17.4一元二次方跟与系数的关系
17.4-一元二次方程根与系数的关系
例2、利用根与系数的关系，求一元二次方程
2 x 3x 1 0
2
两个根的；（1）平方和；（2）倒数和 解：设方程的两个根是x1 x2，那么
3 1 x1 x2 , x1 x2 2 2 2 1∵ x1 x2 x12 2 x1 x2 x22 3 1 13 2 2 2 4 1 1 x1 x2 3 1 2 3 x1 x2 x1 x2 2 2
1.一元二次方程的一般形式是什么？
ax bx c 0(a 0)
2
2.一元二次方程的求根公式是什么？
b b 4ac 2 x (b 4ac 0) 2a
2
3.一元二次方程的根的情况怎样确定？
b 2 4ac
0 两个不相等的实数根 0 两个相等的实数根 0 没有实数根
2
2.已知一元二次方程的 3x x 6 两根 分别为 x1 , x2，则： x1 x2 __ x1 x2 __
2
3.已知一元二次方程的 x px q 0 两 根分别为 -2 和 1 ，则：p =__ ; q=__
2
• 口答下列方程的两根之和与两根之积。
1. 2. 3. 4. 5.
2
让我们来练一练！
（1）若关于x的方程2x2＋5x＋n＝0的一个根是 －2，求它的另一个根及n的值。
（2）若关于x的方程x2＋kx－6＝0的一个根是－ 2，求它的另一个根及k的值。
5、已知关于x的方程x2+(2k+1)+k2-2=0
的两根的平方和比两根之积的3倍少
10，求k的值.
基 础 练 习
不解方程，求下列各式的值。 （1）（x1－x2）2
一元二次方程根与系数的关系教学设计
《17.4 一元二次方程的根与系数的关系》教案教学目标：1．发现一元二次方程的根与系数的关系定理-----韦达定理． 2．初步掌握一元二次方程的根与系数的关系． 3．培养学生的观察问题、发现问题和解决问题的能力．教学过程：一、创设情境 复习提问：1、解一元二次方程有哪些方法？2、写出一元二次方程的求根公式．3、说出下列一元二次方程的根．（1）0652=+-x x （2）0452=+-x x（3）0232=+-x x （4）二、提出问题：以上这些方程的根与系数有什么关系？三、探究猜测：观察上面四个方程的根与系数：两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项． 这个结论是否对于所有的一元二次方程都成立？ 进一步研究这类二次项系数不为1的方程：0432=--x x有如下关系：两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数． 四、提出假设：一元二次方程的根与系数之间有如下关系： 如果的两个根是x 1，x 2，那么：a b x x -=+21，ac x x =⋅⋅21,五、推理验证：1、学生运用一元二次方程求根公式自行证明．得出定理并证明（韦达定理） 若一元二次方程a 2x +bx +c =0（a ≠0）的两根为1x 、2x ，则：1x +2x =-b a 1x ．2x =c a特殊的：若一元二次方程2x +px +q =0的两根为1x 、2x ，则：1x +2x =-p 1x ．2x =q证明此处略（师生合作完成）设计意图：让学生自己发现规律，找到成功感，再从理论上加以验证，让学生经历从特殊到一般的科学探究过程． 六、学以致用：例1：求下列方程的两根之和与两根之积． （1）2x -6x -15=0 （2）5x -1= 42x （3）2x =4 （4）22x =3x（5）2x -（k +1）x +2k -1=0（x 是未知数，k 是常数）设计意图：让学生初步学会运用根与系数的关系来求两根和与两根积，比较简便，（3）、（4）、（5）的设计加深学生对根与系数关系的本质理解．例2：若一元二次方程22x +3 x -1=0的两根是1x 、2x ，求下列各式的值． （1）11x +12x （2）21x +22x 设计意图：进一步巩固根与系数的关系，体会“整体代入”思想在解题中的运用，可起到简便运算的作用．七、课堂小结：让学生谈谈本节课的收获与体会，教师可适当引导和点拨．。
一元二次方程根与系数的关系公式有哪些
⼀元⼆次⽅程根与系数的关系公式有哪些
韦达定理指出了⼀元⼆次⽅程根与系数的关系，让我们⼀起来了解⼀下吧。
下⾯是由店铺编辑为⼤家整理的“⼀元⼆次⽅程根与系数的关系公式有哪些”，仅供参考，欢迎⼤家阅读本⽂。
⼀元⼆次⽅程根与系数的关系
韦达定理指出：⼀元⼆次⽅程中两根的和等于它的⼀次项系数除以⼆次项系数所得的商的相反数;两根的积等于它的常数项除以⼆次项系数所得的商。
设⼀元⼆次⽅程ax²+bx+c=0中(a，b，c∈R，a≠0)，设此⼀元⼆次⽅程有两根x₁、x₂，有如下关系：
由⼀元⼆次⽅程求根公式如下：
达定理与根的判别式的关系更是密不可分。
⼀元⼆次⽅程的根的判别式为：△=b2-4ac(a，b，c分别为⼀元⼆次⽅程的⼆次项系数，⼀次项系数和常数项)。
根的判别式是判定⽅程是否有实根的充要条件，韦达定理说明了根与系数的关系。
⽆论⽅程有⽆实数根，实系数⼀元⼆次⽅程的根与系数之间适合韦达定理。
判别式与韦达定理的结合，则更有效地说明与判定⼀元⼆次⽅程根的状况和特征。
韦达定理为数学中的⼀元⽅程的研究奠定了基础，对⼀元⽅程的应⽤创造开拓了⼴泛的发展空间。
已知两个根其中的⼀个，就可以代⼊韦达定理的关系式⾥求得另⼀个根，并且还可以⽤另⼀个关系式来检验。
一元二次方程方程根与系数关系
一元二次方程方程根与系数关系
一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b和c分别是二次项系数、一次项系数和常数项。
方程的根是使方程成立的x值。
在这篇文章中，我们将探讨一元二次方程的根与系数之间的关系。
首先，我们来看一元二次方程的根的求解公式，x = (-b ± √(b^2 4ac)) / (2a)。
这个公式告诉我们，方程的根取决于方程的系数a、b和c。
1. 系数a的影响：
当a>0时，抛物线开口向上，方程有两个实根或没有实根。
当a<0时，抛物线开口向下，方程有两个实根。
2. 系数b的影响：
系数b影响方程的根的位置，它决定了根的和与积的关系。
当b>0时，两个根的和为负值，两个根的积为正值。
当b<0时，两个根的和为正值，两个根的积为正值。
3. 系数c的影响：
系数c决定了方程的常数项，它影响方程的根的大小。
当c>0时，两个根都是负数。
当c<0时，两个根一个是正数，一个是负数。
通过分析上述关系，我们可以看出，方程的根与系数之间存在着一定的关联。
系数a决定了抛物线的开口方向，系数b决定了根的和与积的关系，系数c决定了根的大小。
因此，我们可以通过观察方程的系数来初步判断方程的根的性质。
总之，一元二次方程的根与系数之间存在着密切的关系，通过对系数的分析，我们可以初步了解方程根的性质。
这种关系不仅有助于我们更好地理解方程的性质，也为我们解决实际问题中的应用提供了一定的指导。
17.4一元二次方程根与系数的关系
不解方程，求：
（ 1）
x x
2 1
2 2
;
1 1 （2) ; x1 x2
(4)
(3) ( x1 1)(x2 1) ;
x1 x2
.
另外几种常见的求值:
x1 x2 1 1 1. x1 x2 x1 x2
x1 x 2 x x 2. x1 x2 x 2 x1
2 1
2 2
4.已知方程 x 2 kx k 2 0 的两个实数根 2 是 x1, x2 且 x12 x2 4 ， 求k的值. 解：由根与系数的关系得 x1+x2=-k， x1x2=k+2 解得：k=4 或k=－2 2-4k-8 ∵ △ = K 又 x 1 2+ x 2 2 = 4 当k=4时， △=-8＜0 2 即(x1+ x2) -2x1x2=4 ∴k=4(舍去） 2 K - 2(k+2）=4 当k=-2时，△=4＞0 2 K -2k-8=0 ∴ k=-2
一元二次方程根与系数的关系是 法国数学家“韦达”发现的,所以我们 又 称之为韦达定理.
指出下列各方程的两根之和与两根之积：
(1) x2 - 2x - 1=0 (2) 2x2 - 3x +
1 2
x1+x2=2 =0
3 x1+x2= 2
x1x2=-1
1 x 1 x 2= 4
(3) 2x2 - 6x =0 (4) 3x2 = 4
2
-3 。 的一个根，则另一个根是___ｍ=____
（还有其他解法吗？)
小结：
1、熟练掌握根与系数的关系；
2、灵活运用根与系数关系解决问题；
3、探索解题思路，归纳解题思想方法。
一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系一、方程的判别式$$\Delta = b^2 - 4ac$$其中 $\Delta$ 代表判别式。
二、根的性质1. 当 $\Delta > 0$ 时，方程有两个不相等的实数根；2. 当 $\Delta = 0$ 时，方程有两个相等的实数根，称为方程的重根；3. 当 $\Delta < 0$ 时，方程没有实数根，但有一对共轭复数根。
三、系数与根的关系1.若方程的两个根为$x_1$、$x_2$，则方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$与根的关系为：$$a(x-x_1)(x-x_2)=a(x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2)=0$$展开后可以得到：$$ax^2 - a(x_1 + x_2)x + ax_1x_2 = 0$$对比方程的系数可以得到如下关系：$$\begin{cases}a=a\\b=-a(x_1+x_2)\\c = ax_1x_2\end{cases}$$所以，方程的系数与根之间满足上述关系。
2.若方程的根为$x_1$、$x_2$，则方程的和、积与根的关系为：$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$$$x_1x_2 = \frac{c}{a}$$这是因为在上述系数与根的关系中$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$$$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$$将其代入上述关系式中即可得到上述和积的关系。
通过以上的讨论，我们可以得出一元二次方程根与系数之间的关系。
最后，我们可以举一个具体的例子来解释这种关系。
假设我们有一元二次方程 $x^2 - 3x + 2 = 0$，根据上述关系可以看出，方程的系数为$a = 1$、$b = -3$、$c = 2$。
我们可以计算出判别式 $\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1$，因此 $\Delta > 0$，方程有两个不相等的实数根。
沪科初中数学八下《17.4一元二次方程的根与系数的关系》word教案 (4)
《17.4 一元二次方程的根与系数的关系》教学目标：1．掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题．2．经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想，求简思想．3．情感态度：通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，培养科学探究精神．教学重点：根与系数关系及运用．教学难点：定理的发现及运用．教学过程：一、创设情境，激发探究欲望我们知道生活中许多事物存在着一定的规律，有人发现并验证后就得到伟大的定理，比如：抛出的重物总会落下------------------万有引力定律（牛顿）而我们数学学科中更蕴藏着大量的规律，比如：直角三角形的三边a，b，c满足关系：2a+2b=2c--------------------勾股定理（毕达哥拉斯）那么一元二次方程中是否也存在什么规律呢？今天共同去探究，感受一次当科学家的味道．设计意图：让学生感受到数学和其他学科一样，里边有很多有价值的规律，等待我们去探索，激发学生的学习兴趣，探究欲望．二、探究规律先填空，再找规律：么规律？设计意图：通过学生计算一些特殊的一元二次方程的两根之和与两根之积，启发学生从中发现存在的一般规律，渗透特殊到一般的思考方法． 三、得出定理并证明（韦达定理）若一元二次方程a 2x +bx +c =0（a ≠0）的两根为1x 、2x ，则：1x +2x =-b a 1x ．2x =c a特殊的：若一元二次方程2x +px +q =0的两根为1x 、2x ，则：1x +2x =-p 1x ．2x =q证明此处略（师生合作完成）设计意图：让学生自己发现规律，找到成功感，再从理论上加以验证，让学生经历从特殊到一般的科学探究过程． 四、运用定理解决问题例1：求下列方程的两根之和与两根之积． （1）2x -6x -15=0 （2）5x -1= 42x （3）2x =4 （4）22x =3x（5）2x -（k +1）x +2k -1=0（x 是未知数，k 是常数）设计意图：让学生初步学会运用根与系数的关系来求两根和与两根积，比较简便，（3）、（4）、（5）的设计加深学生对根与系数关系的本质理解．例2：若一元二次方程2x -4 x +2=0的两根是1x 、2x ，求下列各式的值． （1）11x +12x （2）21x +22x 设计意图：进一步巩固根与系数的关系，体会“整体代入”思想在解题中的运用，可起到简便运算的作用．例3：若一元二次方程2x +ax +2=0的两根满足：21x +22x =12，求a 的值．设计意图：它是例2的一个变式，目的是考察学生灵活运用知识解决问题能力，让学生感受到根与系数的关系在解题中的运用，同时也考察学生思维的严密性，根据情况可再进一步变式，如两根互为相反数；两根的倒数和等于2等． 五、课堂小结：让学生谈谈本节课的收获与体会：知识？方法？思想？等，教师可适当引导和点拨．。
沪科版八年级数学下册_17.4 一元二次方程的根与系数的关系
知2－练
答案：A
感悟新知
知2－练
方法提醒 二次项系数为1的一元二次方程与两根的关系
是：两根之和是一次项系数的相反数，两根之积等 于常数项 .
课堂小结
一元二次方程的 根与系数的关系
判定两根的符号
使用条件 两根之和 两根之积
一元二
次方程 意义 的根与
系数的 关系
应用
已知一根求另一根 及字母的值
求涉根代数式的值
感悟新知
知1－讲
特别提醒 一元二次方程根与系数的关系存在的前提是 a ≠
0，b2 － 4ac ≥ 0.
感悟新知
2. 与一元二次方程两根有关的代数式的常见变形
(1) x12+x22=( x1+x2) 2－2x1x2； (2) (x1－x2) 2=( x1+x2) 2－4x1x2；
(3)
x1 x2
+
知2－讲
特别解读 应用性质1能求一元二次方程，应用性质2能转
化记忆一元二次方程根与系数的关系.
感悟新知
知2－练
例3 [ 中 考·淄 博 ] 已 知 实 数 x1 ， x2 满足 x1 +x2=3， x12+x22=5，则以 x1， x2为根的一元二次方程是( ) A. x2－3x+2=0 B. x2+3x－2=0
∴
x1+x2=
－
ba=
－
－ 2
8
=4，
x1x2=
ac=
－ 2
7
=
－
7 2
.
知1－练
感悟新知
知1－练
特别提醒 求一元二次方程两根之和、两根之积时，要把方程化
17.4一元二次方程根与系数的关系(3)
x1 x2 p 那么： x1 x2 q
2 ax bx c 0 (a 0) 的两个根是 x1 , x2， 若方程
b x1 x2 a 那么： xx c 1 2 a
韦达 ( Vieta’s ) 定理
1. 一元二次方程为一般形式；
2. 方程必须要有实数根，即 0 。
拓展： 1、 设 且 是方程 ，则 m 的值是_____ 1 2、已知关于 x 的一元二次方程 x2＋2x＋2k－4＝0 有 两个不相等的实数根． (1)求 k 的取值范围； (2)若 k 为正整数，且该方程的根都是整数，求 k 的值． 的两个实数根，
解：(1)Δ ＝b2－4ac＝4－4(2k－4)＝20－8k. ∵方程有两个不相等的实数根， 5 ∴20－8k>0，∴k< . 2 (2)∵k 为正整数， 5 ∴0<k< (且 k 为整数)，即 k 为 1 或 2， 2 由求根公式得 x1，2＝－1± 5－2k. ∵方程的根为整数，∴5－2k 为完全平方数． 当 k＝1 时，5－2k＝3；当 k＝2 时，5－2k＝1.∴k＝2.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
17.4 一元二次方程根与系数的关系(3)
2 ax bx c 0 (a 0) 的两个根是 x1 , x2 ， 若方程
b x1 x2 a 那么： xx c 1 2 a
韦达定理
2 x 特别地，若方程 px q 0 的两个根是 x1 , x2 ，
2023-2024学年八年级数学下册17.4一元二次方程的根与系数的关系教学设计 新版沪科版
2023-2024学年八年级数学下册17.4一元二次方程的根与系数的关系教学设计新版沪科版一. 教材分析《2023-2024学年八年级数学下册17.4一元二次方程的根与系数的关系》是新版沪科版教材中的一节内容。
本节课主要让学生掌握一元二次方程的根与系数之间的关系，能够根据方程的根判断方程的系数，并能够运用这一关系解决实际问题。
教材中通过实例引导学生探究根与系数的关系，并通过练习题进行巩固。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了一元二次方程的解法，对一元二次方程的概念和性质有一定的了解。
但是，对于根与系数之间的关系，学生可能还没有直观的认识。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过实例探究，发现并理解根与系数之间的关系。
三. 教学目标1.让学生掌握一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.培养学生通过实例探究，发现并理解数学规律的能力。
3.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.教学难点：理解并运用根与系数之间的关系解决实际问题。
五. 教学方法1.实例探究：通过实例引导学生发现并理解根与系数之间的关系。
2.小组讨论：让学生在小组内进行讨论，共同解决问题。
3.练习巩固：通过练习题让学生巩固所学知识。
4.实际应用：让学生运用所学知识解决实际问题。
六. 教学准备1.教学PPT：制作教学PPT，展示实例和练习题。
2.练习题：准备一些练习题，用于巩固所学知识。
3.教学素材：准备一些与实际生活相关的问题，用于引导学生运用所学知识解决实际问题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一元二次方程的解法，引导学生回顾一元二次方程的概念和性质。
然后提出问题：“你们知道一元二次方程的根与系数之间有什么关系吗？”引发学生的思考。
2.呈现（15分钟）利用PPT展示实例，引导学生探究一元二次方程的根与系数之间的关系。
通过计算实例，让学生观察根与系数之间的关系，并引导学生总结出规律。
一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程的根与系数的关系解一元二次方程的根可以通过求根公式得到，即 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
根据这个公式，我们可以看到根与系数之间有以下几个关系。
1.一元二次方程的根与a的关系：系数a出现在求根公式的分母位置，因此当a为0时，求根公式中将出现分母为零的情况，方程则不再是二次方程。
而当a不为0时，方程为一元二次方程，并且a的绝对值越大，求根公式的分母则越大，从而根的倒数也越大，因此a的变化会影响根的大小。
2.一元二次方程的根与b的关系：系数b出现在求根公式的分子位置，因此b的变化将直接影响根的值。
当b为正数时，根的值有两种可能：一种是两个实数根都为正数，另一种是两个实数根中一个为正数，另一个为负数。
当b为负数时，根的值也有两种可能：一种是两个实数根都为负数，另一种是两个实数根中一个为负数，另一个为正数。
3.一元二次方程的根与c的关系：系数 c 出现在求根公式中的平方根部分，从而 c 的变化对根的值起到重要的影响。
当 c 为正数时，根的值可能为两个实数，也可能为两个虚数。
当 c 为负数时，根的值为两个虚数。
而当 c 为零时，即方程为ax^2 + bx = 0，其中 a 和 b 不同时为零，方程则简化为 bx = 0，解为x = 0。
根据以上的分析，我们可以得出一些结论：-当a和b的值都相同时，方程的根的形态也相同。
例如，方程x^2+x+1=0和2x^2+2x+2=0都是只有虚根的方程。
-当a的绝对值很小时，方程的根的绝对值也较小；当a的绝对值很大时，方程的根的绝对值也较大。
-当b的绝对值很小时，方程的根的绝对值也较小；当b的绝对值很大时，方程的根的绝对值也较大。
-当c的绝对值很小时，方程的根的绝对值也较小；当c的绝对值很大时，方程的根的绝对值也较大。
综上所述，一元二次方程的根与系数之间存在着一定的关系，系数的变化会对根的大小、正负以及虚实等性质产生影响。
17.4一元二次方程的根与系数的关系[1]
![17.4一元二次方程的根与系数的关系[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/1f090ddf33d4b14e8524688a.png)
为x1、x2，不解方程，求 x1 x2的值.
小组活动三
1、口答： ( P39练习）
2 2
巩固 新知
下列方程中两根的和与 积各是多少？ （1 ）x 3 x 1 0；（2） 3 x 2 x 2 0； 2 2 （3） 2 x 9 x 5 0；（4） 4 x 7 x 1 0； （5） 2 x 3 x 0；（6） 3 x 1.
那么，我们再来研究根 与系数还有什么关系？
小组活动二
方程
x2+2x-15=0
1、观察与归纳： 先填写下表，然后观察根与系数的关系：
x1 x2 x1+x2 x1x2
探索 新知
3x2-4x+1=0
2x2-5x+1=0
根据你的观察，猜想：方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的根若是x1、x2，那么x1+x2= , x 1x 2= .
2
特别地，当一元二次方 程的二次项系数为 1时， 它的标准形式为 x px q 0.设它的两根为
2
x1、x2，那么x1 x2 p, x1 x2 q.
【例 1 】已知关于x的方程2 x kx 4 0
2
一个根是 4，求它的另一根及 k的值.
【例2】已知方程2 x 3x 1 0的两根
2 2
2、口答：判断下列方程 后面的两个数 是不是它的两个根： 2 （ 1 ）x 5 x 4 0，（ 1， 4）； 2 （2）x 6 x 7 0，（ 1， 7）； 1 2 （3） 2 x 3 x 1 0， （ ， 1 ）； 2 2 （4） 3 x 5 x 2 0， （ 1， 2）； 2 3 （5）x 8 x 11 0， . （4 5， 4 5）
初一一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系
考点名称：一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系：
如果方程的两个实数根是那么
，。
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
一元二次方程根与系数关系的推论：
1.如果方程x2+px+q=0的两个根是x1、x2，那么x1+x2=-p，x1`x2=q
2.以两个数x1、x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2-(x1+x2)x+x1x2=0
提示：
①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他
的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x1、x2为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x2-(x1+x2)x+x1x2=0。
一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程是数学中一个最基本的问题，它的形式为ax2 + bx + c = 0，其中a，b，c为常数。
在解一元二次方程时，系数a，b，c之间存在一种特殊的关系，即它们与一元二次方程的根有关。
首先，一元二次方程的根可以通过一元二次方程的判别式来确定。
判别式的公式为D = b2 - 4ac，其中D为判别式的值，a，b，c分别为一元二次方程的系数。
它可以用来判断一元二次方程的根的个数，以及它们的性质。
如果D > 0，则一元二次方程有两个不同的实根；如果D = 0，则一元二次方程有两个相等的实根；如果D < 0，则一元二次方程有两个不同的虚根。
其次，在讨论一元二次方程的根与系数之间的关系时，我们还要考虑它们的取值范围。
如果a > 0，则实根的取值范围在[-b/2a，b/2a]之间；如果a < 0，则实根的取值范围在[b/2a，-b/2a]之间。
此外，虚根的取值范围为：+/-(√|D|/2a)。
最后，当a，b，c的值发生变化时，一元二次方程的根也会发生变化。
当a的值变大时，实根的取值范围会变小；当a的值变小时，实根的取值范围会变大；当b的值变大时，实根的取值范围会变大；当b的值变小时，实根的取值范围会变小；当c的值变大时，实根的取值范围会变小；当c的值变小时，实根的取值范围会变大。
综上所述，一元二次方程的根与系数之间存在一定的关系，即它们与一元二次方程的根有关。
它们有着特定的取值范围，当系数的值发生变化时，它们的取值范围也会发生变化。
此外，还可以通过判别式来判断一元二次方程的根的个数以及它们的性质。
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教学设计：
§17.4一元二次方程的根与系数的关系
教学目标：
知识与技能
1、使学生掌握反映一元二次方程的根与系数关系的定理——韦达定理，并能初步应用.
2、培养学生分析、观察、归纳的能力和进行推理论证的能力.
过程与方法
经历对一元二次方程的根与系数的关系实例的认识过程，培养学生归纳、推理的能力. 情感、态度与价值观
联系生活学习数学，并通过用所学数学知识解决生活中的问题来激发学生的学习热情. 重点难点：
重点
根与系数关系的推导.
难点
运用韦达定理解决问题.
教学准备
多媒体课件.
教学方法
讲练结合.
教学过程
一、引入新课：
师：前面我们已经学习了用公式法解一元二次方程.
一元二次方程的求根公式x=
a ac
b b
2
4 2-
±
-
，根据系数a、b、c的值求出方程的根，换句话讲，方程的根是由系数a、b、c决定的，那么我们再来研究根与系数还有怎样的关系.（板书课题）
二、合作探究：
1、观察与归纳：
师：请同学们完成下列表格中的内容，并观察根与系数的关系：（课件展示）
师：你发现这些一元二次方程的两根x
1+x
2
、x
1
x
2
与系数有什么关系？
生：和是一次项系数的相反数，积与常数项相等.
师：回答得非常好！
观察发现，两根之和恰是一次项系数的相反数，两根之积恰是常数项.
课件展示猜想成果:当二次项系数为1时，方程x2+px+q=0两根为x
1 、x
2，
x 1+x
2
= - p,x
1
x
2
= q.
师：请同学们继续完成下面表格中的内容，并观察根与系数的关系：（课件展示）
师：观察后你发现x
1+x
2
、x
1
x
2
与系数有什么关系？
生：当二次项系数不为1时，x
1+x
2
恰为一次项系数除以二次项系数的相反数，x
1
x
2
恰是
常数项除以二次项系数.
课件展示猜想成果：
如果一元二次方程ax2+bx+c= 0(a、b、c是常数，且a≠0，b2-4ac≥0)的两根为x
1 , x
2，
则x
1+x
2
和x
1
x
2
与系数a、b、c的关系为：x
1
+x
2
= -
a
b
,x
1
x
2
=
a
c
.
师：前面列举的题目得出的这一结论对其他题是否也成立，即便列举100道题都成立，对第101题也未必成立，如何才能说明这一结论对每一个一元二次方程都能成立呢？
2、定理的证明及分析:（课件展示）
设x 1 , x 2是一元二次方程ax 2
+bx+c= 0（a ≠0）的两个根，那么x 1+x 2 = a
ac
b b 242-+-
+a ac b b 242---=-a b 、x 1x 2 =a ac b b 242-+-·a ac b b 242--- =a
c
到此，完成了对这一问题的分析、观察、归纳、证明，得出定理： 如果一元二次方程ax 2+bx+c= 0（a ≠0）的两个根x 1 x 2 ，那么：x 1+x 2 = -a b ,x 1 x 2 =a
c
. 运用这一定理可以不解方程而直接求出方程的两根和与两根积以及可以化为两根和与两根积求代数式的值.
这一定理揭示了一元二次方程的根与系数的关系，为了纪念在研究和推广这一定理中作出贡献的法国数学家韦达（1540-1603年），人们把这一定理叫做韦达定理.
三、例题讲解和练习：
（一）直接运用根与系数的关系：
例1：不解方程，求下列方程两根的和与积.（课件展示） 1、x 2-14x-15= 0; 2、3x 2+7x+2= 0; 3、-4x-1= 4x 2
教师引导学生独立完成此题并巡视纠错、归纳. 在使用根与系数的关系时，应注意：
1、不是一般形式的要先化成一般形式；
2、在使用x 1+x 2 = -a b
时，注意“ - ”不要漏写.
（二）求关于两根的对称式或代数式的值:（课件展示）
例2：设x 1 , x 2 是方程3x 2+4x-4= 0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值.
⑴x 12+x 22 ⑵ 11x +21
x ⑶(x 1+1)(x 2+1)
⑷x 12 x 2+x 1 x 22 ⑸
2
112x x x x + ⑹( x 1 - x 2)2
教师可以（3）、（4）为例详解，其余的督促同学们自行完成并订正. （三）构造新方程：
例3：求一个一元二次方程，使它的两根是3和-5，且二次项系数为1. 变式：且二次项系数为-2.
（四）求方程中的待定系数:
例4：方程x2+px+q=0的两根同为正数，求p、q的取值范围.
教师可借此题与学生共同探究获得下列结论：（课件展示）
两个正根两个负根一正根、一负根
△≥0 △≥0 △＞0
x 1x
2
＞0 x
1
x
2
＞0
x 1+x
2
＞0 x
1
+x
2
＜0 x
1
x
2
＜0
四、课堂小结：
一元二次方程根与系数的关系？
如果方程ax2+bx+c= 0（a≠0）的两个根分别是x
1 ，x
2
，则有
x 1+x
2
= -
a
b
，x
1
x
2
=
a
c
注：能运用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0.
五、作业：
P40 习题17.4 2、3、5题.。