y=-3x+2的图像上存在点P ，使得P•到x•轴的距离等于3，•则点P•的坐标为__________． 11．如图，已知函数y=2x 和函数ky=x的图象交于A 、B 两点，过点A 作AE⊥x 轴于点E ，若△AOE 的面积为4，P 是坐标平面上的点，且以点B 、O 、E 、P 为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的P 点坐标是．12．已知是正整数，是反比例函数图象上的一列点，其中．记，，若（是非零常数），则A 1·A 2·…·A n 的值是________________________（用含和的代数式表示）．三、解答题CBA O xy n 111222(,),(,),,(,),n n n P x y P x y P x y ky x=121,2,,,n x x x n ===112A x y =223A x y =1n n n A x y +=，，1A a =a a n13．已知正比例函数y kx =(0)k ≠与反比例函数(0)my m x=≠的图象交于A B 、两点，且点A 的坐标为(23)，．（1）求正比例函数及反比例函数的解析式；（2）在所给的平面直角坐标系中画出两个函数的图象，根据图象直接写出点B 的坐标及不等式m kx x>的解集．14. 如图，将直线x y 4=沿y 轴向下平移后，得到的直线与x 轴交于点A （0,49），与双曲线k y x=（0x >）交于点B ．（1）求直线AB 的解析式；（2）若点B 的纵坐标为m ，求k 的值（用含m 的代数式表示）．15．某加油站五月份营销一种油品的销售利润y(万元)与销售量x(万升)之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止到15日进油时的销售利润为5.5万元．(销售利润＝(售价-成本价)×销售量))请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题： (1)销售量x 为多少时，销售利润为4万元? (2)分别求出线段AB 与BC 所对应的函数关系式；(3)我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在O 1A ，AB ，BC 三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大?(直接写出答案)16. 如图所示，等腰梯形ABCD 中，AB ＝15，AD ＝20，∠C ＝30°．点M 、N 同时以相同速度分别从点A、点D 开始在AB 、AD(包括端点)上运动．(1)设ND 的长为x ，用x 表示出点N 到AB 的距离，并写出x 的取值范围； (2)当五边形BCDNM 面积最小时，请判断△AMN 的形状．【答案与解析】一、选择题 1.【答案】C ；【解析】直线y=-x+4经过第一，二，四象限，一定不经过第三象限，因而直线y=x+2m 与y=-x+4的交点不可能在第三象限．2.【答案】C ；3.【答案】B ；【解析】由方程组的解知两直线的交点为（1，a+b ），•而图A 中交点横坐标是负数，故图A 不对；图C 中交点横坐标是2≠1，故图C 不对；图D•中交点纵坐标是大于a ，小于b 的数，不等于a+b ，y bx ay ax b =+⎧⎨=+⎩故图D 不对；故选B ．4.【答案】A ；5.【答案】B ；【解析】由A （-6,4），可得△ABO 的面积为，同时由于D 为OA 的中点，所以D （-3,2），可得反比例函数解析式为，设C （a ，b ），则， ∴ab =-6，则BO ×BC=6，∴ △CBO 的面积为3，所以△AOC 的面积为12-3=9.6.【答案】B ；【解析】∵=p ， ∴①若a+b+c ≠0，则p==2；②若a+b+c=0，则p==-1， ∴当p=2时，y=px+q 过第一、二、三象限；当p=-1时，y=px+p 过第二、三、四象限，综上所述，y=px+p 一定过第二、三象限．二、填空题 7．【答案】1；【解析】∵无法直接求出ABC ∆的面积∴将ABC ∆分割成OBC ∆和OAB ∆124621=⋅⋅xy 6-=ab 6-=a b b c c ac a b+++==()()()a b b c c a a b c+++++++a b cc c+-=由题意，得1y xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩ ∴(1,1)A 、(1,1)B --∴ABC ∆的面积=11122AOB COB S S ∆∆+=+= 8．【答案】43=k ；【解析】设B 点坐标为（a ，b ），∵OD ：DB=1：2，∴D 点坐标为（a 31，b 31）， ∵D 在反比例函数x k y =的图象上，得k b a =∙3131，∴k ab 9= --------------①，∵BC ∥AO ，AB ⊥AO ，C 在反比例函数xky =的图象上，C 点的纵坐标是b ，∴C 点坐标为（b bk,）将（b b k ,）代入x k y =得，b k x =，bka BC -=，又因为△OBC 的高为AB ，所以OBC 1()32kS a b b =-∙=△，6=-k ab -----------②，把①代入②得，9k-k=6，解得 43=k ．9．【答案】6；【解析】设A （a,a ）,B (b,b),则C （1,a a ）,D (1,b b), AC=1a a -,BD =1b b-,∵BD=2AC ，∴112()b a b a-=-， 2222221144()()OC OD a b a b-=+-+ 22114()2()2a b a b ⎡⎤⎡⎤=-+--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 22114()84()2a a a a=-+---6= 10．【答案】（，3）或（,-3）；【解析】∵点P 到x 轴的距离等于3，∴点P 的纵坐标为3或-3当y=3时，x=；当y=-3时，x=；∴点P 的坐标为（，3）或（，-3）． “点P 到x 轴的距离等于3”就是点P 的纵坐标的绝对值为3，故点P 的纵坐标应有两种情况．11．【答案】（0，﹣4），（﹣4，﹣4），（4，4）；【解析】先求出B 、O 、E 的坐标，再根据平行四边形的性质画出图形，即可求出P 点的坐标：如图，∵△AOE 的面积为4，函数k y=x的图象过一、三象限，∴k=8.135313531353∴反比例函数为8y=x∵函数y=2x 和函数8y=x 的图象交于A 、B 两点， ∴A、B 两点的坐标是：（2，4）（﹣2，﹣4），∵以点B 、O 、E 、P 为顶点的平行四边形共有3个，∴满足条件的P 点有3个，分别为：P 1（0，﹣4），P 2（﹣4，﹣4），P 3（4，4）.12．【答案】；【解析】由题意可知：=，又，即，所以原式=.又，，所以，所以原式.三、解答题13.【答案与解析】（1）∵点A (2,3)在正比例函数y kx =的图象上，∴ 23k =．解得 32k =． ∴ 正比例函数的解析式为 32y x =． ∵点A (2,3)在反比例函数m y x =的图象上， ∴ 32m =．解得 6m =．(2)1na n +12.....n A A A ∙∙∙12231n n x y x y x y +∙∙∙∙......k y x=xy k =111n n x k y -+∙∙112A x y a ==22k x y =2k a =1111112(2)1(2)1(2)11n n n n n n k a a x ky a a x n n ---++∙∙=⨯⨯=⨯⨯=++∴ 反比例函数的解析式为6y x=．…… 2分（2）点B 的坐标为(2,3)--， …………… 3分不等式m kx x>的解集为20x -<<或2x >．14.【答案与解析】（1）将直线x y 4=沿y 轴向下平移后经过x 轴上点A （0,49），设直线AB 的解析式为b x y +=4．则0494=+⨯b ．解得9-=b ．∴直线AB 的解析式为94-=x y ．（2）设点B 的坐标为（x B ，m ），∵直线AB 经过点B ，∴94-=B x m ． ∴49+=m x B ． ∴B 点的坐标为（49+m ，m ）， ∵点B 在双曲线k y x=（0x >）上， ∴49+=m k m ． ∴492m m k +=．15.【答案与解析】解法一：(1)由题意知，当销售利润为4万元时，销售量4÷(5-4)＝4万升．答：销售量x为4万升时，销售利润为4万元．(2)点A的坐标为(4，4)，从13日到15日利润为5.5-4＝1.5，所以销售量为1.5÷(5.5-4)-1，所以点B的坐标为(5，5.5)．设线段AB所对应的函数关系式为y＝kx+b，则44,5.55.k bk b=+⎧⎨=+⎩解得1.5,2.kb=⎧⎨=-⎩∴线段AB所对应的函数关系式为 y＝1.5x-2(4≤x≤5)．从15日到31日共销售5万升，利润为l×1.5+4×1＝5.5(万元)．∴本月销售该油品的利润为5.5+5.5＝11(万元)，则点C的坐标为(10，11)．设线段BC所对应的函数关系式为y＝mx+n，则5.55,1110.m nm n=+⎧⎨=+⎩解得1.1,0.mn=⎧⎨=⎩所以线段BC所对应的函数关系式为 y＝1.1x(5≤x≤10)．(3)线段AB段的利润率最大．解法二：(1)根据题意，线段OA所对应的函数关系式为y＝(5-4)x，即y＝x(0≤x≤4)．当y＝4时，x＝4，所以销售量为4万升时，销售利润为4万元．答：销售量x为4万升时，销售利润为4万元．(2)根据题意，线段AB对应的函数关系式为y＝1×4+(5.5-4)×(x-4)，即y＝1.5x-2(4≤x≤5)．把y＝5.5代入y＝1.5x-2，得x＝5，所以点B的坐标为(5，5.5)．此时库存量为6-5＝1．当销售量大于5万升时，即线段BC所对应的销售关系中，每升油的成本价144 4.54.45⨯+⨯==（元），所以，线段BC所对应的函数关系式y ＝(1.5×5-2)+(5.5-4.4)(x-5)＝1.1x(5≤x ≤10)．(3)线段AB 段的利润率最大．16.【答案与解析】解：(1)过点N 作BA 的垂线NP ，交BA 的延长线于点P ．由已知，AM ＝x ，AN ＝20-x ，∵ 四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠D ＝∠C ＝30°， ∴ ∠PAN ＝∠D ＝30°．在Rt △APN 中，1sin (20)2PN AN PAN x =∠=-，即点N 到AB 的距离为1(20)2x -． ∵ 点N 在AD 上，0≤x ≤20，点M 在AB 上，0≤x ≤15， ∴ x 的取值范围是0≤x ≤15．(2)根据(1)，2111(20)5244AMN S AM NP x x x x ==-=-+△． ∵ 104-<，∴ 当x ＝10时，AMN S △有最大值．又∵ AMN BCDNM S S S =-△五边形梯形，且S 梯形为定值，当x ＝10时，即ND ＝AM ＝10，AN ＝AD-ND ＝10，即AM ＝AN ．则当五边形BCDNM 面积最小时，△AMN 为等腰三角形．。

中考总复习平面直角坐标系与一次函数反比例函数--知识讲解

中考总复习平面直角坐标系与一次函数反比例函数--知识讲解一、平面直角坐标系：平面直角坐标系是描述平面上点位置的一种工具，它由两条互相垂直的数轴（横轴和纵轴）构成。

横轴通常被称为x轴，纵轴通常被称为y轴。

通常，将x轴和y轴的交点称为坐标原点O。

在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一个有序数对(x,y)来表示，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置。

例如，点A在x轴上的位置是2，在y轴上的位置是3，那么点A的坐标就是(2,3)。

二、一次函数：1.定义：一次函数是指形如y = ax + b的函数，其中a和b是常数，并且a≠0。

其中，a叫做一次函数的斜率，b叫做一次函数的截距。

2.斜率的性质：（1）当a>0时，一次函数是递增的，意味着随着x的增加，y也增加。

（2）当a<0时，一次函数是递减的，意味着随着x的增加，y减少。

3.截距的性质：截距是指一次函数与y轴的交点，在数学上记为点(0,b)。

（1）当b>0时，一次函数与y轴正向相交，函数图像在y轴上方。

（2）当b<0时，一次函数与y轴负向相交，函数图像在y轴下方。

4.一次函数的图像特点：一次函数的图像是一条直线，直线的斜率决定了直线的倾斜程度，而截距决定了直线与y轴的交点位置。

通过改变斜率和截距的值，可以改变直线的位置和倾斜程度。

三、反比例函数：1.定义：反比例函数也称为比例函数的倒数函数，当x≠0时，反比例函数可以表示为y=k/x，其中k≠0。

反比例函数的图像是图象关于坐标原点O对称的两个分离的曲线。

2.反比例函数的性质：（1）当x增大时，y减小；当x减小时，y增大。

（2）反比例函数不存在斜线，是一对曲线对称分离的图象。

四、平面直角坐标系与一次函数反比例函数的应用：平面直角坐标系和一次函数、反比例函数可以应用于很多实际问题中，如图形的绘制、方程的求解等。

1.图形的绘制：- 对于一次函数y = ax + b，通过改变a和b的值，可以得到不同的图形及其特点。

中考复习——平面直角坐标系、一次函数、反比例函数及其图象知识点汇总及典例分析

中考复习——平面直角坐标系、一次函数、反比例函数【知识梳理】一、平面直角坐标系1. 坐标平面上的点与有序实数对构成一一对应；2. 各象限点的坐标的符号；3. 坐标轴上的点的坐标特征．4. 点P （a ，b ）关于x 轴对称的点的坐标为；关于y 轴对称的点的坐标为；关于原点对称的点的坐标为5.两点之间的距离二、函数的概念1.概念：在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.2.自变量的取值范围：（1）使解析式（2）实际问题具有意义3.函数的表示方法；（1）（2）（3）三、一次函数的概念、图象、性质1．正比例函数的一般形式是（），一次函数的一般形式是 (k≠0). 2. 一次函数y kx b =+的图象是经过（，）和（，）两点的一条直线.4.若两个一次函数解析式中，k 相等，表示两直线；若两直线垂直，则。

5.的大小决定直线的倾斜程度，越大，直线越；四、反比例函数的概念、图象、性质1．反比例函数：一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y ＝或或（k 为常数，k≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数． 2. 反比例函数的图象和性质k ＞0，b ＞0k ＞0，b ＜0k ＜0，b ＞0k ＜0，21212211P P )0()0()2(y y y P y P -＝，　，，，21212211P P )0()0()1(x x x P x P -＝，　，　，，　3．k 的几何含义：反比例函数y ＝k x(k≠0)中比例系数k 的几何意义，即过双曲线y ＝k x(k≠0)上任意一点P 作x 轴、y 轴垂线，设垂足分别为A 、B ，则所得矩形OAPB 的面积为。

【例题精讲】例1.函数22y x =-中自变量x 的取值范围是 ;函数y =x 的取值范围是．例2.已知点(13)A m -，与点(21)B n +，关于x 轴对称，则m = ，n = ．例3.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（10，0），点B 的坐标为（8，0）,点C 、D 在以OA 为直径的半圆M 上,且四边形OCDB 是平行四边形，点C 的坐标为例4．一次函数y=(3a+2)x －(4－b),求满足下列条件的a 、b 的取值范围。

平面直角坐标系与一次函数、反比例数(基础)

中考总复习：平面直角坐标系与一次函数、反比例函数（基础）教师版【考点梳理】考点一、平面直角坐标系1.平面直角坐标系平面内两条有公共原点且互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系，坐标平面内一点对应的有序实数对叫做这点的坐标.在平面内建立了直角坐标系，就可以把“形”（平面内的点）和“数”（有序实数对）紧密结合起来.2．各象限内点的坐标的特点、坐标轴上点的坐标的特点点P(x,y)在第一象限0,0>>⇔y x ；点P(x,y)在第二象限0,0><⇔y x ；点P(x,y)在第三象限0,0<<⇔y x ；点P(x,y)在第四象限0,0<>⇔y x ；点P(x,y)在x 轴上0=⇔y ，x 为任意实数；点P(x,y)在y 轴上0=⇔x ，y 为任意实数；点P(x,y)既在x 轴上，又在y 轴上⇔x ，y 同时为零，即点P 坐标为（0，0）.3.两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上⇔x 与y 相等；点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上⇔x 与y 互为相反数.4.和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同；位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同. 5.关于x 轴、y 轴或原点对称的点的坐标的特征点P 与点p ′关于x 轴对称⇔横坐标相等，纵坐标互为相反数；点P 与点p ′关于y 轴对称⇔纵坐标相等，横坐标互为相反数；点P 与点p ′关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数. 6.点P(x,y)到坐标轴及原点的距离（1）点P(x,y)到x 轴的距离等于y ；（2）点P(x,y)到y 轴的距离等于x ；（3）点P(x,y)到原点的距离等于22y x +.要点诠释：（1）注意：x 轴和y 轴上的点，不属于任何象限；（2）平面内点的坐标是有序实数对，当b a ≠时，（a ，b ）和（b ，a ）是两个不同点的坐标. 考点二、函数1.函数的概念设在某个变化过程中有两个变量x 、y,如果对于x 在某一范围内的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与它相对应，那么就说y 是x 的函数，x 叫做自变量.2.自变量的取值范围对于实际问题，自变量取值必须使实际问题有意义.对于纯数学问题，自变量取值应保证数学式子有意义.3．表示方法⑴解析法；⑵列表法；⑶图象法.4．画函数图象（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来. 要点诠释：（1）在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量；（2）确定自变量取值范围的原则：①使代数式有意义；②使实际问题有意义. 考点三、几种基本函数（定义→图象→性质） 1.正比例函数及其图象性质（1）正比例函数：如果y=kx(k 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的正比例函数．（2）正比例函数y=kx （ k ≠0)的图象：过（0，0），（1，K ）两点的一条直线．（3）正比例函数y=kx （k ≠0)的性质 ①当k ＞0时，图象经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大； ②当k ＜0时，图象经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小 .2.一次函数及其图象性质（1）一次函数：如果y=kx+b(k,b 是常数，k ≠0),那么y 叫做x 的一次函数．（2）一次函数y=kx+b （k ≠0)的图象（3）一次函数y=kx+b （k ≠0)的图象的性质一次函数y ＝kx ＋b 的图象是经过(0，b )点和)0,(kb-点的一条直线．①当k>0时，y 随x 的增大而增大；②当k<0时，y 随x 的增大而减小．要点诠释：（1）当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例；（2）确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式kx y =（k ≠0）中的常数k.确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式b kx y +=（k ≠0）中的常数k 和b. 解这类问题的一般方法是待定系数法. 3.反比例函数及其图象性质（1）定义：一般地，形如xky =（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数. 三种形式：k y x=(k ≠0)或kx y =1-(k ≠0)或xy=k(k ≠0). （2）反比例函数解析式的特征：①等号左边是函数y ，等号右边是一个分式.分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为1；②比例系数0≠k ；③自变量x 的取值为一切非零实数；④函数y 的取值是一切非零实数.（3）反比例函数的图象①图象的画法：描点法列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数）；描点（由小到大的顺序）；连线（从左到右光滑的曲线）.②反比例函数的图象是双曲线，xky =（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交.③反比例函数的图象是轴对称图形（对称轴是x y =和x y -=）和中心对称图形（对称中心是坐标原点）.④反比例函数x k y =（0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线xky = （0≠k ）上任意点引x 轴、y 轴的垂线，所得矩形面积为k . （4）反比例函数性质：反比例函数 )0(≠=k xky k 的符号k>0k<0图像性质①x 的取值范围是x ≠0， y 的取值范围是y ≠0；②当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限.在每个象限内，y 随x 的增大而减小.①x 的取值范围是x ≠0， y 的取值范围是y ≠0；②当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限.在每个象限内，y 随x 的增大而增大.（5）反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图象上一个点的坐标即可求出k ）（6）“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数xky =中的两个变量必成反比例关系. 要点诠释：（1）用待定系数法求解析式（列方程[组]求解）；（2）利用一次（正比例）函数、反比例函数的图象求不等式的解集.【典型例题】类型一、坐标平面有关的计算例1．已知点A(a ，-5)，B(8，b)，根据下列要求确定a ，b 的值.(1)A ，B 两点关于y 轴对称； (2)A ，B 两点关于原点对称； (3)AB ∥x 轴； (4)A ，B 两点都在一、三象限的角平分线上．【思路点拨】（1）关于y 轴对称，y 不变，x 变为相反数；（2）关于原点对称，x 变为相反数，y 变为相反数；（3）AB ∥x 轴，即两点的纵坐标不变即可；（4）在一、三象限两坐标轴夹角的平分线上的点的横纵坐标相等，即可得出a ，b ．【答案与解析】(1)点A(a ，-5)，B(8，b)两点关于y 轴对称，则a ＝-8且b ＝-5． (2)点A(a ，-5)，B(8，b)两点关于原点对称，则a ＝-8且b ＝5． (3)AB ∥x 轴，则a ≠8且b ＝-5．(4)A ，B 两点都在一、三象限的角平分线上，则a ＝-5且b ＝8．【总结升华】运用对称点的坐标之间的关系是解答本题的关键．在一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相等，在二、四象限角平分线上的点的横纵坐标互为相反数．【变式】已知点A 的坐标为(-2，-1)． (1)如果B 为x 轴上一点，且10AB =，求B 点的坐标；(2)如果C 为y 轴上的一点，并且C 到原点的距离为3，求线段AC 的长； (3)如果D 为函数y ＝2x -1图象上一点，5AD =，求D 点的坐标．【答案】(1)设B (x ，0)，由勾股定理得22(2)(01)10AB x =+++=．解得x 1＝-5，x 2＝1．经检验x 1＝-5，x 2＝1均为原方程的解．∴ B 点的坐标为(-5，0)或(1，0)．(2)设C (0，y )，∵ OC ＝3，∴ C 点的坐标为(0，3)或(0，-3)． ∴ 由勾股定理得22(2)(31)25AC =-++=；或22AC =．(3)设D (x ，2x -1)，AD ＝5，由勾股定理得22(2)(211)5x x ++-+=．解得115x =，21x =-．经检验，115x =，21x =-均为原方程的解． ∴ D 点的坐标为(15，35-)或(-1，-3)．例2．已知某一函数图象如图所示．(1)求自变量x 的取值范围和函数y 的取值范围； (2)求当x ＝0时，y 的对应值；(3)求当y ＝0时，x 的对应值； (4)当x 为何值时，函数值最大； (5)当x 为何值时，函数值最小； (6)当y 随x 的增大而增大时，求x 的取值范围； (7)当y 随x 的增大而减小时，求x 的取值范围．【思路点拨】本题主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论. 【答案与解析】 (1)x 的取值范围是-4≤x ≤4，y 的取值范围是-2≤y ≤4；(2)当x ＝0时，y ＝3； (3)当y ＝0时，x ＝-3或-1或4； (4)当x ＝1时，y 的最大值为4；(5)当x ＝-2时，y 的最小值为-2； (6)当-2≤x ≤1时，y 随x 的增大而增大； (7)当-4≤x ≤-2或1≤x ≤4时，y 随x 的增大而减小．【总结升华】本题主要是培养学生的识图能力．【变式1】下图是韩老师早晨出门散步时，离家的距离y 与时间x 的函数图象．若用黑点表示韩老师家的位置，则韩老师散步行走的路线可能是( )【答案】理解题意，读图获取信息是关键，由图可知某段时间内韩老师离家距离是常数，联想到韩老师是在家为圆心的弧上散步，分析四个选项知D 项符合题意．答案：D【变式2】下列图形中的曲线不表示y 是x 的函数的是( )．【答案】C.类型二、一次函数例3．周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．小明离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，如图是他们离家的路程y （km ）与小明离家时间x （h ）的函数图象．已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍．（1）求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间；（2）小明从家出发多少小时后被妈妈追上？此时离家多远？（3）若妈妈比小明早10分钟到达乙地，求从家到乙地的路程．【思路点拨】观察图形理解每一段图象的内涵.【答案与解析】解：（1）由图象，得：小明骑车速度：10÷0.5=20（km/ h）.在甲地游玩的时间是1﹣0.5=0.5（h）.（2）妈妈驾车速度：20×3=60（km/h）如图，设直线BC解析式为y=20x+b1，把点B（1，10）代入得b1=﹣10.∴直线BC解析式为y=20x﹣10 ①.设直线DE解析式为y=60x+b2，把点D（43，0）代入得b2=﹣80.∴直线DE解析式为y=60x﹣80②.联立①②，得x=1.75，y=25.∴交点F（1.75，25）.答：小明出发1.75小时（105分钟）被妈妈追上，此时离家25km.（3）方法一：设从家到乙地的路程为m（km）则点E（x1，m），点C（x2，m）分别代入y=60x﹣80，y=20x ﹣10得：，∵∴∴m=30．方法二：设从妈妈追上小明的地点到乙地的路程为n（km），由题意得：∴n=5∴从家到乙地的路程为5+25=30（km）．【总结升华】考查一次函数图象和应用，直线上点的坐标与方程的关系.【变式1】(1)直线y＝2x+1向下平移2个单位，再向右平移2个单位后的直线的解析式是_____ ___.(2)直线y＝2x+1关于x轴对称的直线的解析式是___ _____；直线y＝2x+l关于y轴对称的直线的解析式是___ ______；直线y＝2x+1关于原点对称的直线的解析式是____ _____．(3)如图所示，已知点C为直线y＝x上在第一象限内一点，直线y＝2x+1交y轴于点A，交x轴于B，将直线AB平移后经过(3，4)点，则平移后的直线的解析式是__ ______．【答案】(1)y＝2x-5；(2)y＝-2x-1，y＝-2x+1，y＝2x-1； (3)y＝2x-2．【变式2】某地夏天旱情严重．该地10号、15号的人日均用水量的变化情况如图所示．若该地10号、15号的人均用水量分别为18千克和15千克，并一直按此趋势直线下降．当人日均用水量低于10千克时，政府将向当地居民送水．那么政府应开始送水的号数为( )A ．23B ．24C ．25D ．26 【答案】解析：设图中直线解析式为y ＝kx+b ，将(10，18)，(15，15)代入解析式得1018,1515,k b k b +=⎧⎨+=⎩解得 3,524,k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴3245y x =-+．由题意知，324105x -+<，解得1233x >，∴送水号数应为24．答案：B 类型三、反比例函数例4．已知函数2y x=和y ＝kx+1(k ≠0)．(1)若这两个函数的图象都经过点(1，a)，求a 和k 的值； (2)当k 取何值时，这两个函数的图象总有公共点?【思路点拨】（1）因为这两个函数的图象都经过点（1，a ），所以x=1，y=a 是方程组 21y xy kx ⎧=⎪⎨⎪=+⎩解，代入可得a 和k 的值；（2）要使这两个函数的图象总有公共点，须方程组 21y xy kx ⎧=⎪⎨⎪=+⎩有解，即 21kx x =+有解，根据判别式△即可求出K 的取值范围．【答案与解析】(1)∵ 两函数的图象都经过点(1，a)，∴ 2,11,a a k ⎧=⎪⎨⎪=+⎩∴ 2,1.a k =⎧⎨=⎩ (2)将2y x=代入1y kx =+，消去y ，得 220kx x +-=，∵ k ≠0，∴ 要使得两函数的图象总有公共点，只要△≥0即可． ∴ 1+8k ≥0，解得18k ≥-．∴ 18k ≥-且k ≠0．【总结升华】判断反比例函数与一次函数交点问题，要把反比例函数与一次函数联立转化成一元二次方程，再通过根的判别式来判断．【变式】已知正比例函数y kx =（k 为常数，0k ≠）的图象与反比例函数5ky x-=（k 为常数，0k ≠）的图象有一个交点的横坐标是2．（1）求两个函数图象的交点坐标；（2）若点11()A x y ，，22()B x y ，是反比例函数5ky x-=图象上的两点，且12x x <，试比较12y y ，的大小．【答案】（1）由题意，得522kk -=，解得1k =．所以正比例函数的表达式为y x =，反比例函数的表达式为4y x =．解4x x=，得2x =±．由y x =，得2y =±．所以两函数图象交点的坐标为（2，2），(22)--，．（2）因为反比例函数4y x=的图象分别在第一、三象限内，y 的值随x 值的增大而减小，所以当120x x <<时，12y y >．当120x x <<时，12y y >．当120x x <<时，因为1140y x =<，2240y x =>，所以12y y <．类型四、函数综合应用例5．如图，直线b x y +-=（b ＞0）与双曲线xky =（k ＞0）在第一象限的一支相交于A 、B 两点，与坐标轴交于C 、D 两点，P 是双曲线上一点，且PD PO =.（1）试用k 、b 表示C 、P 两点的坐标；（2）若△POD 的面积等于1，试求双曲线在第一象限的一支的函数解析式；（3）若△OAB 的面积等于34，试求△COA 与△BOD 的面积之和.【思路点拨】（1）根据直线的解析式求得点D 的坐标，再根据等腰三角形的性质即可求得点P 的横坐标，进而根据双曲线的解析式求得点P 的纵坐标；（2）①要求双曲线的解析式，只需求得xy 值，显然根据△POD 的面积等于1，即可求解；②由①中的解析式可以进一步求得点B 的纵坐标，从而求得直线的解析式，然后求得点B 的坐标，即可计算△COA 与△BOD 的面积之和．【答案与解析】（1）C （0，b ），D （b ，0） ∵PO ＝PD ∴22b OD x P ==，b k y P 2=∴P （2b ，bk2）（2）∵1=∆POD S ，有1221=⋅⋅b k b ，化简得：k ＝1 ∴xy 1=（x ＞0）（3）设A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），由AOB COD BOD COA S S S S ∆∆∆∆-=+得：34212121221-=+b by bx ，又b x y +-=22得38)(221-=+-+b b x b bx ，即38)(12=-x x b得，再由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=x y bx y 1得012=+-bx x ，从而b x x =+21，121=x x ，从而推出0)12)(4)(4(2=++-b b b ，所以4=b .故348-=+∆∆BOD COA S S【总结升华】利用面积建立方程求解析式中的字母参数是常用方法.求两函数图像的交点坐标，即解由它们的解析式组成的方程组. 【变式1】如图所示是一次函数y 1＝kx+b 和反比例函数2my x=的图象，观察图象写出y 1＞y 2时x 的取值范围________．【答案】利用图象比较函数值大小时，要看对于同一个自变量的取值，哪个函数图象在上面，哪个函数的函数值就大，当y 1＞y 2时，-2＜x ＜0或x ＞3．答案：-2＜x ＜0或x ＞3 【变式2】已知函数232(21)m y m x-=-，m 为何值时， (1)y 是x 的正比例函数，且y 随x 的增大而增大?(2)函数的图象是位于第二、四象限的双曲线? 【答案】(1)要符合题意，m 需满足2210,32 1.m m ->⎧⎨-=⎩ 解得1,21.m m ⎧>⎪⎨⎪=±⎩∴ m ＝1．(2)欲符合题意，m 需满足2210,32 1.m m -<⎧⎨-=-⎩ 解得1,23.3m m ⎧<⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩∴ 33m =-．例6．已知直线11:n n l y x n n+=-+(n 是不为零的自然数)．当n ＝1时，直线1:21l y x =-+与x 轴和y 轴分别交于点A 1和B 1，设△A 1OB 1(其中O 是平面直角坐标系的原点)的面积为S 1；当n ＝2时，直线231:22l y x =-+与x 轴和y 轴分别交于点A 2和B 2，设△A 2OB 2的面积为S 2，…，依此类推，直线n l 与x 轴和y 轴分别交于点A n 和B n ，设△A n OB n 的面积为S n ．(1)求11AOB △的面积S 1；(2)求S 1+S 2+S 3+…+S 6的面积．【思路点拨】此题是一道规律探索性题目，先根据函数解析式的通项公式得出每一个函数解析式，画出图象，总结出规律，便可解答．【答案与解析】解：直线1:21l y x =-+，∴ 11OB =，112OA =．（1）111111112224S OB OA =⨯⨯=⨯⨯=．（2）由11n y x n n +=-+得，A 12123611A (0),(0,).n+1n11,,n+1n 1111,2n n+12(1)11,,212223111121222323426711111()21223346711(1)273.7n n n n n n OB B OA OB S n n S S S S S S ===⨯⨯=+==⨯⨯⨯⨯++++=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=++++⨯⨯⨯⨯=-=△，【总结升华】借助直觉思维或对问题的整体把握运用归纳、概括、推理等思想获得合理的猜测．【巩固练习】1. 下列图形中的曲线不表示y 是x 的函数的是( )2．一次函数y=kx+2经过点（1，1），那么这个一次函数（） A.y 随x 的增大而增大 B.y 随x 的增大而减小 C.图像经过原点 D.图像不经过第二象限3．若正比例函数y=（1-2m ）x 的图象经过点A （x 1，y 1）和点B （x 2，y 2），当x 1﹤x 2时，y 1＞y 2，则m 的取值范围是（）A ．m ＜OB ．m ＞0C ．m ＜21 D ．m ＞21 4．已知正比例函数11(0)y k x k =≠与反比例函数22(0)k y k x=≠的图象有一个交点的坐标为(2,1)--，则它的另一个交点的坐标是（）A.(2,1)B.(2,1)--C.(2,1)-D.(2,1)-5．若直线y=kx+b 经过一、二、四象限，则直线y=bx+k 不经过第（）象限． A.一 B.二 C.三 D.四 6．反比例函数xy 6=图象上有三个点)(11y x ，，)(22y x ，，)(33y x ，，其中3210x x x <<<，则1y ，2y ，3y 的大小关系是( )A ．321y y y <<B ．312y y y <<C ．213y y y <<D ．123y y y <<7．已知y 与x+1成正比例，当x=5时，y=12，则y 关于x 的函数关系式是 .8．从-2，-1，1，2这四个数中，任取两个不同的数作为一次函数y ＝kx+b 的系数k ，b ，则一次函数 y ＝kx+b 的图象不经过第四象限的概率是________．9．已知直线y=-2x+m 不经过第三象限，则m 的取值范围是_________． 10．过点P （8，2）且与直线y=x+1平行的一次函数解析式为_________．11．如图，点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）都在双曲线上，且，；分别过点A 、B向x 轴、y 轴作垂线段，垂足分别为C 、D 、E 、F ，AC 与BF 相交于G 点，四边形FOCG 的面积为2，五边形AEODB的面积为14，那么双曲线的解析式为．第11题图第12题图12．如图，在反比例函数的图象上，有点，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则.13．已知一次函数y=（3-k）x-2k2+18.（1）k为何值时，它的图象经过原点？（2）k为何值时，它的图象经过点（0，-2）?（3）k为何值时，它的图象平行于直线y=-x？（4）k为何值时，y随x的增大而减小？14. 某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A种产品，则所获利润y A(万元)与投资金额x(万元)之间存在正比例函数关系：y A＝kx，并且当投资5万元时，可获得利润2万元；信息二：如果单独投资B种产品，则所获利润y B(万元)与投资金额x(万元)之间存在二次函数关系：y B＝ax2+bx，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，可获利润3.2万元．(1)请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数的表达式；(2)如果企业同时对A、B两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少．15．小张骑车往返于甲、乙两地，距甲地的路程y(km)与时间x(h)的函数图象如图所示．(1)小张在路上停留________h，他从乙地返回时骑车的速度为km/h．(2)小李与小张同时从甲地出发，按相同路线匀速前往乙地，小李到乙地停止，途中小李与小张共同相遇3次．请在图中画出小李距甲地的路程y(km)与时间x(h)的函数的大致图象．(3)小王与小张同时出发，按相同的路线前往乙地，距甲地的路程y(km)与时间x(h)的函数关系为y＝12x+10，小王与小张在途中共相遇几次？请你计算出第一次相遇的时间．16. 如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点A（﹣4，﹣2）和B（a，4）．（1）求反比例函数的解析式和点B的坐标；（2）根据图象回答，当x在什么范围内时，一次函数的值大于反比例函数的值？【答案与解析】1.【答案】C ；【解析】考查函数的定义．2.【答案】B ；【解析】∵y=kx+2经过（1，1），∴1=k+2，∴y=-x+2，∵k=-1<0，∴y 随x 的增大而减小，故B 正确．∵y=-x+2不是正比例函数，∴其图像不经过原点，故C错误．∵k<0，b=•2>0，∴其图像经过第二象限，故D 错误．3.【答案】D ；【解析】本题考查正比例函数的图象和性质，因为当x 1＜x 2时，y 1＞y 2，说明y 随x 的增大而减小，所以1-2m ﹤O,∴m ＞21，故正确答案为D ． 4.【答案】A ；【解析】通常我们求交点坐标的方法是将两个函数解析式联立方程组，来求交点坐标所以需要先通过待定系数法求出正比例函数11(0)y k x k =≠与反比例函数22(0)k y k x=≠的解析式，将(2,1)--代入两个函数解析式求得121,22k k == 122y x y x ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，解得21x y =-⎧⎨=-⎩或21x y =⎧⎨=⎩，∴另一交点坐标为(2,1) 5.【答案】B ；【解析】∵直线y=kx+b 经过一、二、四象限，∴0,0k b <⎧⎨>⎩ 对于直线y=bx+k ，∵0,0k b <⎧⎨>⎩∴图像不经过第二象限，故应选B ． 6.【答案】B ；【解析】该题有三种解法：解法①，画出xy 6=的图象，然后在图象上按3210x x x <<<要求描出三个已知点，便可得到321,,y y y 的大小关系;解法②,特殊值法，将三个已知点（自变量x 选特殊值）代入解析式，计算后可得到321,0,,y y y 的大小关系；解法③，根据反比例函数的性质，可知y 1，y 2都小于0，而y 3＞0，且在每个象限内，y 值随x 值的增大而减小，而x 1＜x 2，∴y 2＜y 1＜0.故312y y y <<，故选B.7．【答案】y=2x+2；【解析】设y 关于x 的函数关系式为y=k （x+1）.∵当x=5时，y=12，∴12=（5+1）k ，∴k=2．∴y 关于x 的函数关系式为y=2x+2．8．【答案】16；【解析】21126P ==． ∴ 一次函数图象不经过第四象限的概率是16． 9．【答案】m ≥0；【解析】提示：应将y=-2x+m 的图像的可能情况考虑周全．10．【答案】y=x-6；【解析】设所求一次函数的解析式为y=kx+b ．∵直线y=kx+b 与y=x+1平行，∴k=1，∴y=x+b ．将P （8，2）代入，得2=8+b ，b=-6，∴所求解析式为y=x-6．11．【答案】6y x=；【解析】本题考查反比例函数的面积不变性,由四边形FODB 的面积=四边形EOCA 的面积=k ，又因为五边形AEODB 的面积=四边形FODB 的面积+四边形EOCA 的面积-四边形FOCG 的面积+三角形ABG 的面积，所以14=2k-2+4，因此k=6.12．【答案】；【解析】由题意可知点P 1、P 2、P 3、P 4坐标分别为：（1，2），（2，1），（3，23），（4，12）．∴由反比例函数的几何意义可知：S 1+S 2+S 3=2-1×12= 32.13.【答案与解析】解：（1）图象经过原点，则它是正比例函数．∴⎩⎨⎧≠-=+-,03,01822k k ∴k ＝-2．∴当k=-3时，它的图象经过原点．（2）该一次函数的图象经过点（0，-2）.∴-2=-2k 2+18，且3-k ≠0， ∴k=±10∴当k =±10时，它的图象经过点(0，-2)（3）函数图象平行于直线y=-x ，∴3-k=-1，∴k ＝4．∴当k ＝4时，它的图象平行于直线x=-x ．（4）∵随x 的增大而减小，∴3-k ﹤O ．∴k ＞3．∴当k ＞3时，y 随x 的增大而减小．14.【答案与解析】解：(1)当x ＝5时，y A ＝2，2＝5k ，k ＝0.4， ∴ y A ＝0.4x ．当x ＝2时，y B ＝2.4；当x ＝4时，y B ＝3.2． ∴ 2.442,3.2164,a b a b =+⎧⎨=+⎩ 解得0.2,1.6,a b =-⎧⎨=⎩ ∴ 20.2 1.6B y x x =-+． (2)设投资B 种商品x 万元，则投资A 种商品(10-x)万元，获得利润W 万元，根据题意可得 W ＝-0.2x 2+1.6x+0.4(10-x)＝-0.2x 2+1.2x+4， ∴ W ＝-0.2(x-3)2+5.8，当投资B 种商品3万元时，可以获得最大利润5.8万元．∴ 投资A 种商品7万元，B 种商品3万元，这样投资可以获得最大利润5.8万元．15.【答案与解析】 (1)1，30 (2)所画图象如图所示，要求图象能正确反映起点终点．(3)由函数1210y x =+的图象可知，小王与小张在途中相遇2次，并在出发后2到4小时之间第一次相遇．当2≤x ≤4时，y ＝20x-20，由2020,1210,y x y x =-⎧⎨=+⎩得154x =．答：小王与小张在途中第一次相遇的时间为154h ． 16.【答案与解析】（1）设反比例函数的解析式为k y=x ，∵反比例函数图象经过点A （﹣4，﹣2），∴k 4=2--，解得k=8. ∴反比例函数的解析式为8y=x .∵B（a ，4）在8y=x 的图象上，∴84=a，解得a=2. ∴点B 的坐标为B （2，4）.（2）根据图象得，当x ＞2或﹣4＜x ＜0时，一次函数的值大于反比例函数的值.。

平面直角坐标系及一次函数复习PPT教学课件

B. y= x -1
C.y= -2x
D. y= - x2
5.函数 y = A.x≤ 4
√4 - x x2-4
的自变量取值范围是（ B.x≠±2
D
）
C.x≥2
D.x≤4且x≠±2
二.填空题
1. 点P( -3,4 )到x轴的距离是 4 ,到原点的距离是 5 . 2. 对于函数y=1-x, y随x的增大而减小 .
晏殊一生身居显位，生活富贵闲逸，喜聚客宴饮。他的词在内容上多表现诗酒生活和悠闲情致，其《珠玉词》被视为婉约词派的正宗。《浣溪沙》是其代表作，也是宋词中被后人广为传诵的名篇。 “无可奈何花落去，似曾相识燕归来”为千古名句。
《浣溪沙》晏殊
一曲新词酒一杯，去年天气旧亭台。夕阳西下几时回。
无可奈何花落去，似曾相识燕归来，小园香径独徘徊。
4. 点的位置及其坐标特征: ①.各象限内的点: ②.各坐标轴上的点: ③.各象限角平分线上的点: ④.对称于坐标轴的两点: ⑤.对称于原点的两点:
y
Q(b,-b)
(-,+)
M(a,b)
Q(0,b)
C(m,n)
(+,+)
P(a,0)
o
x
N(a,-b)(-,-)
(+,-)
PD(a(-,ma,)-n)
《浣溪沙》这首词巧借“花落去”“燕归来”的自然景象，
抒写了心灵的感受——物是人非，时光不再。
本词为晏殊的名篇之一，抒写悼惜春残花落，好景不长的愁怀。语意十分蕴藉含蓄，通篇无一字正面表现思情别绪，读者却能从“去年天气旧亭台”、“燕归来”、“独徘徊”等句，领会到作者对景物依旧、人事全非的暗示和深深的叹恨。词中“无可奈何花落去”一联工巧而流丽，风韵天然，向称名句。

苏教版初中数学毕业复习：平面直角坐标系和一次函数典型题目分析

苏教版初中毕业复习：平面直角坐标系和一次函数典型题目分析对于这一部分知识中考中主要以选择和填空的形式出现，主要考查不同坐标系中点的特点及函数的图象、性质与函数的解析式，在解答题中经常出现用函数知识解决实际问题，在中考中一般占到6-10分左右。

知识梳理知识点1：平面直角坐标系及函数图象例1：已知点P （a ＋1，2a －1）关于x 轴的对称点在第一象限，求a 的取值范围．解体思路：本题根据点的坐标特征建立起不等式组是解题的关键．对称点在第一象限，则点P 在第四象限．根据各象限内点的坐标特征，可以建立关于a 的不等式组，求出a 的取值范围．依题意P 点在第四象限，则有⎩⎨⎧<->+01201a a ，解得－1＜a ＜12．答案：a 的取值范围是－1＜a ＜12．例2：函数x 的取值范围是．21010x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得x≥－12 且x≠15．答案：x≥－12 且x≠15．例3 ：三军受命，我解放军各部奋力抗战在救灾一线.现有甲、乙两支解放军小分队将救灾物资送往某重灾小镇，甲队先出发，从部队基地到该小镇只有唯一通道，且路程为24km ．如图是他们行走的路程关于时间的函数图象，四位同学观察此函数图象得出有关信息,其中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4解题思路：结合题意、图象看出，甲队出发2小时后乙队出发，他们同时到达目的地，路程都是24 km ，甲队用了6小时，乙队用了4小时．可以求得，乙队行驶的平均速度是24÷4=6 km/h ．所以，第二、第三个同学的叙述正确．又观察图象，甲、乙两队行走的路程、时间的函数图象相交，交点的横坐标是4.5，这说明两个队在行驶途中有一次相遇，是在乙队出发2.5小时后追上甲队，所以，第一个同学的叙述正确．在甲队行走的路程、时间的函数图象中，在3～4小时之间的一段是水平的，意味着这段时间甲队在途中停留，所以第四个同学的叙述是正确的．综上所述，四个同学的叙述都正确。

2012中考数学复习冲刺一次函数和二次函数(附中考复习提纲)

2012年中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练一次函数、二次函数（附中考数学最新复习提纲）目录页码一次函数篇 (2)二次函数篇 (34)最新中考复习提纲 (47)一次函数篇◆知识讲解1．正比例函数的定义一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．2．正比例函数的图像正比例函数y=kx（k是常数且k≠0）的图像是一条经过原点（0，0）和点（1，k）•的直线，我们称它为直线y=kx；当k>0时，直线y=kx经过第一，三象限，y随着x的增大而增大，当k<0时，直线y=kx经过第二，四象限，y随着x的增大而减少．3．一次函数的定义如果y=kx+b（k，b为常数，且k≠0），那么y叫做x的一次函数．一次函数的标准形式为y=kx+b，是关于x的一次二项式，其中一次项系数k必须是不为零的常数，b可以为任何常数．当b=0而k≠0时，它是正比例函数，由此可知正比例函数是一次函数的特殊情况．当k=0而b≠0时，它不是一次函数．4．一次函数的图像一次函数y=kx+b（k≠0）的图像是一条直线，通常也称直线y=kx+b，由于两点确定一条直线，故画一次函数的图像时，只要先描出两点，再连成直线就可以了，为了方便，通常取图像与坐标轴的两个交点（0，b），（－bk，0）就行了．5．一次函数的图像与性质直线y=kx+b（k≠0）中，k和b决定着直线的位置及增减性，当k>0时，y随x的增大而增大，此时若b>0，则直线y=kx+b经过第一，二，三象限；若b<0，则直线y=kx+b经过第一，三，四象限，当k<0时，y随x的增大而减小，此时当b>0时，直线y=kx+b经过第一，二，四象限；当b<0时，直线y=kx+b经过第二，三，四象限．6．一次函数图像的平移与图像和坐标轴围成的三角形的面积一次函数y=kx+b沿着y轴向上（“＋”）、下（“－”）平移m（m>0）•个单位得到一次函数y=kx+b±m；一次函数y=kx+b沿着x轴向左（“＋”）、•右（“－”）平移n（n>0）个单位得到一次函数y=k（x±n）+b；一次函数沿着y轴平移与沿着x轴平移往往是同步进行的．只不过是一种情况，两种表示罢了；直线y=kx+b与x轴交点为（－bk，0），与y 轴交点为（0，b ），且这两个交点与坐标原点构成的三角形面积为S △=12²│－b k │²│b │．◆例题解析例1 （2006，江西省）已知直线L 1经过点A （－1，0）与点B （2，3），另一条直线L 2经过点B ，且与x 轴相交于点P （m ，0）．（1）求直线L 1的解析式；（2）若△APB 的面积为3，求m 的值．【分析】函数图像上的两点坐标也即是x ，y 的两组对应值，•可用待定系数法求解，求函数与坐标轴所围成的三角形面积关键是求出函数解析式的k ，b 的值．【解答】（1）设直线L 的解析式为y=kx+b ，由题意得0,2 3.k b k b -+=⎧⎨+=⎩解得1,1.k b =⎧⎨=⎩所以，直线L 1的解析式为y=x+1．（2）当点P 在点A 的右侧时，AP=m －（－1）=m+1，有S △APC =12³（m+1）³3=3．解得m=1，此时点P 的坐标为（1，0）；当点P 在点A 的左侧时，AP=－1－m ，有S=³（－m －1）³3=3，解得m=－3，此时，点P 的坐标为（－3，0）．综上所述，m 的值为1或－3．【点评】先设一次函数的解析式，再代入点的坐标，利用方程组求解，其步骤是：设、代，求、答．例2 （2004，黑龙江省）下图表示甲，乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y （km ）随时间x （min ）的变化的图像（全程），根据图像回答下列问题：（1）求比赛开始多少分钟时，两人第一次相遇？（2）求这次比赛全程是多少千米？（3）求比赛开始多少分钟时，两人第二次相遇．【分析】观察图像知，甲选手的路程y 随时间x 变化是一个分段函数，第一次相遇时是在AB 段，故求出15≤x ≤33时的函数关系式；欲求出比赛全程，则需知乙的速度，这可由第一次相遇时的路程与时间的关系求得，要求第二次相遇时间，•即先求甲在BC 段的函数关系式，再求出BC 和OD 的交点坐标即可．【解答】（1）当15≤x ≤33时，设y AB =k 1x+b 1，将（15，5）与（33，7）代入得：1111515733k b k b =+⎧⎨=+⎩ 解得1119103k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴y AB =19x+103当y=6时，有：6=19x+103，解得x=24．∴比赛进行到24min 时，两人第一次相遇．（2）设y OD =kx ，将（24，6）代入得：6=24k, ∴k=14 ∴y OD =14x当x=48时，y OD =14³48=12∴比赛全程为12km ．（3）当33≤x ≤43时，设y BC =k 2x+b 2，将（33，7）和（43，12）代入得：22227331243k b k b =+⎧⎨=+⎩解得2212192k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴y BC =12x －192 ∴1192214x y x y -=⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得19238x y =⎧⎪⎨=⎪⎩∴比赛进行到38min 时，两人第二次相遇．【点评】解答图像应用题的要领是从图像的形状特点、变化趋势、相关位置、相关数据出发，充分发掘图像所蕴含的信息，利用函数、方程（组）、不等式等知识去分析图像以解决问题．例3 （2006，贵州铜仁）铜仁某水果销售公司准备从外地购买西瓜31t ，柚子12t ，现计划租甲，乙两种货车共10辆，将这批水果运到铜仁，已知甲种货车可装西瓜4t 和柚子1t ，乙种货车可装西瓜，柚子各2t ．（1）该公司安排甲，乙两种货车时有几种方案？（2）若甲种货车每辆要付运输费1800元，乙种货车每辆要付运输费1200元，•则该公司选择哪种方案运费最少？最少运费是多少元？【解答】（1）设安排甲种货车x 辆，则安排乙种货车为（10－x ）辆，依题意，得42(10)312(10)12x x x x +-≥⎧⎨+-≥⎩ 解这个不等式组，得5.5≤x ≤8．∵x 是整数，∴x 可取6，7，8．即安排甲，乙两种货车有三种方案：①甲种货车6辆，乙种货车4辆②甲种货车7辆，乙种货车3辆③甲种货车8辆，乙种货车2辆（2）设运费为y 元，则y=1800x+1200（10－x ）=600x+12000．∴当x 取6时，运费最少，最少运费是：15600元．【点评】本例需要考生构建一元一次不等式和一次函数来解决实际问题，以考查学生运用综合知识，分析、解决问题的能力．◆强化训练一、填空题1．（2006，绍兴）如图所示，一次函数y=x+5的图像经过点P（a，b），Q（c，d），•则a（c－d）－b（c－d）的值为______．2．（2005，重庆市）直线y=－43x+8与x轴，y轴分别交于点A和点B，M是OB上的一点，•若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B′处，则直线AM的解析式为______．3．（2006，白云区）关于x的一次函数y=（a－3）x+2a－5的图像与y轴的交点不在x•轴的下方，且y随x的增大而减小，则a的取值范围是______．4．已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图像经过点（0，1），且y随x的增大而增大，•请你写出一个符合上述条件的函数关系式_______．5．（2005，黑龙江省）一次函数y=kx+3•的图像与坐标轴的两个交点之间的距离为5，则k 的值为________．6．（2005，包头市）若一次函数y=ax+1－a中，y随x的增大而增大，且它的图像与y轴交于正半轴，则│a－1│．7．（2005，四川省）如果记y=221xx+=f（x），并且f（1）表示当x=1时y的值，即f（1）=22111+=12；f（12）表示当x=12时y的值，即f（12）=22()112(1)2+=15；如果f（1）+f（2）+f（12）+f（3）+f（13）+…+f（n）+f（1n）=______．（结果用含n的代数式表示，n为正整数）．8．如图所示，点M是直线y=2x+3上的动点，过点M作MN 垂直x轴于点N，y轴上是否存在点P，使以M，N，P为顶点的三角形为等腰直角三角形．小明发现：当动点M运动到（－1，1）时，y轴上存在点P（0，1），此时有MN=MP，能使△NMP为等腰直角三角形．在y轴和直线上还存在符合条件的点P和点M．请你写出其他符合条件的点P的坐标_______．二、选择题9．（2006，南安）如图所示，一个蓄水桶，60min可匀速将一满桶水放干．其中，水位h（cm）随着放水时间t（min）的变化而变化．h与t的函数的大致图像为（）10．（2005，杭州市）已知一次函数y=kx－k，若y随x的增大而减小，则该函数的图像经过（）A．第一，二，三象限B．第一，二，四象限C．第二，三，四象限D．第一，三，四象限11．（2008，济南）济南市某储运部紧急调拨一批物资，调进物资共用4h，调进物资2h后开始调出物资（调进物资与调出物资的速度均保持不变）．储运部库存物资S（t）•与时间t（h）之间的函数关系如图5－35所示，•这批物资从开始调进到全部调出所需要的时间是（）A．4h B．4.4h C．4.8h D．5h12．（2006，泉州）小明所在学校离家距离为2km，某天他放学后骑自行车回家，行驶了5min后，因故停留10min，继续骑了5min到家，下面哪一个图像能大致描述他回家过程中离家的距离s（km）与所用时间t（min）之间的关系（）13．（2006，黄冈）如图所示，在光明中学学生体力测试比赛中，甲，•乙两学生测试的路程s（m）与时间t（s）之间的函数关系图像分别为折线OABC和线段OD，•下列说法正确的（）A．乙比甲先到达终点B．乙测试的速度随时间增加而增大C．比赛进行到29.7s时，两人出发后第一次相遇D．比赛全程甲的测试速度始终比乙的测试速度快14．（2005，黄冈市）有一个装有进，出水管的容器，单位时间内进，•出的水量都是一定的．已知容器的容积为600L，又知单开进水管10min可把空容器注满．若同时打开进，出水管，20min可把满容器的水放完．现已知水池内有水200L，先打开进水管5min，再打开出水管，两管同时开放，直至把容器中的水放完，则能正确反映这一过程中容器的水量Q（L）随时间t（min）变化的图像是下图中的（）15．（2005，重庆市）为了增强抗旱能力，保证今年夏粮丰收，某村新修建了一个蓄水池，这个蓄水池安装了两个进水管和一个出水管（两个进水管的进水速度相同），一个进水管和一个出水管的进出水速度如图a，b所示，某天0点到6点（•至少打开一个水管），该蓄水池的蓄水量如图c所示，并给出以下3个论断：①0点到1点不进水，只出水；②1点到4点不进水，不出水；③4点到6点只进水，不出水，则一定正确的论断是（）(a) (b) (c)A．①③B．②③C．③D．①②③16．（2008，重庆）如图所示，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠A=90°，AB=28cm，DC=24cm，AD=4cm，点M从点D出发，以1cm/s的速度向点C运动，点N从点B同时出发，•以2cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点到达端点停止运动时，另一个动点也随之停止运动，而四边形ADMN的面积y（cm2）与两动点的运动时间t（s）的函数图像大致是（）三、解答题17．（2008，河北）如图所示，直线L1的解析表达式为y=－3x+3，且L1与x轴交于点D．直线L2经过点A，B，直线L1，L2交于点C．（1）求点D的坐标；（2）求直线L2的解析表达式；（3）求△ADC的面积；（4）在直线L2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，请直接写出点P的坐标．18．（2008，南京）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发．设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），下图中的折线表示y•与x之间的函数关系．根据图像进行以下探究：信息读取:（1）甲，乙两地之间的距离为_____km;（2）请解释图中点B的实际意义．图像理解:（3）求慢车和快车的速度;（4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．问题解决:（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．•在第一列快车与慢车相遇30min后，第二列快车与慢车相遇，•求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时．19．（2005，•黑龙江省）•某企业有甲，•乙两个长方体的蓄水池，将甲池中的水以6m3/h 的速度注入乙池，甲，乙两个蓄水池中水的深度y（m）与注水时间x（h）之间的函数图像如图所示，结合图像回答下列问题：（1）分别求出甲，乙两个蓄水池中水的深度y与注水时间x之间的函数关系式；（2）求注水多长时间甲，乙两个蓄水池水的深度相同；（3）求注水多长时间甲，乙两个蓄水池的蓄水池相同．20．（2005，哈尔滨市）甲，乙两名同学进行登山比赛，图5－42所示为甲同学和乙同学沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶过程中，•各自行进的路程随时间变化的图象，根据图像中的有关数据回答下列问题：（1）分别求出表示甲，乙两同学登山过程中路程s（km）与时间t（h）的函数解析式；（不要求写出自变量t的取值范围）（2）当甲到达山顶时，乙行进到山路上的某点A处，求A点距山顶的距离；（3）在（2）的条件下，设乙同学从A处继续登山，甲同学到达山顶后休息1h，沿原路下山，在点B处与乙相遇，此时点B与山顶距离为1.5km，相遇后甲，•乙各自按原来的线路下山和上山，求乙到达山顶时，甲离山脚的距离是多少千米？21．（2005，长春市）如图a所示，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与原点重合，对角线BD所在直线的函数关系式为y=34x，AD=8．矩形ABCD沿DB方向以每秒1•单位长度运动，同时点P从点A出发做匀速运动，沿矩形ABCD的边经过点B到达点C，用了14s．（1）求矩形ABCD的周长．（2）如图b所示，图形运动到第5s时，求点P的坐标；（3）设矩形运动的时间为t．当0≤t≤6时，点P所经过的路线是一条线段，•请求出线段所在直线的函数关系式；（4）当点P在线段AB或BC上运动时，过点P作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E，F，则矩形PEOF是否能与矩形ABCD相似（或位似）？若能，求出t的值；若不能，说明理由．22．（2006，绍兴）某校部分住校学生，放学后到学校锅炉房打水，每人接水2L，•他们先同时打开两个放水龙头，后来故故障关闭一个放水龙头，假设前后两个接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，锅炉内的余水量y（L）与接水时间x（min）的函数图像如图所示．请结合图像，回答下列问题：（1）根据图中信息，请你写出一个结论；（2）问前15位同学接水结束共需要几分钟？（3）小敏说：“今天我们寝室的8位同学去锅炉房连续接完水恰好用了3min”．•你说可能吗？请说明理由．答案:1．25 2．y=－12x+3 3．52≤a<3 4．y=3x+1（答案不唯一）5．±346．1 7．n－128．（0，0）（0，34）（0，－3）9．C 10．B 11．B 12．D 13．C 14．A 15．D 16．D 17．（1）由y=－3x+3知，令y=0，得－3x+3=0，∴x=1．∴D（1，0）．（2）设直线L2的解析式表达式为y=kx+b，由图像知：直线L2过点A（4，0）和点B（3，－32），∴40,332k b k b +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，∴3,26.k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴直线L 的解析表达式为y=32x －6．（3）由33,36.2y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩ 解得2,3.x y =⎧⎨=-⎩ ∴C （2，－3）． ∵AD=3，∴S △=12³3³│－3│=92．（4）P （6，3）． 18．（1）900．（2）图中点B 的实际意义是：当慢车行驶4h 时，慢车和快车相遇．（3）由图像可知，慢车12h 行驶的路程为900km ，所以慢车的速度为90012km/h=75km/h ；当慢车行驶4h 时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900km ，所以慢车和快车行驶的速度之和为9004km/h=225km/h ．所以快车的速度为150km/h ．（4）根据题意，快车行驶900km 到达乙地，所以快车行驶900150h=6h 到达乙地．此时两车之间的距离为6³75km=450km ，所以点C 的坐标为（6，450）．设线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式为y=kx+b ，把（4，0），（6，450）代入得 04,4506,k b k b=+⎧⎨=+⎩解得225,900.k b =⎧⎨=-⎩所以，线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式为y=225x －900，自变量x •的取值范围是4≤x ≤6．（5）慢车与第一列快车相遇30min后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是4.5h．把x=4.5代入y=225x－900．得y=112.5．此时慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离，是112.5km．所以两列快车出发的间隔时间是112.5÷150h=0.75h．即第二列快车比第一列快车晚出发0.75h．19．（1）设y甲=k1x+b1，把（0，2）和（3，0）代入，解得k1=－23，b1=2．∴y甲=－23x+2．设y乙=k2x+b2，把（0，1）和（3，4）代入．解得k2=1，b2=1，∴y乙=x+1．（2）根据题意，得2231xy xy+=-+⎧=⎪⎨⎪⎩解得x=35．所以注水35h甲，乙两个蓄水池中水的深度相同．（3）设甲蓄水池的底面积为S1，乙蓄水池的底面积为S2，th甲，乙两个蓄水池的蓄水量相同，根据题意，得2S1=3³6，S1=9（4－1）S2=3³6=，S2=6S1（－23t+2）=S2（t+1）解得t=1．∴注水1h甲，乙两个蓄水池的蓄水量相同．20．（1）设甲，乙两同学登山过程中，路程s（km）与时间t（h）•的函数解析式分别为s甲=k1t，s乙=k2t，由题意，得6=2k1，6=3k2．∴k1=3，k2=2∴解析式分别为s甲=3t，s乙=2t．（2）甲到在山顶时，由图像可知，当s甲=12（km），代入s甲=3t，得：t=4（h）．∴s乙=2³4=8（km）∴12－8=4（km）答：当甲到达山顶时，乙距山顶的距离为4km．（3）由图像可知：甲到达山顶并休息1h后点D的坐标为（5，12）由题意，得：点B的纵坐标为12－32=212，代入s乙=2t，解得：t=214，∴点B（214，212）设过B，D两点直线解析式为s=kx+b．由题意，得212124125t bt b⎧=+⎪⎨⎪=+⎩解得642kb=-⎧⎨=⎩∴直线BD的解析式为s=－6t+42∴当乙达到山顶时，s乙=12，得t=6，把t代入s=－6t+42得s=6（km）答：当乙达到山顶时，甲距山脚6km．21．（1）AD=8，B点在y=34x上，则y=6，B点坐标为（8，6），AB=6，矩形的周长为28．（2）由（1）可知AB+BC=14，P点走过AB，BC的时间为14s，因此点P的速度为每秒1•个单位．∵矩形沿DB方向以每秒1个单位长运动，出发5s后，OD=5，此时D点坐标为（4，3）同时，点P沿AB方向运动了5个单位，则点P坐标为（12，8）．（3）点P运动前的位置为（8，0），5s后运动到（12，8）已知它运动路线是一条线段，•设线段所在直线为y=kx+b．∴80,128.k bk b+=⎧⎨+=⎩解得216.kb=⎧⎨=-⎩直线解析式为y=2x－16．（4）方法一：①当点P在AB边运动时，即0≤t≤6．点D的坐标为（45t，35t）．∴点P 的坐标为（8+45t ，85t ）．若P E B A O ED A=，则85485t t+=68，解得t=6．当t=6时，点P 与点B 重合，此时△PEO 与△BAD 相形．若P E D A O EB A=，则85485t t+=86，解得t=20．因为20>6，所以此时点P 不在AB 边上，舍去． ②当点P 在BC 边运动时，即6≤t ≤14．点D 的坐标为（45t ，35t ）． ∴点P 的坐标为（14－15t ，35t+6）．若P E B A O ED A=，则3651145t t+-=68，解得t=6．此情况①已讨论．若P E D A O EB A=，则3651145t t+-=86，解得t=19013．因为19013>14，此时点P 不在BC 边上，舍去．综上，当t=6时，点P 到达点B 时，此时△PEO 与△BAD 相形．方法二：当点P 在AB 上没有到达点B 时，P E B E O EO E <=34，P E O E更不能等于43．则点P 在AB 上没到达点B 时，两个三角形不能构成相似形．当点P 到达点B 时，△PEO 与△BAD 相似，此时t=6．当点P 越过点B 在BC 上时，P E O E>34．若P E O E=43时，由点P 在BC 上时，坐标为（14－15t ，35t+6），（6≤t ≤14）．3651145t t+-=43，解得t=19013，但19013>14．因此当P 在BC 上（不包括点B ）时，△PEO 与△BAD 不相似．综上所述，当t=6时，点P 到达点B ，△PEO 与△BAD 是相似形． 22．（1）锅炉内原有水96L ，接水2min 后锅炉内的余水量为80L ，等．（2）当0≤x ≤2时，y=－8x+96 当x>2时，y=－4x+88∵前15位同学接完水时余水量为（96－15³2L ）=66L ∴66=－4x+88 x=5.5min（3）小敏说法是可能的，即从第1min 开始8位同学连接接完水恰好用了3min ．一次函数◆知识讲解1．正比例函数的定义一般地，形如y=kx （k 是常数，k ≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数．2．正比例函数的图像正比例函数y=kx （k 是常数且k ≠0）的图像是一条经过原点（0，0）和点（1，k ）•的直线，我们称它为直线y=kx ；当k>0时，直线y=kx 经过第一，三象限，y 随着x 的增大而增大，当k<0时，直线y=kx 经过第二，四象限，y 随着x 的增大而减少． 3．一次函数的定义如果y=kx+b （k ，b 为常数，且k ≠0），那么y 叫做x 的一次函数．一次函数的标准形式为y=kx+b ，是关于x 的一次二项式，其中一次项系数k 必须是不为零的常数，b 可以为任何常数．当b=0而k ≠0时，它是正比例函数，由此可知正比例函数是一次函数的特殊情况．当k=0而b ≠0时，它不是一次函数．4．一次函数的图像一次函数y=kx+b （k ≠0）的图像是一条直线，通常也称直线y=kx+b ，由于两点确定一条直线，故画一次函数的图像时，只要先描出两点，再连成直线就可以了，为了方便，通常取图像与坐标轴的两个交点（0，b ），（－b k，0）就行了．5．一次函数的图像与性质直线y=kx+b （k ≠0）中，k 和b 决定着直线的位置及增减性，当k>0时，y 随x 的增大而增大，此时若b>0，则直线y=kx+b 经过第一，二，三象限；若b<0，则直线y=kx+b 经过第一，三，四象限，当k<0时，y 随x 的增大而减小，此时当b>0时，直线y=kx+b 经过第一，二，四象限；当b<0时，直线y=kx+b 经过第二，三，四象限． 6．一次函数图像的平移与图像和坐标轴围成的三角形的面积一次函数y=kx+b 沿着y 轴向上（“＋”）、下（“－”）平移m （m>0）•个单位得到一次函数y=kx+b ±m ；一次函数y=kx+b 沿着x 轴向左（“＋”）、•右（“－”）平移n （n>0）个单位得到一次函数y=k （x ±n ）+b ；一次函数沿着y 轴平移与沿着x 轴平移往往是同步进行的．只不过是一种情况，两种表示罢了；直线y=kx+b 与x 轴交点为（－b k ，0），与y 轴交点为（0，b ），且这两个交点与坐标原点构成的三角形面积为S △=12²│－b k│²│b │．◆例题解析例1 （2006，江西省）已知直线L 1经过点A （－1，0）与点B （2，3），另一条直线L 2经过点B ，且与x 轴相交于点P （m ，0）．（1）求直线L 1的解析式；（2）若△APB 的面积为3，求m 的值．【分析】函数图像上的两点坐标也即是x ，y 的两组对应值，•可用待定系数法求解，求函数与坐标轴所围成的三角形面积关键是求出函数解析式的k ，b 的值．【解答】（1）设直线L 的解析式为y=kx+b ，由题意得0,2 3.k b k b -+=⎧⎨+=⎩解得1,1.k b =⎧⎨=⎩所以，直线L 1的解析式为y=x+1．（2）当点P 在点A 的右侧时，AP=m －（－1）=m+1，有S △APC =12³（m+1）³3=3．解得m=1，此时点P 的坐标为（1，0）；当点P 在点A 的左侧时，AP=－1－m ，有S=³（－m －1）³3=3，解得m=－3，此时，点P 的坐标为（－3，0）．综上所述，m 的值为1或－3．【点评】先设一次函数的解析式，再代入点的坐标，利用方程组求解，其步骤是：设、代，求、答．例2 （2004，黑龙江省）下图表示甲，乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y （km ）随时间x （min ）的变化的图像（全程），根据图像回答下列问题：（1）求比赛开始多少分钟时，两人第一次相遇？（2）求这次比赛全程是多少千米？（3）求比赛开始多少分钟时，两人第二次相遇．【分析】观察图像知，甲选手的路程y 随时间x 变化是一个分段函数，第一次相遇时是在AB 段，故求出15≤x ≤33时的函数关系式；欲求出比赛全程，则需知乙的速度，这可由第一次相遇时的路程与时间的关系求得，要求第二次相遇时间，•即先求甲在BC 段的函数关系式，再求出BC 和OD 的交点坐标即可．【解答】（1）当15≤x ≤33时，设y AB =k 1x+b 1，将（15，5）与（33，7）代入得：1111515733k b k b =+⎧⎨=+⎩ 解得1119103k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴y AB =19x+103当y=6时，有：6=19x+103，解得x=24．∴比赛进行到24min 时，两人第一次相遇．（2）设y OD =kx ，将（24，6）代入得：6=24k, ∴k=14∴y OD =14x当x=48时，y OD =14³48=12∴比赛全程为12km ．（3）当33≤x ≤43时，设y BC =k 2x+b 2，将（33，7）和（43，12）代入得：22227331243k b k b =+⎧⎨=+⎩解得2212192k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴y BC =12x －192∴1192214x y xy -=⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得19238x y =⎧⎪⎨=⎪⎩∴比赛进行到38min 时，两人第二次相遇．【点评】解答图像应用题的要领是从图像的形状特点、变化趋势、相关位置、相关数据出发，充分发掘图像所蕴含的信息，利用函数、方程（组）、不等式等知识去分析图像以解决问题．例3 （2006，贵州铜仁）铜仁某水果销售公司准备从外地购买西瓜31t ，柚子12t ，现计划租甲，乙两种货车共10辆，将这批水果运到铜仁，已知甲种货车可装西瓜4t 和柚子1t ，乙种货车可装西瓜，柚子各2t ．（1）该公司安排甲，乙两种货车时有几种方案？（2）若甲种货车每辆要付运输费1800元，乙种货车每辆要付运输费1200元，•则该公司选择哪种方案运费最少？最少运费是多少元？【解答】（1）设安排甲种货车x 辆，则安排乙种货车为（10－x ）辆，依题意，得42(10)312(10)12x x x x +-≥⎧⎨+-≥⎩ 解这个不等式组，得5.5≤x ≤8． ∵x 是整数，∴x 可取6，7，8．即安排甲，乙两种货车有三种方案： ①甲种货车6辆，乙种货车4辆 ②甲种货车7辆，乙种货车3辆 ③甲种货车8辆，乙种货车2辆（2）设运费为y 元，则y=1800x+1200（10－x ）=600x+12000． ∴当x 取6时，运费最少，最少运费是：15600元．【点评】本例需要考生构建一元一次不等式和一次函数来解决实际问题，以考查学生运用综合知识，分析、解决问题的能力．◆强化训练一、填空题1．（2006，绍兴）如图所示，一次函数y=x+5的图像经过点P （a ，b ），Q （c ，d ），•则a （c －d ）－b （c －d ）的值为______．2．（2005，重庆市）直线y=－43x+8与x 轴，y 轴分别交于点A 和点B ，M 是OB 上的一点，•若将△ABM 沿AM 折叠，点B 恰好落在x 轴上的点B ′处，则直线AM 的解析式为______．3．（2006，白云区）关于x 的一次函数y=（a －3）x+2a －5的图像与y 轴的交点不在x •轴的下方，且y 随x 的增大而减小，则a 的取值范围是______．4．已知一次函数y=kx+b （k ≠0）的图像经过点（0，1），且y 随x 的增大而增大，•请你写出一个符合上述条件的函数关系式_______．5．（2005，黑龙江省）一次函数y=kx+3•的图像与坐标轴的两个交点之间的距离为5，则k 的值为________．6．（2005，包头市）若一次函数y=ax+1－a 中，y 随x 的增大而增大，且它的图像与y 轴交于正半轴，则│a－1│．7．（2005，四川省）如果记y=221xx+=f（x），并且f（1）表示当x=1时y的值，即f（1）=22111+=12；f（12）表示当x=12时y的值，即f（12）=22()112(1)2+=15；如果f（1）+f（2）+f（12）+f（3）+f（13）+…+f（n）+f（1n）=______．（结果用含n的代数式表示，n为正整数）．8．如图所示，点M是直线y=2x+3上的动点，过点M作MN 垂直x轴于点N，y轴上是否存在点P，使以M，N，P为顶点的三角形为等腰直角三角形．小明发现：当动点M运动到（－1，1）时，y轴上存在点P（0，1），此时有MN=MP，能使△NMP为等腰直角三角形．在y轴和直线上还存在符合条件的点P和点M．请你写出其他符合条件的点P的坐标_______．二、选择题9．（2006，南安）如图所示，一个蓄水桶，60min可匀速将一满桶水放干．其中，水位h（cm）随着放水时间t（min）的变化而变化．h与t的函数的大致图像为（）10．（2005，杭州市）已知一次函数y=kx－k，若y随x的增大而减小，则该函数的图像经过（）A．第一，二，三象限B．第一，二，四象限C．第二，三，四象限D．第一，三，四象限11．（2008，济南）济南市某储运部紧急调拨一批物资，调进物资共用4h，调进物资2h后开始调出物资（调进物资与调出物资的速度均保持不变）．储运部库存物资S（t）•与时间t（h）之间的函数关系如图5－35所示，•这批物资从开始调进到全部调出所需要的时间是（）A．4h B．4.4h C．4.8h D．5h12．（2006，泉州）小明所在学校离家距离为2km，某天他放学后骑自行车回家，行驶了5min后，因故停留10min，继续骑了5min到家，下面哪一个图像能大致描述他回家过程中离家的距离s（km）与所用时间t（min）之间的关系（）13．（2006，黄冈）如图所示，在光明中学学生体力测试比赛中，甲，•乙两学生测试的路程s（m）与时间t（s）之间的函数关系图像分别为折线OABC和线段OD，•下列说法正确的（）A．乙比甲先到达终点B．乙测试的速度随时间增加而增大C．比赛进行到29.7s时，两人出发后第一次相遇D．比赛全程甲的测试速度始终比乙的测试速度快14．（2005，黄冈市）有一个装有进，出水管的容器，单位时间内进，•出的水量都是一定的．已知容器的容积为600L，又知单开进水管10min可把空容器注满．若同时打开进，出水管，20min可把满容器的水放完．现已知水池内有水200L，先打开进水管5min，再打开出水管，两管同时开放，直至把容器中的水放完，则能正确反映这一过程中容器的水量Q（L）随时间t（min）变化的图像是下图中的（）15．（2005，重庆市）为了增强抗旱能力，保证今年夏粮丰收，某村新修建了一个蓄水池，这个蓄水池安装了两个进水管和一个出水管（两个进水管的进水速度相同），一个进水管和一个出水管的进出水速度如图a，b所示，某天0点到6点（•至少打开一个水管），该蓄水池的蓄水量如图c所示，并给出以下3个论断：①0点到1点不进水，只出水；②1点到4点不进水，不出水；③4点到6点只进水，不出水，则一定正确的论断是（）(a) (b) (c)A．①③B．②③C．③D．①②③16．（2008，重庆）如图所示，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠A=90°，AB=28cm，DC=24cm，AD=4cm，点M从点D出发，以1cm/s的速度向点C运动，点N从点B同时出发，•以2cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点到达端点停止运动时，另一个动点也随之停止运动，而四边形ADMN的面积y（cm2）与两动点的运动时间t（s）的函数图像大致是（）三、解答题17．（2008，河北）如图所示，直线L1的解析表达式为y=－3x+3，且L1与x轴交于点D．直线L2经过点A，B，直线L1，L2交于点C．（1）求点D的坐标；（2）求直线L2的解析表达式；（3）求△ADC的面积；（4）在直线L2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，请直接写出点P的坐标．。

中考复习平面直角坐标系以及一次函数部分复习精品PPT教学课件

对于 y = 3x - 2, 当x1 > x2 时，则 y1 > y2 . 3. 如果点M( 1-a ,1-b )在第二象限 ,
那么N (a-1 ,b-1 )在第__四___象限.
4. 如果直线 y = k x + b 在一,二,三象限,
那么 k > 0 , b > 0 .
5. 若则把得函到数的图y 象= 的45 x函的数图解象析沿式x是轴_向_y_左_=_平45__x移_+_5_4个_.单位,
A.在x轴或y轴上
B.是坐标原点
C.在x轴上
D.在y轴上
3.下列命题中正确的是（ C ）
A.点M(a,o)在第一或第四象

B.在坐标轴上的点的横, 纵坐标都是零
C.若点N(a,b)满足ab<0,则点N在第二,四象限
D.点P( 2,-3)到y轴的距离为3 4.下列函数中,关于x的正比例函数是（ C ）
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3. 如图，在同一坐标系中，关于x的一次函数 y = x+ b与 y = b x+1的图象只可能是（ C ）
(A)
y
(B)
y
ox
ox
y (C)
ox
(D)
y
ox
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感谢你的阅览
Thank you for reading
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y
y
o
x
-5
o
x
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(4)
(5)
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解答题：
1.已知 ABC是等边三角形, 边长为2 , 求 ABC各顶

九年级数学专题复习平面直角坐标系与一次函数、反比例函数

平面直角坐标系与一次函数、反比例函数【考纲要求】⒈结合实例，了解常量、变量和函数的概念，体会“变化与对应”的思想；⒉会确定函数自变量的取值范围，即能用三种方法表示函数，又能恰当地选择图象去描述两个变量之间的关系；⒊理解正比例函数、反比例函数和一次函数的概念，会画他们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决有关的实际问题.【知识网络】【考点梳理】考点一、平面直角坐标系 1.平面直角坐标系平面内两条有公共原点且互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系，坐标平面内一点对应的有序实数对叫做这点的坐标.在平面内建立了直角坐标系，就可以把“形”（平面内的点）和“数”（有序实数对）紧密结合起来.2．各象限内点的坐标的特点、坐标轴上点的坐标的特点点P(x,y)在第一象限0,0>>⇔y x ；点P(x,y)在第二象限0,0><⇔y x ；点P(x,y)在第三象限0,0<<⇔y x ；点P(x,y)在第四象限0,0<>⇔y x ；点P(x,y)在x 轴上0=⇔y ，x 为任意实数；点P(x,y)在y 轴上0=⇔x ，y 为任意实数；点P(x,y)既在x 轴上，又在y 轴上⇔x ，y 同时为零，即点P 坐标为（0，0）. 3.两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上⇔x 与y 相等；点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上⇔x 与y 互为相反数. 4.和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同；位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同. 5.关于x 轴、y 轴或原点对称的点的坐标的特征点P 与点p ′关于x 轴对称⇔横坐标相等，纵坐标互为相反数；点P 与点p ′关于y 轴对称⇔纵坐标相等，横坐标互为相反数；点P 与点p ′关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数. 6.点P(x,y)到坐标轴及原点的距离（1）点P(x,y)到x 轴的距离等于y ；（2）点P(x,y)到y 轴的距离等于x ；（3）点P(x,y)到原点的距离等于22y x +. 7.在平面直角坐标系内两点之间的距离公式如果直角坐标平面内有两点()()2211,,y x B y x A 、，那么A 、B 两点的距离为：()()221221y y x x AB -+-=.两种特殊情况：（1）在直角坐标平面内，x 轴或平行于x 轴的直线上的两点()()y x B y x A ,,21、的距离为：()()()212212221x x x x y y x x AB -=-=-+-=（2）在直角坐标平面内，y 轴或平行于y 轴的直线上的两点()()21,,y x B y x A 、的距离为：()()()212212212y y y y y y x x AB -=-=-+-=要点进阶：（1）注意：x 轴和y 轴上的点，不属于任何象限；（2）平面内点的坐标是有序实数对，当b a ≠时，（a ，b ）和（b ，a ）是两个不同点的坐标. 考点二、函数 1.函数的概念设在某个变化过程中有两个变量x 、y,如果对于x 在某一范围内的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与它相对应，那么就说y 是x 的函数，x 叫做自变量. 2.自变量的取值范围对于实际问题，自变量取值必须使实际问题有意义.对于纯数学问题，自变量取值应保证数学式子有意义.3．表示方法⑴解析法；⑵列表法；⑶图象法.4．画函数图象（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.要点进阶：（1）在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量；（2）确定自变量取值范围的原则：①使代数式有意义；②使实际问题有意义.考点三、几种基本函数（定义→图象→性质）1.正比例函数及其图象性质（1）正比例函数：如果y=kx(k是常数，k≠0)，那么y叫做x的正比例函数．（2）正比例函数y=kx（ k≠0)的图象：过（0，0），（1，K）两点的一条直线．（3）正比例函数y=kx（k≠0)的性质①当k＞0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；②当k＜0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小 .2.一次函数及其图象性质（1）一次函数：如果y=kx+b(k,b是常数，k≠0),那么y叫做x的一次函数．（2）一次函数y=kx+b（k≠0)的图象（3）一次函数y=kx+b （k ≠0)的图象的性质一次函数y ＝kx ＋b 的图象是经过(0，b )点和)0,(kb-点的一条直线．①当k>0时，y 随x 的增大而增大； ②当k<0时，y 随x 的增大而减小． (4)用函数观点看方程(组)与不等式①任何一元一次方程都可以转化为ax ＋b ＝0(a ，b 为常数，a ≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：一次函数y ＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)，当y ＝0时，求相应的自变量的值，从图象上看，相当于已知直线y ＝kx ＋b ，确定它与x 轴交点的横坐标．②二元一次方程组⎩⎨⎧+=+=2211b x k y b x k y 对应两个一次函数，于是也对应两条直线，从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数值相等，以及这两个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线的交点的坐标．③任何一元一次不等式都可以转化ax ＋b ＞0或ax ＋b ＜0(a 、b 为常数，a ≠0)的形式，解一元一次不等式可以看做：当一次函数值大于0或小于0时，求自变量相应的取值范围．要点进阶：（1）当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例；（2）确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式kx y =（k ≠0）中的常数k.确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式b kx y +=（k ≠0）中的常数k 和b. 解这类问题的一般方法是待定系数法.（3）直线y 1=k 1x+b 1与直线y 2=k 2x+b 2（k 1≠0 ，k 2≠0）的位置关系．①k 1≠k 2⇔y 1与y 2相交；②⎩⎨⎧=≠2121b b k k ⇔y 1与y 2相交于y 轴上同一点（0，b 1）或（0，b 2）； ③⎩⎨⎧≠=2121,b b k k ⇔y 1与y 2平行；④⎩⎨⎧==2121,b b k k ⇔y 1与y 2重合.3.反比例函数及其图象性质（1）定义：一般地，形如xky =（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数. 三种形式：k y x=(k ≠0)或kx y =1-(k ≠0)或xy=k(k ≠0). （2）反比例函数解析式的特征：①等号左边是函数y ，等号右边是一个分式.分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为1； ②比例系数0≠k ；③自变量x 的取值为一切非零实数； ④函数y 的取值是一切非零实数.（3）反比例函数的图象①图象的画法：描点法列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数）；描点（由小到大的顺序）；连线（从左到右光滑的曲线）.②反比例函数的图象是双曲线，xky =（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交.③反比例函数的图象是轴对称图形（对称轴是x y =和x y -=）和中心对称图形（对称中心是坐标原点）. ④反比例函数x k y =（0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线xky = （0≠k ）上任意点引x 轴、y 轴的垂线，所得矩形面积为k .（4）反比例函数性质：反比例函数)0(≠=k xky k 的符号k>0k<0图像性质①x 的取值范围是x ≠0， y 的取值范围是y ≠0；②当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限.在每个象限内，y 随x 的增大而减小.①x 的取值范围是x ≠0， y 的取值范围是y ≠0；②当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限.在每个象限内，y 随x 的增大而增大.（5）反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图象上一个点的坐标即可求出k ）（6）“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数xky =中的两个变量必成反比例关系. （7）反比例函数的应用反比例函数中反比例系数的几何意义，如下图，过反比例函数)0(≠=k xky 图像上任一点),(y x P 作x 轴、y 轴的垂线PM ，PN ，垂足为M 、N ，则所得的矩形PMON 的面积S=PM •PN=xy x y =•.,y xk=∴||k S k xy ==，.(8)正比例函数和反比例函数的交点问题若正比例函数1y k x =(1k ≠0)，反比例函数22(0)k y k x=≠，则当120k k <时，两函数图象无交点；当120k k >时，两函数图象有两个交点，坐标分别为(21k k ，12k k )，(21kk -，12k k -)．由此可知，正反比例函数的图象若有交点，两交点一定关于原点对称．要点进阶：（1）用待定系数法求解析式（列方程[组]求解）；（2）利用一次（正比例）函数、反比例函数的图象求不等式的解集.【典型例题】类型一、坐标平面有关的计算例1．已知：如图所示，（1）写出△ABC三个顶点的坐标；（2）作出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′，并写出△A′B′C′三个顶点的坐标；（3）作出△ABC关于y轴对称的△A″B″C″，并写出△A″B″C″三个顶点的坐标．举一反三：【变式】如图所示，△ABC的顶点坐标分别为A(-4，-3)，B(0，-3)，C(-2，1)，如将B点向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达B1点，若设△ABC的面积为S1，△AB1C的面积为S2，则S1，S2的大小关系为( )A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不能确定例2．(1)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，B 1(0，1)，B 2(0，3)，B 3(0，6)，B 4(0，10)，…，以B 1B 2为对角线作第一个正方形A 1B 1C 1B 2，以B 2B 3为对角线作第二个正方形A 2B 2C 2B 3，以B 3B 4为对角线作第三个正方形A 3B 3C 3B 4，……如果所作正方形的对角线1n n B B +都在y 轴上，且1n n B B +的长度依次增加1个单位，顶点n A 都在第一象限内(n ≥1，且n 为整数)，那么A 1的纵坐标为________，用n 的代数式表示n A 的纵坐标为_______；(2)若设n A 的坐标为(x ，y)，求y 关于x 的函数关系式．类型二、一次函数例3．已知一次函数y=2x ﹣4的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，点P 在该函数的图象上，P 到x 轴、y 轴的距离分别为d 1、d 2．（1）当P 为线段AB 的中点时，求d 1+d 2的值；（2）直接写出d 1+d 2的范围，并求当d 1+d 2=3时点P 的坐标；（3）若在线段AB 上存在无数个P 点，使d 1+ad 2=4（a 为常数），求a 的值．举一反三：【变式】已知：如图所示，在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为(1，0)，点C的坐标为(0，4)，直线CM∥x轴．点B与点A关于原点对称，直线y＝x+b(b为常数)经过点B，且与直线CM相交于点D，连接OD．(1)求b的值和点D的坐标．(2)设点P在x轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，求点P的坐标．类型三、反比例函数4．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数ky=x（k≠0）在第一象限内的图象经过点D、E，且tan∠BOA=．（1）求边AB的长；（2）求反比例函数的解析式和n的值；（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y 轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长．举一反三：【变式1】如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=（x＞0）的图象交于A（m，6），B（3，n）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出使kx+b＜成立的x的取值范围；（3）求△AOB的面积．【变式2】已知双曲线xy 3=和直线2y kx =+相交于点11()A x y ，和点22()B x y ，，且102221=+x x . 求k 的值.类型四、函数综合应用例5．如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，且OA ＝OB ＝1.这条曲线是函数xy 21=的图像在第一象限的一个分支，点P 是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a 、b ），由点P 向x 轴、y 轴所作的垂线PM 、PN ，垂足是M 、N ，直线AB 分别交PM 、PN 于点E 、F.（1）分别求出点E 、F 的坐标（用a 的代数式表示点E 的坐标，用b 的代数式表示点F 的坐标，只须写出结果，不要求写出计算过程）；（2）求△OEF 的面积（结果用含a 、b 的代数式表示）；（3）△AOF 与△BOE 是否一定相似，请予以证明.如果不一定相似或一定不相似，简要说明理由；（4）当点P 在曲线xy 21=上移动时，△OEF 随之变动，指出在△OEF 的三个内角中，大小始终保持不变的那个角的大小，并证明你的结论.)(b a P ，yx 问题图 F EN M B A O【变式1】如图所示，点A的坐标为(1，0)，点B在直线y＝-x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为( )．A．(0，0) B．(12,-12) C．(22，22-) D．(12-，12)【变式2】在同一坐标系中，一次函数y＝(1-k)x+2k+l与反比例函数kyx=的图象没有交点，则常数k的取值范围是________．例6．如图所示，点A(m，m+1)，B(m+3，m-1)都在反比例函数kyx=的图象上．(1)求m、k的值；(2)如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的解析式．DBAyxOC 一、选择题1. 无论m 为何实数，直线y=x+2m 与y=-x+4的交点不可能在（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2．如图，正方形ABCD 位于第一象限，边长为3，点A 在直线y=x 上，点A 的横坐标为1，正方形ABCD 的边分别平行于x 轴、y 轴．若双曲线y=与正方形ABCD 有公共点，则k 的取值范围为（）A ．1＜k ＜9B ．2≤k≤34C ．1≤k≤16D ．4≤k＜163．设b>a ，将一次函数y=bx+a 与y=ax+b 的图象画在同一平面直角坐标系内，•则有一组a ，b 的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（）4．如图，过x 轴正半轴任意一点P 作x 轴的垂线，分别与反比例函数y 1=2x 和y 2=4x的图像交于点A 和点B .若点C 是y 轴上任意一点，连结AC 、BC ，则△ABC 的面积为（） A ．1B ．2C ．3D ．4第4题图 5题图5．如图，已知双曲线(0)ky k x=<经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6-，4），则△AOC 的面积为（） A ．12 B ．9 C ．6 D ．46．已知abc ≠0，而且a b b c c ac a b+++===p ，那么直线y=px+p 一定通过（） A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三、四象限 D.第一、四象限二、填空题7．如图，正比例函数y x =与反比例函数1y x=图象相交于A 、C 两点，过点A 做x 轴的垂线交x 轴于点B ，连接BC ，若ABC ∆的面积为S ，则S = .8．如图，已知梯形ABCO 的底边AO 在x 轴上，BC ∥AO ，AB ⊥AO ，过点C 的双曲线xky =交OB 于D ，且OD ：DB=1：2，若△OBC 的面积等于3，则k 的值是 .CBA O xy第7题图第8题图第11题图9．若直线y=kx （k ＞0）与双曲线的交点为（x 1，y 1）、（x 2，y 2），则2x 1y 2﹣5x 2y 1的值为．10．函数y=-3x+2的图像上存在点P ，使得P•到x•轴的距离等于3，•则点P•的坐标为__________．11．如图，已知函数y=2x 和函数ky=x的图象交于A 、B 两点，过点A 作AE⊥x 轴于点E ，若△AOE 的面积为4，P 是坐标平面上的点，且以点B 、O 、E 、P 为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的P 点坐标是．12．已知n 是正整数，111222(,),(,),,(,),n n n P x y P x y P x y 是反比例函数ky x=图象上的一列点，其中121,2,,,n x x x n ===．记112A x y =，223A x y =，1n n n A x y +=，，若1A a =（a 是非零常数），则A 1·A 2·…·A n 的值是________________________（用含a 和n 的代数式表示）．三、解答题13．如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，A ，C 分别在坐标轴上，点B 的坐标为（4，2），直线y=﹣x+3交AB ，BC 于点M ，N ，反比例函数y=的图象经过点M ，N ．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P 在x 轴上，且△OPM 的面积与四边形BMON 的面积相等，求点P 的坐标．14. 如图，将直线x y 4=沿y 轴向下平移后，得到的直线与x 轴交于点A （0,49），与双曲线k y x=（0x >）交于点B ．（1）求直线AB 的解析式；（2）若点B 的纵坐标为m ，求k 的值（用含m 的代数式表示）．xyOA6246 -2 -2-6 2-8-4 415．某加油站五月份营销一种油品的销售利润y(万元)与销售量x(万升)之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止到15日进油时的销售利润为5.5万元．(销售利润＝(售价-成本价)×销售量))请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：(1)销售量x为多少时，销售利润为4万元?(2)分别求出线段AB与BC所对应的函数关系式；(3)我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在O1A，AB，BC三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大?(直接写出答案)16. 如图所示，等腰梯形ABCD中，AB＝15，AD＝20，∠C＝30°．点M、N同时以相同速度分别从点A、点D开始在AB、AD(包括端点)上运动．(1)设ND的长为x，用x表示出点N到AB的距离，并写出x的取值范围；(2)当五边形BCDNM面积最小时，请判断△AMN的形状．。

浙教版中考数学复习课件—平面直角坐标系以及一次函数部分

1
B
CD= √AC -2AD 2 = √3
DAx
∴点C的坐标是（- 1 ,√3 ）
2.已知一次函数图象经过A(2,-1) 和点B，其中点B是另一条直线y= 5x+3与y轴的交点，求这个一次函数的解析式.
解:设这个一次函数的解析式为: y = k x+b
由题意得B(0,3)
∵ A(2,-1), B(0,3)可列出
对于 y = 3x - 2, 当x > x 时，则 y 对应 , 就说x是自变量 , y是x的函数.
k>0时,在Ⅰ, Ⅲ象限;
1
2
1
>
y2 .
3. 如果点M( 1-a ,1-b )在第二象限 , 已知一次函数图象经过A(2,-1) 和点B，其中点B是另一条
点P( 2,-3)到y轴的距离为3
那当么k>0k时,y0随,x的b增大0而. 增大那; 当么k<0N时,y(随ax-的1增大,b而-减1小).在第__四___象限.
4. 点B的坐标是（-2，0）
如果对于x的每一个值 , y
如果直线
都有唯一的值与它
y
=
k
x
+
b
在一,二,三象限,
那么 k > 0 , b > 0 . 如果直线 y = k x + b 在一,二,三象限,
那么 k 0 , b 0 .
若如点下把果P列(函点函2,-数M数3)(中到y1-=,y关a轴,1于的-xbx距的的)在离图正5第为象比.二3沿例若则象x函轴限数把得向,是左（函到平移数的5个）单图y位, 象= 的45 x函的数图解象析沿式x是轴_向_y_左_=_平45__x移_+_5_4个_.单位,

初三中考数学复习-平面直角坐标系与一次函数

典例 3 已知点（2，1），则它关于原点的对称点坐标为A．（1，2）B．（2-1）C．（-2，1）
D．（-2，-1）
典例 4 已知点（x，y）与点（-2，-3）关于 x 轴对称，那么 x+y=__________．
3．点 P（2，- 3 ）关于 y 轴的对称点的坐标是__________．
4．如图，已知 A（0，4）、B（-2，2）、C（3，0）．（1）作△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1，并写出点 B 的对应点 B1 的坐标；（2）求△A1B1C1 的面积 S．
（2）一次函数的性质
函数
字母取值
图象
经过的象限
函数性质
y=kx+b (k≠0)
k>0，b>0 k>0，b<0
一、二、三一、三、四
y 随 x 的增大而增大
y=kx+b (k≠0)
k<0，b>0 k<0，b<0
一、二、四二、三、四
y 随 x 的增大而减小
2.k，b 的符号与直线 y=kx+b（k≠0）的关系
4.两直线 y=k1x+b1（k1≠0）与 y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：
①当 k1=k2，b1≠b2，两直线平行；
②当 k1=k2，b1=b2，两直线重合；
③当 k1≠k2，b1=b2，两直线交于 y 轴上一点；
④当 k1·k2=–1 时，两直线垂直．
十一、一次函数与方程（组）、不等式
1．一次函数与一元一次方程任何一个一元一次方程都可以转化为 kx+b=0(k，b 为常数，且 k≠0)的形式．从函数的角度来看，解这个方程就是寻求自变量为何值时函数值为 0；从函数图象的角度考虑，解这个方程就是确定直线 y=kx+b 与 x 轴的交点的横坐标．

4.中考复习三——平面直角坐标系与一次函数复习

第五讲中考复习三——平面直角坐标系与一次函数、反比例函数1.平面直角坐标系点的坐标特征例1.已知点P（x,y），根据下列条件，确定点P的位置或坐标。

（1）若xy＜0，则点P在（2）若xy≥0，则点P在（3）点P关于x轴的对称点P1（）（4）点P关于y轴的对称点P2（）（5）点P关于原点的对称点P3（）练习1.在平面直角坐标系中，点P（-20，a）与点Q（b,13）关于原点对称，则a+b的值为练习2.在平面直角坐标系中，点（-1，|m|+1）一定在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D第四象限练习3.将点A（3,2）沿x轴向左平移4个单位长度得到点A’，点A’关于y轴对称的点的坐标是2.函数的基础知识函数的概念：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。

例2.若用固定的速度往如图所示形状的杯子里注水，则能表示杯子里水面的高度和注水时间的关系的大致图像是（）练习1.如图，是某蓄水池的横断面示意图，蓄水池分为深水区和浅水区，如果向这个蓄水池以固定的速度注水，下面能表示水的深度h与时间t的关系图像大致是（）练习2. 如图，在正方形ABCD中，AB=3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，同时动点N自A点出发沿折线AD-DC-CB以每秒3cm的速度运动，到达B点时运动同时停止．设△AMN的面积为y（cm2）．运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（）练习3，向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系图像如图所示，那么水瓶的形状是（）1.一次函数的图像与性质例3.下列函数图象中,不可能是关于x 的一次函数y=mx-(m-3)的图像的是（）点拨：一次函数中，当k>0时，直线经过第一、三象限，当k<0时，直线经过第二、四象限；当b>0时，直线与y 轴的正半轴相交，当b<0时，直线与y 轴的负半轴相交，当b=0时，直线经过原点。

平面直角坐标系和一次函数知识点

第七章平面直角坐标系考点一、平面直角坐标系（3分）1、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。

被x 轴和y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意：x 轴和y 轴上的点，不属于任何象限。

2、点的坐标的概念点的坐标用（a ，b ）表示，其顺序是横坐标在前，考点二、不同位置的点的坐标的特征（3分）1、各象限内点的坐标的特征点P(x,y)在第一象限0,0>>⇔y x 点P(x,y)在第二象限0,0><⇔y x 点P(x,y)在第三象限0,0<<⇔y x 点P(x,y)在第四象限0,0<>⇔y x2、坐标轴上的点的特征点P(x,y)在x 轴上0=⇔y ，x 为任意实数点P(x,y)在y 轴上0=⇔x ，y 为任意实数点P(x,y)既在x 轴上，又在y 轴上⇔x ，y 同时为零，即点P 坐标为（0，0）3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上⇔x 与y 相等点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上⇔x 与y 互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。

位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同。

5、关于x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征点P 与点p ’关于x 轴对称⇔横坐标相等，纵坐标互为相反数点P 与点p ’关于y 轴对称⇔纵坐标相等，横坐标互为相反数点P 与点p ’关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数6、点到坐标轴及原点的距离点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点P(x,y)到x 轴的距离等于y （2）点P(x,y)到y 轴的距离等于x（3）点P(x,y)到原点的距离等于22y x +第十九章一次函数考点三、函数及其相关概念（3~8分）1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。

平面直角坐标系和一次函数基础复习

平面直角坐标系和一次函数基础复习一、坐标系1. 下列各点：A(-3，-4)，B(5，2)，C(-3，21)，D(2，23)，E(0，-1)，F(3，0)中，位于第一象限的有，位于第三象限的有，位于坐标轴上的有．2.已知点P(a ＋l ，2a －3)关于x 轴的对称点在第一象限，则a 的取值范围是【】A.a 1<-B.31a 2-<<C.3a 12-<<D.3a 2> 3.在平面直角坐标系中，点（﹣4，4）在第________ 象限．4. 点（-4，-4）关于原点对称的点的坐标为____________．5．点P （－2，3）关于x 轴对称点的坐标是__________.6．在平面直角坐标系中，点P(2，3)关于y 轴的对称点在第_______象限.7.如果点A(3，b)与B （a ，－2）关于原点对称，那么a ＝_______，b ＝_______．8. 在直角坐标系中，点A （-3，m ）与点B （n ，1）•关于x•轴对称，•则m=•_______，•n=_____．9．在直角坐标系中，点P(2，－3)向左平移3个单位长度后的坐标为_______．10．在直角坐标系中，点Q(－1，－2）先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后的坐标为_______．11.在直角坐标系中，点A （2，1）向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位后的坐标为（）．12.若点P 在第四象限，且到两条坐标轴的距离都是4，则点P 的坐标为（）．13.点A （-2，-3）和点B （2，3）在直角坐标系中（）．（A ）关于x 轴对称（B ）关于y 轴对称（C ）关于原点对称（D ）不关于坐标轴和原点对称14．已知点M(1－2m ，m －1)关于x 轴的对称点在第一象限，则m 的取值范围是_______．15．点P （a+1，a-1）在直角坐标系的y 轴上，则点P 坐标为________．二、一次函数1．等腰三角形周长为12，（1）求底边y 与腰长x 之间的函数关系式（2）求出自变量x 的取值范围2．求下列函数中自变量x 的取值范围：①y ＝3x －1； ②y ＝2x 2＋7； ③y =21+x ； ④y ＝2-x ．3．当x ＝2及x ＝－3时，分别求出下列函数的函数值：① y =（x +1）(x -2)；② y =2x 2-3x +2； ③ y =12-+x x4．给出下列函数：①y ＝(k －2)x ＋b(k ，b 为常数)；②y ＝3x ；③y ＝3x ；④23x y -=；⑤C ＝2πr ．其中是一次函数的是_______．（填序号）5．（1）如果15-=a x y 是正比例函数，则a 的值为？（2）已知函数x )3a (y -=是正比例函数，则a 的取值范围是？（3）若32)2(--=m x m y 是正比例函数，则m 的值为？6．下列函数关系式中，是一次函数的是( )．A ．y＋6 B ．y ＝1x C ．y ＝2x 2＋1 D ．y7．下列函数关系式中，是一次函数但不是正比例函数的是( )．A ．y ＝3xB ．y ＝()63x -+C ．235x y += D ．35y x=+ 8．下列函数关系式:①x y -=；②;112+=x y ③12++=x x y ；④x y 1=。