04第二章 地质构造分析的力学基础

第二章 地质构造分析的力学基础

地壳中的各种地质构造都是岩石在力的作用下形成的。要研究各种地质构造的几何形态、组合特征和力学成因，首先必须了解有关岩石受力变形的基本理论和影响岩石变形的各种因素，进而分析岩石变形的特征和规律。

第一节 应力及应力分析

一、力和应力

力是物体间的相互作用，这种作用能使物体形状和机械运动的状态发生改变。 力是一种矢量，具有大小、方向和作用点，可以用平行四边形法则进行合成和分解。 （一）外力和内力

力普遍存在于万物之中，根据研究对象的不同，力可分为外力和内力。

1．外力

外力是指外部施加于研究对象的力。按外力作用的方式，外力又分为面力和体力。 面力是一种通过接触面传递的力；体力则是作用在物体内部所有各个质点上的力，如万有引力、惯性力等。

2．内力

内力是物体内部各部分之间相互作用的力。内力又分为固有内力和附加内力。

在未受到外力作用时，物体内部各质点之间均存在着相互作用的内力，使各质点相互联系以维持物体的原有形状和大小，这种内力称为物体的固有内力。当物体受到外力作用后，其内部各质点的相对位置将发生改变，这时质点间相互作用的力也要发生变化。这种因外力作用而引起的内力改变量称为附加内力。下面所涉及的内力指的都是附加内力。

内力是由外力引起的，内力随外力的改变而改变，但是这种改变有一定的限度。当外力增加到一定程度时，内力不再随外力的增加而增加，而是以物体遭到破坏而失去平衡。地质构造就是岩层或岩体受力后发生变形与破裂的结果。

（二）应力

物体的变形与破坏与内力的大小有关，内力的大小则是由应力度量的。应力是指物体单位面积上的内力（单位：Pa ）。

当外力P 作用于物体时（图2-1a ），物体内部便产生了与外力作用相抗衡的内力F 。假设将这个物体沿横截面A 切开，取出物体的一部分而保留它对截面A 的作用力F ，这时截面A 上的内力F 与外力P 相抗衡，二者大小相等方向相反(图2-1b)。在内力均匀分布的情况下，则截面A 上的应力σ为：

A

F =

σ （2-1）

式中：A ——物体的截面； 图2-1 外力、内力和应力

F ——作用于截面A 上的内力；

σ——截面A 上的应力。

在自然界中，截面A 上的应力分布往往是不均匀的。这时可以在截面上的任一点M 附近取微面积⊿A(如图2-1c)，⊿A 上的内力为⊿F ，当⊿A 面积趋近零时，其上的应力分布可以看作是均匀分布，则M 点的应力为：

∆A

∆=→∆F A 0

lim

σ （2-2）

如果作用力方向与截面斜交时（图2-2），假设作用于截面dA 上的内力为dF ，根据平行四边形法则，可将内力dF 分解为垂直截面dA 的分力dN 和平行于截面dA 的分力dT 。

图2-2 内力和应力的分解 （a ）内力的分解；（b ）合应力的分解

这时作用于截面dA 上的合应力为：dA

dF f =σ （2-3）

垂直于截面dA 的正应力为：dA dN =σ 平行于截面dA 的剪应力为：dA

dT =

τ

正应力σ可以使物体受到压缩，称为压应力，用正值表示（σ>0）；它也可以使物体

受到拉伸，称为张应力，用负值表示（σ<0）。

剪应力τ则可以使物体发生剪切滑动。习惯上规定，使物体有顺时针转动趋势的剪应力为负值（τ<0）；使物体有逆时针转动趋势的剪应力则为正值（τ>0）。

二、一点的应力状态

物体受力后，其内部各点的应力分布是不相同，同一点的各个不同方向的截面上的应力分布也是不一样的。我们把物体受力后其内部任一点各个截面上的应力分布情况，称为该点的应力状态。为了研究受力物体部的应力分布情况，常从点的应力状态研究着手。分析一点的应力状态，可以设想该点为一个无限小的单元体。当求出了一个单元体上各个面的应力时，该点的应力状态也就确定了。

当一个物体受力处于平衡状态时，通过该物体内任意一点总可以选出这样一个单元体：三对相互垂直的六个面上只有正应力作用，而无剪应力作用。这三对截面上的正应力称为主应力σ。这三个主应力大小一般都不相同。通常用σ1代表最大主应力，σ2代表中间主应力，σ3代表最小主应力。最大主应力σ1与最小主应力σ3之差称为应力差。每对主应力作用的方向线称为主应力轴，主应力的作用面称为主应力面或主平面。应力差越大，则引起物体的变形越显着。但当六个面上的三对主应力值相等时，则物体只会发生体积的变化而无形状的改变。

根据单元体上主应力分布情况，可以把一点的应力状态分为三类：

单轴应力状态：单元体上的三个主应力中有两个为零，只有一个不为零（图2-3a ）； 双轴应力状态：单元体上的三个主应力中有一个应力为零,而其余两个不为零（图2-3b ）；

三轴应力状态：单元体上的三个主应力均不为零（图2-3c ）。

图2-3 三种应力状态

（a ）单轴应力状态；（b ）双轴应力状态；（c ）三轴应力状态

三、应力分析 1．单轴应力状态

假设变形物体受到单向应力σ1的作用。如图2-4中σ1为主应力，AO 为主平面，AB 为

任意斜截面，α角是主平面与任意斜截面的夹角。也就是截面法线与主应力σ1的锐夹角，通常规定以主应力轴到截面外法线顺时针方向量取的α角为负，逆时针方向量取的α角为正。下面主要讨论在单轴应力状态下，变形物体中任意斜截面上的正应力σ和剪应力τ与主应力σ1之间的关系。

图2-4 单轴应力状态分析

令截面AB 的面积为dA ，则主平面即截面AO 的面积为dA ²cos α。这样，作用在截面AO 上的内力F=σ1²dA ²cos α,按照力平衡关系，截面AB 上同样作用有大小等于F ，而方向与F 相反的内力。此力分解为垂直截面AB 的力为σ1²dA ²cos²α即等于σ²dA 和平行于截面AB 的力是σ1²dA ²cos α²sin α即等于τ²dA 。这时作用于截面AB 上的正应力σ和剪应力τ分别为：

σ=σ1²dAcos 2α/dA=σ1²cos 2α

τ=σ1²dAcos α²sin α/dA=σ1²cos α²sin α 根据公式)2cos 1(2

1cos 2

αα+=

和sin2α=2cos α²sin α得：

)2cos 1(2

1

ασσ+=

（2-4）

αστ2sin 2

1

=

（2-5）

上述两公式，可通过几种方法导出，它表示在单轴应力状态下，任意斜截面上的正应力σ、剪应力τ和主应力σ1的关系式。这种关系还可以用图解法表示。