2016_2017学年高中数学第1章导数及其应用1.5.1_1.5.2定积分学案

1.5.1 曲边梯形的面积
1.5.2 定积分
1．了解定积分的概念及“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法，求定积分． 2．理解定积分的几何意义，会求曲边梯形的面积．
[基础²初探]
教材整理1 曲边梯形的面积
阅读教材P 41～P 45“例2”以上部分，完成下列问题． 1．曲边梯形的面积
将已知区间[a ，b ]等分成n 个小区间，当分点非常多(n 很大)时，可以认为f (x )在小区间上几乎没有变化(或变化非常小)，从而可以取小区间内任意一点x i 对应的函数值f (x i )作为小矩形一边的长．于是，可用f (x i )Δx 来近似表示小曲边梯形的面积，这样，和式f (x 1)Δx ＋f (x 2)Δx ＋…＋f (x n )Δx 表示了曲边梯形面积的近似值．
图1­5­1
2．求曲边梯形的面积的步骤
求曲边梯形面积的过程可以用流程图表示为：
由直线x ＝1，y ＝0，x ＝0和曲线y ＝x 3
所围成的曲边梯形，将区间4等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的右端点)是________．
【解析】 将区间[0,1]四等分，得到4个小区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14，⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34，⎣⎢⎡⎦
⎥⎤34，1，
以每个小区间右端点的函数值为高，4个小矩形的面积和为曲边梯形面积的近似值
S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫143³14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123³14＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫34
3³14＋13³14＝2564
.
【答案】
25
64
教材整理2 定积分
阅读教材P 47“例1”以上部分，完成下列问题．
一般地，设函数f (x )在区间[a ，b ]上有定义，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，每个
小区间长度为Δx ⎝
⎛⎭
⎪⎫
Δx ＝
b －a n ，在每个小区间上取一点，依次为x 1，x 2，…，x i ，…，x n .作和S n ＝f (x 1)Δx ＋f (x 2)Δx ＋…＋f (x i )Δx ＋…＋f (x n )Δx .
如果当Δx →0(亦即n →＋∞)时，S n →S (常数)，那么称常数S 为函数f (x )在区间[a ，
b ]上的定积分．记为S ＝_⎠⎛a
b f(x)d x.
其中，f (x )称为被积函数，[a ，b ]称为积分区间，a 称为积分下限，b 称为积分上限．
⎠⎛1
2
(x ＋1)d x 的值与直线x ＝1，
x ＝2，y ＝0，f (x )＝x ＋1围成的梯形的面积有什么关系？ 【解析】 由定积分的概念知：二者相等． 教材整理3 定积分的几何意义
阅读教材P 48“例2”以上部分，完成下列问题．
一般地，定积分的几何意义是在区间[a ，b ]上曲线与x 轴所围图形面积的代数和(即x 轴上方的面积减去x 轴下方的面积．)
判断(正确的打“√”，错误的打“³”) (1)⎠⎛a b f (x )dx ＝⎠⎛a
b f (t )d t.( )
(2)⎠⎛a b f (x )dx 的值一定是一个正数．( ) (3)⎠⎛a
b (x 2
＋2x )dx ＝⎠⎛a b x 2dx ＋⎠⎛a
b 2x
dx .( )
【答案】 (1)√ (2)³ (3)√
[质疑²手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_______________________________________________ 解惑：_______________________________________________ 疑问2：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________ 疑问3：_______________________________________________ 解
惑
：
_______________________________________________
[小组合作型]
求由直线＝0，＝1，＝0和曲线＝(－1)围成的图形面积． 【精彩点拨】 按分割、以值代曲、作和、逼近四个步骤进行求解． 【自主解答】 (1)分割
将曲边梯形分割成n 个小曲边梯形，用分点1n ，2n ，…，n －1
n
把区间[0,1]等分成n 个小
区间：
⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ，2n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，…，⎣⎢⎡⎦
⎥⎤n －1n ，n n ， 简写作⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )．
每个小区间的长度为Δx ＝i n －
i －1n ＝1
n
.过各分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个
小曲边梯形，它们的面积分别记作：ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS i ，…，ΔS n .
(2)以直代曲
用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积，在小区间⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤i －1n ，i n 上任取一点ξi
(i ＝
1,2，…，n )，为了计算方便，取ξi 为小区间的左端点，用f (ξi )的相反数－f (ξi )＝－⎝
⎛⎭
⎪⎫
i －1n ⎝ ⎛⎭
⎪⎫i －1n －1为其一边长，以小区间长度Δx ＝1n 为另一边长的小矩形对应的面积近似代替第i 个小曲边梯形面积，可以近似地表示为
ΔS i ≈－f (ξi )Δx ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n ⎝ ⎛⎭
⎪⎫i －1n －1²1n (i ＝1,2，…，n )．
(3)作和
因为每一个小矩形的面积都可以作为相应小曲边梯形面积的近似值，所以n 个小矩形面积的和就是曲边梯形面积S 的近似值，即
S ＝∑i ＝1
n
ΔS i ≈－∑i ＝1
n
f (ξi )Δx
＝∑i ＝1
n
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－⎝
⎛⎭⎪⎫i －1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n －1²1n
＝－1n 3[02＋12＋22＋…＋(n －1)2
]＋1n
2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]
＝－1
n 3²16n (n －1)(2n －1)＋1n 2²n n －1 2＝－－n 2
＋16n 2
＝－16⎝ ⎛⎭
⎪⎫1n 2－1. (4)逼近
当分割无限变细，即Δx →0时，n →∞， 此时－16⎝ ⎛⎭⎪⎫1n 2－1→1
6
.从而有
S ＝16
.
所以由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x (x －1)围成的图形面积为16
.
由极限法求曲边梯形的面积的步骤
(1)分割．在区间[a ，b ]中等间隔地插入n －1个分点，将其等分成n 个小区间[x i －1，x i ](i ＝1,2，…，n )，小区间的长度Δx i ＝x i －x i －1.
(2)以直代曲．“以直代曲”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出小曲边梯形面积的近似值．
(3)作和．将n 个小矩形的面积进行求和得S n . (4)逼近．当n →∞时，S n →S ，S 即为所求．
[再练一题]
1．求由直线x ＝1，x ＝2，y ＝0及曲线y ＝1
x
2围成的图形的面积S .
【导学号：01580023】
【解】 (1)分割
在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个点，将它等分成n 个小区间：⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤
1，
n ＋1n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋1n ，n ＋2n ，…，⎣⎢⎡⎦
⎥⎤n ＋n －1n ，2，
记第i 个区间为⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n (i ＝1,2，…，n )，其长度为Δx ＝n ＋i n －n ＋i －1n ＝1n .
分别过上述n －1个分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形(如图)，它们
的面积分别记作：ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n ，则小曲边梯形面积的和为S ＝∑i ＝1
n
ΔS i ，
(2)以值代曲
记f (x )＝1x
2.当n 很大，即Δx 很小时，在区间⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤n ＋i －1n
，n ＋i n 上，可以认为f (x )＝1
x
2
的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它等于
f ⎝
⎛⎭
⎪⎫
n ＋i －1n ²n ＋i n . 从图形上看，就是用平行于x 轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边．这样，在区间
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n 上，用小矩形面积ΔS i ′近似地代替ΔS i
，即在局部小范围内“以直代
曲”，则有ΔS i
≈ΔS i ′＝f ⎝
⎛⎭
⎪⎫
n ＋i －1n ²n ＋i n Δx ＝ n 2
n ＋i －1 n ＋i ²1n ＝n n ＋i －1 n ＋i
(i ＝1,2，…，n )． (3)作和
小曲边梯形的面积和S n ＝∑i ＝1
n
ΔS i ≈∑i ＝1
n
ΔS i ′＝∑i ＝1
n
n n ＋i －1 n ＋i ＝n
n n ＋1
＋
n n ＋1 n ＋2 ＋…＋n
n ＋n －1 n ＋n
＝n ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1n －1n ＋1＋1n ＋1－1n ＋2＋…＋1n ＋n －1－1n ＋n
＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －12n ＝12
. 从而得到S 的近似值S ≈S n ＝1
2.
(4)逼近
当分割无限变细，即Δx →0时，S n →1
2
所以由直线x ＝1，x ＝2，y ＝0及曲线y ＝1x 2围成的图形的面积S 为1
2.
利用定积分的几何意义求下列定积分．
(1)⎠⎛－33 9－x 2
dx ；(2)⎠⎛0
3(2x ＋1)dx ；
(3)⎠⎛－1
1 (x 3
＋3x )dx .
【精彩点拨】 对于本题(1)、(2)可先确定被积函数、积分区间，画出图形，然后用几何法求出图形面积，从而确定定积分的值；对于(3)可根据被积函数的奇偶性求解．
【自主解答】 (1)曲线y ＝9－x 2
表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆如图(1)所示．
其面积为S ＝12²π²32
＝92π.
由定积分的几何意义知⎠⎛－3
3
9－x 2
dx ＝92
π.
(2)曲线f (x )＝2x ＋1为一条直线.⎠⎛0
3(2x ＋1)d x 表示直线f (x )＝2x ＋1，x ＝0，x ＝3围
成的直角梯形OABC 的面积，如图(2)．
其面积为S ＝1
2
(1＋7)³3＝12.
根据定积分的几何意义知⎠⎛0
3(2x ＋1)dx ＝12.
(3)∵y ＝x 3
＋3x 在区间[－1,1]上为奇函数，图象关于原点对称，
∴曲边梯形在x 轴上方部分面积与x 轴下方部分面积相等．由定积分的几何意义知⎠⎛-1
1
(x 3
＋3x )dx ＝0.
1．定积分几何意义的应用
(1)利用定积分的几何意义求⎠⎛a
b f (x )dx 的值的关键是确定由曲线y ＝f (x )，直线x ＝a ，
x ＝b 及y ＝0所围成的平面图形的形状．常见的图形有三角形、直角梯形、矩形、圆等可求
面积的平面图形．
(2)不规则的图形常利用分割法将图形分割成几个容易求定积分的图形求面积，要注意分割点要确定准确．
2．奇、偶函数在区间[－a ，a ]上的定积分
(1)若奇函数y ＝f (x )的图象在[－a ，a ]上连续，则⎠⎛－a a f (x )dx ＝0.
(2)若偶函数y ＝f (x )的图象在[－a ，a ]上连续，则⎠⎛－a
a f (x )dx ＝2⎠⎛0
a f (x )dx .
[再练一题] 2．上例(1)中变为
9－x 2dx ，如何求解？
【解】 由y ＝9－x 2，知x 2＋y 2
＝9(y ≥0)，x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－32，32，
其图象如图所示：
由定积分的几何意义，知
9－x 2dx 等于圆心角为60°的弓形CED 的面积与矩形
ABCD 的面积之和．
S 弓形＝12³π3
³32－12
³3³
332＝6π－93
4
，
S 矩形＝|AB |³|BC |＝2³32
³
9－⎝ ⎛⎭
⎪⎫322＝
932， ∴
9－x 2
dx ＝6π－934＋932＝6π＋93
4
. [探究共研型]
探究1 【提示】 可先把每一段函数的定积分求出后再相加． 探究2 怎样求奇(偶)函数在区间[a ，b ]上的定积分？ 【提示】 ①若奇函数y ＝f (x )的图象在[－a ，a ]上连续， 则⎠⎛-a
a －af (x )dx ＝0；
②若偶函数y ＝g (x )的图象在[－a ，a ]上连续， 则⎠⎛-a a g (x )dx ＝2⎠⎛0
a g (x )dx .
利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区域的面积． (1)y ＝0，y ＝x ，x ＝2； (2)y ＝x －2，x ＝y 2
.
【精彩点拨】 由定积分的几何意义，作出图形，分割区间表示． 【自主解答】 (1)曲线所围成的平面区域如图(1)所示． 设此面积为S ，则S ＝⎠⎛02(x －0)dx ＝⎠⎛0
2xdx .
(1) (2)
(2)曲线所围成的平面区域如图(2)所示． 设面积为S ，则S ＝A 1＋A 2.
因为A 1由y ＝x ，y ＝－x ，x ＝1围成，
A 2由y ＝x ，y ＝x －2，x ＝1和x ＝4围成，
所以A 1＝⎠⎛01[x －(－x )]dx ＝⎠⎛0
12xdx ，
A 2＝⎠⎛14[x －(x －2)]dx ＝⎠⎛1
4(x －x ＋2)dx .
故S ＝⎠⎛012x dx ＋⎠⎛1
4(x －x ＋2)dx .
利用定积分的性质求定积分的技巧
灵活应用定积分的性质解题，可以把比较复杂的函数拆成几个简单函数，把积分区间分割成可以求积分的几段，进而把未知的问题转化为已知的问题，在运算方面更加简洁．应用时注意性质的推广：
(1)⎠⎛a
b [f 1(x )±f 2(x )±…±f n (x )]dx
＝⎠⎛a b f 1(x )dx ±⎠⎛a b f 2(x )dx ±…±⎠⎛a
b f n (x )dx ；
(2)⎠⎛a b f (x )dx ＝⎠⎛a C 1∫c 1a f (x )dx ＋⎠⎛c 1c 2f (x )dx ＋…＋⎠⎛Cn
b f (x )dx (其中a <
c 1<c 2<…<c n <b ，n ∈
N *)．
[再练一题]
3．已知⎠
⎛0
e
xdx ＝e 2
2，⎠⎛0
e x 2
dx ＝e 3
3，求下列定积分的值．
(1)⎠⎛0e (2x ＋x 2)dx ；(2)⎠⎛0
e (2x 2
－x ＋1)dx .
【解】 (1)⎠⎛0
e (2x ＋x 2
)dx
＝2⎠⎛0e xdx ＋⎠⎛0
e x 2
dx
＝2³e 22＋e 3
3＝e 2
＋e 3
3.
(2)⎠⎛0
e (2x 2
－x ＋1)dx ＝
2⎠⎛0e x 2
dx －⎠⎛0
e xdx ＋⎠⎛0
e 1dx ，
因为已知⎠
⎛0
e xdx ＝e 2
2，⎠⎛0
e x 2
dx ＝e 3
3，
又由定积分的几何意义知，⎠⎛0
e 1dx 等于直线x ＝0，x ＝e ，y ＝0，y ＝1所围成的图形的
面积，
所以⎠⎛0
e 1dx ＝1³e ＝e ，
故⎠
⎛0
e (2x 2
－x ＋1)dx ＝2³e 33－e 2
2＋e ＝23e 3－12e 2
＋e .
[构建²体系]
1．在计算由曲线y ＝－x 2
以及直线x ＝－1，x ＝1，y ＝0所围成的图形面积时，若将区间[－1,1]n 等分，则每个小区间的长度为__________.
【导学号：01580024】
【解析】 每个小区间长度为1－ －1 n ＝2
n
.
【答案】 2n
2．在求直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2
所围成的曲边三角形的面积时，把区间[0,2]等分成n 个小区间，则第i 个小区间是________．
【解析】 将区间[0,2]等分为n 个小区间后，每个小区间的长度为2
n
，第i 个小区间为
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2 i －1 n ，2i n . 【答案】 ⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤2 i －1 n ，2i n
3．由y ＝sin x ，x ＝0，x ＝π
2
，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是________．
【解析】 ∵0＜x ＜π2
，∴sin x ＞0. ∴y ＝sin x ，x ＝0，x ＝π2，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式为sin x d x.
【答案】 sin xdx
4．若⎠⎛a b [f (x )＋g (x )]dx ＝3，⎠⎛a b [f (x )－g (x )]dx ＝1，则⎠⎛a
b [2g (x )]dx ＝________. 【解析】 ⎠⎛a
b
[2g (x )]dx
＝⎠⎛a
b
[(f (x )＋g (x ))－(f (x )－g (x ))]dx
＝⎠⎛a b [f (x )＋g (x )]dx －⎠⎛a
b
[f (x )－g (x )]dx ＝3－1＝2.
【答案】 2
5．用定积分的几何意义求⎠⎛－1
1 4－x 2
dx .
【解】 由y ＝4－x 2可知x 2＋y 2＝4(y ≥0)，其图象如图．
⎠⎛－11
4－x 2dx 等于圆心角为60°的弓形CED 的面积与矩形ABCD 的面积之和． S 弓形＝12³π3³22－12³2³2sin π3＝2π3－ 3.
S 矩形＝|AB |²|BC |＝2 3.
∴⎠⎛－114－x 2dx ＝23＋2π3－3＝2π3＋ 3.
我还有这些不足：
(1)_______________________________________________
(2)_______________________________________________ 我的课下提升方案：
(1)_______________________________________________
(2)_______________________________________________。