线性代数1.1-1.2

D2 是用b1 ，b2替换 D中a12 ，a22 得到的二阶行列式.
1.1
给定
二阶、 二阶、三阶行列式
a,b,c,d 四个复数， 称
a b = ad bc c d
为一个二阶行列式. 为方便，记 为一个二阶行列式 为方便， a 12 a 11 主对角线 = a11a22 a a21. 12 副对角线 a 21 a 22
线性代数与解析几何
1.1-1.2 二阶、三阶行列式 二阶、 排列及其逆序数
董君良
北京工业大学 应用数理学院 dongjl@
1.1
二阶、 二阶、三阶行列式
(1) (2 )
用消元法解二元线性方程组 a11 x1 + a12 x2 = b1 , a21 x1 + a22 x2 = b2 . (1) × a22 : a11a22 x1 + a12a22 x2 = b1a22 , (2) × a12 : a12a21 x1 + a12a22 x2 = b2a12 ,
（a22 a11 a12 a21）x2 = a11b2 b1a21 ,
1.1
二阶、 二阶、三阶行列式
b1 b2 a 12≠ 0 时， 方程组的解为
b1 a 22 a 12 b 2 x1 = = a 11 a 22 a 12 a 21 a 11 a 12
τ = 0 + 1 + 0 + 3 + 1 = 5.
1.2 排列及其逆序数
例 求排列 n ( n 1)( n 2 ) 321 的逆序数 解
n (n 1) (n 2) 2 1
n
τ = (n 1) + (n 2) + + 2 + 1
n( n 1 ) , = 2 时为偶排列； 当 n = 4k ,4k + 1 时为偶排列；
+
1
2 -4 1
计算三阶行列式
D= -2 2
-3 4 -2 按对角线法则， 按对角线法则，有 1 × 2 × ( 2 ) + 2 × 1 × ( 3 ) + ( 4) × ( 2 ) × 4 1 × 1 × 4 2 × ( 2 ) × ( 2 ) ( 4 ) × 2 × ( 3 ) = 4 6 + 32 4 8 24 = 14.
a11b2 b1a21 = x2 = a11a22 a12 a21
a 21 a 22 a 11 b1 a 21 b 2
a 11 a 21 a 12 a 22
D1 = , D
D2 = , D
Crammer 法则
这里的分母都是由方程的系数所确定的二阶行列式 D
D1 是用b1 ，b2替换 D中a11 ，a21得到的二阶行列式
二阶、 二阶、三阶行列式
关孝和（1642-1708）：历史上最早发现行列式 思想，并研究与之有关的数学内容的第一人。 日本人，后半生被称为“算圣” 莱布尼兹（1646-1716）：历史上发现行列式思 想，并研究与之有关的数学内容的第二人。 德国人，思维能力异常广泛，精通数学，科学，哲 学，法律，历史，语言 被认为是真正掌握那个时代所有学术科学的最后 一人。
两式相减消去 x2，得 （a11a22 a12a21）x1 = b1a22 a12b2 ; (1) × a21 : a11a21 x1 + a12 a21 x2 = b1a21 ,
( 2 ) × a11 :
a21a11 x1 + a22 a11 x2 = b2 a11 , 两式相减消去 x1，得
所以一个排列中的任意两个元素对换， 所以一个排列中的任意两个元素对换，排 列改变奇偶性. 列改变奇偶性
1.2 排列及其逆序数
推论
n! 奇排列和偶排列的个数相等， 各为 2
n≥ 2 时，n个元素的所有排列中，
推论 任何一个n 级排列与自然顺序 列都可通过一系列对换互变，并且，
12 n 排
所做对换的次数与这个排列有相同的奇偶性，
逆序 逆序
1.2 排列及其逆序数 计算排列逆序数的方法
方法1 方法1 后看法 分别计算出每个元素后面比它小的数码个数 即算 每个元素后面比它小的数码个数, 每个元素后面比它小的数码个数 出每个元素的逆序数 逆序数， 出每个元素的逆序数，再进行求和 方法2 前看法 方法2 分别计算出每个元素前面比它大的数码个数，即算 每个元素前面比它大的数码个数， 每个元素前面比它大的数码个数 出每个元素的逆序数 逆序数， 出每个元素的逆序数，再进行求和
n 级全排列共有 n(n 1) 321 = n ! 级全排列共有:
级全排列通常记为: 一个 n 级全排列通常记为
i1i2 in ,
或者
j1 j2 jn
1.2 排列及其逆序数
定义 给定n 个不同的自然数， 规定由小到大的顺序 标准顺序或者自然顺序。 为标准顺序或者自然顺序。 定义 在一个排列中，如果一个大的数排在一个 小的数的前面，则称这一对数构成一个逆序 定义 在一个排列中，所有逆序的总数称为这个 排列的逆序数，记为 τ ( j1 j2 jn ) 定义 逆序数是偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇 数的称为奇排列 逆序 例如 排列 32514 中 3 2 5 1 4
时为奇排列. 当 n = 4k + 2,4k + 3 时为奇排列
1.2 排列及其逆序数
逆序数的性质:
2 n(n 1) 0 ≤ τ ( j1 j2 jn ) ≤ 2 定义 在排列中，将任意两个元素的位置互换， 在排列中，将任意两个元素的位置互换，
其余元素不动，这种变换称为对换． 其余元素不动，这种变换称为对换．
a11 + a12 x + a13 y = 0 a21 + a22 x + a23 y = 0 a + a x + a y = 0 33 31 32
有解
a11 D = a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 = 0 a33
二阶、 二阶、三阶行列式
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
b1 a12 a13 D1 = b2 a22 a23 b3 a32 a33
a11 b1 a13 D2 = a21 b2 a23 a31 b3 a33
a11 a12 b1 D3 = a21 a22 b2 a31 a32 b3
例
a, b满足什么条件时，行列式 b满足什么条件时，行列式 a b 0 D = b a 0 = 0 1 0 1
也有相同的结果，
D1 x1 = , D a11 a12 a13 D = a21 a22 a23 a31 a32 a33
D2 x2 = , D
D3 x3 = D
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32
a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 ≠ 0
二阶、 二阶、三阶行列式
1.2 排列及其逆序数
设排列为 a1 a l ab1 bm bc1 c n 现来对换 a 与 b . a1 al a b1 bm b c1 cn
m 次相邻对换 a1 al ab b1 bmc1 cn
m + 1 次相邻对换 a1 al b b1 bm a c1 cn
∴ a1 al ab1 bm bc1 cn , 2m + 1次相邻对换 a1 al bb1 bm ac1 cn ,
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
+
实质：所有的不同行、列元素乘积的代数和 关键：正负号的确定
1.2 排列及其逆序数
定义 由 1, 2, , n 组成的有序数组称为一个
级全排列 n 级全排列.
例如 32541 是一个5级全排列 83251467是一个8级全排列 3级全排列的全体共有， 123， 132， 213， 231， 312，321
对角线法则
其中元素 aij 的第一个下标 i 为行指标， 第二个下标 j 为列指标。 为列指标。
二阶、 二阶、三阶行列式
a11 a21 a31
例
a12 a22 a32
a13 a23 a33
对角线法则
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
1.2 排列及其逆序数
的逆序数. 例 求排列 32514 的逆序数 解 前看法： 在排列 32514 中,
3排在首位,逆序数为0; 2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1 5的前面没有比5大的数,其逆序数为0; 1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3; 4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1; 于是排列 32514 的逆序数为：
τ (n(n 1) 321) =
τ (12 n) = 0 ， n(n 1)
a 1 a l a b b1 b m a 1 a l b a b1 b m
a1 al a b1 bm b c1 cn a1 al b b1 bm a c1 cn
ba
1.2 排列及其逆序数
一个排列中的任意两个元素对换， 定理 一个排列中的任意两个元素对换，排列的 奇偶性改变． 奇偶性改变． 证明 设排列为 对换 a 与 b a1 al ab b1 bm a1 al ba b1 bm ba ab 除 a , b 外，其它元素的逆序数不改变 其它元素的逆序数不改变. 当 a < b 时， 的逆序数增加1 经对换后 a 的逆序数增加 , b 的逆序数不变 的逆序数不变; 当 a > b时 ， b 的逆序数减少1. 经对换后 a 的逆序数不变 ， 的逆序数减少 因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性 因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.