【走向高考】高考数学一轮总复习 9-7双曲线课后强化作业北师大版

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高中数学一轮复习(含答案) 9.7 双曲线

第七节双曲线一、基础知识1．双曲线的定义平面内到两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ❶(2a ＜|F 1F 2|)的点P 的轨迹叫做双曲线❷.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．❶当|PF 1|－|PF 2|＝2a (2a ＜|F 1F 2|)时，点P 的轨迹为靠近F 2的双曲线的一支.当|PF 1|－|PF 2|＝－2a (2a ＜|F 1F 2|)时，点P 的轨迹为靠近F 1的双曲线的一支.❷若2a ＝2c ，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线；若2a ＞2c ，则轨迹不存在；若2a ＝0，则轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线.2.双曲线的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．(2)中心在坐标原点，焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．3．双曲线的几何性质二、常用结论(1)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2a，也叫通径．(2)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)．(3)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .(4)若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .考点一双曲线的标准方程[典例] (1)(2018·石家庄摸底)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程是( )A.7x 216－y 212＝1 B.y 23－x 22＝1C ．x 2－y 23＝1D.3y 223－x 223＝1 (2)(2018·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1 D.x 29－y 23＝1 [解析] (1)法一：当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线的标准方程是x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎨⎧4a 2－9b 2＝1，ba ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1；当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线的标准方程是y 2a 2－x2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎨⎧9a 2－4b 2＝1，ab ＝3，无解．故该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，选C. 法二：当其中的一条渐近线方程y ＝3x 中的x ＝2时，y ＝23＞3，又点(2,3)在第一象限，所以双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线的标准方程是x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎨⎧4a 2－9b 2＝1，ba ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，故选C. 法三：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，即y 3＝±x ，所以可设双曲线的方程是x 2－y 23＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，故选C. (2)法一：如图，不妨设A 在B 的上方，则A ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a . 又双曲线的一条渐近线为bx －ay ＝0，则d 1＋d 2＝bc －b 2＋bc ＋b 2a 2＋b 2＝2bcc ＝2b ＝6，所以b ＝3.又由e ＝c a ＝2，知a 2＋b 2＝4a 2，所以a ＝ 3. 所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1.法二：由d 1＋d 2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b ＝3.因为双曲线 x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以c a ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，所以a 2＋9a 2＝4，解得a 2＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1，故选C. [答案] (1)C (2)C[题组训练]1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，若|PF 1|－|PF 2|＝4b ，且双曲线的焦距为25，则该双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 2＝1 B.x 23－y 22＝1 C ．x 2－y 24＝1 D.x 22－y 23＝1 解析：选A 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝4b ，c 2＝a 2＋b 2，2c ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，则该双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长为4，离心率为 5，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 216＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.x 22－y 23＝1 D ．x 2－y 26＝1 解析：选A 因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长为4，所以a ＝2，由离心率为5，可得ca ＝5，c ＝25，所以b ＝c 2－a 2＝20－4＝4，则双曲线的标准方程为x 24－y 216＝1.3．经过点P (3,27)，Q (－62，7)的双曲线的标准方程为____________．解析：设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，因为所求双曲线经过点P (3,27)，Q (－62，7)，所以⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－175，n ＝125.故所求双曲线方程为y 225－x 275＝1.答案：y 225－x 275＝1考点二双曲线定义的应用考法(一) 利用双曲线的定义求双曲线方程[典例] 已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 22－y 214＝1(x ≥ 2) B.x 22－y 214＝1(x ≤－2) C.x 22＋y 214＝1(x ≥ 2) D.x 22＋y 214＝1(x ≤－2) [解析] 设动圆的半径为r ，由题意可得|MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r －2，所以|MC 1|－|MC 2|＝22＝2a ，故由双曲线的定义可知动点M 在以C 1(－4,0)，C 2(4,0)为焦点，实轴长为2a ＝22的双曲线的右支上，即a ＝2，c ＝4⇒b 2＝16－2＝14，故动圆圆心M 的轨迹方程为x 22－y 214＝1(x ≥ 2)．[答案] A[解题技法] 利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程．考法(二) 焦点三角形问题[典例] 已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8[解析] 由双曲线的方程得a ＝1，c ＝2，由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝2. 在△PF 1F 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°，即(22)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|＝22＋|PF 1|·|PF 2|，解得|PF 1|·|PF 2|＝4. [答案] B [解题技法] 在双曲线中，有关焦点三角形的问题常用双曲线定义和解三角形的知识来解决，尤其是涉及|PF 1|，|PF 2|的问题，一般会用到双曲线定义．涉及焦点三角形的面积问题，若顶角θ已知，则用S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin θ，|||PF 1|－|PF 2|＝2a 及余弦定理等知识；若顶角θ未知，则用S △PF 1F 2＝12·2c ·|y 0|来解决．[题组训练]1．已知点F 1(－3,0)和F 2(3,0)，动点P 到F 1，F 2的距离之差为4，则点P 的轨迹方程为( ) A.x 24－y 25＝1(y >0) B.x 24－y 25＝1(x >0) C.y 24－x 25＝1(y >0) D.y 24－x 25＝1(x >0) 解析：选B 由题设知点P 的轨迹方程是焦点在x 轴上的双曲线的右支，设其方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(x >0，a >0，b >0)，由题设知c ＝3，a ＝2，b 2＝9－4＝5，所以点P 的轨迹方程为x 24－y 25＝1(x >0)．2．已知双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点．若|PF 1|＝43|PF 2|，则△F 1PF 2的面积为( )A ．48B ．24C ．12D ．6解析：选B 由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝13|PF 2|＝2a ＝2，解得|PF 2|＝6，故|PF 1|＝8，又|F 1F 2|＝10，由勾股定理可知三角形PF 1F 2为直角三角形，因此S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝24.考点三双曲线的几何性质考法(一) 求双曲线的离心率(或范围)[典例] (2018·长春二测)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤53，2B.⎝⎛⎦⎤1，53 C ．(1,2] D.⎣⎡⎭⎫53，＋∞[解析] 由双曲线的定义可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝4|PF 2|，所以|PF 2|＝2a3，由双曲线上的点到焦点的最短距离为c －a ，可得2a 3≥c －a ，解得c a ≤53，即e ≤53，又双曲线的离心率e ＞1，故该双曲线离心率的取值范围为⎝⎛⎦⎤1，53，故选B. [答案] B [解题技法] 1．求双曲线的离心率或其范围的方法 (1)求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2直接求e . (2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．2．求离心率的口诀归纳：离心率，不用愁，寻找等式消b 求；几何图形寻迹踪，等式藏在图形中．考法(二) 求双曲线的渐近线方程[典例] (2019·武汉部分学校调研)已知双曲线C ：x 2m 2－y 2n 2＝1(m ＞0，n ＞0)的离心率与椭圆x 225＋y 216＝1的离心率互为倒数，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．4x ±3y ＝0B ．3x ±4y ＝0C ．4x ±3y ＝0或3x ±4y ＝0D ．4x ±5y ＝0或5x ±4y ＝0 [解析] 由题意知，椭圆中a ＝5，b ＝4，∴椭圆的离心率e ＝1－b 2a 2＝35，∴双曲线的离心率为 1＋n 2m 2＝53，∴n m ＝43，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±n m x ＝±43x ，即4x ±3y ＝0.故选A. [答案] A [解题技法] 求双曲线的渐近线方程的方法：求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令x 2a 2－y 2b 2＝0，得y ＝±b a x ；或令y 2a 2－x 2b 2＝0，得y ＝±ab x .反之，已知渐近线方程为y ＝±b a x ，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(a ＞0，b ＞0，λ≠0)．[题组训练]1．(2019·潍坊统一考试)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点到渐近线的距离为3，且离心率为2，则该双曲线的实轴的长为( )A ．1 B. 3 C ．2D ．2 3解析：选C 由题意知双曲线的焦点(c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为bca 2＋b2＝b ＝3，即c 2－a 2＝3，又e ＝ca＝2，所以a ＝1，该双曲线的实轴的长为2a ＝2.2．已知直线l 是双曲线C ：x 22－y 24＝1的一条渐近线，P 是直线l 上一点，F 1，F 2是双曲线C 的左、右焦点，若PF 1―→·PF 2―→＝0，则点P 到x 轴的距离为( )A.233B. 2 C ．2 D.263解析：选C 由题意知，双曲线的左、右焦点分别为F 1(－6，0)，F 2(6，0)，不妨设直线l 的方程为y ＝2x ，设P (x 0，2x 0)．由PF 1―→·PF 2―→＝(－6－x 0，－2x 0)·(6－x 0，－2x 0)＝3x 20－6＝0，得x 0＝±2，故点P 到x 轴的距离为|2x 0|＝2，故选C.3．(2019·成都一诊)如图，已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，长方形ABCD 的顶点A ，B 分别为双曲线E 的左、右焦点，且点C ，D 在双曲线E 上，若|AB |＝6，|BC |＝52，则双曲线E 的离心率为( )A. 2B.32C.52D. 5解析：选B 根据|AB |＝6可知c ＝3，又|BC |＝52，所以b 2a ＝52，b 2＝52a ，所以c 2＝a 2＋52a ＝9，解得a＝2(舍负)，所以e ＝c a ＝32.4．(2018·郴州二模)已知双曲线y 2m －x 29＝1(m ＞0)的一个焦点在直线x ＋y ＝5上，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±34xB ．y ＝±43xC ．y ＝±223xD ．y ＝±324x解析：选B 由双曲线y 2m －x 29＝1(m ＞0)的焦点在y 轴上，且在直线x ＋y ＝5上，直线x ＋y ＝5与y轴的交点为(0,5)，有c ＝5，则m ＋9＝25，得m ＝16，所以双曲线的方程为y 216－x 29＝1，故双曲线的渐近线方程为y ＝±43x .故选B.[课时跟踪检测]1．(2019·襄阳联考)直线l ：4x －5y ＝20经过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点和虚轴的一个端点，则双曲线C 的离心率为( )A.53B.35C.54D.45解析：选A 由题意知直线l 与两坐标轴分别交于点(5,0)，(0，－4)，从而c ＝5，b ＝4，∴a ＝3，双曲线C 的离心率e ＝c a ＝53.2．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且|PF 1|＝6，则|PF 2|＝( ) A ．6B ．4C ．8D ．4或8解析：选D 由双曲线的标准方程可得a ＝1，则||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2，即|6－|PF 2||＝2，解得|PF 2|＝4或8.3．(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为( ) A. 2B ．2 C.322D ．2 2解析：选D ∵e ＝ca ＝1＋b 2a 2＝2，∴ba＝1. ∴双曲线的渐近线方程为x ±y ＝0. ∴点(4,0)到C 的渐近线的距离d ＝42＝2 2. 4．若实数k 满足0＜k ＜9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ．实半轴长相等D ．焦距相等解析：选D 由0<k <9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线的焦距相等．5．(2018·陕西部分学校摸底)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1，过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行直线，则该直线与另一条渐近线及x 轴所围成的三角形的面积为( )A.24B.22 C.28D.216解析：选C 设双曲线C 1的左顶点为A ，则A ⎝⎛⎭⎫－22，0，双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，不妨设题中过点A 的直线与渐近线y ＝2x 平行，则该直线的方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1.联立⎩⎨⎧y ＝－2x ，y ＝2x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝－24，y ＝12.所以该直线与另一条渐近线及x 轴所围成的三角形的面积S ＝12·|OA |·12＝12×22×12＝28，故选C. 6．(2019·辽宁五校协作体模考)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为5，从双曲线C 的右焦点F 引渐近线的垂线，垂足为A ，若△AFO 的面积为1，则双曲线C 的方程为( )A.x 22－y 28＝1 B.x 24－y 2＝1 C.x 24－y 216＝1 D ．x 2－y 24＝1 解析：选D 因为双曲线C 的右焦点F 到渐近线的距离|F A |＝b ，|OA |＝a ，所以ab ＝2，又双曲线C 的离心率为5，所以 1＋b 2a 2＝5，即b 2＝4a 2，解得a 2＝1，b 2＝4，所以双曲线C 的方程为x 2－y 24＝1，故选D.7．(2018·北京高考)若双曲线x 2a 2－y 24＝1(a >0)的离心率为52，则a ＝________.解析：由e ＝ca ＝a 2＋b 2a 2，得a 2＋4a 2＝54，∴a 2＝16.∵a >0，∴a ＝4. 答案：4 8．过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝________. 解析：双曲线的右焦点为F (2,0)，过F 与x 轴垂直的直线为x ＝2，渐近线方程为x 2－y 23＝0，将x ＝2代入x 2－y 23＝0，得y 2＝12，y ＝±23，故|AB |＝4 3. 答案：4 39．(2018·海淀期末)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________.解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x ，由已知可得两条渐近线互相垂直，由双曲线的对称性可得ba＝1.又正方形OABC 的边长为2，所以c ＝22，所以a 2＋b 2＝c 2＝(22)2，解得a ＝2.答案：210．(2018·南昌摸底调研)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过点F 作圆(x －a )2＋y 2＝c 216的切线，若该切线恰好与C 的一条渐近线垂直，则双曲线C 的离心率为________．解析：不妨取与切线垂直的渐近线方程为y ＝b a x ，由题意可知该切线方程为y ＝－ab (x －c )，即ax ＋by －ac ＝0.圆(x －a )2＋y 2＝c 216的圆心为(a,0)，半径为c4，则圆心到切线的距离d ＝|a 2－ac |a 2＋b 2＝ac －a 2c ＝c 4，又e ＝ca，则e 2－4e ＋4＝0，解得e ＝2，所以双曲线C 的离心率e ＝2. 答案：2 11．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)，点 M (3，m )在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)求证：MF 1―→·MF 2―→＝0；(3)求△F 1MF 2的面积．解：(1)∵e ＝2，∴双曲线的实轴、虚轴相等．则可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. ∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 26－y 26＝1.(2)证明：不妨设F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则MF 1―→＝(－23－3，－m )，MF 2―→＝(23－3，－m )．∴MF 1―→·MF 2―→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2，∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0，∴MF 1―→·MF 2―→＝0. (3)△F 1MF 2的底边长|F 1F 2|＝4 3.由(2)知m ＝±3. ∴△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝12×43×3＝6.12．中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求椭圆和双曲线的方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．解：(1)由题知c ＝13，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线方程为x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a －m ＝4，7·13a＝3·13m ，解得a ＝7，m ＝3.则b ＝6，n ＝2.故椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线为x 29－y 24＝1. (2)不妨设F 1，F 2分别为椭圆与双曲线的左、右焦点，P 是第一象限的交点，则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6，所以|PF 1|＝10，|PF 2|＝4. 又|F 1F 2|＝213，所以cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝102＋42－(213)22×10×4＝45.。

【2016届走向高考】高三数学一轮(北师大版)课件：第9章第7节双曲线

( 2 0 ,)
，则它的离心率
[ 解析]
由题意知
a2＋1＝4，∴a＝ 3，
c 2 2 3 ∴e＝a＝＝ 3 . 3
第九章
平面解析几何
走向高考 ·高考总复习 ·北师大版 ·数学
x2 y2 4．设 F1 和 F2 为双曲线 a2－b2＝1 ( a>0，b> 0 ) 的两个焦点，若 F1，F2，P( 0 2 , b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为( ) 3 A．2 5 C．2 [ 答案] B．2 D．3
第九章平面解析几何
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课前自主导学
第九章
平面解析几何
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1.双曲线的概念绝对值等于我们把平面内到两定点F1，F2的距离之差的________ |F1F2| 的点集合叫作双曲线，这两个定常数( 大于零且小于 ________) 焦点，两焦点间的距离叫________ 焦距．点叫双曲线的________
B
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平面解析几何
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[ 解析 ] 法．由题意可得
2 2
考查三角形中的边角关系及双曲线离心率的求 2 3 4 2 2 c＝ 3 b，即 c ＝3b ，
2 2
4 2 c 2 又 b ＝c －a ，∴c ＝3(c －a )，解得 e＝a＝2 .
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路漫漫其修远兮吾将上下而求索
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高考数学一轮复习课时作业9.7双曲线理北师大版

第7讲双曲线基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2015·西安调研)设双曲线x 2a －y 2b＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为 ( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±22x C ．y ＝±2xD ．y ＝±2x解析因为2b ＝2，所以b ＝1，因为2c ＝23，所以c ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x ，故选B. 答案 B2．(2014·大纲全国卷)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2解析由已知，得e ＝c a ＝2，所以a ＝12c ，故b ＝c 2－a 2＝32c ，从而双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±3x ，由焦点到渐近线的距离为3，得3c2＝3，解得c ＝2，故2c ＝4，故选C. 答案 C3．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．4 2B ．8 3C ．24D ．48解析由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2，3|PF 1|＝4|PF 2|，可解得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝8，|PF 2|＝6.又由|F 1F 2|＝10可得△PF 1F 2是直角三角形，答案 C4．(2014·山东卷)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为 ( )A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0解析椭圆C 1的离心率为a 2－b 2a ，双曲线C 2的离心率为a 2＋b 2a ，所以a 2－b 2a ·a 2＋b 2a＝32，所以a 4－b 4＝34a 4，即a 4＝4b 4，所以a ＝2b ，所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±12x ，即x ±2y ＝0.答案 A5．(2014·重庆卷)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为( ) A.43 B.53 C.94D ．3解析由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，所以(|PF 1|＋|PF 2|)2－(|PF 1|－|PF 2|)2＝9b 2－4a 2，即4|PF 1|·|PF 2|＝9b 2－4a 2，又4|PF 1|·|PF 2|＝9ab ，因此9b 2－4a 2＝9ab ，即9⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－9b a－4＝0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫3b a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫3b a－4＝0，解得b a ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＝－13舍去，则双曲线的离心率e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝53. 答案 B二、填空题6．(2014·北京卷)设双曲线C 经过点(2,2)，且与y 24－x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________．解析设C 的方程为y 24－x 2＝λ(λ≠0)，把点(2,2)代入上式得λ＝－3，所以C 的方程为x 23－y 212＝1，其渐近线方程为y ＝±2x . 答案x 23－y 212＝1 y ＝±2x 7．已知双曲线x 2m －y 23m ＝1的一个焦点是(0,2)，椭圆y 2n －x 2m＝1的焦距等于4，则n ＝________.解析因为双曲线的焦点(0,2)，所以焦点在y 轴上，所以双曲线的方程为y 2－3m －x 2－m ＝1，即a 2＝－3m ，b 2＝－m ，所以c 2＝－3m －m ＝－4m ＝4，解得m ＝－1.所以椭圆方程为y 2n＋x 2＝1，且n ＞0，椭圆的焦距为4，所以c 2＝n －1＝4或1－n ＝4，解得n ＝5或－3(舍去)．答案 58．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．解析由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.∴|PQ |＝4b ＝16>2a .又∵A (5,0)在线段PQ 上，∴P ，Q 在双曲线的右支上，且PQ 所在直线过双曲线的右焦点，由双曲线定义知⎩⎪⎨⎪⎧|PF |－|PA |＝2a ＝6，|QF |－|QA |＝2a ＝6，∴|PF |＋|QF |＝28.∴△PQF 的周长是|PF |＋|QF |＋|PQ |＝28＋16＝44. 答案 44 三、解答题9．已知椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆D 有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程．解椭圆D 的两个焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5.设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，∴渐近线方程为bx ±ay ＝0且a 2＋b 2＝25，又圆心M (0,5)到两条渐近线的距离为r ＝3. ∴|5a |b 2＋a 2＝3，得a ＝3，b ＝4，∴双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1.10．已知双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为2x ＋y ＝0，且顶点到渐近线的距离为255.(1)求此双曲线的方程；(2)设P 为双曲线上一点，A ，B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP →＝PB →，求△AOB 的面积．解 (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a b ＝2，|2×0＋a |5＝255，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故双曲线的方程为y 24－x 2＝1. (2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，设A (m,2m )，B (－n,2n )，其中m ＞0，n ＞0，由AP →＝PB →得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m －n 2，m ＋n .将点P 的坐标代入y 24－x 2＝1，整理得mn ＝1. 设∠AOB ＝2θ，∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝2，则tan θ＝12，从而sin 2θ＝45.又|OA |＝5m ，|OB |＝5n ， ∴S △AOB ＝12|OA ||OB |sin 2θ＝2mn ＝2.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1D.x 212－y 24＝1 解析由双曲线方程知右顶点为(a,0)，不妨设其中一条渐近线方程为y ＝bax ，因此可设点A 的坐标为(a ，b )．设右焦点为F (c,0)，由已知可知c ＝4，且|AF |＝4，即(c －a )2＋b 2＝16，所以有(c －a )2＋b 2＝c 2，又c 2＝a 2＋b 2，则c ＝2a ，即a ＝c2＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝42－22＝12.故双曲线的方程为x 24－y 212＝1，故选A.答案 A12．(2015·石家庄模拟)已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是 ( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)C ．(1,1＋2)D ．(2,1＋2)解析由题意易知点F 的坐标为(－c,0)，A (－c ，b 2a )，B (－c ，－b 2a )，E (a,0)，因为△ABE 是锐角三角形，所以EA →·EB →>0，即EA →·EB →＝(－c －a ，b 2a)·(－c －a ，－b 2a)>0，整理得3e 2＋2e >e 4，∴e (e 3－3e －3＋1)<0， ∴e (e ＋1)2(e －2)<0，解得e ∈(0,2)，又e >1， ∴e ∈(1,2)，故选B. 答案 B13．(2014·惠州模拟)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过点F 2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是________．解析如图所示，过点F 2(c,0)且与渐近线y ＝ba x 平行的直线为y ＝b a(x －c )，与另一条渐近线y ＝－b ax ，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝bax －c ，y ＝－ba x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝c2，y ＝－bc2a ，即点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，－bc2a .∴|OM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－bc 2a 2＝c21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2.∵点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外，∴|OM |＞c ，即c21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＞c ，得1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＞2.∴双曲线率心率e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＞2.故双曲线离心率的取值范围是(2，＋∞)．答案 (2，＋∞)14.如图，O 为坐标原点，双曲线C 1：x 2a 21－y 2b 21＝1(a 1＞0，b 1＞0)和椭圆C 2：y 2a 22＋x 2b 22＝1(a 2＞b 2＞0)均过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，1，且以C 1的两个顶点和C 2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．(1)求C 1，C 2的方程；(2)是否存在直线l ，使得l 与C 1交于A ，B 两点，与C 2只有一个公共点，且|OA →＋OB →|＝|AB →|？证明你的结论．解 (1)设C 2的焦距为2c 2，由题意知，2c 2＝2,2a 1＝2，从而a 1＝1，c 2＝1.因为点P ⎝⎛⎭⎪⎫233，1在双曲线x 2－y 2b 21＝1上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2332－1b 21＝1.故b 21＝3. 由椭圆的定义知 2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＋ 1－1 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＋ 1＋1 2＝2 3. 于是a 2＝3，b 22＝a 22－c 22＝2，故C 1，C 2的方程分别为x 2－y 23＝1，y 23＋x 22＝1.(2)不存在符合题设条件的直线．①若直线l 垂直于x 轴，因为l 与C 2只有一个公共点，所以直线l 的方程为x ＝2或x ＝－ 2.当x ＝2时，易知A (2，3)，B (2，－3)，所以 |OA →＋OB →|＝22，|AB →|＝2 3. 此时，|OA →＋OB →|≠|AB →|.当x ＝－2时，同理可知，|OA →＋OB →|≠|AB →|. ②若直线l 不垂直于x 轴，设l 的方程为y ＝kx ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2－y 23＝1，得(3－k 2)x 2－2kmx －m 2－3＝0.当l 与C 1相交于A ，B 两点时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，从而x 1＋x 2＝2km 3－k ，x 1x 2＝m 2＋3k －3. 于是y 1y 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝3k 2－3m2k 2－3.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y 23＋x22＝1，得(2k 2＋3)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0.因为直线l 与C 2只有一个公共点，所以上述方程的判别式Δ＝16k 2m 2－8(2k 2＋3)(m 2－3)＝0.化简，得2k 2＝m 2－3，因此OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝m 2＋3k 2－3＋3k 2－3m 2k 2－3＝－k 2－3k 2－3≠0，于是OA→2＋OB →2＋2OA →·OB →≠OA →2＋OB →2－2OA →·OB →，即|OA →＋OB →|2≠|OA →－OB →|2，故|OA →＋OB →|≠|AB →|. 综合①，②可知，不存在符合题设条件的直线．。

【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 9-7双曲线课后强化作业北师大版

"【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 9-7双曲线课后强化作业北师大版 "基础达标检测一、选择题1．设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( ) A ．4 B ．3C ．2D ．1[答案]C[解析]本小题考查内容为双曲线的渐近线．双曲线的渐近线方程为y ＝±3ax ，比较y ＝±32x ，∴a ＝2. 2．(2013·某某高考)双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( ) A.25B.45C.255D.455[答案]C[解析]本题考查双曲线的渐近线及点到直线的距离公式．不妨设顶点(2,0)，渐近线y ＝x 2，即x －2y ＝0， ∴d ＝|2|5＝255. 3．如果双曲线x 24－y 212＝1上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么点P 到它的左焦点的距离是( )A ．4B ．12C ．4或12D ．不确定[答案]C[解析]由双曲线方程，得a ＝2，c ＝4.根据双曲线的定义|PF 1|－|PF 2|＝±2a ，则|PF 1|＝|PF 2|±2a ＝8±4，∴|PF 1|＝4或12，经检验二者都符合题意．4．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22xD ．y ＝±12x [答案]C[解析]由题意可得2b ＝2,2c ＝23，∴b ＝1，c ＝3，故a 2＝c 2－b 2＝2.所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±12x ＝±22x . 5．过双曲线x 2－y 2＝8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |＝7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是( )A ．28B ．14－8 2C ．14＋82D ．8 2[答案]C[解析]|PF 2|＋|PQ |＋|QF 2|＝|PF 2|－|PF 1|＋|QF 2|－|QF 1|＋2|PQ | ＝14＋8 2.6．设F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|等于( ) A.10B ．210 C.5D ．2 5[答案]B[解析]由题意知：F 1(－10，0)，F 2(10，0)， 2c ＝210，2a ＝2.∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1⊥PF 2，∴|PF 1→|＝2PO ＝|F 1F 2|，∴|PF 1→＋PF 2→|＝210.二、填空题7．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝________. [答案]16[解析]本题考查双曲线的标准方程以及a 、b 、c 基本量的关系和运算．根据标准方程可知，a 2＝m ，b 2＝9，而c ＝5，∴c 2＝a 2＋b 2，∴52＝m ＋9.∴m ＝16.8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．[答案]2[解析]本题考查双曲线的标准方程以及离心率等知识．由双曲线标准方程x 2m －y 2m 2＋4＝1知 a 2＝m >0，b 2＝m 2＋4，∴c 2＝a 2＋b 2＝m ＋m 2＋4，由e ＝5得c 2a 2＝5， ∴m >0且m ＋m 2＋4m＝5，∴m ＝2. 9．(2013·某某高考)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点，若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．[答案]44[解析]如图，由双曲线方程知，b ＝4，a ＝3，c ＝5，则虚轴长为8，则|PQ |＝16.由左焦点F (－5,0)，且A 恰为右焦点知，线段PQ 过双曲线的右焦点，则|PF |＝|P A |＋2a ＝|P A |＋6，|QF |＝|QA |＋6，所以|PF |＋|QF |＝|PQ |＋12＝4b ＋12＝28，∴△PQF 的周长为28＋16＝44.三、解答题10．根据下列条件求双曲线的标准方程．(1)已知双曲线的渐近线方程为y ＝±23x ，且过点M (92，－1)； (2)与椭圆x 249＋y 224＝1有公共焦点，且离心率e ＝54. [解析](1)∵双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，∴可设双曲线的方程为4x 2－9y 2＝λ(λ≠0)．又 ∵双曲线过点M ⎝⎛⎭⎫92，－1，∴λ＝4×814－9＝72. ∴双曲线方程为4x 2－9y 2＝72，即x 218－y 28＝1. (2)解法1(设标准方程)由椭圆方程可得焦点坐标为(－5,0)，(5,0)，即c ＝5且焦点在x 轴上，∴可设双曲线的标准方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，且c ＝5.又e ＝c a ＝54，∴a ＝4，∴b 2＝c 2－a 2＝9. ∴双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1. 解法2(设共焦点双曲线系方程)∵椭圆的焦点在x 轴上，∴可设双曲线方程为x 249－λ－y 2λ－24＝1(24<λ<49)．又e ＝54，∴λ－2449－λ＝2516－1，解得λ＝33. ∴双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1. 能力强化训练一、选择题1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A.x 25－y 24＝1B.x 24－y 25＝1 C.x 23－y 26＝1 D.x 26－y 23＝1 [答案]A[解析]∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b ax ，圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，∴圆心为C (3,0)．又渐近线方程与圆C 相切，即直线bx －ay ＝0与圆C 相切， ∴3ba 2＋b 2＝2，∴5b 2＝4a 2.①又∵x 2a 2－y 2b2＝1的右焦点F 2(a 2＋b 2，0)为圆心C (3,0)，∴a 2＋b 2＝9.②由①②得a 2＝5，b 2＝4. ∴双曲线的标准方程为x 25－y 24＝1.2．(文)(2013·新课标Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13x C ．y ＝±12x D ．y ＝±x [答案]C[解析]本题考查双曲线渐近线方程．由题意得c a ＝52，即c ＝52a ，而c 2＝a 2＋b 2，所以a 2＋b 2＝54a 2，b 2＝14a 2，b 2a 2＝14，所以b a ＝12，渐近线的方程为y ＝±12x ，选C.在解答此类问题时，要充分利用a 、b 、c 的关系．(理)(2013·某某高考)如图，F 1、F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A.2B. 3C.32D.62[答案]D[解析]不妨设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1. 由题意知|BF 1|－|BF 2|＝2a ⇒|BF 1|2＋|BF 2|2－2|BF 1|·|BF 2|＝4a 2，①并由勾股定理得|BF 1|2＋|BF 2|2＝4c 2＝12，②由①②知12－4a 2＝2|BF 1|·|BF 2|，∴|BF 1|·|BF 2|＝6－2a 2.下面求|BF 1|·|BF 2|的值．在椭圆中|BF 1|＋|BF 2|＝4，故|BF 1|2＋|BF 2|2＋2|BF 1|·|BF 2|＝16，又由②知|BF 1|2＋|BF 2|2＝4c 2＝12，∴|BF 1|·|BF 2|＝2，因此有c 2－a 2＝1，∵c 2＝3，∴a 2＝2，∴C 2的离心率e ＝c a ＝62. 二、填空题3．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为________．[答案]4[解析]设C ：x 2a 2－y 2a2＝1. ∵抛物线y 2＝16x 的准线为x ＝－4，联立x 2a 2－y 2a2＝1和x ＝－4. 得A (－4，16－a 2)，B (－4，－16－a 2)， ∴|AB |＝216－a 2＝43，∴a ＝2，∴2a ＝4.∴C 的实轴长为4.4．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被点(b 2，0)分成32两段，则此双曲线的离心率为________．[答案]52121[解析]∵(b 2＋c )(c －b 2)＝3 2. ∴c ＝52b ，a ＝c 2－b 2＝212b ， e ＝c a ＝521＝52121. 三、解答题5．已知点A (－3，0)和点B (3，0)，动点C 到A 、B 两点的距离之差的绝对值为2，点C 的轨迹与直线y ＝x －2交于D 、E 两点，求线段DE 的长．[分析] 求双曲线方程，联立方程组，结合根与系数的关系求弦长．[解析]设点C (x ，y )，则|CA |－|CB |＝±2，根据双曲线的定义，可知点C 的轨迹是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1.(a >0，b >0) 由2a ＝2,2c ＝|AB |＝23，得a 2＝1，b 2＝2，故点C 的轨迹方程是x 2－y 22＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 22＝1y ＝x －2，消去y 并整理得x 2＋4x －6＝0. 因为Δ>0，所以直线与双曲线有两个交点．设D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝－6，故|DE |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4 5.[点评] (1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长．(2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式．(3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况．6．(文)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0；(3)求△F 1MF 2的面积．[分析] 由离心率为2可看出它是等轴双曲线；从此隐含条件入手，可使运算变得简单．[解析](1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．∵过(4，－10)点，∴16－10＝λ，即λ＝6，∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证法1：由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6，∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m 3－23，kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23. ∵点(3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3.故kMF 1·kMF 2＝－1，∴MF 1→⊥MF 2→.∴MF 1→·MF 2→＝0.证法2：∵MF 1→＝(－3－23，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )，∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2，∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0，∴MF 1→·MF 2→＝0.(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝43，△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝6.[点评] 双曲线的标准方程和几何性质中涉及很多基本量，如“a ，b ，c ，e ”等，树立基本量思想对于确定双曲线方程和认识其几何性质有很大帮助．(理)已知椭圆x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1>b 1>0)与双曲线x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2>0，b 2>0)有公共焦点F 1、F 2，设P 是它们的一个交点．(1)试用b 1，b 2表示△F 1PF 2的面积；(2)当b 1＋b 2＝m (m >0)是常数时，求△F 1PF 2的面积的最大值．[解析](1)如图所示，令∠F 1PF 2＝θ.因|F 1F 2|＝2c ，则a 21－b 21＝a 22＋b 22＝c 2.即a 21－a 22＝b 21＋b 22. 由椭圆、双曲线定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2(令|PF 1|>|PF 2|)，所以|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2，cos θ＝|PF 1|2＋|PF 2|2－4c 22|PF 1|·|PF 2|＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 21－b 21)－2(a 22＋b 22)2(a 21－a 22) ＝b 21－b 22a 21－a 22＝b 21－b 22b 21＋b 22. 所以sin θ＝2b 1b 2b 21＋b 22.所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin θ ＝12(a 21－a 22)·2b 1b 2b 21＋b 22＝b 1b 2. (2)当b 1＋b 2＝m (m >0)为常数时S △F 1PF 2＝b 1b 2≤(b 1＋b 22)2＝m 24，所以△F 1PF 2面积的最大值为m 24.。

【走向高考】高考数学一轮总复习 9-8曲线与方程课后强化作业北师大版

"【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 9-8曲线与方程课后强化作业北师大版 "基础达标检测一、选择题1．到点F (0,4)的距离比它到直线y ＝－5的距离小1的动点M 的轨迹方程为( ) A ．y ＝16x 2 B ．y ＝－16x 2 C ．x 2＝16y D ．x 2＝－16y[答案] C[解析] ∵动点M 到点F (0,4)的距离比它到直线y ＝－5的距离小1，∴动点M 到点F (0,4)的距离与它到直线y ＝－4的距离相等．根据抛物线的定义可得点M 的轨迹是以F (0,4)为焦点，以直线y ＝－4为准线的抛物线，其标准方程为x 2＝16y ，故选C.2．已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 满足PM →·PN →＝0，则点P 的轨迹方程为( ) A.x 216＋y 2＝1 B ．x 2＋y 2＝4 C ．y 2－x 2＝8 D ．x 2＋y 2＝8 [答案] B[解析] 设点P 的坐标为(x ，y )，即PM →·PN →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝－4＋x 2＋y 2＝0，即得点P 的轨迹为x 2＋y 2＝4.3．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定 [答案] A[解析] 直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1,1)，而点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．4．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A 、B 两点，则cos ∠AFB ＝( )A.45B.35 C ．－35D ．－45[答案] D[解析] 设点A (x 1，y y )、B (x 2，y 2)．由题意得点F (1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4xy ＝2x －4消去y 得x 2－5x＋4＝0，解得x ＝1或x ＝4，因此点A (1，－2)、B (4,4)，F A →＝(0，－2)，FB →＝(3,4)，cos ∠AFB ＝F A →·FB →|F A →||FB →|＝0×3＋(－2)×42×5＝－45，选D.5．一圆形纸片的圆心为O ，点Q 是圆内异于O 的一个定点，点A 是圆周上一动点，把纸片折叠使点A 与点Q 重合，然后展开纸片，折痕CD 与OA 交于点P ，当点A 运动时，点P 轨迹为( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆[答案] A[解析] ∵折痕所在的直线是AQ 的垂直平分线， ∴|P A |＝|PQ |，又∵|P A |＋|OP |＝r ，∴|PQ |＋|OP |＝r >|OQ |. 由椭圆的定义知点P 的轨迹是椭圆．6．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1 [答案] B [解析] ∵k AB ＝0＋153＋12＝1， ∴直线AB 的方程为y ＝x －3.由于双曲线的焦点为F (3,0)，∴c ＝3，c 2＝9. 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则x 2a 2－(x －3)2b 2＝1. 整理，得(b 2－a 2)x 2＋6a 2x －9a 2－a 2b 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6a 2a 2－b 2＝2×(－12)．∴a 2＝－4a 2＋4b 2，∴5a 2＝4b 2. 又a 2＋b 2＝9，∴a 2＝4，b 2＝5. ∴双曲线E 的方程为x 24－y 25＝1.二、填空题7．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为________.[答案]55[解析] 本题考查了椭圆的定义与离心率的求法．由已知|F 1F 2|＝2c ，|AF 1|＝a －c ，|BF 1|＝a ＋c ，因为|F 1F 2|2＝|AF 1||BF 1|，所以(2c )2＝(a －c )(a ＋c )， ∴5c 2＝a 2，∴e ＝55. 8．长为3的线段AB 的端点A ，B 分别在x ，y 轴上移动，动点C (x ，y )满足AC →＝2CB →，则动点C 的轨迹方程是________．[答案] x 2＋y 24＝1[解析] 由题意设A (x A,0)，B (0，y B )，AC →＝(x －x A ，y )，CB →＝(－x ，y B －y )， ∵AC →＝2CB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －x A ＝－2x ，y ＝2(y B －y )⇒⎩⎪⎨⎪⎧x A ＝3x ，y B ＝32y .由x 2A ＋y 2B ＝9⇒9x 2＋94y 2＝9⇒x 2＋y 24＝1.9．(2014·东北三校联考)已知双曲线方程是x 2－y 22＝1，过定点P (2,1)作直线交双曲线于P 1，P 2两点，并使P (2,1)为P 1P 2的中点，则此直线方程是________．[答案] 4x －y －7＝0[解析] 设点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则由x 21－y 212＝1，x 22－y 222＝1，得k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝2(x 2＋x 1)y 2＋y 1＝2×42＝4，从而所求方程为4x －y －7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x 2－56x ＋51＝0，Δ>0，故此直线满足条件．三、解答题10.(2012·青岛一中期中)如图，两条过原点O 的直线l 1，l 2分别与x 轴、y 轴成30°的角，点P (x 1，y 1)在直线l 1上运动，点Q (x 2，y 2)在直线l 2上运动，且线段PQ 的长度为2.(1)求动点M (x 1，x 2)的轨迹C 的方程；(2)设过定点T (0,2)的直线l 与(1)中的轨迹C 交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角，求直线l 的斜率k 的取值范围．[解析] (1)由已知得直线l 1⊥l 2， l 1y ＝33x ，l 2y ＝－3x ，∵点P (x 1，y 1)在直线l 1上运动，点Q (x 2，y 2)在直线l 2上运动， ∴y 1＝33x 1，y 2＝－3x 2，由|PQ |＝2，得(x 21＋y 21)＋(x 22＋y 22)＝4，即43x 21＋4x 22＝4⇒x 213＋x 22＝1， ∴动点M (x 1，x 2)的轨迹C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2，将其代入x 23＋y 2＝1，化简得(1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0，设A (x 3，y 3)、B (x 4，y 4)，∴Δ＝(12k )2－36×(1＋3k 2)>0⇒k 2>1，且x 3＋x 4＝－12k 1＋3k 2，x 3x 4＝91＋3k 2， ∵∠AOB 为锐角，∴OA →·OB →>0，即x 3x 4＋y 3y 4>0⇒x 3x 4＋(kx 3＋2)(kx 4＋2)>0，∴(1＋k 2)x 3x 4＋2k (x 3＋x 4)＋4>0.将x 3＋x 4＝－12k 1＋3k 2，x 3x 4＝91＋3k 2代入上式，化简得13－3k 21＋3k2>0⇒k 2<133. 由k 2>1且k 2<133，得k ∈(－393，－1)∪(1，393).能力强化训练一、选择题1．平面直角坐示系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线[答案] A[解析] 设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)， ∵OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2y ＝λ1＋3λ2，解得⎩⎨⎧λ1＝3x ＋y 10，y 2＝3y －x 10.又λ1＋λ2＝1，∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线．2．△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是( )A.x 29－y 216＝1 B.x 216－y 29＝1 C.x 29－y 216＝1(x >3) D.x 216－y 29＝1(x >4) [答案] C[解析] 如图|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2， |CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1(x >3)．二、填空题3．设P 为双曲线x 24－y 2＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M的轨迹方程是________．[答案] x 2－4y 2＝1[解析] 设M (x ，y )，P (x 1，y 1)，则0＋x 12＝x ，0＋y 12＝y ，∴x 1＝2x ，y 1＝2y ，又P (x 1，y 1)在双曲线上， ∴(2x )24－(2y )2＝1，∴x 2－4y 2＝1.4．(2013·安徽高考)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A 、B 两点，若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．[答案] a ≥1[解析] 本题考查了直角三角形的性质．抛物线的范围以及恒成立问题，不妨设A (a ，a )，B (－a ，a )，C (x 0，x 20)，则CB →＝(－a －x 0，a －x 20)，CA →＝(a －x 0，a －x 20)，∵∠ACB ＝90°. ∴CA →·CB →＝(a －x 0，a －x 20)·(－a －x 0，a －x 20)＝0.∴x 20－a ＋(a －x 20)2＝0，则x 20－a ≠0. ∴(a －x 20)(a －x 20－1)＝0，∴a －x 20－1＝0. ∴x 20＝a －1，又x 20≥0.∴a ≥1.三、解答题5．(2013·新课标Ⅱ)在平面直角坐标系xOy 中，己知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． [解析] (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .由题意知y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2，从而得y 2＋2＝x 2＋3. ∴点P 的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设与直线y ＝x 平行且距离为22的直线为l ：x －y ＋c ＝0，由平行线间的距离公式得c ＝±1.∴l ：x －y ＋1＝0或x －y －1＝0.与方程y 2－x 2＝1联立得交点坐标为A (0,1)，B (0，－1)．即点P 的坐标为(0,1)或(0，－1)，代入y 2＋2＝r 2得r 2＝3. ∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3或x 2＋(y －1)2＝3.6．(2014·临川调研)已知椭圆的中心是坐标原点O ，焦点F 1，F 2在y 轴上，它的一个顶点为A (2，0)，且中心O 到直线AF 1的距离为焦距的14，过点M (2,0)的直线l 与椭圆交于不同的两点P ，Q ，点N 在线段PQ 上．(1)求椭圆的标准方程；(2)设|PM |·|NQ |＝|PN |·|MQ |，求动点N 的轨迹方程． [解析] (1)设椭圆的标准方程是y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．由于椭圆的一个顶点是A (2，0)，故b 2＝2. 根据题意得，∠AF 1O ＝π6，sin ∠AF 1O ＝ba ，即a ＝2b ，a 2＝8，所以椭圆的标准方程是y 28＋x 22＝1.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，N (x ，y )，由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －2)．直线l 的方程与椭圆方程联立消去y 得： (k 2＋4)x 2－4k 2x ＋4k 2－8＝0.由Δ＝16k 2－4(k 2＋4)(4k 2－8)>0，得－2<k <2.根据根与系数的关系得x 1＋x 2＝4k 24＋k 2，x 1x 2＝4k 2－84＋k 2.又|PM |·|NQ |＝|PN |·|MQ |，即(2－x 1)(x 2－x )＝(x －x 1)(2－x 2)．解得x ＝1，代入直线l 的方程得y ＝－k ，y ∈(－2,2)．所以动点N 的轨迹方程为x ＝1，y ∈(－2,2)．。

1高考文科数学北师大一轮复习教师用书：第九章第讲双曲线含答案

第7讲双曲线一、知识梳理1．双曲线的定义条件结论1结论2平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2M点的轨迹为双曲线F1、F2为双曲线的焦点|F1F2|为双曲线的焦距||MF1|－|MF2||＝2a2a<|F1F2|标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长a、b、c的关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y ＝±x ，离心率为e ＝ 2. 常用结论1．双曲线中的几个常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .(2)若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min＝c －a .(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a ，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .(4)设P ，A ，B 是双曲线上的三个不同的点，其中A ，B 关于原点对称，直线P A ，PB 斜率存在且不为0，则直线P A 与PB 的斜率之积为b 2a2.2．巧设双曲线方程(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)．(2)过已知两个点的双曲线方程可设为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)．二、教材衍化1．双曲线x 224－y 225＝－1的实轴长，离心率，渐近线方程．答案：10 75 y ＝±5612x2．以椭圆x 24＋y 23＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为．答案：x 2－y 23＝1 3．经过点A (3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为．答案：x 28－y 28＝1一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线．( )(2)椭圆的离心率e ∈(0，1)，双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)．( )(3)方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ 二、易错纠偏常见误区(1)忽视双曲线定义的条件致误； (2)忽视双曲线焦点的位置致误．1．平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是．解析：由|PF 1|－|PF 2|＝6<|F 1F 2|＝8，得a ＝3，又c ＝4，则b 2＝c 2－a 2＝7，所以所求点的轨迹是双曲线y 29－x 27＝1的下支．答案：双曲线y 29－x 27＝1的下支2．坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的斜率为3，则双曲线的离心率为．解析：若双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则渐近线的方程为y ＝±ba x ，由题意可得ba＝3，b ＝3a ，可得c ＝2a ，则e ＝ca ＝2；若双曲线的焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1，则渐近线的方程为y ＝±abx ，由题意可得a b ＝3，a ＝3b ，可得c ＝233a ，则e ＝233.综上可得e ＝2或e ＝233.答案：2或233双曲线的定义及应用(典例迁移)设F 1，F 2是双曲线x 24－y 2＝1的焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积是．【解析】双曲线x 24－y 2＝1中，a ＝2，b ＝1，c ＝ 5.可设点P 在右支上，由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝4，两边平方得，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝16，又|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2＝20，所以△PF 1F 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝1.【答案】 1【迁移探究】 (变设问)在本例条件下，则△F 1PF 2的周长为．解析：又(|PF 1|＋|PF 2|)2＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋4|PF 1|·|PF 2|＝16＋8＝24，所以|PF 1|＋|PF 2|＝26，△PF 1F 2的周长为26＋2 5.答案：25＋26双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程． (2)在“焦点三角形”中，当∠F 1PF 2＝90°时，S △PF 1F 2＝b 2，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立|PF 1|与|PF 2|的关系．[注意] 在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．1．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且|PF 1|＝6，则|PF 2|＝( )A ．6B ．4C ．8D ．4或8解析：选D.由双曲线的标准方程可得a ＝1，则||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2，即|6－|PF 2||＝2，解得|PF 2|＝4或8.2．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左，右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝．解析：由双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ＝22，所以|PF 1|＝2|PF 2|＝42，则cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝（42）2＋（22）2－422×42×22＝34. 答案：34双曲线的标准方程(师生共研)(1)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1，C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1 B.x 28－y 2＝1 C ．x 2－y 28＝1(x ≤－1) D ．x 2－y 28＝1(x ≥1) (2)已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C 与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦距，且一条渐近线方程为x －2y ＝0，则双曲线C 的方程为．【解析】 (1)设动圆M 的半径为r ，由动圆M 同时与圆C 1和圆C 2相外切，得|MC 1|＝1＋r ，|MC 2|＝3＋r ，|MC 2|－|MC 1|＝2<6，所以点M 的轨迹是以点C 1(－3，0)和C 2(3，0)为焦点的双曲线的左支，且2a ＝2，a ＝1，c ＝3，则b 2＝c 2－a 2＝8，所以点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)． (2)在椭圆x 29＋y 24＝1中，c ＝9－4＝ 5.因为双曲线C 与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦距，且一条渐近线方程为x －2y ＝0，所以可设双曲线方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，化为标准方程为x 24λ－y 2λ＝1.当λ>0时，c ＝λ＋4λ＝5，解得λ＝1，则双曲线C 的方程为x 24－y 2＝1；当λ<0时，c ＝－λ－4λ＝5，解得λ＝－1，则双曲线C 的方程为y 2－x 24＝1.综上，双曲线C 的方程为x 24－y 2＝1或y 2－x 24＝1.【答案】 (1)C (2)x 24－y 2＝1或y 2－x 24＝1求双曲线标准方程的方法(1)定义法根据双曲线的定义确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，常用的关系有：①c 2＝a 2＋b 2；②双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a . (2)待定系数法 ①一般步骤②常用设法(i)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)；(ii)若双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，则双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；(iii)若双曲线过两个已知点，则双曲线的方程可设为x 2m ＋y 2n ＝1(mn <0)或mx 2＋ny 2＝1(mn <0)．1．双曲线C 的两焦点分别为(－6，0)，(6，0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 220－y 24＝1 B.x 220－y 216＝1 C.y 220－x 216＝1 D ．y 220－x 24＝1解析：选B.2a ＝|（－5＋6）2＋22－|（－5－6）2＋22＝4 5.所以a ＝25，又c ＝6，所以b 2＝c 2－a 2＝36－20＝16.所以双曲线的标准方程为x 220－y 216＝1.故选B.2．(2020·合肥市第一次质检测)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的虚轴长为4，一条渐近线的方程为y ＝12x ，则双曲线C 的方程为( )A.x 216－y 24＝1 B.x 24－y 216＝1 C.x 264－y 216＝1 D ．x 2－y 24＝1 解析：选A.由题意知，双曲线的虚轴长为4，得2b ＝4，即b ＝2，又双曲线的焦点在x 轴上，则其一条渐近线的方程为y ＝b a x ＝12x ，可得a ＝4，所以双曲线C 的方程为x 216－y 24＝1，故选A.双曲线的几何性质(多维探究) 角度一双曲线的渐近线问题(2020·吉林第三次调研测试)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的实轴长是虚轴长的2倍，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±22xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22xD ．y ＝±24x【解析】双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，所以2a ＝22b ，即a ＝2b .所以渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x .故选C.【答案】 C求双曲线的渐近线的方法求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令x 2a 2－y 2b 2＝0，得y ＝±b a x ；或令y 2a 2－x 2b 2＝0，得y ＝±abx .反之，已知渐近线方程为y ＝±b a x ，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(a >0，b >0，λ≠0)．[说明] 两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x 轴，y 轴对称．角度二双曲线的离心率问题(1)(2020·兰州市诊断考试)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的实轴长为4，离心率为3，则其虚轴长为( )A ．8 2B ．4 2C ．2 2D ．463(2)(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D ． 5【解析】 (1)由题意知2a ＝4，所以a ＝2.因为e ＝ca ＝3，所以c ＝23，所以b ＝c 2－a 2＝22，所以2b ＝42，即该双曲线的虚轴长为42，故选B.(2)法一：依题意，记F (c ，0)，则以OF 为直径的圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －c 22＋y 2＝c 24，将圆⎝⎛⎭⎫x －c 22＋y 2＝c 24与圆x 2＋y 2＝a 2的方程相减得cx ＝a 2，即x ＝a 2c ，所以点P ，Q 的横坐标均为a 2c.由于PQ 是圆x 2＋y 2＝a 2的一条弦，因此⎝⎛⎭⎫a 2c 2＋⎝⎛⎭⎫|PQ |22＝a 2，即⎝⎛⎭⎫a 2c 2＋⎝⎛⎭⎫c 22＝a 2，即c 24＝a 2⎝⎛⎭⎫1－a 2c 2＝a 2b 2c 2，所以c 2＝2ab ，即a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2＝0，所以a ＝b ，因此C 的离心率e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝2，故选A.法二：记F (c ，0)．连接OP ，PF ，则OP ⊥PF ，所以S △OPF ＝12|OP |·|PF |＝12|OF |·12|PQ |，即12a ·c 2－a 2＝12c ·12c ，即c 2＝2ab ，即a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2＝0，所以a ＝b ，因此C 的离心率e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝2，故选A.法三：记F (c ，0)．依题意，PQ 是以OF 为直径的圆的一条弦，因此OF 垂直平分PQ .又|PQ |＝|OF |，因此PQ 是该圆的与OF 垂直的直径，所以∠FOP ＝45°，点P的横坐标为c2，纵坐标的绝对值为c 2，于是有2×c 2＝a ，即e ＝ca＝2，即C 的离心率为2，故选A.【答案】 (1)B (2)A(1)求双曲线的离心率或其取值范围的方法①求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2直接求e .②列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．(2)双曲线的渐近线的斜率k 与离心率e 的关系：k ＝ba＝c 2－a 2a＝c 2a 2－1＝e 2－1.1．(2020·甘肃、青海、宁夏联考)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为5，则斜率为正的渐近线的斜率为( )A.32B.12C. 3D ．2解析：选D.双曲线的离心率为5，即ca ＝5，所以b a＝c 2－a 2a 2＝⎝⎛⎭⎫c a 2－1＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，故选D. 2．(2020·陕西榆林二模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，左顶点为A ，右焦点为F ，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线C 在第一象限内的交点为B ，且直线AB 的斜率为12，则C 的离心率为．解析：把x ＝c 代入双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)得y ＝b 2a ，所以B ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，又A (－a ，0)，直线AB 的斜率为12，所以b 2aa ＋c ＝12，可得a 2＋ac ＝2c 2－2a 2，即2c 2－3a 2－ac ＝0，即2e 2－3－e ＝0，因为e >1，所以e ＝32.答案：32思想方法系列14 方程思想求圆锥曲线的离心率(2020·河南洛阳一模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，F 是双曲线C 的右焦点，A 是双曲线C 的右顶点，过F 作x 轴的垂线，交双曲线于M ，N 两点．若tan ∠MAN ＝－34，则双曲线C 的离心率为( )A ．3B ．2 C.43D ． 2【解析】由题意可知 tan ∠MAN ＝－34＝2tan ∠MAF1－tan 2∠MAF ，解得tan ∠MAF ＝3，可得b 2ac －a＝3，可得c 2＋2a 2－3ac ＝0，e 2＋2－3e ＝0，因为e ＞1，所以解得e ＝2. 故选B. 【答案】 B(1)本例利用方程思想，将已知条件转化为关于e 的方程，然后求出离心率e .(2)求解椭圆、双曲线的离心率或离心率的取值范围的方法通常是根据条件列出关于a ，c 的齐次方程或不等式，然后再转化成关于e 的方程或不等式求解．已知点F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B 两点．若△ABF 2是锐角三角形，则该椭圆的离心率e 的取值范围是( )A ．(0，2－1)B ．(2－1，1)C ．(0，3－1)D ．(3－1，1)解析：选B.由题意得F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，A ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫－c ，－b2a .因为△ABF 2是锐角三角形，所以∠AF 2F 1＜45°，所以tan ∠AF 2F 1＜1，即b 2a2c ＜1.整理，得b 2＜2ac ，所以a 2－c 2＜2ac .两边同时除以a 2并整理，得e 2＋2e －1＞0，解得e ＞2－1或e ＜－2－1(舍去)．又因为0＜e ＜1，所以椭圆的离心率e 的取值范围为(2－1，1)．[基础题组练]1．(2019·高考北京卷)已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的离心率是5，则a ＝( )A. 6 B ．4 C ．2D.12解析：选D.由双曲线方程x 2a 2－y 2＝1，得b 2＝1，所以c 2＝a 2＋1. 所以5＝e 2＝c 2a 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2. 结合a >0，解得a ＝12.故选D.2．若双曲线C 1：x 22－y 28＝1与C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线相同，且双曲线C 2的焦距为45，则b ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B.由题意得，ba ＝2⇒b ＝2a ，C 2的焦距2c ＝45⇒c ＝a 2＋b 2＝25⇒b ＝4，故选B.3．设双曲线x 2－y 28＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 是双曲线上的一点，且|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．10 3B ．8 3C ．8 5D ．16 5解析：选C.依题意|F 1F 2|＝6，|PF 2|－|PF 1|＝2，因为|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，所以|PF 1|＝6，|PF 2|＝8，所以等腰三角形PF 1F 2的面积S ＝12×8×62－⎝⎛⎭⎫822＝8 5. 4．(2020·长春市质量监测(一))已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个顶点分别为A ，B ，点P 为双曲线上除A ，B 外任意一点，且点P 与点A ，B 连线的斜率分别为k 1，k 2，若k 1k 2＝3，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±xB ．y ＝±2xC ．y ＝±3xD ．y ＝±2x解析：选C.设点P (x ，y )，由题意知k 1·k 2＝y x －a ·y x ＋a ＝y 2x 2－a 2＝y 2a 2y 2b 2＝b 2a2＝3，所以其渐近线方程为y ＝±3x ，故选C.5．(2019·高考天津卷)已知抛物线y 2＝4x的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|AB |＝4|OF |(O 为原点)，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D ． 5解析：选D.由题意知F (1，0)，l ：x ＝－1，双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，则|AB |＝4|OF |＝4，而|AB |＝2×b a ，所以b a ＝2，所以e ＝ca＝a 2＋b 2a＝a 2＋4a 2a＝5，故选D.6．(2019·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是．解析：因为双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)经过点(3，4)，所以9－16b2＝1(b >0)，解得b ＝2，即双曲线方程为x 2－y 22＝1，其渐近线方程为y ＝±2x . 答案：y ＝±2x7．(2020·陕西渭南期末改编)已知方程x 24－k ＋y 2k －2＝1，若该方程表示双曲线，则k 的取值范围是，若该方程表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是．解析：方程x 24－k ＋y 2k －2＝1表示双曲线，若焦点在x 轴上，则4－k >0，k －2<0，解得k <2；若焦点在y 轴上，则4－k <0，k －2>0，解得k >4，则k 的取值范围是(－∞，2)∪(4，＋∞)．若方程表示焦点在x 轴上的椭圆，则4－k >k －2>0，即2<k <3，则k 的取值范围为(2，3)．答案：(－∞，2)∪(4，＋∞) (2，3)8．(2020·云南昆明诊断测试改编)已知点P (1，3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线上，F 为双曲线C 的右焦点，O 为原点．若∠FPO ＝90°，则双曲线C 的方程为，其离心率为．解析：因为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x ，点P (1，3)在渐近线上，所以ba ＝ 3.在Rt △OPF 中，|OP |＝（3）2＋1＝2，∠FOP ＝60°，所以|OF |＝c ＝4.又c 2＝a 2＋b 2，所以b ＝23，a ＝2，所以双曲线C 的方程为x 24－y 212＝1，离心率e ＝ca＝2.答案：x 24－y 212＝1 29．已知椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆D 有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程．解：椭圆D 的两个焦点坐标为(－5，0)，(5，0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5. 设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，所以渐近线方程为bx ±ay ＝0且a 2＋b 2＝25，又圆心M (0，5)到两条渐近线的距离为3. 所以|5a |b 2＋a2＝3，得a ＝3，b ＝4，所以双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1.10．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：点M 在以F 1F 2为直径的圆上．解：(1)因为离心率e ＝2，所以双曲线为等轴双曲线，可设其方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，则由点(4，－10)在双曲线上，可得λ＝42－(－10)2＝6，所以双曲线的方程为x 2－y 2＝6. (2)证明：因为点M (3，m )在双曲线上，所以32－m 2＝6，所以m 2＝3，又双曲线x 2－y 2＝6的焦点为F 1(－23，0)，F 2(23，0)，所以MF 1→·MF 2→＝(－23－3，－m )·(23－3，－m )＝(－3)2－(23)2＋m 2＝9－12＋3＝0，所以MF 1⊥MF 2，所以点M 在以F 1F 2为直径的圆上．[综合题组练]1．(2020·河南鹤壁高中4月模拟)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是双曲线C 右支上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝4a ，且∠F 1PF 2＝60°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A.3x ±y ＝0 B ．2x ±7y ＝0 C.3x ±2y ＝0D ．2x ±3y ＝0解析：选C.因为F 1、F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线右支上，所以由双曲线定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又知|PF 1|＋|PF 2|＝4a ，所以|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a .在△PF 1F 2中，由余弦定理可得cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|，即12＝（3a ）2＋a 2－4c 22×3a ×a，所以3a 2＝10a 2－4c 2，即4c 2＝7a 2，又知b 2＋a 2＝c 2，所以b 2a 2＝34，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±32x ，即3x ±2y ＝0，故选C.2．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为．解析：法一：因为F 1B →·F 2B →＝0，所以F 1B ⊥F 2B ，如图．所以|OF 1|＝|OB |，所以∠BF 1O ＝∠F 1BO ，所以∠BOF 2＝2∠BF 1O .因为F 1A →＝AB →，所以点A 为F 1B 的中点，又点O 为F 1F 2的中点，所以OA ∥BF 2，所以F 1B ⊥OA ，因为直线OA ，OB 为双曲线C 的两条渐近线，所以tan ∠BF 1O ＝a b ，tan ∠BOF 2＝ba .因为tan ∠BOF 2＝tan(2∠BF 1O )，所以b a ＝2×ab 1－⎝⎛⎭⎫a b 2，所以b 2＝3a 2，所以c 2－a 2＝3a 2，即2a ＝c ，所以双曲线的离心率e ＝ca＝2.法二：因为F 1B →·F 2B →＝0，所以F 1B ⊥F 2B ，在Rt △F 1BF 2中，|OB |＝|OF 2|，所以∠OBF 2＝∠OF 2B ，又F 1A →＝AB →，所以A 为F 1B 的中点，所以OA ∥F 2B ，所以∠F 1OA ＝∠OF 2B .又∠F 1OA ＝∠BOF 2，所以△OBF 2为等边三角形．由F 2(c ，0)可得B ⎝⎛⎭⎫c 2，3c 2，因为点B 在直线y ＝b a x 上，所以32c ＝b a ·c 2，所以ba＝3，所以e ＝1＋b 2a2＝2. 答案：23．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点．(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线右焦点F 2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求|AB |.解：(1)因为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点，所以⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝3，a ＝3，解得c ＝3，b ＝6，所以双曲线的方程为x 23－y 26＝1.(2)双曲线x 23－y 26＝1的右焦点为F 2(3，0)，所以经过双曲线右焦点F 2且倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33(x －3)．联立⎩⎨⎧x 23－y 26＝1，y ＝33（x －3），得5x 2＋6x －27＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－65，x 1x 2＝－275.所以|AB |＝1＋13× ⎝⎛⎭⎫－652－4×⎝⎛⎭⎫－275＝1635. 4．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(4，0)，实轴长为4 3. (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋22与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，求k 的取值范围．解：(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由已知得，a ＝23，c ＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝4，所以双曲线C 的方程为x 212－y 24＝1.(2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，将y ＝kx ＋22与x 212－y 24＝1联立，得(1－3k 2)x 2－122kx －36＝0.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝（－122k ）2＋4×（1－3k 2）×36>0，x A＋x B＝122k 1－3k 2<0，x A x B＝－361－3k2>0，解得33<k <1. 所以当33<k <1时，l 与双曲线的左支有两个交点．所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫33，1。

北师大版2021版高考数学(理)一轮复习第九章平面解析几何第7讲双曲线练习(含答案)

北师大版2021版高考数学（理）一轮复习第九章平面解析几何第7讲双曲线练习[基础题组练]1．“k <9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.因为方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线，所以(25－k )(k －9)<0，所以k <9或k >25，所以“k <9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.2．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22x D ．y ＝±32x 解析：选A.法一：由题意知，e ＝c a ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，所以b a＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±2x ，故选A.法二：由e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，得b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x ，故选A.3．(2020·广东揭阳一模)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两焦点且与x 轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为( )A.5－1 B ．5＋12C.32D ．2解析：选B.将x ＝±c 代入双曲线的方程得y 2＝b 4a 2⇒y ＝±b 2a ，则2c ＝2b 2a，即有ac ＝b 2＝c 2－a 2，由e＝c a，可得e 2－e －1＝0，解得e ＝5＋12(舍负)．故选B. 4．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±22x C ．y ＝±x D ．y ＝±2x解析：选C.如图，不妨令B 在x 轴上方，因为BC 过右焦点F (c ，0)，且垂直于x 轴，所以可求得B ，C 两点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a .又A 1，A 2的坐标分别为(－a ，0)，(a ，0)．所以A 1B →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋a ，b 2a ，A 2C →＝⎝⎛⎭⎪⎫c －a ，－b 2a . 因为A 1B ⊥A 2C ，所以A 1B →·A 2C →＝0，即(c ＋a )(c －a )－b 2a ·b 2a ＝0，即c 2－a 2－b 4a2＝0，所以b 2－b 4a 2＝0，故b 2a 2＝1，即ba＝1.又双曲线的渐近线的斜率为±ba，故该双曲线的渐近线的方程为y ＝±x .5．(2020·河北衡水三模)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F (5，0)作斜率为k (k ＜－1)的直线与双曲线过第一象限的渐近线垂直，且垂足为A ，交另一条渐近线于点B ，若S △BOF ＝53(O 为坐标原点)，则k 的值为( )A ．－ 2B ．－2C ．－ 3D ．－ 5解析：选B.由题意得双曲线过第一象限的渐近线方程为y ＝－1k x ，过第二象限的渐近线的方程为y ＝1kx ，直线FB 的方程为y ＝k (x －5)，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －5），y ＝1kx ⇒x ＝5k 2k 2－1，所以y ＝5kk 2－1，所以S △BOF＝12|OF |×|y B |＝12×5×⎪⎪⎪⎪⎪⎪5k k 2－1＝52⎝ ⎛⎭⎪⎫－k k 2－1. 令52⎝ ⎛⎭⎪⎫－k k 2－1＝53，得k ＝－2或k ＝12(舍)．故选B. 6．(2020·黄山模拟)过双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点(－5，0)，作圆(x －5)2＋y 2＝4的切线，切点在双曲线E 上，则E 的离心率等于( )A ．2 5B ． 5 C.53D ．52解析：选B.设圆的圆心为G ，双曲线的左焦点为F .由圆的方程(x －5)2＋y 2＝4，知圆心坐标为G (5，0)，半径R ＝2，则FG ＝2 5.设切点为P ，则GP ⊥FP ，PG ＝2，PF ＝2＋2a ，由|PF |2＋|PG |2＝|FG |2，即(2＋2a )2＋4＝20，即(2＋2a )2＝16，得2＋2a ＝4，a ＝1，又c ＝5，所以双曲线的离心率e ＝ca＝5，故选B.7．设F 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，若线段OF 的垂直平分线与双曲线的渐近线在第一象限内的交点到另一条渐近线的距离为12|OF |，则双曲线的离心率为( )A ．2 2B ．233C ．2 3D ．3解析：选B.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±bax ，线段OF 的垂直平分线为直线x＝c 2，将x ＝c 2代入y ＝b a x ，则y ＝bc 2a ，则交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，bc2a ，点⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，bc 2a 到直线y ＝－ba x ，即bx ＋ay ＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪bc 2＋bc 2a 2＋b 2＝12|OF |＝c2，得c ＝2b ＝2c 2－a 2，即4a 2＝3c 2，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝233，故选B.8．已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A.32 B ．3 C ．2 3D ．4解析：选B.因为双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±33x ，所以∠MON ＝60°.不妨设过点F 的直线与直线y ＝33x 交于点M ，由△OMN 为直角三角形，不妨设∠OMN ＝90°，则∠MFO ＝60°，又直线MN 过点F (2，0)，所以直线MN 的方程为y ＝－3(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3（x －2），y ＝33x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，所以|OM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3，所以|MN |＝3|OM |＝3，故选B.9．(2020·湛江模拟)设F 为双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b ＞0)的右焦点，过E 的右顶点作x 轴的垂线与E 的渐近线相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，四边形OAFB 为菱形，圆x 2＋y 2＝c 2(c 2＝a 2＋b 2)与E 在第一象限的交点是P ，且|PF |＝7－1，则双曲线E 的方程是( )A.x 26－y 22＝1 B ．x 22－y 26＝1C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝1解析：选D.双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax ，因为四边形OAFB 为菱形，所以对角线互相垂直平分，所以c ＝2a ，∠AOF ＝60°，所以ba＝ 3.则有⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 23a 2＝1，x 2＋y 2＝c 2＝4a 2，解得P ⎝⎛⎭⎪⎫72a ，32a .因为|PF |＝7－1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫72a －2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2＝(7－1)2，解得a ＝1，则b ＝3，故双曲线E 的方程为x 2－y 23＝1.故选D.10．已知双曲线x 29－y 2b2＝1(b ＞0)的左顶点为A ，虚轴长为8，右焦点为F ，且⊙F 与双曲线的渐近线相切，若过点A 作⊙F 的两条切线，切点分别为M ，N ，则|MN |＝( )A ．8B ．4 2C ．2 3D ．4 3解析：选D.因为双曲线x 29－y 2b2＝1(b ＞0)的虚轴长为8，所以2b ＝8，解得b ＝4，因为a ＝3，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±43x ，c 2＝a 2＋b 2＝25，A (－3，0)，所以c ＝5，所以F (5，0)，因为⊙F 与双曲线的渐近线相切，所以⊙F 的半径为|4×5＋0|42＋32＝4，所以|MF |＝4，因为|AF |＝a ＋c ＝3＋5＝8，所以|AM |＝82－42＝43，因为S 四边形AMFN ＝2×12|AM |·|MF |＝12|AF |·|MN |，所以2×12×43×4＝12×8|MN |，解得|MN |＝43，故选D.11．(2020·开封模拟)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的切线FM (切点为M )，交y 轴于点P ，若PM →＝2MF →，则双曲线的离心率为( )A. 2 B ．62C. 3D ．2解析：选B.设P (0，3m )，由PM →＝2MF →，可得点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23c ，m ，因为OM ⊥PF ，所以m 23c ·3m －c ＝－1，所以m 2＝29c 2，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23c ，±2c 29，由|OM |2＋|MF |2＝|OF |2，|OM |＝a ，|OF |＝c 得，a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 32＋2c 29＝c 2，a 2＝23c 2，所以e ＝c a ＝62，故选B.12．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，D 为虚轴上的一个端点，且△ABD 为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1，2)B ．(2，2＋2)C ．(2，2)D ．(1，2)∪(2＋2，＋∞)解析：选D.设双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F 1(－c ，0)，令x ＝－c ，可得y ＝±b 2a ，可设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－b 2a . 又设D (0，b )，可得AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b －b 2a ，DA →＝⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a－b ，AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2b 2a ，DB →＝⎝⎛⎭⎪⎫－c ，－b －b 2a .由△ABD 为钝角三角形，可得∠DAB 为钝角或∠ADB 为钝角．当∠DAB 为钝角时，可得AD →·AB →<0，即为0－2b 2a·⎝ ⎛⎭⎪⎫b －b 2a <0，化为a >b ，即有a 2>b 2＝c 2－a 2.可得c 2<2a 2，即e ＝c a< 2.又e >1，可得1<e <2；当∠ADB 为钝角时，可得DA →·DB →<0，即为c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a －b <0，化为c 4－4a 2c 2＋2a 4>0，由e ＝c a ，可得e 4－4e 2＋2>0.又e >1，可得e >2＋ 2.综上可得，e 的范围为(1，2)∪(2＋2，＋∞)．故选D.13．焦点在x 轴上，焦距为10，且与双曲线y 24－x 2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________．解析：设所求双曲线的标准方程为y 24－x 2＝－λ(λ>0)，即x 2λ－y 24λ＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为x 25－y 220＝1. 答案：x 25－y 220＝114．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的切线交双曲线的右支于点P ，且切点为T ，已知O 为坐标原点，M 为线段PF 1的中点(点M 在切点T 的右侧)，若△OTM 的周长为4a ，则双曲线的渐近线方程为________．解析：连接OT ，则OT ⊥F 1T ，在直角三角形OTF 1中，|F 1T |＝OF 21－OT 2＝c 2－a 2＝b .设双曲线的右焦点为F 2，连接PF 2，M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点，所以OM ＝12PF 2，所以|MO |－|MT |＝12|PF 2|－⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PF 1|－|F 1T | ＝12(|PF 2|－|PF 1|)＋b ＝12×(－2a )＋b ＝b －a . 又|MO |＋|MT |＋|TO |＝4a ，即|MO |＋|MT |＝3a ，故|MO |＝b ＋2a2，|MT |＝4a －b2，由勾股定理可得a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4a －b 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋2a 22，即b a ＝43，所以渐近线方程为y ＝±43x .答案：y ＝±43x15．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是________．解析：由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3，设F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)．因为MF 1→·MF 2→<0，所以(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0，即x 20－3＋y 20<0.因为点M (x 0，y 0)在双曲线C 上，所以x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20，所以2＋2y 20－3＋y 20<0，所以－33<y 0<33. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 16．如图，F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右两个焦点，若直线y ＝x 与双曲线C 交于P ，Q 两点，且四边形PF 1QF 2为矩形，则双曲线的离心率为________．解析：由题意可得，矩形的对角线长相等，将直线y ＝x 代入双曲线C 方程，可得x ＝±a 2b 2b 2－a 2，所以2·a 2b 2b 2－a2＝c ，所以2a 2b 2＝c 2(b 2－a 2)，即2(e 2－1)＝e 4－2e 2，所以e 4－4e 2＋2＝0.因为e >1，所以e 2＝2＋2，所以e ＝2＋ 2.答案：2＋ 2[综合题组练]1．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F (－c ，0)作圆O ：x 2＋y 2＝a 2的切线，切点为E ，延长FE交双曲线于点P ，若E 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率为( )A. 5 B ．52 C.5＋1 D ．5＋12解析：选A.法一：如图所示，不妨设E 在x 轴上方，F ′为双曲线的右焦点，连接OE ，PF ′，因为PF 是圆O 的切线，所以OE ⊥PE ，又E ，O 分别为PF ，FF ′的中点，所以|OE |＝12|PF ′|，又|OE |＝a ，所以|PF ′|＝2a ，根据双曲线的性质，|PF |－|PF ′|＝2a ，所以|PF |＝4a ，所以|EF |＝2a ，在Rt △OEF 中，|OE |2＋|EF |2＝|OF |2，即a 2＋4a 2＝c 2，所以e ＝5，故选A.法二：连接OE ，因为|OF |＝c ，|OE |＝a ，OE ⊥EF ，所以|EF |＝b ，设F ′为双曲线的右焦点，连接PF ′，因为O ，E 分别为线段FF ′，FP 的中点，所以|PF |＝2b ，|PF ′|＝2a ，所以|PF |－|PF ′|＝2a ，所以b ＝2a ，所以e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 5.2．(2020·汉中模拟)设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点，点P 是C 右支上异于顶点的任意一点，PQ 是∠F 1PF 2的平分线，过点F 1作PQ 的垂线，垂足为Q ，O 为坐标原点，则|OQ |( )A ．为定值aB ．为定值bC ．为定值cD ．不确定，随P 点位置变化而变化解析：选A.延长F 1Q ，PF 2交于点M ，则三角形PF 1M 为等腰三角形，可得Q 为F 1M 的中点，由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝|F 2M |＝2a ，由三角形中位线定理可得|OQ |＝12|F 2M |＝a ，故选A.3．以椭圆x 29＋y 25＝1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C ，其左、右焦点分别是F 1，F 2.已知点M 的坐标为(2，1)，双曲线C 上的点P (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)满足PF 1→·MF 1→|PF 1→|＝F 2F 1→·MF 1→|F 2F 1→|，则S △PMF 1－S △PMF 2＝( )A ．2B ．4C ．1D ．－1解析：选A.由题意，知双曲线方程为x 24－y 25＝1，|PF 1|－|PF 2|＝4，由PF 1→·MF 1→|PF 1→|＝F 2F 1→·MF 1→|F 2F 1→|，可得F 1P →·F 1M→|MF 1→||F 1P →|＝F 1F 2→·F 1M→|MF 1→||F 1F 2→|，即F 1M 平分∠PF 1F 2.又结合平面几何知识可得，△F 1PF 2的内心在直线x ＝2上，所以点M (2，1)就是△F 1PF 2的内心．故S △PMF 1－S △PMF 2＝12×(|PF 1|－|PF 2|)×1＝12×4×1＝2.4．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为________．解析：通解：因为F 1B →·F 2B →＝0，所以F 1B ⊥F 2B ，如图．所以|OF 1|＝|OB |，所以∠BF 1O ＝∠F 1BO ，所以∠BOF 2＝2∠BF 1O .因为F 1A →＝AB →，所以点A 为F 1B 的中点，又点O 为F 1F 2的中点，所以OA ∥BF 2，所以F 1B ⊥OA ，因为直线OA ，OB 为双曲线C 的两条渐近线，所以tan∠BF 1O ＝a b ，tan ∠BOF 2＝b a .因为tan ∠BOF 2＝tan (2∠BF 1O )，所以b a＝2×a b1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2，所以b 2＝3a 2，所以c 2－a2＝3a 2，即2a ＝c ，所以双曲线的离心率e ＝c a＝2.优解：因为F 1B →·F 2B →＝0，所以F 1B ⊥F 2B ，在Rt △F 1BF 2中，|OB |＝|OF 2|，所以∠OBF 2＝∠OF 2B ，又F 1A →＝AB →，所以A 为F 1B 的中点，所以OA ∥F 2B ，所以∠F 1OA ＝∠OF 2B .又∠F 1OA ＝∠BOF 2，所以△OBF 2为等边三角形．由F 2(c ，0)可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c2，3c 2，因为点B在直线y ＝b a x 上，所以32c ＝b a ·c 2，所以ba＝3，所以e ＝1＋b 2a2＝2.答案：25．已知双曲线C ：x 24－y 2＝1，直线l ：y ＝kx ＋m 与双曲线C 相交于A ，B 两点(A ，B 均异于左、右顶点)，且以线段AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点D ，则直线l 所过定点为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24－y 2＝1，得(1－4k 2)x 2－8kmx －4(m 2＋1)＝0，所以Δ＝64m 2k 2＋16(1－4k 2)(m 2＋1)＞0，x 1＋x 2＝8mk 1－4k 2＞0，x 1x 2＝－4（m 2＋1）1－4k 2＜0，所以y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－4k 21－4k 2. 因为以线段AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点D (－2，0)，所以k AD ·k BD ＝－1，即y 1x 1＋2·y 2x 2＋2＝－1，所以y 1y 2＋x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝0，即m 2－4k 21－4k 2＋－4（m 2＋1）1－4k 2＋16mk 1－4k2＋4＝0，所以3m 2－16mk ＋20k 2＝0，解得m ＝2k 或m ＝10k 3. 当m ＝2k 时，l 的方程为y ＝k (x ＋2)，直线过定点(－2，0)，与已知矛盾；当m ＝10k 3时，l 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋103，直线过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，0，经检验符合已知条件．故直线l 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，0. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，0 6．已知P 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)右支上的任意一点，经过点P 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别相交于A ，B 两点．若点A ，B 分别位于第一、四象限，O 为坐标原点，当AP →＝12PB →时，△AOB 的面积为2b ，则双曲线C 的实轴长为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )，由AP →＝12PB →，得(x －x 1，y －y 1)＝12(x 2－x ，y 2－y )，则x ＝23x 1＋13x 2，y ＝23y 1＋13y 2，所以（23x 1＋13x 2）2a 2－（23y 1＋13y 2）2b 2＝1. 由题意知A 在直线y ＝b a x 上，B 在y ＝－b a x 上，则y 1＝b a x 1，y 2＝－b ax 2.所以（23x 1＋13x 2）2a 2－（23y 1＋13y 2）2b 2＝1，即b 2(23x 1＋13x 2)2－a 2(2b 3a x 1－b 3ax 2)2＝a 2b 2，化简得：a 2＝89x 1x 2，由渐近线的对称性可得sin ∠AOB ＝sin 2∠AOx＝2sin ∠AOx cos ∠AOx sin 2∠AOx ＋cos 2∠AOx ＝2tan ∠AOx tan 2∠AOx ＋1＝2b a （b a）2＋1＝2ab b 2＋a 2. 所以△AOB 的面积为12|OA ||OB |sin ∠AOB ＝12x 21＋y 21·x 22＋y 22·sin ∠AOB ＝12x 21＋（b ax 1）2·x 22＋（－b a x 2）2·2ab b 2＋a 2 ＝x 1x 2·1＋（ba ）2·1＋（ba ）2·abb 2＋a 2＝98a 2·ab b 2＋a 2·[1＋(b a )2]＝98ab ＝2b ，解得a ＝169.所以双曲线C 的实轴长为329. 答案：329。

高考理科数学(北师大版)一轮复习课件第九章第7讲双曲线

双曲线的标准方程(师生共研)
(1)(一题多解)与椭圆x42＋y2＝1 共焦点且过点 P(2，1)的双曲线方程是 (
)
A.x42－y2＝1 C.x32－y32＝1
B．x22－y2＝1 D．x2－y22＝1
(2)(一题多解)若双曲线的渐近线方程为 y＝±12x，且经过点(4， 3)，则双曲线的方程为
________．
A1(0，－a)，A2(0，a)
y＝±bax
y＝±abx
c e＝____a_____，e∈(1，＋∞)
性质
实虚轴
线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a 叫做双曲线的实
半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长
a、b、c 的关系
9c2－9a2＝16a2，所以 25a2＝9c2，所以 e＝53. 答案：53
双曲线的定义(多维探究)
角度一利用定义求轨迹方程已知圆 C1：(x＋3)2＋y2＝1 和圆 C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆 M 同时与圆 C1 及圆
C2 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为____________．
1．(2020·河南非凡联盟 4 月联考)已知双曲线 C：xa22－y92＝1(a＞0)的左、右焦点分别为
F1，F2，一条渐近线与直线 4x＋3y＝0 垂直，点 M 在 C 上，且|MF2|＝6，则|MF1|＝
A．2 或 14
B．2
()
C．14
D．2 或 10
解析：选 C.由题意知3a＝34，故 a＝4，则 c＝5.由|MF2|＝6＜a＋c＝9，知点 M 在 C 的右
【解析】如图所示，设动圆 M 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于点 A 和点 B.根据两圆外切的条件，得 |MC1|－|AC1|＝|MA|， |MC2|－|BC2|＝|MB|，因为|MA|＝|MB|，所以 |MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点 M 到两定点 C1、C2 的距离的差是常数且小于 |C1C2|＝6.

2021版高考文科数学(北师大版)一轮复习教师用书：第九章第7讲双曲线Word版含答案

第 7讲双曲线一、知识梳理 1．双曲线的定义条件结论 1结论 2平面内的动点 M 与平面内的两个定点 F 1， F 2M 点的轨迹为双曲线F 1 、F 2 为双曲线的焦点|F 1F 2|为双曲线的焦距||MF 1 |－ |MF 2 ||＝ 2a2a<|F 1 F |22.双曲线的标准方程和几何性质x2 － y 2 ＝ 1 y 2－ x 2＝ 1 标准方程a 2b 2a 2b 2(a ＞ 0， b ＞ 0)(a ＞ 0，b ＞ 0)图形范围对称性极点渐近线性质离心率x ≥a 或 x ≤－ a ， y ∈ R y ≤－ a 或 y ≥ a ， x ∈R对称轴：坐标轴，对称中心：原点A 1(－ a ， 0)，A 2( a ，0)A 1(0，－ a) ，A 2(0， a)b a y ＝± xy ＝ ± xabce ＝， e ∈(1 ，＋∞ )线段 A 1A 2 叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝ 2a ；线段 B 1B 2 叫做实虚轴双曲线的虚轴，它的长 |B 1 2B |＝ 2b ； a 叫做双曲线的半实轴长， b叫做双曲线的半虚轴长a 、b 、c 的关系 c 2＝ a 2＋ b 2( c ＞ a ＞ 0， c ＞b ＞ 0)3.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为 y ＝ ±x ，离心率为 e ＝ 2.常用结论1．双曲线中的几个常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.(2)若 P 是双曲线右支上一点，F 1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则 |PF 1|min＝ a＋ c，|PF 2|min ＝c－ a.2b2(3) 同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦) ，其长为 a ，异支的弦中最短的为实轴，其长为 2a.(4)设 P， A，B 是双曲线上的三个不一样的点，此中 A， B 对于原点对称，直线 PA， PBb2斜率存在且不为0，则直线 PA 与 PB 的斜率之积为a2.2．巧设双曲线方程2 2 2 2(1)与双曲线x2 －y2 ＝1(a>0， b>0) 有共同渐近线的方程可表示为x2 －y2＝ t(t≠ 0)．a b a b(2)过已知两个点的双曲线方程可设为mx2＋ ny2＝ 1(mn<0) ．二、教材衍化1．双曲线x2 － y2 ＝－ 1 的实轴长，离心率，渐近线方程．24 257 5 6答案： 10 5 y＝±12 x2．以椭圆x2 ＋ y2 ＝ 1 的焦点为极点，极点为焦点的双曲线方程为．4 3答案：x2－y2＝1 33．经过点A(3，－ 1)，且对称轴都在座标轴上的等轴双曲线方程为．2 2 x y一、思虑辨析判断正误 (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点 F1(0 ， 4) ， F2(0，－ 4)距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线． ( )(2) 椭圆的离心率 e ∈ (0， 1)，双曲线的离心率e ∈ (1，＋∞ )． ()x 2 y 2(3)方程 m － n ＝ 1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线． ( ) (4) 等轴双曲线的渐近线相互垂直，离心率等于 2.()答案： (1)× (2) √ (3) × (4)√ 二、易错纠偏常有误区 (1)忽略双曲线定义的条件致误；(2)忽略双曲线焦点的地点致误．1．平面内到点 F 1(0 ， 4)， F 2(0，－ 4)的距离之差等于 6 的点的轨迹是．分析：由 |PF 1|－ |PF 2|＝ 6<|F 1F 2|＝ 8，得 a ＝ 3，又 c ＝4，则 b 2＝c 2－ a 2＝7，所以所求点的轨迹是双曲线y 2 x 2－＝ 1 的下支．9 722答案：双曲线 y －x＝1的下支972．坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的斜率为3，则双曲线的离心率为．分析：若双曲线的焦点在 x 轴上，22设双曲线的方程为x2－ y2＝ 1，ab 则渐近线的方程为by ＝ ± x ，a由题意可得 b＝ 3， b ＝ 3a ，a可得 c ＝2a ，则 e ＝ c＝ 2；若双曲线的焦点在y 轴上，a设双曲线的方程为 y2 － x 2 ＝ 1，22ab则渐近线的方程为ay ＝ ± x ，ba3， a ＝ 3b ，可得 c ＝ 2 3 2 3由题意可得 b ＝ 3 a ，则 e ＝ 3 .2 3 综上可得 e ＝ 2 或 e ＝ 3 .答案：2或23 3双曲线的定义及应用 (典例迁徙 )2设 F 1，F 2 是双曲线 x4 － y 2＝ 1 的焦点，点 P 在双曲线上，且知足∠ F 1PF 2＝90°，则△ F 1PF2的面积是．【分析】双曲线 x 2－ y2＝ 1 中， a＝ 2， b＝ 1， c＝ 5.可设点 P 在右支上，由双曲线的4定义可得 |PF1|－ |PF2|＝ 4，两边平方得， |PF1 |2＋ |PF2|2－ 2|PF1|· |PF2|＝ 16，又 |PF 1|2＋ |PF2|2＝(2c)2＝ 20，所以△ PF 1F 2的面积为12|PF 1|· |PF 2|＝ 1.【答案】 1【迁徙研究】(变设问 )在本例条件下，则△ F 1PF 2的周长为．分析：又 (|PF1 |＋ |PF 2|)2＝(|PF1 |－ |PF 2|)2＋ 4|PF 1|·|PF 2|＝ 16＋ 8＝ 24，所以 |PF 1|＋ |PF 2|＝26，△ PF1F2的周长为 2 6＋ 2 5.答案： 2 5＋2 6双曲线定义的应用(1)判断知足某条件的平面内动点的轨迹能否为双曲线，从而依据要求可求出曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，当∠ F1PF2＝ 90°时， S△ PF1F 2＝ b2，常利用正弦定理、余弦定理，常常联合 ||PF1 |－ |PF 2||＝ 2a，运用平方的方法，成立 |PF 1|与 |PF2|的关系．[注意 ] 在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，仍是双曲线的一支，假如双曲线的一支，则需确立是哪一支．1．设 F 1， F 2 分别是双曲线 x 2－ y 2 P 在双曲线上，且 |PF 1|＝ 6，＝ 1 的左、右焦点．若点9 则|PF 2|＝ ()A ． 6B ． 4C ．8D ．4或 8分析：选 D. 由双曲线的标准方程可得 a ＝1，则 ||PF 1|－|PF 2 ||＝ 2a ＝ 2，即 |6－ |PF 2||＝ 2，解得 |PF 2|＝4 或 8.2．已知 F 1，F 2 为双曲线 C ： x 2－ y 2＝2 的左，右焦点，点 P 在 C 上， |PF 1|＝ 2|PF 2|，则 cos ∠F 1PF 2＝．分析：由双曲线的定义有|PF 1 |－ |PF 2|＝ |PF 2|＝ 2a ＝ 2 2，所以 |PF 1|＝ 2|PF 2 |＝ 4 2，则 cos ∠ F 1PF 2 |PF 1|2＋ |PF 2|2－ |F 1F 2|2＝2|PF 1|· |PF 2 | （4 2）2＋（ 2 2）2－423. ＝ 2× 2 ＝2× 4 2 4 答案：34双曲线的标准方程 (师生共研 )(1)已知圆C 1： (x ＋3)2 ＋y 2＝ 1， C 2： (x －3) 2＋ y 2＝9，动圆 M 同时与圆 C 1 和圆 C 2 相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为 ()22A ． x 2－y＝ 1B.x－ y 2＝ 18822C ．x 2－ y＝ 1(x ≤－ 1)D ． x 2－ y＝ 1(x ≥ 1)88x 2 y 2(2)已知中心在原点，焦点在座标轴上的双曲线C 与椭圆 9 ＋ 4 ＝ 1 有同样的焦距，且一条渐近线方程为 x － 2y ＝ 0，则双曲线 C 的方程为．【分析】(1) 设动圆 M 的半径为 r ，由动圆 M 同时与圆 C 1 和圆 C 2 相外切，得 |MC 1 |＝ 1＋r ， |MC 2|＝ 3＋ r ， |MC 2|－ |MC 1|＝ 2<6 ，所以点 M 的轨迹是以点 C 1(－ 3，0)和 C 2(3，0)为焦点的双曲线的左支，且 2a ＝ 2，a ＝ 1， c ＝3，则 b 2＝ c 2－ a 2 ＝8，所以点 M 的轨迹方程为 x 2－ y 2＝1(x ≤ － 1)． 82 222x ＋ y ＝ 1 中， c ＝ 9－ 4＝5.由于双曲线 C 与椭圆x＋y＝1 有同样的焦距，(2)在椭圆 94 9 4程为x － 2y ＝ 0，所以可设双曲线方程为 x 2－ y 2＝λ(λ ≠ 0)，化为标准方程为 4x 2 y 2 x 2 － y 2＝ 1；当 λ<04λ－ λ＝ 1.当 λ>0 时，c ＝ λ＋ 4λ＝ 5，解得 λ＝ 1，则双曲线 C 的方程为 4 x 2时， c ＝－ λ－4λ＝ 5，解得 λ＝－ 1，则双曲线 C 的方程为 y 2－ 4＝ 1.综上，双曲线 C 的方22程为x － y 2＝ 1 或 y 2－ x ＝ 1. 44x 2x 2【答案】 (1)C(2) 4 － y 2＝ 1 或 y 2－ 4 ＝1求双曲线标准方程的方法(1)定义法依据双曲线的定义确立a 2，b 2 的值，再联合焦点地点，求出双曲线方程，常用的关系有：① c 2＝ a 2＋ b 2；②双曲线上随意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a.(2)待定系数法①一般步骤②常用想法2222(i) 与双曲线x2－ y2＝ 1 共渐近线的方程可设为x2－ y2＝ λ(λ≠ 0)；a bab(ii) 若双曲线的渐近线方程为bx 2 y 2 y ＝ ± x ，则双曲线的方程可设为2－2＝ λ(λ≠ 0)；aa b(iii) 若双曲线过两个已知点，则双曲线的方程可设为x 2 ＋ y 2 ＝ 1(mn<0) 或 mx 2 ＋ ny 2 ＝mn1(mn<0)．1．双曲线 C 的两焦点分别为 (－ 6， 0)， (6，0)，且经过点 (－ 5，2)，则双曲线的标准方程为 ()2222x － y＝ 1B.x－y＝ 1A. 20 420 16 y 2x 2y 2 x 2 C.20－ 16＝1D ．20－4 ＝ 1分析：选 B.2a ＝ | （－ 5＋6） 2＋ 22－（－ 5－ 6） 2＋22|＝ 4 5.所以 a ＝ 2 5，又 c ＝6，所以 b 2＝c 2－ a 2＝36－ 20＝16.所以双曲线的标准方程为 x 2－ y 2＝ 1.应选 B.20 16x 2 y 22． (2020 合·肥市第一次质检测 )设双曲线 C ：a 2－ b 2＝ 1(a>0， b>0)的虚轴长为 4，一条1 )渐近线的方程为 y ＝ x ，则双曲线 C 的方程为 (2x 2 y 2 x 2 y 2A.16－ 4 ＝ 1B. 4 － 16＝ 1222x － y＝ 1D ． x 2－ y＝ 1C.64 16 4分析：选 A. 由题意知，双曲线的虚轴长为 4，得 2b ＝ 4，即 b ＝ 2，又双曲线的焦点在 x 轴上，则其一条渐近线的方程为b1x ，可得 a ＝ 4，所以双曲线 C 的方程为 x 2 － y 2 y ＝ x ＝16 ＝ 1， a 24 应选 A.双曲线的几何性质 (多维研究 )角度一双曲线的渐近线问题(2020 吉·林第三次调研测试)已知双曲x2y2线 C：a2－b2＝1(a>0 ， b>0) 的实轴长是虚轴长的2倍，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ． y＝±2 2x B． y＝±2x2 C．y＝±2 x2 D． y＝±4 x【分析】双曲线x2y2a2－ b2＝ 1(a>0，b>0) 的实轴长为2a，虚轴长为2b，所以2a＝ 2 2b，即 a＝2b.b 2所以渐近线方程为 y＝±a x＝±2 x.应选 C.【答案】 C求双曲线的渐近线的方法x2 y2 y2 x2求双曲线a2－b2＝ 1(a>0，b>0)或a2－b2＝ 1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右侧的常数等于 0，即令 x 2 y 2 b y 2 x 2a a 2－b 2＝ 0，得 y ＝ ± x ；或令a 2－b 2＝ 0，得 y ＝± x.反之，已知渐近线方程为abb x 2 y 2y ＝± x ，可设双曲线方程为a 2－ 2＝ λ(a>0， b>0，λ≠ 0)．ab[说明 ] 两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线对于x 轴， y 轴对称．角度二双曲线的离心率问题x 2(1)(2020 兰·州市诊疗考试 )若双曲线 a 2y 23，则其虚轴长为 ()－2＝ 1(a>0， b>0) 的实轴长为 4，离心率为bA ． 8 2B ． 4 24 6C ．22D ． 32 2(2)( 一题多解 )(2019 高·考全国卷 Ⅱ )设 F 为双曲线 C ：x2－ y2＝ 1(a ＞ 0，b ＞ 0)的右焦点，a bO 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆 x 2＋y 2＝ a 2 交于 P ， Q 两点．若 |PQ|＝ |OF |，则 C 的离心率为 ()A. 2B. 3C ．2D ． 5【分析】 (1)由题意知 2a ＝4，所以 a ＝ 2.由于 e ＝ c＝3，所以 c ＝2 3，所以 b ＝ c 2－ a2a＝2 2，所以 2b ＝4 2，即该双曲线的虚轴长为4 2，应选 B.2x －c (2)法一：依题意，记 F( c ，0)，则以 OF 为直径的圆的方程为 x － c ＋ y 2＝c 2，将圆2 42 2c 2 a 2 a 2＋ y 2＝ 4 与圆 x 2＋y 2＝a 2 的方程相减得 cx ＝ a 2，即 x ＝ c ，所以点 P ，Q 的横坐标均为c .由a 22|PQ|2a 22c 2c 2a 2于 PQ 是圆 x 2＋ y 2＝ a 2 的一条弦，所以 c ＋2 ＝a 2，即 c＋ 2 ＝ a 2，即 4 ＝ a 21－ c 2a 2b 2b 2 ＝ c2 ，所以 c 2＝ 2ab ，即 a 2＋b 2－ 2ab ＝ (a －b)2＝ 0，所以 a ＝ b ，所以 C 的离心率 e ＝ 1＋ a ＝ 2，应选 A.法二：记 F(c ， 1 |OP| |PF · 11 0)．连结 OP ， PF ，则 OP ⊥ PF ，所以 S △OPF ＝|＝ |OF | ·|PQ|，22 21 1 1 即 a · c 2－ a 2＝c ·c ，即 c 2＝ 2ab ，即 a 2＋ b 2－ 2ab ＝ (a － b)2 ＝0，所以 a ＝ b ，所以 C 的离心22 2率 e ＝1＋ b 2＝ 2，应选 A.a法三：记 F(c ， 0)．依题意， PQ 是以 OF 为直径的圆的一条弦，所以 OF 垂直均分 PQ.又|PQ|＝ |OF |，所以 PQ 是该圆的与 OF 垂直的直径，所以 ∠ FOP ＝ 45° ，点 P 的横坐标为 c，2纵坐标的绝对值为c2，于是有2× c2＝a ，即e ＝ac ＝2，即 C 的离心率为 2，应选A.【答案】(1)B (2)A(1)求双曲线的离心率或其取值范围的方法c 2 a 2＋ b 2b 2①求 a ， b ， c 的值，由 a 2＝ a 2 ＝1＋ a 2直接求 e.②列出含有 a ， b ，c 的齐次方程 (或不等式 )，借助于 b 2＝ c 2－ a 2 消去 b ，而后转变成关于 e 的方程 (或不等式 )求解．222(2)双曲线的渐近线的斜率k 与离心率 e 的关系： k ＝ b ＝c － a ＝c2－ 1＝ e2－ 1.aaa221．(2020 甘·肃、青海、宁夏联考)若双曲线 x2－y2＝ 1(a>0 ，b>0) 的离心率为5，则斜率a b为正的渐近线的斜率为()3 1 A. 2 B.2 C. 3D ． 2分析：选 D. 双曲线的离心率为5，即 c＝ 5，a所以 b＝ c 2－ a2c 2－ 1＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝ ±2x ，应选 D.a 2 ＝aa2．(2020 陕·西榆林二模 )已知双曲线 C ：x 222－ y2＝ 1(a>0，b>0)，左极点为 A ，右焦点为 F ，ab过 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线C 在第一象限内的交点为B ，且直线 AB 的斜率为 1，则2C 的离心率为．2222分析：把 x ＝ c 代入双曲线： x 2 － y 2＝ 1(a>0， b>0)得 y ＝ b ，所以 B c ， b， a ba ab 2又 A(－a ， 0)，直线 AB 的斜率为 1，所以 a ＝ 1，2 a ＋c 2可得 a 2＋ac ＝ 2c 2－ 2a 2，即 2c 2 －3a 2－ ac ＝ 0，即 2e 2－ 3－e ＝ 0，由于 e>1，所以 e ＝32.答案：32思想方法系列 14 方程思想求圆锥曲线的离心率2 2(2020 河·南洛阳一模 )已知双曲线 C ： x 2－ y2＝ 1(a ＞ 0， b ＞ 0)， F 是双曲线 C 的右a b焦点， A 是双曲线 C 的右极点，过 F 作 x 轴的垂线，交双曲线于 M ，N 两点．若 tan ∠ MAN ＝－ 3，则双曲线 C 的离心率为 ()4A ． 3B ． 24C.3D ． 2【分析】由题意可知tan ∠ MAN＝－342tan ∠ MAF＝1－ tan 2∠ MAF，解得 tan∠ MAF ＝ 3，b2a可得＝ 3，可得 c2＋ 2a2－3ac＝ 0， e2＋ 2－ 3e＝ 0，由于 e＞1，所以解得 e＝ 2.应选 B.【答案】 B(1) 本例利用方程思想，将已知条件转变为对于 e 的方程，而后求出离心率 e.(2) 求解椭圆、双曲线的离心率或离心率的取值范围的方法往常是依据条件列出对于a，c 的齐次方程或不等式，而后再转变成对于 e 的方程或不等式求解．已知点 F 1 2x 2 ＋ y 2＝ 1(a，F 分别是椭圆 a 2 b2＞b ＞ 0)的左、右焦点，过 F 1 且垂直于 x 轴的直线与椭圆交于 A ，B 两点．若△ ABF 2 是锐角三角形，则该椭圆的离心率e 的取值范围是 ()A ．(0， 2－1)B ．( 2－1，1)C ．(0， 3－ 1)D ． ( 3－1，1)b 2b 2分析：选 B.由题意得 F 1(－ c ， 0)，F 2(c ， 0)， A －c ，a ，B － c ，－ a .由于 △ABF 2 是b 2a锐角三角形，所以 ∠AF 2F 1＜45° ，所以 tan ∠ AF 2F 1＜ 1，即2c ＜ 1.整理，得 b 2＜ 2ac ，所以 a 2－ c 2＜ 2ac.两边同时除以 a 2 并整理，得 e 2＋ 2e － 1＞0，解得 e ＞ 2－ 1 或 e ＜－ 2－ 1(舍去) ．又由于 0＜ e ＜ 1，所以椭圆的离心率 e 的取值范围为 (2－1， 1)．[基础题组练 ]1． (2019 ·考北京卷高 )已知双曲线 x 25，则 a ＝ ()a 2－y 2＝1(a ＞ 0)的离心率是A. 6B ． 41 C ．2D.2分析：选 D. 由双曲线方程 x2－ y 2＝ 1，a2得 b 2＝ 1，所以 c 2＝ a 2＋ 1.所以 5＝ e 2＝c 22＋ 1 ＝ 1＋ 12. 2＝a2 aa a1联合 a>0，解得 a ＝ .应选 D.2．若双曲线 C 1：x 2 222－y ＝1 与 C 2：x 2－ y2＝ 1(a>0， b>0)的渐近线同样，且双曲线C 2 的2 8a b焦距为 4 5，则 b ＝ ()A ． 2B ． 4C ．6D ． 8分析：选 B. 由题意得， b＝ 2? b ＝ 2a ， C 2 的焦距 2c ＝ 4 5? c ＝ a 2＋ b 2＝ 2 5? b ＝4，a应选 B.2－y 2＝ 1 的两个焦点为 F 1，F 2 12 3．设双曲线 x 8，P 是双曲线上的一点，且 |PF |∶ |PF |＝ 3∶ 4，则△ PF 1F 2 的面积等于 ()A ．10 3B ． 8 3C ．85D ． 16 5分析：选 C. 依题意 |F 1F 2 |＝6， |PF 2|－ |PF 1 |＝ 2，由于 |PF 1|∶ |PF 2 |＝ 3∶ 4，所以 |PF 1|＝ 6，162－ 82|PF 2|＝ 8，所以等腰三角形 PF 1 F 2 的面积 S ＝ 2 ×8×2 ＝ 8 5.4．(2020 长·春市质量监测 (一 )) 已知双曲线x 222－ y2＝ 1(a>0，b>0)的两个极点分别为 A ，B ，ab点 P 为双曲线上除 A ， B 外随意一点，且点P 与点 A ， B 连线的斜率分别为 k 1， k 2，若 k 1 k 2＝3，则双曲线的渐近线方程为()A ． y ＝ ±xB ． y ＝ ± 2xC ．y ＝ ± 3xD ． y ＝ ±2x·y＝ 2y 222分析：选 C.设点 P(x ， y)，由题意知 k 1· k 2＝y 2＝ y2 2＝ b2＝ 3，所以其x － a x ＋ a x － aa y ab 2渐近线方程为 y ＝ ± 3x ，应选 C.225． (2019 高·考天津卷 )已知抛物线y 2 ＝ 4x 的焦点为 F ，准线为 l.若 l 与双曲线 x 2－ y2＝a b1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点 A 和点 B ，且 |AB|＝4|OF |(O 为原点 )，则双曲线的离心率为 ()A. 2B. 3 C ．2D ． 5分析：选 D. 由题意知 F(1，0)，l ：x ＝－ 1，双曲线的渐近线方程为b y ＝ ± x ，则 |AB |＝ 4|OF |ab ，所以 bc a 2＋ b 2 a 2＋ 4a 25，应选 D.＝4，而 |AB|＝ 2×a ＝2，所以 e ＝＝ a ＝＝a aa26．(2019 高·考江苏卷 )在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线 x 2－ y2＝ 1(b>0) 经过点 (3，4)，b则该双曲线的渐近线方程是．2分析：由于双曲线 x 2－ y 2＝ 1(b>0) 经过点 (3，4)，所以 9－ 162＝1(b>0) ，解得 b ＝2，即bb双曲线方程为 x 2－ y 22 ＝ 1，其渐近线方程为 y ＝ ± 2x.答案： y ＝ ± 2xx 2y 2k 的取7．(2020 陕·西渭南期末改编 ) 已知方程＋＝ 1，若该方程表示双曲线，则4－ k k － 2值范围是，若该方程表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 k 的取值范围是．分析：方程 x 2＋ y 2 ＝ 1 表示双曲线，若焦点在 x 轴上，则 4－ k>0，k － 2<0 ，解得 k<2；4－ k k － 2若焦点在 y 轴上，则 4－k<0，k － 2>0，解得 k>4 ，则 k 的取值范围是 (－ ∞，2)∪ (4，＋ ∞ )．若方程表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 4－ k>k －2>0 ，即 2<k<3 ，则 k 的取值范围为 (2， 3)．答案： (－∞， 2)∪ (4，＋∞ )(2， 3)x 2 y 28．(2020 云·南昆明诊疗测试改编 )已知点 P(1， 3)在双曲线 C ：a 2－ b 2＝ 1(a>0，b>0) 的渐近线上， F 为双曲线 C 的右焦点， O 为原点．若∠ FPO ＝ 90°，则双曲线 C 的方程为，其离心率为．分析：由于双曲线x 2 y 2bC ： 2－2＝1(a>0， b>0)的渐近线方程为y ＝ ± x ，点 P(1， 3)在渐a ba近线上，所以 b＝ 3.在 Rt △ OPF 中， |OP|＝（ 3） 2＋1＝ 2，∠ FOP ＝ 60° ，所以 |OF |＝ cax 2 y 2 c ＝4.又 c 2＝ a 2＋ b 2，所以 b ＝ 2 3，a ＝ 2，所以双曲线 C 的方程为 4 －12＝ 1，离心率 e ＝ a ＝ 2.答案： x 2 y 2－＝ 1 24 12x 2 y 29．已知椭圆 D ：50＋ 25＝ 1 与圆 M ：x 2＋ (y － 5)2＝ 9，双曲线 G 与椭圆 D 有同样的焦点，它的两条渐近线恰巧与圆M 相切，求双曲线 G 的方程．解：椭圆 D 的两个焦点坐标为 (－5， 0)， (5， 0)，因此双曲线中心在原点，焦点在 x 轴上，且 c ＝5.x 2 y 2设双曲线 G 的方程为 a 2－ b 2＝ 1(a>0， b>0) ，所以渐近线方程为bx ±ay ＝0 且 a 2＋ b 2＝ 25，又圆心 M(0 ，5)到两条渐近线的距离为 3.所以 |5a|＝ 3，得 a ＝ 3， b ＝ 4，b 2＋ a 2x 2 y 2所以双曲线 G 的方程为 9 －16＝ 1.10．已知双曲线的中心在原点，焦点 F ，F在座标轴上，离心率为 2，且过点 (4，－ 10)．12(1)求双曲线方程；(2)若点 M(3， m) 在双曲线上，求证：点 M 在以 F 1F 2 为直径的圆上．解： (1)由于离心率 e ＝ 2，所以双曲线为等轴双曲线，可设其方程为 x 2－ y 2＝ λ(λ≠ 0)，则由点 (4，－ 10)在双曲线上，可得 λ＝ 42－ (－ 10)2＝6，所以双曲线的方程为 x 2－ y 2＝ 6.(2)证明：由于点 M(3， m)在双曲线上，所以 32－m 2＝ 6，所以 m 2＝3，又双曲线 x 2－ y 2＝ 6 的焦点为 F 1(－ 2 3， 0)， F 2(2 3， 0)，→ →所以 MF 1·MF 2＝ (－ 2 3－ 3，－ m) ·(2 3－ 3，－ m)＝ (－ 3)2－(2 3)2＋ m 2＝9－ 12＋ 3＝ 0，所以 MF 1⊥MF 2，所以点 M 在以 F 1F 2 为直径的圆上．[综合题组练 ]221．(2020 河·南鹤壁高中4 月模拟 )设 F 1 ，F 2 是双曲线 C ： x2－y2＝ 1(a>0，b>0) 的左、右a b焦点， P 是双曲线 C 右支上一点，若 |PF 1 |＋ |PF 2|＝ 4a ，且∠ F 1PF 2＝ 60°，则双曲线 C 的渐近线方程是 ()A. 3x ±y ＝ 0B ． 2x ± 7y ＝ 0C. 3x ±2y ＝ 0D ． 2x ± 3y ＝0分析：选 C.由于 F 1、F 2 是双曲线的左、右焦点，点 P 在双曲线右支上，所以由双曲线定义可得 |PF 1|－ |PF 2|＝ 2a ，又知 |PF 1|＋ |PF 2 |＝ 4a ，所以 |PF 1|＝ 3a ， |PF 2 |＝ a.在 △PF 1F 2 中，2 222 22由余弦定理可得 cos 60°＝ |PF 1| ＋ |PF 2| － |F 1F 2|，即 1＝（3a ）＋ a －4c，所以 3a 2＝ 10a 22|PF 1222×3a × a|· |PF |2 3，所以双曲线 C 的渐近线方程为 y ＝ ± 3－4c 2，即 4c 2＝ 7a 2，又知 b 2＋a 2＝c 2，所以 b2＝x ，a4 2即 3x ±2y ＝ 0，应选 C.222． (2019 高·考全国卷 Ⅰ)已知双曲线 C ： x2－y2＝ 1(a>0 ， b>0) 的左、右焦点分别为F 1，a bF 2，过 F 1 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A ，B 两点，若 →→ → →F 1A ＝ AB ， F 1 B ·F 2 B ＝ 0，则 C的离心率为．→→分析：法一：由于 F 1B ·F 2B ＝ 0，所以 F 1B ⊥ F 2B ，如图．→ → 所以 |OF 1|＝ |OB|，所以 ∠ BF 1O ＝ ∠F 1BO ，所以 ∠ BOF 2＝ 2∠ BF 1O.由于 F 1A ＝ AB ，所以点 A 为 F 1B 的中点，又点 O 为 F 1F 2 的中点，所以 OA ∥ BF 2 ，所以 F 1B ⊥ OA ，由于直线 OA ，1a， tan ∠ BOF 2b2＝OB 为双曲线 C 的两条渐近线，所以 tan ∠ BF O ＝ b＝ a .由于 tan ∠ BOFatan(2∠ BF 1O)，所以 b ＝ 2× b2 ，所以 b 2＝ 3a 2，所以 c 2 －a 2＝ 3a 2，即 2a ＝ c ，所以双曲线的a a1－ b离心率 e ＝ c＝ 2.a→→法二：由于 F 1B ·F 2B ＝ 0，所以 F 1B ⊥ F 2B ，在 Rt △ F 1BF 2 中，|OB|＝ |OF 2|，所以 ∠ OBF 2→ →，所以 A 为 F 1B 的中点，所以 OA ∥ F 2B ，所以 ∠ F 1OA ＝∠ OF 2B.又＝∠ OF 2B ，又F 1A ＝ AB∠F 1OA ＝ ∠ BOF 2，所以 △OBF 2 为等边三角形．由 F 2(c ，0)可得 B c ，3c，由于点 B 在直22线 y ＝ b3b c ，所以 b＝ 3，所以 e ＝ 1＋ b2x 上，所以 c ＝＝ 2.a 2 · a a 2a 2答案： 222 3．已知双曲线 C ：x2－ y2＝ 1(a>0，b>0) 的离心率为3，点 ( 3，0)是双曲线的一个极点．a b(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线右焦点 F 2 作倾斜角为 30°的直线，直线与双曲线交于不一样的两点 A ，B ，求|AB|.解： (1) 由于双曲线 C ： x 2 y 23，点 ( 3，0)是双曲线的一个－＝ 1(a>0，b>0)的离心率为a2b 2极点，c 所以 a ＝ 3，解得 c ＝3， b ＝ 6，a ＝ 3， x 2y 2所以双曲线的方程为－＝1.22x －y＝ 1 的右焦点为 F 2(2)双曲线 36(3， 0)，所以经过双曲线右焦点F 2 且倾斜角为 30°的直线的方程为y ＝ 3．3 ( x －3)x 2－ y 2 ＝ 1，3 6得 5x 2＋6x － 27＝ 0. 联立y ＝ 3（ x － 3），3627设 A(x 1， y 1)， B(x 2， y 2 )，则 x 1＋ x 2＝－ 5， x 1x 2＝－ 5.所以 |AB|＝1 － 62 －4× － 27 ＝ 163 .1＋ × 5 5 53 4．已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 (4， 0)，实轴长为 43.(1)求双曲线 C 的方程；(2)若直线 l ： y ＝ kx ＋2 2与双曲线 C 的左支交于 A ， B 两点，求 k 的取值范围．2 2解： (1)设双曲线 C 的方程为 x 2 － y2＝ 1(a>0 ， b>0) ．ab由已知得， a ＝ 2 3， c ＝ 4，再由 a 2＋ b 2＝ c 2，得 b 2＝ 4，所以双曲线 C 的方程为x 22－y ＝ 1.124(2)设 A(x A ， y A )， B(x B ， y B )，将 y ＝ kx ＋ 2 2与x 2－y 2＝1 联立，得 (1－ 3k 2)x 2－ 122kx －12436＝ 0.由题意知1－ 3k2≠0，＝（－ 122k）2＋ 4×（ 1－ 3k2）× 36>0，12 2kx A＋ x B＝1－3k2<0 ，－36x A x B＝1－3k2>0，3解得3 <k<1.3所以当3 <k<1 时， l 与双曲线的左支有两个交点．所以 k 的取值范围为3， 1 3。

2021版高考数学一轮复习第九章平面解析几何第7讲双曲线练习理北师大版

第7讲双曲线[基础题组练]1．“k <9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.因为方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线，所以(25－k )(k －9)<0，所以k <9或k >25，所以“k <9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.2．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22x D ．y ＝±32x 解析：选A.法一：由题意知，e ＝c a＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，所以b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±2x ，故选A. 法二：由e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，得b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x ，故选A.3．(2020·广东揭阳一模)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两焦点且与x 轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为( )A.5－1 B ．5＋12C.32D ．2解析：选B.将x ＝±c 代入双曲线的方程得y 2＝b 4a 2⇒y ＝±b 2a ，则2c ＝2b 2a，即有ac ＝b2＝c 2－a 2，由e ＝c a，可得e 2－e －1＝0，解得e ＝5＋12(舍负)．故选B. 4．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±22x C ．y ＝±x D ．y ＝±2x解析：选C.如图，不妨令B 在x 轴上方，因为BC 过右焦点F (c ，0)，且垂直于x 轴，所以可求得B ，C 两点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a .又A 1，A 2的坐标分别为(－a ，0)，(a ，0)．所以A 1B →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋a ，b 2a ，A 2C →＝⎝⎛⎭⎪⎫c －a ，－b 2a .因为A 1B ⊥A 2C ，所以A 1B →·A 2C →＝0，即(c ＋a )(c －a )－b 2a ·b 2a ＝0，即c 2－a 2－b 4a2＝0，所以b 2－b 4a 2＝0，故b 2a 2＝1，即ba＝1.又双曲线的渐近线的斜率为±ba，故该双曲线的渐近线的方程为y ＝±x .5．(2020·河北衡水三模)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F (5，0)作斜率为k (k ＜－1)的直线与双曲线过第一象限的渐近线垂直，且垂足为A ，交另一条渐近线于点B ，若S △BOF ＝53(O 为坐标原点)，则k 的值为( )A ．－ 2B ．－2C ．－ 3D ．－ 5解析：选B.由题意得双曲线过第一象限的渐近线方程为y ＝－1kx ，过第二象限的渐近线的方程为y ＝1kx ，直线FB 的方程为y ＝k (x －5)，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －5），y ＝1kx ⇒x ＝5k2k 2－1，所以y ＝5k k 2－1，所以S △BOF ＝12|OF |×|y B |＝12×5×⎪⎪⎪⎪⎪⎪5k k 2－1＝52⎝ ⎛⎭⎪⎫－k k 2－1. 令52⎝ ⎛⎭⎪⎫－k k 2－1＝53，得k ＝－2或k ＝12(舍)．故选B. 6．(2020·黄山模拟)过双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点(－5，0)，作圆(x －5)2＋y 2＝4的切线，切点在双曲线E 上，则E 的离心率等于( )A ．2 5B ． 5 C.53D ．52解析：选B.设圆的圆心为G ，双曲线的左焦点为F .由圆的方程(x －5)2＋y 2＝4，知圆心坐标为G (5，0)，半径R ＝2，则FG ＝2 5.设切点为P ，则GP ⊥FP ，PG ＝2，PF ＝2＋2a ，由|PF |2＋|PG |2＝|FG |2，即(2＋2a )2＋4＝20，即(2＋2a )2＝16，得2＋2a ＝4，a ＝1，又c ＝5，所以双曲线的离心率e ＝c a＝5，故选B.7．设F 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，若线段OF 的垂直平分线与双曲线的渐近线在第一象限内的交点到另一条渐近线的距离为12|OF |，则双曲线的离心率为( )A ．2 2B ．233C ．2 3D ．3解析：选B.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±bax ，线段OF 的垂直平分线为直线x ＝c 2，将x ＝c 2代入y ＝b a x ，则y ＝bc 2a ，则交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，bc2a ，点⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，bc 2a 到直线y ＝－ba x ，即bx ＋ay ＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪bc 2＋bc 2a 2＋b 2＝12|OF |＝c2，得c ＝2b ＝2c 2－a 2，即4a 2＝3c 2，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝233，故选B.8．已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A.32 B ．3 C ．2 3D ．4解析：选B.因为双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±33x ，所以∠MON ＝60°.不妨设过点F 的直线与直线y ＝33x 交于点M ，由△OMN 为直角三角形，不妨设∠OMN ＝90°，则∠MFO ＝60°，又直线MN 过点F (2，0)，所以直线MN 的方程为y ＝－3(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3（x －2），y ＝33x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，所以|OM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3，所以|MN |＝3|OM |＝3，故选B.9．(2020·湛江模拟)设F 为双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b ＞0)的右焦点，过E 的右顶点作x 轴的垂线与E 的渐近线相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，四边形OAFB 为菱形，圆x 2＋y 2＝c 2(c 2＝a 2＋b 2)与E 在第一象限的交点是P ，且|PF |＝7－1，则双曲线E 的方程是( )A.x 26－y 22＝1 B ．x 22－y 26＝1C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝1解析：选D.双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax ，因为四边形OAFB 为菱形，所以对角线互相垂直平分，所以c ＝2a ，∠AOF ＝60°，所以ba＝ 3.则有⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 23a 2＝1，x 2＋y 2＝c 2＝4a 2，解得P ⎝⎛⎭⎪⎫72a ，32a . 因为|PF |＝7－1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫72a －2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2＝(7－1)2，解得a ＝1，则b ＝3，故双曲线E 的方程为x 2－y 23＝1.故选D.10．已知双曲线x 29－y 2b2＝1(b ＞0)的左顶点为A ，虚轴长为8，右焦点为F ，且⊙F 与双曲线的渐近线相切，若过点A 作⊙F 的两条切线，切点分别为M ，N ，则|MN |＝( )A ．8B ．4 2C ．2 3D ．4 3解析：选D.因为双曲线x 29－y 2b2＝1(b ＞0)的虚轴长为8，所以2b ＝8，解得b ＝4，因为a ＝3，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±43x ，c 2＝a 2＋b 2＝25，A (－3，0)，所以c ＝5，所以F (5，0)，因为⊙F 与双曲线的渐近线相切，所以⊙F 的半径为|4×5＋0|42＋32＝4，所以|MF |＝4，因为|AF |＝a ＋c ＝3＋5＝8，所以|AM |＝82－42＝43，因为S 四边形AMFN ＝2×12|AM |·|MF |＝12|AF |·|MN |，所以2×12×43×4＝12×8|MN |，解得|MN |＝43，故选D.11．(2020·开封模拟)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 作圆x 2＋y 2＝a2的切线FM (切点为M )，交y 轴于点P ，若PM →＝2MF →，则双曲线的离心率为( )A. 2 B ．62C. 3D ．2解析：选B.设P (0，3m )，由PM →＝2MF →，可得点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23c ，m ，因为OM ⊥PF ，所以m23c ·3m －c ＝－1，所以m 2＝29c 2，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23c ，± 2c 29，由|OM |2＋|MF |2＝|OF |2，|OM |＝a ，|OF |＝c 得，a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 32＋2c 29＝c 2，a 2＝23c 2，所以e ＝c a ＝62，故选B.12．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，D 为虚轴上的一个端点，且△ABD 为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1，2)B ．(2，2＋2)C ．(2，2)D ．(1，2)∪(2＋2，＋∞)解析：选D.设双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F 1(－c ，0)，令x ＝－c ，可得y ＝±b 2a ，可设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－b 2a . 又设D (0，b )，可得AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b －b 2a ，DA →＝⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a－b ，AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2b 2a ，DB →＝⎝⎛⎭⎪⎫－c ，－b －b 2a . 由△ABD 为钝角三角形，可得∠DAB 为钝角或∠ADB 为钝角．当∠DAB 为钝角时，可得AD →·AB →<0，即为0－2b 2a·⎝ ⎛⎭⎪⎫b －b 2a <0，化为a >b ，即有a 2>b 2＝c2－a 2.可得c 2<2a 2，即e ＝c a< 2.又e >1，可得1<e <2；当∠ADB 为钝角时，可得DA →·DB →<0，即为c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a －b <0，化为c 4－4a 2c 2＋2a 4>0，由e ＝c a ，可得e 4－4e 2＋2>0.又e >1，可得e >2＋ 2.综上可得，e 的范围为(1，2)∪(2＋2，＋∞)．故选D.13．焦点在x 轴上，焦距为10，且与双曲线y 24－x 2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________．解析：设所求双曲线的标准方程为y 24－x 2＝－λ(λ>0)，即x 2λ－y 24λ＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为x 25－y 220＝1.答案：x 25－y 220＝114．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的切线交双曲线的右支于点P ，且切点为T ，已知O 为坐标原点，M 为线段PF 1的中点(点M 在切点T 的右侧)，若△OTM 的周长为4a ，则双曲线的渐近线方程为________．解析：连接OT ，则OT ⊥F 1T ，在直角三角形OTF 1中，|F 1T |＝OF 21－OT 2＝c 2－a 2＝b .设双曲线的右焦点为F 2，连接PF 2，M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点，所以OM ＝12PF 2，所以|MO |－|MT |＝12|PF 2|－⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PF 1|－|F 1T | ＝12(|PF 2|－|PF 1|)＋b ＝12×(－2a )＋b ＝b －a . 又|MO |＋|MT |＋|TO |＝4a ，即|MO |＋|MT |＝3a ，故|MO |＝b ＋2a2，|MT |＝4a －b2，由勾股定理可得a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4a －b 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋2a 22，即b a ＝43，所以渐近线方程为y ＝±43x .答案：y ＝±43x15．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是________．解析：由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3，设F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)．因为MF 1→·MF 2→<0，所以(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0，即x 20－3＋y 20<0.因为点M (x 0，y 0)在双曲线C 上，所以x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20，所以2＋2y 20－3＋y 20<0，所以－33<y 0<33. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 16．如图，F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右两个焦点，若直线y ＝x与双曲线C 交于P ，Q 两点，且四边形PF 1QF 2为矩形，则双曲线的离心率为________．解析：由题意可得，矩形的对角线长相等，将直线y ＝x 代入双曲线C 方程，可得x ＝±a 2b 2b 2－a 2，所以2·a 2b 2b 2－a2＝c ，所以2a 2b 2＝c 2(b 2－a 2)，即2(e 2－1)＝e 4－2e 2，所以e 4－4e 2＋2＝0.因为e >1，所以e 2＝2＋2，所以e ＝2＋ 2.答案：2＋ 2[综合题组练]1．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F (－c ，0)作圆O ：x 2＋y 2＝a 2的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线于点P ，若E 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率为( )A. 5B ．52 C.5＋1 D ．5＋12解析：选A.法一：如图所示，不妨设E 在x 轴上方，F ′为双曲线的右焦点，连接OE ，PF ′，因为PF 是圆O 的切线，所以OE ⊥PE ，又E ，O 分别为PF ，FF ′的中点，所以|OE |＝12|PF ′|，又|OE |＝a ，所以|PF ′|＝2a ，根据双曲线的性质，|PF |－|PF ′|＝2a ，所以|PF |＝4a ，所以|EF |＝2a ，在Rt △OEF 中，|OE |2＋|EF |2＝|OF |2，即a 2＋4a 2＝c 2，所以e ＝5，故选A.法二：连接OE ，因为|OF |＝c ，|OE |＝a ，OE ⊥EF ，所以|EF |＝b ，设F ′为双曲线的右焦点，连接PF ′，因为O ，E 分别为线段FF ′，FP 的中点，所以|PF |＝2b ，|PF ′|＝2a ，所以|PF |－|PF ′|＝2a ，所以b ＝2a ，所以e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 5. 2．(2020·汉中模拟)设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点，点P 是C 右支上异于顶点的任意一点，PQ 是∠F 1PF 2的平分线，过点F 1作PQ 的垂线，垂足为Q ，O 为坐标原点，则|OQ |( )A ．为定值aB ．为定值bC ．为定值cD ．不确定，随P 点位置变化而变化解析：选A.延长F 1Q ，PF 2交于点M ，则三角形PF 1M 为等腰三角形，可得Q 为F 1M 的中点，由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝|F 2M |＝2a ，由三角形中位线定理可得|OQ |＝12|F 2M |＝a ，故选A.3．以椭圆x 29＋y 25＝1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C ，其左、右焦点分别是F 1，F 2.已知点M 的坐标为(2，1)，双曲线C 上的点P (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)满足PF 1→·MF 1→|PF 1→|＝F 2F 1→·MF 1→|F 2F 1→|，则S △PMF 1－S △PMF 2＝( )A ．2B ．4C ．1D ．－1解析：选A.由题意，知双曲线方程为x 24－y 25＝1，|PF 1|－|PF 2|＝4，由PF 1→·MF 1→|PF 1→|＝F 2F 1→·MF 1→|F 2F 1→|，可得F 1P →·F 1M→|MF 1→||F 1P →|＝F 1F 2→·F 1M→|MF 1→||F 1F 2→|，即F 1M 平分∠PF 1F 2.又结合平面几何知识可得，△F 1PF 2的内心在直线x ＝2上，所以点M (2，1)就是△F 1PF 2的内心．故S △PMF 1－S △PMF 2＝12×(|PF 1|－|PF 2|)×1＝12×4×1＝2.4．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为________．解析：通解：因为F 1B →·F 2B →＝0，所以F 1B ⊥F 2B ，如图．所以|OF 1|＝|OB |，所以∠BF 1O ＝∠F 1BO ，所以∠BOF 2＝2∠BF 1O .因为F 1A →＝AB →，所以点A 为F 1B 的中点，又点O 为F 1F 2的中点，所以OA ∥BF 2，所以F 1B ⊥OA ，因为直线OA ，OB 为双曲线C 的两条渐近线，所以tan ∠BF 1O ＝ab ，tan ∠BOF 2＝b a.因为tan ∠BOF 2＝tan (2∠BF 1O )，所以b a＝2×a b1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2，所以b 2＝3a 2，所以c 2－a 2＝3a 2，即2a ＝c ，所以双曲线的离心率e ＝ca ＝2.优解：因为F 1B →·F 2B →＝0，所以F 1B ⊥F 2B ，在Rt △F 1BF 2中，|OB |＝|OF 2|，所以∠OBF 2＝∠OF 2B ，又F 1A →＝AB →，所以A 为F 1B 的中点，所以OA ∥F 2B ，所以∠F 1OA ＝∠OF 2B .又∠F 1OA ＝∠BOF 2，所以△OBF 2为等边三角形．由F 2(c ，0)可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c2，3c 2，因为点B 在直线y ＝b a x 上，所以32c ＝b a ·c 2，所以b a ＝3，所以e ＝1＋b 2a2＝2.答案：25．已知双曲线C ：x 24－y 2＝1，直线l ：y ＝kx ＋m 与双曲线C 相交于A ，B 两点(A ，B 均异于左、右顶点)，且以线段AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点D ，则直线l 所过定点为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24－y 2＝1，得(1－4k 2)x 2－8kmx －4(m 2＋1)＝0，所以Δ＝64m 2k 2＋16(1－4k 2)(m 2＋1)＞0，x 1＋x 2＝8mk 1－4k 2＞0，x 1x 2＝－4（m 2＋1）1－4k2＜0，所以y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－4k 21－4k2.因为以线段AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点D (－2，0)，所以k AD ·k BD ＝－1，即y 1x 1＋2·y 2x 2＋2＝－1，所以y 1y 2＋x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝0，即m 2－4k 21－4k 2＋－4（m 2＋1）1－4k 2＋16mk 1－4k2＋4＝0，所以3m 2－16mk ＋20k 2＝0，解得m ＝2k 或m ＝10k 3.当m ＝2k 时，l 的方程为y ＝k (x ＋2)，直线过定点(－2，0)，与已知矛盾；当m ＝10k 3时，l 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋103，直线过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，0，经检验符合已知条件．故直线l 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，0.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，06．已知P 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)右支上的任意一点，经过点P 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别相交于A ，B 两点．若点A ，B 分别位于第一、四象限，O 为坐标原点，当AP →＝12PB →时，△AOB 的面积为2b ，则双曲线C 的实轴长为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )，由AP →＝12PB →，得(x －x 1，y －y 1)＝12(x 2－x ，y 2－y )，则x ＝23x 1＋13x 2，y ＝23y 1＋13y 2，所以（23x 1＋13x 2）2a 2－（23y 1＋13y 2）2b2＝1. 由题意知A 在直线y ＝b a x 上，B 在y ＝－b a x 上，则y 1＝b a x 1，y 2＝－b ax 2.所以（23x 1＋13x 2）2a 2－（23y 1＋13y 2）2b 2＝1，即b 2(23x 1＋13x 2)2－a 2(2b 3a x 1－b 3a x 2)2＝a 2b 2，化简得：a 2＝89x 1x 2，由渐近线的对称性可得sin ∠AOB ＝sin 2∠AOx＝2sin ∠AOx cos ∠AOx sin 2∠AOx ＋cos 2∠AOx ＝2tan ∠AOx tan 2∠AOx ＋1＝2ba （b a）2＋1＝2abb 2＋a 2. 所以△AOB 的面积为12|OA ||OB |sin ∠AOB ＝12x 21＋y 21·x 22＋y 22·sin ∠AOB＝12x 21＋（b ax 1）2·x 22＋（－b a x 2）2·2ab b 2＋a 2＝x 1x 2·1＋（ba）2·1＋（b a）2·abb 2＋a 2＝98a 2·ab b 2＋a 2·[1＋(b a )2]＝98ab ＝2b ，解得a ＝169.所以双曲线C 的实轴长为329. 答案：329。

2023届高考数学一轮复习作业双曲线北师大版

双曲线一、选择题1．(2019·浙江高考)渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是( )A． B．1 C． D．2C　[根据渐近线方程为x±y＝0的双曲线，可得a＝b，所以c＝a，则该双曲线的离心率为e＝＝，故选C．]2．已知双曲线的方程为－＝1，则下列关于双曲线说法正确的是( )A．虚轴长为4B．焦距为2C．离心率为D．渐近线方程为2x±3y＝0D　[由题意知，双曲线－＝1的焦点在y轴上，且a2＝4，b2＝9，故c2＝13，所以选项A，B均不对；离心率e＝＝，故选项C不对；由双曲线的渐近线知选项D正确．故选D．]3．已知双曲线C：－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5，0)，则双曲线C的方程为( )A．－＝1B．－＝1C．－＝1D．－＝1C　[由题意得e＝＝，又右焦点为F2(5，0)，a2＋b2＝c2，所以a2＝16，b2＝9，故双曲线C的方程为－＝1．]4．(2020·全国卷Ⅰ)设F1，F2是双曲线C：x2－＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P 在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为( )A． B．3 C． D．2B　[法一：设F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，则由题意可知F1(－2，0)，F2(2，0)，又|OP|＝2，所以|OP|＝|OF1|＝|OF2|，所以△PF1F2是直角三角形，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝16．不妨令点P在双曲线C的右支上，则有|PF1|－|PF2|＝2，两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4，又|PF1|2＋|PF2|2＝16，所以|PF1|·|PF2|＝6，则S＝|PF1|·|PF2|＝×6＝3，故选B．法二：设F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，则由题意可知F1(－2，0)，F2(2，0)，又|OP|＝2，所以|OP|＝|OF1|＝|OF2|，所以△PF1F2是直角三角形，所以S＝＝＝3(其中θ＝∠F1PF2)，故选B．]5．已知双曲线C：－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为4x＋3y＝0，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|＝7，则|PF2|＝( )A．1 B．13 C．17 D．1或13B　[由题意知双曲线－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为4x＋3y＝0，可得＝，解得a ＝3，所以c＝＝5．又由F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|＝7，可得点P在双曲线的左支上，所以|PF2|－|PF1|＝6，可得|PF2|＝13．故选B．]6．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的顶点到其一条渐近线的距离为1，焦点到其一条渐近线的距离为，则其一条渐近线的倾斜角为( )A．30° B．45° C．60° D．120°B　[设双曲线－＝1的右顶点A(a，0)，右焦点F2(c，0)到渐近线y＝x的距离分别为1和，则有即＝．则＝＝－1＝2－1＝1，即＝1．设渐近线y＝x的倾斜角为θ，则tan θ＝＝1．所以θ＝45°，故选B．]7．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为( )A．－＝1B．－＝1C．－＝1D．－＝1B　[由y＝x，可得＝．①由椭圆＋＝1的焦点为(3，0)，(－3，0)，可得a2＋b2＝9．②由①②可得a2＝4，b2＝5．所以C的方程为－＝1．故选B．]8．圆C：x2＋y2－10y＋16＝0上有且仅有两点到双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是( )A．(，)B．C．D．(，＋1)C　[不妨设该渐近线经过第二、四象限，则该渐近线的方程为bx＋ay＝0．因为圆C：x2＋(y－5)2＝9，所以圆C的圆心为(0，5)，半径为3，所以2＜＜4，结合a2＋b2＝c2，得＜＜，所以该双曲线的离心率的取值范围是．]二、填空题9．(2021·新高考卷Ⅱ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，离心率e＝2，则双曲线C的渐近线方程为________．y＝±x　[＝＝＝，故双曲线C的渐近线方程为：y＝±x．]10．(2021·焦作模拟)已知左、右焦点分别为F1，F2的双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线l：x－2y＝0互相垂直，点P在双曲线C上，且|PF1|－|PF2|＝3，则双曲线C的焦距为________．3　[双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为y＝±x，一条渐近线与直线l：x－2y＝0相互垂直，可得＝2，即b＝2a，由双曲线的定义可得2a＝|PF1|－|PF2|＝3，可得a＝，b＝3，即有c＝＝＝，即焦距为2c＝3．]11．如图，F1和F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________．＋1　[设|F1F2|＝2c，连接AF1(图略)，∵△F2AB是等边三角形，且F1F2是⊙O的直径，∴∠AF2F1＝30°，∠F1AF2＝90°，∴|AF1|＝c，|AF2|＝c，2a＝c－c，∴e＝＝＝＋1．]12．已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)．若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．2　[由已知得|AB|＝|CD|＝，|BC|＝|AD|＝|F1F2|＝2c．因为2|AB|＝3|BC|，所以＝6c，又b2＝c2－a2，所以2e2－3e－2＝0，解得e＝2，或e＝－(舍去)．]1．(2019·全国卷Ⅰ)双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为( )A．2sin 40°B．2cos 40°C．D．D　[由题意可得－＝tan 130°，所以e＝＝＝＝＝．故选D．]2．双曲线C的渐近线方程为y＝±x，一个焦点为F(0，－8)，则该双曲线的标准方程为________．已知点A(－6，0)，若点P为C上一动点，且P点在x轴上方，当点P的位置变化时，△PAF的周长的最小值为________．－＝1　28　[∵双曲线C的渐近线方程为y＝±x，一个焦点为F(0，－8)，∴解得a＝4，b＝4．∴双曲线的标准方程为－＝1．设双曲线的上焦点为F′(0，8)，则|PF|＝|PF′|＋8，△PAF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PF′|＋|PA|＋|AF|＋8．当P点在第二象限，且A，P，F′共线时，|PF′|＋|PA|最小，最小值为|AF′|＝10．而|AF|＝10，故△PAF的周长的最小值为10＋10＋8＝28．]。

高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第7讲双曲线配套练习文北师大版

第7讲双曲线一、选择题1．(2017·郑州模拟)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±22x C ．y ＝±2xD ．y ＝±2x解析因为2b ＝2，所以b ＝1，因为2c ＝23，所以c ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x ，故选B. 答案 B2．(2015·广东卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 23＝1B.x 29－y 216＝1 C.x 216－y 29＝1 D.x 23－y 24＝1 解析因为所求双曲线的右焦点为F 2(5,0)且离心率为e ＝c a ＝54，所以c ＝5，a ＝4，b2＝c 2－a 2＝9，所以所求双曲线方程为x 216－y 29＝1，故选C.答案 C3．(2017·山西省四校联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，右焦点F 到渐近线的距离为2，点F 到原点的距离为3，则双曲线C 的离心率e 为( ) A.53 B.355 C.63 D.62解析 ∵右焦点F 到渐近线的距离为2，∴F (c,0)到y ＝bax 的距离为2，即|bc |a 2＋b 2＝2，又b ＞0，c ＞0，a 2＋b 2＝c 2，∴bc c＝b ＝2，又∵点F 到原点的距离为3，∴c ＝3，∴a ＝c 2－b 2＝5，∴离心率e ＝c a＝35＝355.答案 B4．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14B.35C.34D.45解析由x 2－y 2＝2，知a ＝b ＝2，c ＝2. 由双曲线定义，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，又|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ＝4，由余弦定理，得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝34.答案 C5．(2017·成都诊断)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.433B ．2 3C ．6D ．4 3 解析由题意知，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±3x ，将x ＝c ＝2代入得y ＝±23，即A ，B 两点的坐标分别为(2,23)，(2，－23)，所以|AB |＝4 3. 答案 D 二、填空题6．(2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 27－y 23＝1的焦距是________．解析由已知，得a 2＝7，b 2＝3，则c 2＝7＋3＝10，故焦距为2c ＝210. 答案 2107．(2016·北京卷)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________. 解析取B 为双曲线右焦点，如图所示．∵四边形OABC 为正方形且边长为2，∴c ＝|OB |＝22，又∠AOB ＝π4，∴b a ＝tan π4＝1，即a ＝b . 又a 2＋b 2＝c 2＝8，∴a ＝2. 答案 28．(2016·山东卷)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．解析由已知得|AB |＝2b 2a ，|BC |＝2c ，∴2×2b2a＝3×2c .又∵b 2＝c 2－a 2，整理得：2c 2－3ac －2a 2＝0，两边同除以a 2得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a －2＝0，即2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－1(舍去)．答案 2 三、解答题9．(2017·安徽江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)． (1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0. (1)解 ∵e ＝2，∴可设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线的方程为x 2－y 2＝6.(2)证明法一由(1)可知，a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点M (3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3，故kMF 1·kMF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2.∴MF 1→·MF 2→＝0. 法二由(1)可知，a ＝b ＝6，∴c ＝23， ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )，∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2， ∵点M (3,0)在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1→·MF 2→＝0.10．已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点． (1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →＞2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．解 (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则a 2＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1. 故C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝－62k2＋－3k2＝－k2＞0，∴k 2≠13且k 2＜1.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2.∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1.又∵OA →·OB →＞2，得x 1x 2＋y 1y 2＞2，∴3k 2＋73k 2－1＞2，即－3k 2＋93k 2－1＞0，解得13＜k 2＜3.② 由①②得13＜k 2＜1，故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1. 11．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1 解析由双曲线方程知右顶点为(a,0)，不妨设其中一条渐近线方程为y ＝bax ，因此可得点A 的坐标为(a ，b )．设右焦点为F (c,0)，由已知可知c ＝4，且|AF |＝4，即(c －a )2＋b 2＝16，所以有(c －a )2＋b 2＝c 2，又c 2＝a 2＋b 2，则c ＝2a ，即a ＝c2＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝42－22＝12.故双曲线的方程为x 24－y 212＝1，故选A.答案 A12．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上存在一点P 满足以|OP |为边长的正方形的面积等于2ab (其中O 为坐标原点)，则双曲线的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，52 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，72 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞ 解析由条件，得|OP |2＝2ab ，又P 为双曲线上一点，从而|OP |≥a ，∴2ab ≥a 2，∴2b ≥a ，又∵c 2＝a 2＋b 2≥a 2＋a 24＝54a 2，∴e ＝c a ≥52.答案 C13．(2016·浙江卷)设双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________．解析如图，由已知可得a ＝1，b ＝3，c ＝2，从而|F 1F 2|＝4，由对称性不妨设点P 在右支上，设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝m ＋2a ＝m ＋2，由于△PF 1F 2为锐角三角形，结合实际意义需满足⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2＜m 2＋42，42＜m ＋2＋m 2，解得－1＋7＜m ＜3，又|PF 1|＋|PF 2|＝2m ＋2， ∴27＜2m ＋2＜8. 答案 (27，8)14．已知双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为2x ＋y ＝0，且顶点到渐近线的距离为255.(1)求此双曲线的方程；(2)设P 为双曲线上一点，A ，B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若A P →＝P B →，求△AOB 的面积．解 (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a b ＝2，|2×0＋a |5＝255，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故双曲线的方程为y 24－x 2＝1. (2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，设A (m,2m )，B (－n,2n )，其中m ＞0，n ＞0，由A P →＝P B →得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫m －n 2，m ＋n .将点P 的坐标代入y 24－x 2＝1，整理得mn ＝1. 设∠AOB ＝2θ，∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝2，则tan θ＝12，从而sin 2θ＝45.又|OA |＝5m ，|OB |＝5n ， ∴S △AOB ＝12|OA ||OB |sin 2θ＝2mn ＝2.。

《走向高考》2012届高三数学一轮复习课件9-7(北师大版)

线方程为 3x－2y＝0，F1，F2 分别是双曲线的左、右焦点，
若|PF1|＝3，则|PF2|等于( )
A．1 或 5
B．6
C．7
• [答案]
[解析]
D．9
C
由渐近线方程 y＝32x，且 b＝3，得 a＝2，
由双曲线的定义，得|PF2|－|PF1|＝4，又|PF1|＝3，∴|PF2|＝7.
3．(2009·江西文)设 F1 和 F2 为双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0) 的两个焦点，若 F1，F2，P(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为( )
• 考纲解读
• 1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．
• 2．了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用．
• 3．理解数形结合的思想． • 考向预测
• 1．双曲线的定义、标准方程和离心率、渐近线等知识是高考考查的重点；直线与双曲线的位置关系有时也考查，但不作为重点．
则P重三角→FP1→要线＝等F1(·－位共)P→，F2置点＝1都0－关x等可02x＋系)0，和以y0(－2如通数－y01平过量)，0＝行向关P→F102、量系9＝y02(相的(－如19交运0距＝－、算0x离0，，三而、y－02点得＝y面0)共到81，积10，线解、y0、＝ 9 决10．
± 10 .
9 10 A. 10
B．±9
10 10
C．－9
10 10
• [答案] B
D．±3
10 10
• [解析] 数学高考命题重视知识的相互渗透，往往在知识点的交汇处设计试题．平面向量作为代数和几何的纽带，素有“与解析几何交汇，与立体几何联姻，与代数牵手”之美称，它与解析几何一脉相承，都设涉P(及x0，到y0数)，和由题形意，可对知于F1(－解析10，几0何)，中F2(图10形，的0)，

走向高考一轮课后强化作业北师大：第七章不等式 1 含解析

基础达标检测一、选择题1．已知条件p ：x >1，条件q ：1x ≤1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 当x >1时，一定有1x <1，因而一定有1x ≤1；但当1x ≤1时，可以推得x <0或x ≥1，所以p 是q 的充分不必要条件．2．(文)x ＝(a ＋3)(a －5)与y ＝(a ＋2)(a －4)的大小关系是( ) A ．x >y B ．x ＝y C ．x <y D ．不能确定[答案] C[解析] ∵x －y ＝a 2＋3a －5a －15－a 2－2a ＋4a ＋8 ＝－7<0，∴x <y .(理)设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( ) A ．b －a >0 B ．a 3＋b 2<0 C ．b ＋a >0D ．a 2－b 2<0[答案] C[解析] 由a －|b |>0⇒|b |<a ⇒－a 0，于是选C. 3．(2013·天津高考)设a 、b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 因为a 2≥0，而(a －b )a 2<0，所以a －b <0，即a b 2排除A ；当a ＝1，b ＝2时ab 2>a 2b ，排除B ；当b >a >0时，b a >ab 排除D ；因为1ab 2－1a 2b ＝a －b a 2b 2，a 2b 2>0，又a 0，则下列不等式成立的是( ) A ．|b －a |≥1B ．2a <2bC ．lg ab <0 D ．0b >0 ∴0<ba <1.故选D.6．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( )A ．甲先到教室B ．乙先到教室C ．两人同时到教室D ．谁先到教室不确定 [答案] B[解析] 设步行速度与跑步速度分别为v 1和v 2显然0<v 1<v 2，总路程为2s ，则甲用时间为s v 1＋s v 2，乙用时间为4sv 1＋v 2，而s v 1＋s v 2－4sv 1＋v 2＝s (v 1＋v 2)2－4s v 1v 2v 1v 2(v 1＋v 2)＝s (v 1－v 1)2v 1v 2(v 1＋v 2)>0，故s v 1＋s v 2>4s v 1＋v 2，故乙先到教室．二、填空题7．设a ＝2－5，b ＝5－2，c ＝5－25，则a ，b ，c 之间的大小关系为________．[答案] a 0，c ＝5－25＝25－20>0，且b －c ＝35－7＝45－49<0， ∴a y ，a >b ，则在①a －x >b －y ；②a ＋x >b ＋y ；③ax >by ；④x －b >y －a ；⑤a y >bx 这五个式子中，恒成立的不等式的序号是________．[答案] ②④[解析] 若x >y ，a >b ，则－x <－y ，∴a －y >b －x . 若x >y ，a >b ，则－b >－a ， ∴x －b >y －a ，即a ＋x >b ＋y ；若x >y ，a >b ，则推不出ax >by . 若x >y ，a >b ，推不出a y >bx . 综上，①③⑤错误，②④正确．9．已知a 1，a 2∈(0,1)．记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是M ________N .[答案] >[解析] M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)， ∵a 1、a 2∈(0,1)，∴(a 1－1)(a 2－1)>0，∴M >N . 三、解答题10．已知a ＋b >0，比较a b 2＋b a 2与1a ＋1b 的大小．[解析] a b 2＋b a 2－(1a ＋1b ) ＝a －b b 2＋b －a a 2 ＝(a －b )(1b 2－1a 2) ＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2∵a ＋b >0，(a －b )2≥0，∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0， ∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b .能力强化训练一、选择题1．设a >1>b >－1，则下列不等式恒成立的是( ) A.1a <1b B.1a >1b C ．a 2>1b 2D ．a >b 2[答案] D[解析] 若b <0，则1b <0，∴1a >1b ，故A 不正确．若b >0，由a >1>b >0，得1a <1b ，故B 也不正确．当a ＝2，b ＝13时，a 2＝4<9＝1b 2，∴C 也不正确． ∵－11>b 2，D 正确．2．(文)(2013·陕西高考)设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，有( )A ．[－x ]＝－[x ]B ．[x ＋12]＝[x ] C ．[2x ]＝2[x ] D ．[x ]＋[x ＋12]＝[2x ][答案] D[解析] 本题考查对取整函数的理解．可用排除法．令x ＝1.1，[－1.1]＝－2，而－[1.1]＝－1，A 错；令x ＝－12，[－12＋12]＝0，[－12]＝－1，B 错；令x ＝0.5，[2x ]＝1,2[x ]＝0，C 错；选D.(理)(2013·陕西高考)设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y ，有( )A ．[－x ]＝－[x ]B ．[2x ]＝2[x ]C ．[x ＋y ]≤[x ]＋[y ]D ．[x －y ]≤[x ]－[y ] [答案] D[解析] 取x ＝1.6，y ＝2.7，则[x ]＝[1.6]＝1，[y ]＝[2.7]＝2，[2x ]＝[3.2]＝3，[－x ]＝[－1.6]＝－2，故A 、B 错误；[x ＋y ]＝[1.6＋2.7]＝4，显然[x ＋y ]>[x ]＋[y ]，故C 错．二、填空题3．已知－1＜x ＋y ＜4且2＜x －y ＜3，则z ＝2x －3y 的取值范围是__________．(答案用区间表示)[答案] (3,8)[解析] 考查不等式中整体范围的求解．令2x －3y ＝m (x ＋y )＋n (x －y ) ＝(m ＋n )x ＋(m －n )y∴⎩⎨⎧2＝m ＋n －3＝m －n，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12n ＝52.∴z ＝2x －3y ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )， ∵－1＜x ＋y ＜4,2＜x －y ＜3，∴－2＜－12(x ＋y )＜12，5＜52(x －y )＜152， ∴3＜－12(x ＋y )＋52(x －y )＜8，故z ∈(3,8)．4．(文)(2012·西安模拟)比较大小：lg9·lg11________1(填“>”“<”或“＝”)．[答案] <[解析] lg9·lg11<⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫lg9＋lg1122＝lg 2994<lg 21004＝1. (理)(2012·宜春模拟)已知0<x <y <a <1，设m ＝log a x ＋log a y ，则m 的取值范围为________．[答案] (2，＋∞)[解析] 由0<x <y <a <1知0<xy <a 2，且y ＝log a x 在(0，＋∞)上为减函数，又m ＝log a x ＋log a y ＝log a (xy )>log a a 2＝2，故m >2.三、解答题5．已知a ≠1且a ∈R ，试比较11－a 与1＋a 的大小．[解析] ∵11－a －(1＋a )＝a 21－a ，(1)当a ＝0时，a 21－a ＝0，∴11－a＝1＋a .(2)当a <1时，且a ≠0时，a 21－a >0，∴11－a >1＋a .(3)当a >1时，a 21－a <0，∴11－a<1＋a .6．建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比不应小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好．问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由．[分析] 要确定住宅采光条件是变好了，还是变坏了，就是要比较原来窗户面积和地板面积的比值与窗户面积和地板面积增加以后的比值哪个大哪个小．如果是增加了面积以后的窗户面积和地板面积的比值大，则采光条件变好了，否则采光条件变坏或没变．[解析] 设原来的窗户面积与地板面积分别为a ，b ，于是原来窗户面积与地板面积之比为a b ，且ab ≥10%.窗户面积和地板面积同时增加的面积为c ，则现有窗户面积与地板面积比为a ＋c b ＋c，因此要确定采光条件的好坏，就转化成比较a b 与a ＋cb ＋c的大小，采用作差比较法．a ＋cb ＋c －a b ＝(b －a )c(b ＋c )b. 因为a >0，b >0，c >0，又由题设条件可知a a b ≥10%.所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了．。

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"【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 9-7双曲线课后强化作业北师大版 "基础达标检测一、选择题1．设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1[答案] C[解析] 本小题考查内容为双曲线的渐近线．双曲线的渐近线方程为y ＝±3a x ，比较y ＝±32x ，∴a ＝2.2．(2013·福建高考)双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )A.25B.45 C.255 D.455[答案] C[解析] 本题考查双曲线的渐近线及点到直线的距离公式．不妨设顶点(2,0)，渐近线y ＝x2，即x －2y ＝0，∴d ＝|2|5＝255.3．如果双曲线x 24－y 212＝1上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么点P 到它的左焦点的距离是( )A ．4B ．12C ．4或12D ．不确定[答案] C[解析] 由双曲线方程，得a ＝2，c ＝4. 根据双曲线的定义|PF 1|－|PF 2|＝±2a ，则|PF 1|＝|PF 2|±2a ＝8±4，∴|PF 1|＝4或12，经检验二者都符合题意．4．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22xD ．y ＝±12x[答案] C[解析] 由题意可得2b ＝2,2c ＝23， ∴b ＝1，c ＝3，故a 2＝c 2－b 2＝2.所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±12x ＝±22x .5．过双曲线x 2－y 2＝8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |＝7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是( )A ．28B ．14－8 2C ．14＋8 2D ．8 2[答案] C[解析] |PF 2|＋|PQ |＋|QF 2| ＝|PF 2|－|PF 1|＋|QF 2|－|QF 1|＋2|PQ | ＝14＋8 2.6．设F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|等于( )A.10 B ．210 C. 5 D ．2 5[答案] B[解析] 由题意知：F 1(－10，0)，F 2(10，0)， 2c ＝210，2a ＝2.∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1⊥PF 2，∴|PF 1→|＝2PO ＝|F 1F 2|， ∴|PF 1→＋PF 2→|＝210. 二、填空题7．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝________.[答案] 16[解析] 本题考查双曲线的标准方程以及a 、b 、c 基本量的关系和运算．根据标准方程可知，a 2＝m ，b 2＝9，而c ＝5， ∴c 2＝a 2＋b 2，∴52＝m ＋9.∴m ＝16.8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．[答案] 2[解析] 本题考查双曲线的标准方程以及离心率等知识．由双曲线标准方程x 2m －y 2m 2＋4＝1知a 2＝m >0，b 2＝m 2＋4，∴c 2＝a 2＋b 2＝m ＋m 2＋4，由e ＝5得c 2a2＝5，∴m >0且m ＋m 2＋4m＝5，∴m ＝2.9．(2013·辽宁高考)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点，若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．[答案] 44 [解析] 如图，由双曲线方程知，b ＝4，a ＝3，c ＝5，则虚轴长为8，则|PQ |＝16.由左焦点F (－5,0)，且A 恰为右焦点知，线段PQ 过双曲线的右焦点，则|PF |＝|P A |＋2a ＝|P A |＋6，|QF |＝|QA |＋6，所以|PF |＋|QF |＝|PQ |＋12＝4b ＋12＝28，∴△PQF 的周长为28＋16＝44. 三、解答题10．根据下列条件求双曲线的标准方程．(1)已知双曲线的渐近线方程为y ＝±23x ，且过点M (92，－1)；(2)与椭圆x 249＋y 224＝1有公共焦点，且离心率e ＝54.[解析] (1)∵双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0， ∴可设双曲线的方程为4x 2－9y 2＝λ(λ≠0)．又 ∵双曲线过点M ⎝⎛⎭⎫92，－1，∴λ＝4×814－9＝72. ∴双曲线方程为4x 2－9y 2＝72，即x 218－y 28＝1.(2)解法1(设标准方程)由椭圆方程可得焦点坐标为(－5,0)，(5,0)，即c ＝5且焦点在x 轴上， ∴可设双曲线的标准方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，且c ＝5. 又e ＝c a ＝54，∴a ＝4，∴b 2＝c 2－a 2＝9.∴双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.解法2(设共焦点双曲线系方程) ∵椭圆的焦点在x 轴上，∴可设双曲线方程为x 249－λ－y 2λ－24＝1(24<λ<49)．又e ＝54，∴λ－2449－λ＝2516－1，解得λ＝33.∴双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.能力强化训练一、选择题1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A.x 25－y 24＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 23－y 26＝1 D.x 26－y 23＝1 [答案] A[解析] ∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax ，圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，∴圆心为C (3,0)．又渐近线方程与圆C 相切，即直线bx －ay ＝0与圆C 相切， ∴3b a 2＋b2＝2，∴5b 2＝4a 2.① 又∵x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点F 2(a 2＋b 2，0)为圆心C (3,0)，∴a 2＋b 2＝9.② 由①②得a 2＝5，b 2＝4.∴双曲线的标准方程为x 25－y 24＝1.2．(文)(2013·新课标Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x[答案] C[解析] 本题考查双曲线渐近线方程．由题意得c a ＝52，即c ＝52a ，而c 2＝a 2＋b 2，所以a 2＋b 2＝54a 2，b 2＝14a 2，b 2a 2＝14，所以b a ＝12，渐近线的方程为y ＝±12x ，选C.在解答此类问题时，要充分利用a 、b 、c 的关系．(理)(2013·浙江高考)如图，F 1、F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62[答案] D[解析] 不妨设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1.由题意知|BF 1|－|BF 2|＝2a ⇒|BF 1|2＋|BF 2|2－2|BF 1|·|BF 2|＝4a 2，① 并由勾股定理得|BF 1|2＋|BF 2|2＝4c 2＝12，② 由①②知12－4a 2＝2|BF 1|·|BF 2|，∴|BF 1|·|BF 2|＝6－2a 2.下面求|BF 1|·|BF 2|的值．在椭圆中|BF 1|＋|BF 2|＝4，故|BF 1|2＋|BF 2|2＋2|BF 1|·|BF 2|＝16，又由②知|BF 1|2＋|BF 2|2＝4c 2＝12， ∴|BF 1|·|BF 2|＝2，因此有c 2－a 2＝1， ∵c 2＝3，∴a 2＝2，∴C 2的离心率e ＝c a ＝62.二、填空题3．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为________．[答案] 4[解析] 设C ：x 2a 2－y 2a2＝1.∵抛物线y 2＝16x 的准线为x ＝－4，联立x 2a 2－y 2a2＝1和x ＝－4.得A (－4，16－a 2)，B (－4，－16－a 2)， ∴|AB |＝216－a 2＝43，∴a ＝2，∴2a ＝4. ∴C 的实轴长为4.4．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被点(b2，0)分成两段，则此双曲线的离心率为________．[答案]52121[解析] ∵(b2＋cc －b 2)＝∴c ＝52b ，a ＝c 2－b 2＝212b ，e ＝c a ＝521＝52121. 三、解答题5．已知点A (－3，0)和点B (3，0)，动点C 到A 、B 两点的距离之差的绝对值为2，点C 的轨迹与直线y ＝x －2交于D 、E 两点，求线段DE 的长．[分析] 求双曲线方程，联立方程组，结合根与系数的关系求弦长．[解析] 设点C (x ，y )，则|CA |－|CB |＝±2，根据双曲线的定义，可知点C 的轨迹是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1.(a >0，b >0) 由2a ＝2,2c ＝|AB |＝23，得a 2＝1，b 2＝2，故点C 的轨迹方程是x 2－y 22＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 22＝1y ＝x －2，消去y 并整理得x 2＋4x －6＝0. 因为Δ>0，所以直线与双曲线有两个交点．设D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝－6，故|DE |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4 5.[点评] (1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长．(2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式．(3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况．6．(文)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积．[分析] 由离心率为2可看出它是等轴双曲线；从此隐含条件入手，可使运算变得简单． [解析] (1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ∵过(4，－10)点，∴16－10＝λ，即λ＝6， ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证法1：由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m 3－23，kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点(3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3.故kMF 1·kMF 2＝－1，∴MF 1→⊥MF 2→.∴MF 1→·MF 2→＝0.证法2：∵MF 1→＝(－3－23，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )， ∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2， ∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1→·MF 2→＝0.(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝43，△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝6.[点评] 双曲线的标准方程和几何性质中涉及很多基本量，如“a ，b ，c ，e ”等，树立基本量思想对于确定双曲线方程和认识其几何性质有很大帮助．(理)已知椭圆x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1>b 1>0)与双曲线x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2>0，b 2>0)有公共焦点F 1、F 2，设P 是它们的一个交点．(1)试用b 1，b 2表示△F 1PF 2的面积；(2)当b 1＋b 2＝m (m >0)是常数时，求△F 1PF 2的面积的最大值．[解析] (1)如图所示，令∠F 1PF 2＝θ.因|F 1F 2|＝2c ，则a 21－b 21＝a 22＋b 22＝c 2.即a 21－a 22＝b 21＋b 22.由椭圆、双曲线定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2(令|PF 1|>|PF 2|)，所以|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2， cos θ＝|PF 1|2＋|PF 2|2－4c 22|PF 1|·|PF 2|＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 21－b 21)－2(a 22＋b 22)2(a 21－a 22) ＝b 21－b 22a 21－a 22＝b 21－b 22b 21＋b 22.所以sin θ＝2b 1b 2b 21＋b 22.所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin θ＝12(a 21－a 22)·2b 1b 2b 21＋b 22＝b 1b 2. (2)当b 1＋b 2＝m (m >0)为常数时 S △F 1PF 2＝b 1b 2≤(b 1＋b 22)2＝m 24，所以△F 1PF 2面积的最大值为m 24.。

【走向高考】高考数学一轮总复习 9-7双曲线课后强化作业 北师大版

高中数学一轮复习(含答案) 9.7 双曲线

【2016届走向高考】高三数学一轮(北师大版)课件：第9章 第7节 双曲线