电路(第五版) 邱关源原著 电路教案 第7章

第7章 二阶电路
● 本章重点
1、二阶电路初值求解；
2、利用经典法求解PLC 电路的零输入响应。

● 本章难点
二阶电路冲激响应求解。

● 教学方法
本章主要讲授PLC 电路的零输入响应的求解过程。

因用经典法分析二阶电路的过渡过程较繁琐，占用课时较多，故二阶电路的零状态响应、完全响应、阶跃响应、冲激响应的求解过程以自学为主，课堂上主要给学生理清各响应之间的区别与联系，以及在掌握PLC 电路的零输入响应的基础上，如何求得其它响应的思路。

培养学生分析问题和解决问题的能力。

本章共用4课时。

● 授课内容
7.1 二阶电路的零输入响应
用二阶微分方程描述的电路为二阶电路。

二阶电路的零输入响应的定义和一阶电路相同, 本节仅讨论PLC 电路的零输入响应。

C 0(0)u U = L 0(0)0i I == L R C KVL :0(0)u u u t +++=≥
2C C C L
L L R L 2VAR :,,du d u du di i C u L LC u Ri RC dt dt dt dt
=====
R
2C C C 2
C 0
L C 000(0)(0)(0)0t d u du LC RC u t dt dt du I i u U dt C C +=⎧++=≥⎪⎪
⎨
⎪====⎪⎩
2
10LCP RCP ++=
1,2p =
1. 12,p p 为一对不相等的负实根
（R >， 12C 12()e e p t p t u t K K =+——过阻尼非振荡工作状态 2．12,p p 为一对相等的负实根
（R =， C 12()e e pt pt u t K K t =+——临界阻尼非振荡工作状态 3. 12,p p 为一对共轭复根
（R <， 1,2
d j p αω-±
C 1α2d ()e (cos sin )t u t K t K t αωω-=+——欠阻尼振荡工作状态
一、R >
112R p L α=-
-
222R p L α=--
102R L α=
>
202R L α=
+> 121
LC
αα=
，21αα> 1. 表达式 12C 12()e e t t u t K K αα--=+
12C
1122e e t t du K K dt
αααα--=-- 令0t =
C 120(0)u K K U =+=
C
11220
0t du K K dt
αα==--=
2010
1221
21
U U K K αααααα-∴=
=
-- 1
2
2010C 2121
()e e
(0)t t
U U u t t αααααααα--+=
-≥--
12C 120120L 2121
()e e t t
du CU CU i t C
dt αααααααααα---==+-- 1200
2121()()
t t U U e e L L αααααα---=
+--
121020L L 2121()
()e e (0)()()
t t U U di t u t L
t dt αααααααα--+==-≥--
2、曲线
1
2
2010C 2121
()e e
(0)t t
U U u t t αααααααα--+=
-≥--
前项 后项 初值为正 初值为负 初值绝对值大 初值绝对值小 衰减慢 衰减快
2
11211
221
211
1
:ln 2
ln 2t t t t αααααααα=
-==-
3、能量转换：1C L 1C L
0,
,
t t u i t t u i <<>
L
L
-
二、R = 122R p p L
α==-
-
C 12()e e t t u t K K t αα--∴=+
C
1122e e e t t t du K K t K dt
ααααα---=--+ 令C 1010
C 1220
00,(0)0t t u K U K U du K K K U dt αα====⎫
=⎧⎪
⇒⎬
⎨=-+==⎩⎪⎭
C 0()(1)e (0)t
u t t U t αα-+∴=+≥
C 0()e (0)t L du U
i t C
t t dt L α-+==-≥ L C 0()(1)e (0)t di
u t L t U t dt
αα-+==--≥
变化曲线与（一）相类似 12112
,2t t t αα
=== 能量转换与（一）相类似
三．R < 221,2
d 1()
()22R R p j j L L LC
αω-
±--±
d ,2R L
αω=
=0ω=
固有频率 1. 表达式 C 1d 2d ()e (cos sin )t u t K t K t αωω-=+
C
1d 2d 1d d d 2d e (cos sin )(sin cos )t t du K t K t e K t K t dt
αααωωωωωω--=-++-+ 101020
12d d 0,0K U t K U K U K K α
αωω=⎧==⎫
⎪⇒⎬
⎨=-+=⎭
⎪⎩
令 β
α
ωd ω
则： C 0d 0
d d ()
e (cos sin )t u t U t U t αα
ωωω-=+
00d d d d 00e (cos sin )t U t t αωωαωωωωω-=
+ （其中d 0sin ωβω=，0
cos α
βω=） 00d d
e sin()(0)
t
U t t αωωβω-+=
+≥C 00L d d d d
()e sin()e cos()t t du U
i t C
C t t dt ααωαωβωωβω--⎡⎤==-+++⎣⎦ 200
d
d d d
00e
sin()cos()t
C U t t αωωαωβωβωωω-⎡⎤=-
+-+⎢⎥⎣⎦
0d d sin()(0)t
U e t t L αωπω-+=
+≥ （其中
0sin d ωβω=，0
cos αβω=） 0
L L 0d d
()e sin()(0)t di u t L
U t t dt αωωβω-+==-≥
2. 曲线 00C d d
()e sin()(0)t
U u t t t αωωβω-+=
+≥
零值点： d d sin()0(1,2,3)t t k ωβωβπ+=+=±=
即d ,2,3t ωπβπβπβ
=--
-
极
值
点
，
应
为
L ()
i t 的零值点，即：
d d sin()0(1,2,3)t t k k ωπωππ+=+=±= d 0,,2t ωππ
=
同理可作L ()i t ，L ()u t 的变化曲线
3、能量转换 d C
L
d C
L
0,
;
0,
t u i t u i ωβωπβ
<<<<-
d C L
,
t u i πβωπ-<<
7.2 二阶电路的零状态响应、完全响应、阶跃响应、冲激响应
零状态响应：指初始状态为零，而输入不为零所产生的电路响应。

二阶电路的初始状态为零，指的是电容电压和电感电流的初始值同时为零。

完全响应：指输入与初始状态均不为零时所产生的电路响应。

二阶电路的初始状态不为零，指的是电容电压和电感电流的初始值不同时为零。

阶跃响应：指二阶电路在单位阶跃激励下所产生的零状态响应。

冲激响应：指二阶电路在单位冲激激励下所产生的零状态响应。

例：已知S 10V U =，C (0)1V u =，
L (0)1A i =，求0t +≥时的C ()u t 。

解： L C KCL :i i i =+
1L C C S KVL :()R i i u U ++=
（1）
L
U
+ _
C L
L
L C L (0)di u Ri L
t dt
+=+≥ （2）
由（1）得到： S C C L 11U u du
i C R R dt
=
-- （3） （3）代入（2）： 2C C C S 2111()(1)du du L R R
LC RC u U dt R dt R R ++++=
即：2
C C C 21111100
(0)du du
u t dt dt
+++=≥， C (0)1V u =，
C
C 0
(0)
8V /s t du i dt
C
+==
= C Cp Ch ()()()u t u t u t =+
任一特解 齐次通解
令Cp 100()V 11u t A A =⇒= 即Cp 100
()V 11
u t =
21211110
1.12,9.89p p p p ++=⇒=-=-
1.129.89Ch 12()e e t t u t K K --∴=+
1.129.89C 12100
()e e 11
t t u t K K --∴=
++ 0t +=时： C 121C
2
12100(0)18.211
0.111.129.898u K K K du K K K dt +⎫
=
++=⎪
=-⎧⎪⇒⎬
⎨=⎩⎪
=--=⎪⎭
1.129.89C 100
()8.2e 0.11e V (0)11
t t u t t --+∴=
-+≥
t=0+时
U +
_
C
_ 8A
1V。